সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

ফ্যাশন- পর্যবেক্ষণের একটি সেটের মান যা প্রায়শই ঘটে

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

এখানে X Mo হল মোডাল ব্যবধানের বাম সীমানা, h Mo হল মোডাল ব্যবধানের দৈর্ঘ্য, f Mo-1 হল প্রিমোডাল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি, f Mo হল মোডাল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি, f Mo+1 হল পোস্ট-মোডাল ব্যবধানের ফ্রিকোয়েন্সি।

একটি সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন বন্টনের মোড হল বিতরণ ঘনত্বের স্থানীয় সর্বাধিকের যেকোনো বিন্দু। বিচ্ছিন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, একটি মোডকে যেকোনো মান হিসেবে বিবেচনা করা হয় একটি i যার সম্ভাব্যতা p i প্রতিবেশী মানের সম্ভাব্যতার চেয়ে বেশি

মধ্যমাক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সএর মান Me বলা হয় যার জন্য এটি সমানভাবে সম্ভাব্য যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল কম বা বেশি হবে মেহ, অর্থাৎ

M e =(n+1)/2 P(X < আমি) = P(X > মেহ)

অভিন্নভাবে বিতরণ করা NSV

সমবন্টন।একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে সেগমেন্টে সমানভাবে বিতরণ করা হয় () যদি এর বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন (চিত্র 1.6, ক) ফর্ম আছে:

পদবি: – SW সমানভাবে বিতরণ করা হয়।

তদনুসারে, সেগমেন্টে বিতরণ ফাংশন (চিত্র 1.6, খ):

ভাত। 1.6। এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলি [এ] সমানভাবে বিতরণ করা হয় ক,খ]: ক- সম্ভাবনার ঘনত্ব চ(এক্স); খ- বিতরণ চ(এক্স)

একটি প্রদত্ত SV এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়:

ঘনত্ব ফাংশনের প্রতিসাম্যতার কারণে, এটি মধ্যকের সাথে মিলে যায়। মোডগুলির কোনও অভিন্ন বিতরণ নেই

উদাহরণ 4. একটি প্রতিক্রিয়া জন্য অপেক্ষার সময় ফোন কল- একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা 0 থেকে 2 মিনিটের ব্যবধানে একটি অভিন্ন বন্টন আইন মেনে চলে। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অবিচ্ছেদ্য এবং ডিফারেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন খুঁজুন।

27. সম্ভাব্যতা বণ্টনের স্বাভাবিক নিয়ম

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এর প্যারামিটার সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন রয়েছে: m,s > 0, যদি সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্বের ফর্ম থাকে:

যেখানে: m – গাণিতিক প্রত্যাশা, s – আদর্শ বিচ্যুতি।

জার্মান গণিতবিদ গাউসের নামানুসারে স্বাভাবিক বণ্টনকে গাউসিয়ানও বলা হয়। সত্য যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্যারামিটার সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন রয়েছে: m, নিম্নরূপ নির্দেশিত হয়: N (m,s), যেখানে: m=a=M[X];

প্রায়শই সূত্রগুলিতে, গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় ক . যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল N(0,1) আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়, তবে এটিকে একটি স্বাভাবিক বা প্রমিত স্বাভাবিক চলক বলা হয়। এটির জন্য বিতরণ ফাংশনের ফর্ম রয়েছে:

একটি সাধারণ বণ্টনের ঘনত্ব গ্রাফ, যাকে সাধারণ বক্ররেখা বা গাউসিয়ান বক্ররেখা বলা হয়, চিত্র 5.4-এ দেখানো হয়েছে।

ভাত। 5.4। স্বাভাবিক বন্টন ঘনত্ব

বৈশিষ্ট্যর্যান্ডম পরিবর্তনশীল একটি স্বাভাবিক বন্টন আইন আছে.

1. যদি , তাহলে এই মানের একটি প্রদত্ত ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করতে ( x 1; x 2) সূত্র ব্যবহার করা হয়:

2. সম্ভাব্যতা যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিচ্যুতি মান অতিক্রম করবে না (পরম মান) সমান।

প্রত্যাশিত মান। গাণিতিক প্রত্যাশাবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স, একটি সীমিত সংখ্যক মান নিচ্ছে এক্সiসম্ভাবনা সহ আরi, পরিমাণ বলা হয়:

গাণিতিক প্রত্যাশাক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সএর মানগুলির গুণফলকে অবিচ্ছেদ্য বলা হয় এক্সসম্ভাবনা বন্টন ঘনত্ব উপর চ(এক্স):

(6খ)

অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য (6 খ) একেবারে অভিসারী বলে ধরে নেওয়া হয় (অন্যথায় তারা বলে যে গাণিতিক প্রত্যাশা এম(এক্স) এটির অস্তিত্ব নেই)। গাণিতিক প্রত্যাশা বৈশিষ্ট্য গড় মূল্যআমার স্নাতকের এক্স. এর মাত্রা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্রার সাথে মিলে যায়।

গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য:

বিচ্ছুরণ। ভিন্নতাআমার স্নাতকের এক্সনম্বরটি বলা হয়:

পার্থক্য হল বিক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্যএলোমেলো পরিবর্তনশীল মান এক্সতার গড় মান আপেক্ষিক এম(এক্স) প্রকরণের মাত্রা র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বর্গক্ষেত্রের মাত্রার সমান। ভিন্নতার সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে (8) এবং গাণিতিক প্রত্যাশা (5) একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং (6) একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, আমরা প্রকরণের জন্য অনুরূপ অভিব্যক্তি পাই:

(9)

এখানে মি = এম(এক্স).

বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য:

আদর্শ চ্যুতি:

(11)

যেহেতু স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে একই মাত্রা রয়েছে, তাই এটি প্রায়শই প্রকরণের চেয়ে বিচ্ছুরণের পরিমাপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

বিতরণের মুহূর্ত। গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের ধারণাগুলি আরও বিশেষ ক্ষেত্রে সাধারণ ধারণাসংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের জন্য এলোমেলো ভেরিয়েবল – বিতরণ মুহূর্ত. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের মুহূর্তগুলি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু সাধারণ ফাংশনের গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে প্রবর্তিত হয়। সুতরাং, আদেশের মুহূর্ত kবিন্দু আপেক্ষিক এক্স 0 কে গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় এম(এক্স–এক্স 0 )k. উৎপত্তি সম্পর্কে মুহূর্ত এক্স= 0 বলা হয় প্রাথমিক মুহূর্তএবং মনোনীত করা হয়:

(12)

প্রথম অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্তটি বিবেচনাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণের কেন্দ্র:

(13)

বিতরণ কেন্দ্র সম্পর্কে মুহূর্ত এক্স= মিডাকল কেন্দ্রীয় পয়েন্টএবং মনোনীত করা হয়:

(14)

(7) থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রথম-ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত সর্বদা শূন্যের সমান:

কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির উত্সের উপর নির্ভর করে না, যেহেতু একটি ধ্রুবক মান দ্বারা স্থানান্তরিত হয় সঙ্গেএর বিতরণ কেন্দ্র একই মান দ্বারা স্থানান্তরিত হয় সঙ্গে, এবং কেন্দ্র থেকে বিচ্যুতি পরিবর্তন হয় না: এক্স – মি = (এক্স – সঙ্গে) – (মি – সঙ্গে).
এখন এটা স্পষ্ট যে বিচ্ছুরণ- এই দ্বিতীয় আদেশ কেন্দ্রীয় মুহূর্ত:

অসমতা। তৃতীয় ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত:

(17)

মূল্যায়নের জন্য কাজ করে বন্টন অসাম্য. যদি বন্টন বিন্দু সম্পর্কে প্রতিসম হয় এক্স= মি, তাহলে তৃতীয়-ক্রমের কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্যের সমান হবে (বিজোড় আদেশের সমস্ত কেন্দ্রীয় মুহুর্তের মতো)। অতএব, যদি তৃতীয়-ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্য থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে বন্টনটি প্রতিসম হতে পারে না। একটি মাত্রাবিহীন ব্যবহার করে অসিম্যাট্রির মাত্রা নির্ণয় করা হয় অসমতা সহগ:

(18)

অপ্রতিসম গুণাঙ্কের চিহ্ন (18) ডান-পার্শ্বযুক্ত বা বাম-পার্শ্বযুক্ত অসমতা নির্দেশ করে (চিত্র 2)।

ভাত। 2. বণ্টন অসমতার প্রকার।

অতিরিক্ত। চতুর্থ ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত:

(19)

তথাকথিত মূল্যায়ন পরিবেশন করে অতিরিক্ত, যা স্বাভাবিক বন্টন বক্ররেখার সাথে সম্পর্কিত বন্টনের কেন্দ্রের কাছে বন্টন বক্ররেখার খাড়াতা (শিখরত্ব) ডিগ্রী নির্ধারণ করে। যেহেতু একটি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য, কুরটোসিস হিসাবে নেওয়া মান হল:

(20)

চিত্রে। 3 এর সাথে বন্টন বক্ররেখার উদাহরণ দেখায় বিভিন্ন অর্থঅতিরিক্ত। স্বাভাবিক বিতরণের জন্য ই= 0. যে বক্ররেখাগুলি স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি সূক্ষ্ম হয় তাদের একটি ইতিবাচক কার্টোসিস থাকে, যেগুলি বেশি ফ্ল্যাট-টপড তাদের একটি নেতিবাচক কার্টোসিস থাকে।

ভাত। 3. বন্টন বক্ররেখার বিভিন্ন ডিগ্রী খাড়াতা (কুর্টোসিস)।

উচ্চতর অর্ডার মুহূর্তগুলি সাধারণত গাণিতিক পরিসংখ্যানের ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যবহৃত হয় না।

ফ্যাশন বিচ্ছিন্নএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল এর সবচেয়ে সম্ভাব্য মান। ফ্যাশন একটানাএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হল এর মান যেখানে সম্ভাব্যতার ঘনত্ব সর্বাধিক (চিত্র 2)। যদি বন্টন বক্ররেখার সর্বোচ্চ একটি থাকে, তাহলে বন্টন বলা হয় unimodal. যদি একটি বন্টন বক্ররেখা একাধিক সর্বোচ্চ থাকে, তাহলে বন্টন বলা হয় মাল্টিমডাল. কখনও কখনও এমন ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে যার বক্ররেখা সর্বাধিকের পরিবর্তে সর্বনিম্ন থাকে। এই ধরনের বিতরণ বলা হয় বিরোধী মডেল. সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশা মিলে যায় না। বিশেষ ক্ষেত্রে, জন্য মডেল, অর্থাৎ একটি মোড, প্রতিসাম্য বন্টন এবং যদি একটি গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে তবে পরবর্তীটি বিতরণের প্রতিসাম্যের মোড এবং কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।

মধ্যমা আমার স্নাতকের এক্স- এটি এর অর্থ মেহ, যার জন্য সমতা ধারণ করে: i.e. এটা সমানভাবে সম্ভাব্য যে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সকম বা বেশি হবে মেহ. জ্যামিতিকভাবে মধ্যমাযে বিন্দুতে বন্টন বক্ররেখার অধীন ক্ষেত্রফলকে অর্ধেক ভাগ করা হয়েছে তার অবসিসা (চিত্র 2)। একটি সিমেট্রিক মডেল ডিস্ট্রিবিউশনের ক্ষেত্রে, মধ্যমা, মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশা একই।

মোড একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে সম্ভাব্য মান। গড় সাপেক্ষে একটি প্রতিসম বন্টনের সাথে, মোডটি গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে মিলে যায়। যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলি পুনরাবৃত্তি না হয় তবে কোনও মোড নেই।  

ডিস্ট্রিবিউশন ঘনত্ব বক্ররেখার সর্বাধিকের সাথে সংশ্লিষ্ট x-অক্ষের বিন্দুটিকে মোড বলা হয়, অর্থাৎ, মোডটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে সম্ভাব্য মান। যাইহোক, সমস্ত বিতরণের একটি মোড নেই। একটি উদাহরণ হল অভিন্ন বন্টন। এই ক্ষেত্রে, মোড হিসাবে বিতরণের কেন্দ্র নির্ধারণ করা অসম্ভব। মোডাকে সাধারণত মো হিসাবে উল্লেখ করা হয়।  

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং মিডিয়ানের ধারণা রয়েছে।  

স্পষ্টতই, একটি সিমেট্রিক মিডিয়ানের ক্ষেত্রে, এটি মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে মিলে যায়।  

মোডটি একক পরিমাপের উপর ভিত্তি করে নয়, কিন্তু একটি বৃহৎ পরিমাণের পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে, এটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে না। মোডের মাত্রা বিভিন্ন ধরণের কাজের বিলম্ব এবং এর স্বাভাবিক গতি হারানোর দ্বারা প্রভাবিত হয় না।  

কখনও কখনও, অভিজ্ঞতামূলক বন্টন বিশ্লেষণ করার সময়, মোড এবং বিতরণের মধ্যক ধারণাগুলি ব্যবহার করা হয়, "...মোড হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সবচেয়ে সম্ভাব্য মান,  

লটারি ঘটনার একটি বিস্তৃত সম্ভাব্যতা-তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সম্ভাব্যতা বন্টনের ধারণা। এর সাহায্যে, সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা হয় যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল তার সম্ভাব্য মানগুলির একটি বা অন্যটি গ্রহণ করবে। আসুন y দ্বারা র্যান্ডম চলক এবং y দ্বারা এর সম্ভাব্য মানগুলি বোঝাই। তারপর একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, যা সম্ভাব্য মানগুলি Y, y2, VZ, গ্রহণ করতে পারে। । অনুশীলনে, ঝুঁকির মানগুলির সম্ভাব্য বন্টনের দ্রুত সাধারণীকরণের জন্য, এলোমেলো ফলাফলের বিতরণের তথাকথিত সংখ্যাসূচক এবং অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়: গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ, গড় বর্গ (মান) বিচ্যুতি, প্রকরণের সহগ, মোড, মধ্যমা, ইত্যাদি (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, ইত্যাদি।) অন্য কথায়, দ্রুত এবং জন্য সামগ্রিক উপলব্ধিউদ্যোক্তা চেষ্টা করেন (বা কেবল আপনি)  

গড় মাথাপিছু মোট আয় দ্বারা জনসংখ্যার বণ্টনের উপর ইউএসএসআর রাজ্য পরিসংখ্যান কমিটির তথ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা গড়, মধ্য এবং মডেল আয়ের সূচকগুলি তুলনা করার চেষ্টা করব (সারণী 1)। সারণীটি দেখায় যে পরম মূল্যের গড় আয় মধ্য এবং মডেল আয়কে ছাড়িয়ে যায় এবং এর বৃদ্ধি প্রধানত উচ্চ আয়ের লোকেদের অনুপাত বৃদ্ধির কারণে ঘটে, অর্থাৎ গড় আয় সূচকের ব্যবহার একটি উল্লেখযোগ্য অত্যধিক মূল্যায়নের দিকে পরিচালিত করে। জনসংখ্যার সিংহভাগের আয়ের স্তর এবং বৃহত্তর পরিমাণে তাদের পার্থক্যের প্রক্রিয়াটি লুকিয়ে রাখে। মডেল আয়ের মানগুলি বন্টনের নিম্ন গোষ্ঠীগুলির দিকে অভিকর্ষিত হয় এবং মধ্যম আয় থেকে নিম্নগামী হয়। যাইহোক, এক বা অন্য ব্যবধানে মোডের উপস্থিতি প্রায়শই এলোমেলো হয়; উদাহরণস্বরূপ, 1989 সালে, সর্বাধিক সাধারণ আয়ের স্তর ছিল 100 থেকে 125 রুবেল (জনসংখ্যার 16.1% এই জাতীয় আয় পেয়েছিল), তবে, 1989-1990 সালে আয়ের সামান্য পরিবর্তনের কারণে, সবচেয়ে সাধারণ ব্যবধানটি ছিল নিম্নলিখিত ব্যবধান (125-150 রুবেল) , এবং ফ্যাশনের মান নিজেই 15.6 রুবেল বৃদ্ধি পেয়েছে। উপরন্তু, মডেল আয়ের পরিসরে জনসংখ্যার ভাগ অন্যান্য শেয়ারকে সামান্য ছাড়িয়ে যেতে পারে।  

লগারিদমিকভাবে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল a-এর বন্টনের কেন্দ্রকে চিহ্নিত করার জন্য, আপনি ইতিমধ্যে গণনা করা গাণিতিক প্রত্যাশা Ma এর সাথে ব্যবহার করতে পারেন, মোড (স্থানীয় সর্বাধিক ঘনত্ব /(a)) toc1a = exp(t-st2) এবং  

মোড - ফ্যাশন। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে সম্ভাব্য মান।  

ফ্যাশন - ধারণা

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, প্রথমেই সেইগুলিকে লক্ষ্য করা প্রয়োজন যেগুলি সংখ্যাগত অক্ষের উপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অবস্থানকে চিহ্নিত করে, যেমন কিছু গড়, আনুমানিক মান নির্দেশ করে যার চারপাশে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মান গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান হল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, যা এটির "প্রতিনিধি" এবং এটিকে রুক্ষ দিয়ে প্রতিস্থাপন করে আনুমানিক গণনা. যখন আমরা বলি: "গড় বাতি চালানোর সময় 100 ঘন্টা" বা "গড় প্রভাবের বিন্দু লক্ষ্যের তুলনায় 2 মিটার ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়," আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করি যা এর অবস্থান বর্ণনা করে সংখ্যাসূচক অক্ষের উপর, অর্থাৎ "অবস্থান বৈশিষ্ট্য"।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করা হয়, যাকে কখনও কখনও কেবল একটি র্যান্ডম চলকের গড় মান বলা হয়।

আসুন সম্ভাব্য মান সহ একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করি। আমাদেরকে x-অক্ষে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির অবস্থানকে কিছু সংখ্যার সাথে চিহ্নিত করতে হবে, এই মানেরগুলির বিভিন্ন সম্ভাব্যতা রয়েছে তা বিবেচনায় নিয়ে। এই উদ্দেশ্যে, মানগুলির তথাকথিত "ওজনযুক্ত গড়" ব্যবহার করা স্বাভাবিক, এবং গড় করার সময় প্রতিটি মানকে এই মানের সম্ভাব্যতার সমানুপাতিক একটি "ওজন" বিবেচনায় নেওয়া উচিত। সুতরাং, আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় গণনা করব, যা আমরা দ্বারা চিহ্নিত করব:

বা, দেওয়া,

. (5.6.1)

এই ওজনযুক্ত গড়কে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়। এইভাবে, আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটি বিবেচনায় প্রবর্তন করেছি - গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণা।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সমস্ত মানের পণ্যের সমষ্টি এবং এই মানের সম্ভাব্যতা।

উল্লেখ্য যে উপরের সূত্রে গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞাটি বৈধ, কঠোরভাবে বলতে গেলে, শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য; নীচে আমরা এই ধারণাটিকে ক্রমাগত পরিমাণের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করব।

গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণাটিকে আরও স্পষ্ট করার জন্য, আসুন একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের যান্ত্রিক ব্যাখ্যার দিকে ফিরে যাই। অ্যাবসিসা অক্ষে অ্যাবসিসাস সহ বিন্দু থাকতে দিন, যেখানে ভরগুলি যথাক্রমে এবং . তারপর, স্পষ্টতই, সূত্র (5.6.1) দ্বারা সংজ্ঞায়িত গাণিতিক প্রত্যাশা বস্তুগত বিন্দুগুলির একটি প্রদত্ত সিস্টেমের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের অবসিসা ছাড়া আর কিছুই নয়।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা একটি বৃহৎ সংখ্যক পরীক্ষায় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড়ের সাথে একটি অদ্ভুত নির্ভরতা দ্বারা সংযুক্ত। এই নির্ভরতা ফ্রিকোয়েন্সি এবং সম্ভাব্যতার মধ্যে নির্ভরতার মতো একই ধরণের, যথা: প্রচুর পরীক্ষা-নিরীক্ষার সাথে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল পদ্ধতির পরিলক্ষিত মানগুলির গাণিতিক গড় (সম্ভাবনায় একত্রিত হয়) তার গাণিতিক প্রত্যাশায়। ফ্রিকোয়েন্সি এবং সম্ভাব্যতার মধ্যে একটি সংযোগের উপস্থিতি থেকে, কেউ একটি ফলাফল হিসাবে গণিতের গড় এবং গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে একটি অনুরূপ সংযোগের উপস্থিতি অনুমান করতে পারে।

প্রকৃতপক্ষে, একটি ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ দ্বারা চিহ্নিত একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন:

কোথায় .

স্বাধীন পরীক্ষাগুলি চালানো যাক, যার প্রতিটিতে পরিমাণ একটি নির্দিষ্ট মান নেয়। ধরা যাক মানটি একবার উপস্থিত হয়েছিল, মানটি একবার উপস্থিত হয়েছিল এবং মানটি একবার উপস্থিত হয়েছিল। স্পষ্টতই,

আসুন আমরা পরিমাণের পর্যবেক্ষিত মানগুলির গাণিতিক গড় গণনা করি, যা গাণিতিক প্রত্যাশার বিপরীতে, আমরা বোঝাই:

কিন্তু একটি ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি (বা পরিসংখ্যানগত সম্ভাবনা) ছাড়া আর কিছুই নেই; এই ফ্রিকোয়েন্সি মনোনীত করা যেতে পারে। তারপর

,

সেগুলো। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষিত মানের গাণিতিক গড় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সমস্ত মানের পণ্যের যোগফল এবং এই মানের ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সমান।

পরীক্ষার সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে, ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার কাছে (সম্ভাব্যতায় একত্রিত হবে)। ফলস্বরূপ, পরীক্ষার সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষিত মানের গাণিতিক গড় তার গাণিতিক প্রত্যাশার কাছে (সম্ভাব্যতায় একত্রিত) হবে।

উপরে প্রণীত গাণিতিক গড় এবং গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে সংযোগ আইনের একটি ফর্মের বিষয়বস্তু গঠন করে বড় সংখ্যা. আমরা 13 অধ্যায়ে এই আইনের একটি কঠোর প্রমাণ দেব।

আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে বৃহৎ সংখ্যার আইনের সমস্ত রূপই এই সত্যটি বলে যে কিছু গড় অনেক সংখ্যক পরীক্ষায় স্থিতিশীল। এখানে আমরা সম্পর্কে কথা বলছিপাটিগণিতের স্থায়িত্বের উপর একই পরিমাণের পর্যবেক্ষণের একটি সিরিজ থেকে গড়। অল্প সংখ্যক পরীক্ষায়, তাদের ফলাফলের গাণিতিক গড় এলোমেলো হয়; পরীক্ষার সংখ্যা যথেষ্ট বৃদ্ধির সাথে, এটি "প্রায় অ-এলোমেলো" হয়ে যায় এবং, স্থিতিশীল হয়ে, একটি ধ্রুবক মানের কাছে পৌঁছায় - গাণিতিক প্রত্যাশা।

বিপুল সংখ্যক পরীক্ষায় গড়ের স্থায়িত্ব পরীক্ষামূলকভাবে সহজেই যাচাই করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পরীক্ষাগারে শরীরের ওজন করার সময় সুনির্দিষ্ট স্কেল, ওজনের ফলস্বরূপ, আমরা প্রতিবার একটি নতুন মান পাই; পর্যবেক্ষণ ত্রুটি কমাতে, আমরা শরীরের বেশ কয়েকবার ওজন করি এবং প্রাপ্ত মানগুলির গাণিতিক গড় ব্যবহার করি। এটা দেখা সহজ যে পরীক্ষা-নিরীক্ষার সংখ্যা আরও বৃদ্ধির সাথে (ওজন), গাণিতিক গড় এই বৃদ্ধির প্রতি কম-বেশি প্রতিক্রিয়া দেখায় এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে পরীক্ষা-নিরীক্ষার সাথে কার্যত পরিবর্তন বন্ধ হয়ে যায়।

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র (5.6.1) একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। একটি অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা স্বাভাবিকভাবেই যোগফল হিসাবে নয়, একটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রকাশ করা হয়:

, (5.6.2)

পরিমাণের বন্টন ঘনত্ব কোথায়।

সূত্র (5.6.2) সূত্র (5.6.1) থেকে প্রাপ্ত হয় যদি আমরা এটি প্রতিস্থাপন করি স্বতন্ত্র মানক্রমাগত পরিবর্তিত প্যারামিটার x, সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা - সম্ভাব্যতা উপাদান, চূড়ান্ত যোগফল - অবিচ্ছেদ্য। ভবিষ্যতে, আমরা প্রায়শই অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য প্রাপ্ত সূত্রগুলিকে অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের ক্ষেত্রে প্রসারিত করার এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করব।

যান্ত্রিক ব্যাখ্যায়, একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা একই অর্থ ধরে রাখে - মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের অ্যাবসিসা যখন ঘনত্বের সাথে অবিচ্ছিন্নভাবে অ্যাবসিসা বরাবর ভর বিতরণ করা হয়। এই ব্যাখ্যাটি প্রায়শই সাধারণ যান্ত্রিক বিবেচনা থেকে অখণ্ড (5.6.2) গণনা না করেই গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে পেতে দেয়।

উপরে আমরা পরিমাণের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি স্বরলিপি চালু করেছি। অনেক ক্ষেত্রে, যখন একটি পরিমাণকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হিসাবে সূত্রে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তখন এটি একটি অক্ষর দিয়ে বোঝানো আরও সুবিধাজনক। এই ক্ষেত্রে, আমরা একটি মানের গাণিতিক প্রত্যাশাকে এর দ্বারা চিহ্নিত করব:

স্বরলিপি এবং গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য ভবিষ্যতে সমান্তরালভাবে ব্যবহার করা হবে, সূত্রগুলির একটি নির্দিষ্ট রেকর্ডিংয়ের সুবিধার উপর নির্ভর করে। প্রয়োজনে আমরাও সম্মত হই, m.o অক্ষর দিয়ে "গাণিতিক প্রত্যাশা" শব্দগুলিকে সংক্ষেপিত করতে।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যবিধান - গাণিতিক প্রত্যাশা - সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিদ্যমান নয়। এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ রচনা করা সম্ভব যার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা বিদ্যমান নেই, যেহেতু সংশ্লিষ্ট যোগফল বা অবিচ্ছেদ্য বিচ্যুত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বন্টন সিরিজের সাথে একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন:

এটা যাচাই করা সহজ, যেমন বিতরণ সিরিজ অর্থবোধ করে; তবে পরিমাণ এক্ষেত্রেবিচ্ছিন্ন হয় এবং তাই, মানের কোন গাণিতিক প্রত্যাশা নেই। যাইহোক, এই ধরনের ক্ষেত্রে অনুশীলনের জন্য উল্লেখযোগ্য আগ্রহ নেই। সাধারণত, আমরা যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সাথে মোকাবিলা করি তার সম্ভাব্য মানগুলির একটি সীমিত পরিসর থাকে এবং অবশ্যই একটি গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে।

উপরে আমরা একটি বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের জন্য যথাক্রমে গাণিতিক প্রত্যাশা প্রকাশ করে সূত্র (5.6.1) এবং (5.6.2) দিয়েছি।

যদি একটি পরিমাণ একটি মিশ্র ধরনের পরিমাণের অন্তর্গত হয়, তাহলে তার গাণিতিক প্রত্যাশা ফর্মের একটি সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

, (5.6.3)

যেখানে সমষ্টি সমস্ত বিন্দুতে প্রসারিত হয় যেখানে বন্টন ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন, এবং অবিচ্ছেদ্য সমস্ত ক্ষেত্রে প্রসারিত হয় যেখানে বিতরণ ফাংশন অবিচ্ছিন্ন।

একটি অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ - গাণিতিক প্রত্যাশা - অনুশীলনে, অবস্থানের অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি কখনও কখনও ব্যবহার করা হয়, বিশেষত, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মোড এবং মধ্যমা৷

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড হল এর সবচেয়ে সম্ভাব্য মান। কঠোরভাবে বলতে গেলে "সবচেয়ে সম্ভাব্য মান" শব্দটি শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন পরিমাণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; একটি অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য, মোড হল সেই মান যেখানে সম্ভাব্যতার ঘনত্ব সর্বাধিক। আসুন আমরা চিঠি দ্বারা মোড বোঝাতে সম্মত হই। চিত্রে। 5.6.1 এবং 5.6.2 যথাক্রমে অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য মোড দেখায়।

যদি বন্টন বহুভুজ (বণ্টন বক্ররেখা) সর্বোচ্চ একাধিক থাকে, তাহলে বন্টনকে বলা হয় "মাল্টিমোডাল" (চিত্র 5.6.3 এবং 5.6.4)।

কখনও কখনও এমন ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে যেগুলির মধ্যে সর্বাধিকের পরিবর্তে সর্বনিম্ন থাকে (চিত্র 5.6.5 এবং 5.6.6)৷ এই ধরনের বিতরণকে "অ্যান্টি-মডাল" বলা হয়। একটি অ্যান্টিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশনের উদাহরণ হল উদাহরণ 5, n° 5.1 এ প্রাপ্ত বন্টন।

সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশা মিলে যায় না। বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন বণ্টনটি প্রতিসম এবং মডেল (অর্থাৎ একটি মোড আছে) এবং একটি গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে, তখন এটি বিতরণের প্রতিসাম্যের মোড এবং কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।

আরেকটি অবস্থানের বৈশিষ্ট্য প্রায়শই ব্যবহৃত হয় - একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তথাকথিত মধ্যমা। এই বৈশিষ্ট্যটি সাধারণত শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ব্যবহৃত হয়, যদিও এটি একটি বিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীলের জন্য আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

একটি র্যান্ডম চলকের মধ্যক হল এর মান যার জন্য

সেগুলো। এটা সমানভাবে সম্ভব যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর থেকে কম বা বেশি হবে। জ্যামিতিকভাবে, মধ্যমা হল বিন্দুর অবসিসা যেখানে বণ্টন বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকাটি অর্ধেক ভাগ করা হয় (চিত্র 5.6.7)।