মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)
আগের পাঠে আমরা বর্গমূল কী তা বের করেছি। কোনটি বিদ্যমান তা খুঁজে বের করার সময় এসেছে শিকড় জন্য সূত্রকি আছে শিকড় বৈশিষ্ট্য, এবং এই সব দিয়ে কি করা যেতে পারে.
শিকড়ের সূত্র, শিকড়ের বৈশিষ্ট্য এবং শিকড় দিয়ে কাজ করার নিয়ম- এটি মূলত একই জিনিস। জন্য সূত্র বর্গমূলআশ্চর্যজনকভাবে সামান্য। যা অবশ্যই আমাকে খুশি করে! অথবা বরং, আপনি অনেকগুলি বিভিন্ন সূত্র লিখতে পারেন, তবে শিকড় সহ ব্যবহারিক এবং আত্মবিশ্বাসী কাজের জন্য, শুধুমাত্র তিনটিই যথেষ্ট। বাকি সবকিছু এই তিনটি থেকে প্রবাহিত হয়। যদিও অনেকেই তিনটি মূল সূত্রে বিভ্রান্ত হন, হ্যাঁ...
এর সবচেয়ে সহজ একটি দিয়ে শুরু করা যাক. সে এখানে:
যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)
আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)
আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।
মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)
এই ধারণাটি খুবই সহজ। স্বাভাবিক, আমি বলব। গণিতবিদরা প্রতিটি ক্রিয়ার জন্য একটি প্রতিক্রিয়া খুঁজে বের করার চেষ্টা করেন। যোগ-বিয়োগও আছে। গুণ আছে - ভাগও আছে। স্কোয়ারিং আছে... তাই সেখানেও আছে নিষ্কাশন বর্গমূল! এখানেই শেষ. এই কর্ম ( বর্গমূল) গণিতে এই আইকন দ্বারা নির্দেশিত হয়:
আইকন নিজেই বলা হয় একটি সুন্দর শব্দ "মৌলবাদী".
কিভাবে মূল নিষ্কাশন?এটা দেখতে ভাল উদাহরণ.
9 এর বর্গমূল কত? কোন সংখ্যার বর্গ আমাদের 9 দেবে? 3 বর্গ আমাদের 9 দেয়! সেগুলো:
কিন্তু শূন্যের বর্গমূল কত? সমস্যা নেই! শূন্য কোন সংখ্যার বর্গ তৈরি করে? হ্যাঁ, এটা শূন্য দেয়! মানে:
বুঝেছি, বর্গমূল কি?তারপর আমরা বিবেচনা উদাহরণ:
উত্তর (বিশৃঙ্খলায়): 6; 1; 4; 9; 5.
সিদ্ধান্ত নিয়েছে? সত্যিই, এটা কত সহজ?!
কিন্তু... একজন মানুষ যখন কোনো কাজকে শিকড়সহ দেখেন তখন কী করেন?
একজন ব্যক্তি দুঃখ বোধ করতে শুরু করে... সে তার শিকড়ের সরলতা এবং হালকাতায় বিশ্বাস করে না। যদিও মনে হয় সে জানে বর্গমূল কি?...
এর কারণ হল শিকড় অধ্যয়ন করার সময় ব্যক্তিটি বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট উপেক্ষা করেছে। তারপর এই ফ্যাদগুলি পরীক্ষা এবং পরীক্ষার উপর নিষ্ঠুর প্রতিশোধ নেয় ...
পয়েন্ট এক. দেখেই শিকড় চিনতে হবে!
49 এর বর্গমূল কত? সাত? ঠিক! আপনি কিভাবে জানলেন এটা সাত ছিল? সাত বর্গ করে ৪৯ পেয়েছে? ঠিক! দয়া করে মনে রাখবেন মূল বের করা 49 এর মধ্যে আমাদের বিপরীত অপারেশন করতে হয়েছিল - বর্গ 7! এবং নিশ্চিত করুন আমরা মিস না. অথবা তারা মিস করতে পারে ...
এই অসুবিধা মূল নিষ্কাশন. বর্গক্ষেত্রআপনি কোনো সমস্যা ছাড়াই যেকোনো নম্বর ব্যবহার করতে পারেন। একটি কলাম দিয়ে একটি সংখ্যা নিজেই গুণ করুন - এটিই। না হইলে মূল নিষ্কাশনএত সহজ এবং ব্যর্থ-নিরাপদ প্রযুক্তি নেই। আমাদের করতে হবে কুড়ানউত্তর দিন এবং এটি স্কোয়ার করে সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করুন।
এই জটিল সৃজনশীল প্রক্রিয়া - একটি উত্তর নির্বাচন - ব্যাপকভাবে সরলীকৃত হয় যদি আপনি মনে রাখবেনজনপ্রিয় সংখ্যার বর্গ। গুন সারণীর মত। যদি বলুন, আপনার 4 কে 6 দ্বারা গুণ করতে হবে, আপনি চারটি 6 বার যোগ করবেন না, তাই না? উত্তর 24 অবিলম্বে আসে। যদিও, সবাই এটি পায় না, হ্যাঁ...
বিনামূল্যে এবং সফল কাজশিকড় দিয়ে 1 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যার বর্গাকার জানা যথেষ্ট সেখানেএবং পেছনে.সেগুলো. আপনি সহজে 11 বর্গ এবং 121 এর বর্গমূল উভয়ই আবৃত্তি করতে সক্ষম হবেন। এই মুখস্থ অর্জনের জন্য দুটি উপায় রয়েছে। প্রথমটি হল বর্গক্ষেত্রের টেবিল শিখতে হবে। এটি উদাহরণ সমাধানে একটি মহান সাহায্য হবে. দ্বিতীয়টি হল সিদ্ধান্ত নেওয়া আরো উদাহরণ. এটি আপনাকে বর্গক্ষেত্রের টেবিলটি মনে রাখতে সাহায্য করবে।
এবং কোন ক্যালকুলেটর! শুধুমাত্র পরীক্ষার উদ্দেশ্যে। অন্যথায়, আপনি পরীক্ষার সময় নির্দয়ভাবে ধীর হয়ে যাবেন...
তাই, বর্গমূল কি?এবং কিভাবে শিকড় নিষ্কাশন- আমি মনে করি এটা পরিষ্কার। এখন আসুন আমরা সেগুলি থেকে কী বের করতে পারি তা খুঁজে বের করা যাক।
পয়েন্ট দুই. রুট, আমি তোমাকে চিনি না!
আপনি কোন সংখ্যা থেকে বর্গমূল নিতে পারেন? হ্যাঁ, তাদের প্রায় যে কোনো। এটা কি থেকে তা বোঝা সহজ এটা নিষিদ্ধতাদের নিষ্কাশন.
আসুন এই মূলটি গণনা করার চেষ্টা করি:
এটি করার জন্য, আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্বাচন করতে হবে যার বর্গ আমাদের -4 দেবে। আমরা নির্বাচন করি।
কি, এটা মানায় না? 2 2 +4 দেয়। (-2) 2 আবার +4 দেয়! এটাই... এমন কোন সংখ্যা নেই যেগুলো বর্গ করলে আমাদের একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হবে! যদিও আমি এই সংখ্যাগুলো জানি। তবে আমি আপনাকে বলব না)। কলেজে যান এবং আপনি নিজেই খুঁজে পাবেন।
যে কোন নেতিবাচক সংখ্যার সাথে একই গল্প ঘটবে। তাই উপসংহার:
একটি অভিব্যক্তি যেখানে বর্গমূল চিহ্নের নীচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা রয়েছে - কোন মানে হয় না! এটি একটি নিষিদ্ধ অপারেশন। এটা শূন্য দিয়ে ভাগ করার মতই নিষিদ্ধ। এই সত্যটি দৃঢ়ভাবে মনে রাখবেন!বা অন্য কথায়:
আপনি ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে বর্গমূল বের করতে পারবেন না!
কিন্তু অন্যদের মধ্যে, এটা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, এটি গণনা করা বেশ সম্ভব
প্রথম নজরে, এটি খুব কঠিন। ভগ্নাংশ নির্বাচন এবং তাদের বর্গাকার... চিন্তা করবেন না. যখন আমরা শিকড়ের বৈশিষ্ট্যগুলি বুঝতে পারি, তখন এই ধরনের উদাহরণগুলি বর্গক্ষেত্রের একই টেবিলে হ্রাস করা হবে। জীবন সহজ হয়ে যাবে!
ঠিক আছে, ভগ্নাংশ. কিন্তু আমরা এখনও অভিব্যক্তি জুড়ে পাই যেমন:
ঠিক আছে. একই. দুইটির বর্গমূল হল সেই সংখ্যা যেটির বর্গ করলে আমাদের দুটি পাওয়া যায়। শুধুমাত্র এই সংখ্যাটি সম্পূর্ণ অসম... এটি এখানে:
মজার বিষয় হল এই ভগ্নাংশটি কখনই শেষ হয় না... এই ধরনের সংখ্যাকে বলা হয় অযৌক্তিক। বর্গমূলে এটি সবচেয়ে সাধারণ জিনিস। উপায় দ্বারা, এই কারণেই শিকড় সহ অভিব্যক্তি বলা হয় অযৌক্তিক. এটা স্পষ্ট যে এই ধরনের একটি অসীম ভগ্নাংশ সব সময় লেখা অসুবিধাজনক। অতএব, একটি অসীম ভগ্নাংশের পরিবর্তে, তারা এটিকে এভাবে ছেড়ে দেয়:
যদি, একটি উদাহরণ সমাধান করার সময়, আপনি এমন কিছু দিয়ে শেষ করেন যা বের করা যায় না, যেমন:
তারপর আমরা এটাকে এভাবেই রেখে যাই। এই উত্তর হবে.
আইকনগুলির অর্থ কী তা আপনাকে স্পষ্টভাবে বুঝতে হবে
সংখ্যার রুট নিলে অবশ্য মসৃণ, আপনি এটা করতে হবে. কাজের উত্তর ফর্মে আছে, উদাহরণস্বরূপ
বেশ সম্পূর্ণ উত্তর।
এবং, অবশ্যই, আপনাকে মেমরি থেকে আনুমানিক মানগুলি জানতে হবে:
এই জ্ঞানটি জটিল কাজগুলিতে পরিস্থিতি মূল্যায়ন করতে ব্যাপকভাবে সাহায্য করে।
পয়েন্ট তিন। সবচেয়ে ধূর্ত।
শিকড় সঙ্গে কাজ প্রধান বিভ্রান্তি এই বিন্দু দ্বারা সৃষ্ট হয়. তিনিই অনিশ্চয়তা দেন নিজের শক্তি... আসুন এই সমস্যাটি সঠিকভাবে মোকাবেলা করি!
প্রথমে, এর চারটির আবার বর্গমূল নেওয়া যাক। আমি কি আপনাকে এই মূল নিয়ে ইতিমধ্যে বিরক্ত করেছি?) কিছু মনে করবেন না, এখন এটি আকর্ষণীয় হবে!
কোন সংখ্যা 4 বর্গ? ওয়েল, দুই, দুই - আমি অসন্তুষ্ট উত্তর শুনতে পাচ্ছি...
ঠিক। দুই. কিন্তু এছাড়াও মাইনাস দুই 4 বর্গ দেবে... এদিকে, উত্তর
সঠিক এবং উত্তর
মারাত্মক ভুল. এটার মত.
তাহলে চুক্তি কি?
প্রকৃতপক্ষে, (-2) 2 = 4. এবং চারটির বর্গমূলের সংজ্ঞার অধীনে মাইনাস দুইবেশ উপযুক্ত... এটিও চারটির বর্গমূল।
কিন্তু! স্কুলের গণিত কোর্সে, বর্গমূল বিবেচনা করার প্রথা আছে শুধুমাত্র অ নেতিবাচক সংখ্যা!অর্থাৎ শূন্য এবং সবই ইতিবাচক। এমনকি একটি বিশেষ শব্দ উদ্ভাবিত হয়েছিল: সংখ্যা থেকে ক- এই অ নেতিবাচকসংখ্যা যার বর্গ ক. একটি পাটিগণিত বর্গমূল নিষ্কাশন করার সময় নেতিবাচক ফলাফলগুলি কেবল বাতিল করা হয়। স্কুলে, সবকিছু বর্গমূল - পাটিগণিত. যদিও এটি বিশেষভাবে উল্লেখ করা হয়নি।
ঠিক আছে, এটা বোধগম্য। নেতিবাচক ফলাফল নিয়ে বিরক্ত না করা আরও ভাল... এটি এখনও বিভ্রান্তি নয়।
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময় বিভ্রান্তি শুরু হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে নিম্নলিখিত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
সমীকরণটি সহজ, আমরা উত্তর লিখি (যেমন শেখানো হয়েছে):
এই উত্তর (একদম সঠিক, উপায় দ্বারা) শুধুমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ দুইউত্তর:
থামুন থামুন! ঠিক উপরে আমি লিখেছিলাম যে বর্গমূল একটি সংখ্যা সর্বদাঅ নেতিবাচক! এবং এখানে উত্তরগুলির মধ্যে একটি - নেতিবাচক! ব্যাধি। এটি প্রথম (কিন্তু শেষ নয়) সমস্যা যা শিকড়ের অবিশ্বাস সৃষ্টি করে... আসুন এই সমস্যার সমাধান করি। আসুন উত্তরগুলি লিখি (শুধু বোঝার জন্য!) এভাবে:
বন্ধনী উত্তরের সারাংশ পরিবর্তন করে না। আমি শুধু বন্ধনী দিয়ে এটি পৃথক লক্ষণথেকে মূল. এখন আপনি স্পষ্ট দেখতে পাচ্ছেন যে রুটটি নিজেই (বন্ধনীতে) এখনও একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা! এবং লক্ষণ হল সমীকরণ সমাধানের ফলাফল. সর্বোপরি, যেকোনো সমীকরণ সমাধান করার সময় আমাদের অবশ্যই লিখতে হবে সব Xs যা, যখন মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়, সঠিক ফলাফল দেবে। একটি যোগ এবং একটি বিয়োগ উভয়ের সাথে পাঁচটির মূল (ধনাত্মক!) আমাদের সমীকরণে ফিট করে।
এটার মত. আপনি যদি শুধু বর্গমূল নিনযেকোনো কিছু থেকে, আপনি সর্বদাতুমি পাও একটি অ নেতিবাচকফলাফল. উদাহরণ স্বরূপ:
কারন এটা - পাটিগণিত বর্গমূল.
তবে আপনি যদি কিছু সিদ্ধান্ত নেন দ্বিঘাত সমীকরণ, টাইপ:
যে সর্বদাএটা সক্রিয় আউট দুইউত্তর (প্লাস এবং বিয়োগ সহ):
কারণ এটাই সমীকরণের সমাধান।
আশা, বর্গমূল কি?আপনি আপনার পয়েন্ট পরিষ্কার আছে. এখন শিকড় দিয়ে কী করা যায়, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি কী তা খুঁজে বের করা বাকি। এবং পয়েন্ট এবং ক্ষতি কি... দুঃখিত, পাথর!)
এই সব নিম্নলিখিত পাঠ.
যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)
আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)
আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।
প্রথম অধ্যায়।
একটি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা থেকে বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা বর্গমূল সন্ধান করা।
170. প্রাথমিক মন্তব্য।
ক)যেহেতু আমরা শুধুমাত্র বর্গমূল বের করার কথা বলব, তাই এই অধ্যায়ে বক্তৃতাটি সংক্ষিপ্ত করার জন্য, "বর্গ" মূলের পরিবর্তে আমরা কেবল "মূল" বলব।
খ)যদি আমরা প্রাকৃতিক সিরিজের সংখ্যাগুলিকে বর্গ করি: 1,2,3,4,5। . . , তারপর আমরা বর্গক্ষেত্রের নিম্নলিখিত সারণী পাই: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144। .,
স্পষ্টতই, অনেক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যা এই টেবিলে নেই; অবশ্যই, এই ধরনের সংখ্যা থেকে পুরো মূল বের করা অসম্ভব। অতএব, আপনি যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার মূল বের করতে চান, উদাহরণস্বরূপ। √4082 খুঁজে বের করতে হবে, তারপর আমরা এই প্রয়োজনীয়তাটি নিম্নরূপ বুঝতে সম্মত: যদি সম্ভব হয় 4082 এর পুরো রুটটি বের করুন; যদি এটি সম্ভব না হয়, তাহলে আমাদের অবশ্যই সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যার বর্গ হল 4082 (যেমন একটি সংখ্যা হল 63, যেহেতু 63 2 = 3969, এবং 64 2 = 4090)।
ভি)যদি এই সংখ্যাটি 100-এর কম হয়, তাহলে গুণন সারণী ব্যবহার করে এর মূল পাওয়া যায়; এইভাবে, √60 হবে 7, যেহেতু সাতটি 49 এর সমান, যা 60 এর কম, এবং আট 8 সমান 64, যা 60 এর থেকে বড়।
171. 10,000-এর কম কিন্তু 100-এর বেশি সংখ্যার মূল বের করা।ধরা যাক আমাদের √4082 খুঁজে বের করতে হবে। যেহেতু এই সংখ্যাটি 10,000-এর কম, তাই এর মূল √l0,000 = 100-এর চেয়ে কম। অন্যদিকে, এই সংখ্যাটি 100-এর বেশি; এর অর্থ হল এর মূলটি 10 এর চেয়ে বড় (বা সমান)। (যদি, উদাহরণস্বরূপ, √ খুঁজে বের করা প্রয়োজন ছিল 120 , তারপর যদিও সংখ্যা 120 > 100, তবে √ 120 সমান 10, কারণ 11 2 = 121.) কিন্তু 10-এর চেয়ে বড় কিন্তু 100-এর কম প্রতিটি সংখ্যায় 2টি সংখ্যা আছে; এর মানে হল প্রয়োজনীয় রুট হল সমষ্টি:
দশ + এক,
এবং তাই এর বর্গ অবশ্যই সমষ্টির সমান হবে:
এই যোগফল 4082 এর সর্বশ্রেষ্ঠ বর্গ হতে হবে।
আসুন তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি 36 ধরি, এবং ধরে নিই যে দশ মূলের বর্গ ঠিক এই বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের সমান হবে। তারপর মূলে দশের সংখ্যা অবশ্যই 6 হতে হবে। আসুন এখন পরীক্ষা করে দেখি যে এটি সর্বদা এমন হওয়া উচিত, অর্থাৎ, মূলের দশের সংখ্যা সর্বদা শত শত র্যাডিকেলের সংখ্যার বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা মূলের সমান।
প্রকৃতপক্ষে, আমাদের উদাহরণে, মূলের দশের সংখ্যা 6-এর বেশি হতে পারে না, যেহেতু (7 ডিসেম্বর) 2 = 49 শত, যা 4082-এর বেশি। কিন্তু 5 ডিসেম্বর থেকে এটি 6-এর কম হতে পারে না। (ইউনিট সহ) হল 6 ডেস এর কম, এবং এদিকে (6 ডেস।) 2 = 36 শত, যা 4082 এর কম। এবং যেহেতু আমরা সবচেয়ে বড় পুরো রুট খুঁজছি, তাই আমাদের রুটের জন্য 5 ডেস নেওয়া উচিত নয়, যখন এমনকি 6 দশও অনেক কিছু নয়।
সুতরাং, আমরা মূলের দশের সংখ্যা খুঁজে পেয়েছি, যথা 6। আমরা এই সংখ্যাটি = চিহ্নের ডানদিকে লিখি, মনে রাখি যে এর অর্থ মূলের দশ। বর্গ দ্বারা এটি উত্থাপন, আমরা 36 শতক পেতে. আমরা মূল সংখ্যার 40 শত থেকে এই 36 শতকে বিয়োগ করি এবং এই সংখ্যার অবশিষ্ট দুটি সংখ্যা বিয়োগ করি। অবশিষ্ট 482-এ অবশ্যই 2 (6 dec.) (ইউনিট) + (ইউনিট)2 থাকতে হবে। পণ্য (6 ডিসেম্বর) (ইউনিট) দশ হতে হবে; তাই, দশের দ্বিগুণ গুণফলকে অবশ্যই অবশিষ্ট দশের মধ্যে, অর্থাৎ, 48-এ (আমরা 48"2-এর অবশিষ্টাংশে ডানদিকে একটি সংখ্যাকে আলাদা করে তাদের সংখ্যা পাই)। মূলের দ্বিগুণ দশ 12 তৈরি করুন। এর মানে হল যে আমরা যদি 12 কে মূলের একক দ্বারা গুন করি (যা এখনও অজানা), তাহলে আমাদের 48 এর মধ্যে থাকা সংখ্যাটি পাওয়া উচিত। তাই, আমরা 48 কে 12 দ্বারা ভাগ করি।
এটি করার জন্য, অবশিষ্টাংশের বাম দিকে এবং এটির পিছনে একটি উল্লম্ব রেখা আঁকুন (এখন প্রদর্শিত হবে এমন উদ্দেশ্যে লাইন থেকে এক জায়গায় বাম দিকে ফিরে যাওয়া) আমরা মূলের প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ লিখি, অর্থাৎ 12, এবং এটি দ্বারা 48 ভাগ করুন। ভাগফলের মধ্যে আমরা 4 পাব।
যাইহোক, আমরা আগাম গ্যারান্টি দিতে পারি না যে 4 নম্বরটিকে মূলের একক হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, যেহেতু আমরা এখন অবশিষ্টাংশের দশের সম্পূর্ণ সংখ্যাকে 12 দ্বারা ভাগ করেছি, যখন তাদের কিছু হয়ত দশের দ্বিগুণ গুণফলের অন্তর্ভুক্ত নয়। একক, কিন্তু এককের বর্গক্ষেত্রের অংশ। অতএব, সংখ্যা 4 বড় হতে পারে. আমরা এটা চেষ্টা করা প্রয়োজন. এটি স্পষ্টতই উপযুক্ত যদি যোগফল 2 (6 ডিসে.) 4 + 4 2 অবশিষ্ট 482 এর চেয়ে বেশি না হয়।
ফলস্বরূপ, আমরা একসাথে উভয়ের যোগফল পাই। ফলস্বরূপ পণ্য 496 হতে পরিণত, যা বাকি 482 থেকে বড়; তার মানে ৪ নম্বর বড়। তারপর একইভাবে পরবর্তী ছোট সংখ্যা 3 পরীক্ষা করা যাক।
উদাহরণ।
উদাহরণ 4-এ, অবশিষ্ট 47 টি দশকে 4 দ্বারা ভাগ করার সময়, আমরা ভাগফল হিসাবে 11 পাই। কিন্তু যেহেতু মূলের এককের সংখ্যা দুটি সংখ্যার সংখ্যা 11 বা 10 হতে পারে না, তাই আমাদের অবশ্যই 9 নম্বরটি সরাসরি পরীক্ষা করতে হবে।
উদাহরণ 5-এ, বর্গক্ষেত্রের প্রথম মুখ থেকে 8 বিয়োগ করার পরে, অবশিষ্টটি 0 হবে এবং পরবর্তী মুখটিও শূন্য নিয়ে গঠিত। এটি দেখায় যে কাঙ্খিত মূলে মাত্র 8 টি দশ থাকে এবং তাই একটি শূন্যের জায়গায় একটি শূন্য রাখতে হবে।
172. 10000 এর চেয়ে বড় সংখ্যার মূল বের করা. ধরা যাক আমাদের √35782 খুঁজে বের করতে হবে। যেহেতু র্যাডিকাল সংখ্যা 10,000 ছাড়িয়ে গেছে, এর মূল √10000 = 100 এর চেয়ে বেশি এবং তাই, এটি 3 বা তার বেশি সংখ্যা নিয়ে গঠিত। এটি যতগুলি সংখ্যা নিয়ে গঠিত হোক না কেন, আমরা সর্বদা এটিকে শুধুমাত্র দশ এবং একের যোগফল হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, যদি মূলটি 482 হতে দেখা যায়, তাহলে আমরা এটিকে 48 ডেসের পরিমাণ হিসাবে গণনা করতে পারি। + 2 ইউনিট তাহলে মূলের বর্গটি 3টি পদ নিয়ে গঠিত হবে:
(ডিসে.) 2 + 2 (ডিসেম্বর) (ইউনিট) + (ইউনিট) 2।
এখন আমরা √4082 (আগের অনুচ্ছেদে) খুঁজে বের করার সময় ঠিক একইভাবে যুক্তি দিতে পারি। শুধুমাত্র পার্থক্য হবে যে 4082 এর মূলের দশগুলি বের করতে আমাদের 40 এর মূলটি বের করতে হবে এবং এটি গুণন সারণী ব্যবহার করে করা যেতে পারে; এখন, tens√35782 পেতে, আমাদেরকে 357-এর রুট নিতে হবে, যা গুণন সারণী ব্যবহার করে করা যাবে না। কিন্তু আগের অনুচ্ছেদে বর্ণিত কৌশলটি ব্যবহার করে আমরা √357 খুঁজে পেতে পারি, যেহেতু 357 নম্বরটি< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.
এরপরে, আমরা √4082 খুঁজে বের করার সময় যেমন করেছিলাম সেভাবে এগিয়ে যাই, যথা: অবশিষ্ট 3382-এর বাম দিকে আমরা একটি উল্লম্ব রেখা আঁকি এবং এর পিছনে আমরা লিখি (রেখা থেকে এক স্থান পিছিয়ে যাওয়া) মূলের পাওয়া দশের সংখ্যার দ্বিগুণ, অর্থাৎ 36 (দুইবার 18)। অবশিষ্টাংশে, আমরা ডানদিকে একটি সংখ্যা আলাদা করি এবং অবশিষ্ট দশের সংখ্যাকে ভাগ করি, অর্থাৎ 338, 36 দ্বারা। ভাগফলটিতে আমরা 9 পাই। আমরা এই সংখ্যাটি পরীক্ষা করি, যার জন্য আমরা এটিকে ডানদিকে 36-এ বরাদ্দ করি এবং এটি দ্বারা গুন করুন। পণ্যটি 3321 হতে পরিণত হয়েছে, যা অবশিষ্টের চেয়ে কম। এর মানে হল যে 9 নম্বরটি উপযুক্ত, আমরা এটি মূলে লিখি।
সাধারণভাবে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল বের করতে হলে আপনাকে প্রথমে তার শতকের মূল বের করতে হবে; যদি এই সংখ্যাটি 100-এর বেশি হয়, তবে আপনাকে এই শতকের শত শত সংখ্যার মূল খুঁজতে হবে, অর্থাৎ এই সংখ্যার কয়েক হাজারের মধ্যে; যদি এই সংখ্যাটি 100-এর বেশি হয়, তাহলে আপনাকে শত শত দশ হাজারের সংখ্যা থেকে রুট নিতে হবে, অর্থাৎ প্রদত্ত সংখ্যার লক্ষ লক্ষ থেকে, ইত্যাদি।
উদাহরণ।
শেষ উদাহরণে, প্রথম অঙ্কটি খুঁজে পেয়ে এবং এর বর্গ বিয়োগ করলে, আমরা 0-এর অবশিষ্টাংশ পাই। আমরা পরবর্তী 2টি সংখ্যা 51 বিয়োগ করি। দশগুলিকে আলাদা করলে আমরা 5 des পাই, যেখানে মূলের দ্বিগুণ পাওয়া সংখ্যা 6। এর মানে হল যে 5 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 0 পাই আমরা 0 কে মূলের দ্বিতীয় স্থানে রাখি এবং বাকি 2 টি সংখ্যা যোগ করি; আমরা 5110 পাই। তারপর আমরা যথারীতি চালিয়ে যাই।
এই উদাহরণে, প্রয়োজনীয় রুটটি শুধুমাত্র 9 শতকে নিয়ে গঠিত, এবং তাই শূন্য অবশ্যই দশের জায়গায় এবং একের জায়গায় স্থাপন করতে হবে।
নিয়ম. প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল বের করতে, এটি থেকে ভাগ করুন ডান হাতবাম দিকে, প্রান্তে, 2টি সংখ্যা, শেষটি ছাড়া, যার মধ্যে একটি সংখ্যা থাকতে পারে৷
মূলের প্রথম অঙ্ক বের করতে, প্রথম মুখের বর্গমূল নিন।
দ্বিতীয় অঙ্কটি খুঁজে বের করার জন্য, মূলের প্রথম অঙ্কের বর্গটি প্রথম মুখ থেকে বিয়োগ করা হয়, দ্বিতীয় মুখটি অবশিষ্টাংশে নেওয়া হয় এবং ফলস্বরূপ সংখ্যার দশের সংখ্যাকে মূলের প্রথম অঙ্কের দ্বিগুণ দ্বারা ভাগ করা হয়। ; ফলে পূর্ণসংখ্যা পরীক্ষা করা হয়.
এই পরীক্ষাটি এইভাবে করা হয়: উল্লম্ব রেখার পিছনে (বাকী অংশের বাম দিকে) মূলের পূর্বে পাওয়া সংখ্যার দ্বিগুণ লিখুন এবং এটিতে, ডানদিকে, এই সংযোজনের পরে, পরীক্ষিত সংখ্যা, ফলস্বরূপ সংখ্যা যোগ করুন। , পরীক্ষিত অঙ্ক দ্বারা গুণ করা হয়। যদি গুণনের পরে ফলাফলটি অবশিষ্টাংশের চেয়ে বড় একটি সংখ্যা হয়, তাহলে পরীক্ষিত সংখ্যাটি উপযুক্ত নয় এবং পরবর্তী ছোট সংখ্যাটি অবশ্যই পরীক্ষা করা উচিত।
একই কৌশল ব্যবহার করে মূলের পরবর্তী সংখ্যাগুলি পাওয়া যায়।
যদি, একটি মুখ মুছে ফেলার পরে, ফলাফলের সংখ্যার দশের সংখ্যা ভাজকের চেয়ে কম হয়, অর্থাৎ মূলের পাওয়া অংশের দ্বিগুণেরও কম, তবে তারা মূলে 0 বসিয়ে পরবর্তী মুখটি সরিয়ে দেয় এবং আরও কার্যক্রম চালিয়ে যান।
173. মূলের অঙ্কের সংখ্যা।মূল খুঁজে বের করার প্রক্রিয়ার বিবেচনা থেকে, এটি অনুসরণ করে যে মূলে যতগুলি সংখ্যা রয়েছে ততগুলি মূল সংখ্যার প্রতিটি 2টি সংখ্যার মুখ রয়েছে (বাম দিকের একটি সংখ্যা থাকতে পারে)।
অধ্যায় দুই.
পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের আনুমানিক বর্গমূল বের করা হচ্ছে .
বহুপদগুলির বর্গমূল বের করার জন্য, § 399 et seq-এর 2য় অংশের সংযোজনগুলি দেখুন।
174. একটি সঠিক বর্গমূলের চিহ্ন।প্রদত্ত সংখ্যার সঠিক বর্গমূল হল এমন একটি সংখ্যা যার বর্গ প্রদত্ত সংখ্যার ঠিক সমান। আসুন আমরা কিছু লক্ষণ নির্দেশ করি যার দ্বারা কেউ বিচার করতে পারে যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা থেকে একটি সঠিক মূল বের করা যায় কি না:
ক)যদি একটি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা থেকে সঠিক সম্পূর্ণ মূলটি বের করা না হয় (বাকীটি নিষ্কাশন করার সময় পাওয়া যায়), তাহলে এই ধরনের একটি সংখ্যা থেকে ভগ্নাংশের সঠিক মূল পাওয়া যাবে না, কারণ যে কোনো ভগ্নাংশ পূর্ণ সংখ্যার সমান নয়, যখন নিজেই গুণ করা হয়। , এছাড়াও গুণফলের একটি ভগ্নাংশ উৎপন্ন করে, একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।
খ)যেহেতু একটি ভগ্নাংশের মূলটি লবের মূল দ্বারা বিভক্ত লবের মূলের সমান, তাই একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশের সঠিক মূল পাওয়া যাবে না যদি এটি লব বা হর থেকে বের করা না যায়। উদাহরণস্বরূপ, 4/5, 8/9 এবং 11/15 ভগ্নাংশ থেকে সঠিক মূল বের করা যায় না, যেহেতু প্রথম ভগ্নাংশে এটি হর থেকে বের করা যায় না, দ্বিতীয়টিতে - লব থেকে এবং তৃতীয়টিতে - লব বা হর থেকেও নয়।
যে সংখ্যা থেকে সঠিক মূল বের করা যায় না, শুধুমাত্র আনুমানিক মূল বের করা যায়।
175. আনুমানিক মূল সঠিক 1. একটি আনুমানিক বর্গমূল, একটি প্রদত্ত সংখ্যার 1 এর মধ্যে নির্ভুল (পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ, এটি কোন ব্যাপার না) হল একটি পূর্ণসংখ্যা যা নিম্নলিখিত দুটি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে:
1) এই সংখ্যার বর্গ প্রদত্ত সংখ্যার চেয়ে বড় নয়; 2) কিন্তু এই সংখ্যাটির বর্গ 1 দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে এই সংখ্যার থেকে বড়। অন্য কথায়, 1 এর সঠিক একটি আনুমানিক বর্গমূল হল একটি প্রদত্ত সংখ্যার বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা বর্গমূল, অর্থাৎ সেই মূল যা আমরা আগের অধ্যায়ে খুঁজে বের করতে শিখেছি। এই মূলটিকে 1 এর নির্ভুলতার সাথে আনুমানিক বলা হয়, কারণ একটি সঠিক মূল পেতে, আমাদের এই আনুমানিক মূলের সাথে 1 এর কম কিছু ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে, তাই যদি আমরা অজানা সঠিক মূলের পরিবর্তে এই আনুমানিকটিকে গ্রহণ করি তবে আমরা তৈরি করব 1 এর চেয়ে কম একটি ত্রুটি।
নিয়ম. 1 এর মধ্যে একটি আনুমানিক বর্গমূল নির্ভুল বের করতে, আপনাকে প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা অংশের বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা মূলটি বের করতে হবে।
এই নিয়ম দ্বারা পাওয়া সংখ্যাটি একটি অসুবিধা সহ একটি আনুমানিক মূল, যেহেতু এটিতে একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশের সঠিক মূল নেই (1 এর কম)। যদি আমরা এই মূলটিকে 1 দ্বারা বৃদ্ধি করি, তাহলে আমরা আরেকটি সংখ্যা পাব যেখানে সঠিক মূলের উপর কিছু অতিরিক্ত আছে এবং এই অতিরিক্তটি 1-এর চেয়ে কম। 1 দ্বারা বৃদ্ধিপ্রাপ্ত এই মূলটিকে 1 এর নির্ভুলতার সাথে একটি আনুমানিক মূলও বলা যেতে পারে, কিন্তু একটি অতিরিক্ত সঙ্গে (নামগুলি: "অভাব সহ" বা "অতিরিক্ত" কিছু গাণিতিক বইয়ের অন্যান্য সমতুল্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়: "অভাব দ্বারা" বা "অতিরিক্ত।")
176. 1/10 এর নির্ভুলতার সাথে আনুমানিক মূল. ধরা যাক 1/10 এর নির্ভুলতার সাথে আমাদের √2.35104 খুঁজে বের করতে হবে। এর মানে হল যে আপনাকে একটি দশমিক ভগ্নাংশ খুঁজে বের করতে হবে যা পুরো একক এবং দশম নিয়ে গঠিত হবে এবং এটি নিম্নলিখিত দুটি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করবে:
1) এই ভগ্নাংশের বর্গ 2.35104 এর বেশি নয়, কিন্তু 2) যদি আমরা এটিকে 1/10 বাড়াই, তাহলে এই বর্ধিত ভগ্নাংশের বর্গটি 2.35104 ছাড়িয়ে যাবে।
এই ধরনের একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার জন্য, আমরা প্রথমে 1 এর সঠিক একটি আনুমানিক মূল খুঁজে পাই, অর্থাৎ, আমরা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা 2 থেকে মূলটি বের করি। আমরা 1 পাই (এবং অবশিষ্টটি 1)। আমরা মূলে 1 নম্বর লিখি এবং এর পরে একটি কমা রাখি। এখন আমরা দশম সংখ্যার সন্ধান করব। এটি করার জন্য, আমরা দশমিক বিন্দুর ডানদিকে 35 সংখ্যাটি অবশিষ্ট 1-এ নামিয়ে নিই এবং নিষ্কাশনটি চালিয়ে যাই যেন আমরা পূর্ণসংখ্যা 235-এর মূলটি বের করছি। আমরা মূলে 5 সংখ্যাটি লিখি। দশম স্থান। আমাদের মৌলিক সংখ্যা (104) এর অবশিষ্ট সংখ্যার প্রয়োজন নেই। যে ফলাফল সংখ্যা 1.5 প্রকৃতপক্ষে 1/10 এর নির্ভুলতার সাথে একটি আনুমানিক মূল হবে তা নিম্নলিখিত থেকে দেখা যেতে পারে। যদি আমরা 1 এর নির্ভুলতার সাথে 235 এর বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যার মূল খুঁজে পাই, আমরা 15 পাব। তাই:
15 2 < 235, কিন্তু 16 2 >235।
এই সমস্ত সংখ্যাকে 100 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:
এর মানে হল সংখ্যা 1.5 হল সেই দশমিক ভগ্নাংশ যাকে আমরা 1/10 এর নির্ভুলতার সাথে একটি আনুমানিক মূল বলেছি।
এই কৌশলটি ব্যবহার করে, আমরা 0.1 এর নির্ভুলতার সাথে নিম্নলিখিত আনুমানিক শিকড়গুলিও খুঁজে পেতে পারি:
177. আনুমানিক বর্গমূল 1/100 থেকে 1/1000 এর মধ্যে, ইত্যাদি।
ধরুন আমাদের 1/100 এর নির্ভুলতার সাথে একটি আনুমানিক √248 খুঁজে বের করতে হবে। এর অর্থ: একটি দশমিক ভগ্নাংশ খুঁজুন যা পুরো, দশম এবং শততম অংশ নিয়ে গঠিত হবে এবং এটি দুটি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করবে:
1) এর বর্গ 248 এর বেশি নয়, কিন্তু 2) যদি আমরা এই ভগ্নাংশটিকে 1/100 দ্বারা বাড়াই, তাহলে এই বর্ধিত ভগ্নাংশের বর্গ 248 ছাড়িয়ে যাবে।
আমরা নিম্নলিখিত ক্রমানুসারে এমন একটি ভগ্নাংশ খুঁজে পাব: প্রথমে আমরা পূর্ণ সংখ্যা, তারপর দশম অঙ্ক, তারপর শততম অঙ্কটি খুঁজে পাব। একটি পূর্ণসংখ্যার মূল হল 15টি পূর্ণসংখ্যা। দশম অঙ্ক পেতে, যেমনটি আমরা দেখেছি, আপনাকে দশমিক বিন্দুর ডানদিকে অবশিষ্ট 23 2টি সংখ্যা যোগ করতে হবে। আমাদের উদাহরণে, এই সংখ্যাগুলি মোটেই উপস্থিত নয়; আমরা তাদের জায়গায় শূন্য রাখি। সেগুলিকে অবশিষ্টাংশে যোগ করে এবং চালিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে যেন আমরা পূর্ণসংখ্যা 24,800 এর মূল খুঁজে পাচ্ছি, আমরা দশম চিত্র 7 পাব। এটি শততম অঙ্কটি খুঁজে বের করতে বাকি রয়েছে। এটি করার জন্য, আমরা অবশিষ্ট 151-এ আরও 2টি শূন্য যোগ করি এবং নিষ্কাশন চালিয়ে যাচ্ছি, যেন আমরা 2,480,000 পূর্ণসংখ্যার মূল খুঁজে পাচ্ছি। আমরা 15.74 পাই। এই সংখ্যাটি সত্যিই 1/100 এর নির্ভুলতার সাথে 248 এর একটি আনুমানিক মূল নিম্নলিখিত থেকে দেখা যায়। যদি আমরা পূর্ণসংখ্যা 2,480,000 এর বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা বর্গমূল খুঁজে পাই, আমরা 1574 পাব; মানে:
1574 2 < 2,480,000, কিন্তু 1575 2 > 2,480,000।
সমস্ত সংখ্যাকে 10,000 (= 100 2) দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:
এর মানে হল যে 15.74 হল সেই দশমিক ভগ্নাংশ যাকে আমরা 248 এর 1/100 এর নির্ভুলতার সাথে একটি আনুমানিক মূল বলেছি।
1/1000 থেকে 1/10000 ইত্যাদির নির্ভুলতার সাথে একটি আনুমানিক মূল খুঁজে বের করার জন্য এই কৌশলটি প্রয়োগ করে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি খুঁজে পাই।
নিয়ম. প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা থেকে বা প্রদত্ত দশমিক ভগ্নাংশ থেকে 1/10 থেকে 1/100 থেকে 1/100, ইত্যাদির নির্ভুলতা সহ একটি আনুমানিক মূল বের করতে, প্রথমে 1 এর নির্ভুলতা সহ একটি আনুমানিক মূল বের করুন, এর মূলটি বের করে পূর্ণসংখ্যা (যদি এটি না থাকে, তারা 0 পূর্ণসংখ্যার মূল সম্পর্কে লিখবে)।
তারপর তারা দশম সংখ্যা বের করে। এটি করার জন্য, দশমিক বিন্দুর ডানদিকে র্যাডিকাল সংখ্যার অবশিষ্ট 2টি সংখ্যা যোগ করুন (যদি তারা সেখানে না থাকে তবে অবশিষ্টটিতে দুটি শূন্য যোগ করুন), এবং একটি পূর্ণসংখ্যার মূল বের করার সময় নিষ্কাশন চালিয়ে যান। . ফলিত সংখ্যাটি দশম স্থানে মূলে লেখা হয়।
তারপর শততম সংখ্যা বের করুন। এটি করার জন্য, ডানদিকে দুটি সংখ্যা যা সবেমাত্র সরানো হয়েছে বাকিতে যোগ করা হয়েছে ইত্যাদি।
এইভাবে, দশমিক ভগ্নাংশের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যার মূল বের করার সময়, দশমিক বিন্দু থেকে শুরু করে বাম দিকে (সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা অংশে) এবং ডানদিকে (সংখ্যার পূর্ণসংখ্যার অংশে) উভয় দিকে মুখের 2টি সংখ্যায় ভাগ করা প্রয়োজন। ভগ্নাংশ)।
উদাহরণ।
1) 1/100টি শিকড় পর্যন্ত খুঁজুন: ক) √2; খ) √0.3;
শেষ উদাহরণে, আমরা 8 দশমিক স্থান গণনা করে ভগ্নাংশ 3/7 কে দশমিকে রূপান্তর করেছি যাতে মূলের 4 দশমিক স্থান খুঁজে বের করার জন্য প্রয়োজনীয় 4টি মুখ তৈরি করা হয়।
178. বর্গমূলের সারণীর বর্ণনা।এই বইয়ের শেষে চার অঙ্কের বর্গমূলের একটি সারণী রয়েছে। এই টেবিলটি ব্যবহার করে, আপনি দ্রুত একটি পূর্ণ সংখ্যার (বা দশমিক ভগ্নাংশ) বর্গমূল খুঁজে পেতে পারেন যা চারটি সংখ্যার বেশি নয়। এই টেবিলটি কীভাবে গঠন করা হয়েছে তা ব্যাখ্যা করার আগে, আমরা লক্ষ্য করি যে আমরা সর্বদা কেবলমাত্র র্যাডিকাল সংখ্যাটি দেখে টেবিলের সাহায্য ছাড়াই পছন্দসই মূলের প্রথম উল্লেখযোগ্য সংখ্যাটি খুঁজে পেতে পারি; আমরা সহজেই নির্ণয় করতে পারি যে কোন দশমিক স্থানটি মূলের প্রথম অঙ্কের অর্থ এবং তাই, রুটে কোথায়, যখন আমরা এটির সংখ্যাগুলি খুঁজে পাই, তখন আমাদের অবশ্যই একটি কমা লাগাতে হবে। এখানে কিছু উদাহরণঃ:
1) √5"27,3 . প্রথম অঙ্কটি হবে 2, যেহেতু মূল সংখ্যার বাম দিকটি 5; এবং 5 এর মূলটি 2 এর সমান। উপরন্তু, যেহেতু র্যাডিকেলের পূর্ণসংখ্যা অংশে শুধুমাত্র 2টি মুখ রয়েছে, তাই পছন্দসই মূলের পূর্ণসংখ্যা অংশে 2টি সংখ্যা থাকতে হবে এবং তাই, এর প্রথম সংখ্যা 2 অবশ্যই মানে দশ।
2) √9.041। স্পষ্টতই, এই রুটে প্রথম অঙ্কটি হবে 3 মৌলিক একক।
3) √0.00"83"4। প্রথম তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কটি হল 9, যেহেতু প্রথম উল্লেখযোগ্য অঙ্কটি পেতে যে মুখ থেকে মূলটি নিতে হবে তা হল 83, এবং 83-এর মূল হল 9৷ যেহেতু প্রয়োজনীয় সংখ্যাটিতে পূর্ণ সংখ্যা বা দশম সংখ্যা থাকবে না, তাই প্রথম অঙ্ক 9 মানে শততম।
4) √0.73"85। প্রথম উল্লেখযোগ্য সংখ্যা হল 8 দশমাংশ।
5) √0.00"00"35"7। প্রথম উল্লেখযোগ্য সংখ্যাটি হবে 5 হাজারতম।
আরো একটি মন্তব্য করা যাক. আসুন আমরা ধরে নিই যে আমাদের এমন একটি সংখ্যার মূল বের করতে হবে যা, এতে দখলকৃত শব্দটি বাতিল করার পরে, এই জাতীয় সংখ্যার একটি সিরিজ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়: 5681। এই মূলটি নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি হতে পারে:
আমরা যদি মূলগুলি নিই যেগুলিকে আমরা একটি লাইন দিয়ে আন্ডারলাইন করি, তবে সেগুলি সমস্ত সংখ্যার একই সিরিজ দ্বারা প্রকাশ করা হবে, অবিকল সেই সংখ্যাগুলি যা 5681 থেকে মূল বের করার সময় প্রাপ্ত হয় (এগুলি হবে 7, 5, 3, 7 সংখ্যাগুলি ) এর কারণ হ'ল মূলের অঙ্কগুলি খুঁজে বের করার সময় যে মুখগুলিতে মূল সংখ্যাটিকে ভাগ করতে হবে এই সমস্ত উদাহরণে একই হবে, তাই প্রতিটি মূলের অঙ্কগুলি একই হবে (শুধুমাত্র দশমিকের অবস্থান পয়েন্ট অবশ্যই ভিন্ন হবে)। একইভাবে, দুটি লাইন দিয়ে আমাদের দ্বারা আন্ডারলাইন করা সমস্ত মূলে, আমাদের পাওয়া উচিত একই সংখ্যা, সুনির্দিষ্টভাবে যাদের দ্বারা √568.1 প্রকাশ করা হয়েছে (এই সংখ্যাগুলি হবে 2, 3, 8, 3), এবং একই কারণে। সুতরাং, 5681 সংখ্যার একই সারি দ্বারা উপস্থাপিত সংখ্যাগুলির মূলের অঙ্কগুলি (কমা বাদ দিয়ে) দুটি (এবং কেবল দুটি) ধরণের হবে: হয় এটি 7, 5, 3, 7 বা সারি সারি 2, 3, 8, 3. একই, স্পষ্টতই, সংখ্যার অন্য কোন সিরিজ সম্পর্কে বলা যেতে পারে। অতএব, আমরা এখন টেবিলে দেখতে পাব, র্যাডিকাল সংখ্যার প্রতিটি সারি অঙ্কের 2 সারির মূলের জন্য অনুরূপ।
এখন আমরা টেবিলের গঠন ব্যাখ্যা করতে পারি এবং কীভাবে এটি ব্যবহার করতে হয়। ব্যাখ্যার স্বচ্ছতার জন্য, আমরা এখানে টেবিলের প্রথম পৃষ্ঠার শুরু দেখিয়েছি।
এই টেবিলটি বেশ কয়েকটি পৃষ্ঠায় অবস্থিত। তাদের প্রতিটিতে, বাম দিকের প্রথম কলামে, 10, 11, 12... (99 পর্যন্ত) নম্বরগুলি স্থাপন করা হয়েছে৷ এই সংখ্যাগুলি যে সংখ্যা থেকে বর্গমূল চাওয়া হয়েছে তার প্রথম 2টি সংখ্যা প্রকাশ করে। উপরের অনুভূমিক রেখায় (পাশাপাশি নীচে) সংখ্যাগুলি রয়েছে: 0, 1, 2, 3... 9, এই সংখ্যার 3য় অঙ্কের প্রতিনিধিত্ব করে এবং তারপরে আরও ডানদিকে রয়েছে 1, 2, 3. . . 9, এই সংখ্যার 4 র্থ সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। অন্যান্য সমস্ত অনুভূমিক রেখায় 2টি চার-সংখ্যার সংখ্যা থাকে যা সংশ্লিষ্ট সংখ্যার বর্গমূল প্রকাশ করে।
ধরুন আপনাকে কিছু সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা বা প্রকাশের বর্গমূল বের করতে হবে দশমিক. প্রথমত, আমরা টেবিলের সাহায্য ছাড়াই মূলের প্রথম অঙ্ক এবং তার অঙ্ক খুঁজে পাই। তারপর আমরা এই সংখ্যার কমা বাতিল করে দেব, যদি একটি থাকে। আসুন প্রথমে অনুমান করি যে কমা বাদ দেওয়ার পরে, শুধুমাত্র 3টি সংখ্যা থাকবে, উদাহরণস্বরূপ। 114. আমরা বাঁদিকের কলামের সারণীগুলিতে প্রথম 2টি সংখ্যা খুঁজে পাই, অর্থাৎ 11, এবং অনুভূমিক রেখা বরাবর সেগুলি থেকে ডানদিকে সরে যাই যতক্ষণ না আমরা উল্লম্ব কলামে পৌঁছাই, যার শীর্ষে (এবং নীচে) 3য় সংখ্যা। সংখ্যাটির, অর্থাৎ 4. এই জায়গায় আমরা দুটি চার-সংখ্যার সংখ্যা পাই: 1068 এবং 3376। এই দুটি সংখ্যার মধ্যে কোনটি নেওয়া উচিত এবং কোথায় কমা বসাতে হবে, এটি মূলের প্রথম অঙ্ক দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং এর অঙ্ক, যা আমরা আগে খুঁজে পেয়েছি। সুতরাং, আমাদের যদি √0.11"4 খুঁজে বের করতে হয়, তাহলে মূলের প্রথম অঙ্কটি 3 দশমাংশ, এবং তাই আমাদের অবশ্যই রুটের জন্য 0.3376 নিতে হবে৷ যদি আমাদের √1.14 খুঁজে বের করতে হয়, তাহলে মূলের প্রথম অঙ্কটি হবে 1, এবং আমরা তারপর 1.068 নিব।
এইভাবে আমরা সহজেই খুঁজে পেতে পারি:
√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, ইত্যাদি।
আসুন এখন ধরে নিই যে আমাদেরকে 4টি সংখ্যায় প্রকাশ করা একটি সংখ্যার মূল (দশমিক বিন্দু নামিয়ে) খুঁজে বের করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, √7"45.6। উল্লেখ্য যে মূলের প্রথম সংখ্যাটি 2 দশ, আমরা এর জন্য খুঁজে পাই সংখ্যা 745, যেমনটি এখন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, সংখ্যা 2729 (আমরা শুধুমাত্র আমাদের আঙুল দিয়ে এই সংখ্যাটি লক্ষ্য করি, কিন্তু এটি লিখি না।) তারপরে আমরা টেবিলের ডান দিকে (পিছনে) পর্যন্ত এই সংখ্যা থেকে আরও ডানদিকে চলে যাই। শেষ বোল্ড লাইন) আমরা উল্লম্ব কলামের সাথে দেখা করি যা উপরের (এবং নীচে) প্রদত্ত সংখ্যার 4 তম সংখ্যা, অর্থাৎ 6 নম্বর, এবং সেখানে 1 নম্বরটি চিহ্নিত করা হয়েছে। এটি একটি সংশোধন হবে যা অবশ্যই প্রয়োগ করতে হবে (মনে) পূর্বে পাওয়া 2729 নম্বরে; আমরা 2730 পাই। আমরা এই নম্বরটি লিখি এবং সঠিক জায়গায় একটি কমা লাগাই: 27.30।
এইভাবে আমরা খুঁজে পাই, উদাহরণস্বরূপ:
√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 = 0.2107, ইত্যাদি
যদি র্যাডিকাল সংখ্যাটি শুধুমাত্র এক বা দুটি সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি যে এই সংখ্যাগুলির পরে একটি বা দুটি শূন্য রয়েছে এবং তারপরে এর ব্যাখ্যা অনুযায়ী এগিয়ে যান তিন সংখ্যার সংখ্যা. উদাহরণস্বরূপ, √2.7 =√2.70 = 1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606, ইত্যাদি।
অবশেষে, যদি র্যাডিকাল সংখ্যাটি 4টির বেশি সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে আমরা তাদের মধ্যে শুধুমাত্র প্রথম 4টি নেব এবং বাকিগুলি বাতিল করব এবং ত্রুটি কমাতে, যদি বাতিল করা সংখ্যাগুলির মধ্যে প্রথমটি 5 বা 5 এর বেশি হয়, তাহলে আমরা ধরে রাখা ডিজিটের চতুর্থ l দ্বারা বৃদ্ধি করব। তাই:
√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; এবং তাই
মন্তব্য করুন। সারণীগুলি আনুমানিক বর্গমূল নির্দেশ করে, কখনও কখনও ঘাটতি সহ, কখনও কখনও অতিরিক্ত সহ, যথা এই আনুমানিক মূলগুলির মধ্যে একটি যা সঠিক মূলের কাছাকাছি আসে৷
179. সাধারণ ভগ্নাংশ থেকে বর্গমূল বের করা।অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশের সঠিক বর্গমূল তখনই বের করা যায় যখন ভগ্নাংশের উভয় পদই সঠিক বর্গ হয়। এই ক্ষেত্রে, লব এবং হর এর মূল আলাদাভাবে বের করা যথেষ্ট, উদাহরণস্বরূপ:
কিছু দশমিক নির্ভুলতা সহ একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আনুমানিক বর্গমূল খুব সহজেই পাওয়া যাবে যদি আমরা প্রথমে বিপরীত করি সাধারণ ভগ্নাংশএকটি দশমিকে, এই ভগ্নাংশে দশমিকের পরে দশমিক স্থানের সংখ্যা গণনা করা যা পছন্দসই মূলের দশমিক স্থানের দ্বিগুণ হবে।
যাইহোক, আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন। আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক:
আনুমানিক √ 5 / 24 খুঁজুন
এর হরকে একটি সঠিক বর্গ করা যাক। এটি করার জন্য, ভগ্নাংশের উভয় পদকে হর 24 দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট হবে; কিন্তু এই উদাহরণে আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন। আসুন 24 কে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করি: 24 = 2 2 2 3। এই পচন থেকে এটা স্পষ্ট যে 24 কে যদি 2 এবং অন্যটি 3 দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে গুণফলটিতে প্রতিটি সাধারণ গুণনীয়ক সমান সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি হবে এবং তাই , হর একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে:
কিছু নির্ভুলতার সাথে √30 গণনা করতে হবে এবং ফলাফলটিকে 12 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে 12 দ্বারা ভাগ করলে সঠিকতার মাত্রা নির্দেশ করে ভগ্নাংশও হ্রাস পাবে। সুতরাং, যদি আমরা 1/10 এর নির্ভুলতার সাথে √30 খুঁজে পাই এবং ফলাফলটিকে 12 দ্বারা ভাগ করি, তাহলে আমরা 1/120 এর নির্ভুলতার সাথে 5/24 ভগ্নাংশের একটি আনুমানিক মূল পাব (যেমন 54/120 এবং 55/120)
তৃতীয় অধ্যায়.
একটি ফাংশনের গ্রাফx = √y .
180. বিপরীত ফাংশন।কিছু সমীকরণ দেওয়া যাক যা নির্ধারণ করে এ একটি কাজ হিসাবে এক্স , উদাহরণস্বরূপ, এই মত: y = x 2 . আমরা বলতে পারি যে এটি শুধুমাত্র নির্ধারণ করে না এ একটি কাজ হিসাবে এক্স , কিন্তু এছাড়াও, বিপরীতভাবে, নির্ধারণ করে এক্স একটি কাজ হিসাবে এ , একটি অন্তর্নিহিত উপায়ে যদিও. এই ফাংশনটি সুস্পষ্ট করতে, আমাদের এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে এক্স , নেওয়া এ একটি পরিচিত সংখ্যার জন্য; সুতরাং, আমরা যে সমীকরণটি নিয়েছি তা থেকে আমরা খুঁজে পাই: y = x 2 .
যে সমীকরণটি x এর ফাংশন হিসাবে y কে সংজ্ঞায়িত করে সেই সমীকরণটি সমাধান করার পরে x এর জন্য প্রাপ্ত বীজগণিতিক রাশিটিকে y সংজ্ঞায়িত করার বিপরীত ফাংশন বলে।
তাই ফাংশন x = √y বিপরীত ফাংশন y = x 2 . যদি, প্রথা অনুযায়ী, আমরা স্বাধীন পরিবর্তনশীলকে বোঝাই এক্স , এবং নির্ভরশীল এ , তাহলে এখন প্রাপ্ত বিপরীত ফাংশনটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে: y = √ x . সুতরাং, একটি প্রদত্ত (সরাসরি) একটির বিপরীতে একটি ফাংশন পাওয়ার জন্য, এই প্রদত্ত ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করার সমীকরণ থেকে বের করা প্রয়োজন এক্স উপর নির্ভর করে y এবং ফলে অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন y চালু এক্স , ক এক্স চালু y .
181. একটি ফাংশনের গ্রাফ y = √ x . এই ফাংশন একটি নেতিবাচক মান সঙ্গে সম্ভব নয় এক্স , কিন্তু কোনো ইতিবাচক মানের জন্য এটি গণনা করা যেতে পারে (যে কোনো নির্ভুলতার সাথে) এক্স , এবং এই ধরনের প্রতিটি মানের জন্য ফাংশন দুটি পায় বিভিন্ন অর্থএকই পরম মান সহ, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন সহ। পরিচিত হলে √ যদি আমরা বর্গমূলের শুধুমাত্র গাণিতিক মান নির্দেশ করি, তাহলে ফাংশনের এই দুটি মানকে নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে: y = ± √ x এই ফাংশনের একটি গ্রাফ প্লট করতে, আপনাকে প্রথমে এর মানগুলির একটি টেবিল কম্পাইল করতে হবে। এই টেবিলটি তৈরি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল সরাসরি ফাংশন মানের টেবিল থেকে:
y = x 2 .
|
এক্স |
||||||||||||
|
y |
যদি মান এ মান হিসাবে গ্রহণ করুন এক্স , এবং বিপরীতভাবে:
y = ± √ x
অঙ্কনে এই সমস্ত মান প্লট করে, আমরা নিম্নলিখিত গ্রাফটি পাই।
একই অঙ্কনে আমরা সরাসরি ফাংশনের গ্রাফ চিত্রিত করেছি (একটি ভাঙা লাইন সহ) y = x 2 . আসুন একে অপরের সাথে এই দুটি গ্রাফ তুলনা করা যাক।
182. প্রত্যক্ষ এবং বিপরীত ফাংশনের গ্রাফের মধ্যে সম্পর্ক।বিপরীত ফাংশনের মানগুলির একটি টেবিল কম্পাইল করতে y = ± √ x আমরা জন্য নিয়েছিলাম এক্স যে সংখ্যাগুলি সরাসরি ফাংশনের টেবিলে রয়েছে y = x 2 জন্য মান হিসাবে পরিবেশিত এ , এবং জন্য এ সেই সংখ্যাগুলো নিয়েছিল; এই টেবিলে যার জন্য মান ছিল এক্স . এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে উভয় গ্রাফ একই, শুধুমাত্র প্রত্যক্ষ ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষের সাপেক্ষে অবস্থিত এ - কিভাবে বিপরীত ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষের সাপেক্ষে অবস্থিত এক্স - ওভ ফলস্বরূপ, যদি আমরা একটি সরল রেখার চারপাশে অঙ্কন বাঁক OA একটি সমকোণকে দ্বিখণ্ডিত করা xOy , যাতে অর্ধ-অক্ষ ধারণকারী অঙ্কন অংশ OU , অ্যাক্সেল শ্যাফ্ট ধারণ করে এমন অংশে পড়েছিল উহু , যে OU মানানসই উহু , সব বিভাগ OU বিভাজনের সাথে মিলে যাবে উহু , এবং প্যারাবোলা পয়েন্ট y = x 2 গ্রাফের সংশ্লিষ্ট পয়েন্টের সাথে সারিবদ্ধ হবে y = ± √ x . উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্ট এম এবং এন , যার নির্দেশ 4 , এবং abscissas 2 এবং - 2 , পয়েন্টের সাথে মিলে যাবে মি" এবং এন" , যার জন্য abscissa 4 , এবং নির্দেশাবলী 2 এবং - 2 . যদি এই বিন্দুগুলো মিলে যায়, তাহলে এর মানে হল সরলরেখা এমএম" এবং NN" লম্ব থেকে OAএবং এই সরল রেখাটিকে অর্ধেক ভাগ করুন। উভয় গ্রাফের অন্যান্য সমস্ত সংশ্লিষ্ট বিন্দুর জন্য একই কথা বলা যেতে পারে।
সুতরাং, বিপরীত ফাংশনের গ্রাফটি প্রত্যক্ষ ফাংশনের গ্রাফের মতোই হওয়া উচিত, তবে এই গ্রাফগুলি ভিন্নভাবে অবস্থিত, যথা কোণের দ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে একে অপরের সাথে প্রতিসমভাবে xOy . আমরা বলতে পারি যে বিপরীত ফাংশনের গ্রাফটি কোণের দ্বিখণ্ডকের সাথে সম্পর্কিত প্রত্যক্ষ ফাংশনের গ্রাফের প্রতিফলন (আয়নার মতো) xOy .
আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। আমাদের গোপনীয়তা অনুশীলন পর্যালোচনা করুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।
ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।
আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।
আমরা ব্যক্তিগত কোন তথ্য সংগ্রহ করব:
আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:
আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ করি না।
ব্যতিক্রম:
আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।
আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত আছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং সুরক্ষা মানগুলি যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।
