অশূন্য বহুপদী f(x) এবং φ(x) দেওয়া যাক। যদি φ(x) দ্বারা f(x) এর বিভাজনের অবশিষ্টাংশ শূন্যের সমান হয়, তাহলে বহুপদী φ(x) কে বহুপদ f(x) এর ভাজক বলা হয়। নিম্নলিখিত বিবৃতিটি ধারণ করে: বহুপদী φ(x) বহুপদী f(x) এর একটি ভাজক হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি বহুপদী ψ(x) সমতাকে সন্তুষ্ট করে f(x)=φ(x)ψ(x) . একটি বহুপদী φ(x) কে নির্বিচারে বহুপদী f(x) এবং g(x) এর একটি সাধারণ ভাজক বলা হয় যদি এটি এই বহুপদীগুলির প্রতিটির একটি ভাজক হয়। বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য অনুসারে, বহুপদ f(x) এবং g(x) এর সাধারণ ভাজক ডিগ্রী শূন্যের সমস্ত বহুপদকে অন্তর্ভুক্ত করে। যদি এই বহুপদগুলির অন্য কোন সাধারণ ভাজক না থাকে, তাহলে তাদের বলা হয় coprime এবং লিখিত (f(x), g(x))=1। সাধারণ ক্ষেত্রে, x এর উপর নির্ভর করে বহুপদ f(x) এবং g(x) এর সাধারণ ভাজক থাকতে পারে।
পূর্ণসংখ্যার মতো, তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের ধারণা বহুপদীর জন্য প্রবর্তিত হয়। অশূন্য বহুপদী f(x) এবং g(x) এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল তাদের সাধারণ ভাজক d(x) যা এই বহুপদীর যেকোনো সাধারণ ভাজক দ্বারা বিভাজ্য। বহুপদ f(x) এবং g(x) এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজককে gcd চিহ্ন, d(x), (f(x), g(x)) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উল্লেখ্য যে GCD-এর এই সংজ্ঞাটি পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যদিও অন্য একটি, যা সকল ছাত্রদের কাছে পরিচিত, প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।
এই সংজ্ঞাটি বেশ কয়েকটি প্রশ্ন উত্থাপন করে:
1. নির্বিচারে অ-শূন্য বহুপদী f(x) এবং g(x) এর জন্য একটি gcd আছে কি?
2. কিভাবে বহুপদ f(x) এবং g(x) এর GCD বের করবেন?
3. f(x) এবং g(x) বহুপদে কয়টি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক আছে? এবং কিভাবে তাদের খুঁজে পেতে?
পূর্ণসংখ্যার GCD খুঁজে বের করার একটি উপায় আছে যাকে বলা হয় অনুক্রমিক বিভাগ অ্যালগরিদম বা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম। এটি বহুপদেও প্রযোজ্য এবং নিম্নরূপ।
ইউক্লিডের অ্যালগরিদম।বহুপদ f(x) এবং g(x) দেওয়া যাক, ডিগ্রি f(x)≥ ডিগ্রি g(x)। f(x) কে g(x) দিয়ে ভাগ করলে আমরা অবশিষ্ট r 1 (x) পাই। g(x) কে r 1 (x) দিয়ে ভাগ করলে আমরা অবশিষ্ট r 2 (x) পাই। r 1 (x) কে r 2 (x) দ্বারা ভাগ করুন। বিভাজন সম্পূর্ণ না হওয়া পর্যন্ত আমরা এইভাবে ভাগ করতে থাকি। অবশিষ্ট r k (x), যার দ্বারা পূর্ববর্তী অবশিষ্টাংশ r k -1 (x) সম্পূর্ণরূপে বিভক্ত, বহুপদ f(x) এবং g(x) এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হবে।
আসুন আমরা নিম্নলিখিত মন্তব্য করি, যা উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় দরকারী। GCD খুঁজে বের করার জন্য বহুপদে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে, আমরা ভগ্নাংশের সহগ এড়াতে, লভ্যাংশকে গুণ করতে পারি বা যেকোনো অ-শূন্য সংখ্যা দিয়ে ভাজককে কমাতে পারি, শুধুমাত্র ধারাবাহিক বিভাজনের কোনোটিই শুরু করতে পারিনি, কিন্তু প্রক্রিয়া চলাকালীনও এই বিভাগ নিজেই। এটি ভাগফলের একটি বিকৃতির দিকে নিয়ে যাবে, কিন্তু আমাদের আগ্রহের অবশিষ্ট অংশগুলি শূন্য ডিগ্রির শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট গুণক অর্জন করবে, যা আমরা জানি, ভাজক অনুসন্ধান করার সময় অনুমোদিত।
উদাহরণ 1.বহুপদ f(x)=x 3 –x 2 –5x–3 এর gcd খুঁজুন,
g(x)=x 2 +x–12। f(x) কে g(x) দিয়ে ভাগ করুন:
9 দ্বারা হ্রাস করার পরে r 1 (x) এর প্রথম অবশিষ্টাংশ হবে x–3। g(x) কে r 1 (x) দ্বারা ভাগ করুন:
.
বিভাগ সম্পূর্ণ ছিল। অতএব, r 1 (x)=x–3 হল x 3 –x 2 –5x–3 এবং x 2 +x–12 বহুপদীর gcd।
উদাহরণ 2।বহুপদ f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1 এর gcd নির্ণয় কর,
g(x)=5x 3 –3x 2 +2x–4. f(x) কে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং 5f(x) কে g(x) দিয়ে ভাগ করুন:
প্রথম অবশিষ্ট r 1 (x) হবে 19x 2 –26x+7। g(x) কে 19 দ্বারা গুণ করার পর, প্রথম অবশিষ্টাংশ দ্বারা g(x) ভাগ করুন:
19 দ্বারা গুণ করুন এবং ভাগ করা চালিয়ে যান:
আমরা 1955 দ্বারা হ্রাস করি এবং দ্বিতীয় অবশিষ্টাংশ r 2 (x) = x-1 পাই। r 1 (x) কে r 2 (x) দ্বারা ভাগ করুন:
.
বিভাগটি সম্পূর্ণ, অতএব, r 2 (x) = x-1 হল f(x) এবং g(x) বহুপদগুলির gcd।
উদাহরণ 3.বহুপদ f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4 এর gcd নির্ণয় কর,
g(x)=x 3 –2x2 +1.
. 
.
.
উত্তর:(f(x), g(x))=x–1।
GCD খুঁজে বের করার এই পদ্ধতিটি দেখায় যে যদি বহুপদ f(x) এবং g(x) উভয়েরই যৌক্তিক বা বাস্তব সহগ থাকে, তাহলে তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সহগগুলিও হবে মূলদ বা, সেই অনুযায়ী, বাস্তব।
বহুপদ f(x), g(x) এবং d(x) নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত, যা প্রায়শই বিভিন্ন প্রশ্নে ব্যবহৃত হয় এবং উপপাদ্য দ্বারা বর্ণনা করা হয়।
যদি d(x) বহুপদ f(x) এবং g(x) এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হয়, তাহলে আমরা বহুপদী u(x) এবং v(x) যেমন f(x)u(x)+g( খুঁজে পেতে পারি। x)v (x) = d(x)। এই ক্ষেত্রে, আমরা ধরে নিতে পারি যে যদি বহুপদীর ডিগ্রী f(x) এবং g(x) শূন্যের চেয়ে বড় হয়, তাহলে u(x) এর ডিগ্রী g(x) এর ডিগ্রী থেকে কম এবং ডিগ্রী v(x) এর ডিগ্রী f(x) এর চেয়ে কম।
আসুন আমরা উদাহরণ দিয়ে দেখাই কিভাবে প্রদত্ত বহুপদী f(x) এবং g(x) এর জন্য বহুপদ u(x) এবং v(x) বের করা যায়।
উদাহরণ 4.বহুপদ u(x) এবং v(x) খুঁজুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), যদি
ক) f(x)=x 4 -3x 3 +1, g(x)=x 3 -3x 2 +1;
খ) f(x)=x 4 -x 3 +3x 2 -5x+2, g(x)=x 3 +x-2।
উ: আমরা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে বহুপদ f(x) এবং g(x) এর gcd খুঁজে পেয়েছি, শুধুমাত্র এখন বিভাজনের প্রক্রিয়ায় উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা হ্রাস করা এবং গুণ করা অসম্ভব, যেমনটি আমরা উদাহরণ 1, 2-এ করেছি। 3.
(1) 
(2)
সুতরাং, বহুপদ f(x) এবং g(x) এর সাধারণ ভাজক হল –1।
সম্পাদিত বিভাগ অনুসারে, আমরা সমতা লিখি:
f(x)=g(x)x+(–x+1) (1*)
g(x)=(–x+1)(–x 2 +2x+2)-1. (2*)
সমতা (2 *) থেকে আমরা d(x)= –1=g(x)-(–x+1)(–x 2 +2x+2) প্রকাশ করি। সমতা (1 *) থেকে আমরা –х+1=f(x)-g(x)х খুঁজে পাই এবং এর মানকে সমতায় প্রতিস্থাপিত করি (2*): d(x)= –1=g(x)-(f( x )–g(x)х)(–x 2 +2x+2)।
এখন আমরা f(x) এবং g(x) এর সাপেক্ষে ডান দিকের পদগুলিকে গ্রুপ করি:
d(x)= –1=g(x)-f(x)(–x 2 +2x+2)+g(x)x(–x 2 +2x+2)=f(x)(x 2 – 2x–2)+g(x)(1–x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x 2 –2x–2)+g(x)(–x 3 +2x 2 +2x+1) .
অতএব, u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1।
বহুপদী f(x) এবং g(x) এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল 2x-2 বহুপদী। আমরা সমতা (1) এবং (2) ব্যবহার করে এটি প্রকাশ করি:
উত্তর:
ল্যাবরেটরি কাজের বিকল্প
বিকল্প 1
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) x 4 –2x 3 –x 2 –4x–6, 2x 4 –5x 3 +8x 2 –10x+8।
b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x।
f(x)=x 6 -4x 5 +11x 4 -27x 3 +37x 2 -35x+35,
g(x)=x 5 -3x 4 +7x 3 -20x 2 +10x-25।
বিকল্প 2
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) x 4 -3x 3 -3x 2 +11x-6, x 4 –5x 3 +6x 2 +x-3।
b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) এবং এর ডেরিভেটিভ।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=3x 7 +6x 6 -3x 5 +4x 4 +14x 3 -6x 2 -4x+4, g(x)=3x 6 -3x 4 +7x 3 -6x+2।
বিকল্প 3
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) 2x 4 +x 3 +4x 2 -4x-3, 4x 4 -6x 3 -4x 2 +2x+1।
খ) (x+1) 2 (2x+4) 3 (x+5) 5, (x-2) 2 (x+2) 4 (x-1)।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=3x 3 -2x 2 +2x+2, g(x)=x 2 -x+1।
বিকল্প 4
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) 3x 4 -8 3 +7x 2 -5x+2, 3x 4 -2x 3 -3x 2 +17x-10।
b) (x+7) 2 (x-3) 3 (2x+1) এবং এর ডেরিভেটিভ।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=x 4 -x 3 -4x 2 +4x+1, g(x)=x 2 -x-1।
বিকল্প 5
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) 2x 4 -3x 3 -x 2 +3x-1, x 4 +x 3 -x-1।
খ) x 4 (x-1) 2 (x+1) 3, x 3 (x-1) 3 (x+3)।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=3x 5 +5x 4 -16x 3 -6x 2 -5x-6, g(x)=3x 4 -4x 3 -x 2 -x-2।
বিকল্প 6
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+3, x 4 +5x 3 +8x 2 +5x+7।
b) x 3 (x+1) 2 (x-1) এবং এর ডেরিভেটিভ।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=x 5 -5x 4 -2x 3 +12x 2 -2x+12, g(x)=x 3 -5x 2 -3x+17।
বিকল্প 7
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) x 4 +3x 3 -3x 2 +3x-4, x 4 +5x 3 +5x 2 +5x+4।
খ) (2x+1)(x-8)(x+1), (x 3 +1)(x-1) 2 x 3।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=4x 4 -2x 3 -16x 2 +5x+9, g(x)=2x 3 -x 2 -5x+4।
বিকল্প 8
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) x 4 -3x 3 -2x 2 +4x+6, 2x 4 -6x 3 +2x 2 -7x+3।
খ) (x 3 -1)(x 2 -1)(x 2 +1), (x 3 +1)(x-1)(x 2 +2)।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=2x 4 +3x 3 -3x 2 –5x+2, g(x)=2x 3 +x 2 -x-1.
বিকল্প 9
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) 2x 4 +x 3 -5x 2 +3x+2, 3x 4 +8x 3 +3x 2 -3x-2।
b) (x 3 +1)(x+1) 2 (2x+3) এবং এর ডেরিভেটিভ।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=3x 4 -5x 3 +4x 2 –2x+1, g(x)=3x 3 -2x 2 +x-1.
বিকল্প 10
1. বহুপদগুলির gcd খুঁজুন:
ক) x 4 -5x 3 +7x 2 -3x+2, 2x 4 -x 3 -7x 2 +3x-2।
খ) (x+1)(x 2 -1)(x 3 +1), (x 3 -1)(x 2 +x)x।
2. বহুপদ u(x) এবং v(x) নির্ণয় করুন যাতে f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), যদি
f(x)=x 5 +5x 4 +9x 3 +7x 2 +5x+3, g(x)=x 4 +2x 3 +2x 2 +x+1।
বহুপদ বিভাগ। ইউক্লিড অ্যালগরিদম
§1। বহুপদ বিভাজন
বিভাজন করার সময়, বহুপদীগুলি প্রামাণিক আকারে উপস্থাপিত হয় এবং একটি বর্ণের অবরোহী শক্তিতে সাজানো হয়, যার সাথে লভ্যাংশ এবং ভাজকের মাত্রা নির্ধারণ করা হয়। লভ্যাংশের ডিগ্রি অবশ্যই ভাজকের ডিগ্রির চেয়ে বেশি বা সমান হতে হবে।
বিভাজনের ফলাফল হল বহুপদগুলির একটি একক জোড়া - ভাগফল এবং অবশিষ্ট, যা অবশ্যই সমতা পূরণ করবে:
< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .
ডিগ্রির বহুপদ হলে nPn(x ) বিভাজ্য,
ডিগ্রির বহুপদ mRk(x ) একটি ভাজক ( n ³ মি),
বহুপদী Qn – m (x ) – ভাগফল। এই বহুপদীর ডিগ্রী লভ্যাংশ এবং ভাজকের ডিগ্রীর মধ্যে পার্থক্যের সমান,
ডিগ্রির বহুপদ k Rk (x ) এর অবশিষ্টাংশ ( k< m ).
সেই সমতা
Pn(x) = Fm(x) × Qn – m(x) + Rk(x) (1.1)
অভিন্নভাবে পূরণ করতে হবে, যে কোনো জন্য বৈধ থাকা বাস্তব মানএক্স।
আরেকবার খেয়াল করা যাক যে ডিগ্রী বাকি k ভাজকের শক্তির চেয়ে কম হতে হবেমি . অবশিষ্টাংশের উদ্দেশ্য হল বহুপদগুলির গুণফল সম্পূর্ণ করা Fm (x) এবং Qn – m (x ) লভ্যাংশের সমান বহুপদীতে।
বহুপদীর গুণফল হলে Fm (x) × Qn – m (x ) লভ্যাংশের সমান একটি বহুপদ দেয়, তারপর অবশিষ্টাংশআর = 0. এই ক্ষেত্রে, তারা বলে যে বিভাজনটি অবশিষ্ট ছাড়াই সঞ্চালিত হয়।
আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে বহুপদকে ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদমটি দেখি।
ধরুন আপনি বহুপদীকে (5x5 + x3 + 1) বহুপদী (x3 + 2) দ্বারা ভাগ করতে চান।
1. লভ্যাংশের অগ্রবর্তী পদ 5x5 কে ভাজক x3 এর অগ্রবর্তী পদ দ্বারা ভাগ করুন:
নিচে দেখানো হবে যে এভাবে ভাগফলের প্রথম পদ পাওয়া যায়।
2. ভাজককে ভাগফলের পরবর্তী (প্রাথমিকভাবে প্রথম) পদ দ্বারা গুণ করা হয় এবং এই গুণফলটি লভ্যাংশ থেকে বিয়োগ করা হয়:
5x5 + x3 + 1 – 5x2(x3 + 2) = x3 – 10x2 + 1।
3. লভ্যাংশ হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে
5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) + (x3 – 10x2 +
যদি কর্মে (2) পার্থক্যের ডিগ্রীটি ভাজকের ডিগ্রীর চেয়ে বেশি বা সমান হয়ে যায় (বিবেচনায় উদাহরণ হিসাবে), তবে এই পার্থক্যের সাথে উপরে নির্দেশিত ক্রিয়াগুলি পুনরাবৃত্তি করা হয়। যার মধ্যে
1. পার্থক্য x3 এর অগ্রবর্তী পদটি ভাজক x3 এর অগ্রবর্তী পদ দ্বারা ভাগ করা হয়:
নিচে দেখানো হবে যে ভাগফলের দ্বিতীয় পদটি এভাবে পাওয়া যায়।
2. ভাজককে ভাগফলের পরবর্তী (এখন দ্বিতীয়) পদ দ্বারা গুণ করা হয় এবং এই গুণফলটি শেষ পার্থক্য থেকে বিয়োগ করা হয়
X3 – 10x2 + 1 – 1 × (x3 + 2) = – 10x2 – 1।
3. তারপর, শেষ পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
X3 – 10x2 + 1 = 1 × (x3 + 2) + (–10x2 +
যদি পরবর্তী পার্থক্যের ডিগ্রী ভাজকের ডিগ্রীর চেয়ে কম হয় (যেমন ক্রিয়াতে পুনরাবৃত্তি করা হয় (2)), তাহলে শেষ পার্থক্যের সমান অবশিষ্টাংশ দিয়ে বিভাজনটি সম্পন্ন হয়।
ভাগফল যে যোগফল (5x2 + 1) তা নিশ্চিত করতে, আমরা বহুপদ x3 – 10x2 + 1 (দেখুন (1.3)): 5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) রূপান্তরের ফলাফলকে সমতা (1.2) এ প্রতিস্থাপিত করি ) + 1× (x3 + 2) + (– 10x2 – 1)। তারপর, বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর (x3 + 2) নেওয়ার পরে, আমরা অবশেষে পাই
5x5 + x3 + 1 = (x3 + 2)(5x2 + 1) + (– 10x2 – 1)।
যা, সমতা (1.1) অনুসারে, বহুপদকে (5x5 + x3 + 1) বহুপদী (x3 + 2) দ্বারা ভাগফল (5x2 + 1) এবং অবশিষ্টাংশ (– 10x2 –) দ্বারা ভাগ করার ফলাফল হিসাবে বিবেচনা করা উচিত। 1)।
এই ক্রিয়াগুলি সাধারণত "একটি কোণ দ্বারা বিভাজন" নামে একটি ডায়াগ্রাম আকারে আঁকা হয়। একই সময়ে, লভ্যাংশ এবং পরবর্তী পার্থক্যগুলি লেখার সময়, এড়িয়ে না গিয়ে যুক্তির সমস্ত হ্রাসকারী শক্তিগুলিতে যোগফলের পদগুলি তৈরি করার পরামর্শ দেওয়া হয়।
| |
5x5 +10x2 5x2 + 1
| |
X3 + 2
–10x2 + 0x – 1
অবস্থান: আপেক্ষিক; z-index:1">আমরা দেখতে পাই যে বহুপদ বিভাজন ক্রিয়ার ক্রমিক পুনরাবৃত্তিতে নেমে আসে:
1) অ্যালগরিদমের শুরুতে, লভ্যাংশের অগ্রণী পদ পরবর্তীকালে, পরবর্তী পার্থক্যের অগ্রণী পদটি ভাজকের অগ্রণী পদ দ্বারা ভাগ করা হয়;
2) ভাগের ফলাফল ভাগফলের পরবর্তী পদ দেয়, যার দ্বারা ভাজককে গুণ করা হয়। ফলস্বরূপ পণ্যটি লভ্যাংশ বা পরবর্তী পার্থক্যের অধীনে লেখা হয়;
3) নিম্ন বহুপদীটি উপরের বহুপদী থেকে বিয়োগ করা হয় এবং, যদি ফলাফলের পার্থক্যের ডিগ্রি ভাজকের ডিগ্রির চেয়ে বেশি বা সমান হয়, তবে ক্রিয়া 1, 2, 3 এর সাথে পুনরাবৃত্তি করা হয়।
যদি ফলাফলের পার্থক্যের ডিগ্রি ভাজকের ডিগ্রির চেয়ে কম হয়, তবে বিভাজন সম্পূর্ণ হয়। এই ক্ষেত্রে, শেষ পার্থক্যটি অবশিষ্টাংশ।
উদাহরণ নং 1
অবস্থান: absolute;z-index: 9;left:0px;margin-left:190px;margin-top:0px;width:2px;height:27px">
4x2 + 0x – 24x2 ± 2x ± 2
এইভাবে, 6x3 + x2 – 3x – 2 = (2x2 – x – 1)(3x + 2) + 2x।
উদাহরণ নং 2
A3b2 + b5
A3b2 a2b3
– a2b3 + b5
± a2b3 ± ab4
Ab4 + b5
- ab4 b5
এভাবে , a5 + b5 = (a + b)(a4 –a3b + a2b2 – ab3 + b4)।
উদাহরণ №3
| |
X5 x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
Х3у2 – у5
X3y2 ± x2y3
হু 4 – y 5
হু 4 – y 5
এইভাবে, x5 – y5 = (x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)।
উদাহরণ 2 এবং 3 এ প্রাপ্ত ফলাফলের একটি সাধারণীকরণ হল দুটি সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র:
(x + a)(x2 n – x2 n –1 a + x2 n –2 a 2 – ... + a2n) = x 2n+1 + a2n + 1;
(x – a)(x 2n + x 2n–1 a + x 2n–2 a2 + … + a2n) = x 2n+1 – a2n + 1, যেখানে n О এন.
অনুশীলন
কর্ম সঞ্চালন
1. (– 2x5 + x4 + 2x3 – 4x2 + 2x + 4) : (x3 + 2)।
উত্তর: – 2x2 + x +2 – ভাগফল, 0 – অবশিষ্ট।
2. (x4 – 3x2 + 3x + 2) : (x – 1)।
উত্তর: x3 + x2 – 2x + 1 – ভাগফল, 3 – অবশিষ্ট।
3. (x2 + x5 + x3 + 1): (1 + x + x2)।
উত্তর: x3 – x2 + x + 1 – ভাগফল, 2x – অবশিষ্ট।
4. (x4 + x2y2 + y4): (x2 + xy + y2)।
উত্তর: x2 – xy + y2 – ভাগফল, 0 – অবশিষ্ট।
5. (a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc) : (a + b + c)।
উত্তর: a 2 – (b + c) a + (b 2 – bc + c 2 ) – ভাগফল, 0 – অবশিষ্ট।
§2। দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক সন্ধান করা
1. ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম
যদি দুটি বহুপদীর প্রত্যেকটি তৃতীয় বহুপদ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে এই তৃতীয় বহুপদকে প্রথম দুটির একটি সাধারণ ভাজক বলা হয়।
দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD) হল তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ ডিগ্রির সাধারণ ভাজক।
উল্লেখ্য যে শূন্যের সমান নয় এমন যেকোনো সংখ্যাই যে কোনো দুটি বহুপদীর একটি সাধারণ ভাজক। অতএব, শূন্যের সমান নয় এমন যেকোনো সংখ্যাকে এই বহুপদগুলির একটি তুচ্ছ সাধারণ ভাজক বলা হয়।
ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম এমন ক্রিয়াগুলির একটি ক্রম প্রস্তাব করে যা হয় দুটি প্রদত্ত বহুপদীর gcd খুঁজে বের করে বা দেখায় যে প্রথম বা উচ্চতর ডিগ্রির বহুপদী আকারে এমন একটি ভাজক নেই।
ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম বিভাজনের ক্রম হিসাবে প্রয়োগ করা হয়। প্রথম বিভাগে, একটি বৃহত্তর ডিগ্রির একটি বহুপদকে লভ্যাংশ হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং একটি ছোট ডিগ্রির বহুপদকে একটি ভাজক হিসাবে গণ্য করা হয়। যে বহুপদগুলির জন্য GCD পাওয়া যায় যদি একই ডিগ্রি থাকে, তাহলে লভ্যাংশ এবং ভাজক নির্বিচারে বেছে নেওয়া হয়।
যদি, পরবর্তী বিভাজনের সময়, অবশিষ্ট বহুপদীটির একটি ডিগ্রী 1 এর চেয়ে বেশি বা সমান থাকে, তাহলে ভাজকটি লভ্যাংশে পরিণত হয় এবং অবশিষ্টটি একটি ভাজক হয়ে যায়।
যদি বহুপদীর পরবর্তী বিভাজনের ফলে অবশিষ্টাংশ শূন্যের সমান হয়, তাহলে এই বহুপদগুলির gcd পাওয়া গেছে। এটি শেষ বিভাগের ভাজক।
যদি, বহুপদীর পরবর্তী বিভাজনের সময়, অবশিষ্টাংশটি শূন্যের সমান নয় এমন একটি সংখ্যায় পরিণত হয়, তাহলে এই বহুপদীগুলির জন্য তুচ্ছ সংখ্যাগুলি ছাড়া অন্য কোনো জিসিডি নেই।
উদাহরণ নং 1
ভগ্নাংশ হ্রাস করুন 
.
সমাধান
ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এই বহুপদগুলির gcd বের করা যাক
| |
X3 + 7x2 + 14x + 8 1
– x2 – 3x – 2
| |
X3 + 3x2 + 2x – x – 4
3x2 + 9x + 6
3x2 + 9x + 6
| |
অবস্থান: absolute;z-index: 49;left:0px;margin-left:209px;margin-top:6px;width:112px;height:20px"> 
font-size:14.0pt;line-height:150%">উত্তর:
font-size:14.0pt;line-height:150%"> 2. ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমে GCD গণনা সহজ করার সম্ভাবনা
উপপাদ্য
শূন্যের সমান নয় এমন একটি সংখ্যা দ্বারা লভ্যাংশকে গুণ করার সময়, ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়।
প্রমাণ
P হল লভ্যাংশ, F হল ভাজক, Q হল ভাগফল, R - অবশিষ্ট তারপর,
P = F × Q + R.
সংখ্যা দিয়ে এই পরিচয় গুণ করা a ¹ 0, আমরা পাই
a P = F × (a Q) + a R,
যেখানে বহুপদ a P একটি লভ্যাংশ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, এবং বহুপদএকটি প্রশ্ন এবং একটি আর – একটি বহুপদকে ভাগ করে ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ প্রাপ্ত হয়বহুপদী F থেকে একটি P . এইভাবে, লভ্যাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার সময় a¹ 0, ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশকেও দ্বারা গুণ করা হয় a, h.t.d
পরিণতি
একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভাজক গুণ a¹ 0 সংখ্যা দ্বারা লভ্যাংশ গুন হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে।
অতএব, একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভাজক গুণ যখন a¹ 0 ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশকে গুন করা হয়।
উদাহরণ নং 2
ভাগফল Q এবং অবশিষ্ট R নির্ণয় করুন বহুপদকে ভাগ করার সময়
ফন্ট-সাইজ:14.0pt;লাইন-উচ্চতা:150%"> সমাধান
লভ্যাংশ এবং ভাজকের পূর্ণসংখ্যা সহগগুলিতে যেতে, আমরা লভ্যাংশকে 6 দ্বারা গুণ করি, যা পছন্দসই ভাগফলকে 6 দ্বারা গুণিত করবে Q এবং অবশিষ্ট R . এর পরে, ভাজককে 5 দ্বারা গুণ করুন, যার ফলে ভাগফল 6 গুণ হবে Q এবং অবশিষ্ট 6 R চালু । ফলস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ বহুপদকে ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ ভাগফলের পছন্দসই মানের থেকে কয়েকগুণ আলাদা হবে। Q এবং অবশিষ্ট R এই বহুপদকে ভাগ করে প্রাপ্ত।
| |
| |
12у4 ± 18ху3 30x2y2 6y2 – 2xy – 9x2 =
– 4x3 – 12x2y2 – 11x3y + 3x4
± 4ху3 6х2у2 ± 10х3у
– 18x2y2 – x3y + 3x4
± 18х2у2 27х3у ± 45х4
– 28х3у + 48х4 = font-size:14.0pt;line-height:150%">অতএব, ;
উত্তর: 
, 
.
মনে রাখবেন যে এই বহুপদীগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক পাওয়া গেলে, শূন্যের সমান নয় এমন যেকোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে আমরা এই বহুপদীগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ ভাজকও পাব। এই পরিস্থিতিতে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমে গণনা সহজ করা সম্ভব করে তোলে। যথা, পরবর্তী বিভাজনের আগে, লভ্যাংশ বা ভাজককে একটি বিশেষ উপায়ে নির্বাচিত সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে যাতে ভাগফলের প্রথম পদটির সহগ একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। উপরে দেখানো হিসাবে, লভ্যাংশ এবং ভাজককে গুণ করলে আংশিক অবশিষ্টাংশে একটি অনুরূপ পরিবর্তন ঘটবে, কিন্তু এর ফলে, এই বহুপদগুলির GCD শূন্যের সমান কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণিত হবে, যা গ্রহণযোগ্য।
উদাহরণ নং 3
ভগ্নাংশ হ্রাস করুন 
.
সমাধান
ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে, আমরা পাই
| |
X4 x3 ± 3x2 ফন্ট সাইজ: 14.0pt; লাইন-উচ্চতা: 150%"> 4 1
2x3 + 6x2 + 3x – 2
ফন্ট সাইজ: 14.0pt; লাইন-উচ্চতা:150%">2) 2(x4 + x3 – 3x2 + 4) = 2x4 + 2x3 – 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x – 2
2x4 6x3 3x2 ± 2x x – 2
– 4x3 – 9x2 + 2x + 8
± 4х3 ± 12х2 ± 6х ফন্ট সাইজ: 14.0pt; লাইন-উচ্চতা:150%">4
3x2 + 8x + 4
| |
| |
6x3 font-size:14.0pt">16x2 font-size:14.0pt">8x 2x +
বহুপদ জন্য ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম।ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম আপনাকে দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পেতে দেয়, যেমন সর্বোচ্চ ডিগ্রির বহুপদী যার দ্বারা প্রদত্ত বহুপদী উভয়কে অবশিষ্ট ছাড়া ভাগ করা হয়।
অ্যালগরিদমটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে একই ভেরিয়েবলের যে কোনও দুটি বহুপদীর জন্য, চ(এক্স) এবং g(এক্স), এই ধরনের বহুপদ আছে q(এক্স) এবং r(এক্স) , যথাক্রমে ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশকে বলা হয়, যা
চ(এক্স) = g(এক্স)∙q(এক্স) + r(এক্স), (*)
এই ক্ষেত্রে অবশিষ্টাংশের ডিগ্রী ভাজকের ডিগ্রী, বহুপদীর চেয়ে কম g(এক্স), এবং, উপরন্তু, এই বহুপদ অনুসারে চ(এক্স) এবং g(এক্স) ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ অনন্যভাবে পাওয়া যায়। যদি সমতা (*) এর একটি অবশিষ্ট থাকে r(এক্স) শূন্য বহুপদীর সমান (শূন্য), তারপর তারা বলে যে বহুপদী চ(এক্স) দ্বারা বিভক্ত g(এক্স) অবশিষ্ট ছাড়া।
অ্যালগরিদম প্রথম প্রদত্ত বহুপদীর অবশিষ্টাংশের সাথে অনুক্রমিক বিভাজন নিয়ে গঠিত, চ(এক্স), দ্বিতীয়টিতে, g(এক্স):
চ(এক্স) = g(এক্স)∙q 1 (এক্স) + r 1 (এক্স), (1)
তারপর যদি r 1 (এক্স) ≠ 0, – দ্বিতীয় প্রদত্ত বহুপদী, g(এক্স), প্রথম অবশিষ্টাংশে – একটি বহুপদে r 1 (এক্স):
g(এক্স) = r 1 (এক্স)∙q 2 (এক্স) + r 2 (এক্স), (2)
r 1 (এক্স) = r 2 (এক্স)∙q 3 (এক্স) + r 3 (এক্স), (3)
তারপর যদি r 3 (এক্স) ≠ 0, – দ্বিতীয় অবশিষ্টাংশ থেকে তৃতীয়:
r 2 (এক্স) = r 3 (এক্স)∙q 4 (এক্স) + r 4 (এক্স), (4)
ইত্যাদি যেহেতু প্রতিটি পর্যায়ে পরবর্তী অবশিষ্টাংশের মাত্রা হ্রাস পায়, প্রক্রিয়াটি অনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে পারে না, তাই কিছু পর্যায়ে আমরা অবশ্যই এমন একটি পরিস্থিতিতে আসব যেখানে পরবর্তী, n+ ১ম অবশিষ্ট r n+ 1 সমান শূন্য:
| r n–2 (এক্স) = r n–1 (এক্স)∙q n (এক্স) + r n (এক্স), | (n) |
| r n–1 (এক্স) = r n (এক্স)∙q n+1 (এক্স) + r n+1 (এক্স), | (n+1) |
| r n+1 (এক্স) = 0. | (n+2) |
তারপর শেষ অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ r n
এবং বহুপদীর মূল জোড়ার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হবে চ(এক্স) এবং g(এক্স).
প্রকৃতপক্ষে, যদি সমতার কারণে ( n+ 2) পরিবর্তে 0 প্রতিস্থাপন করুন r n + 1 (এক্স) সমতায় ( n+ 1), তারপর – ফলে সমতা r n – 1 (এক্স) = r n
(এক্স)∙q n + 1 (এক্স) পরিবর্তে r n – 1
(এক্স) – সমতার মধ্যে ( n), এটা দেখা যাচ্ছে যে r n – 2 (এক্স) = r n
(এক্স)∙q n + 1 (এক্স) q n
(এক্স) + r n
(এক্স), i.e. r n – 2 (এক্স) = r n
(এক্স)(q n + 1 (এক্স) q n
(এক্স) + 1), ইত্যাদি সমতায় (2) প্রতিস্থাপনের পরে আমরা তা পাই g(এক্স) = r n
(এক্স)∙প্র(এক্স), এবং, অবশেষে, সমতা থেকে (1) - যে চ(এক্স) = r n
(এক্স)∙এস(এক্স), কোথায় প্রএবং এস- কিছু বহুপদ। এইভাবে, r n
(এক্স) হল দুটি মূল বহুপদীর সাধারণ ভাজক, এবং সত্য যে এটি সবচেয়ে বড় (অর্থাৎ, সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ডিগ্রী) অ্যালগরিদমের পদ্ধতি অনুসরণ করে।
যদি দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক একটি চলক (অর্থাৎ একটি সংখ্যা) না থাকে তবে মূল বহুপদ চ(এক্স) এবং g(এক্স) ডাকল পারস্পরিক প্রধান.
সংজ্ঞা। যদি দুটি বহুপদীর প্রত্যেকটি তৃতীয় বহুপদ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে তাকে প্রথম দুটির একটি সাধারণ ভাজক বলে।
সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD) দুটি বহুপদকে তাদের সর্বোচ্চ ডিগ্রি সাধারণ ভাজক বলা হয়।
অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরাইজেশন বা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে GCD পাওয়া যেতে পারে।
উদাহরণ 40বহুপদীর gcd নির্ণয় কর 
.
সমাধান।চলুন উভয় বহুপদকে গুণিত করি:
সম্প্রসারণ থেকে এটা স্পষ্ট যে প্রয়োজনীয় GCD হবে বহুপদী ( এক্স– 1).
উদাহরণ 41বহুপদীর gcd খুঁজুন 
এবং 
.
সমাধান।চলুন উভয় বহুপদকে গুণিত করি।
একটি বহুপদ জন্য 
এক্সএক্স- 1) হর্নারের স্কিম অনুযায়ী।
একটি বহুপদ জন্য 
সম্ভাব্য মূলদ মূল হল সংখ্যাগুলি 1, 2, 3 এবং 6। প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে আমরা তা যাচাই করি এক্স= 1 হল মূল। বহুপদকে ( দ্বারা ভাগ করুন এক্স- 1) হর্নারের স্কিম অনুযায়ী।
অতএব, , যেখানে চতুর্ভুজ ত্রিনামিক সম্প্রসারণ 
ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে উত্পাদিত হয়েছিল।
বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন তুলনা করে, আমরা দেখতে পাই যে প্রয়োজনীয় GCD হবে বহুপদী ( এক্স– 1)(এক্স– 2).
একইভাবে, আপনি বেশ কয়েকটি বহুপদীর জন্য GCD খুঁজে পেতে পারেন।
যাইহোক, ফ্যাক্টরাইজেশন দ্বারা GCD খোঁজার পদ্ধতি সবসময় পাওয়া যায় না। একটি পদ্ধতি যা একজনকে সমস্ত ক্ষেত্রে একটি GCD খুঁজে বের করতে দেয় তাকে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম বলা হয়।
ইউক্লিড অ্যালগরিদমের স্কিমটি নিম্নরূপ। দুটি বহুপদীর একটিকে আরেকটি দিয়ে ভাগ করা হয়, যার ডিগ্রি প্রথমটির ডিগ্রির চেয়ে বেশি নয়। আরও, লভ্যাংশ প্রতিবার বহুপদী হিসাবে নেওয়া হয় যা পূর্ববর্তী ক্রিয়াকলাপে ভাজক হিসাবে কাজ করেছিল এবং একই অপারেশনে প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশ ভাজক হিসাবে নেওয়া হয়। অবশিষ্ট শূন্য হওয়ার সাথে সাথে এই প্রক্রিয়াটি বন্ধ হয়ে যায়। উদাহরণ সহ এই অ্যালগরিদম প্রদর্শন করা যাক.
আগের দুটি উদাহরণে ব্যবহৃত বহুপদীগুলো দেখি।
উদাহরণ 42বহুপদীর gcd খুঁজুন 
এবং 
.
সমাধান।এর ভাগ করা যাক 
চালু 
"কোণা":
এক্স
এখন ভাজককে ভাগ করা যাক 
বাকি জন্য এক্স– 1:
এক্স+ 1
যেহেতু শেষ বিভাজনটি একটি অবশিষ্ট ছাড়াই ঘটেছে, তাই GCD হবে এক্স– 1, অর্থাৎ এই বিভাগে ভাজক হিসাবে ব্যবহৃত বহুপদী।
উদাহরণ 43বহুপদীর gcd খুঁজুন 
এবং 
.
সমাধান. GCD খুঁজে বের করতে আমরা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করব। এর ভাগ করা যাক 
চালু 
"কোণা":
1
এর একটি দ্বিতীয় বিভাগ করা যাক. এটি করার জন্য আমাদের পূর্ববর্তী ভাজককে ভাগ করতে হবে 
বাকি জন্য 
, কিন্তু থেকে 
=
, সুবিধার জন্য আমরা বহুপদকে ভাগ করব 
না 
, এবং তারপরে 
. এই ধরনের প্রতিস্থাপন সমস্যার সমাধানকে পরিবর্তন করবে না, যেহেতু একজোড়া বহুপদীর gcd একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর পর্যন্ত নির্ধারিত হয়। আমাদের আছে:
অবশিষ্টাংশটি শূন্যের সমান, যার অর্থ শেষ ভাজক, অর্থাৎ একটি বহুপদ
এবং কাঙ্ক্ষিত GCD হবে।
2.5 এর জন্য সংজ্ঞা এবং বিবৃতি পাওয়া যাবে।
বাস্তব সহগ সহ একটি ভগ্নাংশ মূলদ ফাংশনকে ফর্মের অভিব্যক্তি বলা হয় 
, কোথায় 
এবং 
- বহুপদ।
একটি ভগ্নাংশ-যুক্তিযুক্ত ফাংশন (এর পরে আমরা এটিকে "ভগ্নাংশ" বলব) বলা হয় সঠিক, যদি বহুপদ ডিগ্রী, লবের মধ্যে দাঁড়ানো, হর-এ দাঁড়ানো বহুপদীর ডিগ্রির চেয়ে কঠোরভাবে কম। অন্যথায় বলা হয় ভুল.
হ্রাস অ্যালগরিদম অপ্রকৃত ভগ্নাংশসঠিকটিকে "পুরো অংশ নির্বাচন করা" বলা হয়।
উদাহরণ 44ভগ্নাংশের সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করুন: 
.
সমাধান।একটি ভগ্নাংশের সম্পূর্ণ অংশকে বিচ্ছিন্ন করার জন্য, আপনাকে ভগ্নাংশের লবটিকে তার হর দ্বারা ভাগ করতে হবে। একটি "কোণা" ব্যবহার করে এই ভগ্নাংশের লবকে এর হর দিয়ে ভাগ করুন:
যেহেতু ফলিত বহুপদীর ডিগ্রি ভাজকের ডিগ্রির চেয়ে কম, তাই বিভাজন প্রক্রিয়া সম্পন্ন হয়। অবশেষে:
=
. ফলে ভগ্নাংশ 
সঠিক।
ফর্মের ভগ্নাংশ 
সহজ বলা হয় যদি φ( এক্স
)
একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদী, এবং ডিগ্রী 
ডিগ্রীর চেয়ে কম φ( এক্স
).
মন্তব্য করুন।অনুগ্রহ করে লক্ষ্য করুন যে লবের ক্ষমতা এবং হর-এর অপরিবর্তনীয় বহুপদীর তুলনা করা হয়েছে (α এর শক্তি উপেক্ষা করে)।
বাস্তব সহগ সহ ভগ্নাংশের জন্য, 4 ধরনের সরল ভগ্নাংশ রয়েছে:
কোন সঠিক ভগ্নাংশ 
সরল ভগ্নাংশের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে, যার হরগুলি সমস্ত সম্ভাব্য ভাজক 
.
একটি ভগ্নাংশকে তার সহজতম আকারে পচানোর জন্য অ্যালগরিদম:
যদি ভগ্নাংশটি অনুপযুক্ত হয়, তবে আমরা পুরো অংশটি নির্বাচন করি এবং আমরা ফলস্বরূপ অংশটিকে সবচেয়ে সহজে পচিয়ে দিই। সঠিক ভগ্নাংশ.
আমরা সঠিক ভগ্নাংশের হরকে গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করি।
আমরা অনির্ধারিত সহগ সহ সরল ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে একটি সঠিক ভগ্নাংশ লিখি।
আমরা ডান পাশের ভগ্নাংশের যোগফলকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি।
আমরা অনির্ধারিত সহগ খুঁজে পাই:
হয় বাম এবং ডান হ্রাসকৃত লবগুলির একই শক্তিগুলির জন্য সহগগুলিকে সমান করে;
অথবা নির্দিষ্ট (সাধারণত তাদের সাধারণ হর এর মূল) মান প্রতিস্থাপন করে এক্স.
আমরা ভগ্নাংশের পুরো অংশকে বিবেচনায় নিয়ে উত্তরটি লিখি।
উদাহরণ 45এটিকে সবচেয়ে সহজে ভেঙ্গে ফেলুন 
.
সমাধান।যেহেতু এই ভগ্নাংশ-যুক্তিযুক্ত ফাংশনটি ভুল, আমরা পুরো অংশটি নির্বাচন করি:
1
= 1 +
.
এর ফলে ভগ্নাংশ প্রসারিত করা যাক 
সহজ থেকে প্রথমত, এর হরকে ফ্যাক্টরাইজ করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা স্ট্যান্ডার্ড সূত্র ব্যবহার করে এর শিকড় খুঁজে পাই:
চলুন আমরা অনির্ধারিত সহগ ব্যবহার করে একটি ভগ্নাংশের মূলদ ফাংশনের পচনকে এর সবচেয়ে সহজে লিখি:
আসুন সমতার ডান দিকটিকে একটি সাধারণ হরকে নিয়ে আসি:
আমরা বাম এবং ডান ভগ্নাংশের লবগুলিতে একই শক্তিগুলির জন্য সহগগুলিকে সমান করে একটি সিস্টেম তৈরি করি:
উত্তর: 
.
উদাহরণ 46এটিকে সবচেয়ে সহজে ভেঙ্গে ফেলুন 
.
সমাধান।যেহেতু এই ভগ্নাংশটি যথাযথ (অর্থাৎ, লবটির ডিগ্রি হরটির ডিগ্রির চেয়ে কম), পুরো অংশটি হাইলাইট করার দরকার নেই। ভগ্নাংশের হরকে ফ্যাক্টরাইজ করা যাক:
আসুন অনির্ধারিত সহগ ব্যবহার করে এই ভগ্নাংশের পচনকে এর সহজতম আকারে লিখি:
বিবৃতি অনুযায়ী, সরল ভগ্নাংশের হর হতে হবে সব ধরনেরভগ্নাংশের হর এর ভাজক:
. (2.2) বাম এবং ডান ভগ্নাংশের লব সমীকরণ করে একটি সমীকরণের সিস্টেম তৈরি করা সম্ভব হবে, কিন্তু এই উদাহরণে গণনাগুলি খুব জটিল হবে। নিম্নলিখিত কৌশলটি তাদের সরলীকরণ করতে সাহায্য করবে: আমরা হর-এর মূলগুলিকে একের পর এক অংকের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি।
এ x = 1:
এ এক্স= ‑1:
এখন অবশিষ্ট সহগ নির্ধারণ করতে কএবং সঙ্গেএটি সর্বোচ্চ ডিগ্রি এবং বিনামূল্যের পদগুলির সহগকে সমান করার জন্য যথেষ্ট হবে। এগুলি বন্ধনী খোলা ছাড়াই পাওয়া যাবে:
প্রথম সমীকরণের বাম দিকে 0 রয়েছে, যেহেতু (2.2) তে বাম ভগ্নাংশের লবটির সাথে শব্দটি নেই 
, এবং সঠিক ভগ্নাংশের সাথে শব্দটি 
গুণাঙ্ক ক +
গ. দ্বিতীয় সমীকরণের বাম দিকে 0 রয়েছে, যেহেতু (2.2) বাম ভগ্নাংশের লবটিতে মুক্ত পদটি শূন্যের সমান এবং (2.2) এর ডান ভগ্নাংশের লবটিতে মুক্ত পদটি সমান (- ক +
খ +
গ
+
ডি) আমাদের আছে:
উত্তর: 
.
তত্ত্ব থেকে মৌলিক তথ্য
সংজ্ঞা 4.1।
P[x]-এ বহুপদী j(x) বলা হয় সাধারণ ভাজক P[x] থেকে বহুপদী g(x) এবং f(x) যদি f(x) এবং g(x) অবশিষ্ট ছাড়া j(x) দ্বারা বিভাজ্য হয়।
উদাহরণ 4.1। দুটি বহুপদ দেওয়া হল: (এক্স) g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 О R[x]। এই বহুপদগুলির সাধারণ ভাজক হল: j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 = О R[x], j 2 (x) =(x 2 − 2x − 2) О R[x], j 3 (x) =(x − 1) О R[x], j 4 (x) = 1 О R[x]। (চেক করুন!)
সংজ্ঞা 4.2।
সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকP[x] থেকে অশূন্য বহুপদী f(x) এবং g(x) হল P[x] থেকে একটি বহুপদী d(x) যেটি তাদের সাধারণ ভাজক এবং নিজেই এই বহুপদগুলির অন্য কোনো সাধারণ ভাজক দ্বারা বিভাজ্য।
উদাহরণ 4.2। উদাহরণ 4.1 থেকে বহুপদগুলির জন্য। f(x)= x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 6 О R[x], g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 О R[x] সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল বহুপদ d(x) = j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 О R[x], যেহেতু এটি একটি বহুপদ d(x) তাদের অন্যান্য সাধারণ ভাজক j 2 (x), j 3 (x) দ্বারা ভাগ করা হয়,j4(x).
সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD) প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত হয়:
d(x) = (f(x), g(x)).
যে কোনো দুটি বহুপদে একটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক বিদ্যমান f(x), g(x) О P[x] (g(x)নং 0)। এর অস্তিত্ব নির্ধারণ করে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমযা নিম্নরূপ।
আমরা ভাগ f(x)চালু g(x). ভাগ দ্বারা প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশ এবং ভাগফল দ্বারা চিহ্নিত করা হয় r 1 (x)এবং q 1 (x)।তারপর যদি r 1 (x)¹ 0, ভাগ g(x)চালু r 1 (x),আমরা বাকিটা পাই r2(x)এবং ব্যক্তিগত q2(x)ইত্যাদি ফলে অবশিষ্টাংশ ডিগ্রী r 1 (x), r 2 (x),... কমে যাবে। কিন্তু অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্রমটি নীচে থেকে 0 সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ। ফলস্বরূপ, বিভাজন প্রক্রিয়াটি সসীম হবে, এবং আমরা অবশিষ্টাংশে পৌঁছাব r k (x),যার মধ্যে পূর্ববর্তী অবশিষ্টাংশ সম্পূর্ণরূপে বিভক্ত হবে r k – 1 (x)।সম্পূর্ণ বিভাগ প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x),ডিগ্রী r 1 (x)< deg g(x);
g(x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x),ডিগ্রী r2(x) < deg r 1(x);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r k – 2 (x)= r k – 1 (x)× qk(x) + r k (x),ডিগ্রী r k (x)< deg r k – 1 (x);
r k – 1 (x) = r k (x) × q k +1 (x)।(*)
আসুন প্রমাণ করি r k (x)বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হবে f(x)এবং g(x)।
1) আসুন এটি দেখান r k (x)হয় সাধারণ ভাজকতথ্য বহুপদ।
আসুন উপান্তর সমতার দিকে ফিরে যাই:
r k –-2 (x)= r k –-1 (x)× qk(x) + r k (x),বা r k –-2 (x)= r k (x) × q k +1 (x) × qk(x) + r k (x)।
এর ডান দিকে বিভক্ত r k (x)।অতএব, বাম-হাতের দিকটিও দ্বারা বিভাজ্য r k (x),সেগুলো। r k –-2 (x)দ্বারা বিভক্ত r k (x)।
r k –- 3 (x)= r k –- 2 (x)× q k – 1 (x) + r k –- 1 (x)।
এখানে r k –- 1 (x)এবং r k –- 2 (x)বিভক্ত করা হয় r k (x),এটি অনুসরণ করে যে সমতার ডান দিকের যোগফল দ্বারা বিভাজ্য r k (x)।এর মানে হল যে সমতার বাম দিকটিও দ্বারা বিভাজ্য r k (x),সেগুলো। r k –- 3 (x)দ্বারা বিভক্ত r k (x)।এইভাবে ক্রমাগত ঊর্ধ্বগামী, আমরা যে বহুপদী প্রাপ্ত f(x)এবং g(x)বিভক্ত করা হয় r k (x)।এইভাবে, আমরা তা দেখিয়েছি r k (x)হয় সাধারণ ভাজকবহুপদী তথ্য (সংজ্ঞা 4.1।).
2) আসুন এটি দেখান r k (x)দ্বারা বিভক্ত অন্য কেউসাধারণ ভাজক j(x)বহুপদ f(x)এবং g(x),এটাই সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকএই বহুপদ .
আসুন প্রথম সমতার দিকে ফিরে যাই: f(x)=g(x) × q 1 (x) + r 1 (x)।
দিন d(x)- কিছু সাধারণ ভাজক f(x)এবং g(x). তারপর, বিভাজ্য বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, পার্থক্য f(x)–g(x) × q 1 (x)এছাড়াও বিভক্ত d(x),অর্থাৎ সমতার বাম দিকে f(x)–g(x) × q 1 (x)= r 1 (x)দ্বারা বিভক্ত d(x)তারপর r 1 (x)দ্বারা ভাগ করা হবে d(x)একইভাবে যুক্তি চালিয়ে যাওয়া, ধারাবাহিকভাবে সমতার মধ্য দিয়ে নেমে আসা, আমরা তা পাই r k (x)দ্বারা বিভক্ত d(x)তারপর, অনুযায়ী সংজ্ঞা 4.2।r k (x)হবে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকবহুপদ f(x)এবং g(x): d(x) = (f(x), g(x)) = r k (x)।
বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক f(x)এবং g(x)একটি ফ্যাক্টর পর্যন্ত অনন্য - ডিগ্রী শূন্যের একটি বহুপদ বা, কেউ বলতে পারে, সমিতি পর্যন্ত(সংজ্ঞা 2.2।)
এইভাবে, আমরা উপপাদ্য প্রমাণ করেছি:
উপপাদ্য 4.1। /ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম/।
যদি বহুপদ f(x), g(x) О P[x] (g(x) এর জন্য¹ 0) সমতা ও অসমতার ব্যবস্থা সঠিক(*), তারপর শেষ অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ এই বহুপদগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হবে।
উদাহরণ 4.3. বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজুন
f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 এবং g(x)= x 3 –2x 2 + x –2।
সমাধান।
1 ধাপ 2 ধাপ।
| x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 | x 3 –2x 2 + x –2 | x 3 –2x 2 + x –2 | 7x 2 + 7 | |
| –(x 4 –2x 3 + x 2 – 2x) | x+3 = q 1 (x) | –(x 3 + x) | 1/7x.–2/7 = q 2 (x) | |
| 3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 –6x 2 + 3x -6) | -2x 2 -2 -( –2x 2 –2) | |||
| 7x 2 + 7 = r 1 (x) | 0 = r 2 (x) |
সমতা এবং অসাম্যের একটি সিস্টেম আকারে বিভাজনের ধাপগুলি লিখি, যেমনটি (*) :
f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), ডিগ্রী r 1 (x)< deg g(x);
g(x)= r 1 (x)× q2(x)।
অনুসারে উপপাদ্য 4.1।/ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম/ শেষ অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ r 1 (x) = 7x 2 + 7 হবে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক d(x)এই বহুপদ :
(f(x), g(x)) = 7x 2 + 7।
যেহেতু বহুপদী বলয়ে বিভাজ্যতা সংজ্ঞায়িত করা হয় ( সম্পত্তি 2.11.) , তাহলে GCD হিসাবে আমরা 7x 2 + 7 নিতে পারি না, কিন্তু ( 7x 2 + 7) = x 2 + 1।
সংজ্ঞা 4.3।
অগ্রণী সহগ 1 সহ সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক বলা হবে সাধারণীকৃত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক.
উদাহরণ 4.4. উদাহরণস্বরূপ 4.2. সবচেয়ে বড় সাধারণ ভাজক পাওয়া গেছে d(x) = (f(x), g(x)) = 7x 2 + 7 বহুপদ f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 এবং g(x)= x 3 –2x 2 + x –2। এর সাথে যুক্ত বহুপদ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে d1(x)= x 2 + 1, আমরা এই বহুপদগুলির স্বাভাবিকীকৃত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক পাই f(x), g(x)) = x 2 + 1।
মন্তব্য করুন।দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পেতে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত উপসংহার টানতে পারি। বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক f(x)এবং g(x)আমরা বিবেচনা করি কিনা তা নির্ভর করে না f(x)এবং g(x)মাঠের উপরে পৃবা এর এক্সটেনশনের উপর পি'।
সংজ্ঞা 4.4.
সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকবহুপদ f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), … f n (x) Î P[x] কে বলা হয় বহুপদী d(x)Î P[x], যা তাদের সাধারণ ভাজক এবং নিজেই এই বহুপদগুলির অন্য কোনো সাধারণ ভাজক দ্বারা বিভাজ্য।
যেহেতু ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম শুধুমাত্র দুটি বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত, তাই n বহুপদীর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে হবে।
