টাস্ক নং 1
যুক্তিটি সহজ: আমরা আগের মতোই করব, নির্বিশেষে যে এখন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির আরও জটিল যুক্তি রয়েছে!
যদি আমরা ফর্মের একটি সমীকরণ সমাধান করতে চাই:
তারপর আমরা নিম্নলিখিত উত্তর লিখব:
অথবা (যখন থেকে)
কিন্তু এখন আমাদের ভূমিকা এই অভিব্যক্তি দ্বারা অভিনয় করা হয়:
তারপর আমরা লিখতে পারি:
আপনার সাথে আমাদের লক্ষ্য হল নিশ্চিত করা যে বাম দিকটি কোন "অশুদ্ধতা" ছাড়াই সহজভাবে দাঁড়িয়ে আছে!
আসুন ধীরে ধীরে তাদের পরিত্রাণ পেতে!
প্রথমে, এর হরটি সরিয়ে ফেলুন: এটি করতে, আমাদের সমতাকে এর দ্বারা গুণ করুন:
এখন উভয় অংশ ভাগ করে এটি পরিত্রাণ করা যাক:
এখন আটটি থেকে মুক্তি দেওয়া যাক:
ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটি সমাধানের 2 সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে (একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, যেখানে আমরা বৈষম্যকে যোগ বা বিয়োগ করি)
আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল খুঁজে বের করতে হবে! এটা পরিষ্কার যে আমরা মাধ্যমে বাছাই করা প্রয়োজন.
চলুন প্রথমে প্রথম পর্বটি দেখিঃ
এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি গ্রহণ করি, তাহলে ফলস্বরূপ আমরা ইতিবাচক সংখ্যা পাব, কিন্তু তারা আমাদের আগ্রহী নয়।
তাই এটা নেতিবাচক নিতে হবে। হতে দিন.
যখন মূলটি সংকীর্ণ হবে:
এবং আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক খুঁজে বের করতে হবে!! তাই যান নেতিবাচক দিকএখানে আর কোন অর্থ নেই। এবং এই সিরিজের জন্য সবচেয়ে বড় নেতিবাচক রুট সমান হবে।
এখন দেখা যাক দ্বিতীয় সিরিজ:
এবং আবার আমরা প্রতিস্থাপন করি: , তারপর:
আগ্রহী নই!
তাহলে আর বাড়ানোর কোনো মানে হয় না! এটা কমানো যাক! তাহলে যাক:
ফিট!
হতে দিন. তারপর
তারপর - সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল!
উত্তর:
টাস্ক নং 2
জটিল কোসাইন যুক্তি নির্বিশেষে আমরা আবার সমাধান করি:
এখন আমরা আবার বাম দিকে প্রকাশ করি:
উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন
উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করুন
যা অবশিষ্ট থাকে তা হল এটিকে ডানদিকে সরানো, এর চিহ্নটি বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করা।
আমরা আবার শিকড়ের 2টি সিরিজ পাই, একটি সহ এবং অন্যটি সহ।
আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল খুঁজে বের করতে হবে। চলুন দেখে নেওয়া যাক প্রথম পর্বঃ
এটা স্পষ্ট যে আমরা প্রথম ঋণাত্মক রুট পাব, এটি সমান হবে এবং 1 সিরিজের বৃহত্তম ঋণাত্মক মূল হবে।
দ্বিতীয় সিরিজের জন্য
প্রথম ঋণাত্মক মূলটিও প্রাপ্ত হবে এবং এর সমান হবে। যেহেতু, তখন সমীকরণের বৃহত্তম ঋণাত্মক মূল।
উত্তর: .
টাস্ক নং 3
জটিল স্পর্শক যুক্তি নির্বিশেষে আমরা সমাধান করি।
এখন, এটা জটিল বলে মনে হচ্ছে না, তাই না?
আগের মতো, আমরা বাম দিকে প্রকাশ করি:
ওয়েল, এটা দুর্দান্ত, এখানে শিকড়ের একটি মাত্র সিরিজ আছে! এর সবচেয়ে বড় নেতিবাচক আবার খুঁজে বের করা যাক.
এটা পরিষ্কার যে আপনি এটি নিচে রাখা যদি এটি সক্রিয় আউট. এবং এই মূল সমান।
উত্তর:
এবার নিচের সমস্যাগুলো নিজে সমাধান করার চেষ্টা করুন।
প্রস্তুত? এর চেক করা যাক. আমি সম্পূর্ণ সমাধান অ্যালগরিদম বিশদভাবে বর্ণনা করব না; আমার কাছে মনে হচ্ছে এটি ইতিমধ্যে উপরে যথেষ্ট মনোযোগ পেয়েছে।
আচ্ছা, সব ঠিক আছে তো? ওহ, সেই কদর্য সাইনাসগুলি, তাদের সাথে সর্বদা কিছু সমস্যা থাকে!
আচ্ছা, এখন আপনি সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন!
প্রকাশ করা যাক
ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল পাওয়া যায় যদি আমরা, তারপর থেকে, রাখি
উত্তর:
ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল এ প্রাপ্ত হয়।
সমান হবে।
উত্তর: .
যখন আমরা পাই, যখন আমাদের আছে।
উত্তর: .
এই জ্ঞান আপনাকে পরীক্ষায় সম্মুখীন হতে হবে এমন অনেক সমস্যার সমাধান করতে সাহায্য করবে।
আপনি যদি একটি "5" রেটিং এর জন্য আবেদন করেন, তাহলে আপনাকে শুধু নিবন্ধটি পড়ার জন্য এগিয়ে যেতে হবে মধ্য অংসযা আরো জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (টাস্ক C1) সমাধানের জন্য নিবেদিত হবে।
এই নিবন্ধে আমি বর্ণনা করব আরও জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করাএবং কিভাবে তাদের শিকড় নির্বাচন করতে হয়। এখানে আমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি আঁকব:
আরও জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি উন্নত সমস্যার ভিত্তি। তাদের প্রয়োজন কিভাবে সমীকরণ নিজেই সমাধান করা যায় সাধারণ দৃষ্টিকোণ, এবং একটি নির্দিষ্ট প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত এই সমীকরণের মূল খুঁজে বের করুন।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা দুটি সাবটাস্কে নেমে আসে:
এটি লক্ষ করা উচিত যে দ্বিতীয়টি সর্বদা প্রয়োজন হয় না, তবে বেশিরভাগ উদাহরণে এখনও নির্বাচন করা প্রয়োজন। তবে যদি এটির প্রয়োজন না হয়, তবে আমরা আপনার প্রতি সহানুভূতি জানাতে পারি - এর অর্থ হল সমীকরণটি নিজেই বেশ জটিল।
C1 সমস্যাগুলি বিশ্লেষণ করার ক্ষেত্রে আমার অভিজ্ঞতা দেখায় যে তারা সাধারণত নিম্নলিখিত বিভাগে বিভক্ত।
সহজভাবে বলতে গেলে: আপনি যদি ধরা পড়ে যান প্রথম তিন ধরনের সমীকরণের একটিতারপর নিজেকে ভাগ্যবান মনে করুন। তাদের জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, আপনাকে অতিরিক্তভাবে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড় নির্বাচন করতে হবে।
আপনি যদি একটি টাইপ 4 সমীকরণের মুখোমুখি হন, তবে আপনি কম ভাগ্যবান: আপনাকে এটির সাথে দীর্ঘ এবং আরও যত্ন সহকারে টিঙ্কার করতে হবে, তবে প্রায়শই এর জন্য শিকড়ের অতিরিক্ত নির্বাচনের প্রয়োজন হয় না। তবুও, আমি পরের প্রবন্ধে এই ধরনের সমীকরণ বিশ্লেষণ করব, এবং এটি আমি প্রথম তিন ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য উৎসর্গ করব।
এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করার জন্য আপনাকে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিসটি মনে রাখতে হবে
অনুশীলন দেখায়, একটি নিয়ম হিসাবে, এই জ্ঞান যথেষ্ট। আসুন কিছু উদাহরণ দেখি:
এখানে, আমি প্রতিশ্রুতি অনুযায়ী, হ্রাস সূত্র কাজ করে:
তারপর আমার সমীকরণ এই মত দেখাবে:
তারপর আমার সমীকরণ নিম্নলিখিত ফর্ম নিতে হবে:
একজন অদূরদর্শী ছাত্র বলতে পারে: এখন আমি উভয় পক্ষকে কমিয়ে দেব, সহজতম সমীকরণ পাব এবং জীবন উপভোগ করব! এবং তিনি তিক্তভাবে ভুল হবে!
| মনে রাখবেন: আপনি একটি অজানা থাকা ফাংশন দ্বারা একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের উভয় দিককে কখনই হ্রাস করতে পারবেন না! তাই আপনি আপনার শিকড় হারান! |
তো এখন কি করা? হ্যাঁ, এটা সহজ, সবকিছু একপাশে সরান এবং সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করুন:
ঠিক আছে, আমরা এটাকে ফ্যাক্টরে ফ্যাক্টর করেছি, হুররে! এখন সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক:
প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:
এবং দ্বিতীয়:
এটি সমস্যার প্রথম অংশটি সম্পূর্ণ করে। এখন আপনাকে শিকড় নির্বাচন করতে হবে:
ফাঁক এই মত:
অথবা এটি এভাবেও লেখা যেতে পারে:
আচ্ছা, আসুন শিকড় নেওয়া যাক:
প্রথমে, আসুন প্রথম পর্ব নিয়ে কাজ করি (এবং এটি আরও সহজ, অন্তত বলতে গেলে!)
যেহেতু আমাদের ব্যবধান সম্পূর্ণরূপে নেতিবাচক, অ-নেতিবাচকগুলি নেওয়ার দরকার নেই, তারা এখনও অ-নেতিবাচক শিকড় দেবে।
চলুন, তারপর - এটা খুব বেশী, এটা আঘাত না.
যাক, তাহলে - আমি আবার আঘাত করিনি।
আরও একবার চেষ্টা করুন - তারপর - হ্যাঁ, আমি এটি পেয়েছি! প্রথম শেকড় পাওয়া গেছে!
আমি আবার গুলি: তারপর আবার আঘাত!
ওয়েল, আর একবার: : - এটি ইতিমধ্যে একটি ফ্লাইট।
সুতরাং প্রথম সিরিজ থেকে ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত 2টি শিকড় রয়েছে: .
আমরা দ্বিতীয় সিরিজ নিয়ে কাজ করছি (আমরা নির্মাণ করছি নিয়ম অনুযায়ী ক্ষমতার কাছে):
আন্ডারশুট !
এটা আবার মিস!
এটা আবার মিস!
বুঝেছি!
ফ্লাইট !
সুতরাং, আমার ব্যবধানের নিম্নলিখিত শিকড় রয়েছে:
এটি হল অ্যালগরিদম যা আমরা অন্যান্য সমস্ত উদাহরণ সমাধান করতে ব্যবহার করব। আসুন আরও একটি উদাহরণ সহ একসাথে অনুশীলন করি।
সমাধান:
আবার কুখ্যাত হ্রাস সূত্র:
আবার কাটার চেষ্টা করবেন না!
প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:
এবং দ্বিতীয়:
এখন আবার শেকড়ের সন্ধান।
আমি দ্বিতীয় পর্ব দিয়ে শুরু করব, আমি পূর্বের উদাহরণ থেকে ইতিমধ্যে এটি সম্পর্কে সবকিছু জানি! দেখুন এবং নিশ্চিত করুন যে ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড়গুলি নিম্নরূপ:
এখন প্রথম পর্ব এবং এটি সহজ:
যদি - উপযুক্ত
সেটাও যদি ভালো হয়
যদি এটি ইতিমধ্যে একটি ফ্লাইট হয়।
তারপর শিকড় নিম্নরূপ হবে:
আচ্ছা, কৌশল কি আপনার কাছে পরিষ্কার? ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা কি আর এত কঠিন বলে মনে হচ্ছে না? তারপরে দ্রুত নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি নিজেই সমাধান করুন এবং তারপরে আমরা অন্যান্য উদাহরণগুলি সমাধান করব:
এবং আবার হ্রাস সূত্র:
শিকড়ের প্রথম সিরিজ:
শিকড়ের দ্বিতীয় সিরিজ:
আমরা ফাঁক জন্য নির্বাচন শুরু
উত্তর: , .
কারণগুলির মধ্যে বেশ জটিল গ্রুপিং (আমি ডাবল অ্যাঙ্গেল সাইন সূত্রটি ব্যবহার করব):
তারপর বা
এটি একটি সাধারণ সমাধান। এখন আমাদের শিকড় নির্বাচন করতে হবে। সমস্যা হল আমরা বলতে পারি না প্রকৃত মূল্যএকটি কোণ যার কোসাইন এক চতুর্থাংশের সমান। অতএব, আমি কেবল আর্ক কোসাইন থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি না - এমন লজ্জা!
আমি কি করতে পারি তা হল যে তাই, তাই, তারপর.
একটি টেবিল তৈরি করা যাক: interval:
ঠিক আছে, বেদনাদায়ক অনুসন্ধানের মাধ্যমে আমরা হতাশাজনক সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে আমাদের সমীকরণের নির্দেশিত ব্যবধানে একটি মূল রয়েছে: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
একটি ভীতিজনক খুঁজছেন সমীকরণ. যাইহোক, এটি ডাবল অ্যাঙ্গেল সাইন সূত্র প্রয়োগ করে বেশ সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে:
আসুন এটি 2 দ্বারা হ্রাস করি:
আসুন প্রথম পদটিকে দ্বিতীয়টির সাথে এবং তৃতীয়টি চতুর্থটির সাথে গ্রুপ করি এবং সাধারণ গুণনীয়কগুলি বের করি:
এটা স্পষ্ট যে প্রথম সমীকরণের কোন শিকড় নেই, এবং এখন দ্বিতীয়টি বিবেচনা করা যাক:
সাধারণভাবে, আমি এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটু পরেই চিন্তা করতে যাচ্ছিলাম, কিন্তু যেহেতু এটি পরিণত হয়েছে, কিছুই করার নেই, আমাকে এটি সমাধান করতে হবে ...
ফর্মের সমীকরণ:
এই সমীকরণটি উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করে সমাধান করা হয়:
সুতরাং, আমাদের সমীকরণের শিকড়গুলির একটি একক সিরিজ রয়েছে:
আমাদের সেইগুলি খুঁজে বের করতে হবে যা ব্যবধানের অন্তর্গত: .
আসুন আবার একটি টেবিল তৈরি করি, যেমন আমি আগে করেছি:
উত্তর: .
সমীকরণ ফর্মে হ্রাস করা হয়েছে:
ঠিক আছে, এখন সমীকরণের দ্বিতীয় অংশে যাওয়ার সময় এসেছে, বিশেষ করে যেহেতু আমি ইতিমধ্যেই একটি নতুন ধরণের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান কী রয়েছে তা নিয়ে মটরশুটি ছড়িয়ে দিয়েছি। তবে এটি পুনরাবৃত্তি করা মূল্যবান যে সমীকরণটি ফর্মের
কোসাইন দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে সমাধান করা হয়েছে:
উদাহরণ 1.
প্রথমটি বেশ সহজ। ডানদিকে যান এবং ডবল অ্যাঙ্গেল কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করুন:
হ্যাঁ! ফর্মের সমীকরণ: . আমি দ্বারা উভয় অংশ বিভক্ত
আমরা রুট স্ক্রীনিং করি:
ফাঁক:
উত্তর:
উদাহরণ 2।
সবকিছুই বেশ তুচ্ছ: আসুন ডানদিকে বন্ধনী খুলি:
মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়:
দ্বিকোণের সাইন:
অবশেষে আমরা পাই:
রুট স্ক্রীনিং: বিরতি।
উত্তর: .
আচ্ছা, আপনি কীভাবে কৌশলটি পছন্দ করেন, এটি কি খুব জটিল নয়? আমি আশা করি না. আমরা অবিলম্বে একটি সংরক্ষণ করতে পারেন: মধ্যে বিশুদ্ধ ফর্মযে সমীকরণগুলি অবিলম্বে স্পর্শকের জন্য একটি সমীকরণে কমিয়ে দেয় তা বেশ বিরল। সাধারণত, এই রূপান্তর (কোসাইন দ্বারা বিভাজন) আরও কিছুর অংশ মাত্র কঠিন কাজ. অনুশীলন করার জন্য এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে:
আসুন পরীক্ষা করা যাক:
সমীকরণটি অবিলম্বে সমাধান করা যেতে পারে; এটি দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করা যথেষ্ট:
রুট স্ক্রীনিং:
উত্তর: .
একভাবে বা অন্যভাবে, আমরা এখনও যে ধরনের সমীকরণের সম্মুখীন হতে পারিনি যা আমরা সবেমাত্র পরীক্ষা করেছি। যাইহোক, এটিকে একটি দিন বলা আমাদের পক্ষে খুব তাড়াতাড়ি: সমীকরণের আরও একটি "স্তর" বাকি আছে যা আমরা সাজাতে পারিনি। তাই:
এখানে সবকিছু স্বচ্ছ: আমরা সমীকরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, যতটা সম্ভব সরলীকরণ করি, একটি প্রতিস্থাপন করি, এটি সমাধান করি, একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন করি! কথায় বলে সবকিছু খুব সহজ। আসুন অ্যাকশনে দেখি:
উদাহরণ।
ওয়েল, এখানে প্রতিস্থাপন নিজেই আমাদের নিজেকে প্রস্তাব!
তাহলে আমাদের সমীকরণটি এতে পরিণত হবে:
প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:
এবং দ্বিতীয়টি এইরকম:
এখন ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড়গুলি খুঁজে বের করা যাক
উত্তর: .
আসুন একসাথে একটু জটিল উদাহরণ দেখি:
এখানে প্রতিস্থাপন অবিলম্বে দৃশ্যমান নয়, তদ্ব্যতীত, এটি খুব স্পষ্ট নয়। আসুন প্রথমে চিন্তা করি: আমরা কি করতে পারি?
উদাহরণস্বরূপ, আমরা কল্পনা করতে পারি
এবং একই সময়ে
তারপর আমার সমীকরণ ফর্ম গ্রহণ করবে:
এবং এখন মনোযোগ, ফোকাস:
সমীকরণের উভয় দিককে এভাবে ভাগ করা যাক:
হঠাৎ আপনি এবং আমি পেয়েছিলাম দ্বিঘাত সমীকরণতুলনামূলকভাবে আসুন একটি প্রতিস্থাপন করি, তারপর আমরা পাই:
সমীকরণের নিম্নলিখিত শিকড় রয়েছে:
অপ্রীতিকর দ্বিতীয় সিরিজ শিকড়, কিন্তু কিছুই করা যাবে না! আমরা ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন করি।
এটাও আমাদের বিবেচনা করতে হবে
তারপর থেকে এবং
উত্তর:
আপনি নিজেই সমস্যাগুলি সমাধান করার আগে এটিকে আরও শক্তিশালী করতে, এখানে আপনার জন্য আরেকটি অনুশীলন রয়েছে:
এখানে আপনাকে আপনার চোখ খোলা রাখতে হবে: আমাদের কাছে এখন হর রয়েছে যা শূন্য হতে পারে! অতএব, আপনাকে শিকড়ের প্রতি বিশেষভাবে মনোযোগী হতে হবে!
প্রথমত, আমাকে সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করতে হবে যাতে আমি একটি উপযুক্ত প্রতিস্থাপন করতে পারি। সাইন এবং কোসাইনের পরিপ্রেক্ষিতে স্পর্শকটিকে পুনরায় লেখার চেয়ে আমি এখন ভাল কিছু ভাবতে পারি না:
এখন আমি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে কোসাইন থেকে সাইনে চলে যাব:
এবং পরিশেষে, আমি একটি সাধারণ হরকে সবকিছু নিয়ে আসব:
এখন আমি সমীকরণে যেতে পারি:
কিন্তু at (অর্থাৎ, এ)।
এখন সবকিছু প্রতিস্থাপনের জন্য প্রস্তুত:
তারপর বা
তবে মনে রাখবেন, যদি, তাহলে একই সময়ে!
কে এই ভোগে? স্পর্শকটির সমস্যা হল যে কোসাইন শূন্যের সমান হলে এটি সংজ্ঞায়িত হয় না (শূন্য দ্বারা বিভাজন ঘটে)।
সুতরাং, সমীকরণের মূলগুলি হল:
এখন আমরা ব্যবধানে শিকড়গুলি বের করি:
| - মানানসই | |
| - overkill |
সুতরাং, আমাদের সমীকরণের ব্যবধানে একটি একক মূল রয়েছে এবং এটি সমান।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন: একটি হরকের চেহারা (ঠিক স্পর্শকের মতোই, শিকড়ের সাথে কিছু অসুবিধার দিকে নিয়ে যায়! এখানে আপনাকে আরও সতর্ক হতে হবে!)
ঠিক আছে, আপনি এবং আমি প্রায় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বিশ্লেষণ করা শেষ করেছি; খুব কম বাকি আছে - দুটি সমস্যা নিজেরাই সমাধান করতে। এখানে তারা.
সিদ্ধান্ত নিয়েছে? এটা খুব কঠিন না? আসুন পরীক্ষা করা যাক:
সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
প্রতিস্থাপন করা সহজ করতে কোসাইনের মাধ্যমে সবকিছু আবার লিখি:
এখন এটি একটি প্রতিস্থাপন করা সহজ:
এটা স্পষ্ট যে এটি একটি বহিরাগত মূল, যেহেতু সমীকরণটির কোন সমাধান নেই। তারপর:
আমরা ব্যবধানে আমাদের প্রয়োজন শিকড় খুঁজছি
উত্তর: .
তারপর বা
| - মানানসই! | - মানানসই! | |
| - মানানসই! | - মানানসই! | |
| - অনেক! | - এছাড়াও অনেক! |
উত্তর:
আচ্ছা, এটা এখন! কিন্তু ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান এখানেই শেষ হয় না; আমরা সবচেয়ে পিছনে পড়ে গেছি জটিল ক্ষেত্রে: যখন সমীকরণে অযৌক্তিকতা বা বিভিন্ন ধরণের "জটিল হর" থাকে। আমরা একটি উন্নত স্তরের জন্য একটি নিবন্ধে এই জাতীয় কাজগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা দেখব।
পূর্ববর্তী দুটি নিবন্ধে আলোচনা করা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি ছাড়াও, আমরা আরও একটি শ্রেণীবিভাগের সমীকরণ বিবেচনা করব যার জন্য আরও যত্নশীল বিশ্লেষণের প্রয়োজন। এই ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলিতে হয় অযৌক্তিকতা বা একটি হর রয়েছে, যা তাদের বিশ্লেষণকে আরও কঠিন করে তোলে. যাইহোক, আপনি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রের অংশ সি তে এই সমীকরণগুলির মুখোমুখি হতে পারেন। যাইহোক, প্রতিটি মেঘের একটি রূপালী আস্তরণ রয়েছে: এই জাতীয় সমীকরণের জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, এর শিকড়গুলির মধ্যে কোনটি একটি প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত সেই প্রশ্নটি আর উত্থাপিত হয় না। আসুন ঝোপের চারপাশে বীট না করি, তবে সরাসরি ত্রিকোণমিতিক উদাহরণে যাওয়া যাক।
উদাহরণ 1.
সমীকরণটি সমাধান করুন এবং সেগমেন্টের অন্তর্গত মূলগুলি খুঁজুন।
সমাধান:
আমাদের একটি হর আছে যা শূন্যের সমান হওয়া উচিত নয়! তারপর এই সমীকরণটি সমাধান করা সিস্টেমটি সমাধান করার মতোই
আসুন প্রতিটি সমীকরণ সমাধান করি:
এবং এখন দ্বিতীয়টি:
এবার সিরিজটি দেখে নেওয়া যাক:
এটা স্পষ্ট যে এই বিকল্পটি আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়, যেহেতু এই ক্ষেত্রে আমাদের হরটি শূন্যে রিসেট করা হয়েছে (দ্বিতীয় সমীকরণের মূলের সূত্রটি দেখুন)
যদি, তাহলে সবকিছু ঠিক আছে, এবং হর শূন্য নয়! তারপর সমীকরণের মূলগুলি নিম্নরূপ: , .
এখন আমরা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড় নির্বাচন করি।
| - উপযুক্ত নয় | - মানানসই | |
| - মানানসই | - মানানসই | |
| overkill | overkill |
তারপরে শিকড়গুলি নিম্নরূপ:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এমনকি হর আকারে একটি ছোট ঝামেলার উপস্থিতিও সমীকরণের সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করেছে: আমরা শিকড়ের একটি সিরিজ বাতিল করে দিয়েছি যা হরকে বাতিল করে দেয়। আপনি যদি অযৌক্তিক ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলি দেখতে পান তবে জিনিসগুলি আরও জটিল হতে পারে।
উদাহরণ 2।
সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:
ঠিক আছে, অন্তত আপনাকে শিকড়গুলি সরিয়ে নিতে হবে না, এবং এটি ভাল! আসুন প্রথমে অযৌক্তিকতা নির্বিশেষে সমীকরণটি সমাধান করি:
তাই, যে সব? না, হায়, এটা খুব সহজ হবে! আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে মূলের নীচে শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক সংখ্যাগুলি উপস্থিত হতে পারে। তারপর:
এই অসমতার সমাধান হল:
এখন এটি খুঁজে বের করা বাকি আছে যে প্রথম সমীকরণের শিকড়ের কিছু অংশ অসাবধানতাবশত যেখানে অসমতা ধরে না সেখানে শেষ হয়েছে কিনা।
এটি করার জন্য, আপনি আবার টেবিলটি ব্যবহার করতে পারেন:
| :, কিন্তু | না! | |
| হ্যাঁ! | ||
| হ্যাঁ! |
এইভাবে, আমার শিকড়গুলির একটি "পড়ে গেছে"! আপনি এটি নিচে রাখলে দেখা যাচ্ছে। তারপর উত্তরটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
উত্তর:
আপনি দেখুন, মূল আরও মনোযোগ প্রয়োজন! আসুন এটিকে আরও জটিল করে তুলি: এটি এখন আমার মূলের নীচে দাঁড়ানো যাক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন.
উদাহরণ 3.
আগের মতো: প্রথমে আমরা প্রতিটিকে আলাদাভাবে সমাধান করব এবং তারপরে আমরা কী করেছি তা নিয়ে ভাবব।
এখন দ্বিতীয় সমীকরণ:
এখন সবচেয়ে কঠিন বিষয় হল গাণিতিক মূলের অধীনে নেতিবাচক মানগুলি পাওয়া যায় কিনা তা খুঁজে বের করা যদি আমরা সেখানে প্রথম সমীকরণ থেকে মূলগুলি প্রতিস্থাপন করি:
সংখ্যাটি অবশ্যই রেডিয়ান হিসাবে বোঝা উচিত। যেহেতু একটি রেডিয়ান আনুমানিক ডিগ্রী, তাই রেডিয়ানগুলি ডিগ্রীর ক্রম অনুসারে। এটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারের কোণ। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোসাইনের চিহ্ন কী? মাইনাস। সাইন সম্পর্কে কি? প্লাস। তাই আমরা অভিব্যক্তি সম্পর্কে কি বলতে পারি:
এটা শূন্যের চেয়ে কম!
এর মানে হল এটি সমীকরণের মূল নয়।
এখন এটা সময়.
আসুন এই সংখ্যাটিকে শূন্যের সাথে তুলনা করি।
Cotangent হল একটি ফাংশন যা 1 কোয়ার্টারে কমছে (তর্ক যত ছোট হবে, কোট্যাঞ্জেন্ট তত বেশি)। রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী। একই সময়
থেকে, তারপর, এবং তাই
,
উত্তর: .
এটা কি আরও জটিল হতে পারে? অনুগ্রহ! এটি আরও কঠিন হবে যদি মূলটি এখনও একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হয় এবং সমীকরণের দ্বিতীয় অংশটি আবার একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হয়।
আরও ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ তত ভাল, নীচে দেখুন:
উদাহরণ 4.
সীমিত কোসাইনের কারণে মূলটি উপযুক্ত নয়
এখন দ্বিতীয়টি:
একই সময়ে, একটি মূলের সংজ্ঞা দ্বারা:
আমাদের একক বৃত্তটি মনে রাখতে হবে: যথা, সেই কোয়ার্টার যেখানে সাইন শূন্যের চেয়ে কম। এই কোয়ার্টার কি? তৃতীয় এবং চতুর্থ। তারপরে আমরা তৃতীয় বা চতুর্থ ত্রৈমাসিকে থাকা প্রথম সমীকরণের সেই সমাধানগুলিতে আগ্রহী হব।
প্রথম সিরিজ তৃতীয় এবং চতুর্থ ত্রৈমাসিকের সংযোগস্থলে শেকড় দেয়। দ্বিতীয় সিরিজ - এটির বিপরীতে - প্রথম এবং দ্বিতীয় চতুর্থাংশের সীমানায় থাকা শিকড়ের জন্ম দেয়। তাই এই সিরিজটি আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়।
উত্তর: ,
এবং আবার "কঠিন অযৌক্তিকতা" সহ ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ. আমাদের আবার মূলের নীচে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনই নেই, তবে এখন এটি হরেও রয়েছে!
উদাহরণ 5।
ঠিক আছে, কিছুই করা যাবে না - আমরা আগের মতোই করি।
এখন আমরা হর নিয়ে কাজ করি:
আমি ত্রিকোণমিতিক অসমতার সমাধান করতে চাই না, তাই আমি ধূর্ত কিছু করব: আমি আমার সিরিজের শিকড়গুলিকে অসমতার মধ্যে নেব এবং প্রতিস্থাপন করব:
যদি - জোড় হয়, তাহলে আমাদের আছে:
যেহেতু দৃশ্যের সমস্ত কোণ চতুর্থ চতুর্থাংশে রয়েছে। এবং আবার পবিত্র প্রশ্ন: চতুর্থ চতুর্থাংশে সাইনের চিহ্ন কী? নেতিবাচক. তারপর বৈষম্য
যদি -বিজোড়, তাহলে:
কোণটি কোন ত্রৈমাসিকে অবস্থিত? এটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারের কোণ। তারপর সব কোণ আবার দ্বিতীয় চতুর্থাংশের কোণ। সেখানে সাইনটি ইতিবাচক। শুধু আপনার কি প্রয়োজন! তাই সিরিজ:
ফিট!
আমরা একইভাবে শিকড়ের দ্বিতীয় সিরিজের সাথে মোকাবিলা করি:
আমরা আমাদের অসমতার প্রতিস্থাপন করি:
যদি - এমনকি, তারপর
প্রথম কোয়ার্টার কোণ। সেখানে সাইনটি ইতিবাচক, যার মানে সিরিজটি উপযুক্ত। এখন যদি - বিজোড়, তাহলে:
খুব ফিট!
আচ্ছা, এখন আমরা উত্তর লিখি!
উত্তর:
ঠিক আছে, এটি সম্ভবত সবচেয়ে শ্রম-নিবিড় কেস ছিল। এখন আমি আপনাকে নিজেরাই সমাধান করার জন্য সমস্যাগুলি অফার করি।
সমাধান:
দ্বিতীয় সমীকরণ:
ব্যবধানের অন্তর্গত শিকড় নির্বাচন
উত্তর:
বা
বা
কিন্তু
চলো বিবেচনা করি: . যদি - এমনকি, তারপর
- মানায় না!
যদি - বিজোড়, : - উপযুক্ত!
এর মানে হল যে আমাদের সমীকরণের শিকড়গুলির নিম্নলিখিত সিরিজ রয়েছে:
বা
ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন:
| - উপযুক্ত নয় | - মানানসই | |
| - মানানসই | - অনেক | |
| - মানানসই | অনেক |
উত্তর: , .
বা
যেহেতু, তারপর স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয় না. আমরা অবিলম্বে শিকড় এই সিরিজ বাতিল!
দ্বিতীয় অংশ:
একই সময়ে, ডিজেড অনুসারে এটি প্রয়োজনীয়
আমরা প্রথম সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি পরীক্ষা করি:
যদি চিহ্ন:
প্রথম ত্রৈমাসিক কোণ যেখানে স্পর্শক ধনাত্মক। মানায় না!
যদি চিহ্ন:
চতুর্থ কোয়ার্টার কর্নার। সেখানে স্পর্শক নেতিবাচক। মানানসই। আমরা উত্তর লিখি:
উত্তর: , .
আমরা এই নিবন্ধে জটিল ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলি একসাথে দেখেছি, তবে আপনার নিজের সমীকরণগুলি সমাধান করা উচিত।
একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যেখানে অজানা কঠোরভাবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্নের অধীনে থাকে।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার দুটি উপায় রয়েছে:
প্রথম উপায় সূত্র ব্যবহার করা হয়.
দ্বিতীয় উপায় হল ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের মাধ্যমে।
আপনাকে কোণ পরিমাপ করতে, তাদের সাইন, কোসাইন ইত্যাদি খুঁজে বের করতে দেয়।
প্রায়শই বর্ধিত জটিলতার সমস্যায় আমরা সম্মুখীন হই মডুলাস ধারণকারী ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ. তাদের বেশিরভাগই সমাধানের জন্য একটি হিউরিস্টিক পদ্ধতির প্রয়োজন, যা বেশিরভাগ স্কুলছাত্রীদের কাছে সম্পূর্ণ অপরিচিত।
নীচে প্রস্তাবিত সমস্যাগুলি আপনাকে একটি মডুলাস ধারণকারী ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য সবচেয়ে সাধারণ কৌশলগুলির সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়ার উদ্দেশ্যে।
সমস্যা 1. 1 + 2sin x |cos x| সমীকরণের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক এবং বৃহত্তম ঋণাত্মক মূলের পার্থক্য (ডিগ্রিতে) খুঁজুন = 0।
সমাধান।
মডিউলটি প্রসারিত করা যাক:
1) যদি cos x ≥ 0 হয়, তাহলে মূল সমীকরণটি 1 + 2sin x · cos x = 0 রূপ নেবে।
ডাবল অ্যাঙ্গেল সাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
1 + sin 2x = 0; পাপ 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n €Z;
x = -π/4 + πn, n € Z। যেহেতু cos x ≥ 0, তারপর x = -π/4 + 2πk, k€ Z।
2) যদি cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; পাপ 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z। যেহেতু cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) সমীকরণের বৃহত্তম ঋণাত্মক মূল: -π/4; সমীকরণের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল: 5π/4।
প্রয়োজনীয় পার্থক্য: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°।
উত্তরঃ 270°।
সমস্যা 2. |tg x| সমীকরণের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল (ডিগ্রীতে) খুঁজুন + 1/cos x = tan x.
সমাধান।
মডিউলটি প্রসারিত করা যাক:
1) ট্যান x ≥ 0 হলে
tan x + 1/cos x = tan x;
ফলস্বরূপ সমীকরণের কোন শিকড় নেই।
2) যদি tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 এবং cos x ≠ 0।
চিত্র 1 এবং শর্ত tg x ব্যবহার করে< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) সমীকরণের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল হল 5π/6। আসুন এই মানটিকে ডিগ্রিতে রূপান্তর করি:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°।
উত্তর: 150°।
সমস্যা 3. sin |2x| সমীকরণের বিভিন্ন মূলের সংখ্যা নির্ণয় কর ব্যবধানে = cos 2x [-π/2; π/2]।
সমাধান।
sin|2x| আকারে সমীকরণটি লিখি – cos 2x = 0 এবং ফাংশনটি y = sin |2x| বিবেচনা করুন - কারণ 2x। যেহেতু ফাংশনটি জোড়, আমরা x ≥ 0 এর জন্য এর শূন্য খুঁজে পাব।
sin 2x – cos 2x = 0; সমীকরণের উভয় দিককে cos 2x ≠ 0 দ্বারা ভাগ করি, আমরা পাই:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z।
ফাংশনের সমতা ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে মূল সমীকরণের মূলগুলি ফর্মের সংখ্যা
± (π/8 + πn/2), যেখানে n € Z।
ব্যবধান [-π/2; π/2] সংখ্যার অন্তর্গত: -π/8; π/8।
সুতরাং, সমীকরণের দুটি মূল প্রদত্ত ব্যবধানের অন্তর্গত।
উত্তর: 2.
এই সমীকরণটি মডিউলটি খোলার মাধ্যমেও সমাধান করা যেতে পারে।
সমস্যা 4. ব্যবধানে sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x সমীকরণের মূল সংখ্যা নির্ণয় করুন [-π; 2π]।
সমাধান।
1) কেসটি বিবেচনা করুন যখন 2cos x – 1 > 0, যেমন cos x > 1/2, তারপর সমীকরণটি রূপ নেয়:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 বা 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 বা sin x = 1/2।
চিত্র 2 এবং শর্ত cos x > 1/2 ব্যবহার করে, আমরা সমীকরণের মূল খুঁজে পাই:
x = π/6 + 2πn বা x = 2πn, n € Z।
2) কেসটি বিবেচনা করুন যখন 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z।
চিত্র 2 এবং cos x শর্ত ব্যবহার করে< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
দুটি ক্ষেত্রে একত্রিত করে, আমরা পাই:
x = π/6 + 2πn বা x = πn।
3) ব্যবধান [-π; 2π] মূলের অন্তর্গত: π/6; -π; 0; π; 2π।
সুতরাং, প্রদত্ত ব্যবধানে সমীকরণের পাঁচটি মূল রয়েছে।
উত্তর: 5.
সমস্যা 5. সমীকরণের মূল সংখ্যা নির্ণয় কর (x – 0.7) 2 |sin x| ব্যবধানে + sin x = 0 [-π; 2π]।
সমাধান।
1) যদি sin x ≥ 0 হয়, তাহলে মূল সমীকরণটি রূপ নেয় (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0। বন্ধনী থেকে sin x সাধারণ ফ্যাক্টর নেওয়ার পরে, আমরা পাই:
sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; যেহেতু (x – 0.7) 2 + 1 > 0 সমস্ত বাস্তব x এর জন্য, তারপর sinx = 0, অর্থাৎ x = πn, n € Z।
2) যদি পাপ x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 বা (x – 0.7) 2 + 1 = 0. যেহেতু sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем বর্গমূলশেষ সমীকরণের বাম এবং ডান দিক থেকে, আমরা পাই:
x – 0.7 = 1 বা x – 0.7 = -1, যার মানে x = 1.7 বা x = -0.3।
একাউন্টে শর্ত sinx গ্রহণ< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, যার মানে শুধুমাত্র সংখ্যা -0.3 মূল সমীকরণের মূল।
3) ব্যবধান [-π; 2π] সংখ্যার অন্তর্গত: -π; 0; π; 2π; -0.3।
সুতরাং, একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে সমীকরণটির পাঁচটি মূল রয়েছে।
উত্তর: 5.
আপনি ইন্টারনেটে উপলব্ধ বিভিন্ন শিক্ষামূলক সংস্থান ব্যবহার করে পাঠ বা পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নিতে পারেন। বর্তমানে যে কেউ 
একজন ব্যক্তির শুধু নতুন ব্যবহার করতে হবে তথ্য প্রযুক্তি, কারণ তাদের সঠিক, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে উপযুক্ত, ব্যবহার বিষয়টি অধ্যয়নের প্রেরণা বাড়াতে, আগ্রহ বাড়াতে এবং আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে প্রয়োজনীয় উপাদান. তবে ভুলে যাবেন না যে কম্পিউটার আপনাকে ভাবতে শেখায় না; প্রাপ্ত তথ্য অবশ্যই প্রক্রিয়াকরণ, বোঝা এবং মনে রাখতে হবে। অতএব, আপনি আমাদের চালু করতে পারেন অনলাইন টিউটর, যা আপনাকে আপনার আগ্রহের সমস্যাগুলি সমাধান করতে সাহায্য করবে।
এখনও প্রশ্ন আছে? ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কিভাবে সমাধান করতে হয় জানেন না?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে, নিবন্ধন করুন।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!
ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।
