В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.
Доступен видеоразбор данного задания:
Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:
а) Поскольку прямая MN параллельна прямой DA , которая принадлежит плоскости DAS , то прямая MN параллельна плоскости DAS . Следовательно, линия пересечения плоскости DAS и сечения KMN будет параллельна прямой MN . Пусть это линия KL . Тогда KMNL — искомое сечение.
Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC . Прямая BC параллельна прямой MN , так как четырехугольник MNCB является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM и ASB . AC — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC находим:
AH — половина диагонали квадрата, поэтому . Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника находим:
Тогда имеют место соотношения:
Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM и ASB , пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK и ABS . Так как эти углы соответственные при прямых KM , SB и секущей MB , то KM параллельна SB .
Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и NM ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB и BC ). Следовательно, плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от точки S до плоскости KMN . Ищем это расстояние. Из точки S опускаем перпендикуляр SP к прямой DA . Плоскость SPH пересекается с плоскостью сечения по прямой OR . Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S к прямой OR .
Действительно, KL перпендикулярна плоскости OSR , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR и OS ). Перпендикулярность OR и KL следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL перпендикулярна высоте треугольника ORS , проведенной к стороне OR . То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN , а значит перпендикулярна этой плоскости.
Ищем стороны треугольника SOR . Сторону SR ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH : . Длину SP находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH : . Треугольники SOK и SPA подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия . Тогда и . Из прямоугольного треугольника SPH находим . Из теоремы косинусов для треугольника POR находим, что . Итак, нашли все стороны треугольника SOR .
Из теоремы косинусов для треугольника SOR находим , тогда из основного тригонометрического тождества находим . Тогда площадь треугольника OSR равна:
С другой стороны эта площадь равна , где h — искомая высота. Откуда находим .
Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS и DK , которые также параллельны. Пусть B 1 M — высота треугольника A 1 B 1 C 1 , а BE — высота треугольника ABC . Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:
Из прямоугольного треугольника B 1 M A 1 находим по теореме Пифагора . Из прямоугольного треугольника B 1 QS находим по теореме Пифагора . Тогда . Кроме того (половина высоты BE правильного треугольника ABC ). Треугольники MQT и PTB подобны по двум углам (углы PTB и MTQ равны как вертикальные, углы TPB и MQT равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ , PB и секущей PQ ). Их коэффициент подобия равен .
Далее из прямоугольного треугольника MBE находим . Используя доказанное подобие, находим . Аналогично, . Следовательно, .
1. Отметьте характеристики земной коры красным карандашом, мантии - зелёным, ядра - синим.
2. Подпишите на рисунке 9 внутренние оболочки Земли и укажите, на какой глубине находятся границы между ними.
7. Из списка (каменная соль, мрамор, песок, глина, гранит, известняк, мел, базальт, гипс) выберите:
а) глубинную магматическую горную породу:
гранит;
б) излившуюся (вулканическую) горную породу:
базальт.
8. Как различаются осадочные горные породы по происхождению? Дополните схему 6.
11. Заполните таблицу 5, выбрав из списка горные породы соответствующего происхождения: торф, гнейс, гранит, песчаник, уголь, гравий, базальт, щебень, мел, соли, песок, мрамор, известняк, гипс, галька, глина.
15. Закончите предложение.
Литосфера - твёрдая оболочка Земли, состоящая из земной коры и верхней части мантии.
16. Отметьте знаком «+» характеристики литосферы.
18. Пользуясь рисунком 44 учебника, определите, какие семь самых больших литосферных плит Земли изображены на рисунке 11 цифрами 1-7. Обведите красным карандашом границы их раздвижения, а синим - столкновения.
19. Закончите предложение.
Совокупность всех неровностей поверхности суши и дна морей и океанов называется рельефом.
20. Заполните таблицу 6.
27. Заполните таблицу 8, выбрав из списка (материки, равнины суши и дна океанов, овраги, холмы, горные хребты, кочки, балки, межгорные впадины, впадины океанов) формы рельефа, созданные внутренними или внешними силами, действующими на Земле.
30. Рассмотрите рисунок 15 (а и б) и закончите предложения.
31. На плане (рис. 16) изображён рельеф приморской территории. Закрасьте голубым цветом часть местности, которую затопит море, если земная кора опустится на 6 м.
33. Перечислите виды залегания горных пород, изображённые на рисунке 17.
34. На схеме 11 с помощью стрелок установите соответствие между понятиями и их определениями.
36. Почему районы часто повторяющихся землетрясений располагаются на Земле поясами?
Эти пояса – зоны столкновения литосферных плит.
37. Подпишите на рисунке 19 названия частей вулкана и вулканических выбросов (веществ).
39. Почему горообразование, вулканизм и землетрясения происходят в одних и тех же районах?
Это границы столкновения литосферных плит.
40. Пользуясь текстом учебника и физической картой мира, приведите примеры крупных вулканов:
а) Средиземноморского пояса: Везувий, Этна, Эльбрус, Казбек, Арарат, Стромболи.
б) Тихоокеанского пояса: Ключевская Сопка, Фудзияма, Попокатепетль, Орисаба, Льюльяйльяко, Котопахи, Сан-Педро.
41. Под воздействием каких внутренних и внешних сил формируется рельеф Земли? Заполните таблицу 9.
45. Как воздействует выветривание на горные породы? Заполните таблицу 10.
48. На Восточно-Европейской равнине нет ледников. Но многие возвышенности между параллелями 50 и 55° с. ш. состоят из ледниковых отложений (Валдайская и Смоленско-Московская возвышенности, Северные Увалы). Как они образовались?
В антропогенный период кайнозойской эры по этой территории проходил древний ледник, который и принёс большое количество отложений.
49.Выберите правильный вариант ответа.
Песчаные серповидные холмы, образующиеся в пустынях, называются:
в) барханами.
50. Определите, какие элементы строения горной страны изображены на рисунке 21 цифрами 1-4.
51.Самые длинные горы суши:
б) Анды;
Самые высокие горы суши:
б) Гималаи.
52.Как различаются горы по абсолютной высоте? Дополните схему 13.
55. Выберите правильное утверждение.
б) Равнины занимают 60% площади суши, а горы - 40%.
56. Используя физическую карту мира, определите, какие формы рельефа дна океана обозначены на рисунке 23 цифрами 1-5. Запишите название каждой из них.
58. Отметьте знаком «+» характеристики срединно-океанических хребтов.
62. Вставьте в предложение вместо каждой цифры одно из слов, приведённых в списке под соответствующим номером, чтобы предложение получилось правильным по смыслу.
1. Короткие, длинные.
2. Узкие, широкие.
3. Поднятия, хребты, впадины.
4. 60 м, 600 м, 6000 м.
5. Раздвижения, столкновения.
Глубоководные желоба - это длинные и узкие океанические впадины с глубиной более 6000м, располагающиеся на границах столкновения литосферных плит.
63. Выберите правильный вариант ответа.
Самый глубокий желоб Земли:
в) Марианский.
64. Почему 80% населения Земли живёт на равнинах (до высоты 500 м) и только 1% - в горах на высоте более 2000 м?
На равнинах проще строить здания и дороги, вести сельское хозяйство.
65. Какие грозные природные явления, связанные с земной корой, происходят в горах?
Землетрясения и извержения вулканов, обвалы, оползни, грязекаменные потоки (сели).
66. Какой хозяйственной деятельностью занимается человек в горах? Как она меняется в зависимости от высоты гор? Опишите эту деятельность на схеме 15.
Выведем формулу, с помощью которой можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 14. Как на рисунке 14, а, так и на рисунке 14, б отрезок АС представляет собой график проекции вектора скорости тела, движущегося с постоянным ускорением а (при начальной скорости v 0).
Рис. 14. Проекция вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, численно равна площади S под графиком
Напомним, что при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора перемещения, совершенного этим телом, определяется по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключённого под графиком проекции вектора скорости (см. рис. 6). Поэтому проекция вектора перемещения численно равна площади этого прямоугольника.
Докажем, что и в случае прямолинейного равноускоренного движения проекцию вектора перемещения s x можно определять по той же формуле, что и площадь фигуры, заключённой между графиком АС, осью Ot и отрезками ОА и ВС, т. е. что и в этом случае проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком скорости. Для этого на оси Ot (см. рис. 14, а) выделим маленький промежуток времени db. Из точек d и b проведём перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции вектора скорости в точках а и с.
Таким образом, за промежуток времени, соответствующий отрезку db, скорость тела меняется от v ах до v cx .
За достаточно малый промежуток времени проекция вектора скорости меняется очень незначительно. Поэтому движение тела в течение этого промежутка времени мало отличается от равномерного, т. е. от движения с постоянной скоростью.
На такие полоски можно разбить всю площадь фигуры ОАСВ, являющейся трапецией. Следовательно, проекция вектора перемещения sx за промежуток времени, соответствующий отрезку ОВ, численно равна площади S трапеции ОАСВ и определяется по той же формуле, что и эта площадь.
Согласно правилу, приведённому в школьных курсах геометрии, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Из рисунка 14, б видно, что основаниями трапеции ОАСВ являются отрезки ОА = v 0x и ВС = v x , а высотой - отрезок OB = t. Следовательно,
Поскольку v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можно записать:
Таким образом, мы получили формулу для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении.
По этой же формуле рассчитывают проекцию вектора перемещения и при движении тела с уменьшающейся по модулю скоростью, только в этом случае векторы скорости и ускорения будут направлены в противоположные стороны, поэтому их проекции будут иметь разные знаки.