সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

রৈখিক নির্ভরতা

С1u1+С2u2+... +Сnun?0 ফর্মের একটি সম্পর্ক, যেখানে С1, С2,..., Сn হল সংখ্যা, যার মধ্যে অন্তত একটি? 0, এবং u1, u2,..., un হল কিছু গাণিতিক বস্তু, উদাহরণস্বরূপ। ভেক্টর বা ফাংশন।

রৈখিক নির্ভরতা

(গণিত), ফর্মের সম্পর্ক

C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)

যেখানে C1, C2, ..., Cn ≈ সংখ্যা, যার মধ্যে অন্তত একটি অশূন্য, এবং u1, u2, ..., un ≈ এক বা অন্য গণিত। যে বস্তুগুলির জন্য একটি সংখ্যা দ্বারা যোগ এবং গুণের ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করা হয়। সম্পর্কে (*) অবজেক্ট u1, u2, ..., un 1ম ডিগ্রীতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, অর্থাৎ রৈখিকভাবে; অতএব, এই সম্পর্ক দ্বারা বর্ণিত তাদের মধ্যে সম্পর্ককে রৈখিক বলা হয়। সূত্রে (*) সমান চিহ্নের বিভিন্ন অর্থ থাকতে পারে এবং প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে স্পষ্ট করা আবশ্যক। L. z এর ধারণা। গণিতের অনেক শাখায় ব্যবহৃত হয়। সুতরাং, আমরা L. z সম্পর্কে কথা বলতে পারি। ভেক্টরের মধ্যে, এক বা একাধিক ভেরিয়েবলের ফাংশনের মধ্যে, রৈখিক স্থানের উপাদানগুলির মধ্যে ইত্যাদি। যদি u1, u2, ..., un বস্তুর মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক থাকে, তাহলে এই বস্তুগুলিকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বলা হয়; অন্যথায় তারা রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয়। যদি u1, u2, ..., un বস্তুগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে তাদের মধ্যে অন্তত একটি অন্যের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, যেমন

u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + একটি সন্ন্যাসী।

একটি ভেরিয়েবলের ক্রমাগত ফাংশন

u1 = j 1(x), u2 = j 2(x), ..., un = j n(x) কে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বলা হয় যদি তাদের মধ্যে ফর্ম (*) এর একটি সম্পর্ক থাকে, যেখানে সমান চিহ্ন থাকে x এর সাপেক্ষে একটি পরিচয় হিসাবে বোঝা যায়। j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে £ x £ b সংজ্ঞায়িত করার জন্য, রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে তাদের গ্রাম নির্ধারক অদৃশ্য হয়ে যায়

i, k = 1,2, ..., n.

যদি ফাংশন j1(x), j2(x), ..., jn(x) হয় লিনিয়ারের সমাধান আঙ্গক, তাহলে L. z-এর অস্তিত্বের জন্য। তাদের মধ্যে এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে রনস্কিয়ান অন্তত এক সময়ে অদৃশ্য হয়ে যায়।

══ m ভেরিয়েবলে লিনিয়ার ফর্ম

u1 = ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm

(i = 1, 2, ..., n)

রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বলা হয় যদি ফর্মের (*) একটি সম্পর্ক থাকে, যেখানে সমান চিহ্নটি x1, x2, ..., xm সকল ভেরিয়েবলের সাথে একটি পরিচয় হিসাবে বোঝা যায়। n জন্য ক্রম রৈখিক ফর্মএন ভেরিয়েবলের উপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, নির্ধারক অদৃশ্য হওয়ার জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট

টাস্ক। অগ্রগামী বিচ্ছিন্নতা শহর থেকে যাত্রা শুরু করে। এখন তিনি আছেন

শহর থেকে 5 কিমি এবং প্রতি ঘন্টা 3 কিমি বেগে যায়। সে শহর থেকে x ঘন্টায় কত দূরে থাকবে?

সমাধান। x ঘন্টার মধ্যে বিচ্ছিন্নতা কিলোমিটার কভার করবে, এবং এর আগেও এটি 5 কিলোমিটার কভার করবে। এর মানে হল x ঘন্টা পরে শহর থেকে দূরত্ব কিলোমিটারের সমান হবে। এই দূরত্বকে y দ্বারা বোঝানো হচ্ছে, আমাদের আছে;

এই সমতা সময়ের উপর পথের নির্ভরতা প্রকাশ করে, কিন্তু এটি আর সরাসরি আনুপাতিক নির্ভরতা হবে না, যা নিচের টেবিল থেকে সহজেই দেখা যায়

এখানে সময়ের পাথের অনুপাত একই সংখ্যা নয়।

সংজ্ঞা। x এবং y দুটি রাশির মধ্যে সম্পর্ক, সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে k এবং সংখ্যাগুলি, একটি রৈখিক সম্পর্ক বলা হয়।

বিশেষ করে, তাহলে

এর মানে হল যে একটি সরাসরি আনুপাতিক নির্ভরতা একটি রৈখিক নির্ভরতার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

2. রৈখিক নির্ভরতা গ্রাফ।

চলুন যে কোনো প্রদত্ত রৈখিক সম্পর্কের একটি গ্রাফ তৈরি করি; উদাহরণ স্বরূপ বলা যাক,

এর নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে চলুন. আসুন প্রথমে একটি নির্ভরতা গ্রাফ তৈরি করি

এটি স্থানাঙ্কের উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা হবে (চিত্র 26)।

আসুন দেখি কিভাবে রৈখিক নির্ভরতা গ্রাফগুলি এই সরল বিন্দুর সাপেক্ষে অবস্থিত হবে:

উদাহরণস্বরূপ, x এবং y মানের নিম্নলিখিত টেবিল তৈরি করা যাক:

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে কোনো অ্যাবসিসার জন্য, দ্বিতীয় গ্রাফের বিন্দুর অর্ডিনেট প্রথম গ্রাফের বিন্দুর অর্ডিনেটের চেয়ে 3 একক বেশি। এর মানে হল যে দ্বিতীয় গ্রাফের সংশ্লিষ্ট বিন্দুটি প্রথমটির বিন্দু থেকে 3 ইউনিট বেশি হবে।

এই পয়েন্টগুলি তৈরি করার পরে, আমরা প্রথম লাইনের সমান্তরাল একটি লাইন পাই (চিত্র 26)।

একটি রৈখিক সম্পর্কের গ্রাফ একটি সরল রেখা।

এটি অনুসরণ করে যে একটি রৈখিক নির্ভরতা গ্রাফ প্লট করার জন্য, এটির দুটি বিন্দু খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট।

আসুন বিবেচনা করা উদাহরণ ব্যবহার করে এটি দেখাই।

এটা নির্বাণ আমরা পেতে. সুতরাং, আমরা একটি পয়েন্ট খুঁজে পেয়েছি. আরও যোগ করলে আমরা দ্বিতীয় পয়েন্ট (2; 7) পাই। এই বিন্দুগুলি তৈরি করে এবং তাদের মাধ্যমে একটি সরল রেখা অঙ্কন করে, আমরা কাঙ্খিত গ্রাফটি পাই, অর্থাৎ সূত্র দ্বারা প্রকাশিত একটি রৈখিক সম্পর্কের একটি গ্রাফ।

সাধারণত, একটি রৈখিক সম্পর্কের একটি গ্রাফ তৈরি করতে, দুটি বিন্দু নেওয়া হয় যেখানে সরলরেখা স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিকে ছেদ করে। সুতরাং, ধরে নিই যে আমরা পয়েন্টগুলির মাধ্যমে একটি সরল রেখা আঁকতে পারি (চিত্র 27)।

চলুন রৈখিক স্থানগুলির বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করার দিকে এগিয়ে যাই। প্রথমত, এর উপাদানগুলির মধ্যে সম্পর্ক অন্তর্ভুক্ত।

রৈখিক সংমিশ্রণ বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর উপাদান আরউপাদান বলা হয়

সংজ্ঞা।উপাদানের একটি সেটকে বলা হয় রৈখিকভাবে স্বাধীন যদি, সমতা থেকে

এটা অগত্যা যে অনুসরণ করে,. এটা স্পষ্ট যে উপাদানগুলির যেকোনো অংশও রৈখিকভাবে স্বাধীন। যদি , এর মধ্যে অন্তত একটি থাকে, তাহলে সেটটিকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল বলা হয়।

উদাহরণIII.6. একটি ভেক্টর সেট দেওয়া যাক। যদি ভেক্টরগুলির মধ্যে একটি, উদাহরণস্বরূপ, তাহলে ভেক্টরগুলির এই ধরনের একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। আসলে, সেট,, ...,,, ..., রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে দিন, তাহলে এটি সমতা থেকে অনুসরণ করে।

এই সেটে ভেক্টরকে গুন করলেও আমাদের সমানতা আছে

ফলস্বরূপ, ভেক্টরের সেট, সেইসাথে একটি শূন্য উপাদান ধারণকারী অন্য যেকোন উপাদান, সর্বদা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল ▼।

মন্তব্য করুন।যদি ভেক্টরের সেটটি খালি থাকে তবে এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। প্রকৃতপক্ষে, যদি কোন সূচক না থাকে, তাহলে শূন্যের সমান নয় এমন সংখ্যাগুলি বেছে নেওয়া অসম্ভব, যাতে ফর্মের যোগফল (III.2) 0 এর সমান হয়। রৈখিক স্বাধীনতার এই ব্যাখ্যা হতে পারে প্রমাণ হিসাবে নেওয়া হয়েছে, বিশেষ করে যেহেতু এই ধরনের ফলাফল তত্ত্ব 11 এর সাথে ভাল চুক্তিতে।

উপরের সাথে সংযোগে, রৈখিক স্বাধীনতার সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: উপাদানগুলির একটি সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন যদি এর জন্য কোন সূচক না থাকে। বিশেষ করে, এই সেট খালি হতে পারে.

উদাহরণIII.7. যেকোনো দুটি চলমান ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। মনে রাখবেন যে স্লাইডিং ভেক্টর হল ভেক্টর যেগুলি একই লাইনে থাকে। একটি ইউনিট ভেক্টর গ্রহণ করে, আপনি সংশ্লিষ্ট বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণ করে অন্য কোনো ভেক্টর পেতে পারেন, অর্থাৎ বা। ফলস্বরূপ, এক-মাত্রিক স্থানের যেকোনো দুটি ভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

উদাহরণIII.8. বহুপদীর স্থান বিবেচনা করুন, যেখানে,,,। আসুন এটি লিখে রাখি

অনুমান,,, আমরা প্রাপ্ত, অভিন্ন দ্বারা t

অর্থাৎ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। মনে রাখবেন যে ফর্মের যেকোন সীমাবদ্ধ সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন। এটা প্রমাণ করার জন্য, মামলা বিবেচনা, তারপর সমতা থেকে

এর রৈখিক নির্ভরতার অনুমানের ক্ষেত্রে, এটি অনুসরণ করবে যে শূন্যের সমান সমস্ত সংখ্যা বিদ্যমান নয়  1 ,  2 ,  3, যা যেকোন (III.3) এর জন্য অভিন্ন, কিন্তু এটি বীজগণিতের মূল উপপাদ্যের বিরোধিতা করে: যেকোনো বহুপদ n-ম ডিগ্রি এর বেশি নেই nপ্রকৃত শিকড়। আমাদের ক্ষেত্রে, এই সমীকরণটি শুধুমাত্র দুটি মূল আছে, এবং তাদের একটি অসীম সংখ্যা নয়। আমরা একটি দ্বন্দ্ব পেয়েছি।

§ 2. রৈখিক সমন্বয়। ঘাঁটি

দিন । এটা কি বলা যাক রৈখিক সংমিশ্রণ উপাদান

উপপাদ্যIII.1 (প্রধান)।অ-শূন্য উপাদানগুলির একটি সেট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি কিছু উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হয়।

প্রমাণ. প্রয়োজনীয়তা. আসুন আমরা ধরে নিই যে উপাদানগুলি,, ..., রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং প্রথম প্রাকৃতিক সংখ্যাটিকে ধরি যার জন্য উপাদানগুলি,, ..., রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, তারপর

সমস্ত শূন্যের সমান নয় এবং অগত্যা (অন্যথায় এই সহগ হবে, যা যা বলা হয়েছে তার বিপরীত হবে)। এখান থেকে আমাদের একটি রৈখিক সমন্বয় আছে

পর্যাপ্ততাসুস্পষ্ট, যেহেতু একটি রৈখিক নির্ভরশীল সেট ধারণকারী প্রতিটি সেট নিজেই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল ▼।

সংজ্ঞা।রৈখিক স্থানের ভিত্তি (সমন্বয় ব্যবস্থা) এলএকটি সেট বলা হয় করৈখিকভাবে স্বাধীন উপাদান, যেমন প্রতিটি উপাদান এলথেকে উপাদানগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ ক, 11.

আমরা সসীম-মাত্রিক রৈখিক স্থান বিবেচনা করব।

উদাহরণIII.9. একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর স্থান বিবেচনা করুন। একক ভেক্টর নেওয়া যাক,,। তারা একটি ভিত্তি গঠন.

আসুন দেখান যে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। আসলে, আমরা আছে

অথবা এখান থেকে, একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার এবং ভেক্টর যোগ করার নিয়ম অনুসারে (উদাহরণ III.2), আমরা পাই

অতএব,,,▼।

স্থানের একটি নির্বিচারে ভেক্টর হতে দিন, তারপর আমরা প্রাপ্ত রৈখিক স্থানের স্বতঃসিদ্ধের উপর ভিত্তি করে

অনুরূপ যুক্তি একটি ভিত্তি সহ একটি স্থানের জন্য বৈধ, . প্রধান উপপাদ্য থেকে এটি একটি নির্বিচারে সসীম-মাত্রিক রৈখিক স্থান অনুসরণ করে এলযেকোন উপাদানকে তার মৌলিক উপাদানের রৈখিক সমন্বয় হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে,, ...,, অর্থাৎ

তদুপরি, যেমন একটি পচন অনন্য। আসলে, আমাদের আছে

তারপর বিয়োগ করার পর আমরা পাই

তাই, উপাদানের স্বাধীনতার কারণে,,

তা হল ▼।

উপপাদ্যIII.2 (ভিত্তিতে যোগ সম্পর্কে)।একটি সসীম-মাত্রিক রৈখিক স্থান হোক এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন উপাদানগুলির একটি নির্দিষ্ট সেট হোক। যদি তারা একটি ভিত্তি তৈরি না করে, তাহলে এমন উপাদানগুলি খুঁজে পাওয়া সম্ভব,,...,, যে উপাদানগুলির সেট একটি ভিত্তি তৈরি করে। অর্থাৎ, একটি রৈখিক স্থানের উপাদানগুলির প্রতিটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট একটি ভিত্তির পরিপূরক হতে পারে।

প্রমাণ. যেহেতু স্থানটি সসীম-মাত্রিক, তাই এর একটি ভিত্তি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, এর nউপাদান, তাদের উপাদান হতে দিন. এর অনেক উপাদান বিবেচনা করা যাক।

মূল উপপাদ্য প্রয়োগ করা যাক। উপাদানগুলির ক্রম অনুসারে, সেটটি বিবেচনা করুন ক. এটি স্পষ্টতই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, যেহেতু উপাদানগুলির যেকোনো একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। যেহেতু উপাদানগুলি,, ..., রৈখিকভাবে স্বাধীন, তারপরে প্রথম উপাদানটি উপস্থিত না হওয়া পর্যন্ত এটিতে উপাদানগুলিকে ক্রমানুসারে যুক্ত করা হচ্ছে, উদাহরণস্বরূপ, এটি এই সেটের পূর্ববর্তী ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হবে, অর্থাৎ। সেট থেকে এই উপাদান অপসারণ ক, আমরা গ্রহণ করব। এই সেটে আর না থাকা পর্যন্ত আমরা এই পদ্ধতিটি চালিয়ে যাই nরৈখিকভাবে স্বাধীন উপাদান, যার মধ্যে সমস্ত উপাদান,, ..., এবং n-মিউপাদান থেকে। ফলাফল সেট ভিত্তি হবে ▼.

উদাহরণIII.10. প্রমাণ করুন যে ভেক্টর,, এবং একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট গঠন করে এবং তাদের যে কোনো তিনটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

আসুন দেখাই যে শূন্যের সমান সব সংখ্যা নেই যার জন্য

আসলে, জন্য, আমরা আছে

রৈখিক সম্পর্ক প্রমাণিত হয়েছে। আসুন দেখান যে ভেক্টরের একটি ট্রিপল, উদাহরণস্বরূপ,,,, একটি ভিত্তি তৈরি করে। এর একটি সমতা করা যাক

ভেক্টর দিয়ে অপারেশন সম্পাদন, আমরা পেতে

শেষ সমতার ডান এবং বাম দিকে সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলিকে সমান করে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই,, এটি সমাধান করে, আমরা পাই।

একটি অনুরূপ যুক্তি ভেক্টরের অবশিষ্ট ট্রিপলেটের জন্য বৈধ,,বা,,।

উপপাদ্যIII.3 (স্থানের মাত্রা সম্পর্কে)।একটি সসীম-মাত্রিক রৈখিক স্থানের সমস্ত বেস এলগঠিত একই সংখ্যামৌলিক উপাদান।

প্রমাণ. দুই সেট দেওয়া যাক, কোথায়;,। আমরা তাদের প্রত্যেককে দুটি বৈশিষ্ট্যের একটি বরাদ্দ করি যা ভিত্তিকে সংজ্ঞায়িত করে: 1) সেটের উপাদানগুলির মাধ্যমে কথেকে কোন উপাদান এল, 2) সেটের উপাদান খএকটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট প্রতিনিধিত্ব করে, কিন্তু অগত্যা তাদের সব নয় এল. আমরা যে উপাদান অনুমান করা হবে কএবং খআদেশ

সেট বিবেচনা করুন কএবং এর উপাদানগুলিতে প্রয়োগ করুন মিএকবার মূল উপপাদ্য থেকে পদ্ধতি। যেহেতু উপাদান থেকে খরৈখিকভাবে স্বাধীন, তারপরও আমরা একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট পাই

প্রকৃতপক্ষে, যদি , তাহলে ফলাফল হবে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট, এবং অবশিষ্ট nসেটের উপাদান খতাদের মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হবে, যা অসম্ভব, যার অর্থ। কিন্তু এটিও হতে পারে না, যেহেতু নির্মাণের মাধ্যমে সেটটির (III.4) একটি সেটের ভিত্তির বৈশিষ্ট্য রয়েছে ক. কারণ স্থান এলসসীম-মাত্রিক, তারপর যা অবশিষ্ট থাকে তা হল, স্থানের দুটি ভিন্ন ভিত্তি এলএকই সংখ্যক উপাদান নিয়ে গঠিত ▼।

পরিণতি।কোনো n-মাত্রিক রৈখিক স্থান () একজন অসীমভাবে অনেকগুলি ভিত্তি খুঁজে পেতে পারে।

প্রমাণরৈখিক (ভেক্টর) স্থানের উপাদানকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম থেকে অনুসরণ করে।

সংজ্ঞা।রৈখিক স্থানের মাত্রা এলউপাদানের সংখ্যা যা এর ভিত্তি তৈরি করে তাকে বলা হয়।

সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে উপাদানগুলির খালি সেট - একটি তুচ্ছ রৈখিক স্থান - এর মাত্রা 0 রয়েছে, যা উল্লেখ করা উচিত, রৈখিক নির্ভরতার পরিভাষাটিকে ন্যায়সঙ্গত করে এবং আমাদের বলতে অনুমতি দেয়: n-মাত্রিক স্থান মাত্রা আছে n, .

এইভাবে, যা বলা হয়েছে তা সংক্ষিপ্ত করে, আমরা প্রতিটি সেটটি পাই n+1 উপাদান n-মাত্রিক রৈখিক স্থান রৈখিকভাবে নির্ভরশীল; অনেক nএকটি রৈখিক স্থানের উপাদানগুলি একটি ভিত্তি যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় (বা স্থানের প্রতিটি উপাদান তার ভিত্তির উপাদানগুলির একটি রৈখিক সমন্বয়); যেকোন রৈখিক স্থানে ঘাঁটির সংখ্যা অসীম।

উদাহরণIII.11 (ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য)।

আমাদের রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম আছে

কোথায় ক - সিস্টেম সহগগুলির ম্যাট্রিক্স,  সিস্টেম সহগগুলির বর্ধিত ম্যাট্রিক্স

কোথায় , (III.6)

এই এন্ট্রিটি সমীকরণের সিস্টেমের সমতুল্য (III.5)।

উপপাদ্যIII.4 (ক্রোনেকার – ক্যাপেলি)।রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেম (III.5) সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয়, অর্থাৎ।

প্রমাণ.প্রয়োজনীয়তা. সিস্টেম (III.5) সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে দিন, তারপর এটি একটি সমাধান আছে:,,. বিবেচনা করা হচ্ছে (III.6), , কিন্তু এই ক্ষেত্রে ভেক্টরের একটি রৈখিক সমন্বয় আছে,,...,। অতএব, ভেক্টরের সেটের মাধ্যমে,,, ..., থেকে যেকোনো ভেক্টর। এটা মানে.

পর্যাপ্ততা. দিন । আসুন আমরা,,..., থেকে যেকোনো ভিত্তি বেছে নিই, তারপর এটিকে ভিত্তির মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয় (এটি হয় সব ভেক্টর বা তাদের অংশ হতে পারে) এবং এইভাবে, সমস্ত ভেক্টরের মাধ্যমে। এর মানে হল সমীকরণের সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ▼।

চলো বিবেচনা করি n-মাত্রিক রৈখিক স্থান এল. প্রতিটি ভেক্টরকে একটি রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে সেটটি ভিত্তি ভেক্টর নিয়ে গঠিত। চলুন ফর্মে রৈখিক সংমিশ্রণটি পুনরায় লিখি এবং উপাদান এবং তাদের স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করি

এর মানে হল এর মধ্যে n-মাত্রিক রৈখিক ভেক্টর ভেক্টরের স্থান nবাস্তব সংখ্যার -মাত্রিক ক্ষেত্রটি একটি এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করে।

সংজ্ঞা।একই স্কেলার ক্ষেত্রের উপর দুটি লিনিয়ার স্পেস আইসোমরফিক , যদি তাদের উপাদানগুলির মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করা যায় চ, যাতে

অর্থাৎ, আইসোমরফিজমকে এক-এক চিঠিপত্র হিসাবে বোঝা যায় যা সমস্ত রৈখিক সম্পর্ক সংরক্ষণ করে। এটা স্পষ্ট যে আইসোমরফিক স্পেসগুলির একই মাত্রা রয়েছে।

আইসোমরফিজমের উদাহরণ এবং সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে রৈখিক সমস্যা অধ্যয়নের দৃষ্টিকোণ থেকে, আইসোমরফিক স্পেসগুলি একই, তাই আনুষ্ঠানিকভাবে পরিবর্তেn-মাত্রিক রৈখিক স্থানএলক্ষেত্রের উপরে, শুধুমাত্র ক্ষেত্র অধ্যয়ন করা যাবে.

ভেক্টর বীজগণিত অধ্যয়ন করার সময় ভেক্টরের একটি সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতার ধারণাগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু মাত্রা এবং স্থানের ভিত্তির ধারণাগুলি তাদের উপর ভিত্তি করে। এই নিবন্ধে আমরা সংজ্ঞা দেব, রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতার বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করব, রৈখিক নির্ভরতার জন্য ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম অধ্যয়নের জন্য একটি অ্যালগরিদম প্রাপ্ত করব এবং উদাহরণগুলির সমাধানগুলি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

রৈখিক নির্ভরতা এবং ভেক্টরের একটি সিস্টেমের রৈখিক স্বাধীনতা নির্ধারণ।

আসুন p n-মাত্রিক ভেক্টরের একটি সেট বিবেচনা করি, সেগুলিকে নিম্নরূপ বোঝাই। আসুন এই ভেক্টর এবং নির্বিচারে সংখ্যাগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ করি (বাস্তব বা জটিল): . n-মাত্রিক ভেক্টরের ক্রিয়াকলাপের সংজ্ঞা, সেইসাথে ভেক্টর যোগ করার এবং একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে, এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে লিখিত রৈখিক সংমিশ্রণটি কিছু n-মাত্রিক ভেক্টরকে প্রতিনিধিত্ব করে, অর্থাৎ, .

এইভাবে আমরা ভেক্টরের একটি সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতার সংজ্ঞায় পৌঁছেছি।

সংজ্ঞা।

যদি একটি রৈখিক সংমিশ্রণ একটি শূন্য ভেক্টরকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যখন সংখ্যাগুলির মধ্যে শূন্য ব্যতীত কমপক্ষে একটি থাকে, তবে ভেক্টরের সিস্টেমকে বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল.

সংজ্ঞা।

যদি একটি রৈখিক সংমিশ্রণ একটি শূন্য ভেক্টর হয় শুধুমাত্র যখন সমস্ত সংখ্যা শূন্য হয়, তাহলে ভেক্টরের সিস্টেম বলা হয় রৈখিকভাবে স্বাধীন.

রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতার বৈশিষ্ট্য।

এই সংজ্ঞাগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা প্রণয়ন করি এবং প্রমাণ করি রৈখিক নির্ভরতার বৈশিষ্ট্য এবং ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেমের রৈখিক স্বাধীনতা.

যদি ভেক্টরের একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সিস্টেমে বেশ কয়েকটি ভেক্টর যোগ করা হয়, তাহলে ফলাফল সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে।

প্রমাণ।

যেহেতু ভেক্টর সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, তাই সংখ্যা থেকে অন্তত একটি শূন্য সংখ্যা থাকলে সমতা সম্ভব। দিন ।

আসুন ভেক্টরের মূল সিস্টেমে আরও ভেক্টর যোগ করি, এবং আমরা একটি সিস্টেম পাই। যেহেতু এবং , তাহলে এই সিস্টেমের ভেক্টরগুলির রৈখিক সংমিশ্রণটি ফর্মের

শূন্য ভেক্টর প্রতিনিধিত্ব করে, এবং . ফলস্বরূপ, ভেক্টরের ফলাফল সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

যদি ভেক্টরের একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সিস্টেম থেকে বেশ কয়েকটি ভেক্টরকে বাদ দেওয়া হয়, তাহলে ফলস্বরূপ সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।

প্রমাণ।

আসুন আমরা অনুমান করি যে ফলাফল সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। ভেক্টরের এই সিস্টেমে সমস্ত বাতিল ভেক্টর যোগ করে, আমরা ভেক্টরের মূল সিস্টেমটি পাই। শর্ত অনুসারে, এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, কিন্তু রৈখিক নির্ভরতার পূর্ববর্তী সম্পত্তির কারণে, এটি অবশ্যই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হতে হবে। আমরা একটি দ্বন্দ্বে পৌঁছেছি, তাই আমাদের ধারণাটি ভুল।

যদি ভেক্টরের একটি সিস্টেমে কমপক্ষে একটি শূন্য ভেক্টর থাকে, তাহলে এই ধরনের সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

প্রমাণ।

ভেক্টরের এই সিস্টেমে ভেক্টর শূন্য হতে দিন। আসুন আমরা ধরে নিই যে ভেক্টরের মূল সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। তাহলে ভেক্টর সমতা তখনই সম্ভব যখন। যাইহোক, যদি আমরা শূন্য থেকে আলাদা যেকোনও গ্রহণ করি, তাহলে সমতা এখনও সত্য হবে, যেহেতু। ফলস্বরূপ, আমাদের অনুমানটি ভুল, এবং ভেক্টরগুলির মূল সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

যদি ভেক্টরের একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে এর অন্তত একটি ভেক্টর অন্যদের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়। যদি ভেক্টরের একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে ভেক্টরগুলির একটিকে অন্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায় না।

প্রমাণ।

প্রথমে, প্রথম বক্তব্যটি প্রমাণ করা যাক।

ভেক্টরের সিস্টেমকে রৈখিকভাবে নির্ভর করা যাক, তারপরে কমপক্ষে একটি অশূন্য সংখ্যা থাকবে এবং সমতা সত্য। এই সমতা সাপেক্ষে সমাধান করা যেতে পারে, যেহেতু এই ক্ষেত্রে আমাদের আছে

ফলস্বরূপ, ভেক্টরটি সিস্টেমের অবশিষ্ট ভেক্টরগুলির মাধ্যমে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন।

এবার দ্বিতীয় বক্তব্যটি প্রমাণ করা যাক।

যেহেতু ভেক্টর সিস্টেম রৈখিকভাবে স্বাধীন, সমতা শুধুমাত্র এর জন্যই সম্ভব।

আসুন আমরা ধরে নিই যে সিস্টেমের কিছু ভেক্টর অন্যদের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়। তাহলে এই ভেক্টর হতে দিন। এই সমতাটিকে পুনরায় লেখা যেতে পারে, এর বাম দিকে সিস্টেম ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ রয়েছে এবং ভেক্টরের সামনের সহগটি শূন্য থেকে আলাদা, যা ভেক্টরগুলির মূল সিস্টেমের একটি রৈখিক নির্ভরতা নির্দেশ করে। সুতরাং আমরা একটি দ্বন্দ্বে এসেছি, যার অর্থ সম্পত্তি প্রমাণিত।

শেষ দুটি বৈশিষ্ট্য থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি অনুসরণ করা হয়:
যদি ভেক্টরের একটি সিস্টেমে ভেক্টর থাকে এবং যেখানে একটি নির্বিচারে সংখ্যা থাকে, তাহলে এটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

রৈখিক নির্ভরতার জন্য ভেক্টরের একটি সিস্টেমের অধ্যয়ন।

আসুন একটি সমস্যা তৈরি করি: আমাদের একটি ভেক্টর সিস্টেমের একটি রৈখিক নির্ভরতা বা রৈখিক স্বাধীনতা প্রতিষ্ঠা করতে হবে।

যৌক্তিক প্রশ্ন হল: "কিভাবে এটি সমাধান করবেন?"

একটি ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে দরকারী কিছু উপরে আলোচিত ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতা এবং স্বাধীনতার সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে শেখা যেতে পারে। এই সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতা স্থাপন করতে দেয়:

অন্যান্য ক্ষেত্রে কী করবেন, যা সংখ্যাগরিষ্ঠ?

আসুন এটি বের করা যাক।

আসুন আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের উপর উপপাদ্যটির প্রণয়নটি স্মরণ করি, যা আমরা নিবন্ধে উপস্থাপন করেছি।

উপপাদ্য।

দিন r – ক্রম p এর ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক n, . M কে ম্যাট্রিক্স A এর বেসিস মাইনর হতে দিন। ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত সারি (সমস্ত কলাম) যেগুলি বেসিস মাইনর M তৈরিতে অংশগ্রহণ করে না সেগুলিকে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয় ম্যাট্রিক্সের সারিগুলির (কলাম) মাধ্যমে যা ভিত্তি মাইনর M তৈরি করে।

এখন আসুন ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের উপপাদ্য এবং রৈখিক নির্ভরতার জন্য ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেমের অধ্যয়নের মধ্যে সংযোগ ব্যাখ্যা করি।

আসুন একটি ম্যাট্রিক্স A রচনা করি, যার সারিগুলি অধ্যয়নের অধীনে সিস্টেমের ভেক্টর হবে:

ভেক্টর সিস্টেমের রৈখিক স্বাধীনতা বলতে কী বোঝায়?

ভেক্টরের একটি সিস্টেমের রৈখিক স্বাধীনতার চতুর্থ বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা জানি যে সিস্টেমের কোনো ভেক্টর অন্যদের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায় না। অন্য কথায়, ম্যাট্রিক্স A-এর কোনো সারি অন্য সারির পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হবে না, তাই, ভেক্টর সিস্টেমের রৈখিক স্বাধীনতা র‌্যাঙ্ক(A)=p অবস্থার সমতুল্য হবে.

ভেক্টর সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতা বলতে কী বোঝাবে?

সবকিছু খুব সহজ: ম্যাট্রিক্স A এর অন্তত একটি সারি অন্যদের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হবে, তাই, ভেক্টর সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতা শর্ত র্যাঙ্ক(A) এর সমতুল্য হবে

.