আমাদের যদি 497 কে 4 দ্বারা ভাগ করতে হয়, তাহলে ভাগ করার সময় আমরা দেখব যে 497 সমানভাবে 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়, অর্থাৎ বিভাগের অবশিষ্ট থাকে। এই ধরনের ক্ষেত্রে এটি সম্পন্ন হয় বলা হয় অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজন, এবং সমাধানটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:
497: 4 = 124 (1টি অবশিষ্ট)।
সমতার বাম দিকের বিভাজন উপাদানগুলিকে অবশিষ্টাংশ ছাড়া বিভাজনের মতোই বলা হয়: 497 - লভ্যাংশ, 4 - বিভাজক. ভাগের ফলাফলকে অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগ করলে তাকে বলা হয় অসম্পূর্ণ ব্যক্তিগত. আমাদের ক্ষেত্রে, এটি 124 নম্বর। এবং অবশেষে, শেষ উপাদান, যা সাধারণ বিভাগে নয়, হল অবশিষ্ট. যে ক্ষেত্রে অবশিষ্ট নেই, সেখানে একটি সংখ্যাকে আরেকটি দ্বারা ভাগ করা বলা হয় একটি ট্রেস ছাড়া, বা সম্পূর্ণরূপে. এটা বিশ্বাস করা হয় যে এই ধরনের বিভাজনের সাথে অবশিষ্টাংশ শূন্য। আমাদের ক্ষেত্রে, অবশিষ্ট 1.
অবশিষ্টাংশ সবসময় ভাজকের থেকে কম থাকে।
গুন দিয়ে ভাগ চেক করা যায়। যদি, উদাহরণস্বরূপ, একটি সমতা থাকে 64: 32 = 2, তাহলে চেকটি এভাবে করা যেতে পারে: 64 = 32 * 2।
প্রায়শই এমন ক্ষেত্রে যেখানে অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজন করা হয়, সমতা ব্যবহার করা সুবিধাজনক
a = b * n + r,
যেখানে a হল লভ্যাংশ, b হল ভাজক, n হল আংশিক ভাগফল, r হল অবশিষ্টাংশ।
প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাগফলকে ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।
একটি ভগ্নাংশের লব হল লভ্যাংশ, এবং হর হল ভাজক।
যেহেতু ভগ্নাংশের লব হল লভ্যাংশ এবং হর হল ভাজক, বিশ্বাস করুন যে ভগ্নাংশের রেখা মানে বিভাজনের ক্রিয়া. কখনও কখনও ":" চিহ্ন ব্যবহার না করে ভগ্নাংশ হিসাবে ভাগ লিখতে সুবিধা হয়।
প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n এর বিভাজনের ভাগফলকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে \(\frac(m)(n)\), যেখানে লব m হল লভ্যাংশ, এবং হর n হল ভাজক:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
নিম্নলিখিত নিয়মগুলি সত্য:
ভগ্নাংশ পেতে \(\frac(m)(n)\), আপনাকে ইউনিটটিকে n সমান অংশে (শেয়ার) ভাগ করতে হবে এবং m এরকম অংশ নিতে হবে।
ভগ্নাংশ পেতে \(\frac(m)(n)\), আপনাকে m সংখ্যাটিকে n দ্বারা ভাগ করতে হবে।
একটি পূর্ণাঙ্গের একটি অংশ খুঁজে পেতে, আপনাকে হর দ্বারা সমগ্রের সাথে সংশ্লিষ্ট সংখ্যাটিকে ভাগ করতে হবে এবং এই অংশটিকে প্রকাশ করে এমন ভগ্নাংশের লব দ্বারা ফলাফলকে গুণ করতে হবে।
এর অংশ থেকে একটি সম্পূর্ণ খুঁজে পেতে, আপনাকে এই অংশের সাথে সংশ্লিষ্ট সংখ্যাটিকে লব দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং এই অংশটিকে প্রকাশ করে এমন ভগ্নাংশের হর দ্বারা ফলাফলকে গুণ করতে হবে।
যদি ভগ্নাংশের লব এবং হর উভয়কেই একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় (শূন্য ব্যতীত), ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন হবে না:
\(\বৃহৎ \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
যদি ভগ্নাংশের লব এবং হর উভয়ই একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয় (শূন্য ব্যতীত), ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন হবে না:
\(\বৃহৎ \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
এই সম্পত্তি বলা হয় একটি ভগ্নাংশের প্রধান সম্পত্তি.
শেষ দুটি রূপান্তর বলা হয় একটি ভগ্নাংশ হ্রাস করা.
যদি ভগ্নাংশগুলিকে একই হর সহ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করতে হয়, তবে এই ক্রিয়াটিকে বলা হয় ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে আসা.
আপনি ইতিমধ্যে জানেন যে একটি ভগ্নাংশ একটি সম্পূর্ণ সমান অংশে ভাগ করে এবং এই ধরনের কয়েকটি অংশ গ্রহণ করে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ \(\frac(3)(4)\) মানে একের তিন-চতুর্থাংশ। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের অনেক সমস্যায়, ভগ্নাংশগুলি সম্পূর্ণ অংশের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। সাধারণ বোধপরামর্শ দেয় যে অংশটি সর্বদা পুরোটির চেয়ে কম হওয়া উচিত, কিন্তু তারপরে ভগ্নাংশের সম্পর্কে কী হবে যেমন, উদাহরণস্বরূপ, \(\frac(5)(5)\) বা \(\frac(8)(5)\)? এটা স্পষ্ট যে এটি আর ইউনিটের অংশ নয়। সম্ভবত এই কারণেই যে ভগ্নাংশের লব হর এর চেয়ে বড় বা সমান তাদের বলা হয় অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ. অবশিষ্ট ভগ্নাংশ, অর্থাৎ যে ভগ্নাংশের লব হর থেকে কম, তাদের বলা হয় সঠিক ভগ্নাংশ.
আপনি জানেন, যে কোনো সাধারণ ভগ্নাংশ, সঠিক এবং ভুল উভয়ই, লবকে হর দ্বারা ভাগ করার ফলাফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অতএব, গণিতে, সাধারণ ভাষার বিপরীতে, "না" শব্দটি প্রকৃত ভগ্নাংশ" এর মানে এই নয় যে আমরা কিছু ভুল করেছি, তবে শুধুমাত্র এই ভগ্নাংশের লব হর এর চেয়ে বড় বা সমান।
যদি একটি সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং একটি ভগ্নাংশ গঠিত হয়, তাহলে যেমন ভগ্নাংশকে মিশ্র বলা হয়.
উদাহরণ স্বরূপ:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 হল পূর্ণসংখ্যার অংশ, এবং \(\frac(2)(3) \) হল ভগ্নাংশের অংশ।
যদি ভগ্নাংশের লব \(\frac(a)(b) \) একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে এই ভগ্নাংশটিকে n দ্বারা ভাগ করতে হলে, এর লবটিকে এই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে:
\(\বৃহৎ \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
যদি ভগ্নাংশের লব \(\frac(a)(b)\) একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তাহলে এই ভগ্নাংশটিকে n দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এর হরকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে:
\(\বৃহৎ \frac(a)(b): n = \frac(a)(bn) \)
লক্ষ্য করুন যে দ্বিতীয় নিয়মটিও সত্য যখন লবটি n দ্বারা বিভাজ্য হয়। অতএব, ভগ্নাংশের লবটি n দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা প্রথম নজরে নির্ণয় করা কঠিন হলে আমরা এটি ব্যবহার করতে পারি।
আপনি ভগ্নাংশ সংখ্যা দিয়ে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন, ঠিক প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো। প্রথমে ভগ্নাংশ যোগ করার দিকে নজর দেওয়া যাক। অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা সহজ। আসুন, উদাহরণস্বরূপ, \(\frac(2)(7)\) এবং \(\frac(3)(7)\) এর যোগফল খুঁজে বের করা যাক। এটা বোঝা সহজ যে \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।
অক্ষর ব্যবহার করে, অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়মটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
\(\বৃহৎ \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
আপনি যদি বিভিন্ন হর সঙ্গে ভগ্নাংশ যোগ করার প্রয়োজন হয়, তারা প্রথমে একটি সাধারণ হর কমাতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = frac(10)(15)+\frac(12)(15) = frac(10+12)(15) = frac(22)(15) \)
ভগ্নাংশের জন্য, প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো, যোগের পরিবর্তনমূলক এবং সহযোগী বৈশিষ্ট্যগুলি বৈধ।
স্বরলিপি যেমন \(2\frac(2)(3)\) বলা হয় মিশ্র ভগ্নাংশ. এই ক্ষেত্রে, 2 নম্বর বলা হয় সম্পূর্ণ অংশমিশ্র ভগ্নাংশ, এবং সংখ্যা \(\frac(2)(3)\) এর ভগ্নাংশ অংশ. এন্ট্রি \(2\frac(2)(3)\) নিম্নরূপ পড়া হয়: "দুই এবং দুই তৃতীয়াংশ।"
8 নম্বরটিকে 3 দ্বারা ভাগ করার সময়, আপনি দুটি উত্তর পেতে পারেন: \(\frac(8)(3)\) এবং \(2\frac(2)(3)\)। তারা একই ভগ্নাংশ সংখ্যা প্রকাশ করে, যেমন \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
এইভাবে, অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ \(\frac(8)(3)\) একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা হয় \(2\frac(2)(3)\)। এই ধরনের ক্ষেত্রে তারা বলে যে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে পুরো অংশ হাইলাইট.
ভগ্নাংশের সংখ্যার বিয়োগ, প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো, যোগের ক্রিয়ার ভিত্তিতে নির্ধারিত হয়: একটি সংখ্যা থেকে আরেকটি বিয়োগ করার অর্থ হল এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যা, দ্বিতীয়টিতে যোগ করা হলে, প্রথমটি দেয়। উদাহরণ স্বরূপ:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) থেকে \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = frac(8)(9)\)
অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার নিয়ম এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়মের অনুরূপ:
একই হর সহ ভগ্নাংশের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে পেতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয়টির লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।
অক্ষর ব্যবহার করে, এই নিয়মটি এভাবে লেখা হয়:
\(\বৃহৎ \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে তাদের লব এবং হরকে গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব হিসাবে এবং দ্বিতীয়টি হর হিসাবে লিখতে হবে।
অক্ষর ব্যবহার করে, ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়মটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
\(\বৃহৎ \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
প্রণীত নিয়মটি ব্যবহার করে, আপনি একটি ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা, একটি মিশ্র ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং মিশ্র ভগ্নাংশকেও গুণ করতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনাকে 1 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা লিখতে হবে, একটি মিশ্র ভগ্নাংশ - একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে।
ভগ্নাংশটি হ্রাস করে এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের পুরো অংশকে বিচ্ছিন্ন করে গুণনের ফলাফলটি সরলীকৃত করা উচিত (যদি সম্ভব হয়)।
ভগ্নাংশের জন্য, প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো, গুণের কম্যুটেটিভ এবং কম্বিনেটিভ বৈশিষ্ট্য, সেইসাথে যোগের সাপেক্ষে গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য বৈধ।
আসুন ভগ্নাংশটি \(\frac(2)(3)\) নিই এবং লব এবং হরকে অদলবদল করে এটিকে "ফ্লিপ" করি। আমরা ভগ্নাংশ পাই \(\frac(3)(2)\)। এই ভগ্নাংশ বলা হয় বিপরীতভগ্নাংশ \(\frac(2)(3)\)।
যদি আমরা এখন ভগ্নাংশটি \(\frac(3)(2)\ কে "বিপরীত" করি, তাহলে আমরা আসল ভগ্নাংশ \(\frac(2)(3)\) পাব। অতএব, ভগ্নাংশ যেমন \(\frac(2)(3)\) এবং \(\frac(3)(2)\) বলা হয় পারস্পরিক বিপরীত.
উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ \(\frac(6)(5) \) এবং \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) এবং \(\frac (18) )(7)\)।
অক্ষর ব্যবহার করে, পারস্পরিক ভগ্নাংশগুলি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: \(\frac(a)(b) \) এবং \(\frac(b)(a) \)
এটা স্পষ্ট যে পারস্পরিক ভগ্নাংশের গুণফল 1 এর সমান. যেমন: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
পারস্পরিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করে, আপনি গুণে ভগ্নাংশের বিভাজন কমাতে পারেন।
ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করার নিয়ম হল:
একটি ভগ্নাংশকে অন্য দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে ভাজকের পারস্পরিক দ্বারা লভ্যাংশকে গুণ করতে হবে।
অক্ষর ব্যবহার করে, ভগ্নাংশ ভাগ করার নিয়মটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
যদি লভ্যাংশ বা ভাজক একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা বা একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হয়, তাহলে ভগ্নাংশকে ভাগ করার নিয়মটি ব্যবহার করার জন্য, এটিকে প্রথমে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে।
একটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা
ধরা যাক আমরা ভগ্নাংশ 11/4 কে দশমিকে রূপান্তর করতে চাই। এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল:
|
2∙2∙5∙5 |
কারণ আমরা সফল এক্ষেত্রেহরকে প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনে শুধুমাত্র দুইটি থাকে। আমরা এই সম্প্রসারণটিকে আরও দুটি পাঁচ দিয়ে সম্পূরক করেছি, 10 = 2∙5 এর সুবিধা নিয়েছি এবং একটি দশমিক ভগ্নাংশ পেয়েছি। এই ধরনের একটি পদ্ধতি স্পষ্টতই সম্ভব যদি এবং শুধুমাত্র যদি হরটির পচন প্রধান উপাদানে পরিণত হয় তবে দুই এবং পাঁচ ছাড়া কিছুই থাকে না। হর সম্প্রসারণে যদি অন্য কোনো মৌলিক সংখ্যা উপস্থিত থাকে, তাহলে এই ধরনের ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা যাবে না। তবুও, আমরা এটি করার চেষ্টা করব, তবে শুধুমাত্র একটি ভিন্ন উপায়ে, যা আমরা একই ভগ্নাংশ 11/4 এর উদাহরণ ব্যবহার করে পরিচিত হব। আসুন "কোণা" ব্যবহার করে 11 কে 4 দ্বারা ভাগ করি:
প্রতিক্রিয়া লাইনে আমরা পুরো অংশটি পেয়েছি (2), এবং আমাদের কাছে অবশিষ্ট রয়েছে (3)। পূর্বে, আমরা এখানে বিভাজন শেষ করেছি, কিন্তু এখন আমরা জানি যে আমরা লভ্যাংশের ডানদিকে একটি কমা এবং বেশ কয়েকটি শূন্য যোগ করতে পারি (11), যা আমরা এখন মানসিকভাবে করব। দশমিক বিন্দুর পর আসে দশম স্থান। এই অঙ্কের লভ্যাংশে যে শূন্য দেখা যায় তা অবশিষ্টাংশে যোগ করা হবে (3):
এখন বিভাজন চলতে পারে যেন কিছুই হয়নি। আপনাকে শুধু উত্তর লাইনে পুরো অংশের পরে একটি কমা লাগাতে হবে মনে রাখতে হবে:
এখন আমরা অবশিষ্ট (2) এর সাথে একটি শূন্য যোগ করি, যা লভ্যাংশের শততম স্থানে রয়েছে এবং বিভাগটি সম্পূর্ণ করুন:
ফলস্বরূপ, আমরা পাই, আগের মতো,
আসুন এখন ঠিক একইভাবে গণনা করার চেষ্টা করি 27/11 ভগ্নাংশের সমান:
আমরা উত্তর লাইনে 2.45 নম্বর এবং অবশিষ্ট লাইনে 5 নম্বর পেয়েছি। তবে আমরা এর আগেও এমন একটি অবশিষ্টাংশের সম্মুখীন হয়েছি। অতএব, আমরা অবিলম্বে বলতে পারি যে যদি আমরা একটি "কোণা" দিয়ে আমাদের বিভাজন চালিয়ে যেতে পারি, তাহলে উত্তর লাইনের পরবর্তী সংখ্যাটি হবে 4, তারপরে 5 নম্বরটি আসবে, তারপরে আবার 4 এবং আবার 5, এবং এভাবেই, অসীম :
27 / 11 = 2,454545454545...
আমরা তথাকথিত পেয়েছিলাম পর্যায়ক্রমিক 45 এর সময়কাল সহ একটি দশমিক ভগ্নাংশ। এই ধরনের ভগ্নাংশের জন্য, একটি আরও কমপ্যাক্ট স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়, যেখানে পিরিয়ডটি শুধুমাত্র একবার লেখা হয়, তবে এটি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে:
2,454545454545... = 2,(45).
সাধারণভাবে বলতে গেলে, যদি আমরা একটি "কোণা" দিয়ে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে আরেকটি দিয়ে ভাগ করি, দশমিক ভগ্নাংশ আকারে উত্তর লিখি, তবে কেবল দুটি ফলাফল সম্ভব: (1) হয় তাড়াতাড়ি বা পরে আমরা অবশিষ্ট রেখায় শূন্য পাব। , (2) বা সেখানে এমন একটি অবশিষ্ট থাকবে, যা আমরা ইতিমধ্যেই সম্মুখীন হয়েছি (সম্ভাব্য অবশিষ্টাংশের সেট সীমিত, যেহেতু তাদের সবগুলি ভাজকের থেকে স্পষ্টতই ছোট)। প্রথম ক্ষেত্রে, বিভাজনের ফলাফল একটি সসীম দশমিক ভগ্নাংশ, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে - একটি পর্যায়ক্রমিক এক।
পর্যায়ক্রমিক দশমিককে ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন
আমাদের একটি শূন্য পূর্ণসংখ্যা অংশ সহ একটি ধনাত্মক পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ দেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ:
ক = 0,2(45).
আমি কিভাবে এই ভগ্নাংশটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে পারি?
আসুন এটিকে 10 দ্বারা গুণ করি k, কোথায় kদশমিক বিন্দু এবং প্রারম্ভিক বন্ধনীর মধ্যে অঙ্কের সংখ্যা যা সময়কালের শুরুকে নির্দেশ করে। এক্ষেত্রে k= 1 এবং 10 k = 10:
ক∙ 10 k = 2,(45).
ফলাফলটি 10 দ্বারা গুণ করুন n, কোথায় n- পিরিয়ডের "দৈর্ঘ্য", অর্থাৎ, বন্ধনীর মধ্যে আবদ্ধ সংখ্যার সংখ্যা। এক্ষেত্রে n= 2 এবং 10 n = 100:
ক∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).
এখন পার্থক্য হিসাব করা যাক
ক∙ 10 k ∙ 10 n − ক∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
যেহেতু মিনুএন্ড এবং সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের অংশ একই, তাহলে পার্থক্যের ভগ্নাংশ শূন্যের সমান, এবং আমরা আসি সহজ সমীকরণতুলনামূলকভাবে ক:
ক∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.
এই সমীকরণটি নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়:
ক∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
ক∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
আমরা ইচ্ছাকৃতভাবে এখনও গণনাগুলি সম্পূর্ণ করি না, যাতে এটি স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান হয় যে কীভাবে এই ফলাফলটি অবিলম্বে লিখিত হতে পারে, মধ্যবর্তী আর্গুমেন্টগুলি বাদ দিয়ে। লব (245) এর মিনুএন্ড হল সংখ্যার ভগ্নাংশ
ক = 0,2(45)
যদি আপনি তার এন্ট্রি বন্ধনী মুছে ফেলা. লব (2) এর সাবট্রাহেন্ড হল সংখ্যার অ-পর্যায়ক্রমিক অংশ ক, কমা এবং খোলার বন্ধনীর মধ্যে অবস্থিত। হর (10) এর প্রথম ফ্যাক্টরটি হল একটি একক, যেখানে অ-পর্যায়ক্রমিক অংশে যতগুলি সংখ্যা রয়েছে ততগুলি শূন্য নির্ধারণ করা হয়েছে ( k) হর-এর দ্বিতীয় ফ্যাক্টর (99) পিরিয়ডে যত সংখ্যা আছে ততগুলি নয়টি ( n).
এখন আমাদের গণনা সম্পন্ন করা যেতে পারে:
এখানে লবটি পিরিয়ড ধারণ করে এবং হরটিতে পিরিয়ডের যত সংখ্যা রয়েছে ততগুলি নয়টি রয়েছে। 9 দ্বারা হ্রাস করার পরে, ফলে ভগ্নাংশ সমান হয়
একই পথে,
খুব প্রায়ই মধ্যে স্কুলের পাঠ্যক্রমগণিতবিদ শিশুরা কীভাবে একটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করতে হয় তা নিয়ে সমস্যার সম্মুখীন হয়। একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করতে, আসুন প্রথমে মনে রাখি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ এবং দশমিক কী। একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হল m/n ফর্মের একটি ভগ্নাংশ, যেখানে m হল লব এবং n হল হর। উদাহরণ: 8/13; 6/7, ইত্যাদি ভগ্নাংশগুলি নিয়মিত, অনুপযুক্ত এবং মিশ্র সংখ্যায় বিভক্ত। একটি সঠিক ভগ্নাংশ হল যখন লবটি হর থেকে কম হয়: m/n, যেখানে m 3। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে সর্বদা একটি মিশ্র সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যথা: 4/3 = 1 এবং 1/3;
এখন দেখা যাক কিভাবে একটি মিশ্র ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা যায়। যে কোনো সাধারণ ভগ্নাংশ, সঠিক বা অনুপযুক্ত, একটি দশমিকে রূপান্তর করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে হর দ্বারা লব ভাগ করতে হবে। উদাহরণ: সরল ভগ্নাংশ (সঠিক) 1/2। 0.5 পেতে লব 1 কে হর 2 দ্বারা ভাগ করুন। 45/12 এর উদাহরণ নেওয়া যাক; এটা অবিলম্বে স্পষ্ট যে এটি একটি অনিয়মিত ভগ্নাংশ। এখানে হরটি লবের চেয়ে কম। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা হচ্ছে: 45: 12 = 3.75।
উদাহরণ: 25/8। প্রথমে আমরা মিশ্র সংখ্যাটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত করি: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 এবং 1/8; তারপর একটি কলাম বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে 8 এর হর দিয়ে 1 এর সমান লব ভাগ করুন এবং 0.125 এর সমান একটি দশমিক ভগ্নাংশ পান। নিবন্ধটি অনুবাদের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ প্রদান করে দশমিক. অনুবাদের কৌশল বুঝতে পেরে সহজ উদাহরণ, আপনি সহজেই তাদের সবচেয়ে কঠিন সমাধান করতে পারেন.
সমস্ত ভগ্নাংশ দুটি প্রকারে বিভক্ত: সাধারণ এবং দশমিক। এই ধরনের ভগ্নাংশকে সাধারণ বলা হয়: 9/8.3/4.1/2.1 3/4। তাদের একটি শীর্ষ সংখ্যা (লব) এবং একটি নীচের সংখ্যা (হর) রয়েছে। লবটি হর থেকে কম হলে ভগ্নাংশটিকে সঠিক বলা হয়; অন্যথায়, ভগ্নাংশটিকে অনুপযুক্ত বলা হয়। ভগ্নাংশ যেমন 1 7/8 একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ (1) এবং একটি ভগ্নাংশ অংশ (7/8) নিয়ে গঠিত এবং মিশ্র বলা হয়।
সুতরাং, ভগ্নাংশ হল:
একটি প্রাথমিক স্কুল গণিত কোর্স শেখায় কিভাবে একটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করতে হয়। সবকিছু অত্যন্ত সহজ: আপনাকে "ম্যানুয়ালি" হর দিয়ে লব ভাগ করতে হবে বা, আপনি যদি সত্যিই অলস হন তবে একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর ব্যবহার করে। এখানে একটি উদাহরণ: 2/5=0.4;3/4=0.75; ১/২=০.৫। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা খুব বেশি কঠিন নয়। উদাহরণ: 1 3/4= 7/4= 1.75। শেষ ফলাফলটি বিভাগ ছাড়াই পাওয়া যেতে পারে, যদি আমরা 3/4 = 0.75 বিবেচনা করি এবং একটি যোগ করি: 1 + 0.75 = 1.75।
যাইহোক, সমস্ত সাধারণ ভগ্নাংশ এত সহজ নয়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন সাধারণ ভগ্নাংশ থেকে দশমিকে 1/3 রূপান্তর করার চেষ্টা করি। এমনকি যে কেউ গণিতে C পেয়েছে (একটি পাঁচ-পয়েন্ট সিস্টেম ব্যবহার করে) সে লক্ষ্য করবে যে বিভাজন যতক্ষণই চলুক না কেন, শূন্য এবং একটি কমার পরে অসীম সংখ্যক ট্রিপল 1/3 = 0.3333 হবে। . এটি এইভাবে পড়ার প্রথাগত: জিরো পয়েন্ট, পিরিয়ডে তিন। এটি এই অনুসারে লেখা হয়েছে: 1/3=0,(3)। আপনি যদি 5/6 কে দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করার চেষ্টা করেন তাহলে অনুরূপ পরিস্থিতি ঘটবে: 5/6=0.8(3)। এই ধরনের ভগ্নাংশকে অসীম পর্যায়ক্রমিক বলা হয়। এখানে 3/7 ভগ্নাংশের একটি উদাহরণ: 3/7= 0.42857142857142857142857142857143…, অর্থাৎ, 3/7=0.(428571)।
সুতরাং, একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করার ফলস্বরূপ, আপনি পেতে পারেন:
এটি লক্ষ করা উচিত যে অসীম অ-পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ রয়েছে যা নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করে প্রাপ্ত হয়: nth মূল, লগারিদম, সম্ভাব্যতা গ্রহণ করা। উদাহরণস্বরূপ, √3= 1.732050807568877…। বিখ্যাত সংখ্যা π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .
এখন 3 কে 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1 দ্বারা গুন করি। দেখা যাচ্ছে যে 0,(9) হল লেখার এককের আরেকটি রূপ। একইভাবে, 9=9/9.16=16.0, ইত্যাদি।
এই নিবন্ধের শিরোনামে দেওয়া প্রশ্নটির বিপরীত প্রশ্নটিও বৈধ: "কীভাবে একটি দশমিক ভগ্নাংশকে একটি নিয়মিত ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।" এই প্রশ্নের উত্তর একটি উদাহরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে: 0.5= 5/10=1/2। শেষ উদাহরণে, আমরা 5/10 ভগ্নাংশের লব এবং হর 5 দ্বারা কমিয়েছি। অর্থাৎ, একটি দশমিককে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করতে, আপনাকে 10 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে।
ভগ্নাংশগুলি কী তা সম্পর্কে এই ভিডিওটি দেখতে আকর্ষণীয় হবে:
একটি দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে কীভাবে রূপান্তর করতে হয় তা শিখতে, এখানে দেখুন:
ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যা এক বা একাধিক একক নিয়ে গঠিত। গণিতে তিন ধরনের ভগ্নাংশ রয়েছে: সাধারণ, মিশ্র এবং দশমিক।
একটি সাধারণ ভগ্নাংশ একটি অনুপাত হিসাবে লেখা হয় যেখানে লবটি সংখ্যা থেকে কতগুলি অংশ নেওয়া হয়েছে তা প্রতিফলিত করে এবং হরটি দেখায় যে ইউনিটটি কত ভাগে বিভক্ত। লব যদি হর থেকে কম হয়, তাহলে আমাদের একটি সঠিক ভগ্নাংশ আছে। যেমন: ½, 3/5, 8/9।
যদি লব হর এর সমান বা তার চেয়ে বেশি হয়, তাহলে আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের সাথে কাজ করছি। যেমন: 5/5, 9/4, 5/2 লবকে ভাগ করলে একটি সসীম সংখ্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 40/8 = 5। অতএব, যেকোনো পূর্ণ সংখ্যাকে একটি সাধারণ অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ বা এই ধরনের ভগ্নাংশের একটি সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে। আসুন একই সংখ্যার এন্ট্রিগুলিকে বিভিন্ন সংখ্যার আকারে বিবেচনা করি।
ভিতরে সাধারণ দৃষ্টিকোণএকটি মিশ্র ভগ্নাংশ সূত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে: 
সুতরাং, একটি মিশ্র ভগ্নাংশ একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি সাধারণ সঠিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা হয় এবং এই ধরনের একটি স্বরলিপি সমগ্র এবং এর ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে বোঝা যায়।
দশমিক হল একটি বিশেষ ধরনের ভগ্নাংশ যেখানে হরকে 10 এর ঘাত হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অসীম এবং সসীম দশমিক রয়েছে। এই ধরনের ভগ্নাংশ লেখার সময়, পুরো অংশটি প্রথমে নির্দেশিত হয়, তারপর ভগ্নাংশটি একটি বিভাজক (পিরিয়ড বা কমা) মাধ্যমে রেকর্ড করা হয়।
একটি ভগ্নাংশের স্বরলিপি সর্বদা তার মাত্রা দ্বারা নির্ধারিত হয়। দশমিক স্বরলিপি এই মত দেখায়: 
একটি মিশ্র ভগ্নাংশ শুধুমাত্র একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হতে পারে। অনুবাদ করার জন্য, ভগ্নাংশের অংশ হিসাবে পুরো অংশটিকে একই হরতে আনতে হবে। সাধারণভাবে এটি এই মত দেখাবে: 
আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে এই নিয়মের ব্যবহার দেখি:
একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ সরল বিভাজনের মাধ্যমে একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হতে পারে, যার ফলে পুরো অংশ এবং অবশিষ্টাংশ (ভগ্নাংশ)।
উদাহরণস্বরূপ, 439/31 ভগ্নাংশটিকে মিশ্রে রূপান্তর করা যাক: 
কিছু ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা বেশ সহজ। এই ক্ষেত্রে, একটি ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা হয়: ভাজককে 10 এর ঘাতে আনার জন্য লব এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়।
উদাহরণ স্বরূপ:
কিছু ক্ষেত্রে, আপনাকে কোণে ভাগ করে বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে ভাগফল খুঁজে বের করতে হতে পারে। এবং কিছু ভগ্নাংশকে চূড়ান্ত দশমিকে কমানো যায় না। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ 1/3 ভাগ করা হলে তা কখনই চূড়ান্ত ফলাফল দেবে না।
