সাধারণভাবে, এই কাজটির জন্য একটি সৃজনশীল পদ্ধতির প্রয়োজন, যেহেতু এটি সমাধানের জন্য কোনও সর্বজনীন পদ্ধতি নেই। তবে কিছু টিপস দেওয়ার চেষ্টা করি।
বেশির ভাগ ক্ষেত্রেই, একটি বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন বেজউটের উপপাদ্যের একটি ফলাফলের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়, অর্থাৎ, মূল পাওয়া যায় বা নির্বাচিত হয় এবং বহুপদীর ডিগ্রী একটি দ্বারা ভাগ করে কমিয়ে দেওয়া হয়। ফলস্বরূপ বহুপদীর মূল অনুসন্ধান করা হয় এবং সম্পূর্ণ সম্প্রসারণ না হওয়া পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করা হয়।
যদি মূলটি খুঁজে পাওয়া না যায়, তবে নির্দিষ্ট সম্প্রসারণ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়: গ্রুপিং থেকে অতিরিক্ত পারস্পরিক একচেটিয়া পদ প্রবর্তন পর্যন্ত।
আরও উপস্থাপনা পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ উচ্চ ডিগ্রির সমীকরণ সমাধানের দক্ষতার উপর ভিত্তি করে।
চলুন সহজ ক্ষেত্রে শুরু করা যাক, যখন মুক্ত পদটি শূন্যের সমান হয়, অর্থাৎ বহুপদীটির ফর্ম থাকে।
স্পষ্টতই, এই ধরনের বহুপদীর মূল হল , অর্থাৎ, আমরা বহুপদীকে আকারে উপস্থাপন করতে পারি।
এই পদ্ধতি আর কিছুই নয় সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখা.
উদাহরণ।
একটি তৃতীয় ডিগ্রি বহুপদী গুণনীয়ক।
সমাধান।
স্পষ্টতই, বহুপদীর মূল কী, অর্থাৎ এক্সবন্ধনী থেকে নেওয়া যেতে পারে:
চতুর্মুখী ত্রিনামিকের শিকড় খুঁজে বের করা যাক 
এইভাবে, 
পৃষ্ঠার উপরিভাগে
প্রথমে, আসুন ফর্মের পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদ সম্প্রসারণের একটি পদ্ধতি বিবেচনা করি, সর্বোচ্চ ডিগ্রির সহগ একের সমান।
এই ক্ষেত্রে, যদি একটি বহুপদে পূর্ণসংখ্যার মূল থাকে, তবে তারা মুক্ত পদের ভাজক।
উদাহরণ।
সমাধান।
অক্ষত শিকড় আছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, সংখ্যার ভাজক লিখুন -18
: অর্থাৎ, যদি কোনো বহুপদীর পূর্ণসংখ্যার মূল থাকে, তাহলে সেগুলো লিখিত সংখ্যার মধ্যে থাকে। হর্নারের স্কিম ব্যবহার করে ক্রমানুসারে এই সংখ্যাগুলি পরীক্ষা করা যাক। এর সুবিধার মধ্যেও রয়েছে যে শেষ পর্যন্ত আমরা বহুপদীর সম্প্রসারণ সহগ পেতে পারি: 
এটাই, x=2এবং x=-3মূল বহুপদীর মূল এবং আমরা এটিকে একটি পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি:
যা অবশিষ্ট থাকে তা হল পচে যাওয়া দ্বিঘাত ত্রিনামিক.
এই ত্রিনয়কের বৈষম্যকারী নেতিবাচক, তাই এর কোনো প্রকৃত শিকড় নেই।
উত্তর:
মন্তব্য:
হর্নারের স্কিমের পরিবর্তে, কেউ একটি বহুপদী দ্বারা বহুপদীর মূল এবং পরবর্তী বিভাজন ব্যবহার করতে পারে।
এখন ফর্মের পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদীর প্রসারণ বিবেচনা করুন এবং সর্বোচ্চ ডিগ্রির সহগ একের সমান নয়।
এই ক্ষেত্রে, বহুপদীর ভগ্নাংশে যুক্তিযুক্ত মূল থাকতে পারে।
উদাহরণ।
অভিব্যক্তি ফ্যাক্টর.
সমাধান।
একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন সম্পাদন করে y=2x, চলুন সর্বোচ্চ ডিগ্রীতে একের সমান সহগ সহ একটি বহুপদে এগিয়ে যাই। এটি করার জন্য, প্রথমে অভিব্যক্তিটিকে দ্বারা গুণ করুন 4
.
যদি ফলস্বরূপ ফাংশনের পূর্ণসংখ্যার মূল থাকে, তাহলে তারা মুক্ত পদের ভাজকগুলির মধ্যে রয়েছে। আসুন সেগুলি লিখি:
চলুন ক্রমানুসারে ফাংশনের মান গণনা করি g(y)এই পয়েন্টে শূন্য না পৌঁছানো পর্যন্ত। 
বীজগণিতের "বহুপদ" এবং "একটি বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন" ধারণাগুলি প্রায়শই সম্মুখীন হয়, কারণ বড় মাল্টি-ডিজিটের সংখ্যাগুলির সাথে সহজেই গণনা করার জন্য আপনাকে সেগুলি জানতে হবে। এই নিবন্ধটি বিভিন্ন পচন পদ্ধতি বর্ণনা করবে। তাদের সব ব্যবহার করা বেশ সহজ;
একটি বহুপদী হল একপদীর সমষ্টি, অর্থাৎ, শুধুমাত্র গুণের ক্রিয়া সম্বলিত রাশি।
উদাহরণস্বরূপ, 2 * x * y একটি একপদ, কিন্তু 2 * x * y + 25 একটি বহুপদ যা 2টি একপদ নিয়ে গঠিত: 2 * x * y এবং 25। এই ধরনের বহুপদকে দ্বিপদ বলা হয়।
কখনও কখনও, বহুমূল্য মানের সহ উদাহরণগুলি সমাধানের সুবিধার জন্য, একটি অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কারণের মধ্যে পচনশীল, অর্থাৎ, সংখ্যা বা অভিব্যক্তি যার মধ্যে গুণের ক্রিয়াটি সঞ্চালিত হয়। একটি বহুপদী গুণনীয়ক করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। এটি তাদের বিবেচনা করা মূল্যবান, সবচেয়ে আদিম দিয়ে শুরু করে, যা প্রাথমিক বিদ্যালয়ে ব্যবহৃত হয়।
গ্রুপিং পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার সূত্র সাধারণ দৃষ্টিকোণএটা এমন দেখতে:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
মনোমিয়ালগুলিকে গোষ্ঠীভুক্ত করা প্রয়োজন যাতে প্রতিটি গোষ্ঠীর একটি সাধারণ ফ্যাক্টর থাকে। প্রথম বন্ধনীতে এটি ফ্যাক্টর c, এবং দ্বিতীয়টিতে - d। তারপরে এটিকে বন্ধনী থেকে সরানোর জন্য এটি করা আবশ্যক, যার ফলে গণনাগুলিকে সরল করা যায়।
গ্রুপিং পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার সহজ উদাহরণ নীচে দেওয়া হল:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
প্রথম বন্ধনীতে আপনাকে a ফ্যাক্টর সহ পদগুলি নিতে হবে, যা সাধারণ হবে এবং দ্বিতীয়টিতে - ফ্যাক্টর b সহ। সমাপ্ত অভিব্যক্তিতে + এবং - চিহ্নগুলিতে মনোযোগ দিন। আমরা মনোমিয়ালের সামনে সেই চিহ্নটি রাখি যা প্রাথমিক অভিব্যক্তিতে ছিল। অর্থাৎ, আপনাকে 25a অভিব্যক্তির সাথে নয়, অভিব্যক্তি -25 দিয়ে কাজ করতে হবে। বিয়োগ চিহ্নটি এর পিছনের অভিব্যক্তিতে "আঠালো" বলে মনে হয় এবং গণনা করার সময় সর্বদা বিবেচনায় নেওয়া হয়।
পরবর্তী ধাপে, আপনাকে গুণকটি নিতে হবে, যা সাধারণ, বন্ধনীর বাইরে। এই গ্রুপিং ঠিক কি জন্য. বন্ধনীর বাইরে রাখার অর্থ হল বন্ধনীর আগে লিখতে হবে (গুণ চিহ্নটি বাদ দিয়ে) সেই সমস্ত কারণগুলি যা বন্ধনীতে থাকা সমস্ত পদগুলিতে হুবহু পুনরাবৃত্তি হয়। যদি একটি বন্ধনীতে 2টি না থাকে, কিন্তু 3টি বা তার বেশি পদ থাকে, তাহলে তাদের প্রত্যেকটিতে সাধারণ গুণনীয়কটি থাকতে হবে, অন্যথায় এটি বন্ধনী থেকে বের করা যাবে না।
আমাদের ক্ষেত্রে, বন্ধনীতে শুধুমাত্র 2টি পদ আছে। সামগ্রিক গুণক অবিলম্বে দৃশ্যমান হয়. প্রথম বন্ধনীতে এটি a, দ্বিতীয়টিতে এটি b। এখানে আপনাকে ডিজিটাল সহগগুলিতে মনোযোগ দিতে হবে। প্রথম বন্ধনীতে, উভয় সহগ (10 এবং 25) 5 এর গুণিতক। এর মানে হল যে শুধুমাত্র a নয়, 5aও বন্ধনী থেকে বের করা যেতে পারে। বন্ধনীর আগে, 5a লিখুন, এবং তারপরে বন্ধনীতে প্রতিটি পদকে যে সাধারণ গুণনীয়কটি বের করা হয়েছে তা দ্বারা ভাগ করুন এবং বন্ধনীতে ভাগফলও লিখুন, চিহ্নগুলি ভুলে যাবেন না + এবং - দ্বিতীয় বন্ধনীটির সাথে একই কাজ করুন, নিন 7b এর বাইরে, সেইসাথে 7 এর 14 এবং 35 গুণ।
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5)
আমরা 2টি পদ পেয়েছি: 5a(2c - 5) এবং 7b(2c - 5)। তাদের প্রতিটিতে একটি সাধারণ ফ্যাক্টর রয়েছে (বন্ধনীতে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তি এখানে একই, যার অর্থ এটি একটি সাধারণ গুণক): 2c - 5. এটিকেও বন্ধনী থেকে বের করা দরকার, অর্থাৎ, 5a এবং 7b পদগুলি অবশিষ্ট রয়েছে দ্বিতীয় বন্ধনীতে:
5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)।
সুতরাং সম্পূর্ণ অভিব্যক্তি হল:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)
এইভাবে, বহুপদী 10ac + 14bc - 25a - 35b 2টি উপাদানে পচে যায়: (2c - 5) এবং (5a + 7b)। লেখার সময় তাদের মধ্যে গুণ চিহ্নটি বাদ দেওয়া যেতে পারে
কখনও কখনও আপনি এই ধরণের এক্সপ্রেশনগুলি দেখতে পান: 5a 2 + 50a 3, এখানে আপনি বন্ধনী থেকে কেবল a বা 5a নয়, এমনকি 5a 2ও রাখতে পারেন। আপনার সর্বদা বন্ধনীর বাইরে সবচেয়ে বড় সাধারণ ফ্যাক্টর রাখার চেষ্টা করা উচিত। আমাদের ক্ষেত্রে, যদি আমরা প্রতিটি পদকে একটি সাধারণ গুণক দ্বারা ভাগ করি, আমরা পাই:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(কয়েকটি শক্তির ভাগফল গণনা করার সময় সমানভাবেভিত্তি সংরক্ষিত হয় এবং সূচক বিয়োগ করা হয়)। এইভাবে, এককটি বন্ধনীতে থাকে (কোন অবস্থাতেই আপনি একটি লিখতে ভুলবেন না যদি আপনি বন্ধনী থেকে একটি পদ বের করেন) এবং বিভাজনের ভাগফল: 10a। এটা দেখা যাচ্ছে যে:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
গণনার সুবিধার জন্য, বেশ কয়েকটি সূত্র উদ্ভূত হয়েছিল। এগুলিকে সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র বলা হয় এবং এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। এই সূত্রগুলো ক্ষমতা ধারণকারী ফ্যাক্টর বহুপদকে সাহায্য করে। এই অন্য এক কার্যকর উপায়ফ্যাক্টরাইজেশন তাই তারা এখানে:
তাদের জন্য গণনা বেশ সহজ। উদাহরণ স্বরূপ:
বর্গাকার পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করে ক্রিয়াগুলি একইভাবে করা হয়। অবশিষ্ট সূত্রটি বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য। এই সূত্রের উদাহরণগুলি সংজ্ঞায়িত করা এবং অন্যান্য অভিব্যক্তিগুলির মধ্যে খুঁজে পাওয়া খুব সহজ। উদাহরণ স্বরূপ:
এটা গুরুত্বপূর্ণ যে প্রতিটি পদই কিছু এক্সপ্রেশনের বর্গ। তারপর এই বহুপদীকে অবশ্যই বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজ করতে হবে। এর জন্য, দ্বিতীয় ডিগ্রি নম্বরের উপরে হওয়া আবশ্যক নয়। এমন বহুপদ রয়েছে যেগুলিতে বড় ডিগ্রী রয়েছে, তবে এখনও এই সূত্রগুলির সাথে মানানসই।
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
ভিতরে এই উদাহরণেএবং 8 কে (a 4) 2 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট রাশির বর্গ। 25 হল 5 2, এবং 10a হল 4 - এটি 2 * a 4 * 5 পদের দ্বিগুণ গুণফল। অর্থাৎ, এই অভিব্যক্তিটি, বৃহৎ সূচক সহ ডিগ্রীর উপস্থিতি সত্ত্বেও, পরবর্তীতে তাদের সাথে কাজ করার জন্য 2টি ফ্যাক্টরে পচনশীল হতে পারে।
কিউব ধারণকারী বহুপদী ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য একই সূত্র বিদ্যমান। এগুলি বর্গক্ষেত্রগুলির তুলনায় একটু বেশি জটিল:
শেষ দুটি সূত্র ব্যবহারিকভাবে একটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার উদ্দেশ্যে ব্যবহার করা হয় না, যেহেতু সেগুলি জটিল, এবং বহুপদীগুলি খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট বিরল যেগুলি সম্পূর্ণরূপে এই কাঠামোর সাথে মিলে যায় যাতে এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে ফ্যাক্টর করা যায়। তবে আপনাকে এখনও সেগুলি জানতে হবে, যেহেতু বিপরীত দিকে কাজ করার সময় - বন্ধনী খোলার সময় তাদের প্রয়োজন হবে।
আসুন একটি উদাহরণ দেখি: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 )
এখানে বেশ সহজ সংখ্যা নেওয়া হয়েছে, তাই আপনি অবিলম্বে দেখতে পাবেন যে 64a 3 হল (4a) 3, এবং 8b 3 হল (2b) 3। সুতরাং, এই বহুপদীটি কিউবের সূত্রের পার্থক্য অনুসারে 2টি ফ্যাক্টরগুলিতে প্রসারিত হয়। কিউবের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে ক্রিয়াগুলি সাদৃশ্য দ্বারা সঞ্চালিত হয়।
এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে সমস্ত বহুপদকে অন্তত একটি উপায়ে প্রসারিত করা যায় না। কিন্তু এমন অভিব্যক্তি রয়েছে যেগুলিতে একটি বর্গক্ষেত্র বা ঘনকের চেয়ে বেশি শক্তি রয়েছে, তবে সেগুলিকে সংক্ষিপ্ত গুণের আকারেও প্রসারিত করা যেতে পারে। যেমন: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2)।
এই উদাহরণে 12 তম ডিগ্রী যতটা আছে। কিন্তু এমনকি এটি কিউব সূত্রের যোগফল ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে x 12 কে (x 4) 3 হিসাবে কল্পনা করতে হবে, অর্থাৎ কিছু এক্সপ্রেশনের ঘনক হিসাবে। এখন, a এর পরিবর্তে, আপনাকে এটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করতে হবে। আচ্ছা, 125y 3 রাশিটি 5y এর একটি ঘনক। এর পরে, আপনাকে সূত্রটি ব্যবহার করে পণ্যটি রচনা করতে হবে এবং গণনা করতে হবে।
প্রথমে, বা সন্দেহের ক্ষেত্রে, আপনি সর্বদা বিপরীত গুণ দ্বারা পরীক্ষা করতে পারেন। আপনাকে শুধুমাত্র ফলাফলের অভিব্যক্তিতে বন্ধনী খুলতে হবে এবং অনুরূপ পদগুলির সাথে ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে। এই পদ্ধতিটি তালিকাভুক্ত সমস্ত হ্রাস পদ্ধতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য: উভয়ই একটি সাধারণ ফ্যাক্টর এবং গ্রুপিং নিয়ে কাজ করা এবং কিউব এবং দ্বিঘাত শক্তির সূত্রগুলির সাথে কাজ করার জন্য।
ফ্যাক্টরিং বহুপদ হল পরিচয় রূপান্তর, যার ফলস্বরূপ বহুপদীটি বিভিন্ন কারণের গুণে রূপান্তরিত হয় - বহুপদী বা একপদ।
বহুপদকে ফ্যাক্টর করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে।
পদ্ধতি 1. বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর নেওয়া।
এই রূপান্তরটি গুণনের বণ্টনমূলক নিয়মের উপর ভিত্তি করে: ac + bc = c(a + b)। রূপান্তরের সারমর্ম হল বিবেচনাধীন দুটি উপাদানের সাধারণ ফ্যাক্টরকে বিচ্ছিন্ন করা এবং এটিকে বন্ধনী থেকে "নেওয়া"।
আসুন বহুপদী 28x 3 – 35x 4 গুণনীয়ক করি।
সমাধান।
28x 3 এবং 35x 4 উপাদান খুঁজুন সাধারণ ভাজক. 28 এবং 35 এর জন্য এটি 7 হবে; x 3 এবং x 4 – x 3 এর জন্য। অন্য কথায়, আমাদের সাধারণ গুণনীয়ক হল 7x 3।
2. আমরা প্রতিটি উপাদানকে ফ্যাক্টরগুলির একটি পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করি, যার মধ্যে একটি
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x।
3. আমরা বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর বের করি
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x)।
পদ্ধতি 2. সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করার "নিপুণতা" হল অভিব্যক্তিতে সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলির একটি লক্ষ্য করা।
আসুন বহুপদী x 6 – 1 গুণনীয়ক করি।
সমাধান।
1. আমরা এই রাশিতে বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য প্রয়োগ করতে পারি। এটি করার জন্য, x 6 কে (x 3) 2 হিসাবে কল্পনা করুন এবং 1 কে 1 2 হিসাবে কল্পনা করুন। 1. অভিব্যক্তিটি রূপ নেবে:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1)।
2. আমরা কিউবগুলির যোগফল এবং পার্থক্যের সূত্রটি ফলিত অভিব্যক্তিতে প্রয়োগ করতে পারি:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)।
তাই,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)।
পদ্ধতি 3. গ্রুপিং। গ্রুপিং পদ্ধতি হল একটি বহুপদীর উপাদানগুলিকে এমনভাবে একত্রিত করা যাতে তাদের উপর ক্রিয়াকলাপ করা সহজ হয় (একটি সাধারণ গুণকের যোগ, বিয়োগ, বিয়োগ)।
চলুন বহুপদী x 3 – 3x 2 + 5x – 15 গুণনীয়ক করি।
সমাধান।
1. আসুন এইভাবে উপাদানগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি: 1মটি 2য়টির সাথে এবং 4র্থটির সাথে 3য়টি
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15)।
2. ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিতে, আমরা বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরগুলি নিয়ে নিই: প্রথম ক্ষেত্রে x 2 এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে 5।
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3)।
3. আমরা বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর x – 3 নিই এবং পাই:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5)।
তাই,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 )
এর উপাদান নিরাপদ করা যাক.
বহুপদী a 2 – 7ab + 12b 2 গুণনীয়ক।
সমাধান।
1. আসুন আমরা 3ab + 4ab যোগফল হিসাবে একপদ 7ab উপস্থাপন করি। অভিব্যক্তিটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2। 
আসুন বন্ধনী খুলুন এবং পান:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2।
2. চলুন এইভাবে বহুপদীর উপাদানগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি: 1মটি 2য় এবং 4র্থের সাথে 3য়। আমরা পেতে:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2)।
3. চলুন বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরগুলি নিয়ে নেওয়া যাক:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b)।
4. বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর (a – 3b) নেওয়া যাক:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b)।
তাই,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b)।
ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।
একটি বহুপদ হল একক সমষ্টির সমন্বয়ে গঠিত একটি রাশি। পরেরটি হল একটি ধ্রুবক (সংখ্যা) এবং k এর ঘাতের অভিব্যক্তির মূল (বা মূল) এর গুণফল। এই ক্ষেত্রে, আমরা ডিগ্রী k এর একটি বহুপদীর কথা বলি। একটি বহুপদীর সম্প্রসারণে অভিব্যক্তির একটি রূপান্তর জড়িত যেখানে পদগুলি গুণনীয়ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। আসুন এই ধরণের রূপান্তর চালানোর প্রধান উপায়গুলি বিবেচনা করি।
এই পদ্ধতিটি বন্টন আইনের আইনের উপর ভিত্তি করে। সুতরাং, mn + mk = m * (n + k)।
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l)।
যাইহোক, প্রতিটি বহুপদে যে ফ্যাক্টরটি অগত্যা উপস্থিত থাকে তা সবসময় পাওয়া যায় না, তাই এই পদ্ধতিসার্বজনীন নয়।
সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলি যে কোনও ডিগ্রির বহুপদগুলির জন্য বৈধ। সাধারণভাবে, রূপান্তর অভিব্যক্তি এই মত দেখায়:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), যেখানে k এর প্রতিনিধি প্রাকৃতিক সংখ্যা।
প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত সূত্রগুলি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ক্রমগুলির বহুপদগুলির জন্য:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2)।
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 )
এই পদ্ধতিতে সাধারণ গুণক বের করার কৌশলের সাথে কিছু মিল আছে, কিন্তু কিছু পার্থক্য রয়েছে। বিশেষ করে, একটি সাধারণ ফ্যাক্টরকে বিচ্ছিন্ন করার আগে, মনোমিয়ালগুলিকে গোষ্ঠীভুক্ত করা উচিত। সমন্বিত এবং পরিবর্তনমূলক আইনের নিয়মের উপর ভিত্তি করে গ্রুপিং করা হয়।
অভিব্যক্তিতে উপস্থাপিত সমস্ত মনোমিয়ালগুলি গ্রুপে বিভক্ত, যার প্রতিটিতে সাধারণ অর্থযেমন দ্বিতীয় ফ্যাক্টর সব গ্রুপে একই হবে। সাধারণভাবে, এই পচন পদ্ধতিটিকে অভিব্যক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s)।
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7)।
এই পদ্ধতিটি একটি বহুপদ সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে সবচেয়ে কার্যকরী। প্রাথমিক পর্যায়ে, পার্থক্য বা যোগফলের বর্গক্ষেত্রে "পতন" হতে পারে এমন মনোমিয়ালগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এটি করতে, সম্পর্কগুলির একটি ব্যবহার করুন:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,
আসুন আমরা এর মনোমিয়ালগুলির মধ্যে যে পদগুলি গঠন করি তা নির্বাচন করি পারফেক্ট বর্গ: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5।
সংক্ষিপ্ত গুণের নিয়মগুলি ব্যবহার করে রূপান্তরটি সম্পূর্ণ করুন: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5)।
যে. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5)।
ডিগ্রী n-এর যেকোন বীজগণিতীয় বহুপদীকে ফর্মের n-রৈখিক গুণনীয়ক এবং একটি ধ্রুবক সংখ্যার গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যা সর্বোচ্চ ডিগ্রী x-এ বহুপদীর সহগ।
কোথায় 
- বহুপদীর মূল।
একটি বহুপদীর মূল হল সংখ্যা (বাস্তব বা জটিল) যা বহুপদীটিকে অদৃশ্য করে দেয়। একটি বহুপদীর শিকড় হয় প্রকৃত শিকড় বা জটিল সংযোজক শিকড় হতে পারে, তারপর বহুপদকে নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
প্রথম এবং দ্বিতীয় ডিগ্রির গুণিতকগুলির গুণফলের মধ্যে "n" ডিগ্রির বহুপদকে পচানোর পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক।
পদ্ধতি নং 1।অনির্ধারিত সহগ পদ্ধতি।
এই ধরনের রূপান্তরিত রাশির সহগগুলি অনির্দিষ্ট সহগগুলির পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়। পদ্ধতির সারমর্ম হল যে প্রদত্ত বহুপদীর পচনশীল উপাদানগুলির ধরন আগে থেকেই জানা যায়। অনিশ্চিত সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, নিম্নলিখিত বিবৃতি সত্য:
পৃ.1। দুটি বহুপদ একইভাবে সমান যদি তাদের সহগ x এর একই ঘাতের জন্য সমান হয়।
পৃ.2। তৃতীয় ডিগ্রির যেকোন বহুপদী রৈখিক এবং দ্বিঘাত গুণনীয়কের গুণফলের মধ্যে পচে যায়।
পৃ.3। যেকোনো চতুর্থ-ডিগ্রী বহুপদী দুটি দ্বিতীয়-ডিগ্রী বহুপদীর গুণফলের মধ্যে পচনশীল হতে পারে।
উদাহরণ 1.1।কিউবিক এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টরাইজ করা প্রয়োজন:
পৃ.1। গৃহীত বিবৃতি অনুসারে, ঘন অভিব্যক্তির জন্য অভিন্ন সমতা ধারণ করে:
পৃ.2। অভিব্যক্তির ডান দিকটি নিম্নরূপ পদ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
পৃ.3। আমরা কিউবিক এক্সপ্রেশনের সংশ্লিষ্ট শক্তিতে সহগগুলির সমতার শর্ত থেকে সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি।
সমীকরণের এই পদ্ধতিটি সহগ নির্বাচন করে সমাধান করা যেতে পারে (যদি এটি একটি সাধারণ একাডেমিক সমস্যা হয়) বা সমীকরণের অরৈখিক সিস্টেমগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। সমীকরণের এই সিস্টেমটি সমাধান করে, আমরা দেখতে পাই যে অনিশ্চিত সহগগুলি নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:
সুতরাং, মূল অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত আকারে ফ্যাক্টরাইজ করা হয়েছে:
এই পদ্ধতিটি বিশ্লেষণাত্মক গণনা এবং কম্পিউটার প্রোগ্রামিং উভয় ক্ষেত্রেই একটি সমীকরণের মূল খোঁজার প্রক্রিয়া স্বয়ংক্রিয়ভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।
পদ্ধতি নং 2।ভিয়েটা সূত্র
ভিয়েতার সূত্রগুলি হল ডিগ্রী n এবং এর শিকড়ের বীজগণিতীয় সমীকরণের সহগগুলির সাথে সংযোগকারী সূত্র। এই সূত্রগুলি ফরাসি গণিতবিদ ফ্রাঁসোয়া ভিয়েতার (1540 - 1603) কাজগুলিতে স্পষ্টভাবে উপস্থাপিত হয়েছিল। ভিয়েথ শুধুমাত্র ইতিবাচক প্রকৃত শিকড় বিবেচনা করার কারণে, তাই এই সূত্রগুলিকে একটি সাধারণ সুস্পষ্ট আকারে লেখার সুযোগ ছিল না।
ডিগ্রী n এর যেকোন বীজগণিত বহুপদীর জন্য যার n-বাস্তব মূল আছে,
নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি বৈধ যা একটি বহুপদীর শিকড়কে তার সহগগুলির সাথে সংযুক্ত করে:
ভিয়েতার সূত্রগুলি একটি বহুপদীর শিকড় খুঁজে বের করার সঠিকতা পরীক্ষা করার পাশাপাশি প্রদত্ত শিকড় থেকে একটি বহুপদ গঠনের জন্য ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
উদাহরণ 2.1।ঘন সমীকরণের উদাহরণ ব্যবহার করে একটি বহুপদীর শিকড়গুলি কীভাবে তার সহগের সাথে সম্পর্কিত তা বিবেচনা করা যাক
ভিয়েটার সূত্র অনুসারে, বহুপদীর শিকড় এবং এর সহগগুলির মধ্যে সম্পর্ক নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:
ডিগ্রী n-এর যেকোনো বহুপদে অনুরূপ সম্পর্ক তৈরি করা যেতে পারে।
পদ্ধতি নং 3। পচন দ্বিঘাত সমীকরণযৌক্তিক শিকড় সঙ্গে কারণের জন্য
Vieta এর শেষ সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি বহুপদীর শিকড়গুলি তার মুক্ত পদ এবং অগ্রণী সহগের বিভাজক। এই বিষয়ে, যদি সমস্যা বিবৃতিটি পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ ডিগ্রী n এর একটি বহুপদী নির্দিষ্ট করে
তাহলে এই বহুপদীটির একটি মূলদ মূল (অপ্রতিরোধ্য ভগ্নাংশ) রয়েছে, যেখানে p হল মুক্ত পদের ভাজক এবং q হল অগ্রণী সহগের ভাজক। এই ক্ষেত্রে, ডিগ্রী n-এর একটি বহুপদকে (বেজউটের উপপাদ্য) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
একটি বহুপদী যার ডিগ্রী প্রাথমিক বহুপদীর ডিগ্রী থেকে 1 কম তা ডিগ্রী n দ্বিপদীর একটি বহুপদীকে ভাগ করে নির্ধারিত হয়, উদাহরণস্বরূপ হর্নারের স্কিম বা সর্বাধিক ব্যবহার করে একটি সহজ উপায়ে- "কলাম"।
উদাহরণ 3.1।এটি বহুপদী গুণনীয়ক আবশ্যক
পৃ.1। সর্বোচ্চ পদের সহগ একের সমান হওয়ার কারণে, এই বহুপদীর যৌক্তিক মূলগুলি অভিব্যক্তির মুক্ত পদের বিভাজক, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা হতে পারে 
. আমরা প্রতিটি উপস্থাপিত সংখ্যাকে মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি এবং দেখতে পাই যে উপস্থাপিত বহুপদীর মূল সমান।
মূল বহুপদকে দ্বিপদ দ্বারা ভাগ করা যাক:
চলুন Horner এর স্কিম ব্যবহার করা যাক
মূল বহুপদীর সহগগুলি উপরের লাইনে সেট করা হয়, যখন উপরের লাইনের প্রথম ঘরটি খালি থাকে।
দ্বিতীয় লাইনের প্রথম ঘরে, পাওয়া রুটটি লেখা হয়েছে (বিবেচনার উদাহরণে, "2" সংখ্যাটি লেখা হয়েছে), এবং কোষগুলিতে নিম্নলিখিত মানগুলি একটি নির্দিষ্ট উপায়ে গণনা করা হয় এবং সেগুলি হল সহগ বহুপদীর, যা বহুপদীকে দ্বিপদ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। অজানা সহগগুলি নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:
প্রথম সারির সংশ্লিষ্ট কক্ষ থেকে মানটি দ্বিতীয় সারির দ্বিতীয় ঘরে স্থানান্তরিত হয় (বিবেচনার উদাহরণে, "1" নম্বরটি লেখা হয়েছে)।
দ্বিতীয় সারির তৃতীয় ঘরে প্রথম ঘরের গুণফলের মান এবং দ্বিতীয় সারির দ্বিতীয় ঘরের সাথে প্রথম সারির তৃতীয় ঘরের মান রয়েছে (বিবেচনার উদাহরণে 2 ∙1 -5 = -3 )
দ্বিতীয় সারির চতুর্থ ঘরে প্রথম ঘরের গুণফলের মান এবং দ্বিতীয় সারির তৃতীয় ঘর এবং প্রথম সারির চতুর্থ ঘরের মান রয়েছে (বিবেচনার উদাহরণে, 2 ∙ (-3) + 7 = 1)।
সুতরাং, মূল বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা হয়েছে:
পদ্ধতি নম্বর 4।সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে
সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র গণনা সহজ করার জন্য ব্যবহৃত হয়, সেইসাথে ফ্যাক্টরিং বহুপদ। সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র আপনাকে পৃথক সমস্যার সমাধান সহজ করতে দেয়।
সূত্রগুলি ফ্যাক্টরাইজ করতে ব্যবহৃত হয়
