সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

আমরা বিষয় অধ্যয়ন অবিরত সমীকরণের সমাধান" আমরা ইতিমধ্যে রৈখিক সমীকরণের সাথে পরিচিত হয়েছি এবং এখন আমরা পরিচিত হতে যাচ্ছি দ্বিঘাত সমীকরণ.

প্রথমে, আমরা বিশ্লেষণ করব একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কী, এটি কীভাবে লেখা হয় সাধারণ দৃষ্টিকোণ, এবং সম্পর্কিত সংজ্ঞা দিন। এর পরে, উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা কীভাবে অসম্পূর্ণ সমস্যাগুলি সমাধান করা হয় তা বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব। দ্বিঘাত সমীকরণ. এর পরে, আসুন সম্পূর্ণ সমীকরণ সমাধানের দিকে এগিয়ে যাই, শিকড়ের সূত্র পান, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারীর সাথে পরিচিত হই এবং সাধারণ উদাহরণগুলির সমাধান বিবেচনা করি। অবশেষে, আমরা শিকড় এবং সহগ মধ্যে সংযোগ ট্রেস.

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

দ্বিঘাত সমীকরণ কি? তাদের প্রকার

প্রথমে আপনাকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কী তা পরিষ্কারভাবে বুঝতে হবে। অতএব, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞা, সেইসাথে এর সাথে সম্পর্কিত সংজ্ঞা দিয়ে দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলা যৌক্তিক। এর পরে, আপনি প্রধান ধরণের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি বিবেচনা করতে পারেন: হ্রাস এবং অ-হ্রাসিত, পাশাপাশি সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ সমীকরণগুলি।

দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞা এবং উদাহরণ

সংজ্ঞা।

দ্বিঘাত সমীকরণফর্মের একটি সমীকরণ a x 2 + b x+c = 0, যেখানে x একটি পরিবর্তনশীল, a , b এবং c কিছু সংখ্যা এবং a শূন্য থেকে আলাদা।

এখনই বলা যাক যে দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে প্রায়শই দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ বলা হয়। এর কারণ হল দ্বিঘাত সমীকরণ বীজগণিত সমীকরণদ্বিতীয় ডিগ্রী.

শব্দযুক্ত সংজ্ঞা আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ দিতে দেয়। তাই 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, ইত্যাদি। দ্বিঘাত সমীকরণ।

সংজ্ঞা।

সংখ্যা a, b এবং c বলা হয় দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ a x 2 + b x + c \u003d 0, এবং a কে বলা হয় প্রথম, বা সিনিয়র, বা x 2-এ সহগ, b হল দ্বিতীয় সহগ, বা x-এ সহগ, এবং c হল একটি মুক্ত সদস্য।

উদাহরণস্বরূপ, 5 x 2 −2 x−3=0 ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ধরা যাক, এখানে অগ্রণী সহগ হল 5, দ্বিতীয় সহগটি হল −2 এবং মুক্ত পদটি হল −3। লক্ষ্য করুন যে যখন b এবং/অথবা c সহগ নেতিবাচক হয়, যেমনটি এইমাত্র দেওয়া উদাহরণে, তখন সংক্ষিপ্ত রূপ 5 x 2 −2 x−3=0 ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ লেখা, এবং 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 নয়।

এটি লক্ষণীয় যে যখন a এবং / অথবা b সহগ 1 বা −1 এর সমান হয়, তখন তারা সাধারণত দ্বিঘাত সমীকরণের স্বরলিপিতে স্পষ্টভাবে উপস্থিত থাকে না, যা এই ধরনের স্বরলিপির বিশেষত্বের কারণে হয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণে y 2 −y+3=0, অগ্রণী সহগ হল একটি, এবং y তে সহগ হল −1৷

হ্রাসকৃত এবং অ-হ্রাসিত দ্বিঘাত সমীকরণ

অগ্রণী সহগের মানের উপর নির্ভর করে, হ্রাসকৃত এবং অ-হ্রাসিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে আলাদা করা হয়। আমাদের সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া যাক.

সংজ্ঞা।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে অগ্রণী সহগ 1 হয় তাকে বলা হয় হ্রাস দ্বিঘাত সমীকরণ. অন্যথায়, দ্বিঘাত সমীকরণ হয় অপরিবর্তিত.

অনুসারে এই সংজ্ঞা, দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, ইত্যাদি। - হ্রাস করা হয়েছে, তাদের প্রতিটিতে প্রথম সহগ একের সমান। এবং 5 x 2 −x−1=0, ইত্যাদি। - অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণ, তাদের অগ্রণী সহগ 1 থেকে আলাদা।

যেকোনো অ-হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে, এর উভয় অংশকে অগ্রণী সহগ দ্বারা ভাগ করে, আপনি হ্রাসকৃত সমীকরণে যেতে পারেন। এই ক্রিয়াটি একটি সমতুল্য রূপান্তর, অর্থাৎ, এইভাবে প্রাপ্ত হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণটির মূল অ-হ্রাসিত দ্বিঘাত সমীকরণের মতো একই শিকড় রয়েছে, বা এটির মতো, কোনও শিকড় নেই।

একটি অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে হ্রাসকৃত সমীকরণে কীভাবে রূপান্তর করা হয় তার একটি উদাহরণ নেওয়া যাক।

উদাহরণ।

3 x 2 +12 x−7=0 সমীকরণ থেকে, সংশ্লিষ্ট হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণে যান।

সমাধান।

অগ্রণী সহগ 3 দ্বারা মূল সমীকরণের উভয় অংশের বিভাজন সম্পাদন করা আমাদের পক্ষে যথেষ্ট, এটি শূন্য নয়, তাই আমরা এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করতে পারি। আমাদের আছে (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , যা (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , এবং (3) এর মতো :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , কোথা থেকে। তাই আমরা কম করা দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছি, যা মূল সমীকরণের সমতুল্য।

উত্তর:

সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞায় a≠0 শর্ত রয়েছে। একটি x 2 +b x+c=0 সমীকরণটি ঠিক বর্গাকার হওয়ার জন্য এই শর্তটি প্রয়োজনীয়, যেহেতু a=0 এর সাথে এটি আসলে b x+c=0 ফর্মের একটি রৈখিক সমীকরণে পরিণত হয়।

b এবং c সহগগুলির জন্য, তারা আলাদাভাবে এবং একসাথে উভয়ই শূন্যের সমান হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণকে অসম্পূর্ণ বলা হয়।

সংজ্ঞা।

দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 +b x+c=0 বলা হয় অসম্পূর্ণ, যদি কমপক্ষে একটি সহগ b , c শূন্যের সমান হয়।

তার পালা

সংজ্ঞা।

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পূর্ণ করুনএকটি সমীকরণ যেখানে সমস্ত সহগ শূন্য থেকে আলাদা।

এই নামগুলি সুযোগ দ্বারা দেওয়া হয় না. নিম্নলিখিত আলোচনা থেকে এটি স্পষ্ট হবে।

যদি b সহগ শূন্যের সমান হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণটি x 2 +0 x+c=0 আকার ধারণ করে এবং এটি একটি x 2 +c=0 সমীকরণের সমতুল্য। যদি c=0 , অর্থাৎ, দ্বিঘাত সমীকরণটির ফর্ম a x 2 +b x+0=0 থাকে, তাহলে এটিকে x 2 +b x=0 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। এবং b=0 এবং c=0 দিয়ে আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ a·x 2 =0 পাই। ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে পৃথক যে তাদের বাম দিকের পরিবর্তনশীল x সহ একটি পদ, বা একটি মুক্ত পদ, বা উভয়ই থাকে না। তাই তাদের নাম - অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

সুতরাং x 2 +x+1=0 এবং −2 x 2 −5 x+0,2=0 হল সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ, এবং x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 হল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

এটি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের তথ্য থেকে অনুসরণ করে যা আছে তিন ধরনের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

• a x 2 =0 , সহগ b=0 এবং c=0 এর সাথে মিলে যায়;
• a x 2 +c=0 যখন b=0 ;
• এবং a x 2 +b x=0 যখন c=0।

আসুন আমরা বিশ্লেষণ করি কিভাবে এই ধরনের প্রতিটির অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়।

a x 2 \u003d 0

চলুন শুরু করা যাক অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করে যেখানে b এবং c সহগ শূন্যের সমান, অর্থাৎ, x 2 =0 ফর্মের সমীকরণ সহ। সমীকরণ a·x 2 =0 সমীকরণ x 2 =0 এর সমতুল্য, যা এর উভয় অংশকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা a দ্বারা ভাগ করে মূল থেকে পাওয়া যায়। স্পষ্টতই, x 2 \u003d 0 সমীকরণের মূল শূন্য, যেহেতু 0 2 \u003d 0। এই সমীকরণটির অন্য কোনো মূল নেই, যা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, প্রকৃতপক্ষে, যে কোনো অ-শূন্য সংখ্যা p-এর জন্য, অসমতা p 2 >0 ঘটে, যা বোঝায় যে p≠0-এর জন্য, সমতা p 2 =0 কখনোই অর্জিত হয় না।

সুতরাং, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 \u003d 0 এর একটি একক মূল x \u003d 0 আছে।

উদাহরণ হিসেবে, আমরা একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ −4·x 2 =0 এর সমাধান দিই। এটি সমীকরণ x 2 \u003d 0 এর সমতুল্য, এর একমাত্র মূল হল x \u003d 0, তাই মূল সমীকরণটির একটি একক মূল শূন্য রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে একটি সংক্ষিপ্ত সমাধান নিম্নরূপ জারি করা যেতে পারে:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0।

a x 2 +c=0

এখন বিবেচনা করুন কিভাবে অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়, যেখানে b সহগ শূন্যের সমান এবং c≠0, অর্থাৎ, a x 2 +c=0 ফর্মের সমীকরণ। আমরা জানি যে বিপরীত চিহ্ন সহ সমীকরণের এক পাশ থেকে অন্য দিকে পদের স্থানান্তর, সেইসাথে একটি অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষের বিভাজন একটি সমতুল্য সমীকরণ দেয়। অতএব, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 +c=0 এর নিম্নলিখিত সমতুল্য রূপান্তরগুলি করা যেতে পারে:

• c ডানদিকে সরান, যা সমীকরণটিকে x 2 =−c দেয়,
• এবং এর উভয় অংশকে a দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই।

ফলস্বরূপ সমীকরণটি আমাদেরকে এর শিকড় সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে দেয়। a এবং c এর মানের উপর নির্ভর করে, রাশিটির মান ঋণাত্মক হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি a=1 এবং c=2 , তারপর ) বা ধনাত্মক, (উদাহরণস্বরূপ, যদি a=−2 এবং c=6) , তারপর ), এটি শূন্যের সমান নয়, কারণ c≠0 শর্ত অনুসারে। আমরা পৃথকভাবে মামলা বিশ্লেষণ করব এবং .

যদি , তাহলে সমীকরণটির কোনো শিকড় নেই। এই বিবৃতিটি যে কোন সংখ্যার বর্গ একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা। এটি থেকে অনুসৃত হয় যে, যখন, তারপর কোন সংখ্যার জন্য p সমতা সত্য হতে পারে না।

যদি , তাহলে সমীকরণের মূলের সাথে পরিস্থিতি ভিন্ন। এই ক্ষেত্রে, যদি আমরা সম্পর্কে স্মরণ করি, তাহলে সমীকরণের মূল অবিলম্বে সুস্পষ্ট হয়ে ওঠে, এটি সংখ্যা, যেহেতু। এটা অনুমান করা সহজ যে সংখ্যাটিও সমীকরণের মূল, প্রকৃতপক্ষে,। এই সমীকরণের অন্য কোন শিকড় নেই, যা দেখানো যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, দ্বন্দ্ব দ্বারা। চল এটা করি.

আসুন x 1 এবং −x 1 হিসাবে সমীকরণের ঠিক স্বরযুক্ত মূলগুলিকে বোঝাই। ধরুন যে সমীকরণটিতে নির্দেশিত মূল x 1 এবং −x 1 থেকে আলাদা আরেকটি মূল x 2 আছে। এটা জানা যায় যে এর মূলের x এর পরিবর্তে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে সমীকরণটিকে সত্যিকারের সংখ্যাসূচক সমতায় পরিণত হয়। x 1 এবং −x 1 এর জন্য আমাদের আছে, এবং x 2 এর জন্য আমাদের আছে। সাংখ্যিক সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদেরকে সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতার মেয়াদ-দ্বারা বিয়োগ করার অনুমতি দেয়, তাই সমতাগুলির সংশ্লিষ্ট অংশগুলিকে বিয়োগ করলে x 1 2 − x 2 2 =0 পাওয়া যায়। সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদেরকে (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 হিসাবে সমতা পুনরায় লিখতে দেয়। আমরা জানি যে দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্যের সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হয়। অতএব, এটি প্রাপ্ত সমতা থেকে অনুসরণ করে যে x 1 −x 2 =0 এবং/অথবা x 1 +x 2 =0, যা একই, x 2 =x 1 এবং/অথবা x 2 = −x 1। সুতরাং আমরা একটি দ্বন্দ্বে এসেছি, যেহেতু শুরুতে আমরা বলেছিলাম যে x 2 সমীকরণের মূল x 1 এবং −x 1 থেকে আলাদা। এটি প্রমাণ করে যে সমীকরণটির এবং ছাড়া অন্য কোন মূল নেই।

এই অনুচ্ছেদে তথ্য সংক্ষিপ্ত করা যাক. অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 +c=0 সমীকরণের সমতুল্য, যা

• কোন শিকড় নেই যদি,
• দুটি শিকড় আছে এবং যদি।

a·x 2 +c=0 ফর্মের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করুন।

চলুন শুরু করা যাক দ্বিঘাত সমীকরণ 9 x 2 +7=0 দিয়ে। মুক্ত শব্দটিকে সমীকরণের ডানদিকে স্থানান্তর করার পরে, এটি 9·x 2 =−7 রূপ নেবে। 9 দ্বারা প্রাপ্ত সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করলে, আমরা পৌঁছাই। যেহেতু ডানদিকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পাওয়া যায়, এই সমীকরণটির কোনো মূল নেই, তাই, মূল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ 9 x 2 +7=0 এর কোনো মূল নেই।

আরো একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ −x 2 +9=0 সমাধান করি। আমরা নয়টি ডানদিকে স্থানান্তর করি: -x 2 \u003d -9। এখন আমরা উভয় অংশকে −1 দ্বারা ভাগ করি, আমরা x 2 =9 পাই। ডান দিকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে, যা থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছাই বা। আমরা চূড়ান্ত উত্তরটি লিখার পরে: অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ −x 2 +9=0 এর দুটি মূল x=3 বা x=−3 আছে।

a x 2 + b x = 0

এটি c=0 এর জন্য শেষ প্রকারের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানের সাথে মোকাবিলা করতে রয়ে গেছে। একটি x 2 + b x=0 ফর্মের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ আপনাকে সমাধান করতে দেয় ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি. স্পষ্টতই, আমরা করতে পারি, সমীকরণের বাম দিকে অবস্থিত, যার জন্য বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর x বের করা যথেষ্ট। এটি আমাদেরকে আসল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে x·(a·x+b)=0 ফর্মের সমতুল্য সমীকরণে যেতে দেয়। এবং এই সমীকরণটি x=0 এবং একটি x+b=0 দুটি সমীকরণের সেটের সমতুল্য, যার শেষটি রৈখিক এবং একটি মূল x=−b/a।

সুতরাং, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 +b x=0 এর দুটি মূল x=0 এবং x=−b/a।

উপাদান একত্রিত করতে, আমরা একটি নির্দিষ্ট উদাহরণের সমাধান বিশ্লেষণ করব।

উদাহরণ।

সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

আমরা বন্ধনী থেকে x বের করি, এটি সমীকরণ দেয়। এটি x=0 এবং দুটি সমীকরণের সমতুল্য। আমরা ফলস্বরূপ রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করি: , এবং মিশ্র সংখ্যাটিকে দ্বারা ভাগ করে সাধারণ ভগ্নাংশ, আমরা খুঁজি . অতএব, মূল সমীকরণের মূলগুলি হল x=0 এবং .

প্রয়োজনীয় অনুশীলন করার পরে, এই জাতীয় সমীকরণগুলির সমাধানগুলি সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে:

উত্তর:

x=0 ,।

বৈষম্যমূলক, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার জন্য, একটি মূল সূত্র আছে। আসুন লিখে রাখি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র: , কোথায় D=b 2 −4 a c- তথাকথিত একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী. স্বরলিপি মূলত যে মানে.

মূল সূত্রটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়েছিল এবং দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে এটি কীভাবে প্রয়োগ করা হয় তা জানা দরকারী। এর এই মোকাবেলা করা যাক.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের উৎপত্তি

আমাদেরকে দ্বিঘাত সমীকরণ a·x 2 +b·x+c=0 সমাধান করতে হবে। আসুন কিছু সমতুল্য রূপান্তর সঞ্চালন করি:

• আমরা এই সমীকরণের উভয় অংশকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা a দ্বারা ভাগ করতে পারি, ফলস্বরূপ আমরা হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ পাই।
• এখন একক আউট সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র এর বাম দিকে: . এর পরে, সমীকরণটি রূপ নেবে।
• এই পর্যায়ে, বিপরীত চিহ্ন দিয়ে শেষ দুটি পদের ডানদিকে স্থানান্তর করা সম্ভব, আমাদের আছে।
• এবং এর ডান দিকে অভিব্যক্তি রূপান্তর করা যাক: .

ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণে পৌঁছেছি, যা মূল দ্বিঘাত সমীকরণ a·x 2 +b·x+c=0 এর সমতুল্য।

আমরা বিশ্লেষণ করার সময় পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে অনুরূপ সমীকরণগুলি ইতিমধ্যে সমাধান করেছি। এটি আমাদের সমীকরণের শিকড় সম্পর্কিত নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি আঁকতে দেয়:

• যদি , তাহলে সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই;
• যদি , তাহলে সমীকরণটির ফর্ম আছে , অতএব, , যেখান থেকে এর একমাত্র মূলটি দৃশ্যমান;
• if , then or , যা or এর সমান, অর্থাৎ সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে।

এইভাবে, সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি, এবং সেইজন্য মূল দ্বিঘাত সমীকরণ, ডান দিকের অভিব্যক্তির চিহ্নের উপর নির্ভর করে। পরিবর্তে, এই রাশির চিহ্নটি লবের চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেহেতু হর 4 a 2 সর্বদা ধনাত্মক, অর্থাৎ, b 2 −4 a c রাশিটির চিহ্ন। এই রাশিটিকে b 2 −4 a c বলা হয় একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারীএবং চিঠি দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে ডি. এখান থেকে, বৈষম্যকারীর সারমর্মটি স্পষ্ট - এর মান এবং চিহ্ন দ্বারা, দ্বিঘাত সমীকরণের আসল শিকড় আছে কিনা এবং যদি তাই হয় তবে তাদের সংখ্যা কী - এক বা দুটি।

আমরা সমীকরণে ফিরে যাই, বৈষম্যকারীর স্বরলিপি ব্যবহার করে এটি পুনরায় লিখি: . এবং আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি:

• যদি ডি<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• যদি D=0, তাহলে এই সমীকরণের একটি একক মূল আছে;
• পরিশেষে, যদি D>0 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে বা , যেটিকে আবার আকারে বা আকারে লেখা যেতে পারে, এবং ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ প্রসারিত ও হ্রাস করার পরে, আমরা পাই।

সুতরাং আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলির জন্য সূত্রগুলি বের করেছি, তারা দেখতে , যেখানে বৈষম্যকারী Dটি সূত্র D=b 2 −4 a c দ্বারা গণনা করা হয়।

তাদের সাহায্যে, একটি ইতিবাচক বৈষম্যকারীর সাথে, আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় প্রকৃত মূল গণনা করতে পারেন। যখন বৈষম্যকারী শূন্যের সমান হয়, তখন উভয় সূত্র দ্বিঘাত সমীকরণের একমাত্র সমাধানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একই মূল মান দেয়। এবং একটি নেতিবাচক বৈষম্যের সাথে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করার সময়, আমরা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে বর্গমূল বের করার মুখোমুখি হই, যা আমাদেরকে অতিক্রম করে এবং স্কুলের পাঠ্যক্রম. একটি নেতিবাচক বৈষম্যের সাথে, দ্বিঘাত সমীকরণের কোন প্রকৃত মূল নেই, তবে একটি জোড়া আছে জটিল অনুবন্ধী roots, যা আমরা প্রাপ্ত একই মূল সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে।

মূল সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

অনুশীলনে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, আপনি অবিলম্বে মূল সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন, যার সাহায্যে তাদের মানগুলি গণনা করা যায়। কিন্তু এটি জটিল শিকড় খোঁজার বিষয়ে আরও বেশি।

যাইহোক, একটি স্কুল বীজগণিত কোর্সে, এটি সাধারণত হয় আমরা কথা বলছিজটিল সম্পর্কে নয়, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত মূল সম্পর্কে। এই ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলির জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করার আগে প্রথমে বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করার পরামর্শ দেওয়া হয়, নিশ্চিত করুন যে এটি অ-নেতিবাচক (অন্যথায়, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে সমীকরণটির কোনও প্রকৃত মূল নেই), এবং তারপরে শিকড়ের মান গণনা করুন।

উপরের যুক্তি আমাদের লিখতে অনুমতি দেয় একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম. দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 + b x + c \u003d 0 সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:

• বৈষম্যমূলক সূত্র D=b 2 −4 a c ব্যবহার করে এর মান গণনা করুন;
• উপসংহারে পৌঁছান যে দ্বিঘাত সমীকরণের কোন প্রকৃত মূল নেই যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়;
• সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের একমাত্র মূল গণনা করুন যদি D=0 হয়;
• বৈষম্যকারী ধনাত্মক হলে মূল সূত্র ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি প্রকৃত মূল খুঁজুন।

এখানে আমরা শুধুমাত্র লক্ষ্য করি যে বৈষম্যকারী শূন্যের সমান হলে, সূত্রটিও ব্যবহার করা যেতে পারে, এটি একই মান দেবে।

আপনি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম প্রয়োগের উদাহরণগুলিতে যেতে পারেন।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

ধনাত্মক, ঋণাত্মক এবং শূন্য বৈষম্য সহ তিনটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান বিবেচনা করুন। তাদের সমাধানের সাথে মোকাবিলা করার পরে, সাদৃশ্য দ্বারা অন্য কোন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা সম্ভব হবে। চল শুরু করি.

উদাহরণ।

x 2 +2 x−6=0 সমীকরণের মূল নির্ণয় কর।

সমাধান।

এই ক্ষেত্রে, আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের নিম্নলিখিত সহগ রয়েছে: a=1 , b=2 এবং c=−6। অ্যালগরিদম অনুসারে, আপনাকে প্রথমে বৈষম্যকারী গণনা করতে হবে, এর জন্য আমরা বৈষম্যমূলক সূত্রে নির্দেশিত a, b এবং c প্রতিস্থাপন করি, আমাদের আছে D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. যেহেতু 28>0, অর্থাৎ, বৈষম্যকারীটি শূন্যের চেয়ে বড়, দ্বিঘাত সমীকরণটির দুটি বাস্তব মূল রয়েছে। শিকড়ের সূত্র ধরে সেগুলো খুঁজে বের করা যাক, আমরা পাই, এখানে আমরা করার মাধ্যমে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিগুলোকে সরলীকরণ করতে পারি মূলের চিহ্ন বের করাভগ্নাংশ হ্রাস দ্বারা অনুসরণ:

উত্তর:

এর পরবর্তী সাধারণ উদাহরণে যাওয়া যাক।

উদাহরণ।

দ্বিঘাত সমীকরণ −4 x 2 +28 x−49=0 সমাধান কর।

সমাধান।

আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে বের করে শুরু করি: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. অতএব, এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি একক মূল রয়েছে, যা আমরা পাই, অর্থাৎ,

উত্তর:

x=3.5।

এটা নেতিবাচক বৈষম্য সঙ্গে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান বিবেচনা অবশেষ.

উদাহরণ।

5 y 2 +6 y+2=0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

এখানে দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ রয়েছে: a=5 , b=6 এবং c=2। এই মানগুলিকে বৈষম্যমূলক সূত্রে প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. বৈষম্যকারী নেতিবাচক, অতএব, এই দ্বিঘাত সমীকরণের কোন প্রকৃত শিকড় নেই।

যদি জটিল শিকড় নির্দেশ করার প্রয়োজন হয়, তাহলে আমরা ব্যবহার করি পরিচিত সূত্রদ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়, এবং সঞ্চালন সঙ্গে কর্ম জটিল সংখ্যা :

উত্তর:

কোন প্রকৃত শিকড় নেই, জটিল শিকড় হল: .

আবারও, আমরা লক্ষ্য করি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী যদি নেতিবাচক হয়, তবে বিদ্যালয় সাধারণত অবিলম্বে উত্তর লিখে দেয়, যেখানে তারা নির্দেশ করে যে কোনও প্রকৃত শিকড় নেই এবং তারা জটিল শিকড় খুঁজে পায় না।

এমনকি দ্বিতীয় সহগগুলির জন্য মূল সূত্র

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র, যেখানে D=b 2 −4 a c আপনাকে আরও কমপ্যাক্ট সূত্র পেতে দেয় যা আপনাকে x-এ সমান সহগ সহ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে দেয় (অথবা কেবল 2 n এর মতো দেখায় এমন একটি সহগ দিয়ে , উদাহরণস্বরূপ, বা 14 ln5=2 7 ln5)। ওকে বের করে আসি।

ধরা যাক আমাদের একটি x 2 +2 n x + c=0 ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হবে। আমাদের পরিচিত সূত্র ব্যবহার করে এর শিকড় খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা বৈষম্যকারী গণনা করি D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), এবং তারপর আমরা মূল সূত্র ব্যবহার করি:

n 2 −a c-কে D 1 হিসাবে চিহ্নিত করুন (কখনও কখনও এটিকে D "ও বলা হয়)। তারপর দ্বিতীয় সহগ 2 n সহ বিবেচিত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্রটি রূপ নেয় , যেখানে D 1 = n 2 −a c।

এটা দেখা সহজ যে D=4·D 1 , বা D 1 =D/4। অন্য কথায়, ডি 1 বৈষম্যকারীর চতুর্থ অংশ। এটা স্পষ্ট যে D 1-এর চিহ্নটি D-এর চিহ্নের মতোই। অর্থাৎ, D 1 চিহ্নটিও দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতির সূচক।

সুতরাং, দ্বিতীয় সহগ 2 n সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন

• D 1 = n 2 −a·c গণনা করুন;
• যদি D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• যদি D 1 =0 হয়, তাহলে সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের একমাত্র মূল গণনা করুন;
• যদি D 1 >0 হয়, তাহলে সূত্র ব্যবহার করে দুটি বাস্তব মূল খুঁজুন।

এই অনুচ্ছেদে প্রাপ্ত মূল সূত্র ব্যবহার করে উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

উদাহরণ।

দ্বিঘাত সমীকরণ 5 x 2 −6 x−32=0 সমাধান কর।

সমাধান।

এই সমীকরণের দ্বিতীয় সহগটিকে 2·(−3) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অর্থাৎ, আপনি মূল দ্বিঘাত সমীকরণটি 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 আকারে পুনরায় লিখতে পারেন, এখানে a=5 , n=−3 এবং c=−32 , এবং এর চতুর্থ অংশটি গণনা করতে পারেন। বৈষম্যমূলক: D 1 = n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. যেহেতু এর মান ধনাত্মক, সমীকরণটির দুটি বাস্তব মূল রয়েছে। আমরা তাদের সংশ্লিষ্ট রুট সূত্র ব্যবহার করে খুঁজে পাই:

মনে রাখবেন যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করা সম্ভব ছিল, তবে এই ক্ষেত্রে, আরও গণনামূলক কাজ করতে হবে।

উত্তর:

দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্মের সরলীকরণ

কখনও কখনও, সূত্র ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের গণনা শুরু করার আগে, এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে ক্ষতি হয় না: "এই সমীকরণের ফর্মটি সহজ করা কি সম্ভব"? সম্মত হন যে গণনার পরিপ্রেক্ষিতে 1100 x 2 −400 x−600=0 এর চেয়ে দ্বিঘাত সমীকরণ 11 x 2 −4 x −6=0 সমাধান করা সহজ হবে।

সাধারণত, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্মের একটি সরলীকরণ কিছু সংখ্যা দ্বারা এর উভয় বাহুর গুণ বা ভাগ করে অর্জন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা 1100 x 2 −400 x −600=0 সমীকরণের একটি সরলীকরণ অর্জন করতে পেরেছি এবং উভয় পক্ষকে 100 দ্বারা ভাগ করেছিলাম।

একটি অনুরূপ রূপান্তর দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে সঞ্চালিত হয়, যার সহগগুলি নয়। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের উভয় অংশ সাধারণত এর সহগগুলির পরম মান দ্বারা বিভক্ত হয়। উদাহরণ স্বরূপ, 12 x 2 −42 x+48=0 দ্বিঘাত সমীকরণটি ধরা যাক। এর সহগগুলির পরম মান: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6। মূল দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় অংশকে 6 দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সমতুল্য দ্বিঘাত সমীকরণ 2 x 2 −7 x+8=0-এ পৌঁছাই।

এবং দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় অংশের গুণন সাধারণত ভগ্নাংশের সহগ থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য করা হয়। এই ক্ষেত্রে, গুণনটি এর সহগগুলির হরগুলির উপর সঞ্চালিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় অংশকে LCM(6, 3, 1)=6 দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে এটি একটি সহজ রূপ নেবে x 2 +4 x−18=0।

এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, আমরা লক্ষ্য করি যে প্রায় সবসময়ই দ্বিঘাত সমীকরণের অগ্রণী সহগ-এ বিয়োগ থেকে পরিত্রাণ পাওয়া যায় সমস্ত পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে, যা উভয় অংশকে −1 দ্বারা গুণ করার (বা ভাগ করার) সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণত দ্বিঘাত সমীকরণ −2·x 2 −3·x+7=0 থেকে 2·x 2 +3·x−7=0 সমাধানে যান।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল এবং সহগের মধ্যে সম্পর্ক

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্র একটি সমীকরণের শিকড়গুলিকে তার সহগগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে। শিকড়ের সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আপনি শিকড় এবং সহগগুলির মধ্যে অন্যান্য সম্পর্ক পেতে পারেন।

ফর্মের ভিয়েটা উপপাদ্য থেকে সবচেয়ে সুপরিচিত এবং প্রযোজ্য সূত্র এবং . বিশেষ করে, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য, মূলের যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগের সমান এবং মূলের গুণফল হল মুক্ত পদ। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণ 3 x 2 −7 x+22=0 আকারে, আমরা অবিলম্বে বলতে পারি যে এর মূলের যোগফল হল 7/3, এবং মূলের গুণফল হল 22/3।

ইতিমধ্যে লিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল এবং সহগগুলির মধ্যে আরও কয়েকটি সম্পর্ক পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের বর্গের সমষ্টিকে এর সহগগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে পারেন: .

গ্রন্থপঞ্জি।

• বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 8 কোষের জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; এড এস এ টেলিকভস্কি। - 16তম সংস্করণ। - এম. : শিক্ষা, 2008। - 271 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
• মর্ডকোভিচ এ.জি.বীজগণিত। ৮ম শ্রেণী। 2 pm এ অংশ 1. শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদের জন্য একটি পাঠ্যপুস্তক / এ. জি. মর্ডকোভিচ। - 11 তম সংস্করণ, মুছে ফেলা হয়েছে। - এম.: মেমোসিন, 2009। - 215 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-01155-2।

বৈষম্যকারী একটি অস্পষ্ট শব্দ। এই নিবন্ধটি একটি বহুপদীর বৈষম্যকারীর উপর ফোকাস করবে, যা আপনাকে একটি প্রদত্ত বহুপদীর বাস্তব সমাধান আছে কিনা তা নির্ধারণ করতে দেয়। একটি বর্গাকার বহুপদীর সূত্রটি বীজগণিত এবং বিশ্লেষণে স্কুল কোর্সে পাওয়া যায়। কিভাবে বৈষম্যকারী খুঁজে বের করতে? সমীকরণ সমাধানের জন্য কী প্রয়োজন?

একটি দ্বিঘাত বহুপদী বা দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ বলা হয় i * w^ 2 + j * w + k 0 এর সমান, যেখানে "i" এবং "j" যথাক্রমে প্রথম এবং দ্বিতীয় সহগ, "k" একটি ধ্রুবক, কখনও কখনও "ইন্টারসেপ্ট" এবং "w" বলা হয় একটি পরিবর্তনশীল। এর শিকড় হবে ভেরিয়েবলের সমস্ত মান যেখানে এটি একটি পরিচয়ে পরিণত হয়। এই ধরনের সমতা i, (w - w1) এবং (w - w2) 0 এর গুণফল হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, এটা স্পষ্ট যে যদি "i" সহগটি অদৃশ্য না হয়, তাহলে ফাংশনটির উপর x যদি w1 বা w2 মান নেয় তবেই বাম দিকটি শূন্য হয়ে যাবে। এই মানগুলি বহুপদকে শূন্যে সেট করার ফলাফল।

একটি চলকের মান খুঁজে পেতে যেখানে দ্বিঘাত বহুপদী অদৃশ্য হয়ে যায়, একটি সহায়ক নির্মাণ ব্যবহার করা হয়, এটির সহগের উপর নির্মিত এবং বৈষম্যকারী বলা হয়। এই নির্মাণ সূত্র D সমান j * j - 4 * i * k অনুযায়ী গণনা করা হয়। কেন এটি ব্যবহার করা হচ্ছে?

1. তিনি বলেন যদি বৈধ ফলাফল আছে.
2. সে তাদের গণনা করতে সাহায্য করে।

এই মানটি কীভাবে আসল শিকড়ের উপস্থিতি দেখায়:

• যদি এটি ধনাত্মক হয়, তাহলে আপনি বাস্তব সংখ্যার অঞ্চলে দুটি মূল খুঁজে পেতে পারেন।
• যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তবে উভয় সমাধান একই। আমরা বলতে পারি যে শুধুমাত্র একটি সমাধান আছে, এবং এটি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র থেকে।
• বৈষম্যকারী হলে শূন্যের চেয়ে কম, তাহলে বহুপদীর কোন প্রকৃত মূল নেই।

উপাদান ঠিক করার জন্য গণনার বিকল্প

যোগফলের জন্য (7 * w^2; 3 * w; 1) 0 এর সমানআমরা সূত্র 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 দ্বারা D গণনা করি আমরা -19 পাই। শূন্যের নিচে একটি বৈষম্যমূলক মান নির্দেশ করে যে বাস্তব লাইনে কোনো ফলাফল নেই।

যদি আমরা 2 * w^2 - 3 * w + 1 কে 0 এর সমতুল্য বিবেচনা করি, তারপর D হিসাবে গণনা করা হয় (-3) বর্গ বিয়োগ সংখ্যার গুণফল (4; 2; 1) এবং সমান 9 - 8, অর্থাৎ, 1। একটি ধনাত্মক মান প্রকৃত লাইনে দুটি ফলাফল নির্দেশ করে।

যদি আমরা যোগফল (w^2; 2 * w; 1) নিই এবং 0 এর সমান করি, D গণনা করা হয় দুই বর্গ বিয়োগ সংখ্যার গুণফল (4; 1; 1)। এই অভিব্যক্তিটি 4 - 4 এ সরলীকৃত হবে এবং শূন্যে পরিণত হবে। দেখা যাচ্ছে ফলাফল একই। আপনি যদি এই সূত্রটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন তবে এটি পরিষ্কার হয়ে যাবে যে এটি একটি "পূর্ণ বর্গ"। এর মানে হল যে সমতা আবার আকারে লেখা যেতে পারে (w + 1) ^ 2 = 0। এটা স্পষ্ট হয়ে উঠেছে যে এই সমস্যার ফলাফল হল "-1"। এমন পরিস্থিতিতে যেখানে D 0 এর সমান, সমতার বাম দিকটি সর্বদা "সমষ্টির বর্গ" সূত্র অনুসারে ভেঙে যেতে পারে।

রুট গণনা করার জন্য বৈষম্যকারী ব্যবহার করা

এই অক্জিলিয়ারী নির্মাণ শুধুমাত্র বাস্তব সমাধান সংখ্যা দেখায় না, কিন্তু তাদের খুঁজে পেতে সাহায্য করে। সাধারণ সূত্রদ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণের জন্য গণনা নিম্নরূপ:

w = (-j +/- d) / (2 * i), যেখানে d হল 1/2 এর শক্তির বৈষম্য।

ধরুন বৈষম্যকারীটি শূন্যের নিচে, তাহলে d হল কাল্পনিক এবং ফলাফলগুলি কাল্পনিক।

D হল শূন্য, তারপর d এর সমান D এর 1/2 শক্তিও শূন্য। সমাধান:-j/(2*i)। আবার 1 * w^ 2 + 2 * w + 1 = 0 বিবেচনা করে, আমরা -2 / (2 * 1) = -1 এর সমতুল্য ফলাফল পাই।

ধরুন D > 0, তাই d একটি বাস্তব সংখ্যা, এবং এখানে উত্তরটি দুটি ভাগে বিভক্ত: w1 = (-j + d) / (2 * i) এবং w2 = (-j - d) / (2 * i) . উভয় ফলাফল বৈধ হবে. আসুন 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 দেখি। এখানে বৈষম্য এবং d একক। সুতরাং w1 হল (3 + 1) কে (2 * 2) বা 1 দ্বারা ভাগ করা, এবং w2 হল (3 - 1) 2 * 2 বা 1/2 দ্বারা ভাগ।

একটি বর্গাকার অভিব্যক্তিকে শূন্যের সাথে সমান করার ফলাফলটি অ্যালগরিদম অনুসারে গণনা করা হয়:

1. বৈধ সমাধান সংখ্যা নির্ধারণ.
2. গণনা d = D^(1/2)।
3. সূত্র (-j +/- d) / (2 * i) অনুযায়ী ফলাফল বের করা।
4. চেকের জন্য প্রাথমিক সমতায় প্রাপ্ত ফলাফলের প্রতিস্থাপন।

কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে

সহগগুলির উপর নির্ভর করে, সমাধানটি কিছুটা সরলীকৃত করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, যদি ভেরিয়েবল থেকে দ্বিতীয় পাওয়ারের সামনে সহগ শূন্য হয়, তাহলে একটি রৈখিক সমতা পাওয়া যায়। যখন ভেরিয়েবলের সামনে সহগ প্রথম পাওয়ার থেকে শূন্য হয়, তখন দুটি বিকল্প সম্ভব:

1. বহুপদী একটি ঋণাত্মক মুক্ত পদের সাথে বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যে প্রসারিত হয়;
2. একটি ইতিবাচক ধ্রুবক জন্য, বাস্তব সমাধান খুঁজে পাওয়া যাবে না.

যদি মুক্ত পদটি শূন্য হয়, তাহলে মূল হবে (0; -j)

কিন্তু অন্যান্য বিশেষ কেস আছে যেগুলো সমাধান খুঁজে বের করা সহজ করে।

হ্রাস করা দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ

দেওয়া বলা হয়এই ধরনের একটি বর্গাকার ত্রিনামিক, যেখানে সর্বোচ্চ পদের সামনে সহগ এক। এই অবস্থার জন্য, ভিয়েটা উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, যা বলে যে মূলের যোগফল প্রথম শক্তির পরিবর্তনশীলের সহগের সমান, -1 দ্বারা গুণ করা হয় এবং গুণফলটি ধ্রুবক "k" এর সাথে মিলে যায়।

অতএব, w1 + w2 সমান -j এবং w1 * w2 সমান k এর যদি প্রথম সহগ এক হয়। এই জাতীয় উপস্থাপনার সঠিকতা যাচাই করার জন্য, আমরা প্রথম সূত্র থেকে w2 = -j - w1 প্রকাশ করতে পারি এবং এটিকে দ্বিতীয় সমতায় প্রতিস্থাপন করতে পারি w1 * (-j - w1) = k। ফলাফল হল মূল সমতা w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0।

এটা লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণযে i * w^ 2 + j * w + k = 0 কে "i" দিয়ে ভাগ করলে কমানো যায়। ফলাফল হবে: w^2 + j1 * w + k1 = 0 যেখানে j1 সমান j/i এবং k1 সমান k/i।

এর আগে থেকে সমাধান করা 2 * w^ 2 - 3 * w + 1 = 0 এর ফলাফল দেখুন w1 = 1 এবং w2 = 1/2। এটিকে অর্ধেক ভাগ করা প্রয়োজন, ফলস্বরূপ, w^2 - 3/2 * w + 1/2 = 0। আসুন পরীক্ষা করে দেখি যে উপপাদ্যের শর্তগুলি পাওয়া ফলাফলের জন্য সত্য: 1 + 1/2 = 3/2 এবং 1 * 1/2 = 1/2।

এমনকি দ্বিতীয় ফ্যাক্টর

প্রথম ঘাত (j) থেকে চলকের গুণনীয়কটি 2 দ্বারা বিভাজ্য হলে, তাহলে সূত্রটিকে সরলীকরণ করা এবং বৈষম্যকারী D/4 \u003d (j/2) ^ 2 - i * k এর এক চতুর্থাংশের মাধ্যমে সমাধান খোঁজা সম্ভব হবে। দেখা যাচ্ছে w = (-j +/- d/2) / i, যেখানে d/2 = D/4 এর শক্তি 1/2।

যদি i = 1, এবং সহগ j জোড় হয়, তাহলে সমাধান হল w পরিবর্তনশীলের সহগের -1 এবং অর্ধেক এর গুণফল, এই অর্ধেকটির বর্গক্ষেত্রের মূল যোগ/বিয়োগ, ধ্রুবক "k" বিয়োগ করুন। সূত্র: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2।

উচ্চ ক্রম বৈষম্যমূলক

উপরে বিবেচিত দ্বিতীয়-ডিগ্রী বৈষম্যকারী হল সর্বাধিক ব্যবহৃত বিশেষ ক্ষেত্রে। সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি বহুপদীর বৈষম্য এই বহুপদীর মূলের পার্থক্যের গুণিত বর্গ. অতএব, শূন্যের সমান একটি বৈষম্য কমপক্ষে দুটি একাধিক সমাধানের উপস্থিতি নির্দেশ করে।

বিবেচনা করুন i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0।

D \u003d j^ 2 * k^ 2 - 4 * i * k^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m।

ধরা যাক বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে বড়. এর অর্থ হল বাস্তব সংখ্যার অঞ্চলে তিনটি মূল রয়েছে। শূন্যে, একাধিক সমাধান আছে। যদি ডি< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

ভিডিও

আমাদের ভিডিওটি আপনাকে বৈষম্যকারীর গণনা সম্পর্কে বিস্তারিত বলবে।

আপনার প্রশ্নের উত্তর পাননি? লেখকদের একটি বিষয় প্রস্তাব করুন.

দ্বিঘাত সমীকরণ 8 গ্রেডে অধ্যয়ন করা হয়, তাই এখানে জটিল কিছু নেই। তাদের সমাধান করার ক্ষমতা অপরিহার্য।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ax 2 + bx + c = 0 ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে a , b এবং c সহগ হল নির্বিচারে সংখ্যা এবং a ≠ 0।

নির্দিষ্ট সমাধান পদ্ধতি অধ্যয়ন করার আগে, আমরা লক্ষ্য করি যে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ তিনটি শ্রেণীতে বিভক্ত করা যেতে পারে:

1. কোন শিকড় নেই;
2. তাদের ঠিক একটি মূল আছে;
3. তাদের দুটি ভিন্ন শিকড় আছে।

এটি দ্বিঘাত এবং রৈখিক সমীকরণের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য, যেখানে মূলটি সর্বদা বিদ্যমান এবং অনন্য। একটি সমীকরণের কতগুলি শিকড় রয়েছে তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন? এর জন্য একটি দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে - বৈষম্যমূলক.

বৈষম্যমূলক

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 দেওয়া যাক তাহলে বিভেদকারীটি হল সংখ্যাটি D = b 2 − 4ac।

এই সূত্র হৃদয় দিয়ে জানতে হবে. কোথা থেকে এসেছে সেটা এখন গুরুত্বপূর্ণ নয়। আরেকটি বিষয় গুরুত্বপূর্ণ: বৈষম্যকারীর চিহ্ন দ্বারা, আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের কতগুলি শিকড় রয়েছে তা নির্ধারণ করতে পারেন। যথা:

1. যদি ডি< 0, корней нет;
2. D = 0 হলে, ঠিক একটি মূল আছে;
3. D > 0 হলে, দুটি মূল থাকবে।

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: বৈষম্যকারীটি শিকড়ের সংখ্যা নির্দেশ করে, এবং তাদের লক্ষণগুলি মোটেই নয়, কারণ কিছু কারণে অনেকে মনে করেন। উদাহরণগুলি একবার দেখুন এবং আপনি নিজেই সবকিছু বুঝতে পারবেন:

টাস্ক। দ্বিঘাত সমীকরণের কয়টি মূল আছে:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0।

আমরা প্রথম সমীকরণের জন্য সহগ লিখি এবং বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

সুতরাং, বৈষম্যকারী ইতিবাচক, তাই সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল রয়েছে। আমরা একই ভাবে দ্বিতীয় সমীকরণ বিশ্লেষণ করি:
a = 5; b = 3; c = 7;
ডি \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

বৈষম্যকারী নেতিবাচক, কোন শিকড় নেই। শেষ সমীকরণটি অবশিষ্ট রয়েছে:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0।

বৈষম্য শূন্যের সমান-মূল হবে এক।

মনে রাখবেন যে প্রতিটি সমীকরণের জন্য সহগগুলি লেখা হয়েছে। হ্যাঁ, এটি দীর্ঘ, হ্যাঁ, এটি ক্লান্তিকর - তবে আপনি প্রতিকূলতা মিশ্রিত করবেন না এবং বোকা ভুল করবেন না। নিজের জন্য চয়ন করুন: গতি বা গুণমান।

যাইহোক, আপনি যদি "আপনার হাতটি পূরণ করেন", কিছুক্ষণ পরে আপনাকে আর সমস্ত সহগ লিখতে হবে না। আপনি আপনার মাথায় এই ধরনের অপারেশন করবেন। বেশিরভাগ লোকেরা 50-70 মীমাংসিত সমীকরণের পরে কোথাও এটি করা শুরু করে - সাধারণভাবে, এত বেশি নয়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়

এখন সমাধানের দিকে যাওয়া যাক। বৈষম্যকারী D > 0 হলে, সূত্র ব্যবহার করে শিকড় পাওয়া যাবে:

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের মূল সূত্র

যখন D = 0, আপনি এই সূত্রগুলির যেকোনো একটি ব্যবহার করতে পারেন - আপনি একই নম্বর পাবেন, যা উত্তর হবে। অবশেষে, যদি ডি< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0।

প্রথম সমীকরণ:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16।

D > 0 ⇒ সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। আসুন তাদের খুঁজে বের করা যাক:

দ্বিতীয় সমীকরণ:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64।

D > 0 ⇒ সমীকরণটির আবার দুটি মূল রয়েছে। আসুন তাদের খুঁজে বের করা যাক

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

অবশেষে, তৃতীয় সমীকরণ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0।

D = 0 ⇒ সমীকরণটির একটি মূল আছে। যে কোন সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি:

আপনি উদাহরণ থেকে দেখতে পারেন, সবকিছু খুব সহজ. আপনি যদি সূত্রগুলি জানেন এবং গণনা করতে সক্ষম হন তবে কোনও সমস্যা হবে না। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, ত্রুটিগুলি ঘটে যখন নেতিবাচক সহগগুলি সূত্রে প্রতিস্থাপিত হয়। এখানে, আবার, উপরে বর্ণিত কৌশলটি সাহায্য করবে: আক্ষরিকভাবে সূত্রটি দেখুন, প্রতিটি ধাপে আঁকুন - এবং খুব শীঘ্রই ভুলগুলি থেকে মুক্তি পান।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

এটি ঘটে যে দ্বিঘাত সমীকরণটি সংজ্ঞায় যা দেওয়া হয়েছে তার থেকে কিছুটা আলাদা। উদাহরণ স্বরূপ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0।

এই সমীকরণে একটি পদ অনুপস্থিত দেখতে সহজ। এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি মানকগুলির তুলনায় সমাধান করা আরও সহজ: তাদের এমনকি বৈষম্যকারী গণনা করার দরকার নেই। তাহলে আসুন একটি নতুন ধারণা চালু করি:

ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণটিকে একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয় যদি b = 0 বা c = 0 হয়, অর্থাৎ চলক x বা মুক্ত উপাদানের সহগ শূন্যের সমান।

অবশ্যই, একটি খুব কঠিন ক্ষেত্রে সম্ভব যখন এই উভয় সহগ শূন্যের সমান হয়: b \u003d c \u003d 0। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণটি ax 2 \u003d 0 রূপ নেয়। স্পষ্টতই, এই জাতীয় সমীকরণের একটি একক আছে রুট: x \u003d 0।

আসুন অন্যান্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। ধরুন b \u003d 0, তাহলে আমরা ax 2 + c \u003d 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ পাব। এর সামান্য রূপান্তর করা যাক:

কারণ পাটিগণিত বর্গমূলশুধুমাত্র একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে বিদ্যমান, শেষ সমতা শুধুমাত্র (−c /a ) ≥ 0 এর জন্য অর্থপূর্ণ। উপসংহার:

1. যদি ax 2 + c = 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ অসমতা (−c / a ) ≥ 0 সন্তুষ্ট করে, তাহলে দুটি মূল থাকবে। সূত্র উপরে দেওয়া হয়েছে;
2. যদি (−c/a)< 0, корней нет.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বৈষম্যকারীর প্রয়োজন ছিল না - অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে কোনও জটিল গণনা নেই। প্রকৃতপক্ষে, অসমতা (−c/a ) ≥ 0 মনে রাখারও প্রয়োজন নেই। x 2-এর মান প্রকাশ করা এবং সমান চিহ্নের অপর পাশে কী আছে তা দেখার জন্য এটি যথেষ্ট। ধনাত্মক সংখ্যা হলে দুটি মূল থাকবে। নেতিবাচক হলে, কোন শিকড় থাকবে না।

এখন ax 2 + bx = 0 ফর্মের সমীকরণ নিয়ে কাজ করা যাক, যেখানে মুক্ত উপাদানটি শূন্যের সমান। এখানে সবকিছু সহজ: সবসময় দুটি শিকড় থাকবে। এটি বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য যথেষ্ট:

বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর নেওয়া

গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে গুণফল শূন্যের সমান। এখান থেকে শিকড় আসে। উপসংহারে, আমরা এই সমীকরণগুলির কয়েকটি বিশ্লেষণ করব:

টাস্ক। দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0।

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7।

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। কোন শিকড় আছে, কারণ বর্গ একটি ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হতে পারে না।

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র। বাস্তব, একাধিক এবং জটিল মূলের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়। ফ্যাক্টরাইজেশন বর্গাকার ত্রিনামিক. জ্যামিতিক ব্যাখ্যা। শিকড় এবং ফ্যাক্টরাইজেশন নির্ধারণের উদাহরণ।

মৌলিক সূত্র

দ্বিঘাত সমীকরণ বিবেচনা করুন:
(1) .
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়(1) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
; .
এই সূত্রগুলি এইভাবে একত্রিত করা যেতে পারে:
.
যখন দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলি জানা যায়, তখন দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদকে গুণনীয়ক (গুণিত) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
.

আরও, আমরা অনুমান করি যে এটি বাস্তব সংখ্যা।
বিবেচনা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী:
.
যদি বৈষম্যকারী ইতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে:
; .
তারপর বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশনের ফর্ম রয়েছে:
.
যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি একাধিক (সমান) বাস্তব মূল রয়েছে:
.
ফ্যাক্টরাইজেশন:
.
যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি জটিল সংযোজক মূল রয়েছে:
;
.
এখানে কাল্পনিক একক, ;
এবং মূলের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ:
; .
তারপর

.

গ্রাফিক ব্যাখ্যা

যদি নির্মাণ করা হয় ফাংশন গ্রাফ
,
যা একটি প্যারাবোলা, তাহলে অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি হবে সমীকরণের মূল
.
যখন , গ্রাফটি অ্যাবসিসা অক্ষকে (অক্ষ) দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
যখন , গ্রাফটি এক বিন্দুতে x-অক্ষকে স্পর্শ করে।
কখন , গ্রাফটি x-অক্ষ অতিক্রম করে না।

নীচে এই ধরনের গ্রাফগুলির উদাহরণ রয়েছে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কিত দরকারী সূত্র

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের প্রাপ্তি

আমরা রূপান্তর করি এবং সূত্র প্রয়োগ করি (f.1) এবং (f.3):




,
কোথায়
; .

সুতরাং, আমরা ফর্মে দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদীর সূত্র পেয়েছি:
.
এ থেকে দেখা যায় সমীকরণ

এ সঞ্চালিত
এবং .
যে, এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূল
.

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের উদাহরণ

উদাহরণ 1

(1.1) .

সমাধান

.
আমাদের সমীকরণ (1.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী ইতিবাচক, সমীকরণটির দুটি আসল মূল রয়েছে:
;
;
.

এখান থেকে আমরা স্কোয়ার ট্রিনোমিয়ালের পচনকে ফ্যাক্টরগুলিতে পাই:

.

ফাংশনের গ্রাফ y = 2 x 2 + 7 x + 3দুটি বিন্দুতে x-অক্ষ অতিক্রম করে।

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি দুটি বিন্দুতে x-অক্ষ (অক্ষ) অতিক্রম করে:
এবং .
এই পয়েন্টগুলি মূল সমীকরণের মূল (1.1)।

উত্তর

;
;
.

উদাহরণ 2

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(2.1) .

সমাধান

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
.
মূল সমীকরণ (2.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্য, সমীকরণটির দুটি একাধিক (সমান) মূল রয়েছে:
;
.

তারপর ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন ফর্ম আছে:
.

ফাংশনের গ্রাফ y = x 2 - 4 x + 4এক বিন্দুতে x-অক্ষ স্পর্শ করে।

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি এক বিন্দুতে এক্স-অক্ষ (অক্ষ) স্পর্শ করে:
.
এই বিন্দুটি মূল সমীকরণের মূল (2.1)। যেহেতু এই মূলটি দুইবার ফ্যাক্টর করা হয়েছে:
,
তাহলে এই ধরনের মূলকে একাধিক বলা হয়। অর্থাৎ, তারা বিবেচনা করে যে দুটি সমান শিকড় রয়েছে:
.

উত্তর

;
.

উদাহরণ 3

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(3.1) .

সমাধান

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
(1) .
আসুন মূল সমীকরণটি পুনরায় লিখি (3.1):
.
(1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
বৈষম্যকারী নেতিবাচক, . অতএব, কোন বাস্তব শিকড় আছে.

আপনি জটিল শিকড় খুঁজে পেতে পারেন:
;
;
.

তারপর


.

ফাংশনের গ্রাফটি x-অক্ষ অতিক্রম করে না। কোন প্রকৃত শিকড় আছে.

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি আবসিসা (অক্ষ) অতিক্রম করে না। অতএব, কোন বাস্তব শিকড় আছে.

উত্তর

কোন প্রকৃত শিকড় আছে. জটিল শিকড়:
;
;
.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যা দেখতে কেমন ax 2 + dx + c = 0. এর অর্থ আছে ক, গএবং সঙ্গেযে কোন সংখ্যা, যখন কশূন্যের সমান নয়।

সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ বিভিন্ন প্রকারে বিভক্ত, যথা:

শুধুমাত্র একটি মূল সহ সমীকরণ।
- দুটি ভিন্ন মূলের সমীকরণ।
- যে সমীকরণে কোন শিকড় নেই।

এই পার্থক্য রৈখিক সমীকরণযেখানে মূল সবসময় একই থাকে, বর্গক্ষেত্র থেকে। অভিব্যক্তিতে কতগুলি শিকড় রয়েছে তা বোঝার জন্য আপনার প্রয়োজন চতুর্মুখী বৈষম্যকারী.

ধরা যাক আমাদের সমীকরণ ax 2 + dx + c = 0। মানে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী -

D \u003d b 2 - 4 ac

এবং এটি চিরকাল মনে রাখতে হবে। এই সমীকরণের সাহায্যে, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণে মূলের সংখ্যা নির্ধারণ করি। এবং আমরা এটি এভাবে করি:

যখন D শূন্যের কম হয়, তখন সমীকরণটির কোনো মূল থাকে না।
- যখন D শূন্য হয়, তখন একটি মাত্র মূল থাকে।
- যখন D শূন্যের চেয়ে বড় হয়, যথাক্রমে, সমীকরণে দুটি মূল থাকে।
মনে রাখবেন যে বৈষম্যকারী চিহ্ন পরিবর্তন না করেই সমীকরণে কতগুলি শিকড় রয়েছে তা দেখায়।

স্বচ্ছতার জন্য বিবেচনা করুন:

এই দ্বিঘাত সমীকরণের কয়টি শিকড় আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে।

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

আমরা প্রথম সমীকরণে মানগুলি লিখি, আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই।
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
একটি যোগ চিহ্ন সহ বৈষম্যকারীর অর্থ হল এই সমতার দুটি শিকড় রয়েছে।

দ্বিতীয় সমীকরণের সাথে একই কাজ করুন
a=1, b=3, c=7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
মান হল বিয়োগ, যার মানে এই সমতার কোন শিকড় নেই।

আমরা উপমা দ্বারা নিম্নলিখিত সমীকরণ প্রসারিত.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
ফলস্বরূপ, আমাদের সমীকরণে একটি মূল আছে।

এটি গুরুত্বপূর্ণ যে প্রতিটি সমীকরণে আমরা সহগগুলি লিখেছি। অবশ্যই, এটি একটি খুব দীর্ঘ প্রক্রিয়া নয়, তবে এটি আমাদের বিভ্রান্ত না হতে এবং ত্রুটিগুলি প্রতিরোধ করতে সহায়তা করেছে৷ আপনি যদি এই জাতীয় সমীকরণগুলি প্রায়শই সমাধান করেন তবে আপনি মানসিকভাবে গণনা সম্পাদন করতে পারেন এবং সমীকরণটির কতগুলি শিকড় রয়েছে তা আগে থেকেই জানতে পারেন।

আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

প্রথম লেয়ার আউট
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, যা শূন্যের চেয়ে বড়, এর অর্থ দুটি মূল, আমরা সেগুলি বের করব
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1।

আমরা দ্বিতীয় পাড়া
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, যা শূন্যের চেয়ে বড় এবং এর দুটি মূলও রয়েছে। আসুন সেগুলি বের করি:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3।

আমরা তৃতীয়টি রেখেছি
a = 1, b = 12, c = 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, যা শূন্য এবং একটি মূল আছে
x \u003d -12 +? 0 / 2 * 1 \u003d -6।
এই সমীকরণগুলি সমাধান করা কঠিন নয়।

যদি আমাদের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ দেওয়া হয়। যেমন

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

এই সমীকরণগুলি উপরেরগুলির থেকে আলাদা, কারণ এটি সম্পূর্ণ নয়, এটির তৃতীয় মান নেই। তবে তা সত্ত্বেও, এটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের চেয়ে সহজ এবং এতে বৈষম্যকারীর সন্ধান করার দরকার নেই।

আপনার জরুরীভাবে একটি থিসিস বা প্রবন্ধের প্রয়োজন হলে কী করবেন, কিন্তু এটি লেখার সময় নেই? এই সমস্ত এবং আরও অনেক কিছু Deeplom.by ওয়েবসাইটে (http://deeplom.by/) অর্ডার করা যেতে পারে এবং সর্বোচ্চ স্কোর পান।