সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

গতবার আমরা শিখেছি কিভাবে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করতে হয় (পাঠ দেখুন "ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ")। এই ক্রিয়াগুলির সবচেয়ে কঠিন অংশটি ছিল ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে আসা।

এখন গুণ এবং ভাগের সাথে মোকাবিলা করার সময়। ভাল খবরএই অপারেশনগুলি যোগ এবং বিয়োগের চেয়েও সহজ। প্রথমে, আসুন সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক, যখন একটি পৃথক পূর্ণসংখ্যা অংশ ছাড়া দুটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ থাকে।

দুটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে তাদের লব এবং হরকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে। প্রথম সংখ্যাটি হবে নতুন ভগ্নাংশের লব, এবং দ্বিতীয়টি হবে হর।

দুটি ভগ্নাংশকে ভাগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশটিকে "উল্টানো" দ্বিতীয় ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে হবে।

উপাধি:

সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ভগ্নাংশগুলিকে ভাগ করলে গুণিত হয়। একটি ভগ্নাংশকে "ফ্লিপ" করতে, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অতএব, পুরো পাঠ জুড়ে আমরা প্রধানত গুণ বিবেচনা করব।

গুণের ফলস্বরূপ, একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ উঠতে পারে (এবং প্রায়শই দেখা দেয়) - এটি অবশ্যই হ্রাস করা উচিত। যদি সমস্ত হ্রাসের পরে ভগ্নাংশটি ভুল হয়ে যায় তবে পুরো অংশটি হাইলাইট করা উচিত। কিন্তু গুণনের সাথে যা হবে না তা হল একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করা: কোন ক্রিস-ক্রস পদ্ধতি নেই, সর্বশ্রেষ্ঠ গুণনীয়ক এবং সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক।

সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

সম্পূর্ণ অংশ এবং ঋণাত্মক ভগ্নাংশের সাথে ভগ্নাংশকে গুণ করা

যদি ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকে, তবে সেগুলিকে অবশ্যই অনুপযুক্তগুলিতে রূপান্তর করতে হবে - এবং শুধুমাত্র তারপরে উপরে বর্ণিত স্কিম অনুসারে গুণিত হবে।

ভগ্নাংশের লবটিতে, হর বা তার সামনে একটি বিয়োগ থাকলে, নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে এটিকে গুণের বাইরে নেওয়া যেতে পারে বা সম্পূর্ণ অপসারণ করা যেতে পারে:

1. প্লাস বাই মাইনাস দেয় মাইনাস;
2. দুটি নেতিবাচক একটি ইতিবাচক করে তোলে।

এখন পর্যন্ত, এই নিয়মগুলি শুধুমাত্র ঋণাত্মক ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় সম্মুখীন হয়েছে, যখন এটি সম্পূর্ণ অংশ পরিত্রাণ পেতে প্রয়োজন ছিল। একটি কাজের জন্য, একযোগে বেশ কয়েকটি অসুবিধা "বার্ন" করার জন্য সেগুলিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে:

1. আমরা নেতিবাচকগুলি জোড়ায় জোড়ায় আউট করি যতক্ষণ না তারা সম্পূর্ণরূপে অদৃশ্য হয়ে যায়। চরম ক্ষেত্রে, এক বিয়োগ বেঁচে থাকতে পারে - যার জন্য কোন সঙ্গী ছিল না;
2. যদি কোন বিয়োগ অবশিষ্ট না থাকে, অপারেশন সম্পন্ন হয় - আপনি গুণ করা শুরু করতে পারেন। যদি শেষ বিয়োগটি অতিক্রম না করা হয় কারণ এটির জন্য কোন জোড়া ছিল না, আমরা এটিকে গুণের সীমার বাইরে নিয়ে যাই। ফলাফল একটি নেতিবাচক ভগ্নাংশ হয়.

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

আমরা সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং তারপর গুণের থেকে বিয়োগগুলি বের করি। আমরা যা অবশিষ্ট আছে তা দ্বারা গুণ করি স্বাভাবিক নিয়ম. আমরা পেতে:

আমি আপনাকে আবারও মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি হাইলাইট করা সম্পূর্ণ অংশের সাথে একটি ভগ্নাংশের সামনে যে বিয়োগটি প্রদর্শিত হয় তা বিশেষভাবে সম্পূর্ণ ভগ্নাংশকে বোঝায়, এবং শুধুমাত্র তার সম্পূর্ণ অংশকে নয় (এটি শেষ দুটি উদাহরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য)।

নেতিবাচক সংখ্যাগুলিতেও মনোযোগ দিন: গুণ করার সময়, এগুলি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে। এটি করা হয় গুণের চিহ্নগুলি থেকে বিয়োগগুলিকে আলাদা করার জন্য এবং সম্পূর্ণ স্বরলিপিটিকে আরও নির্ভুল করার জন্য।

মাছি ভগ্নাংশ হ্রাস

গুণন একটি অত্যন্ত শ্রম-নিবিড় অপারেশন। এখানে সংখ্যাগুলি বেশ বড় হতে দেখা যাচ্ছে এবং সমস্যাটি সহজ করার জন্য, আপনি ভগ্নাংশটি আরও কমানোর চেষ্টা করতে পারেন গুণের আগে. প্রকৃতপক্ষে, সারমর্মে, ভগ্নাংশের লব এবং হর হল সাধারণ ফ্যাক্টর, এবং তাই, ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তাদের হ্রাস করা যেতে পারে। উদাহরণগুলি একবার দেখুন:

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

সমস্ত উদাহরণে, যে সংখ্যাগুলি হ্রাস করা হয়েছে এবং যা অবশিষ্ট রয়েছে তা লাল রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে।

দয়া করে মনে রাখবেন: প্রথম ক্ষেত্রে, গুণকগুলি সম্পূর্ণভাবে হ্রাস করা হয়েছিল। তাদের জায়গায় এমন একক রয়ে গেছে যেগুলো সাধারণত লিখতে হয় না। দ্বিতীয় উদাহরণে, সম্পূর্ণ হ্রাস অর্জন করা সম্ভব হয়নি, তবে গণনার মোট পরিমাণ এখনও হ্রাস পেয়েছে।

যাইহোক, ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় এই কৌশলটি ব্যবহার করবেন না! হ্যাঁ, কখনও কখনও অনুরূপ সংখ্যা রয়েছে যা আপনি কমাতে চান। এখানে, দেখুন:

তুমি এটা করতে পারবে না!

ত্রুটিটি ঘটে কারণ যোগ করার সময়, একটি ভগ্নাংশের লব একটি যোগফল তৈরি করে, সংখ্যার গুণফল নয়। অতএব, একটি ভগ্নাংশের মূল সম্পত্তি প্রয়োগ করা অসম্ভব, যেহেতু এই সম্পত্তিতে আমরা সম্পর্কে কথা বলছিবিশেষ করে সংখ্যা গুন সম্পর্কে।

ভগ্নাংশ কমানোর জন্য অন্য কোন কারণ নেই, তাই সঠিক সমাধানআগের কাজটি এইরকম দেখায়:

সঠিক সমাধান:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সঠিক উত্তরটি এত সুন্দর নয়। সাধারণভাবে, সতর্ক থাকুন।

আরেকটি অপারেশন যা সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে তা হল গুণ। আমরা সমস্যার সমাধান করার সময় এর মৌলিক নিয়মগুলি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব, দেখাব কীভাবে একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় এবং কীভাবে তিনটি সাধারণ ভগ্নাংশ বা তার বেশিকে সঠিকভাবে গুণ করা যায়।

আসুন প্রথমে মৌলিক নিয়ম লিখি:

সংজ্ঞা 1

যদি আমরা একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করি, তাহলে ফলস্বরূপ ভগ্নাংশের লব হবে পণ্যের সমানমূল ভগ্নাংশের লব, এবং হর হল তাদের হরগুলির গুণফল। আক্ষরিক আকারে, a / b এবং c / d দুটি ভগ্নাংশের জন্য, এটি একটি b · c d = a · c b · d হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

আসুন এই নিয়মটি কীভাবে সঠিকভাবে প্রয়োগ করা যায় তার একটি উদাহরণ দেখি। ধরা যাক আমাদের একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে যার বাহু একটি সংখ্যাগত এককের সমান। তাহলে চিত্রটির ক্ষেত্রফল হবে ১ বর্গ। ইউনিট যদি আমরা বর্গক্ষেত্রটিকে সমান আয়তক্ষেত্রে ভাগ করি যার বাহুগুলি 1 4 এবং 1 8 সাংখ্যিক এককের সমান, আমরা বুঝতে পারি যে এটি এখন 32টি আয়তক্ষেত্র নিয়ে গঠিত (কারণ 8 4 = 32)। তদনুসারে, তাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল সমগ্র চিত্রের ক্ষেত্রফলের 1 32 এর সমান হবে, অর্থাৎ 1 32 বর্গ. ইউনিট

আমাদের কাছে একটি ছায়াযুক্ত খণ্ড রয়েছে যার বাহু 5 8 সাংখ্যিক একক এবং 3 4 সংখ্যাসূচক এককের সমান। তদনুসারে, এর ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশটিকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে। এটি 5 8 · 3 4 বর্গ মিটারের সমান হবে। ইউনিট কিন্তু আমরা সহজেই গণনা করতে পারি কতগুলি আয়তক্ষেত্র খণ্ডটিতে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে: তাদের মধ্যে 15টি রয়েছে, যার অর্থ মোট এলাকাহল 15 32 বর্গ ইউনিট।

যেহেতু 5 3 = 15 এবং 8 4 = 32, আমরা নিম্নলিখিত সমতা লিখতে পারি:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

এটি নিশ্চিত করে যে আমরা সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য যে নিয়মটি তৈরি করেছি, যা একটি b · c d = a · c b · d হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এটি সঠিক এবং অনুপযুক্ত উভয় ভগ্নাংশের জন্য একই কাজ করে; এটি ভিন্ন এবং অভিন্ন উভয় হর দিয়ে ভগ্নাংশকে গুণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

চলুন সাধারণ ভগ্নাংশের গুণের সাথে জড়িত বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান দেখি।

উদাহরণ 1

7 11 কে 9 8 দ্বারা গুণ করুন।

সমাধান

প্রথমে, 7 কে 9 দ্বারা গুন করে নির্দেশিত ভগ্নাংশের অংকের গুণফল নির্ণয় করা যাক। আমরা 63 পেয়েছি। তারপর আমরা হরগুলির গুণফল গণনা করি এবং পাই: 11 · 8 = 88। আসুন দুটি সংখ্যা রচনা করি এবং উত্তরটি হল: 63 88।

পুরো সমাধানটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

উত্তর: 7 11 · 9 8 = 63 88।

যদি আমরা আমাদের উত্তরে একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ পাই তবে আমাদের গণনাটি সম্পূর্ণ করতে হবে এবং এর হ্রাস সম্পাদন করতে হবে। যদি আমরা সফল না হই প্রকৃত ভগ্নাংশ, আপনাকে এটি থেকে একটি সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করতে হবে।

উদাহরণ 2

ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করুন 4 15 এবং 55 6।

সমাধান

উপরে অধ্যয়ন করা নিয়ম অনুসারে, আমাদের লবকে লব দ্বারা এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে। সমাধান রেকর্ড এই মত দেখাবে:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

আমরা একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ পেয়েছি, যেমন যেটি 10 ​​দ্বারা বিভাজ্য।

ভগ্নাংশ কমানো যাক: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9। ফলস্বরূপ, আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পাই, যা থেকে আমরা পুরো অংশটি নির্বাচন করি এবং একটি মিশ্র সংখ্যা পাই: 22 9 = 2 4 9।

উত্তর: 4 15 55 6 = 2 4 9।

গণনার সুবিধার জন্য, আমরা গুণন অপারেশন করার আগে মূল ভগ্নাংশগুলিকেও কমাতে পারি, যার জন্য আমাদের ভগ্নাংশটিকে a · c b · d আকারে কমাতে হবে। চলকগুলির মানগুলিকে সরল ফ্যাক্টরগুলিতে পচিয়ে দেওয়া যাক এবং একইগুলিকে হ্রাস করি।

একটি নির্দিষ্ট টাস্ক থেকে ডেটা ব্যবহার করে এটি কেমন দেখাচ্ছে তা ব্যাখ্যা করা যাক।

উদাহরণ 3

গুণফল গণনা করুন 4 15 55 6।

সমাধান

আসুন গুণের নিয়মের উপর ভিত্তি করে গণনা লিখি। আমরা পাব:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

যেহেতু 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 এবং 6 = 2 3, তারপর 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3।

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

উত্তর: 4 15 · 55 6 = 2 4 9।

সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যেটিতে সাধারণ ভগ্নাংশের গুন সংঘটিত হয়, এর একটি পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি রয়েছে, অর্থাৎ, প্রয়োজনে, আমরা উপাদানগুলির ক্রম পরিবর্তন করতে পারি:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দিয়ে ভগ্নাংশকে কীভাবে গুণ করা যায়

আসুন এখনই মৌলিক নিয়মটি লিখি, এবং তারপর অনুশীলনে এটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করি।

সংজ্ঞা 2

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে সেই ভগ্নাংশের লবটিকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ভগ্নাংশের হর মূল সাধারণ ভগ্নাংশের হরের সমান হবে। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n দ্বারা একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশ a b এর গুণকে a b · n = a · n b সূত্র হিসাবে লেখা যেতে পারে।

এই সূত্রটি বোঝা সহজ যদি আপনি মনে রাখেন যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যার একটি হর সমান, তা হল:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

আমাদের ধারণা নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যাক।

উদাহরণ 4

গুণফল 2 27 বার 5 গণনা করুন।

সমাধান

মূল ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করার ফলে আমরা 10 পাব। উপরে উল্লিখিত নিয়ম অনুসারে, আমরা ফলস্বরূপ 10 27 পাব। সম্পূর্ণ সমাধান এই পোস্টে দেওয়া হয়েছে:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

উত্তর: 2 27 5 = 10 27

যখন আমরা একটি ভগ্নাংশের সাথে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে গুণ করি, তখন আমাদের প্রায়শই ফলাফলটি সংক্ষিপ্ত করতে হয় বা এটিকে একটি মিশ্র সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করতে হয়।

উদাহরণ 5

শর্ত: গুণফল 8 দ্বারা 5 12 গণনা করুন।

সমাধান

উপরের নিয়ম অনুসারে, আমরা লব দ্বারা প্রাকৃতিক সংখ্যাকে গুণ করি। ফলস্বরূপ, আমরা পাই যে 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12। চূড়ান্ত ভগ্নাংশে 2 দ্বারা বিভাজ্যতার লক্ষণ রয়েছে, তাই আমাদের এটি কমাতে হবে:

LCM (40, 12) = 4, তাই 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

এখন আমাদের যা করতে হবে তা হল পুরো অংশটি নির্বাচন করুন এবং প্রস্তুত উত্তরটি লিখুন: 10 3 = 3 1 3।

এই এন্ট্রিতে আপনি সম্পূর্ণ সমাধানটি দেখতে পারেন: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3।

আমরা লব এবং হরকে প্রাইম ফ্যাক্টর করে ভগ্নাংশ কমাতে পারি, এবং ফলাফল ঠিক একই হবে।

উত্তর: 5 12 8 = 3 1 3।

একটি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি যেখানে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা হয় তারও স্থানচ্যুতির বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ, কারণগুলির ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না:

a b · n = n · a b = a · n b

তিন বা ততোধিক সাধারণ ভগ্নাংশকে কীভাবে গুণ করা যায়

আমরা সাধারণ ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করার ক্রিয়াকে প্রসারিত করতে পারি একই বৈশিষ্ট্যগুলি যা প্রাকৃতিক সংখ্যাকে গুণ করার বৈশিষ্ট্যযুক্ত। এটি এই ধারণাগুলির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

সংমিশ্রণ এবং পরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্যগুলির জ্ঞানের জন্য ধন্যবাদ, আপনি তিন বা ততোধিক সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করতে পারেন। বৃহত্তর সুবিধার জন্য ফ্যাক্টরগুলিকে পুনর্বিন্যাস করা বা বন্ধনীগুলিকে এমনভাবে সাজানো গ্রহণযোগ্য যা গণনা করা সহজ করে তোলে।

আসুন একটি উদাহরণ সহ দেখাই কিভাবে এটি করা হয়।

উদাহরণ 6

চারটি সাধারণ ভগ্নাংশ 1 20, 12 5, 3 7 এবং 5 8 গুণ করুন।

সমাধান: প্রথমে কাজটি রেকর্ড করি। আমরা পাই 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8। আমাদের সমস্ত লব এবং সমস্ত হর একসাথে গুণ করতে হবে: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8।

আমরা গুণ করা শুরু করার আগে, আমরা নিজেরাই জিনিসগুলিকে একটু সহজ করে তুলতে পারি এবং আরও কমানোর জন্য কিছু সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টর করতে পারি। এটি ইতিমধ্যে প্রস্তুত ফলের ভগ্নাংশ হ্রাস করার চেয়ে সহজ হবে।

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

উত্তর: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280।

উদাহরণ 7

5টি সংখ্যা 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 গুণ করুন।

সমাধান

সুবিধার জন্য, আমরা ভগ্নাংশ 7 8 কে 8 নম্বরের সাথে এবং 12 নম্বরটিকে 5 36 ভগ্নাংশের সাথে গ্রুপ করতে পারি, যেহেতু ভবিষ্যতের সংক্ষিপ্ত রূপগুলি আমাদের কাছে স্পষ্ট হবে। ফলস্বরূপ, আমরা পাব:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 1013 = 7 5 313 ​​= 2 3

উত্তর: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

ভগ্নাংশকে গুণ ও ভাগ করা।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
মধ্যে উপকরণ বিশেষ ধারা 555।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

এই অপারেশন অনেক বেশি আনন্দদায়ক যোগ-বিয়োগ! কারণ এটা সহজ। একটি অনুস্মারক হিসাবে, একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লব (এটি ফলাফলের লব হবে) এবং হরগুলিকে (এটি হবে হর) গুণ করতে হবে। এটাই:

উদাহরণ স্বরূপ:

সবকিছু অত্যন্ত সহজ. এবং দয়া করে একটি সাধারণ হর সন্ধান করবেন না! এখানে তার কোন প্রয়োজন নেই...

একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি ভগ্নাংশ ভাগ করতে, আপনাকে বিপরীত করতে হবে দ্বিতীয়(এটি গুরুত্বপূর্ণ!) ভগ্নাংশ এবং তাদের গুণ করুন, যেমন:

উদাহরণ স্বরূপ:

আপনি যদি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের সাথে গুণ বা ভাগ দেখেন তবে ঠিক আছে। যোগ করার মতো, আমরা একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করি যার একটি হর দিয়ে - এবং এগিয়ে যান! উদাহরণ স্বরূপ:

হাই স্কুলে, আপনাকে প্রায়ই তিন-তলা (বা এমনকি চার-তলা!) ভগ্নাংশগুলির সাথে মোকাবিলা করতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

আমি কিভাবে এই ভগ্নাংশ শালীন চেহারা করতে পারি? হ্যাঁ, খুব সহজ! দুই-পয়েন্ট বিভাগ ব্যবহার করুন:

কিন্তু বিভাজনের আদেশ সম্পর্কে ভুলবেন না! গুণের বিপরীতে, এটি এখানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ! অবশ্যই, আমরা 4:2 বা 2:4 বিভ্রান্ত করব না। কিন্তু তিন-তলা ভগ্নাংশে ভুল করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ নোট করুন:

প্রথম ক্ষেত্রে (বাম দিকে অভিব্যক্তি):

দ্বিতীয়টিতে (ডানদিকে অভিব্যক্তি):

আপনি কি পার্থক্য অনুভব করেন? 4 এবং 1/9!

বিভাজনের ক্রম কী নির্ধারণ করে? হয় বন্ধনী সহ, অথবা (যেমন এখানে) অনুভূমিক রেখার দৈর্ঘ্য সহ। আপনার চোখের বিকাশ করুন। এবং যদি কোন বন্ধনী বা ড্যাশ না থাকে, যেমন:

তারপর ভাগ করুন এবং গুণ করুন ক্রমে, বাম থেকে ডানে!

এবং খুব সহজ এবং গুরুত্বপূর্ণ কৌশল. ডিগ্রী সঙ্গে কর্ম, এটা আপনার জন্য তাই দরকারী হবে! আসুন একটিকে যেকোনো ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করি, উদাহরণস্বরূপ, 13/15 দ্বারা:

শট উল্টে গেছে! এবং এটি সবসময় ঘটে। 1 কে যে কোন ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল একই ভগ্নাংশ হয়, শুধুমাত্র উল্টো।

এটা ভগ্নাংশ সঙ্গে অপারেশন জন্য. জিনিসটি বেশ সহজ, তবে এটি যথেষ্ট ত্রুটির চেয়ে বেশি দেয়। বিঃদ্রঃ বাস্তবিক উপদেশ, এবং তাদের (ত্রুটি) কম হবে!

ব্যবহারিক টিপস:

1. ভগ্নাংশের অভিব্যক্তির সাথে কাজ করার সময় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যথার্থতা এবং মনোযোগীতা! এগুলো সাধারণ কথা নয়, শুভকামনা নয়! এটি একটি গুরুতর প্রয়োজনীয়তা! ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমস্ত গণনা একটি পূর্ণাঙ্গ টাস্ক হিসাবে করুন, ফোকাসড এবং পরিষ্কার। মানসিক গণনা করার সময় গোলমাল করার চেয়ে আপনার খসড়াতে দুটি অতিরিক্ত লাইন লেখা ভাল।

2. সঙ্গে উদাহরণ বিভিন্ন ধরনেরভগ্নাংশ - সাধারণ ভগ্নাংশে যান।

3. আমরা সমস্ত ভগ্নাংশ কমিয়ে ফেলি যতক্ষণ না তারা থামে।

4. আমরা দুটি বিন্দুর মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করে বহু-স্তরের ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে সাধারণ থেকে কমিয়ে দিই (আমরা বিভাজনের ক্রম অনুসরণ করি!)

5. আপনার মাথার একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি ইউনিটকে ভাগ করুন, কেবল ভগ্নাংশটিকে ঘুরিয়ে দিন।

এখানে এমন কাজগুলি রয়েছে যা আপনাকে অবশ্যই সম্পূর্ণ করতে হবে। সব কাজের পরে উত্তর দেওয়া হয়. এই বিষয়ে উপকরণ এবং ব্যবহারিক টিপস ব্যবহার করুন. আপনি কতগুলি উদাহরণ সঠিকভাবে সমাধান করতে পেরেছেন তা অনুমান করুন। প্রথমবার! ক্যালকুলেটর ছাড়া! এবং সঠিক সিদ্ধান্তে আঁকুন...

মনে রাখবেন - সঠিক উত্তর দ্বিতীয় থেকে প্রাপ্ত (বিশেষত তৃতীয়) সময় গণনা করা হয় না!এমনই রূঢ় জীবন।

তাই, পরীক্ষার মোডে সমাধান করুন ! এটি ইতিমধ্যেই ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নিচ্ছে। আমরা উদাহরণটি সমাধান করি, এটি পরীক্ষা করি, পরবর্তীটি সমাধান করি। আমরা সবকিছু ঠিক করেছি - প্রথম থেকে শেষ পর্যন্ত আবার পরীক্ষা করেছি। কিন্তু শুধুমাত্র তারপরউত্তর তাকান

গণনা করুন:

আপনি সিদ্ধান্ত নিয়েছে?

আমরা আপনার সাথে মেলে এমন উত্তর খুঁজছি। আমি ইচ্ছাকৃতভাবে সেগুলিকে বিশৃঙ্খলভাবে লিখেছি, প্রলোভন থেকে দূরে, তাই কথা বলার জন্য... সেগুলি এখানে, সেমিকোলন দিয়ে লেখা উত্তরগুলি।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

এখন আমরা সিদ্ধান্তে আঁকি। যদি সবকিছু কার্যকর হয়, আমি আপনার জন্য খুশি! ভগ্নাংশের সাথে মৌলিক গণনা আপনার সমস্যা নয়! আপনি আরো গুরুতর জিনিস করতে পারেন. যদি না...

সুতরাং আপনার দুটি সমস্যার একটি আছে। অথবা উভয়ই একসাথে।) জ্ঞানের অভাব এবং (বা) অমনোযোগীতা। কিন্তু এই সমাধানযোগ্য সমস্যা।

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

পাঠের বিষয়বস্তু

অনুরূপ হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা

ভগ্নাংশের যোগ দুই ধরনের আছে:

1. অনুরূপ হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা

প্রথমে, আসুন অনুরূপ হরগুলির সাথে ভগ্নাংশের যোগ শিখি। এখানে সবকিছু সহজ. একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা যাক এবং . লব যোগ করুন এবং হর অপরিবর্তিত রাখুন:

চার ভাগে বিভক্ত পিজ্জার কথা মনে রাখলে এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে। আপনি যদি পিজ্জাতে পিজা যোগ করেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 2।ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং .

উত্তর একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হতে পরিণত. যখন কাজ শেষ হয়, এটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে প্রথাগত। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে, আপনি এটি সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, পুরো অংশটি সহজেই বিচ্ছিন্ন - দুই ভাগ দুই সমান এক:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা দুটি অংশে বিভক্ত একটি পিজ্জার কথা মনে রাখি। আপনি যদি পিজ্জাতে আরও পিজা যোগ করেন, আপনি একটি সম্পূর্ণ পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 3. ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং .

আবার, আমরা লব যোগ করি এবং হর অপরিবর্তিত রাখি:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা পিজ্জার কথা মনে করি, যা তিনটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে আরও পিজা যোগ করেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 4.একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

এই উদাহরণটি আগেরগুলির মতো ঠিক একইভাবে সমাধান করা হয়েছে। অংকগুলি অবশ্যই যোগ করতে হবে এবং হর অপরিবর্তিত থাকবে:

আসুন একটি অঙ্কন ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজ্জাতে পিজ্জা যোগ করেন এবং আরও পিজা যোগ করেন, তাহলে আপনি 1টি সম্পূর্ণ পিজ্জা এবং আরও পিজ্জা পাবেন।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার বিষয়ে জটিল কিছু নেই। নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বোঝার জন্য এটি যথেষ্ট:

1. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হর অপরিবর্তিত রাখতে হবে;

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা

এখন আসুন শিখি কিভাবে বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়। ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, ভগ্নাংশের হর অবশ্যই একই হতে হবে। কিন্তু তারা সবসময় এক হয় না।

উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা যেতে পারে কারণ তাদের একই হর রয়েছে।

কিন্তু ভগ্নাংশগুলি এখনই যোগ করা যায় না, যেহেতু এই ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) হর-এ কমিয়ে আনতে হবে।

একই হর ভগ্নাংশ কমাতে বিভিন্ন উপায় আছে. আজ আমরা তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি দেখব, যেহেতু অন্যান্য পদ্ধতিগুলি একজন শিক্ষানবিশের জন্য জটিল বলে মনে হতে পারে।

এই পদ্ধতির সারমর্ম হল যে প্রথমে উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM অনুসন্ধান করা হয়। LCM তারপর প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত করার জন্য প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয়। তারা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করে - LCM দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং একটি দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত হয়।

ভগ্নাংশের লব এবং হরগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াগুলির ফলস্বরূপ, যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়.

উদাহরণ 1. ভগ্নাংশ যোগ করা যাক এবং

প্রথমত, আমরা উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে পাই। প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2। এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 6

LCM (2 এবং 3) = 6

এখন ভগ্নাংশ এবং . প্রথমে, LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করুন এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়কটি পান। LCM হল সংখ্যা 6, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3। 6 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 2 পাব।

ফলস্বরূপ সংখ্যা 2 হল প্রথম অতিরিক্ত গুণক। আমরা এটি প্রথম ভগ্নাংশে লিখি। এটি করার জন্য, ভগ্নাংশের উপর একটি ছোট তির্যক রেখা তৈরি করুন এবং এটির উপরে পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি লিখুন:

আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করি। আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি এবং দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাই। LCM হল সংখ্যা 6, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2। 6 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 3 পাব।

ফলাফল সংখ্যা 3 হল দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণক। আমরা এটি দ্বিতীয় ভগ্নাংশে লিখি। আবার, আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপর একটি ছোট তির্যক রেখা তৈরি করি এবং এটির উপরে পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি লিখি:

এখন আমরা যোগ করার জন্য সবকিছু প্রস্তুত আছে. ভগ্নাংশের লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করতে হবে:

আমরা কি এসেছি তা মনোযোগ সহকারে দেখুন। আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়. এই উদাহরণটি শেষ পর্যন্ত নেওয়া যাক:

এটি উদাহরণটি সম্পূর্ণ করে। এটা যোগ আউট সক্রিয়.

আসুন একটি অঙ্কন ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজ্জাতে পিজা যোগ করেন তবে আপনি একটি সম্পূর্ণ পিজ্জা এবং একটি পিজ্জার ষষ্ঠাংশ পাবেন:

ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) ডিনোমিনেটরে হ্রাস করাও একটি ছবি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে। ভগ্নাংশ এবং একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করে, আমরা ভগ্নাংশ পেয়েছি এবং . এই দুটি ভগ্নাংশ পিজ্জার একই টুকরা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে। পার্থক্য শুধু এই যে এই সময় তারা সমান শেয়ারে বিভক্ত হবে (একই ডিনোমিনেটরে হ্রাস করা হয়েছে)।

প্রথম অঙ্কনটি একটি ভগ্নাংশের প্রতিনিধিত্ব করে (ছয়টির মধ্যে চারটি টুকরা), এবং দ্বিতীয় অঙ্কনটি একটি ভগ্নাংশ (ছয়টির মধ্যে তিনটি টুকরা) প্রতিনিধিত্ব করে। এই টুকরা যোগ করা আমরা পেতে (ছয় থেকে সাত টুকরা)। এই ভগ্নাংশটি অনুপযুক্ত, তাই আমরা এটির পুরো অংশটি হাইলাইট করেছি। ফলস্বরূপ, আমরা পেয়েছি (একটি সম্পূর্ণ পিজা এবং আরেকটি ষষ্ঠ পিজ্জা)।

দয়া করে মনে রাখবেন যে আমরা এই উদাহরণটি খুব বিশদভাবে বর্ণনা করেছি। ভিতরে শিক্ষা প্রতিষ্ঠানএত বিস্তারিত লেখার রেওয়াজ নেই। আপনাকে দ্রুত উভয় হর এবং তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়কগুলির LCM খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে, সেইসাথে আপনার লব এবং হর দ্বারা পাওয়া অতিরিক্ত গুণনীয়কগুলিকে দ্রুত গুণ করতে হবে। আমরা যদি স্কুলে থাকতাম, তাহলে আমাদের এই উদাহরণটি নিম্নরূপ লিখতে হবে:

কিন্তু এছাড়াও আছে পিছন দিকপদক আপনি যদি গণিত অধ্যয়নের প্রথম পর্যায়ে বিশদ নোট না নেন, তবে সাজানোর প্রশ্নগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে। "এই সংখ্যাটি কোথা থেকে আসে?", "কেন ভগ্নাংশগুলি হঠাৎ করে সম্পূর্ণ ভিন্ন ভগ্নাংশে পরিণত হয়? «.

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা সহজ করতে, আপনি নিম্নলিখিত ধাপে ধাপে নির্দেশাবলী ব্যবহার করতে পারেন:

1. ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন;
2. প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন এবং প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত করুন;
3. ভগ্নাংশের লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করুন;
4. একই হর আছে এমন ভগ্নাংশ যোগ করুন;
5. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হতে পরিণত হয়, তাহলে এর সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করুন;

উদাহরণ 2।একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন .

উপরে দেওয়া নির্দেশাবলী ব্যবহার করা যাক.

ধাপ 1. ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন

উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM নির্ণয় কর। ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2, 3 এবং 4

ধাপ 2. LCM কে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করুন এবং প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক পান

প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল 12 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2৷ 12 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 6 পাব৷ আমরা প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক 6 পেয়েছি৷ আমরা এটিকে প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল 3 নম্বর। 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 4 পাব। আমরা দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 4 পাই। আমরা এটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা তৃতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM কে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং তৃতীয় ভগ্নাংশের হর হল 4 নম্বর। 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 3 পাব। আমরা তৃতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 3 পাই। আমরা এটি তৃতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

ধাপ 3. ভগ্নাংশের লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করুন

আমরা লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করি:

ধাপ 4. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করুন

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই (সাধারণ) হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল এই ভগ্নাংশ যোগ করা। এটি যোগ করুন:

সংযোজনটি এক লাইনে ফিট হয়নি, তাই আমরা অবশিষ্ট অভিব্যক্তিটিকে পরবর্তী লাইনে সরিয়ে নিয়েছি। এটি গণিতে অনুমোদিত। যখন একটি অভিব্যক্তি একটি লাইনে ফিট না হয়, তখন এটি পরবর্তী লাইনে সরানো হয় এবং প্রথম লাইনের শেষে এবং নতুন লাইনের শুরুতে একটি সমান চিহ্ন (=) স্থাপন করা প্রয়োজন। দ্বিতীয় লাইনে সমান চিহ্নটি নির্দেশ করে যে এটি প্রথম লাইনে থাকা অভিব্যক্তিটির ধারাবাহিকতা।

ধাপ 5. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হতে দেখা যায়, তাহলে এর পুরো অংশটি নির্বাচন করুন

আমাদের উত্তর একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হতে পরিণত. এর একটি সম্পূর্ণ অংশ আমাদেরকে তুলে ধরতে হবে। আমরা হাইলাইট করি:

আমরা একটি উত্তর পেয়েছি

অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা

ভগ্নাংশের বিয়োগ দুই প্রকার:

1. অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা
2. বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা

প্রথমে, আসুন শিখে নেওয়া যাক কিভাবে অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যায়। এখানে সবকিছু সহজ. একটি ভগ্নাংশ থেকে আরেকটি বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে, তবে হরটিকে একই রেখে দিন।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন অভিব্যক্তিটির মান খুঁজে বের করি। এই উদাহরণটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে। চল এটা করি:

চার ভাগে বিভক্ত পিজ্জার কথা মনে রাখলে এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে। আপনি যদি একটি পিজ্জা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 2।অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর।

আবার, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে, দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করুন এবং হর অপরিবর্তিত রেখে দিন:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা পিজ্জার কথা মনে করি, যা তিনটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি একটি পিজ্জা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 3.একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

এই উদাহরণটি আগেরগুলির মতো ঠিক একইভাবে সমাধান করা হয়েছে। প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে আপনাকে অবশিষ্ট ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার বিষয়ে জটিল কিছু নেই। নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বোঝার জন্য এটি যথেষ্ট:

1. একটি ভগ্নাংশ থেকে অন্যটি বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে;
2. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হতে পরিণত হয়, তাহলে আপনাকে এটির পুরো অংশটি হাইলাইট করতে হবে।

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা

উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে পারেন কারণ ভগ্নাংশগুলির একই হর রয়েছে। কিন্তু আপনি একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে পারবেন না, যেহেতু এই ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) হর-এ কমিয়ে আনতে হবে।

সাধারণ হর একই নীতি ব্যবহার করে পাওয়া যায় যা আমরা বিভিন্ন হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার সময় ব্যবহার করেছি। প্রথমত, উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন। তারপর LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করা হয় এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়কটি পাওয়া যায়, যা প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লেখা হয়। একইভাবে, LCM দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং একটি দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাওয়া যায়, যা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লেখা হয়।

ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াকলাপগুলির ফলস্বরূপ, যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়.

উদাহরণ 1.অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

এই ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে, তাই আপনাকে তাদের একই (সাধারণ) হরতে কমাতে হবে।

প্রথমে আমরা উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজে পাই। প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 4৷ এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল হল 12

LCM (3 এবং 4) = 12

এখন ভগ্নাংশ এবং ফিরে আসা যাক

প্রথম ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করুন। LCM হল 12 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল 3 নম্বর। 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 4 পাব। প্রথম ভগ্নাংশের উপরে একটি চার লিখুন:

আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করি। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল 12 নম্বর, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল 4 নম্বর। 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 3 পাব। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে একটি তিন লিখুন:

এখন আমরা বিয়োগের জন্য প্রস্তুত। ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়. এই উদাহরণটি শেষ পর্যন্ত নেওয়া যাক:

আমরা একটি উত্তর পেয়েছি

আসুন একটি অঙ্কন ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। পিজ্জা থেকে পিজ্জা কাটলে পিজ্জা পাবেন

এটি সমাধানের বিস্তারিত সংস্করণ। আমরা যদি স্কুলে থাকতাম, তাহলে আমাদের এই উদাহরণটি ছোট করে সমাধান করতে হবে। যেমন একটি সমাধান এই মত হবে:

একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে ভগ্নাংশ হ্রাস করাও একটি ছবি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে। এই ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে হ্রাস করে, আমরা ভগ্নাংশ পেয়েছি এবং। এই ভগ্নাংশগুলিকে একই পিজা স্লাইস দ্বারা উপস্থাপিত করা হবে, কিন্তু এবার তারা সমান ভাগে বিভক্ত হবে (একই হরকে হ্রাস করা হয়েছে):

প্রথম ছবি একটি ভগ্নাংশ দেখায় (বারোটির মধ্যে আটটি টুকরা), এবং দ্বিতীয় ছবিটি একটি ভগ্নাংশ (বারোটির মধ্যে তিনটি টুকরা) দেখায়। আট টুকরো থেকে তিন টুকরো কাটলে আমরা বারোটির মধ্যে পাঁচটি পাই। ভগ্নাংশ এই পাঁচটি টুকরা বর্ণনা করে।

উদাহরণ 2।একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে, তাই প্রথমে আপনাকে তাদের একই (সাধারণ) হরতে কমাতে হবে।

আসুন এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির LCM বের করি।

ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 10, 3 এবং 5। এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 30

LCM(10, 3, 5) = 30

এখন আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য অতিরিক্ত কারণ খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন।

প্রথম ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা যাক। LCM হল 30 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল 10 নম্বর। 30 কে 10 দিয়ে ভাগ করলে আমরা প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক 3 পাই। আমরা এটি প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পাই। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল সংখ্যা 30, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3। 30 কে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 10 পাই। আমরা এটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা তৃতীয় ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পাই। তৃতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল সংখ্যা 30, এবং তৃতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 5। 30 কে 5 দ্বারা ভাগ করলে আমরা তৃতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 6 পাই। আমরা এটি তৃতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন সবকিছু বিয়োগের জন্য প্রস্তুত। ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত কারণগুলির দ্বারা গুণ করা বাকি রয়েছে:

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই (সাধারণ) হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়. এই উদাহরণ শেষ করা যাক.

উদাহরণের ধারাবাহিকতা এক লাইনে ফিট হবে না, তাই আমরা ধারাবাহিকতাকে পরবর্তী লাইনে নিয়ে যাই। নতুন লাইনে সমান চিহ্ন (=) সম্পর্কে ভুলবেন না:

উত্তরটি একটি নিয়মিত ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়েছে এবং সবকিছুই আমাদের জন্য উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে, তবে এটি খুব কষ্টকর এবং কুশ্রী। আমরা এটা সহজ করা উচিত. কি করা যেতে পারে? আপনি এই ভগ্নাংশ ছোট করতে পারেন.

একটি ভগ্নাংশ কমাতে, আপনাকে এর লব এবং হরকে 20 এবং 30 সংখ্যার (GCD) দ্বারা ভাগ করতে হবে।

সুতরাং, আমরা 20 এবং 30 সংখ্যার gcd খুঁজে পাই:

এখন আমরা আমাদের উদাহরণে ফিরে আসি এবং ভগ্নাংশের লব এবং হরকে পাওয়া gcd দ্বারা ভাগ করি, অর্থাৎ 10 দ্বারা

আমরা একটি উত্তর পেয়েছি

ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবটিকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।

উদাহরণ 1. একটি ভগ্নাংশকে সংখ্যা 1 দ্বারা গুণ করুন।

ভগ্নাংশের লবকে 1 সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন

রেকর্ডিং অর্ধ 1 সময় নিচ্ছে বোঝা যায়. উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি একবার পিজা নেন, আপনি পিজা পাবেন

গুণের সূত্র থেকে আমরা জানি যে গুণনীয়ক এবং গুণনীয়ক অদলবদল করা হলে গুণফলের পরিবর্তন হবে না। যদি অভিব্যক্তিটি হিসাবে লেখা হয়, তবে গুণফলটি এখনও সমান হবে। আবার, একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশকে গুণ করার নিয়মটি কাজ করে:

এই স্বরলিপিটি একটির অর্ধেক নেওয়া হিসাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি 1টি সম্পূর্ণ পিৎজা থাকে এবং আমরা তার অর্ধেক গ্রহণ করি, তাহলে আমাদের কাছে পিজ্জা থাকবে:

উদাহরণ 2. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

ভগ্নাংশের লবকে 4 দ্বারা গুণ করুন

উত্তর একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ ছিল. আসুন এটির পুরো অংশটি হাইলাইট করি:

অভিব্যক্তিটি 4 বার দুই চতুর্থাংশ গ্রহণ হিসাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 4টি পিজ্জা নেন তবে আপনি দুটি পুরো পিজ্জা পাবেন

এবং যদি আমরা গুণক এবং গুণক অদলবদল করি, আমরা অভিব্যক্তি পাব। এটি 2 এর সমানও হবে। এই অভিব্যক্তিটি চারটি সম্পূর্ণ পিজ্জা থেকে দুটি পিজ্জা নেওয়া হিসাবে বোঝা যেতে পারে:

ভগ্নাংশ গুণ করা

ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব এবং হরগুলিকে গুণ করতে হবে। যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয় তবে আপনাকে এটির পুরো অংশটি হাইলাইট করতে হবে।

উদাহরণ 1.অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর।

আমরা একটি উত্তর পেয়েছি. এই ভগ্নাংশ হ্রাস করার পরামর্শ দেওয়া হয়। ভগ্নাংশ 2 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। তারপর চূড়ান্ত সমাধান নিম্নলিখিত ফর্ম গ্রহণ করবে:

অর্ধেক পিজ্জা থেকে পিজ্জা নেওয়ার অভিব্যক্তি বোঝা যায়। ধরা যাক আমাদের অর্ধেক পিজ্জা আছে:

কিভাবে এই অর্ধেক থেকে দুই তৃতীয়াংশ নিতে? প্রথমে আপনাকে এই অর্ধেকটিকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করতে হবে:

এবং এই তিনটি টুকরা থেকে দুটি নিন:

আমরা পিজ্জা বানাবো। মনে রাখবেন পিৎজাকে তিন ভাগে ভাগ করলে কেমন দেখায়:

এই পিজ্জার এক টুকরো এবং আমরা যে দুটি টুকরো নিয়েছি তাদের একই মাত্রা থাকবে:

অন্য কথায়, আমরা একই আকারের পিজ্জা সম্পর্কে কথা বলছি। তাই অভিব্যক্তির মান

উদাহরণ 2. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব দ্বারা এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন:

উত্তর একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ ছিল. আসুন এটির পুরো অংশটি হাইলাইট করি:

উদাহরণ 3.একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব দ্বারা এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন:

উত্তরটি একটি নিয়মিত ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়েছে, তবে এটি সংক্ষিপ্ত হলে ভাল হবে। এই ভগ্নাংশটি কমাতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশের লব এবং হরকে বৃহত্তম দ্বারা ভাগ করতে হবে সাধারণ ভাজক(GCD) সংখ্যা 105 এবং 450।

সুতরাং, আসুন 105 এবং 450 নম্বরের জিসিডি খুঁজে বের করি:

এখন আমরা আমাদের উত্তরের লব এবং হরকে আমরা এখন যে gcd পেয়েছি, অর্থাৎ 15 দ্বারা ভাগ করি।

একটি ভগ্নাংশ হিসাবে একটি পূর্ণ সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব

যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি পাঁচটির অর্থ পরিবর্তন করবে না, যেহেতু অভিব্যক্তিটির অর্থ "পাঁচ নম্বর এক দ্বারা বিভক্ত" এবং এটি, আমরা জানি, পাঁচটির সমান:

পারস্পরিক সংখ্যা

এখন আমরা খুব পরিচিত হবে আকর্ষণীয় বিষয়গণিতে একে "বিপরীত সংখ্যা" বলা হয়।

সংজ্ঞা। সংখ্যায় বিপরীতক একটি সংখ্যা যা দ্বারা গুণ করা হলেক একটি দেয়।

চলক এর পরিবর্তে এই সংজ্ঞায় প্রতিস্থাপন করা যাক কসংখ্যা 5 এবং সংজ্ঞা পড়ার চেষ্টা করুন:

সংখ্যায় বিপরীত 5 একটি সংখ্যা যা দ্বারা গুণ করা হলে 5 একটি দেয়।

এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব যেটিকে 5 দিয়ে গুণ করলে একটি পাওয়া যায়? দেখা যাচ্ছে এটা সম্ভব। আসুন পাঁচটিকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে কল্পনা করি:

তারপর এই ভগ্নাংশটিকে নিজেই গুণ করুন, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অন্য কথায়, আসুন ভগ্নাংশটিকে নিজের দ্বারা গুণ করি, শুধুমাত্র উল্টো দিকে:

এর ফলে কী হবে? যদি আমরা এই উদাহরণটি সমাধান করতে থাকি তবে আমরা একটি পাই:

এর মানে হল যে সংখ্যা 5 এর বিপরীত হল সংখ্যা, যেহেতু আপনি 5 দিয়ে গুণ করলে আপনি একটি পাবেন।

একটি সংখ্যার পারস্পরিক অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যার জন্যও পাওয়া যেতে পারে।

আপনি অন্য কোনো ভগ্নাংশের পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারেন। এটি করতে, শুধু এটি চালু করুন।

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ ভাগ

ধরা যাক আমাদের অর্ধেক পিজ্জা আছে:

এর সমানভাবে দুই মধ্যে ভাগ করা যাক. প্রতিটি ব্যক্তি কত পিজা পাবেন?

এটি দেখা যায় যে অর্ধেক পিজা ভাগ করার পরে, দুটি সমান টুকরা পাওয়া যায়, যার প্রতিটি একটি পিজা গঠন করে। তাই সবাই পিজ্জা পায়।

ভগ্নাংশের বিভাজন পারস্পরিক ব্যবহার করে করা হয়। পারস্পরিক সংখ্যা আপনাকে গুণের সাথে ভাগ প্রতিস্থাপন করতে দেয়।

একটি ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে ভাজকের বিপরীত দ্বারা ভগ্নাংশকে গুণ করতে হবে।

এই নিয়মটি ব্যবহার করে, আমরা আমাদের পিজ্জার অর্ধেককে দুটি ভাগে ভাগ করে লিখব।

সুতরাং, আপনাকে ভগ্নাংশটিকে 2 সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে। এখানে লভ্যাংশ ভগ্নাংশ এবং ভাজক সংখ্যা 2।

একটি ভগ্নাংশকে সংখ্যা 2 দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশটিকে ভাজক 2 এর পারস্পরিক দ্বারা গুণ করতে হবে। ভাজক 2 এর পারস্পরিক ভগ্নাংশ। তাই আপনি দ্বারা গুন করতে হবে