যেগুলো আপনার কাছে এক না কোনোভাবে পরিচিত ছিল। সেখানে এটিও উল্লেখ করা হয়েছিল যে ফাংশন বৈশিষ্ট্যগুলির স্টক ধীরে ধীরে পুনরায় পূরণ করা হবে। দুটি নতুন বৈশিষ্ট্য এই বিভাগে আলোচনা করা হবে.
সংজ্ঞা 1.
ফাংশন y = f(x), x є X, বলা হয় এমনকি যদি X সেটের যেকোনো মানের জন্য x সমতা f (-x) = f (x) ধরে থাকে।
সংজ্ঞা 2।
y = f(x), x є X, ফাংশনটিকে বিজোড় বলা হয় যদি X সেটের যেকোনো মানের জন্য x সমতা f (-x) = -f (x) ধারণ করে।
প্রমাণ করুন যে y = x 4 - এমনকি ফাংশন.
সমাধান। আমাদের আছে: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4। কিন্তু(-x) 4 = x 4। এর মানে হল যে কোন x এর জন্য সমতা f(-x) = f(x) ধরে, অর্থাৎ ফাংশন সমান।
একইভাবে, এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে ফাংশন y - x 2, y = x 6, y - x 8 জোড়।
প্রমাণ কর যে y = x 3 ~ একটি বিজোড় ফাংশন।
সমাধান। আমাদের আছে: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3। কিন্তু (-x) 3 = -x 3। এর মানে হল যে কোন x এর জন্য সমতা f (-x) = -f (x) ধরে, অর্থাৎ ফাংশনটি অদ্ভুত।
একইভাবে, এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে ফাংশন y = x, y = x 5, y = x 7 বিজোড়।
আপনি এবং আমি ইতিমধ্যে একাধিকবার নিশ্চিত হয়েছি যে গণিতের নতুন পদগুলি প্রায়শই একটি "পার্থিব" উত্স থাকে, যেমন তাদের কোনোভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এটি জোড় এবং বিজোড় উভয় ফাংশনের ক্ষেত্রেই হয়। দেখুন: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - অদ্ভুত ফাংশন, যখন y = x 2, y = x 4, y = x 6 জোড় ফাংশন। এবং সাধারণভাবে, y = x" ফর্মের যেকোন ফাংশনের জন্য (নীচে আমরা বিশেষভাবে এই ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করব), যেখানে n একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, আমরা উপসংহারে আসতে পারি: যদি n একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তাহলে ফাংশনটি y = x" হয় অস্বাভাবিক; যদি n একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে y = xn ফাংশনটি জোড়।
এমন কিছু ফাংশন রয়েছে যা জোড় বা বিজোড় নয়। যেমন, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি y = 2x + 3। প্রকৃতপক্ষে, f(1) = 5, এবং f (-1) = 1। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এখানে, তাই, পরিচয়টি f(-x) = নয় f ( x), বা পরিচয় f(-x) = -f(x)।
সুতরাং, একটি ফাংশন জোড়, বিজোড় বা উভয়ই হতে পারে।
কিনা সেই প্রশ্নটি অধ্যয়নরত প্রদত্ত ফাংশনজোড় বা বিজোড়কে সাধারণত সমতার জন্য একটি ফাংশনের অধ্যয়ন বলা হয়।
সংজ্ঞা 1 এবং 2 এ আমরা সম্পর্কে কথা বলছি x এবং -x বিন্দুতে ফাংশনের মান সম্পর্কে। এটি অনুমান করে যে ফাংশনটি বিন্দু x এবং বিন্দু -x উভয়েই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এর মানে হল যে পয়েন্ট -x বিন্দু x এর সাথে একই সাথে ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত। যদি একটি সাংখ্যিক সেট X, এর প্রতিটি উপাদান x-এর সাথে একত্রে বিপরীত উপাদান -xও থাকে, তবে X কে একটি প্রতিসম সেট বলা হয়। ধরা যাক (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) হল প্রতিসম সেট, যখন: let এক্স 1ক;খ, এ এক্স 2ক;খ .
কিভাবে একটি ওয়েবসাইটে গাণিতিক সূত্র সন্নিবেশ করান?
আপনার যদি কখনও একটি ওয়েব পৃষ্ঠায় এক বা দুটি গাণিতিক সূত্র যোগ করার প্রয়োজন হয়, তবে এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল নিবন্ধে বর্ণিত হিসাবে: গাণিতিক সূত্রগুলি সহজেই ছবির আকারে সাইটে প্রবেশ করানো হয় যা উলফ্রাম আলফা দ্বারা স্বয়ংক্রিয়ভাবে তৈরি হয় . সরলতা ছাড়াও, এই সার্বজনীন পদ্ধতিটি সাইটের দৃশ্যমানতা উন্নত করতে সাহায্য করবে সার্চ ইঞ্জিন. এটি একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য কাজ করছে (এবং, আমি মনে করি, চিরকাল কাজ করবে), কিন্তু ইতিমধ্যে নৈতিকভাবে পুরানো।
আপনি যদি আপনার সাইটে নিয়মিত গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করেন, তাহলে আমি আপনাকে MathJax - একটি বিশেষ জাভাস্ক্রিপ্ট লাইব্রেরি ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি যা MathML, LaTeX বা ASCIIMathML মার্কআপ ব্যবহার করে ওয়েব ব্রাউজারে গাণিতিক স্বরলিপি প্রদর্শন করে।
MathJax ব্যবহার শুরু করার দুটি উপায় রয়েছে: (1) একটি সাধারণ কোড ব্যবহার করে, আপনি দ্রুত আপনার ওয়েবসাইটে একটি MathJax স্ক্রিপ্ট সংযোগ করতে পারেন, যা সঠিক সময়ে একটি দূরবর্তী সার্ভার থেকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে লোড হবে (সার্ভারের তালিকা); (2) একটি দূরবর্তী সার্ভার থেকে আপনার সার্ভারে MathJax স্ক্রিপ্ট ডাউনলোড করুন এবং এটি আপনার সাইটের সমস্ত পৃষ্ঠায় সংযুক্ত করুন। দ্বিতীয় পদ্ধতি - আরও জটিল এবং সময়সাপেক্ষ - আপনার সাইটের পৃষ্ঠাগুলি লোড করার গতি বাড়িয়ে তুলবে, এবং যদি প্যারেন্ট ম্যাথজ্যাক্স সার্ভারটি কোনো কারণে সাময়িকভাবে অনুপলব্ধ হয়ে যায়, তাহলে এটি আপনার নিজের সাইটকে কোনোভাবেই প্রভাবিত করবে না। এই সুবিধা থাকা সত্ত্বেও, আমি প্রথম পদ্ধতিটি বেছে নিয়েছি কারণ এটি সহজ, দ্রুত এবং প্রযুক্তিগত দক্ষতার প্রয়োজন নেই৷ আমার উদাহরণ অনুসরণ করুন, এবং মাত্র 5 মিনিটের মধ্যে আপনি আপনার সাইটে MathJax এর সমস্ত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে সক্ষম হবেন।
আপনি প্রধান MathJax ওয়েবসাইট বা ডকুমেন্টেশন পৃষ্ঠা থেকে নেওয়া দুটি কোড বিকল্প ব্যবহার করে একটি দূরবর্তী সার্ভার থেকে MathJax লাইব্রেরি স্ক্রিপ্ট সংযোগ করতে পারেন:
এই কোড বিকল্পগুলির মধ্যে একটিকে আপনার ওয়েব পৃষ্ঠার কোডে কপি করে পেস্ট করতে হবে, বিশেষত ট্যাগের মধ্যে এবং ট্যাগের পরে। প্রথম বিকল্প অনুযায়ী, MathJax দ্রুত লোড হয় এবং পৃষ্ঠা কম ধীর করে দেয়। কিন্তু দ্বিতীয় বিকল্পটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে ম্যাথজ্যাক্সের সর্বশেষ সংস্করণগুলি নিরীক্ষণ এবং লোড করে। আপনি প্রথম কোড সন্নিবেশ করা হলে, এটি পর্যায়ক্রমে আপডেট করা প্রয়োজন হবে. আপনি যদি দ্বিতীয় কোড সন্নিবেশ করেন, পৃষ্ঠাগুলি আরও ধীরে ধীরে লোড হবে, তবে আপনাকে ক্রমাগত MathJax আপডেটগুলি নিরীক্ষণ করতে হবে না।
ম্যাথজ্যাক্স সংযোগ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ব্লগার বা ওয়ার্ডপ্রেসে: সাইট কন্ট্রোল প্যানেলে, তৃতীয় পক্ষের জাভাস্ক্রিপ্ট কোড সন্নিবেশ করার জন্য ডিজাইন করা একটি উইজেট যোগ করুন, উপরে উপস্থাপিত ডাউনলোড কোডের প্রথম বা দ্বিতীয় সংস্করণটি কপি করুন এবং উইজেটটিকে কাছাকাছি রাখুন টেমপ্লেটের শুরুতে (যাইহোক, এটি মোটেও প্রয়োজনীয় নয়, যেহেতু MathJax স্ক্রিপ্টটি অ্যাসিঙ্ক্রোনাসভাবে লোড করা হয়)। এখানেই শেষ. এখন MathML, LaTeX, এবং ASCIIMathML-এর মার্কআপ সিনট্যাক্স শিখুন এবং আপনি আপনার সাইটের ওয়েব পৃষ্ঠাগুলিতে গাণিতিক সূত্র সন্নিবেশ করতে প্রস্তুত৷
যে কোনো ফ্র্যাক্টাল একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী তৈরি করা হয়, যা ধারাবাহিকভাবে সীমাহীন সংখ্যক বার প্রয়োগ করা হয়। এই ধরনের প্রতিটি সময় একটি পুনরাবৃত্তি বলা হয়.
একটি মেঞ্জার স্পঞ্জ নির্মাণের জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক অ্যালগরিদমটি বেশ সহজ: 1 পাশের মূল ঘনকটি তার মুখের সমান্তরাল সমতল দ্বারা 27টি সমান ঘনক্ষেত্রে বিভক্ত। এটি থেকে একটি কেন্দ্রীয় ঘনক এবং মুখ বরাবর এটি সংলগ্ন 6 ঘনক সরানো হয়। ফলাফলটি অবশিষ্ট 20টি ছোট কিউব নিয়ে গঠিত একটি সেট। এই কিউবগুলির প্রতিটির সাথে একই কাজ করলে, আমরা 400টি ছোট কিউব সমন্বিত একটি সেট পাই। অবিরামভাবে এই প্রক্রিয়া চালিয়ে, আমরা একটি Menger স্পঞ্জ পেতে.
