একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল কঠিন বিষয়গুলির মধ্যে একটি স্কুলের পাঠ্যক্রম. ডেরিভেটিভ কী সেই প্রশ্নের উত্তর প্রত্যেক স্নাতকই দেবে না।
এই নিবন্ধটি একটি সহজ এবং পরিষ্কার উপায়ে ব্যাখ্যা করে যে একটি ডেরিভেটিভ কী এবং কেন এটি প্রয়োজন৷. আমরা এখন উপস্থাপনায় গাণিতিক কঠোরতার জন্য চেষ্টা করব না। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল অর্থ বোঝা।
আসুন সংজ্ঞাটি মনে রাখা যাক:
ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার।
চিত্রটি তিনটি ফাংশনের গ্রাফ দেখায়। আপনি কোনটি দ্রুত বাড়ছে বলে মনে করেন?
উত্তরটি সুস্পষ্ট - তৃতীয়টি। এটির পরিবর্তনের সর্বোচ্চ হার রয়েছে, অর্থাৎ সবচেয়ে বড় ডেরিভেটিভ।
এখানে আরেকটি উদাহরণ।
কোস্ট্যা, গ্রিশা এবং ম্যাটভে একই সময়ে চাকরি পেয়েছিলেন। চলুন দেখে নেওয়া যাক বছরে কীভাবে তাদের আয়ের পরিবর্তন হয়েছে:
গ্রাফ একবারে সবকিছু দেখায়, তাই না? কোস্টিয়ার আয় ছয় মাসে দ্বিগুণেরও বেশি। এবং গ্রিশার আয়ও বেড়েছে, তবে সামান্য। এবং ম্যাটভির আয় শূন্যে নেমে এসেছে। প্রারম্ভিক অবস্থা একই, কিন্তু ফাংশন পরিবর্তনের হার, যে অমৌলিক, - ভিন্ন। ম্যাটভির জন্য, তার আয় ডেরিভেটিভ সাধারণত নেতিবাচক।
স্বজ্ঞাতভাবে, আমরা সহজেই একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার অনুমান করি। কিন্তু আমরা এটা কিভাবে করব?
আমরা সত্যিই যা দেখছি তা হল একটি ফাংশনের গ্রাফ কতটা খাড়াভাবে উপরে (বা নিচে) যায়। অন্য কথায়, x পরিবর্তনের সাথে সাথে y কত দ্রুত পরিবর্তিত হয়? স্পষ্টতই, বিভিন্ন পয়েন্টে একই ফাংশন থাকতে পারে ভিন্ন অর্থডেরিভেটিভ - অর্থাৎ, এটি দ্রুত বা ধীরে পরিবর্তন করতে পারে।
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ বোঝানো হয়।
আমরা একটি গ্রাফ ব্যবহার করে এটি কিভাবে খুঁজে পেতে হয় তা দেখাব।
কিছু ফাংশনের একটি গ্রাফ আঁকা হয়েছে। এর উপর একটি abscissa সহ একটি পয়েন্ট নেওয়া যাক। এই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে একটি স্পর্শক আঁকুন। আমরা একটি ফাংশনের গ্রাফ কতটা খাড়াভাবে উপরে যায় তা অনুমান করতে চাই। এই জন্য একটি সুবিধাজনক মান স্পর্শক কোণের স্পর্শক.
একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ এই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শক কোণের স্পর্শকের সমান।
অনুগ্রহ করে লক্ষ্য করুন যে স্পর্শকটির প্রবণতার কোণ হিসাবে আমরা স্পর্শক এবং অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যবর্তী কোণটি গ্রহণ করি।
কখনও কখনও ছাত্ররা জিজ্ঞাসা করে যে একটি ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক কী। এটি একটি সরল রেখা যা এই বিভাগে গ্রাফের সাথে একটি একক সাধারণ বিন্দু রয়েছে এবং আমাদের চিত্রে দেখানো হয়েছে। এটি একটি বৃত্তের স্পর্শকের মতো দেখায়।
আসুন এটি খুঁজে বের করা যাক। আমরা মনে রাখি যে একটি তীব্র কোণের স্পর্শক সঠিক ত্রিভুজসন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাতের সমান। ত্রিভুজ থেকে:
আমরা ফাংশনের সূত্র না জেনেও একটি গ্রাফ ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি। সংখ্যার অধীনে গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় প্রায়শই এই ধরনের সমস্যা দেখা যায়।
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে। মনে রাখবেন যে সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে
এই সমীকরণে পরিমাণ বলা হয় একটি সরল রেখার ঢাল. এটি অক্ষের সরলরেখার প্রবণতার কোণের স্পর্শকের সমান।
.
আমরা যে পেতে
আসুন এই সূত্রটি মনে রাখা যাক। এটি ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ প্রকাশ করে।
একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ সেই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকের ঢালের সমান।
অন্য কথায়, ডেরিভেটিভটি স্পর্শক কোণের স্পর্শকের সমান।
আমরা আগেই বলেছি যে একই ফাংশনের বিভিন্ন পয়েন্টে বিভিন্ন ডেরিভেটিভ থাকতে পারে। আসুন দেখি কীভাবে ডেরিভেটিভ ফাংশনের আচরণের সাথে সম্পর্কিত।
কিছু ফাংশনের গ্রাফ আঁকুন। এই ফাংশন কিছু এলাকায় বৃদ্ধি করা যাক, এবং অন্যদের হ্রাস, এবং সঙ্গে বিভিন্ন গতিতে. এবং এই ফাংশন সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট আছে যাক.
এক পর্যায়ে ফাংশন বৃদ্ধি পায়। বিন্দুতে আঁকা গ্রাফের স্পর্শক গঠন করে ধারালো কোণ; ইতিবাচক অক্ষ দিক সহ। এর মানে হল যে পয়েন্টে ডেরিভেটিভ ইতিবাচক।
বিন্দুতে আমাদের ফাংশন কমে যায়। এই বিন্দুতে স্পর্শক একটি স্থূলকোণ গঠন করে; ইতিবাচক অক্ষ দিক সহ। স্পর্শক থেকে স্থূলকোণঋণাত্মক, বিন্দুতে ডেরিভেটিভ নেতিবাচক।
এখানে যা ঘটে:
যদি একটি ফাংশন বৃদ্ধি পায়, তার ডেরিভেটিভ ইতিবাচক হয়।
যদি এটি হ্রাস পায় তবে এর ডেরিভেটিভ নেতিবাচক।
সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টে কি হবে? আমরা দেখতে পাই যে বিন্দুতে (সর্বোচ্চ বিন্দু) এবং (সর্বনিম্ন বিন্দু) স্পর্শকটি অনুভূমিক। অতএব, এই বিন্দুতে স্পর্শকের স্পর্শক শূন্য, এবং ডেরিভেটিভও শূন্য।
পয়েন্ট - সর্বোচ্চ পয়েন্ট। এই মুহুর্তে, ফাংশনের বৃদ্ধি হ্রাস দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ফলস্বরূপ, "প্লাস" থেকে "মাইনাস" বিন্দুতে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি পরিবর্তিত হয়।
বিন্দুতে - সর্বনিম্ন বিন্দু - ডেরিভেটিভও শূন্য, তবে এর চিহ্ন "মাইনাস" থেকে "প্লাস" এ পরিবর্তিত হয়।
উপসংহার: ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে আমরা একটি ফাংশনের আচরণ সম্পর্কে আমাদের আগ্রহী সবকিছু খুঁজে পেতে পারি।
ডেরিভেটিভ যদি ধনাত্মক হয়, তাহলে ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
ডেরিভেটিভ নেতিবাচক হলে, ফাংশন হ্রাস পায়।
সর্বাধিক বিন্দুতে, ডেরিভেটিভটি শূন্য এবং "প্লাস" থেকে "বিয়োগ" চিহ্ন পরিবর্তন করে।
ন্যূনতম বিন্দুতে, ডেরিভেটিভটিও শূন্য এবং "মাইনাস" থেকে "প্লাস"-এ চিহ্ন পরিবর্তন করে।
আসুন একটি টেবিল আকারে এই উপসংহারগুলি লিখি:
| বৃদ্ধি পায় | সর্বোচ্চ পয়েন্ট | হ্রাস পায় | সর্বনিম্ন পয়েন্ট | বৃদ্ধি পায় | |
| + | 0 | - | 0 | + |
এর দুটি ছোট স্পষ্টীকরণ করা যাক. সমস্যা সমাধান করার সময় আপনার তাদের একটির প্রয়োজন হবে। আরেকটি - প্রথম বছরে, ফাংশন এবং ডেরিভেটিভগুলির আরও গুরুতর অধ্যয়ন সহ।
এটা সম্ভব যে কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, কিন্তু এই সময়ে ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন কোনোটিই নেই। এই তথাকথিত হয় :
একটি বিন্দুতে, গ্রাফের স্পর্শকটি অনুভূমিক এবং ডেরিভেটিভটি শূন্য। যাইহোক, বিন্দুর আগে ফাংশন বাড়তে থাকে - এবং বিন্দুর পরে এটি বাড়তে থাকে। ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না - এটি যেমন ছিল তেমনই ইতিবাচক থাকে।
এটাও ঘটে যে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দুতে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। গ্রাফে, এটি একটি তীক্ষ্ণ বিরতির সাথে মিলে যায়, যখন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকা অসম্ভব।
কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যায় যদি ফাংশনটি একটি গ্রাফ দ্বারা নয়, কিন্তু একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়? এই ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য
ডেরিভেটিভ হল উচ্চতর গণিতের অন্যতম প্রধান ধারণা। এই পাঠে আমরা এই ধারণাটি উপস্থাপন করব। আসুন কঠোর গাণিতিক সূত্র এবং প্রমাণ ছাড়াই একে অপরের সাথে পরিচিত হই।
এই পরিচিতি আপনাকে অনুমতি দেবে:
ডেরিভেটিভের সাথে সহজ কাজের সারমর্ম বোঝুন;
সফলভাবে এই খুব সমস্যা সমাধান কঠিন কাজ;
ডেরিভেটিভের উপর আরো গুরুতর পাঠের জন্য প্রস্তুত করুন।
প্রথম - একটি আনন্দদায়ক বিস্ময়।)
ডেরিভেটিভের কঠোর সংজ্ঞা সীমা তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে এবং বিষয়টি বেশ জটিল। এটা বিরক্তিকর. কিন্তু ডেরিভেটিভের ব্যবহারিক প্রয়োগ, একটি নিয়ম হিসাবে, এত ব্যাপক এবং গভীর জ্ঞানের প্রয়োজন হয় না!
স্কুল এবং বিশ্ববিদ্যালয়ে বেশিরভাগ কাজ সফলভাবে সম্পন্ন করার জন্য, এটি জানা যথেষ্ট মাত্র কয়েকটি পদ- কাজ বুঝতে, এবং মাত্র কয়েকটি নিয়ম- সমাধান করতে। এখানেই শেষ. এটি আমাকে খুশি করে.
আসুন পরিচিত হওয়া শুরু করি?)
প্রাথমিক গণিতে অনেকগুলি বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ রয়েছে। যোগ, বিয়োগ, গুণ, সূচক, লগারিদম ইত্যাদি। আপনি যদি এই অপারেশনগুলিতে আরও একটি অপারেশন যোগ করেন, প্রাথমিক গণিত উচ্চতর হয়ে যায়। এই নতুন অপারেশন বলা হয় পৃথকীকরণ.এই অপারেশনের সংজ্ঞা এবং অর্থ আলাদা পাঠে আলোচনা করা হবে।
এখানে এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে পার্থক্য হল একটি ফাংশনের উপর একটি গাণিতিক অপারেশন। আমরা যেকোন ফাংশন গ্রহণ করি এবং নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে এটি রূপান্তর করি। ফলাফল একটি নতুন ফাংশন হবে. এই নতুন ফাংশন বলা হয়: অমৌলিক.
পৃথকীকরণ- একটি ফাংশনে কর্ম।
অমৌলিক- এই কর্মের ফলাফল।
ঠিক যেমন, যেমন, যোগফল- সংযোজনের ফলাফল। বা ব্যক্তিগত- বিভাজনের ফলাফল।
পদগুলি জেনে, আপনি অন্তত কাজগুলি বুঝতে পারবেন।) ফর্মুলেশনগুলি নিম্নরূপ: একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন; ডেরিভেটিভ নিতে; ফাংশন পার্থক্য; ডেরিভেটিভ গণনা করুনএবং তাই এটাই সব একইঅবশ্যই, আরও জটিল কাজ রয়েছে, যেখানে ডেরিভেটিভ (পার্থক্য) সন্ধান করা সমস্যা সমাধানের একটি পদক্ষেপ হবে।
ডেরিভেটিভটি ফাংশনের উপরের ডানদিকে একটি ড্যাশ দ্বারা নির্দেশিত হয়। এটার মত: y"বা f"(x)বা S"(t)এবং তাই
পড়া igrek স্ট্রোক, x থেকে ef স্ট্রোক, te থেকে es স্ট্রোক,ভাল, আপনি বুঝতে পারেন ...)
একটি প্রাইম একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের ডেরিভেটিভকেও নির্দেশ করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ: (2x+3)", (এক্স 3 )" , (sinx)"ইত্যাদি প্রায়শই ডেরিভেটিভগুলিকে ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে চিহ্নিত করা হয়, তবে আমরা এই পাঠে এই জাতীয় স্বরলিপি বিবেচনা করব না।
ধরা যাক আমরা কাজগুলো বুঝতে শিখেছি। যা বাকি আছে তা হল কীভাবে সেগুলি সমাধান করতে হয় তা শিখতে হবে।) আমি আপনাকে আবারও মনে করিয়ে দিই: ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়া হল নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী একটি ফাংশনের রূপান্তর।আশ্চর্যজনকভাবে, এই নিয়মগুলির মধ্যে খুব কমই রয়েছে।
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আপনাকে শুধুমাত্র তিনটি জিনিস জানতে হবে। তিনটি স্তম্ভ যার উপর সমস্ত পার্থক্য দাঁড়িয়ে আছে। এখানে তারা এই তিনটি স্তম্ভ:
1. ডেরিভেটিভের সারণী (পার্থক্য সূত্র)।
3. একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ।
এর ক্রম শুরু করা যাক. এই পাঠে আমরা ডেরিভেটিভের সারণী দেখব।
পৃথিবীতে অসীম সংখ্যক ফাংশন রয়েছে। এই বৈচিত্র্যের মধ্যে, এমন ফাংশন রয়েছে যা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক প্রয়োগ. এই ফাংশনগুলি প্রকৃতির সমস্ত নিয়মে পাওয়া যায়। এই ফাংশনগুলি থেকে, যেমন ইট থেকে, আপনি অন্য সবগুলি তৈরি করতে পারেন। ফাংশন এই শ্রেণীর বলা হয় প্রাথমিক ফাংশন।এই ফাংশনগুলিই স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় - রৈখিক, চতুর্ভুজ, হাইপারবোলা ইত্যাদি।
"স্ক্র্যাচ থেকে" ফাংশনগুলির পার্থক্য, যেমন ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা এবং সীমা তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে, এটি একটি বরং শ্রম-নিবিড় জিনিস। এবং গণিতবিদরাও মানুষ, হ্যাঁ, হ্যাঁ!) তাই তারা তাদের (এবং আমাদের) জীবনকে সরল করেছে। তারা আমাদের সামনে প্রাথমিক ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি গণনা করেছিল। ফলাফলটি ডেরিভেটিভের একটি টেবিল, যেখানে সবকিছু প্রস্তুত।)
এখানে, সবচেয়ে জনপ্রিয় ফাংশন জন্য এই প্লেট. বাম - প্রাথমিক ফাংশন, ডানদিকে এর ডেরিভেটিভ।
| ফাংশন y |
ফাংশন y এর ডেরিভেটিভ y" |
|
| 1 | C (স্থির মান) | গ" = 0 |
| 2 | এক্স | x" = 1 |
| 3 | x n (n - যেকোনো সংখ্যা) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | পাপ x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| আরকোস এক্স |  |
|
| আর্কটান এক্স |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | কএক্স |  |
| eএক্স | ||
| 5 | লগ কএক্স |  |
| ln x ( a = ই) |
আমি ডেরিভেটিভের এই সারণীতে তৃতীয় গ্রুপের ফাংশনগুলিতে মনোযোগ দেওয়ার পরামর্শ দিই। একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল সবচেয়ে সাধারণ সূত্রগুলির মধ্যে একটি, যদি সবচেয়ে সাধারণ না হয়! আপনি কি ইঙ্গিত পেয়েছেন?) হ্যাঁ, হৃদয় দ্বারা ডেরিভেটিভের টেবিলটি জানার পরামর্শ দেওয়া হয়। যাইহোক, এটি যতটা কঠিন মনে হয় ততটা কঠিন নয়। সিদ্ধান্ত নেওয়ার চেষ্টা করুন আরো উদাহরণ, টেবিল নিজেই মনে রাখা হবে!)
ডেরিভেটিভের সারণী মান খুঁজে বের করা, যেমন আপনি বোঝেন, সবচেয়ে কঠিন কাজ নয়। অতএব, প্রায়শই এই জাতীয় কাজে অতিরিক্ত চিপ থাকে। হয় টাস্কের শব্দে, বা মূল ফাংশনে, যা টেবিলে আছে বলে মনে হয় না...
আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:
1. ফাংশন y = x এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন 3
টেবিলে এমন কোন ফাংশন নেই। কিন্তু এর মধ্যে পাওয়ার ফাংশনের একটি ডেরিভেটিভ আছে সাধারণ দৃষ্টিকোণ(তৃতীয় দল)। আমাদের ক্ষেত্রে n=3. সুতরাং আমরা n এর পরিবর্তে তিনটি প্রতিস্থাপন করি এবং সাবধানে ফলাফলটি লিখি:
(এক্স 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
এটাই.
উত্তর: y" = 3x 2
2. x = 0 বিন্দুতে y = sinx ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন।
এই কাজের মানে হল যে আপনাকে প্রথমে সাইনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপর মানটি প্রতিস্থাপন করতে হবে x = 0এই একই ডেরিভেটিভ মধ্যে. ঠিক সেই ক্রমে!অন্যথায়, এটি ঘটে যে তারা অবিলম্বে মূল ফাংশনে শূন্যকে প্রতিস্থাপন করে... আমাদের মূল ফাংশনের মান নয়, কিন্তু মান খুঁজে পেতে বলা হয় এর ডেরিভেটিভডেরিভেটিভ, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই, একটি নতুন ফাংশন।
ট্যাবলেট ব্যবহার করে আমরা সাইন এবং সংশ্লিষ্ট ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
y" = (sin x)" = cosx
আমরা ডেরিভেটিভের মধ্যে শূন্য প্রতিস্থাপন করি:
y"(0) = cos 0 = 1
এই উত্তর হবে.
3. ফাংশন পার্থক্য:
কি, এটা কি অনুপ্রাণিত করে?) ডেরিভেটিভের টেবিলে এমন কোন ফাংশন নেই।
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে একটি ফাংশনকে আলাদা করার জন্য এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা। আপনি যদি প্রাথমিক ত্রিকোণমিতি ভুলে যান, আমাদের ফাংশনের ডেরিভেটিভ খোঁজা বেশ ঝামেলার। টেবিল সাহায্য করে না ...
কিন্তু যদি আমরা দেখি যে আমাদের ফাংশন ডবল কোণ কোসাইন, তারপর সবকিছু এখনই ভালো হয়ে যায়!
হ্যা হ্যা! মনে রাখবেন যে মূল ফাংশন রূপান্তর পার্থক্য করার আগেবেশ গ্রহণযোগ্য! এবং এটি জীবনকে অনেক সহজ করে তোলে। ডবল অ্যাঙ্গেল কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে:
সেগুলো. আমাদের চতুর ফাংশন এর চেয়ে বেশি কিছু নয় y = cosx. এবং এটি একটি টেবিল ফাংশন. আমরা অবিলম্বে পেতে:
উত্তর: y" = - পাপ x.
উন্নত স্নাতক এবং ছাত্রদের জন্য উদাহরণ:
4. ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:
ডেরিভেটিভ টেবিলে এই ধরনের কোন ফাংশন নেই, অবশ্যই। কিন্তু যদি আপনি প্রাথমিক গণিত, ক্ষমতা সহ ক্রিয়াকলাপগুলি মনে রাখেন... তাহলে এই ফাংশনটি সহজ করা বেশ সম্ভব। এটার মত:
এবং x এর এক দশমাংশের শক্তি ইতিমধ্যেই একটি ট্যাবুলার ফাংশন! তৃতীয় গ্রুপ, n=1/10। আমরা সূত্র অনুযায়ী সরাসরি লিখি:
এখানেই শেষ. এই উত্তর হবে.
আমি আশা করি যে পার্থক্যের প্রথম স্তম্ভ - ডেরিভেটিভের টেবিলের সাথে সবকিছু পরিষ্কার। এটি দুটি অবশিষ্ট তিমি মোকাবেলা অবশেষ. পরবর্তী পাঠে আমরা পার্থক্যের নিয়ম শিখব।
প্রথম ধাপ
একটি পাহাড়ি এলাকার মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সোজা রাস্তা কল্পনা করা যাক। অর্থাৎ, এটি উপরে এবং নীচে যায়, কিন্তু ডান বা বামে যায় না। যদি অক্ষটি রাস্তা বরাবর অনুভূমিকভাবে এবং উল্লম্বভাবে নির্দেশিত হয়, তাহলে রাস্তার লাইন কিছু একটানা ফাংশনের গ্রাফের সাথে খুব মিল হবে:
অক্ষ হল শূন্য উচ্চতার একটি নির্দিষ্ট স্তর; জীবনে আমরা সমুদ্রপৃষ্ঠকে এটি হিসাবে ব্যবহার করি।
এরকম রাস্তা ধরে সামনের দিকে এগিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে আমরাও উপরে বা নিচে চলে যাই। আমরা আরও বলতে পারি: যখন যুক্তি পরিবর্তিত হয় (অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর আন্দোলন), ফাংশনের মান পরিবর্তিত হয় (অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর আন্দোলন)। এখন চিন্তা করা যাক কিভাবে আমাদের রাস্তার "খাড়াতা" নির্ধারণ করা যায়? এই মান কি ধরনের হতে পারে? এটি খুব সহজ: একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব এগিয়ে যাওয়ার সময় উচ্চতা কতটা পরিবর্তিত হবে। প্রকৃতপক্ষে, রাস্তার বিভিন্ন অংশে, এক কিলোমিটার এগিয়ে (এক্স-অক্ষ বরাবর) এগিয়ে গেলে, আমরা উপরে উঠব বা পড়ে যাব বিভিন্ন পরিমাণসমুদ্রপৃষ্ঠের সাপেক্ষে মিটার (অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর)।
আসুন অগ্রগতি বোঝাই ("ডেল্টা এক্স" পড়ুন)।
গ্রীক অক্ষর (ডেল্টা) সাধারণত গণিতে একটি উপসর্গ হিসাবে ব্যবহৃত হয় যার অর্থ "পরিবর্তন"। অর্থাৎ - এটি পরিমাণে একটি পরিবর্তন, - একটি পরিবর্তন; তাহলে এটা কি? এটা ঠিক, মাত্রার পরিবর্তন।
গুরুত্বপূর্ণ: একটি অভিব্যক্তি একটি একক সমগ্র, একটি পরিবর্তনশীল। কখনই "ডেল্টা" কে "x" বা অন্য কোন অক্ষর থেকে আলাদা করবেন না! যে, উদাহরণস্বরূপ, .
সুতরাং, আমরা এগিয়ে চলেছি, অনুভূমিকভাবে, দ্বারা. আমরা যদি ফাংশনের গ্রাফের সাথে রাস্তার রেখার তুলনা করি, তাহলে কীভাবে আমরা উত্থান বোঝাব? অবশ্যই, . অর্থাৎ আমরা যতই এগিয়ে যাই, ততই আমরা উপরে উঠি।
মানটি গণনা করা সহজ: যদি শুরুতে আমরা উচ্চতায় ছিলাম, এবং সরানোর পরে আমরা নিজেকে একটি উচ্চতায় খুঁজে পাই। যদি শেষ বিন্দুটি প্রারম্ভিক বিন্দুর চেয়ে কম হয় তবে এটি ঋণাত্মক হবে - এর মানে হল যে আমরা আরোহী নয়, বরং অবরোহ করছি।
আসুন "খাড়া" এ ফিরে আসি: এটি এমন একটি মান যা দেখায় যে দূরত্বের এক একক এগিয়ে যাওয়ার সময় উচ্চতা কতটা (খাড়াভাবে) বৃদ্ধি পায়:
আমরা ধরে নিই যে রাস্তার কিছু অংশে, এক কিলোমিটার এগিয়ে গেলে, রাস্তাটি এক কিলোমিটার উপরে উঠে যায়। তাহলে এই স্থানে ঢাল সমান। এবং যদি রাস্তা, m দ্বারা এগিয়ে যাওয়ার সময়, কিমি দ্বারা নেমে যায়? তারপর ঢাল সমান।
এবার একটা পাহাড়ের চূড়া দেখি। আপনি যদি সেকশনের শুরুতে শিখর থেকে আধা কিলোমিটার আগে এবং শেষের অর্ধ কিলোমিটার পরে নেন, আপনি দেখতে পাবেন যে উচ্চতা প্রায় একই।
অর্থাৎ, আমাদের যুক্তি অনুসারে, দেখা যাচ্ছে যে এখানে ঢাল প্রায় শূন্যের সমান, যা স্পষ্টতই সত্য নয়। মাত্র এক কিলোমিটার দূরত্বে অনেক কিছু বদলে যেতে পারে। খাড়াতার আরও পর্যাপ্ত এবং সঠিক মূল্যায়নের জন্য ছোট এলাকা বিবেচনা করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি এক মিটার সরানোর সাথে সাথে উচ্চতার পরিবর্তন পরিমাপ করেন, ফলাফলটি অনেক বেশি সঠিক হবে। কিন্তু এমনকি এই নির্ভুলতা আমাদের জন্য যথেষ্ট নাও হতে পারে - সর্বোপরি, যদি রাস্তার মাঝখানে একটি খুঁটি থাকে তবে আমরা সহজেই এটি অতিক্রম করতে পারি। তাহলে আমাদের কি দূরত্ব বেছে নেওয়া উচিত? সেন্টিমিটার? মিলিমিটার? কম হলে ভালো!
ভিতরে বাস্তব জীবননিকটতম মিলিমিটারের দূরত্ব পরিমাপ করা যথেষ্ট। কিন্তু গণিতবিদরা সবসময় পরিপূর্ণতার জন্য চেষ্টা করেন। অতএব, ধারণাটি উদ্ভাবিত হয়েছিল অসীম, অর্থাৎ, পরম মান আমরা নাম দিতে পারি এমন যেকোনো সংখ্যার চেয়ে কম। উদাহরণস্বরূপ, আপনি বলছেন: এক ট্রিলিয়নতম! কত কম? এবং আপনি এই সংখ্যাটি দ্বারা ভাগ করুন - এবং এটি আরও কম হবে। ইত্যাদি। যদি আমরা লিখতে চাই যে একটি পরিমাণ অসীম, আমরা এইভাবে লিখি: (আমরা পড়ি "x শূন্যের দিকে ঝোঁক")। এটা বোঝা খুবই জরুরী যে এই সংখ্যা শূন্য নয়!তবে এর খুব কাছাকাছি। এর মানে হল যে আপনি এটি দ্বারা ভাগ করতে পারেন।
infinitesimal এর বিপরীত ধারণাটি অসীমভাবে বড় ()। আপনি যখন অসমতা নিয়ে কাজ করছেন তখন আপনি সম্ভবত ইতিমধ্যেই এটি দেখেছেন: এই সংখ্যাটি আপনি যে সংখ্যার কথা ভাবতে পারেন তার থেকেও বড়। আপনি যদি সম্ভাব্য সবচেয়ে বড় সংখ্যা নিয়ে আসেন, তবে এটিকে দুই দ্বারা গুণ করুন এবং আপনি একটি আরও বড় সংখ্যা পাবেন। এবং অনন্ত যা ঘটে তার চেয়েও বড়। প্রকৃতপক্ষে, অসীম বড় এবং অসীমভাবে ছোট একে অপরের বিপরীত, অর্থাৎ at, এবং বিপরীতভাবে: at।
এখন আমাদের রাস্তায় ফিরে আসা যাক. আদর্শভাবে গণনা করা ঢাল হল পথের একটি অসীম অংশের জন্য গণনা করা ঢাল, অর্থাৎ:
আমি লক্ষ্য করি যে অসীম স্থানচ্যুতির সাথে, উচ্চতার পরিবর্তনও অসীম হবে। কিন্তু আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে অসীম মানে শূন্যের সমান নয়। আপনি যদি অসীম সংখ্যাগুলিকে একে অপরের দ্বারা ভাগ করেন তবে আপনি বেশ কিছু পেতে পারেন নিয়মিত সংখ্যা, উদাহরণ স্বরূপ, . অর্থাৎ, একটি ছোট মান অন্যটির চেয়ে অনেক গুণ বড় হতে পারে।
এই সব কি জন্য? রাস্তা, খাড়াতা... আমরা গাড়ির সমাবেশে যাচ্ছি না, কিন্তু আমরা গণিত শেখাচ্ছি। এবং গণিতে সবকিছু ঠিক একই, শুধুমাত্র ভিন্নভাবে বলা হয়।
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল আর্গুমেন্টের অসীম বৃদ্ধির জন্য আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাত।
ক্রমবর্ধমানগণিতে তারা পরিবর্তন বলে। আর্গুমেন্ট () অক্ষ বরাবর চলার সাথে সাথে যে পরিমাণে পরিবর্তিত হয় তাকে বলা হয় যুক্তি বৃদ্ধিঅক্ষ বরাবর দূরত্বে এগিয়ে যাওয়ার সময় ফাংশন (উচ্চতা) কতটা পরিবর্তিত হয়েছে তাকে বলা হয় ফাংশন বৃদ্ধিএবং মনোনীত করা হয়।
সুতরাং, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল কখন অনুপাত। আমরা ডেরিভেটিভকে ফাংশনের মতো একই অক্ষর দিয়ে বোঝাই, শুধুমাত্র উপরের ডানদিকে একটি প্রাইম দিয়ে: বা সহজভাবে। সুতরাং, আসুন এই স্বরলিপি ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ সূত্র লিখি:
রাস্তার সাথে সাদৃশ্য হিসাবে, এখানে যখন ফাংশন বৃদ্ধি পায়, তখন ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক হয় এবং যখন এটি হ্রাস পায় তখন এটি ঋণাত্মক হয়।
ডেরিভেটিভ কি শূন্যের সমান হতে পারে? অবশ্যই. উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি সমতল অনুভূমিক রাস্তায় গাড়ি চালাই, তাহলে খাড়াতা শূন্য। এবং এটা সত্য, উচ্চতা মোটেও পরিবর্তন হয় না। সুতরাং এটি ডেরিভেটিভের সাথে: একটি ধ্রুবক ফাংশনের ডেরিভেটিভ (ধ্রুবক) শূন্যের সমান:
যেহেতু এই ধরনের একটি ফাংশনের বৃদ্ধি যে কোনোটির জন্য শূন্যের সমান।
পাহাড় চূড়া উদাহরণ মনে রাখা যাক. দেখা গেল যে সেগমেন্টের প্রান্তগুলি বরাবর সাজানো সম্ভব ছিল বিভিন্ন পক্ষউপরে থেকে, যাতে প্রান্তের উচ্চতা একই থাকে, অর্থাৎ, অংশটি অক্ষের সমান্তরাল হয়:
কিন্তু বড় অংশগুলি ভুল পরিমাপের একটি চিহ্ন। আমরা আমাদের সেগমেন্টকে নিজের সাথে সমান্তরাল করে তুলব, তারপর এর দৈর্ঘ্য কমবে।
অবশেষে, যখন আমরা শীর্ষের অসীম কাছাকাছি থাকি, সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য অসীম হয়ে যাবে। তবে একই সময়ে, এটি অক্ষের সমান্তরাল রয়ে গেছে, অর্থাৎ, এর প্রান্তে উচ্চতার পার্থক্য শূন্যের সমান (এটি প্রবণতা নয়, তবে সমান)। তাই ডেরিভেটিভ
এটি এইভাবে বোঝা যায়: যখন আমরা একেবারে শীর্ষে দাঁড়াই, তখন বাম বা ডান দিকে একটি ছোট শিফট আমাদের উচ্চতাকে নগণ্যভাবে পরিবর্তন করে।
একটি বিশুদ্ধভাবে বীজগণিত ব্যাখ্যাও রয়েছে: শীর্ষবিন্দুর বাম দিকে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং ডানদিকে এটি হ্রাস পায়। আমরা আগেই জেনেছি, যখন একটি ফাংশন বৃদ্ধি পায়, তখন ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক হয় এবং যখন এটি হ্রাস পায় তখন এটি ঋণাত্মক হয়। তবে এটি মসৃণভাবে পরিবর্তিত হয়, লাফ ছাড়াই (যেহেতু রাস্তাটি কোথাও তার ঢাল তীব্রভাবে পরিবর্তন করে না)। অতএব, নেতিবাচক এবং ইতিবাচক মানগুলির মধ্যে থাকা আবশ্যক। এটি হবে যেখানে ফাংশনটি বাড়ে না বা কমবে না - শীর্ষবিন্দুতে।
খাদের ক্ষেত্রেও একই কথা সত্য (যে অংশে বাম দিকের ফাংশন হ্রাস পায় এবং ডানদিকে বৃদ্ধি পায়):
ইনক্রিমেন্ট সম্পর্কে একটু বেশি।
তাই আমরা আর্গুমেন্টকে ম্যাগনিটিউডে পরিবর্তন করি। আমরা কি মূল্য থেকে পরিবর্তন? এটা (তর্ক) এখন কি পরিণত হয়েছে? আমরা যে কোনও পয়েন্ট বেছে নিতে পারি এবং এখন আমরা এটি থেকে নাচব।
একটি স্থানাঙ্ক সঙ্গে একটি বিন্দু বিবেচনা করুন. এতে ফাংশনের মান সমান। তারপরে আমরা একই বৃদ্ধি করি: আমরা স্থানাঙ্ক বাড়াই। এখন যুক্তি কি? খুব সহজ: . এখন ফাংশনের মান কত? যুক্তি যেখানে যায়, ফাংশনটিও তাই করে: . ফাংশন বৃদ্ধি সম্পর্কে কি? নতুন কিছু নেই: এটি এখনও সেই পরিমাণ যা দ্বারা ফাংশনটি পরিবর্তিত হয়েছে:
ইনক্রিমেন্ট খোঁজার অনুশীলন করুন:
সমাধান:
একই আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট সহ বিভিন্ন পয়েন্টে, ফাংশন ইনক্রিমেন্ট ভিন্ন হবে। এর মানে হল যে প্রতিটি পয়েন্টে ডেরিভেটিভ আলাদা (আমরা এটি একেবারে শুরুতে আলোচনা করেছি - রাস্তার খাড়াতা বিভিন্ন পয়েন্টে ভিন্ন)। অতএব, যখন আমরা একটি ডেরিভেটিভ লিখি, তখন আমাদের অবশ্যই কোন বিন্দুতে নির্দেশ করতে হবে:
একটি পাওয়ার ফাংশন একটি ফাংশন যেখানে যুক্তি কিছু মাত্রায় (যৌক্তিক, ঠিক?)
তদুপরি - যে কোনও পরিমাণে: .
সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে যখন সূচকটি হয়:
আসুন একটি বিন্দুতে এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। আসুন একটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটি স্মরণ করি:
তাই যুক্তি থেকে পরিবর্তিত হয়. ফাংশন বৃদ্ধি কি?
বৃদ্ধি এই. কিন্তু যে কোনো সময়ে একটি ফাংশন তার যুক্তির সমান। এই জন্য:
ডেরিভেটিভ এর সমান:
এর ডেরিভেটিভ সমান:
খ) এখন বিবেচনা করুন দ্বিঘাত ফাংশন (): .
এখন মনে রাখা যাক. এর মানে হল যে বৃদ্ধির মান উপেক্ষা করা যেতে পারে, যেহেতু এটি অসীম, এবং তাই অন্য পদের পটভূমির বিপরীতে নগণ্য:
সুতরাং, আমরা আরেকটি নিয়ম নিয়ে এসেছি:
গ) আমরা লজিক্যাল সিরিজ চালিয়ে যাচ্ছি: .
এই অভিব্যক্তিটি বিভিন্ন উপায়ে সরলীকৃত করা যেতে পারে: যোগফলের ঘনক্ষেত্রের সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রটি ব্যবহার করে প্রথম বন্ধনীটি খুলুন, বা ঘনক সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে সমগ্র অভিব্যক্তিটিকে ফ্যাক্টরাইজ করুন। প্রস্তাবিত পদ্ধতিগুলির যেকোনো একটি ব্যবহার করে এটি নিজে করার চেষ্টা করুন।
সুতরাং, আমি নিম্নলিখিত পেয়েছি:
এবং আবার এর যে মনে রাখা যাক. এর মানে হল যে আমরা সমস্ত শর্তাবলীকে উপেক্ষা করতে পারি:
আমরা পেতে: .
ঘ) বৃহৎ ক্ষমতার জন্য অনুরূপ নিয়ম প্রাপ্ত করা যেতে পারে:
e) দেখা যাচ্ছে যে এই নিয়মটি একটি ইচ্ছামত সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, এমনকি একটি পূর্ণসংখ্যাও নয়:
| (2) |
নিয়মটি এই শব্দগুলিতে প্রণয়ন করা যেতে পারে: "ডিগ্রীটি একটি সহগ হিসাবে এগিয়ে আনা হয় এবং তারপরে হ্রাস করা হয়।"
আমরা এই নিয়মটি পরে প্রমাণ করব (প্রায় শেষের দিকে)। এখন কয়েকটি উদাহরণ দেখা যাক। ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ খুঁজুন:
যদি এই মুহুর্তে এটি আবার অস্পষ্ট হয়ে যায়, তবে বিষয়টি পুনরাবৃত্তি করুন ""!!! (একটি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি ডিগ্রী সম্পর্কে)
এবং এখন সংজ্ঞার মাধ্যমে (আপনি কি এখনও ভুলে গেছেন?):
;
.
এখন, যথারীতি, আমরা সম্বলিত শব্দটিকে অবহেলা করি:
.
এখানে আমরা উচ্চতর গণিত থেকে একটি সত্য ব্যবহার করব:
অভিব্যক্তি সহ।
আপনি ইনস্টিটিউটের প্রথম বছরে প্রমাণ শিখবেন (এবং সেখানে যেতে, আপনাকে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা ভালভাবে পাস করতে হবে)। এখন আমি এটিকে গ্রাফিকভাবে দেখাব:
আমরা দেখি যে যখন ফাংশনটি বিদ্যমান থাকে না - গ্রাফের বিন্দুটি কেটে যায়। কিন্তু মানের যত কাছাকাছি, ফাংশনটি তত কাছাকাছি। এটি "লক্ষ্য"।
উপরন্তু, আপনি একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এই নিয়মটি পরীক্ষা করতে পারেন। হ্যাঁ, হ্যাঁ, লাজুক হবেন না, একটি ক্যালকুলেটর নিন, আমরা এখনও ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় নেই।
অতএব, চল আমরা চেষ্টা করি: ;
আপনার ক্যালকুলেটরটি রেডিয়ান মোডে স্যুইচ করতে ভুলবেন না!
ইত্যাদি আমরা দেখতে পাই যে অনুপাতের মান যত ছোট হবে তত কাছাকাছি।
ক) ফাংশন বিবেচনা করুন। যথারীতি, আসুন এটির বৃদ্ধি খুঁজে বের করি:
সাইনের পার্থক্যকে একটি পণ্যে পরিণত করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি (বিষয়টি "" মনে রাখবেন): .
এখন ডেরিভেটিভ:
এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক: . তারপর অসীম জন্য এটি অসীমও: . এর অভিব্যক্তিটি ফর্ম নেয়:
এবং এখন আমরা অভিব্যক্তি সঙ্গে যে মনে রাখবেন. এবং এছাড়াও, যদি একটি অসীম পরিমাণকে সমষ্টিতে (অর্থাৎ, এ) উপেক্ষা করা যায় তাহলে কী হবে।
সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত নিয়ম পেতে: সাইনের ডেরিভেটিভ কোসাইন এর সমান:
এগুলি মৌলিক ("টেবুলার") ডেরিভেটিভ। এখানে তারা একটি তালিকায় রয়েছে:
পরে আমরা তাদের সাথে আরও কয়েকটি যোগ করব, তবে এগুলি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।
অনুশীলন করা:
সমাধান:
ঠিক আছে, আপনি ঠিক বলেছেন, আমরা এখনও জানি না কিভাবে এই ধরনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়। এখানে আমাদের বিভিন্ন ধরণের ফাংশনের সংমিশ্রণ রয়েছে। তাদের সাথে কাজ করার জন্য, আপনাকে আরও কয়েকটি নিয়ম শিখতে হবে:
গণিতে একটি ফাংশন আছে যার যেকোনো মানের জন্য ডেরিভেটিভ একই সময়ে ফাংশনের মানের সমান। এটাকে বলা হয় "সূচক" এবং এটি একটি সূচকীয় ফাংশন
এই ফাংশনের ভিত্তি একটি ধ্রুবক - এটি অসীম দশমিক, অর্থাৎ, একটি অমূলদ সংখ্যা (যেমন)। এটিকে "অয়লার সংখ্যা" বলা হয়, তাই এটি একটি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
সুতরাং, নিয়ম:
মনে রাখা খুব সহজ.
ঠিক আছে, চলুন দূরে না যাই, অবিলম্বে বিপরীত ফাংশন বিবেচনা করা যাক। কোন ফাংশন এর বিপরীত ব্যাখ্যামূলক কাজ? লগারিদম:
আমাদের ক্ষেত্রে, ভিত্তি হল সংখ্যা:
এই ধরনের লগারিদম (অর্থাৎ, একটি বেস সহ একটি লগারিদম) বলা হয় "প্রাকৃতিক" এবং আমরা এটির জন্য একটি বিশেষ স্বরলিপি ব্যবহার করি: আমরা পরিবর্তে লিখি।
এটা কি সমান? অবশ্যই, .
প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভও খুব সহজ:
উদাহরণ:
উত্তর: প্রদর্শক এবং প্রাকৃতিক লগারিদম- ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে ফাংশনগুলি অনন্যভাবে সহজ। অন্য কোন বেসের সাথে সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনগুলির একটি আলাদা ডেরিভেটিভ থাকবে, যা আমরা পার্থক্যের নিয়মগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে পরে বিশ্লেষণ করব।
কিসের নিয়ম? আবার নতুন শব্দআবার?!...
পৃথকীকরণডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া।
এখানেই শেষ. এই প্রক্রিয়াটিকে এক কথায় আর কী বলা যায়? ডেরিভেটিভ নয়... গণিতবিদগণ ডিফারেনশিয়ালকে একটি ফাংশনের একই বৃদ্ধি বলে। এই শব্দটি ল্যাটিন ডিফারেন্সিয়া - পার্থক্য থেকে এসেছে। এখানে.
এই সমস্ত নিয়ম প্রাপ্ত করার সময়, আমরা দুটি ফাংশন ব্যবহার করব, উদাহরণস্বরূপ, এবং. তাদের বৃদ্ধির জন্যও আমাদের সূত্রের প্রয়োজন হবে:
মোট 5 টি নিয়ম আছে।
যদি - কিছু ধ্রুবক সংখ্যা (ধ্রুবক), তারপর।
স্পষ্টতই, এই নিয়মটি পার্থক্যের জন্যও কাজ করে: .
এটা প্রমাণ করা যাক. এটা হতে দিন, বা সহজ.
উদাহরণ।
ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন:
সমাধান:
এখানে সবকিছু একই রকম: আসুন প্রবেশ করি নতুন বৈশিষ্ট্যএবং এর বৃদ্ধি খুঁজুন:
অমৌলিক:
উদাহরণ:
সমাধান:
এখন আপনার জ্ঞান যে কোন সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে শিখতে যথেষ্ট, এবং শুধুমাত্র সূচক নয় (আপনি কি এখনও এটি ভুলে গেছেন?)।
সুতরাং, যেখানে কিছু সংখ্যা.
আমরা ইতিমধ্যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ জানি, তাই আসুন আমাদের ফাংশনটিকে একটি নতুন বেসে কমানোর চেষ্টা করি:
এর জন্য আমরা ব্যবহার করব সহজ নিয়ম: তারপর:
ওয়েল, এটা কাজ. এখন ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন, এবং ভুলে যাবেন না যে এই ফাংশনটি জটিল।
ঘটেছিলো?
এখানে, নিজেকে পরীক্ষা করুন:
সূত্রটি একটি সূচকের ডেরিভেটিভের সাথে খুব মিল ছিল: এটি যেমন ছিল, এটি একই রয়ে গেছে, শুধুমাত্র একটি ফ্যাক্টর উপস্থিত হয়েছে, যা শুধুমাত্র একটি সংখ্যা, কিন্তু একটি পরিবর্তনশীল নয়।
উদাহরণ:
ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন:
উত্তর:
এটি এমন একটি সংখ্যা যা ক্যালকুলেটর ছাড়া গণনা করা যায় না, অর্থাৎ, এটি আর লেখা যাবে না সহজ আকারে. অতএব, আমরা উত্তরে এই ফর্মে এটি রেখেছি।
এটি এখানে অনুরূপ: আপনি ইতিমধ্যে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ জানেন:
অতএব, একটি ভিন্ন বেস সহ একটি নির্বিচারী লগারিদম খুঁজে বের করতে, উদাহরণস্বরূপ:
আমাদের এই লগারিদমকে বেসে কমাতে হবে। আপনি কিভাবে লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন করবেন? আমি আশা করি আপনি এই সূত্রটি মনে রাখবেন:
শুধুমাত্র এখন আমরা পরিবর্তে লিখব:
হরটি কেবল একটি ধ্রুবক (একটি ধ্রুবক সংখ্যা, একটি পরিবর্তনশীল ছাড়া)। ডেরিভেটিভ খুব সহজভাবে প্রাপ্ত হয়:
ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি প্রায় কখনও পাওয়া যায় না, তবে সেগুলি জানার জন্য অতিরিক্ত কিছু হবে না।
একটি "জটিল ফাংশন" কি? না, এটি একটি লগারিদম নয়, এবং একটি আর্কটেনজেন্ট নয়৷ এই ফাংশনগুলি বোঝা কঠিন হতে পারে (যদিও আপনি যদি লগারিদমটি কঠিন মনে করেন তবে "লগারিদম" বিষয়টি পড়ুন এবং আপনি ভাল হবেন), তবে গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, "জটিল" শব্দের অর্থ "কঠিন" নয়।
একটি ছোট পরিবাহক বেল্ট কল্পনা করুন: দুই ব্যক্তি বসে আছে এবং কিছু বস্তুর সাথে কিছু কাজ করছে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি একটি র্যাপারে একটি চকোলেট বার মোড়ানো, এবং দ্বিতীয়টি এটি একটি ফিতা দিয়ে বাঁধে। ফলাফল হল একটি যৌগিক বস্তু: একটি চকলেট বার মোড়ানো এবং একটি ফিতা দিয়ে বাঁধা। একটি চকলেট বার খেতে, আপনাকে বিপরীত পদক্ষেপগুলি করতে হবে বিপরীত ক্রম.
আসুন একটি অনুরূপ গাণিতিক পাইপলাইন তৈরি করি: প্রথমে আমরা একটি সংখ্যার কোসাইন খুঁজে বের করব, এবং তারপর ফলাফলের সংখ্যাটিকে বর্গক্ষেত্র করব। সুতরাং, আমাদের একটি সংখ্যা (চকলেট) দেওয়া হয়, আমি এর কোসাইন (র্যাপার) খুঁজে পাই এবং তারপরে আমি যা পেয়েছি তা আপনি বর্গাকার করেন (এটি একটি ফিতা দিয়ে বেঁধে)। কি হলো? ফাংশন। এটি একটি জটিল ফাংশনের একটি উদাহরণ: যখন, এর মান খুঁজে বের করার জন্য, আমরা ভেরিয়েবলের সাথে সরাসরি প্রথম অ্যাকশনটি সঞ্চালন করি এবং তারপর প্রথমটির ফলাফলের সাথে একটি দ্বিতীয় ক্রিয়া সম্পাদন করি।
আমরা সহজেই বিপরীত ক্রমে একই পদক্ষেপগুলি করতে পারি: প্রথমে আপনি এটিকে বর্গ করুন, এবং তারপর আমি ফলাফলের সংখ্যার কোসাইনটি সন্ধান করব:। এটা অনুমান করা সহজ যে ফলাফল প্রায় সবসময় ভিন্ন হবে। গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যজটিল ফাংশন: যখন কর্মের ক্রম পরিবর্তিত হয়, ফাংশন পরিবর্তিত হয়।
অন্য কথায়, একটি জটিল ফাংশন হল একটি ফাংশন যার আর্গুমেন্ট অন্য ফাংশন: .
প্রথম উদাহরণের জন্য, .
দ্বিতীয় উদাহরণ: (একই জিনিস)। .
আমরা শেষ যে ক্রিয়াটি করি তাকে বলা হবে "বাহ্যিক" ফাংশন, এবং কর্ম প্রথম সঞ্চালিত - সেই অনুযায়ী "অভ্যন্তরীণ" ফাংশন(এগুলি অনানুষ্ঠানিক নাম, আমি কেবল সহজ ভাষায় উপাদান ব্যাখ্যা করার জন্য এগুলি ব্যবহার করি)।
কোন ফাংশনটি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ তা নিজের জন্য নির্ধারণ করার চেষ্টা করুন:
উত্তর:অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ফাংশনগুলিকে আলাদা করা ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের অনুরূপ: উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনে
আমরা ভেরিয়েবল পরিবর্তন করি এবং একটি ফাংশন পাই।
ঠিক আছে, এখন আমরা আমাদের চকোলেট বার বের করব এবং ডেরিভেটিভের সন্ধান করব। পদ্ধতিটি সর্বদা বিপরীত হয়: প্রথমে আমরা বাইরের ফাংশনের ডেরিভেটিভের সন্ধান করি, তারপর আমরা অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বারা ফলাফলকে গুণ করি। মূল উদাহরণের সাথে, এটি এইরকম দেখায়:
আরেকটি উদাহরণ:
সুতরাং, অবশেষে অফিসিয়াল নিয়ম প্রণয়ন করা যাক:
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:
এটা সহজ মনে হচ্ছে, তাই না?
আসুন উদাহরণ সহ পরীক্ষা করা যাক:
সমাধান:
1) অভ্যন্তরীণ: ;
বাহ্যিক: ;
2) অভ্যন্তরীণ: ;
(এখনই এটি কাটার চেষ্টা করবেন না! কোসাইনের নীচে থেকে কিছুই বের হয় না, মনে আছে?)
3) অভ্যন্তরীণ: ;
বাহ্যিক: ;
এটি অবিলম্বে স্পষ্ট যে এটি একটি তিন-স্তরের জটিল ফাংশন: সর্বোপরি, এটি ইতিমধ্যেই নিজেই একটি জটিল ফাংশন, এবং আমরা এটি থেকে মূলও বের করি, অর্থাৎ, আমরা তৃতীয় ক্রিয়া সম্পাদন করি (আমরা চকোলেটটি একটি মোড়ক এবং ব্রিফকেসে একটি ফিতা সহ)। তবে ভয় পাওয়ার কোন কারণ নেই: আমরা এখনও এই ফাংশনটিকে যথারীতি একই ক্রমে "আনপ্যাক" করব: শেষ থেকে।
অর্থাৎ, প্রথমে আমরা রুটকে আলাদা করি, তারপর কোসাইন, এবং শুধুমাত্র তারপর বন্ধনীতে প্রকাশ করি। এবং তারপর আমরা এটি সব গুণ.
এই ধরনের ক্ষেত্রে, কর্ম সংখ্যা করা সুবিধাজনক। অর্থাৎ, আসুন আমরা যা জানি তা কল্পনা করি। এই অভিব্যক্তির মান গণনা করার জন্য আমরা কোন ক্রমে কাজ করব? আসুন একটি উদাহরণ দেখি:
ক্রিয়াটি যত পরে সঞ্চালিত হবে, তত বেশি "বাহ্যিক" সংশ্লিষ্ট ফাংশন হবে। কর্মের ক্রম আগের মত একই:
এখানে বাসা সাধারণত 4-স্তরের হয়। এর কর্মের কোর্স নির্ধারণ করা যাক.
1. আমূল অভিব্যক্তি। .
2. মূল। .
3. সাইন। .
4. বর্গক্ষেত্র। .
5. সব একসাথে রাখা:
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ- আর্গুমেন্টের অসীম বৃদ্ধির জন্য আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাত:
মৌলিক ডেরিভেটিভস:
পার্থক্য করার নিয়ম:
ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে নেওয়া হয়:
যোগফলের ডেরিভেটিভ:
পণ্যের ডেরিভেটিভ:
ভাগফলের ডেরিভেটিভ:
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ:
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:
সংজ্ঞা।ফাংশন \(y = f(x)\) বিন্দু \(x_0\) ধারণকারী একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা যাক। আসুন আর্গুমেন্টটিকে একটি ইনক্রিমেন্ট \(\Delta x \) দিন যাতে এটি এই ব্যবধানটি ছেড়ে না যায়। চলুন ফাংশনের অনুরূপ বৃদ্ধি খুঁজে বের করি \(\Delta y \) (যখন বিন্দু \(x_0 \) থেকে বিন্দুতে চলে যায় \(x_0 + \Delta x \)) এবং সম্পর্ক রচনা করি \(\frac(\Delta) y)(\ডেল্টা x) \)। যদি এই অনুপাতের একটি সীমা থাকে \(\Delta x \rightarrow 0\), তাহলে নির্দিষ্ট সীমা বলা হয় একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ\(y=f(x) \) বিন্দুতে \(x_0 \) এবং বোঝান \(f"(x_0) \)।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y চিহ্নটি প্রায়শই ডেরিভেটিভ বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। মনে রাখবেন যে y" = f(x) একটি নতুন ফাংশন, কিন্তু স্বাভাবিকভাবে ফাংশন y = f(x) এর সাথে সম্পর্কিত, যে সমস্ত পয়েন্টে x যেখানে উপরের সীমা বিদ্যমান। এই ফাংশন এই মত বলা হয়: ফাংশনের ডেরিভেটিভ y = f(x).
ডেরিভেটিভ এর জ্যামিতিক অর্থনিম্নরূপ. যদি y = f(x) ফাংশনের গ্রাফে abscissa x=a বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয়, যা y-অক্ষের সমান্তরাল নয়, তাহলে f(a) স্পর্শকের ঢাল প্রকাশ করে :
\(k = f"(a)\)
যেহেতু \(k = tg(a) \), তাহলে সমতা \(f"(a) = tan(a) \) সত্য।
এখন আনুমানিক সমতার দৃষ্টিকোণ থেকে ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করা যাক। ফাংশন \(y = f(x)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ডেরিভেটিভ থাকতে দিন \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
এর মানে হল x বিন্দুর কাছাকাছি আনুমানিক সমতা \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), অর্থাৎ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ডেল্টা x\)। ফলস্বরূপ আনুমানিক সমতার অর্থপূর্ণ অর্থ হল: ফাংশনের বৃদ্ধি আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে "প্রায় সমানুপাতিক" এবং আনুপাতিকতার সহগ হল একটি প্রদত্ত বিন্দু x-এ ডেরিভেটিভের মান। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের জন্য \(y = x^2\) আনুমানিক সমতা \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) বৈধ। যদি আমরা একটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটি যত্ন সহকারে বিশ্লেষণ করি তবে আমরা দেখতে পাব যে এটি খুঁজে পাওয়ার জন্য এটিতে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে।
এর প্রণয়ন করা যাক।
1. \(x\) এর মান ঠিক করুন, \(f(x)\) খুঁজুন
2. যুক্তি \(x\) একটি বৃদ্ধি দিন \(\Delta x\), যান নতুন পয়েন্ট\(x+ \Delta x \), খুঁজুন \(f(x+ \Delta x) \)
3. ফাংশনের বৃদ্ধি খুঁজুন: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. সম্পর্ক তৈরি করুন \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. গণনা করুন $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
এই সীমাটি x বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ।
যদি একটি ফাংশন y = f(x) একটি বিন্দু x-এ একটি ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে তাকে x বিন্দুতে ডিফারেনশিয়াবল বলে। y = f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ বের করার পদ্ধতিকে বলা হয় পৃথকীকরণফাংশন y = f(x)।
আসুন আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নটি আলোচনা করি: একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা এবং পার্থক্য কীভাবে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত?
y = f(x) ফাংশনটি x বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। তারপর M(x; f(x)) বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে একটি স্পর্শক আঁকতে পারে, এবং স্মরণ করুন, স্পর্শকটির কৌণিক সহগ f "(x) এর সমান। এই ধরনের একটি গ্রাফ "ব্রেক" করতে পারে না। M বিন্দুতে, অর্থাৎ ফাংশনটি বিন্দু x এ অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।
এই ছিল "হ্যান্ড অন" আর্গুমেন্ট. আসুন আরও কঠোর যুক্তি দেওয়া যাক। যদি x বিন্দুতে y = f(x) ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য হয়, তাহলে আনুমানিক সমতা \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ধরে। যদি এই সমতা \(\Delta x) থাকে \) শূন্যের দিকে ঝোঁক, তারপর \(\Delta y \) শূন্যের দিকে ঝোঁক, এবং এটি একটি বিন্দুতে ফাংশনের ধারাবাহিকতার শর্ত।
তাই, যদি একটি ফাংশন x বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য হয় তবে এটি সেই বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে.
বিপরীত বক্তব্য সত্য নয়। যেমন: ফাংশন y = |x| সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন, বিশেষ করে x = 0 বিন্দুতে, কিন্তু "জাংশন পয়েন্ট" (0; 0) এ ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক বিদ্যমান নেই। যদি কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক আঁকতে না পারে, তাহলে সেই বিন্দুতে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব থাকে না।
আরও একটি উদাহরণ। ফাংশন \(y=\sqrt(x)\) বিন্দু x = 0 সহ সমগ্র সংখ্যারেখায় অবিচ্ছিন্ন থাকে। এবং ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটি x = 0 বিন্দু সহ যেকোনো বিন্দুতে বিদ্যমান থাকে। কিন্তু এই সময়ে স্পর্শকটি y-অক্ষের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ, এটি অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে লম্ব, এর সমীকরণটির আকার x = 0 রয়েছে। ঢাল সহগএই ধরনের একটি লাইন নেই, যার মানে \(f"(0) \) এরও অস্তিত্ব নেই
সুতরাং, আমরা একটি ফাংশনের একটি নতুন বৈশিষ্ট্যের সাথে পরিচিত হয়েছি - পার্থক্য। কিভাবে একটি ফাংশনের গ্রাফ থেকে উপসংহারে আসতে পারে যে এটি পার্থক্যযোগ্য?
উত্তর আসলে উপরে দেওয়া হয়. যদি কোনো সময়ে অ্যাবসিসা অক্ষের লম্ব নয় এমন কোনো ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয়, তাহলে এই সময়ে ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য। যদি কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক বিদ্যমান না থাকে বা এটি অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে লম্ব হয়, তাহলে এই সময়ে ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য নয়।
ডেরিভেটিভ খোঁজার অপারেশন বলা হয় পৃথকীকরণ. এই ক্রিয়াকলাপটি সম্পাদন করার সময়, আপনাকে প্রায়শই ভাগফল, যোগফল, ফাংশনের পণ্যগুলির পাশাপাশি "ফাংশনের ফাংশন" অর্থাৎ জটিল ফাংশনগুলির সাথে কাজ করতে হবে। ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আমরা পার্থক্যের নিয়মগুলি বের করতে পারি যা এই কাজটিকে সহজ করে তোলে। যদি C একটি ধ্রুবক সংখ্যা হয় এবং f=f(x), g=g(x) কিছু পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হয়, তাহলে নিম্নলিখিতটি সত্য পার্থক্য নিয়ম:
যদি আপনি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করেন, তাহলে একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা Δ yআর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট Δ পর্যন্ত এক্স:
সবকিছু পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে। কিন্তু ফাংশনের ডেরিভেটিভ, বলুন, গণনা করতে এই সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করুন চ(এক্স) = এক্স 2 + (2এক্স+ 3) · e এক্সপাপ এক্স. আপনি যদি সংজ্ঞা অনুসারে সবকিছু করেন, তবে কয়েক পৃষ্ঠার গণনার পরে আপনি কেবল ঘুমিয়ে পড়বেন। অতএব, সহজ এবং আরো কার্যকর উপায় আছে.
শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে বিভিন্ন ধরণের ফাংশন থেকে আমরা তথাকথিত প্রাথমিক ফাংশনগুলিকে আলাদা করতে পারি। এগুলি তুলনামূলকভাবে সহজ অভিব্যক্তি, যার ডেরিভেটিভগুলি দীর্ঘকাল ধরে গণনা করা হয়েছে এবং সারণী করা হয়েছে। এই ধরনের ফাংশন মনে রাখা বেশ সহজ - তাদের ডেরিভেটিভ সহ।
প্রাথমিক ফাংশন নিচে তালিকাভুক্ত করা হয়. এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি অবশ্যই হৃদয় দ্বারা জানা উচিত। তদুপরি, তাদের মুখস্থ করা মোটেও কঠিন নয় - সেজন্যই তারা প্রাথমিক।
সুতরাং, প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ:
| নাম | ফাংশন | অমৌলিক |
| ধ্রুবক | চ(এক্স) = গ, গ ∈ আর | 0 (হ্যাঁ, শূন্য!) |
| যৌক্তিক সূচক সহ শক্তি | চ(এক্স) = এক্স n | n · এক্স n − 1 |
| সাইনাস | চ(এক্স) = পাপ এক্স | কারণ এক্স |
| কোসাইন | চ(এক্স) = cos এক্স | -পাপ এক্স(মাইনাস সাইন) |
| স্পর্শক | চ(এক্স) = tg এক্স | 1/cos 2 এক্স |
| কোট্যাঞ্জেন্ট | চ(এক্স) = ctg এক্স | − 1/পাপ 2 এক্স |
| প্রাকৃতিক লগারিদম | চ(এক্স) = লগ এক্স | 1/এক্স |
| নির্বিচারে লগারিদম | চ(এক্স) = লগ ক এক্স | 1/(এক্স ln ক) |
| ব্যাখ্যামূলক কাজ | চ(এক্স) = e এক্স | e এক্স(কিছুই পরিবর্তন হয়নি) |
যদি একটি প্রাথমিক ফাংশনকে একটি নির্বিচারে ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে নতুন ফাংশনের ডেরিভেটিভটিও সহজেই গণনা করা হয়:
(গ · চ)’ = গ · চ ’.
সাধারণভাবে, ধ্রুবকগুলিকে ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করে নেওয়া যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ:
(2এক্স 3)’ = 2 · ( এক্স৩)’ = ২ ৩ এক্স 2 = 6এক্স 2 .
স্পষ্টতই, প্রাথমিক ফাংশন একে অপরের সাথে যোগ করা যেতে পারে, গুণিত, বিভক্ত - এবং আরও অনেক কিছু। এইভাবে নতুন ফাংশন প্রদর্শিত হবে, আর বিশেষ করে প্রাথমিক নয়, তবে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে আলাদা করা হবে। এই নিয়মগুলি নীচে আলোচনা করা হল।
ফাংশন দেওয়া যাক চ(এক্স) এবং g(এক্স), যার ডেরিভেটিভগুলি আমাদের কাছে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, আপনি উপরে আলোচনা করা প্রাথমিক ফাংশন নিতে পারেন। তারপর আপনি এই ফাংশনগুলির যোগফল এবং পার্থক্যের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে পারেন:
সুতরাং, দুটি ফাংশনের যোগফলের (পার্থক্য) ডেরিভেটিভের সমষ্টির (পার্থক্য) সমান। আরও পদ থাকতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, ( চ + g + জ)’ = চ ’ + g ’ + জ ’.
কঠোরভাবে বলতে গেলে, বীজগণিতে "বিয়োগ" এর কোন ধারণা নেই। "নেতিবাচক উপাদান" এর একটি ধারণা আছে। তাই পার্থক্য চ − gযোগফল হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে চ+ (−1) g, এবং তারপরে শুধুমাত্র একটি সূত্র অবশিষ্ট থাকে - যোগফলের ডেরিভেটিভ।
চ(এক্স) = এক্স 2 + পাপ x; g(এক্স) = এক্স 4 + 2এক্স 2 − 3.
ফাংশন চ(এক্স) হল দুটি প্রাথমিক ফাংশনের যোগফল, তাই:
চ ’(এক্স) = (এক্স 2 + পাপ এক্স)’ = (এক্স 2)' + (পাপ এক্স)’ = 2এক্স+ cos x;
আমরা ফাংশন জন্য অনুরূপ কারণ g(এক্স) শুধুমাত্র ইতিমধ্যে তিনটি পদ আছে (বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে):
g ’(এক্স) = (এক্স 4 + 2এক্স 2 − 3)’ = (এক্স 4 + 2এক্স 2 + (−3))’ = (এক্স 4)’ + (2এক্স 2)’ + (−3)’ = 4এক্স 3 + 4এক্স + 0 = 4এক্স · ( এক্স 2 + 1).
উত্তর:
চ ’(এক্স) = 2এক্স+ cos x;
g ’(এক্স) = 4এক্স · ( এক্স
2 + 1).
গণিত একটি যৌক্তিক বিজ্ঞান, তাই অনেক লোক বিশ্বাস করে যে যদি একটি যোগফলের ডেরিভেটিভের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে পণ্যের ডেরিভেটিভ ধর্মঘট">ডেরিভেটিভের গুণফলের সমান। কিন্তু আপনি স্ক্রু করুন! একটি পণ্যের ডেরিভেটিভ একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়। যথা:
(চ · g) ’ = চ ’ · g + চ · g ’
সূত্রটি সহজ, তবে এটি প্রায়শই ভুলে যায়। এবং শুধুমাত্র স্কুলছাত্রীই নয়, ছাত্ররাও। ফলাফল ভুলভাবে সমাধান করা হয়.
টাস্ক। ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন: চ(এক্স) = এক্স 3 cos x; g(এক্স) = (এক্স 2 + 7এক্স− 7) · e এক্স .
ফাংশন চ(এক্স) হল দুটি প্রাথমিক ফাংশনের গুণফল, তাই সবকিছুই সহজ:
চ ’(এক্স) = (এক্স 3 কারণ এক্স)’ = (এক্স 3)' কারণ এক্স + এক্স 3 (কারণ এক্স)’ = 3এক্স 2 কারণ এক্স + এক্স 3 (- পাপ এক্স) = এক্স 2 (3cos এক্স − এক্সপাপ এক্স)
ফাংশন g(এক্স) প্রথম ফ্যাক্টরটি একটু বেশি জটিল, কিন্তু সাধারণ স্কিমএই পরিবর্তন হয় না. স্পষ্টতই, ফাংশনের প্রথম ফ্যাক্টর g(এক্স) একটি বহুপদী এবং এর ডেরিভেটিভ হল যোগফলের ডেরিভেটিভ। আমাদের আছে:
g ’(এক্স) = ((এক্স 2 + 7এক্স− 7) · e এক্স)’ = (এক্স 2 + 7এক্স− 7)' · e এক্স + (এক্স 2 + 7এক্স− 7) ( e এক্স)’ = (2এক্স+ 7) · e এক্স + (এক্স 2 + 7এক্স− 7) · e এক্স = e এক্স· (2 এক্স + 7 + এক্স 2 + 7এক্স −7) = (এক্স 2 + 9এক্স) · e এক্স = এক্স(এক্স+ 9) · e এক্স .
উত্তর:
চ ’(এক্স) = এক্স 2 (3cos এক্স − এক্সপাপ এক্স);
g ’(এক্স) = এক্স(এক্স+ 9) · e
এক্স
.
দয়া করে মনে রাখবেন যে শেষ ধাপে ডেরিভেটিভ ফ্যাক্টরাইজ করা হয়েছে। আনুষ্ঠানিকভাবে, এটি করার প্রয়োজন নেই, তবে বেশিরভাগ ডেরিভেটিভগুলি তাদের নিজস্বভাবে গণনা করা হয় না, তবে ফাংশনটি পরীক্ষা করার জন্য। এর অর্থ হল আরও ডেরিভেটিভকে শূন্যের সমান করা হবে, এর চিহ্নগুলি নির্ধারণ করা হবে এবং আরও অনেক কিছু। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি অভিব্যক্তি ফ্যাক্টরাইজ করা ভাল।
যদি দুটি ফাংশন থাকে চ(এক্স) এবং g(এক্স), এবং g(এক্স) ≠ 0 সেটে আমরা আগ্রহী, আমরা একটি নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি জ(এক্স) = চ(এক্স)/g(এক্স) এই ধরনের ফাংশনের জন্য আপনি ডেরিভেটিভও খুঁজে পেতে পারেন:
দুর্বল না, হাহ? মাইনাস কোথা থেকে এলো? কেন g 2? এবং এই মত! এটি সবচেয়ে এক জটিল সূত্র- আপনি বোতল ছাড়া এটি বের করতে পারবেন না। অতএব, এটির উপর অধ্যয়ন করা ভাল নির্দিষ্ট উদাহরণ.
টাস্ক। ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন:
প্রতিটি ভগ্নাংশের লব এবং হর প্রাথমিক ফাংশন ধারণ করে, তাই আমাদের যা দরকার তা হল ভাগফলের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র:
ঐতিহ্য অনুসারে, আসুন লবটিকে ফ্যাক্টরাইজ করি - এটি উত্তরটিকে ব্যাপকভাবে সরল করবে:
একটি জটিল ফাংশন অগত্যা একটি অর্ধ কিলোমিটার দীর্ঘ সূত্র নয়. উদাহরণস্বরূপ, এটি ফাংশন নিতে যথেষ্ট চ(এক্স) = পাপ এক্সএবং ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন করুন এক্স, বলুন, অন এক্স 2 + ln এক্স. এটা কাজ করবে চ(এক্স) = পাপ ( এক্স 2 + ln এক্স) - এটি একটি জটিল ফাংশন। এটির একটি ডেরিভেটিভও রয়েছে, তবে উপরে আলোচনা করা নিয়মগুলি ব্যবহার করে এটি খুঁজে পাওয়া সম্ভব হবে না।
আমার কি করা উচিৎ? এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য একটি পরিবর্তনশীল এবং সূত্র প্রতিস্থাপন সাহায্য করে:
চ ’(এক্স) = চ ’(t) · t', যদি এক্সদ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় t(এক্স).
একটি নিয়ম হিসাবে, এই সূত্রটি বোঝার পরিস্থিতি ভাগফলের ডেরিভেটিভের চেয়ে আরও বেশি দুঃখজনক। অতএব, এটি নির্দিষ্ট উদাহরণ সহ ব্যাখ্যা করাও ভাল বিস্তারিত বিবরণপ্রতিটি পদক্ষেপ.
টাস্ক। ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন: চ(এক্স) = e 2এক্স + 3 ; g(এক্স) = পাপ ( এক্স 2 + ln এক্স)
উল্লেখ্য যে যদি ফাংশনে থাকে চ(এক্স) এক্সপ্রেশন 2 এর পরিবর্তে এক্স+3 সহজ হবে এক্স, তাহলে আমরা একটি প্রাথমিক ফাংশন পাই চ(এক্স) = e এক্স. অতএব, আমরা একটি প্রতিস্থাপন করি: যাক 2 এক্স + 3 = t, চ(এক্স) = চ(t) = e t. আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সন্ধান করি:
চ ’(এক্স) = চ ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
এবং এখন - মনোযোগ! আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন সঞ্চালন: t = 2এক্স+ 3. আমরা পাই:
চ ’(এক্স) = e t · t ’ = e 2এক্স+ 3 (2 এক্স + 3)’ = e 2এক্স+ 3 2 = 2 e 2এক্স + 3
এখন ফাংশন তাকান g(এক্স) স্পষ্টতই এটি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন এক্স 2 + ln এক্স = t. আমাদের আছে:
g ’(এক্স) = g ’(t) · t’ = (পাপ t)’ · t’ = কারণ t · t ’
বিপরীত প্রতিস্থাপন: t = এক্স 2 + ln এক্স. তারপর:
g ’(এক্স) = কারণ ( এক্স 2 + ln এক্স) · ( এক্স 2 + ln এক্স)’ = কারণ ( এক্স 2 + ln এক্স) · (2 এক্স + 1/এক্স).
এখানেই শেষ! থেকে দেখা যায় শেষ অভিব্যক্তি, পুরো সমস্যাটি ডেরিভেটিভ যোগফল গণনা করার জন্য হ্রাস করা হয়েছিল।
উত্তর:
চ ’(এক্স) = 2 · e
2এক্স + 3 ;
g ’(এক্স) = (2এক্স + 1/এক্স) কারণ ( এক্স 2 + ln এক্স).
আমার পাঠে প্রায়শই, "ডেরিভেটিভ" শব্দটির পরিবর্তে আমি "প্রাইম" শব্দটি ব্যবহার করি। উদাহরণস্বরূপ, রাশি থেকে একটি মৌলিক যোগফলের সমানস্ট্রোক যে পরিষ্কার? ওয়েল, এটা ভাল.
এইভাবে, ডেরিভেটিভ গণনা করা উপরে আলোচিত নিয়ম অনুসারে এই একই স্ট্রোকগুলি থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য নেমে আসে। একটি চূড়ান্ত উদাহরণ হিসাবে, আসুন একটি যৌক্তিক সূচক সহ ডেরিভেটিভ শক্তিতে ফিরে আসি:
(এক্স n)’ = n · এক্স n − 1
ভূমিকায় সেটা খুব কম মানুষই জানেন nভাল একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা হতে পারে. যেমন মূল হল এক্স 0.5। মূলের নিচে অভিনব কিছু থাকলে কি হবে? আবার, ফলাফল একটি জটিল ফাংশন হবে - তারা এই ধরনের নির্মাণ দিতে পছন্দ করে পরীক্ষাএবং পরীক্ষা।
টাস্ক। ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:
প্রথমে, মূলকে একটি শক্তি হিসাবে একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ পুনরায় লিখি:
চ(এক্স) = (এক্স 2 + 8এক্স − 7) 0,5 .
এখন আমরা একটি প্রতিস্থাপন করা: যাক এক্স 2 + 8এক্স − 7 = t. আমরা সূত্র ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:
চ ’(এক্স) = চ ’(t) · t ’ = (t 0.5)' · t’ = ০.৫ · t−0.5 · t ’.
এর বিপরীত প্রতিস্থাপন করা যাক: t = এক্স 2 + 8এক্স− 7. আমাদের আছে:
চ ’(এক্স) = ০.৫ · ( এক্স 2 + 8এক্স− 7) −0.5 · ( এক্স 2 + 8এক্স− 7)’ = 0.5 · (2 এক্স+ 8) ( এক্স 2 + 8এক্স − 7) −0,5 .
অবশেষে, শিকড় ফিরে:
