$\frac63$ ভগ্নাংশটি বিবেচনা করুন। এর মান হল 2, যেহেতু $\frac63 =6:3 = 2$। লব এবং হরকে 2 দ্বারা গুণ করা হলে কী হবে? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$। স্পষ্টতই, ভগ্নাংশের মান পরিবর্তিত হয়নি, তাই $\frac(12)(6)$ হিসাবে yও 2 এর সমান। আপনি করতে পারেন লব এবং হর গুণ করুন 3 দ্বারা এবং $\frac(18)(9)$ পান, বা 27 এর মধ্যে এবং $\frac(162)(81)$ পান, বা 101 দ্বারা এবং $\frac(606)(303)$ পান। এই প্রতিটি ক্ষেত্রে, লবকে হর দ্বারা ভাগ করে আমরা যে ভগ্নাংশটি পাই তার মান হল 2। এর মানে হল এটি পরিবর্তিত হয়নি।
অন্যান্য ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেও একই প্যাটার্ন পরিলক্ষিত হয়। ভগ্নাংশের লব এবং হর যদি $\frac(120)(60)$ (2 এর সমান) 2 দ্বারা ভাগ করা হয় (ফলাফল $\frac(60)(30)$), বা 3 দ্বারা (ফলাফল হল $\frac(40)(20) $), অথবা 4 দ্বারা (ফলাফল $\frac(30)(15)$) ইত্যাদি, তারপর প্রতিটি ক্ষেত্রে ভগ্নাংশের মান অপরিবর্তিত থাকে এবং 2 এর সমান থাকে।
এই নিয়মটি সমান নয় এমন ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য সম্পূর্ণ নম্বর.
$\frac(1)(3)$ ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 2 দ্বারা গুণ করা হলে, আমরা $\frac(2)(6)$ পাব, অর্থাৎ ভগ্নাংশের মান পরিবর্তিত হয়নি। এবং প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি পাইটিকে 3 ভাগে ভাগ করেন এবং তার মধ্যে একটি নেন, বা 6 ভাগে ভাগ করেন এবং 2 ভাগ নেন, আপনি উভয় ক্ষেত্রেই একই পরিমাণ পাই পাবেন। অতএব, সংখ্যা $\frac(1)(3)$ এবং $\frac(2)(6)$ অভিন্ন। আসুন একটি সাধারণ নিয়ম প্রণয়ন করি।
যেকোনো ভগ্নাংশের লব এবং হরকে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন না করে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা যায়।
এই নিয়ম খুব দরকারী হতে সক্রিয় আউট. উদাহরণস্বরূপ, এটি কিছু ক্ষেত্রে অনুমতি দেয়, কিন্তু সর্বদা নয়, বড় সংখ্যার সাথে অপারেশন এড়াতে।
উদাহরণস্বরূপ, আমরা $\frac(126)(189)$ ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 63 দ্বারা ভাগ করতে পারি এবং ভগ্নাংশ $\frac(2)(3)$ পেতে পারি, যা দিয়ে গণনা করা অনেক সহজ। আরও একটি উদাহরণ। আমরা $\frac(155)(31)$ ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 31 দ্বারা ভাগ করতে পারি এবং 5:1=5 থেকে ভগ্নাংশ $\frac(5)(1)$ বা 5 পেতে পারি।
এই উদাহরণে, আমরা প্রথম সম্মুখীন একটি ভগ্নাংশ যার হর 1. এই ধরনের ভগ্নাংশ গণনায় একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। মনে রাখতে হবে যে কোনো সংখ্যাকে 1 দিয়ে ভাগ করা যায় এবং এর মান পরিবর্তন হবে না। অর্থাৎ, $\frac(273)(1)$ সমান 273; $\frac(509993)(1)$ 509993 এর সমান এবং আরও অনেক কিছু। অতএব, আমাদের সংখ্যাগুলিকে 1 দ্বারা ভাগ করতে হবে না, যেহেতু প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে 1 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
এই ধরনের ভগ্নাংশের সাথে, যার হর হল 1, আপনি অন্য সমস্ত ভগ্নাংশের মতো একই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$।
আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে আমরা যদি একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে লাইনের নীচে একটি ইউনিটের সাথে উপস্থাপন করি তবে এটি কী ভাল, যেহেতু এটি একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে কাজ করা আরও সুবিধাজনক। কিন্তু মূল বিষয় হল একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা আমাদেরকে আরও দক্ষতার সাথে বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার সুযোগ দেয় যখন আমরা একই সময়ে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের সাথে কাজ করি। যেমন শেখার জন্য বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করুন. ধরুন আমাদের $\frac(1)(3)$ এবং $\frac(1)(5)$ যোগ করতে হবে।
আমরা জানি যে আমরা শুধুমাত্র সেই ভগ্নাংশ যোগ করতে পারি যার হর সমান। এর মানে হল যে আমাদের শিখতে হবে কিভাবে ভগ্নাংশগুলিকে এমন একটি ফর্মে কমাতে হয় যেখানে তাদের হরগুলি সমান। এই ক্ষেত্রে, আমাদের আবারও প্রয়োজন হবে যে আমরা একটি ভগ্নাংশের লব এবং হরকে এর মান পরিবর্তন না করে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে পারি।
প্রথমে, $\frac(1)(3)$ ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 5 দ্বারা গুণ করুন। আমরা $\frac(5)(15)$ পাই, ভগ্নাংশের মান পরিবর্তিত হয়নি। তারপর আমরা $\frac(1)(5)$ ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 3 দ্বারা গুণ করি। আমরা $\frac(3)(15)$ পাই, আবার ভগ্নাংশের মান পরিবর্তিত হয় নি। অতএব, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$।
এখন পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ উভয় অংশ ধারণকারী সংখ্যার যোগে এই সিস্টেমটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করা যাক।
আমাদের যোগ করতে হবে $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$। প্রথমে, আসুন সমস্ত পদকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং পাই: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$। এখন আমাদের সমস্ত ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ হর-এ আনতে হবে, এর জন্য আমরা প্রথম ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 12 দ্বারা, দ্বিতীয়টি 4 দ্বারা এবং তৃতীয়টি 3 দ্বারা গুণ করি। ফলস্বরূপ, আমরা $\frac(36) পাই )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, যা $\frac(55)(12)$ এর সমান। পরিত্রাণ পেতে চাইলে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত একটি সংখ্যায় পরিণত করা যেতে পারে: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ বা $4\frac(7) )( 12)$।
অনুমতি দেয় যে সমস্ত নিয়ম ভগ্নাংশ সঙ্গে অপারেশন, যা আমরা এইমাত্র অধ্যয়ন করেছি, নেতিবাচক সংখ্যার ক্ষেত্রেও বৈধ। সুতরাং, -1:3 কে $\frac(-1)(3)$, এবং 1: (-3) $\frac(1)(-3)$ হিসাবে লেখা যেতে পারে।
যেহেতু একটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে এবং একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলেই ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, উভয় ক্ষেত্রেই উত্তরটি নেতিবাচক সংখ্যা হবে। এটাই
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ বা $1: (-3) = \frac(1)(-3)$। এইভাবে লেখা হলে বিয়োগ চিহ্নটি সম্পূর্ণ ভগ্নাংশকে বোঝায়, এবং আলাদাভাবে লব বা হরকে নয়।
অন্যদিকে, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ হিসাবে লেখা যেতে পারে, এবং যেহেতু একটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে একটি ধনাত্মক সংখ্যা পাওয়া যায়, তাহলে $\frac (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$ হিসাবে লেখা যেতে পারে।
ধনাত্মক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগের মতো একই স্কিম অনুযায়ী ঋণাত্মক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $1- 1\frac13$ কি? আসুন উভয় সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি এবং $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ পাই। ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, অর্থাৎ $\frac(3)(3)-\ পাই। frac(4) (3)$, অথবা $-\frac(1)(3)$।
মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)
সুতরাং, ভগ্নাংশ কি, ভগ্নাংশের প্রকার, রূপান্তর - আমরা মনে রাখলাম। মূল বিষয়ে আসা যাক।
ভগ্নাংশ দিয়ে আপনি কি করতে পারেন?হ্যাঁ, সবকিছুই সাধারণ সংখ্যার মতোই। যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ।
সঙ্গে এই সব কর্ম দশমিকভগ্নাংশের সাথে কাজ করা সম্পূর্ণ সংখ্যার সাথে কাজ করার থেকে আলাদা নয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি তাদের সম্পর্কে ভাল, দশমিক বেশী। একমাত্র জিনিস আপনাকে সঠিকভাবে কমা লাগাতে হবে।
মিশ্র সংখ্যা, আমি আগেই বলেছি, বেশিরভাগ ক্রিয়াকলাপের জন্য সামান্যই কাজে লাগে। তাদের এখনও সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা দরকার।
কিন্তু সঙ্গে কর্ম সাধারণ ভগ্নাংশতারা আরো ধূর্ত হবে. এবং আরো অনেক গুরুত্বপূর্ণ! আমাকে আপনাকে মনে করিয়ে দিতে দিন: অক্ষর, সাইন, অজানা, এবং আরও অনেক কিছু সহ ভগ্নাংশ অভিব্যক্তি সহ সমস্ত ক্রিয়া সাধারণ ভগ্নাংশের ক্রিয়া থেকে আলাদা নয়! সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে ক্রিয়াকলাপগুলি সমস্ত বীজগণিতের ভিত্তি। এই কারণেই আমরা এখানে এই সমস্ত পাটিগণিতকে বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব।
প্রত্যেকে একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করতে পারে (আমি সত্যিই আশা করি!) ঠিক আছে, যারা সম্পূর্ণ বিস্মৃত তাদের মনে করিয়ে দিই: যোগ (বিয়োগ) করার সময়, হর পরিবর্তন হয় না। ফলাফলের লব দিতে লব যোগ (বিয়োগ) করা হয়। প্রকার:
সংক্ষেপে, সাধারণ পদে:
হর ভিন্ন হলে কি হবে? তারপর, একটি ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে (এখানে এটি আবার কাজে আসে!), আমরা হরগুলিকে একই করি! উদাহরণ স্বরূপ:
এখানে আমাদের ভগ্নাংশ 2/5 থেকে ভগ্নাংশ 4/10 করতে হবে। হরকে একই করার একমাত্র উদ্দেশ্যে। আমাকে নোট করা যাক, শুধু ক্ষেত্রে, যে 2/5 এবং 4/10 হয় একই ভগ্নাংশ! শুধুমাত্র 2/5 আমাদের জন্য অস্বস্তিকর, এবং 4/10 সত্যিই ঠিক আছে।
যাইহোক, এটি কোন গণিত সমস্যা সমাধানের সারাংশ। আমরা যখন থেকে অস্বস্তিকরআমরা অভিব্যক্তি করি একই জিনিস, কিন্তু সমাধানের জন্য আরও সুবিধাজনক.
আরেকটি উদাহরণ:
একই অবস্থা। এখানে আমরা 16 থেকে 48 বানাই। সরল 3 দ্বারা গুণ করে। এটি সব পরিষ্কার। কিন্তু আমরা এমন কিছু পেয়েছি:
কিভাবে হবে?! সাতের মধ্যে নয়টা করা কঠিন! কিন্তু আমরা স্মার্ট, আমরা নিয়ম জানি! এর রূপান্তর করা যাক প্রতিভগ্নাংশ যাতে হর একই হয়। একে "একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করুন" বলা হয়:
কি দারুন! আমি কিভাবে 63 সম্পর্কে জানলাম? খুব সহজ! 63 হল এমন একটি সংখ্যা যা একই সময়ে 7 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য। এই ধরনের সংখ্যা সর্বদা হরকে গুণ করে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি সংখ্যাকে 7 দ্বারা গুণ করি, তাহলে ফলাফলটি অবশ্যই 7 দ্বারা বিভাজ্য হবে!
আপনি যদি বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করতে চান তবে ধাপে ধাপে জোড়ায় এটি করার দরকার নেই। আপনাকে শুধু সকল ভগ্নাংশের সাধারণ হর খুঁজে বের করতে হবে এবং প্রতিটি ভগ্নাংশকে একই হর-এ কমাতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:
এবং সাধারণ হর কি হবে? আপনি অবশ্যই 2, 4, 8 এবং 16 গুণ করতে পারেন। আমরা 1024 পাই। দুঃস্বপ্ন। এটি অনুমান করা সহজ যে 16 সংখ্যাটি 2, 4 এবং 8 দ্বারা পুরোপুরি বিভাজ্য৷ তাই, এই সংখ্যাগুলি থেকে 16 পাওয়া সহজ৷ এই সংখ্যাটি সাধারণ হর হবে৷ 1/2 কে 8/16, 3/4 কে 12/16 তে পরিণত করা যাক, ইত্যাদি।
যাইহোক, আপনি যদি 1024 কে সাধারণ হর হিসাবে নেন তবে সবকিছু কার্যকর হবে, শেষ পর্যন্ত সবকিছু হ্রাস পাবে। কিন্তু গণনার কারণে সবাই এই শেষ পর্যন্ত পৌঁছাতে পারবে না...
উদাহরণটি নিজেই সম্পূর্ণ করুন। কোনো ধরনের লগারিদম নয়... এটি 29/16 হওয়া উচিত।
সুতরাং, ভগ্নাংশের যোগ (বিয়োগ) পরিষ্কার, আমি আশা করি? অবশ্যই, অতিরিক্ত গুণক সহ একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণে কাজ করা সহজ। তবে এই আনন্দ তাদের জন্য উপলব্ধ যারা নিম্ন গ্রেডে সততার সাথে কাজ করেছেন... এবং কিছু ভুলে যাননি।
এবং এখন আমরা একই ক্রিয়াগুলি করব, তবে ভগ্নাংশের সাথে নয়, তবে সহ ভগ্নাংশ অভিব্যক্তি. এখানে নতুন রেক প্রকাশ করা হবে, হ্যাঁ...
সুতরাং, আমাদের দুটি ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি যোগ করতে হবে:
আমাদের হরকে একই করতে হবে। এবং শুধুমাত্র সাহায্যে গুণ! এটি একটি ভগ্নাংশের প্রধান বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করে। অতএব, আমি হর-এর প্রথম ভগ্নাংশে X-এর সাথে একটি যোগ করতে পারি না। (সেটা ভালো হবে!). কিন্তু আপনি যদি হরকে গুণ করেন, আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সবকিছু একসাথে বৃদ্ধি পায়! সুতরাং আমরা ভগ্নাংশের লাইনটি লিখি, উপরে একটি খালি স্থান ছেড়ে দিন, তারপর এটি যোগ করুন এবং নীচের হরগুলির গুণফল লিখি, যাতে ভুলে না যায়:
এবং, অবশ্যই, আমরা ডান দিকে কিছু গুণ করি না, আমরা বন্ধনী খুলি না! এবং এখন, ডানদিকে সাধারণ হরকে দেখে, আমরা বুঝতে পারি: প্রথম ভগ্নাংশে x(x+1) হর পেতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশের লব এবং হরকে (x+1) দ্বারা গুণ করতে হবে। . এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশে - x থেকে। এটাই তোমার প্রাপ্য:
বিঃদ্রঃ! এখানে বন্ধনী আছে! এই রেক যে অনেক মানুষ পা দেয়. বন্ধনী নয়, অবশ্যই, কিন্তু তাদের অনুপস্থিতি। বন্ধনী দেখা যাচ্ছে কারণ আমরা গুন করছি সবলব এবং সবহর! এবং তাদের পৃথক টুকরা নয় ...
ডান পাশের লবটিতে আমরা সংখ্যার যোগফল লিখি, সবকিছুই সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশের মতো, তারপর আমরা ডান পাশের লবটিতে বন্ধনীগুলি খুলি, অর্থাৎ আমরা সবকিছু গুণ করি এবং অনুরূপ দিই। হরগুলিতে বন্ধনী খুলতে বা কিছু গুণ করার দরকার নেই! সাধারণভাবে, হরফে (যেকোন) পণ্যটি সর্বদা আরও মনোরম হয়! আমরা পেতে:
তাই আমরা উত্তর পেয়েছি। প্রক্রিয়াটি দীর্ঘ এবং কঠিন বলে মনে হয়, তবে এটি অনুশীলনের উপর নির্ভর করে। একবার আপনি উদাহরণগুলি সমাধান করলে, এটিতে অভ্যস্ত হন, সবকিছু সহজ হয়ে যাবে। যারা নির্দিষ্ট সময়ে ভগ্নাংশ আয়ত্ত করেছেন তারা এই সমস্ত অপারেশনগুলি এক বাম হাতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে করে!
এবং আরও একটি নোট। অনেকে স্মার্টলি ভগ্নাংশের সাথে মোকাবিলা করে, কিন্তু উদাহরণে আটকে যায় সম্পূর্ণসংখ্যা যেমন: 2 + 1/2 + 3/4=? টু-পিস কোথায় বাঁধবেন? আপনার এটিকে কোথাও বেঁধে রাখার দরকার নেই, আপনাকে দুটির মধ্যে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করতে হবে। এটা সহজ নয়, কিন্তু খুব সহজ! 2=2/1। এটার মত. যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যেতে পারে। লব নিজেই সংখ্যা, হর এক। 7 হল 7/1, 3 হল 3/1 ইত্যাদি। এটা অক্ষর সঙ্গে একই. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, ইত্যাদি। এবং তারপরে আমরা সমস্ত নিয়ম অনুসারে এই ভগ্নাংশগুলির সাথে কাজ করি।
ভাল, ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগের জ্ঞান সতেজ ছিল। ভগ্নাংশকে এক প্রকার থেকে অন্য প্রকারে রূপান্তর করার পুনরাবৃত্তি করা হয়েছিল। আপনিও চেক করাতে পারেন। আমরা কি একটু মীমাংসা করব?)
গণনা করুন:
উত্তর (বিশৃঙ্খলায়):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
ভগ্নাংশের গুণ/ভাগ - পরবর্তী পাঠে। ভগ্নাংশ সহ সমস্ত ক্রিয়াকলাপের জন্যও কাজ রয়েছে।
যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)
আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)
আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।
সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিজ্ঞানগুলির মধ্যে একটি, যার প্রয়োগ রসায়ন, পদার্থবিদ্যা এবং এমনকি জীববিজ্ঞানের মতো শাখায় দেখা যায়, তা হল গণিত। এই বিজ্ঞান অধ্যয়ন আপনাকে কিছু মানসিক গুণাবলী বিকাশ করতে এবং আপনার মনোনিবেশ করার ক্ষমতা উন্নত করতে দেয়। গণিত কোর্সে যে বিষয়গুলি বিশেষ মনোযোগের দাবি রাখে তার মধ্যে একটি হল ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করা। অনেক শিক্ষার্থীর পড়াশুনা করা কঠিন। সম্ভবত আমাদের নিবন্ধটি আপনাকে এই বিষয়টি আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে।
ভগ্নাংশগুলি একই সংখ্যা যা দিয়ে আপনি বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন। পূর্ণ সংখ্যা থেকে তাদের পার্থক্য একটি হর উপস্থিতিতে নিহিত। এই কারণেই, ভগ্নাংশের সাথে অপারেশন করার সময়, আপনাকে তাদের কিছু বৈশিষ্ট্য এবং নিয়ম অধ্যয়ন করতে হবে। সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে হল সাধারণ ভগ্নাংশের বিয়োগ যার হর একই সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপিত হয়। আপনি যদি একটি সাধারণ নিয়ম জানেন তবে এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করা কঠিন হবে না:
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
"7" ভগ্নাংশের লব থেকে আমরা "3" ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করি, আমরা "4" পাই। আমরা এই সংখ্যাটি উত্তরের লবটিতে লিখি, এবং হরটিতে আমরা একই সংখ্যা রাখি যা প্রথম এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরগুলিতে ছিল - "19"।
নীচের ছবিটি আরও কয়েকটি অনুরূপ উদাহরণ দেখায়।
আসুন একটি আরও জটিল উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে অনুরূপ হর সহ ভগ্নাংশ বিয়োগ করা হয়:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
ভগ্নাংশের লব থেকে “29” পালাক্রমে বিয়োগ করে ছোট করা হচ্ছে পরবর্তী সমস্ত ভগ্নাংশের লব - “3”, “8”, “2”, “7”। ফলস্বরূপ, আমরা "9" ফলাফলটি পাই, যা আমরা উত্তরের লবটিতে লিখি এবং হরটিতে আমরা এই সমস্ত ভগ্নাংশের হরগুলির মধ্যে যে সংখ্যাটি লিখি - "47"।
সাধারণ ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ একই নীতি অনুসরণ করে।
আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে এটি দেখতে কেমন দেখাচ্ছে:
1/4 + 2/4 = 3/4.
ভগ্নাংশের প্রথম পদের লব - "1" - ভগ্নাংশের দ্বিতীয় পদের লব যোগ করুন - "2"। ফলাফল - "3" - যোগফলের লবটিতে লেখা হয়, এবং হরটি ভগ্নাংশগুলিতে উপস্থিত হিসাবে একই থাকে - "4"।
আমরা ইতিমধ্যে একই হর আছে এমন ভগ্নাংশের সাথে অপারেশন বিবেচনা করেছি। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সাধারণ নিয়মগুলি জেনে, এই জাতীয় উদাহরণগুলি সমাধান করা বেশ সহজ। কিন্তু আপনি যদি বিভিন্ন হর আছে এমন ভগ্নাংশের সাথে একটি অপারেশন করতে চান? অনেক মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা এই ধরনের উদাহরণ দ্বারা বিভ্রান্ত হয়। তবে এখানেও, আপনি যদি সমাধানের নীতিটি জানেন তবে উদাহরণগুলি আপনার পক্ষে আর কঠিন হবে না। এখানে একটি নিয়মও রয়েছে, যা ছাড়া এই ধরনের ভগ্নাংশগুলি সমাধান করা অসম্ভব।
বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, তাদের অবশ্যই একই ক্ষুদ্রতম হর-এ ছোট করতে হবে।
আমরা এটি কিভাবে করতে হবে সে সম্পর্কে আরও বিস্তারিতভাবে কথা বলব।
একই হরতে বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ আনার জন্য, আপনাকে সমাধানে একটি ভগ্নাংশের প্রধান বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে হবে: লব এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ বা গুণ করার পরে, আপনি প্রদত্ত ভগ্নাংশের সমান একটি ভগ্নাংশ পাবেন।
সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ 2/3 এর হর থাকতে পারে যেমন “6”, “9”, “12”, ইত্যাদি, অর্থাৎ, এটি যেকোন সংখ্যার ফর্ম থাকতে পারে যা “3” এর গুণিতক। লব এবং হরকে “2” দ্বারা গুণ করার পর, আমরা ভগ্নাংশ 4/6 পাই। মূল ভগ্নাংশের লব এবং হরকে "3" দ্বারা গুণ করার পরে, আমরা 6/9 পাই এবং যদি "4" সংখ্যার সাথে অনুরূপ অপারেশন করা হয়, আমরা 8/12 পাব। একটি সমতা নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
আসুন দেখি কিভাবে একই হরকে একাধিক ভগ্নাংশ কমানো যায়। উদাহরণ স্বরূপ, নিচের ছবিতে দেখানো ভগ্নাংশগুলো নেওয়া যাক। প্রথমে আপনাকে নির্ধারণ করতে হবে কোন সংখ্যাটি তাদের সকলের জন্য হর হতে পারে। জিনিসগুলি সহজ করার জন্য, আসুন বিদ্যমান হরগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করি।
ভগ্নাংশ 1/2 এবং ভগ্নাংশ 2/3-এর হরকে ফ্যাক্টরাইজ করা যায় না। হর 7/9 এর দুটি গুণনীয়ক রয়েছে 7/9 = 7/(3 x 3), ভগ্নাংশের হর 5/6 = 5/(2 x 3)। এখন আমাদের নির্ধারণ করতে হবে এই চারটি ভগ্নাংশের জন্য কোন ফ্যাক্টরটি সবচেয়ে ছোট হবে। যেহেতু প্রথম ভগ্নাংশের হরটিতে "2" নম্বর রয়েছে, এর অর্থ হল এটি অবশ্যই সমস্ত হরগুলিতে উপস্থিত থাকতে হবে; ভগ্নাংশ 7/9-এ দুটি ট্রিপলেট রয়েছে, যার অর্থ তাদের উভয়কেও হরটিতে উপস্থিত থাকতে হবে। উপরোক্ত বিষয়গুলি বিবেচনায় নিয়ে, আমরা নির্ধারণ করি যে হরটি তিনটি ফ্যাক্টর নিয়ে গঠিত: 3, 2, 3 এবং 3 x 2 x 3 = 18 এর সমান।
প্রথম ভগ্নাংশ বিবেচনা করা যাক - 1/2. এর হরটিতে একটি "2" আছে, তবে একটি "3" সংখ্যা নেই, তবে দুটি হওয়া উচিত। এটি করার জন্য, আমরা হরকে দুটি ট্রিপল দ্বারা গুণ করি, তবে, একটি ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, আমাদের অবশ্যই লবটিকে দুটি ট্রিপল দ্বারা গুণ করতে হবে:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18।
আমরা অবশিষ্ট ভগ্নাংশের সাথে একই অপারেশন করি।
সব একসাথে এটি এই মত দেখায়:
উপরে উল্লিখিত হিসাবে, বিভিন্ন হর আছে এমন ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করার জন্য, সেগুলিকে অবশ্যই একই হর-এ ছোট করতে হবে, এবং তারপর একই হর রয়েছে এমন ভগ্নাংশগুলিকে বিয়োগ করার নিয়মগুলি ব্যবহার করুন, যা ইতিমধ্যেই আলোচনা করা হয়েছে।
আসুন এটিকে একটি উদাহরণ হিসাবে দেখি: 4/18 - 3/15।
18 এবং 15 সংখ্যার গুণিতক খুঁজে বের করা:
হর পাওয়া যাওয়ার পরে, প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য যে গুণনীয়কটি আলাদা হবে তা গণনা করা প্রয়োজন, অর্থাৎ, যে সংখ্যা দ্বারা কেবল হরকে নয়, লবকেও গুণ করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা যে সংখ্যাটি পেয়েছি (সাধারণ একাধিক) সেই ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করুন যার জন্য অতিরিক্ত গুণনীয়কগুলি নির্ধারণ করতে হবে।
আমাদের সমাধানের পরবর্তী ধাপ হল প্রতিটি ভগ্নাংশকে হর “90”-এ কমিয়ে আনা।
এটি কীভাবে করা হয় সে সম্পর্কে আমরা ইতিমধ্যেই কথা বলেছি। আসুন দেখি এটি একটি উদাহরণে কীভাবে লেখা হয়েছে:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।
যদি ভগ্নাংশের সংখ্যা ছোট থাকে, তাহলে নিচের ছবিতে দেখানো উদাহরণের মতো আপনি সাধারণ হর নির্ধারণ করতে পারেন।
ভিন্ন ভিন্ন হর যাদের ক্ষেত্রেও একই কথা।
আমরা ইতিমধ্যে ভগ্নাংশের বিয়োগ এবং তাদের যোগ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। কিন্তু একটি ভগ্নাংশের একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকলে কীভাবে বিয়োগ করবেন? আবার, আসুন কয়েকটি নিয়ম ব্যবহার করি:
আরেকটি উপায় আছে যেখানে আপনি সম্পূর্ণ অংশের সাথে ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করতে পারেন। এটি করার জন্য, ক্রিয়াগুলি সম্পূর্ণ অংশগুলির সাথে আলাদাভাবে সঞ্চালিত হয় এবং ভগ্নাংশগুলির সাথে ক্রিয়াগুলি পৃথকভাবে এবং ফলাফলগুলি একসাথে রেকর্ড করা হয়।
প্রদত্ত উদাহরণটি ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত যার একই হর রয়েছে। ক্ষেত্রে যখন হরগুলি ভিন্ন হয়, তাদের অবশ্যই একই মানতে আনতে হবে এবং তারপর উদাহরণে দেখানো ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করতে হবে।
ভগ্নাংশের সাথে অন্য ধরনের অপারেশন হল যখন একটি ভগ্নাংশ থেকে বিয়োগ করতে হবে। প্রথম নজরে, এই ধরনের উদাহরণ সমাধান করা কঠিন বলে মনে হয়। যাইহোক, এখানে সবকিছু বেশ সহজ। এটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে পূর্ণসংখ্যাটিকে একটি ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং বিয়োগকৃত ভগ্নাংশে থাকা একই হর দিয়ে। এর পরে, আমরা অভিন্ন হরগুলির সাথে বিয়োগের অনুরূপ একটি বিয়োগ সম্পাদন করি। একটি উদাহরণে এটি এই মত দেখায়:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।
এই নিবন্ধে উপস্থাপিত ভগ্নাংশের বিয়োগ (গ্রেড 6) পরবর্তী গ্রেডগুলিতে আচ্ছাদিত আরও জটিল উদাহরণগুলি সমাধান করার জন্য ভিত্তি। এই বিষয়ের জ্ঞান পরবর্তীতে ফাংশন, ডেরিভেটিভ ইত্যাদি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। অতএব, উপরে আলোচিত ভগ্নাংশ সহ অপারেশনগুলি বোঝা এবং বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
নিম্নলিখিত নিয়মগুলি একই হর সহ সঠিক এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য (একটি মিশ্র ভগ্নাংশ সর্বদা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হতে পারে)।
নিয়ম. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং একই হর ছেড়ে যেতে হবে।
উদাহরণ স্বরূপ:
নিয়ম. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং একই হর ছেড়ে দিতে হবে।
উদাহরণ স্বরূপ: 
নিম্নলিখিত নিয়মগুলি অনুরূপ হর সহ মিশ্র ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
নিয়ম. মিশ্র ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য, আপনাকে আলাদাভাবে তাদের সম্পূর্ণ এবং ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে এবং সম্পূর্ণ অংশের যোগফল এবং মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে ভগ্নাংশের যোগফল লিখতে হবে।
যদি মোট ভগ্নাংশটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়, তবে সেগুলিকে একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করা উচিত এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে পৃথক করা সম্পূর্ণ অংশটি পুরো অংশগুলির যোগফলের সাথে যোগ করা উচিত। মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে সমগ্র এবং ভগ্নাংশের চূড়ান্ত যোগফল লিখুন।
উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা: 
নিয়ম: মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, আপনাকে আলাদাভাবে তাদের সম্পূর্ণ অংশগুলি এবং তাদের ভগ্নাংশগুলিকে আলাদাভাবে বিয়োগ করতে হবে এবং একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে ফলাফলের পার্থক্যগুলির যোগফল লিখতে হবে।
যদি মিনুএন্ডের ভগ্নাংশের অংশটি সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা মিনুএন্ডের পূর্ণসংখ্যা থেকে 1 ধার করি, যা আমরা মিশ্র ভগ্নাংশের ভগ্নাংশের ভগ্নাংশের মতো একই হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি এবং এই হর এর সমান একটি লব সহ। ধার করা 1, একই লব এবং হর দিয়ে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়, যা মিনুয়েন্ডের ভগ্নাংশের সাথে যোগ করা হয়। এর পরে, আমরা মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগের নিয়ম অনুসারে গণনা করি।
একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে, কিন্তু হরকে একই রাখতে হবে, উদাহরণস্বরূপ:
একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে, উদাহরণস্বরূপ:
মিশ্র ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে আলাদাভাবে তাদের সম্পূর্ণ অংশ যোগ করতে হবে, এবং তারপর তাদের ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে, এবং একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে ফলাফল লিখতে হবে,
উদাহরণ 1:
উদাহরণ 2:
যদি, ভগ্নাংশ যুক্ত করার সময়, আপনি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পান, এটি থেকে পুরো অংশটি নির্বাচন করুন এবং এটি পুরো অংশে যোগ করুন, উদাহরণস্বরূপ:
বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে সেগুলিকে একই হরতে কমাতে হবে, এবং তারপর এই নিবন্ধের শুরুতে নির্দেশিত হিসাবে এগিয়ে যেতে হবে। কয়েকটি ভগ্নাংশের সাধারণ হর হল LCM (সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল)। প্রতিটি ভগ্নাংশের লবের জন্য, এই ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM কে ভাগ করে অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাওয়া যায়। এনওসি কী তা বোঝার পরে আমরা একটি উদাহরণ পরে দেখব।
দুটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক (LCM) হল ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা যা একটি অবশিষ্ট না রেখে উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। কখনও কখনও এলসিএম মৌখিকভাবে পাওয়া যেতে পারে, তবে প্রায়শই, বিশেষত বড় সংখ্যার সাথে কাজ করার সময়, আপনাকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে লিখিতভাবে এলসিএম খুঁজে পেতে হবে:
বেশ কয়েকটি সংখ্যার LCM খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:
উদাহরণস্বরূপ, আসুন 28 এবং 21 সংখ্যার LCM খুঁজে বের করি:
বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য ফিরে আসা যাক।
যখন আমরা ভগ্নাংশগুলিকে একই হর, উভয় হরের LCM এর সমান, তখন আমাদের অবশ্যই এই ভগ্নাংশের লবগুলিকে দ্বারা গুণ করতে হবে অতিরিক্ত গুণক. আপনি LCM কে সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করে তাদের খুঁজে পেতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ:
এইভাবে, ভগ্নাংশগুলিকে একই সূচকে কমাতে, আপনাকে প্রথমে এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির LCM (অর্থাৎ, উভয় হর দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা) খুঁজে বের করতে হবে, তারপর ভগ্নাংশগুলির লবগুলিতে অতিরিক্ত গুণনীয়কগুলি স্থাপন করতে হবে। আপনি সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের হর দ্বারা সাধারণ হর (CLD) ভাগ করে তাদের খুঁজে পেতে পারেন। তারপরে আপনাকে প্রতিটি ভগ্নাংশের লবকে একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করতে হবে এবং LCM কে হর হিসাবে রাখতে হবে।
একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনি একটি মিশ্র ভগ্নাংশ তৈরি করতে ভগ্নাংশের আগে সেই সংখ্যাটি যোগ করুন, উদাহরণস্বরূপ:
যদি আমরা একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি মিশ্র ভগ্নাংশ যোগ করি, আমরা সেই সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশের পুরো সংখ্যা অংশে যোগ করি, উদাহরণস্বরূপ:
সময়সীমা: 0
20টির মধ্যে 0টি কাজ সম্পন্ন হয়েছে
এই পরীক্ষাটি অনুরূপ হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করার আপনার ক্ষমতা পরীক্ষা করে। এই ক্ষেত্রে, দুটি নিয়ম পালন করা আবশ্যক:
আপনি ইতিমধ্যে পরীক্ষা দিয়েছেন। আপনি এটা আবার শুরু করতে পারবেন না.
পরীক্ষা লোড হচ্ছে...
পরীক্ষা শুরু করার জন্য আপনাকে অবশ্যই লগ ইন বা নিবন্ধন করতে হবে।
এটি শুরু করতে আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি সম্পূর্ণ করতে হবে:
সঠিক উত্তর: 20 এর মধ্যে 0
তোমার সময়:
সময় শেষ হয়
আপনি 0 পয়েন্টের মধ্যে 0 (0) স্কোর করেছেন
