চলক যাক এক্স nমানগুলির একটি অসীম ক্রম লাগে
এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n , ..., (1)
এবং পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের নিয়ম জানা যায় এক্স n, অর্থাৎ প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য nআপনি উপযুক্ত মান নির্দিষ্ট করতে পারেন এক্স n. অতএব, এটি পরিবর্তনশীল যে অনুমান করা হয় এক্স nএর একটি ফাংশন n:
এক্স n = f(n)
আসুন আমরা গাণিতিক বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটিকে সংজ্ঞায়িত করি - একটি অনুক্রমের সীমা, বা, একই, একটি পরিবর্তনশীলের সীমা কী এক্স n, ক্রম মাধ্যমে চলমান এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n , ... . .
সংজ্ঞা।ধ্রুবক সংখ্যা কডাকা অনুক্রমের সীমা এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n , ... . অথবা একটি পরিবর্তনশীল সীমা এক্স n, যদি ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট ধনাত্মক সংখ্যার জন্য ই এরকম একটি স্বাভাবিক সংখ্যা থাকে এন(অর্থাৎ সংখ্যা এন) যা ভেরিয়েবলের সমস্ত মান এক্স n, শুরু এক্স এন, থেকে ভিন্ন ক e এর চেয়ে কম পরম মান। এই সংজ্ঞাসংক্ষেপে এভাবে লেখা:
| এক্স n - ক |< (2)
সবার সামনে n এন, বা, একই কি,
কচি সীমা নির্ধারণ. একটি সংখ্যা A কে একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের f (x) সীমা বলা হয় a যদি এই ফাংশনটি a বিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়, a বিন্দুর সম্ভাব্য ব্যতিক্রম সহ, এবং প্রতিটি ε > 0 এর জন্য δ থাকে > 0 যেমন সব x সন্তোষজনক অবস্থার জন্য |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
হাইনের সীমা নির্ধারণ. একটি সংখ্যা A কে একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের f (x) এর সীমা বলা হয় a যদি এই ফাংশনটি a বিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়, a বিন্দুর সম্ভাব্য ব্যতিক্রম সহ, এবং যে কোনো ক্রম যেমন 
সংখ্যা a-তে রূপান্তরিত হলে, ফাংশনের মানগুলির অনুরূপ ক্রম A সংখ্যায় একত্রিত হয়।
যদি একটি ফাংশন f(x)-এর একটি বিন্দুতে একটি সীমা থাকে, তাহলে এই সীমাটি অনন্য।
A 1 সংখ্যাটিকে বাম দিকে a বিন্দুতে f (x) ফাংশনের সীমা বলা হয় যদি প্রতিটি ε > 0 এর জন্য বিদ্যমান থাকে δ > 
A 2 সংখ্যাটিকে ডানদিকের ফাংশনের সীমা বলা হয় a বিন্দুতে যদি প্রতিটি ε > 0 এর জন্য δ > 0 থাকে যাতে সকলের জন্য অসমতা বজায় থাকে 
বাম দিকের সীমাটি ডানদিকের সীমা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় - এই সীমাগুলি a বিন্দুর বাম এবং ডানে ফাংশনের আচরণকে চিহ্নিত করে৷ এগুলিকে প্রায়শই একমুখী সীমা বলা হয়। x → 0 এর জন্য একতরফা সীমার উপাধিতে, প্রথম শূন্য সাধারণত বাদ দেওয়া হয়: এবং . সুতরাং, ফাংশন জন্য 
যদি প্রতি ε > 0-এর জন্য একটি বিন্দুর একটি δ-প্রতিবেশী বিদ্যমান থাকে যা সকল x-এর জন্য শর্ত সন্তুষ্ট করে |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, তারপরে তারা বলে যে ফাংশন f (x) এর একটি বিন্দুতে অসীম সীমা রয়েছে:
সুতরাং, x = 0 বিন্দুতে ফাংশনের একটি অসীম সীমা রয়েছে। +∞ এবং –∞ এর সমান সীমাগুলি প্রায়শই আলাদা করা হয়। তাই,
যদি প্রতি ε > 0 এর জন্য একটি δ > 0 থাকে যেটা প্রতিটি x > δ অসমতা |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
একটি সঠিক সর্বোচ্চ জন্য অস্তিত্ব উপপাদ্য
সংজ্ঞা:АR mR, m হল А এর উপরের (নিম্ন) মুখ, যদি аА аm (аm)।
সংজ্ঞা:একটি সেট A উপরে থেকে (নীচ থেকে) আবদ্ধ থাকে, যদি এমন একটি m থাকে যা aA, am (am) ধরে থাকে।
সংজ্ঞা: SupA=m, যদি 1) m হল A এর সর্বোচ্চ
2) m': m'
InfA = n, যদি 1) n হল A এর ইনফিমাম
2) n’: n’>n => n’ A এর ইনফিমাম নয়
সংজ্ঞা: SupA=m একটি সংখ্যা যেমন: 1) aA am
2) >0 a A, যেমন a a-
InfA = n হল একটি সংখ্যা যেমন: 1) 1) aA an
2) >0 a A, যেমন একটি E a+
উপপাদ্য:উপরে থেকে আবদ্ধ যেকোন খালি সেট AR এর একটি সঠিক সর্বোচ্চ এবং একটি অনন্য সেট রয়েছে।
প্রমাণ:
আসুন সংখ্যা রেখায় m সংখ্যাটি তৈরি করি এবং প্রমাণ করি যে এটি A এর সর্বোচ্চ।
[m] = সর্বোচ্চ([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 - A এর উপরের সীমানা
সেগমেন্ট [[মি], [মি]+1] - 10টি অংশে বিভক্ত
m 1 = সর্বোচ্চ:aA)]
m 2 = সর্বোচ্চ, m 1:aA)]
m k = সর্বোচ্চ, m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - উপরের প্রান্ত A
আসুন প্রমাণ করা যাক যে m=[m],m 1 ...m K হল সর্বোচ্চ এবং এটি অনন্য:
k:।
ভাত। 11. ফাংশন y arcsin x এর গ্রাফ।
আসুন এখন একটি জটিল ফাংশনের ধারণাটি চালু করি ( ম্যাপিং এর রচনা) তিনটি সেট D, E, M দেওয়া যাক এবং যাক f: D→E, g: E→M। স্পষ্টতই, একটি নতুন ম্যাপিং নির্মাণ করা সম্ভব: D→M, যাকে বলা হয় ম্যাপিং f এবং g বা একটি জটিল ফাংশন (চিত্র 12)।
একটি জটিল ফাংশন নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়: z =h(x)=g(f(x)) বা h = f o g।
ভাত। 12. একটি জটিল ফাংশনের ধারণার চিত্রণ।
ফাংশন f(x) বলা হয় অভ্যন্তরীণ ফাংশন, এবং ফাংশন g (y) - বাহ্যিক ফাংশন.
1. অভ্যন্তরীণ ফাংশন f(x)= x², বাহ্যিক g (y) sin y। জটিল ফাংশন z= g(f(x))=sin(x²)
2. এখন এটা অন্য উপায় কাছাকাছি. অভ্যন্তরীণ ফাংশন f (x) = sinx, বাহ্যিক ফাংশন g (y) y 2। u=f(g(x))=sin²(x)
