সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

আন্দোলন

নিজের সম্মুখের সমতল ম্যাপিং

• সমতলের প্রতিটি বিন্দু একই সমতলের কিছু বিন্দুর সাথে যুক্ত এবং সমতলের যেকোনো বিন্দু কোনো না কোনো বিন্দুর সঙ্গে যুক্ত। তখন তারা বলে যে এটা দেওয়া হয় প্লেনকে নিজের উপর ম্যাপ করা।

• অক্ষীয় প্রতিসাম্য হল একটি সমতলের নিজের উপর ম্যাপিং করা।

• কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যও সমতলের নিজের উপর একটি ম্যাপিং।

আন্দোলনের ধারণা

• অক্ষীয় প্রতিসাম্য একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি আছে - এটা সমতলের একটি ম্যাপিং যা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব রক্ষা করে।

• একটি বিমানের গতিবিধি হল বিমানের একটি ম্যাপিং যা দূরত্ব রক্ষা করে।

• একটি সমতলের কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যও সমতলের নিজের উপর একটি ম্যাপিং

থিওরেম নং 1

• সরানোর সময়, সেগমেন্টটি সেগমেন্টে ম্যাপ করা হয়।

থিওরেম নং 1

• দেওয়া হয়েছে: সেগমেন্ট MN।

• প্রমাণ করুন: 1.MN একটি প্রদত্ত আন্দোলনের জন্য প্রদর্শিত হয় M1N1; 2.P P1 এ প্রদর্শিত হয়;

প্রমাণ

• I.1)MP+PN=MN(শর্ত থেকে)

• 2) কারণ চলন্ত অবস্থায়, দূরত্ব বজায় রাখা হয় =>M1N1=MN, M1P1=MP এবং N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1=M1N1=>P1 M1N1 এর সাথে সম্পর্কিত =>বিন্দু MN M1N1 সেগমেন্টে প্রদর্শিত হয়

• II. P1 একটি নির্বিচারে বিন্দু M1N1 হতে দিন, এবং প্রদত্ত আন্দোলনের জন্য P1-এ প্রদর্শিত হতে দিন

• সমতার সম্পর্ক থেকে (1) এবং M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P MN এর অন্তর্গত।

পরিণতি

• উপপাদ্য নং 1 থেকে এটি অনুসরণ করা হয়েছে যে সরানোর সময়, ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু একটি সমান অংশে ম্যাপ করা হয় => ত্রিভুজটি সমান বাহু সহ একটি ত্রিভুজের সাথে ম্যাপ করা হয়, যেমন চলন্ত অবস্থায় একটি সমান ত্রিভুজের উপর। থিওরেম নং 1 থেকে এটি অনুসরণ করে যখন চলন্ত হয়:

• 1) একটি সরল রেখা একটি সরল রেখায় ম্যাপ করা হয়;

• 2) মরীচি থেকে মরীচি;

• 3) কোণ - এর সমান একটি কোণ দ্বারা।

ওভারলে এবং আন্দোলন

• চিত্র F হল চিত্র F1 এর সমান, যদি চিত্র F কে চিত্র F1 এর সাথে একত্রিত করা যায়। চিত্র F1 এর উপর চিত্র Fকে সুপারইম্পোজ করার মাধ্যমে, আমরা চিত্র F এর চিত্র F1 এর উপর কিছু ম্যাপিং বলতে চাই। এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র চিত্র F এর বিন্দু নয়, কিন্তু এছাড়াও সমতলে যে কোনো বিন্দু সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ম্যাপ করা হয়, যেমন superimposition হল একটি সমতলের নিজের উপর ম্যাপিং।

• ইমপোজিশন হল সমতলের সেই ম্যাপিং যা স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা প্রকাশ করা বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তারা আমাদের ওভারলেগুলির সমস্ত বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করার অনুমতি দেয় যা আমরা কল্পনা করি এবং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় ব্যবহার করি।

উপপাদ্য নং 2

• ওভারল্যাপ করার সময়, বিভিন্ন পয়েন্ট বিভিন্ন পয়েন্টে ম্যাপ করা হয়।

প্রমাণ

আসুন ধরে নিই যে এটি এমন নয়, অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে, কিছু বিন্দু A এবং B F2 = F1 এ প্রদর্শিত হয়, অর্থাৎ, কিছু ওভারল্যাপের সাথে, F2 F1 এ প্রদর্শিত হয়। কিন্তু এটি অসম্ভব, কারণ সুপারপজিশন হল একটি ম্যাপিং, এবং যে কোনো ম্যাপিংয়ের সাথে, সমতলের শুধুমাত্র একটি বিন্দু C => এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হয় যখন সুপার ইম্পোজ করা হয়, একটি সেগমেন্ট তার সমান একটি অংশে ম্যাপ করা হয়। ধরা যাক, যখন সুপারইম্পোজ করা হয়, AB সেগমেন্টের A এবং B প্রান্তগুলি A1 এবং B1 এ ম্যাপ করা হয়। তারপর, AB কে A1 B1 => AB=A1B1 এ ম্যাপ করা হয়েছে। কারণ সমান অংশআছে সমান দৈর্ঘ্য, তারপর সুপারপজিশন হল সমতলের একটি ম্যাপিং, যা দূরত্ব রক্ষা করে, অর্থাৎ যেকোন ওভারল্যাপ হল সমতলের গতিবিধি।

উপপাদ্য নং 3

• যে কোন আন্দোলন একটি আরোপ.

উপপাদ্য নং 3

• প্রদত্ত: ত্রিভুজ ABC-এর g-স্বেচ্ছাচারী গতি ত্রিভুজ A1 B1 C1 এ ম্যাপ করা হয়েছে

• f-ওভারলে, যেখানে A, B, C বিন্দু A1 B1 C1 এ প্রদর্শিত হয়।

• প্রমাণ করুন: g f এর সাথে মিলে যায়।

প্রমাণ

ধরুন যে g f => এর সাথে মিলে না সমতলে কমপক্ষে প্রথম বিন্দু M আছে, যেটি যখন g সরে যায়, M1 এ প্রদর্শিত হয় এবং যখন f সুপারইম্পোজ করা হয় - M2 এ। কারণ f এবং g ম্যাপ করার সময় দূরত্ব সংরক্ষিত হয়, তখন AM=A1M1, AM=A1M2, অর্থাৎ বিন্দু A1 হল M1 এবং M2=>A1, B1 এবং C1 থেকে M1 M2 এর লম্ব বিভাজকের উপর অবস্থিত। কিন্তু এটা অসম্ভব, কারণ ত্রিভুজ A1B1C1 এর শীর্ষবিন্দুগুলি একই রেখায় থাকে না। সুতরাং, g f এর সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ g আন্দোলন একটি ওভারল্যাপ।

পরিণতি

• নড়াচড়া করার সময়, যে কোনও চিত্র একটি সমান চিত্রে ম্যাপ করা হয়.

সমান্তরাল স্থানান্তর

• একটি প্রদত্ত ভেক্টর হতে দিন। সমান্তরাল স্থানান্তরএকটি ভেক্টরের উপর a হল সমতলের নিজের উপর একটি ম্যাপিং, যেখানে প্রতিটি বিন্দু M একটি বিন্দু M1 এ ম্যাপ করা হয় যাতে ভেক্টর MM1 ভেক্টর a এর সমান

উপপাদ্য নং 4

• সমান্তরাল স্থানান্তর একটি আন্দোলন, i.e. বিমানের একটি ম্যাপিং যা দূরত্ব রক্ষা করে।

উপপাদ্য নং 4

• প্রদত্ত: সমান্তরালভাবে a এর স্থানান্তরিত হলে, M এবং N M1 এবং N1 এ প্রদর্শিত হয়।

• প্রমাণ করুন: MN=M1N1।

প্রমাণ

• কারণ MM1=a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 এবং MM1=NN1 => MM1NN1-সমান্তরালগ্রাম =>MN=M1N1, অর্থাৎ M এবং N এর মধ্যে দূরত্ব = M1 এবং N1 এর মধ্যে দূরত্ব।

• এইভাবে, সমান্তরাল অনুবাদ বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব বজায় রাখে এবং তাই গতির প্রতিনিধিত্ব করে।

পালা

সমতল ঘোরানোর মাধ্যমেএকটি কোণে O বিন্দুর চারপাশে কসমতলের নিজের উপর একটি ম্যাপিং বলা হয়, যেখানে প্রতিটি বিন্দু M একটি বিন্দু M1 এ ম্যাপ করা হয় যাতে OM = OM1 এবং কোণ MOM1 এর সমান ক.এই ক্ষেত্রে, বিন্দু O জায়গায় থাকে, যেমন নিজের মধ্যে প্রদর্শিত হয়, এবং অন্যান্য সমস্ত বিন্দু একই দিকে O বিন্দুর চারপাশে ঘোরে - ঘড়ির কাঁটার দিকে বা ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে।

উপপাদ্য নং 5

• বাঁক হল আন্দোলন, অর্থাৎ বিমানের একটি ম্যাপিং যা দূরত্ব রক্ষা করে।

উপপাদ্য নং 5

• দেওয়া হয়েছে: O - ঘূর্ণনের কেন্দ্র d-ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণন কোণ

• প্রমাণ করুন: MN=M1N1

প্রমাণ

• ধরা যাক এই ঘূর্ণনের সাথে, M এবং N কে M1 এবং N1 এ ম্যাপ করা হয়েছে।

• ত্রিভুজ OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, কোণ MON=কোণ M1ON1)। এই সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে MN=M1N1, অর্থাৎ M এবং N এর মধ্যে দূরত্ব = M1 এবং N1 এর মধ্যে দূরত্ব।

• একটি ঘূর্ণন বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব বজায় রাখে এবং তাই আন্দোলনের প্রতিনিধিত্ব করে।

দেওয়া হয়েছে: কোণ AOB এবং কোণ A1O1B1।

• দেওয়া হয়েছে: কোণ AOB এবং কোণ A1O1B1।

• প্রমাণ করুন যে নড়াচড়া করার সময়, একটি কোণ তার সমান একটি কোণে ম্যাপ করা হয়।

সমাধান

একটি প্রদত্ত আন্দোলনের জন্য, কোণ AOB কে A1O1B1 কোণে ম্যাপ করা যাক এবং A.O.b পয়েন্টগুলি যথাক্রমে A1, O1, B1 বিন্দুতে ম্যাপ করা হয়েছে। যেহেতু চলাচলের সময় দূরত্ব বজায় রাখা হয়, তাহলে OA = O1A1, OB = O1B1। যদি কোণ AOB বিকশিত না হয়, তাহলে ত্রিভুজ AOB এবং A1O1B1 তিনটি বাহুর সমান, এবং তাই, কোণ AOB = কোণ A1O1B1। যদি কোণ AOB উন্মোচিত হয়, তাহলে কোণ A1O1B1ও উন্মোচিত হয়, তাই তারা সমান।

• সমস্যা নং 2

সমাধান

• ত্রিভুজ ABC এবং A1B1C1 তিনটি বাহুর সমান। অতএব, একটি ওভারলে আছে, অর্থাৎ, একটি আন্দোলন যেখানে পয়েন্ট A, B এবং C যথাক্রমে A1, B1 এবং C1 বিন্দুতে ম্যাপ করা হয়। এই গতিই একমাত্র আন্দোলন যেখানে A, B এবং C বিন্দুতে ম্যাপ করা হয়। A1B1 এবং C1.

• টাস্ক নং 3। ত্রিভুজ ABC, ভেক্টর MM1 আঁকুন, যা ত্রিভুজের কোনো বাহুর সমান্তরাল নয় এবং ভেক্টর a, পাশের AC-এর সমান্তরাল। ত্রিভুজ A1B1C1 গঠন করুন, যা সমান্তরাল স্থানান্তর দ্বারা ত্রিভুজ ABC থেকে প্রাপ্ত হয়: ক) ভেক্টর MM1 থেকে; b) ভেক্টর ক.

• প্রদত্ত:

• সমাধান

খ) সমাধান

• খ) সমাধান

• সম্পত্তি 1 (সরলতা সংরক্ষণ)। সরানোর সময়, সরলরেখায় থাকা তিনটি বিন্দু সরলরেখায় থাকা তিনটি বিন্দুতে যায় এবং অন্য দুটির মধ্যে থাকা একটি বিন্দু দুটি অন্য বিন্দুর চিত্রের মধ্যে থাকা একটি বিন্দুতে যায় (তাদের আপেক্ষিক অবস্থানের ক্রম সংরক্ষিত থাকে)।

• বৈশিষ্ট্য 2. গতির সময় একটি অংশের চিত্র একটি সেগমেন্ট।

• বৈশিষ্ট্য 3. গতির সময় সরলরেখার চিত্র একটি সরলরেখা, এবং একটি রশ্মির চিত্র একটি রশ্মি।

• বৈশিষ্ট্য 4. নড়াচড়া করার সময়, একটি ত্রিভুজের চিত্রটি এটির সমান একটি ত্রিভুজ, একটি সমতলের চিত্রটি একটি সমতল, এবং সমান্তরাল সমতলগুলি সমান্তরাল সমতলগুলিতে ম্যাপ করা হয় এবং একটি অর্ধ-বিমানটির চিত্রটি একটি অর্ধ-বিমান।

• বৈশিষ্ট্য 5. নড়াচড়া করার সময়, একটি টেট্রাহেড্রনের চিত্রটি একটি টেট্রাহেড্রন, মহাকাশের চিত্রটি সমস্ত স্থান, অর্ধ-স্থানের চিত্রটি অর্ধ-স্থান।

• সম্পত্তি 6. চলন্ত অবস্থায়, কোণগুলি সংরক্ষিত হয়, i.e. প্রতিটি কোণ একই ধরণের এবং একই মাত্রার একটি কোণে ম্যাপ করা হয়। একই ডাইহেড্রাল কোণের ক্ষেত্রেও সত্য।

• সংজ্ঞা। সমান্তরাল অনুবাদ, বা, সংক্ষেপে, একটি চিত্রের অনুবাদ হল এর প্রদর্শন যাতে এর সমস্ত বিন্দু সমান দূরত্ব দ্বারা একই দিকে স্থানান্তরিত হয়, যেমন চিত্রের প্রতিটি দুটি বিন্দু X এবং Y স্থানান্তর করার সময়, XX" = YY" বিন্দু X" এবং Y" যুক্ত করা হয়।

• স্থানান্তরের প্রধান সম্পত্তি:

• সমান্তরাল স্থানান্তর দূরত্ব এবং দিকনির্দেশ সংরক্ষণ করে, যেমন X"Y" = XY.

• এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে সমান্তরাল স্থানান্তর হল একটি আন্দোলন যা দিকনির্দেশ সংরক্ষণ করে এবং বিপরীতভাবে, যে আন্দোলন দিকটি সংরক্ষণ করে তা হল সমান্তরাল স্থানান্তর।

• এটি এই বিবৃতিগুলি থেকেও অনুসরণ করে যে সমান্তরাল স্থানান্তরের রচনাটি একটি সমান্তরাল স্থানান্তর।

• একটি চিত্রের সমান্তরাল অনুবাদ এক জোড়া সংশ্লিষ্ট বিন্দু নির্দিষ্ট করে নির্দিষ্ট করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি নির্দিষ্ট করা হয় যে কোন বিন্দু A" একটি প্রদত্ত বিন্দু A তে যায়, তাহলে এই স্থানান্তরটি ভেক্টর AA দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়", এবং এর মানে হল যে সমস্ত বিন্দু একই ভেক্টর দ্বারা স্থানান্তরিত হয়, যেমন XX" = AA" সমস্ত X পয়েন্টের জন্য।

• O এর সাপেক্ষে একটি চিত্রের কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য হল এই চিত্রটির একটি ম্যাপিং যা এর প্রতিটি বিন্দুকে O এর সাথে একটি বিন্দু প্রতিসমের সাথে যুক্ত করে।

• মূল সম্পত্তি: কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য দূরত্ব রক্ষা করে, কিন্তু দিক বিপরীত করে। অন্য কথায়, F চিত্রের যেকোনো দুটি বিন্দু X এবং Y বিন্দু X" এবং Y" এর সাথে মিলে যায় যেমন X"Y" = -XY।

• এটি অনুসরণ করে যে কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য হল এমন একটি আন্দোলন যা বিপরীত দিকে দিক পরিবর্তন করে এবং এর বিপরীতে, একটি আন্দোলন যা বিপরীত দিকে দিক পরিবর্তন করে তা হল কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য।

• একটি চিত্রের কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যটি বিদ্যমান বিন্দুগুলির এক জোড়া নির্দিষ্ট করে নির্দিষ্ট করা হয়: যদি বিন্দু A-কে A-তে ম্যাপ করা হয়", তাহলে প্রতিসাম্যের কেন্দ্র হল AA অংশের মধ্যবিন্দু"।

• একটি চিত্রের ম্যাপিং, যেখানে এর প্রতিটি বিন্দু একটি প্রদত্ত সমতলের সাপেক্ষে একটি বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এই সমতলে চিত্রের প্রতিফলন (বা আয়না প্রতিসাম্য) বলা হয়।

• বিন্দু A এবং A"কে একটি সমতলের সাপেক্ষে প্রতিসম বলা হয় যদি AA" অংশটি এই সমতলে লম্ব হয় এবং এটি দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয়। সমতলে যেকোন বিন্দু (এই সমতলের সাপেক্ষে নিজেকে প্রতিসম মনে করা হয়।

• উপপাদ্য 1. সমতলে প্রতিফলন দূরত্ব রক্ষা করে এবং তাই, গতি।

• উপপাদ্য 2. একটি গতি যেখানে একটি নির্দিষ্ট সমতলের সমস্ত বিন্দু গতিহীন হয় এই সমতলে একটি প্রতিফলন বা একটি পরিচয় ম্যাপিং।

• মিরর প্রতিসাম্য এক জোড়া সংশ্লিষ্ট বিন্দু নির্দিষ্ট করে নির্দিষ্ট করা হয় যেগুলি প্রতিসাম্যের সমতলে থাকে না: প্রতিসাম্যের সমতল এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী সেগমেন্টের মাঝখান দিয়ে যায়, এটির সাথে লম্ব।

• একটি চিত্রকে ঘূর্ণনের একটি চিত্র বলা হয় যদি এমন একটি রেখা থাকে যার চারপাশে যে কোনও ঘূর্ণন চিত্রটিকে নিজের সাথে একত্রিত করে, অন্য কথায়, এটিকে নিজের সাথে মানচিত্র করে। এই রেখাটিকে চিত্রের ঘূর্ণনের অক্ষ বলা হয়। ঘূর্ণনের সহজতম দেহগুলি: একটি বল, একটি ডান বৃত্তাকার সিলিন্ডার, একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু।

একটি রেখার চারপাশে ঘূর্ণনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হল 180( দ্বারা একটি ঘূর্ণন। যখন একটি রেখার চারদিকে 180 দ্বারা ঘোরানো হয় (প্রতিটি বিন্দু A একটি বিন্দু A"তে যায় যেমন রেখাটি AA রেখার লম্ব" এবং এটিকে ছেদ করে মাঝামাঝি। এই ধরনের বিন্দু A এবং A" কে বলা হয় যে তারা a অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসাম্য। অতএব, 180 এর ঘূর্ণন (একটি সরল রেখার চারপাশে স্থানটিতে অক্ষীয় প্রতিসাম্য বলা হয়।