একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার অর্থ হল একটি নিয়ম (আইন) প্রতিষ্ঠা করা যার সাহায্যে, স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রদত্ত মানগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা সংশ্লিষ্ট ফাংশনের মানগুলি খুঁজে পাই। আসুন একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার বিভিন্ন উপায় দেখুন।
এই এন্ট্রি তাপমাত্রা T কে সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে t:T=f(t)। একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার ট্যাবুলার পদ্ধতির সুবিধা হল যে এটি অতিরিক্ত পরিবর্তন বা গণনা ছাড়াই অবিলম্বে ফাংশনের নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করা সম্ভব করে। অসুবিধাগুলি: ফাংশনটি সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করে না, তবে শুধুমাত্র কিছু আর্গুমেন্ট মানগুলির জন্য; যুক্তিতে পরিবর্তনের সাথে ফাংশনের পরিবর্তনের প্রকৃতির একটি চাক্ষুষ উপস্থাপনা প্রদান করে না।
2. গ্রাফিক পদ্ধতি।সময়সূচীফাংশন y=f(x) হল সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট যার স্থানাঙ্কগুলি এই সমীকরণটি পূরণ করে। এটি কিছু বক্ররেখা হতে পারে, বিশেষ করে একটি সরলরেখা বা সমতলে বিন্দুর সেট।
সুবিধা হল স্বচ্ছতা, অসুবিধা হল যুক্তির মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করা সম্ভব নয়। ইঞ্জিনিয়ারিং এবং পদার্থবিদ্যায়, এটি প্রায়শই একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার একমাত্র উপলব্ধ উপায়, উদাহরণস্বরূপ, রেকর্ডিং যন্ত্র ব্যবহার করার সময় যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি পরিমাণের পরিবর্তনগুলি অন্যের তুলনায় রেকর্ড করে (ব্যারোগ্রাফ, থার্মোগ্রাফ, ইত্যাদি)।
3. বিশ্লেষণী পদ্ধতি।এই পদ্ধতি ব্যবহার করে, একটি সূত্র ব্যবহার করে ফাংশন বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্দিষ্ট করা হয়। এই পদ্ধতিটি আর্গুমেন্ট x এর প্রতিটি সাংখ্যিক মানের জন্য y ফাংশনের অনুরূপ সংখ্যাসূচক মানকে ঠিক বা কিছুটা নির্ভুলতার সাথে খুঁজে পাওয়া সম্ভব করে তোলে।
বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিতে, একটি ফাংশন বিভিন্ন সূত্র দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন
ডোমেনে সংজ্ঞায়িত [- 
, 15] তিনটি সূত্র ব্যবহার করে।
যদি x এবং y-এর মধ্যে সম্পর্কটি y-এর সাপেক্ষে সমাধান করা একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, যেমন y = f(x) ফর্ম আছে, তারপর তারা বলে যে x এর ফাংশনটি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ। যদি x এবং y এর মানগুলি F(x,y) = 0 ফর্মের কিছু সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত হয়, যেমন সূত্র y সাপেক্ষে সমাধান করা হয় না, তাহলে ফাংশনটি নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা বলা হয়। উদাহরণ স্বরূপ,. মনে রাখবেন যে প্রতিটি অন্তর্নিহিত ফাংশন y =f(x) আকারে উপস্থাপিত হতে পারে না; বিপরীতে, যেকোনো স্পষ্ট ফাংশন সর্বদা একটি অন্তর্নিহিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে: 
. ফাংশনের আরেকটি বিশ্লেষণাত্মক স্পেসিফিকেশন হল প্যারামেট্রিক, যখন আর্গুমেন্ট x এবং ফাংশন y একটি তৃতীয় পরিমাণের ফাংশন - প্যারামিটার t: 
, কোথায় 
, T – কিছু ব্যবধান। এই পদ্ধতিটি মেকানিক্স এবং জ্যামিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার সবচেয়ে সাধারণ উপায়। কম্প্যাক্টনেস, একটি প্রদত্ত ফাংশনে গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রয়োগ করার ক্ষমতা এবং যেকোনো আর্গুমেন্ট মানের জন্য ফাংশনের মান গণনা করার ক্ষমতা হল এর প্রধান সুবিধা।
4. মৌখিক পদ্ধতি।এই পদ্ধতিটি শব্দের মধ্যে কার্যকরী নির্ভরতা প্রকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন E(x) হল x সংখ্যার পূর্ণসংখ্যার অংশ, Dirichlet ফাংশন, Riemann ফাংশন, n!, r(n) হল প্রাকৃতিক সংখ্যা n এর ভাজকের সংখ্যা।
5. সেমি-গ্রাফিক পদ্ধতি।এখানে, ফাংশনের মানগুলিকে সেগমেন্ট হিসাবে উপস্থাপিত করা হয় এবং আর্গুমেন্টের মানগুলিকে ফাংশনের মানগুলি নির্দেশ করে সেগমেন্টের শেষে স্থাপন করা সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি থার্মোমিটারের একটি স্কেল রয়েছে যার উপর সংখ্যাগুলি সমান বিভাজন রয়েছে। এই সংখ্যাগুলি আর্গুমেন্টের মান (তাপমাত্রা)। তারা এমন জায়গায় দাঁড়িয়ে থাকে যা তাপমাত্রার পরিবর্তনের ফলে এর ভলিউমেট্রিক প্রসারণের কারণে পারদ কলামের গ্রাফিকাল প্রসারণ (ফাংশন মান) নির্ধারণ করে।
ধারণার একটি ক্লাসিক সংজ্ঞা "ফাংশন" হল চিঠিপত্রের উপর ভিত্তি করে। আসুন আমরা এরকম কয়েকটি সংজ্ঞা উপস্থাপন করি।
সংজ্ঞা 1
একটি সম্পর্ক যেখানে স্বাধীন চলকের প্রতিটি মান নির্ভরশীল চলকের একটি একক মানের সাথে মিলে যায় তাকে বলা হয় ফাংশন.
সংজ্ঞা 2
দুটি অ-খালি সেট $X$ এবং $Y$ দেওয়া যাক। একটি চিঠিপত্র $f$ যা প্রতিটি $x\in X$ এর সাথে এক এবং শুধুমাত্র একটি $y\in Y$ বলে ফাংশন($f:X → Y$)।
সংজ্ঞা 3
$M$ এবং $N$ দুটি নির্বিচারে সংখ্যা সেট হতে দিন। $f$ একটি ফাংশন $M$ এ সংজ্ঞায়িত করা হয়, $N$ থেকে মান গ্রহণ করে, যদি প্রতিটি উপাদান $x\in X$ $N$ থেকে একটি এবং শুধুমাত্র একটি উপাদানের সাথে যুক্ত হয়।
একটি পরিবর্তনশীল পরিমাণের ধারণার মাধ্যমে নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে। একটি পরিবর্তনশীল পরিমাণ হল একটি পরিমাণ যা একটি প্রদত্ত গবেষণায় বিভিন্ন সংখ্যাসূচক মান গ্রহণ করে।
সংজ্ঞা 4
ধরুন $M$ হল $x$ ভেরিয়েবলের মানের সেট। তারপর, যদি প্রতিটি মান $x\in M$ অন্য একটি ভেরিয়েবলের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায় $y$ হল $M$ সেটে সংজ্ঞায়িত $x$ মানের একটি ফাংশন।
সংজ্ঞা 5
$X$ এবং $Y$ কিছু সংখ্যা সেট হতে দিন। একটি ফাংশন হল $f$ সংখ্যার অর্ডারকৃত জোড়া $(x,\y)$ যেমন $x\in X$, $y\in Y$ এবং প্রতিটি $x$ এর একটি এবং শুধুমাত্র একটি জোড়ায় অন্তর্ভুক্ত এই সেটটি, এবং প্রতিটি $y$ অন্তত একটি জোড়ায় আছে।
সংজ্ঞা 6
যেকোন সেট $f=\(\left(x,\y\right)\)$ অর্ডার করা জোড়া $\left(x,\y\right)$ যেমন যেকোনো জোড়ার জন্য $\left(x",\y" \right)\f$ এবং $\left(x"",\y""\right)\in f$ থেকে $y"≠ y""$ এটি অনুসরণ করে যে $x"≠x""$ হয় একটি ফাংশন বা প্রদর্শন বলা হয়।
সংজ্ঞা 7
একটি ফাংশন $f:X → Y$ হল $f$ অর্ডার করা জোড়া $\left(x,\y\right)\in X\times Y$ যেমন যেকোন উপাদান $x\in X$ এর জন্য একটি সেট আছে অনন্য উপাদান $y\in Y$ যেমন $\left(x,\y\right)\in f$, অর্থাৎ, ফাংশনটি $\left(f,\X,\Y\right) অবজেক্টের একটি টিপল। $
এই সংজ্ঞায়
$x$ হল স্বাধীন পরিবর্তনশীল।
$y$ নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল।
ভেরিয়েবলের সকল সম্ভাব্য মানকে $x$ ফাংশনের ডোমেইন বলা হয় এবং $y$ ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সকল মানকে ফাংশনের ডোমেন বলা হয়।
এই পদ্ধতির জন্য আমাদের একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তির ধারণা প্রয়োজন।
সংজ্ঞা 8
একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি হল যেকোনো সংখ্যা এবং ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের গুণফল।
একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার বিশ্লেষণাত্মক উপায় হল একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি ব্যবহার করে এটি নির্দিষ্ট করা।
উদাহরণ 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$।
সুবিধা:
বিয়োগ:
অ্যাসাইনমেন্টের এই পদ্ধতিতে স্বাধীন ভেরিয়েবলের বেশ কয়েকটি মানের জন্য নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মানগুলি লেখা থাকে। এই সব টেবিলের মধ্যে প্রবেশ করা হয়.
উদাহরণ 2
ছবি 1।
প্লাস:স্বাধীন ভেরিয়েবল $x$-এর যেকোনো মানের জন্য, যা টেবিলে প্রবেশ করানো হয়, $y$ ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মান অবিলম্বে জানা যায়।
বিয়োগ:
একটি ফাংশনের ধারণা একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার পদ্ধতি ফাংশনের উদাহরণ একটি ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা নির্দিষ্ট করার গ্রাফিকাল পদ্ধতি একটি ফাংশন উপপাদ্য নির্দিষ্ট করার সারণী পদ্ধতি একটি সীমা বিশিষ্ট একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধতার সীমাবদ্ধতার সীমার উপর একটি ফাংশন উপপাদ্য নির্দিষ্ট করে অসমতার একটি সীমাতে রূপান্তর অসীমে একটি ফাংশনের সীমা অসীম অসীম ফাংশন অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্য
একটি ফাংশনের ধারণা মৌলিক এবং প্রাথমিক, যেমন একটি সেটের ধারণা। ধরা যাক X বাস্তব সংখ্যা x এর কিছু সেট। যদি প্রতিটি x€X, কিছু আইন অনুসারে, একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা y এর সাথে যুক্ত হয়, তাহলে তারা বলে যে X সেটে একটি ফাংশন দেওয়া আছে এবং লিখুন। এইভাবে প্রবর্তিত ফাংশনকে সংখ্যাসূচক বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, সেট X কে ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন বলা হয় এবং স্বাধীন চলক x কে আর্গুমেন্ট বলা হয়। একটি ফাংশন নির্দেশ করার জন্য, কখনও কখনও তারা শুধুমাত্র চিহ্ন ব্যবহার করে যা চিঠিপত্রের আইনকে বোঝায়, যেমন, f(x) n এবং জেস্টারের পরিবর্তে /। এইভাবে, একটি ফাংশন দেওয়া হয় যদি 1) সংজ্ঞার ডোমেন 2) নিয়ম / নির্দিষ্ট করা হয়, যা প্রতিটি মানকে বরাদ্দ করে a: € X নির্দিষ্ট সংখ্যক y = /(x) - আর্গুমেন্ট x এর এই মানের সাথে সংশ্লিষ্ট ফাংশনের মান। ফাংশন / এবং g সমান বলা হয় যদি তাদের ডোমেনগুলি মিলে যায় এবং সমতা f(x) = g(x) তাদের সাধারণ সংজ্ঞার ডোমেন থেকে আর্গুমেন্ট x এর যেকোনো মানের জন্য সত্য হয়। সুতরাং, ফাংশন y, সমান নয়; তারা শুধুমাত্র ব্যবধানে সমান [O, I]। ফাংশন উদাহরণ. 1. ক্রম (o„) হল একটি পূর্ণসংখ্যা আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন, যা প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেমন /(n) = an (n = 1,2,...)। 2. ফাংশন y = n? (পড়ুন "এন-ফ্যাক্টরিয়াল")। প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে দেওয়া হয়েছে: প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n 1 থেকে n পর্যন্ত সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফলের সাথে যুক্ত: এবং নিয়ম অনুসারে আমরা 0 ধরে নিই! = 1. উপাধি চিহ্নটি ল্যাটিন শব্দ signum - sign থেকে এসেছে। এই ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে; এর মানগুলির সেটটি তিনটি সংখ্যা নিয়ে গঠিত -1,0, I (চিত্র 1)। y = |x), যেখানে (x) প্রকৃত সংখ্যা x এর পূর্ণসংখ্যা অংশকে বোঝায়, অর্থাৎ [x| - সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাটি পড়ুন: -y সমান অ্যান্টি এক্স" (ফরাসি এনটিয়ার)। এই ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে নির্দিষ্ট করা হয়েছে এবং এর সমস্ত মানগুলির সেটটি পূর্ণসংখ্যা নিয়ে গঠিত (চিত্র 2)। একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার পদ্ধতি বিশ্লেষণাত্মকভাবে একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশন y = f(x) কে বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্দিষ্ট করা বলা হয় যদি এটি একটি সূত্র ব্যবহার করে নির্ধারিত হয় যা নির্দেশ করে যে y এর সংশ্লিষ্ট মান পেতে x এর প্রতিটি মানের উপর কী কী ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে . উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্দিষ্ট করা হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন (যদি এটি আগে থেকে নির্দিষ্ট করা না থাকে) আর্গুমেন্ট x এর সমস্ত বাস্তব মানের সেট হিসাবে বোঝা যায় যার জন্য ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করা বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি শুধুমাত্র বাস্তব এবং গ্রহণ করে চূড়ান্ত মান. এই অর্থে, একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে এর অস্তিত্বের ডোমেনও বলা হয়। একটি ফাংশনের জন্য, সংজ্ঞার ডোমেন হল সেগমেন্ট৷ y - sin x ফাংশনের জন্য, সংজ্ঞার ডোমেন হল সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক অক্ষ৷ মনে রাখবেন যে প্রতিটি সূত্র একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে না। উদাহরণস্বরূপ, সূত্রটি কোনো ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে না, যেহেতু x এর একটি বাস্তব মান নেই বাস্তব মানউপরে লেখা উভয় শিকড়। একটি ফাংশনের বিশ্লেষণমূলক কাজটি বেশ জটিল দেখতে পারে। বিশেষ করে, ফাংশন উপর বিভিন্ন সূত্র দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে বিভিন্ন অংশএর সংজ্ঞার ডোমেইন। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: 1.2। একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি ফাংশন y = f(x) গ্রাফিকভাবে নির্দিষ্ট করা হবে যদি এর গ্রাফ দেওয়া হয়, যেমন xOy সমতলে পয়েন্টের একটি সেট (xy/(x)), যার অ্যাবসিসাসগুলি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত, এবং অর্ডিনেটগুলি ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মানের সমান (চিত্র 4)। প্রতিটি ফাংশনের জন্য এর গ্রাফ একটি চিত্রে চিত্রিত করা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, ডিরিচলেট ফাংশন যদি x যুক্তিযুক্ত হয়, যদি x অযৌক্তিক হয়, ZX \o, এই ধরনের চিত্রের অনুমতি দেয় না। R(x) ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা রেখায় নির্দিষ্ট করা হয়েছে, এবং এর মানগুলির সেট দুটি সংখ্যা 0 এবং 1. 1.3 নিয়ে গঠিত। একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার ট্যাবুলার পদ্ধতি একটি ফাংশনকে ট্যাবুলার বলা হয় যদি একটি টেবিল দেওয়া হয় যেখানে ফাংশনের সংখ্যাসূচক মানগুলি কিছু আর্গুমেন্ট মানের জন্য নির্দেশিত হয়। একটি টেবিলে একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার সময়, এর সংজ্ঞার ডোমেনে শুধুমাত্র x\t x2i..., xn সারণীতে তালিকাভুক্ত মান থাকে। §2। একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা একটি ফাংশনের সীমার ধারণাটি কেন্দ্রীয় গাণিতিক বিশ্লেষণ. f(x) ফাংশনটিকে xq বিন্দুর কিছু আশেপাশের Q-এ সংজ্ঞায়িত করা যাক, সম্ভবত, পুনরায় সংজ্ঞার বিন্দুতে (Cauchy)। একটি সংখ্যা A কে xo বিন্দুতে f(x) ফাংশনের সীমা বলা হয় যদি কোনো সংখ্যা e > 0 এর জন্য, যা ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট হতে পারে, সেখানে একটি সংখ্যা বিদ্যমান থাকে<5 >0, যেমন সমস্ত iGH.i^ x0 শর্ত পূরণের জন্য অসমতা সত্য একটি ফাংশনের ধারণা একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার পদ্ধতি ফাংশনের উদাহরণ একটি ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক সেটিং একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা নির্দিষ্ট করার গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি ট্যাবুলার পদ্ধতি সীমার স্বতন্ত্রতার উপর একটি ফাংশন উপপাদ্য নির্দিষ্ট করার জন্য একটি ফাংশনের সীমার সীমাবদ্ধতার একটি রূপান্তর সীমা অসমতার সীমার মধ্যে একটি ফাংশনের সীমা অসীমতার সীমাতে একটি ফাংশনের সীমা অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি স্বরলিপি: যৌক্তিক চিহ্ন ব্যবহার করে, এই সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ উদাহরণ হিসাবে প্রকাশ করা হয় . 1. একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা ব্যবহার করে দেখান যে ফাংশনটি সর্বত্র সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বিন্দু zo = 1: /(1) = 5 সহ। যেকোনো নিন। অসমতার জন্য |(2x + 3) - 5| সংঘটিত হয়েছে, নিম্নলিখিত অসমতা অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে তাই, যদি আমরা গ্রহণ করি, আমাদের আছে। এর মানে হল যে সংখ্যা 5 হল ফাংশনের সীমা: বিন্দু 2 এ। একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা ব্যবহার করে দেখান যে ফাংশনটি xo = 2 বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। এর কিছু আশেপাশে /(x) বিবেচনা করুন বিন্দু Xq = 2, উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানে ( 1, 5), বিন্দুতে x = 0 নেই, যেখানে ফাংশন /(x)ও অনির্ধারিত। আসুন > 0 দিয়ে একটি নির্বিচারে সংখ্যা নিই এবং রাশিটি রূপান্তর করি |/(x) - 2| x φ 2 এর জন্য নিম্নরূপ x b (1, 5) এর জন্য আমরা অসমতা পাই। এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি 6 = c নিই, তাহলে সমস্ত x € (1.5) শর্ত সাপেক্ষে অসমতা সত্য হবে। এর মানে হল সংখ্যা A - 2 হল একটি বিন্দুতে একটি প্রদত্ত ফাংশনের সীমা একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা সম্পর্কে ধারণাটির একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া যাক এর গ্রাফটি উল্লেখ করে (চিত্র 5)। x এর জন্য, ফাংশনের মান /(x) বক্ররেখা M\M এর বিন্দুর অর্ডিনেট দ্বারা এবং x > xo-এর জন্য - বক্ররেখা MM2 এর বিন্দুর অর্ডিনেট দ্বারা নির্ধারিত হয়। মান /(x0) বিন্দু N এর অর্ডিনেট দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই ফাংশনের গ্রাফটি পাওয়া যায় যদি আমরা একটি "ভাল" বক্ররেখা M\MMg নিই এবং বক্ররেখার M(x0, A) পয়েন্ট jV দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। দেখা যাক xo বিন্দুতে f(x) ফাংশনের একটি সীমা আছে, সংখ্যার সমান A (বিন্দু M এর অর্ডিনেট)। যেকোনও (ইচ্ছেমতো ছোট) সংখ্যা নিন = /(x) সরলরেখার সাথে y = A- epy = A + e। এই বিন্দুগুলোর abscissas যথাক্রমে x0 - Al x0 + hi হোক (ht > 0, /12 > 0)। চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে যেকোন x Ф x0 এর জন্য ব্যবধান থেকে (x0 - h\, x0 + hi) ফাংশনের মান /(x) এর মধ্যে রয়েছে। সকল x^xo শর্ত পূরণের জন্য, অসমতা সত্য। আমরা রাখি তাহলে ব্যবধানটি ব্যবধানের মধ্যে থাকবে এবং সেইজন্য, অসমতা বা, যা একই, শর্তটি সন্তুষ্ট করার জন্য সমস্ত x সন্তুষ্ট হবে। এটি প্রমাণ করে এইভাবে, x0 বিন্দুতে y = /(x) ফাংশনের একটি সীমা A আছে যদি, সরলরেখা y = A - eny = A + e এর মধ্যে ই-স্ট্রিপ যতই সংকীর্ণ হোক না কেন, সেখানে একটি 5 > 0 আছে x0 বিন্দুর ছিদ্রযুক্ত আশেপাশের সমস্ত x এর জন্য y = /(x) ফাংশনের গ্রাফের বিন্দুগুলি নির্দিষ্ট ই-স্ট্রিপের ভিতরে নিজেকে খুঁজে পায়। মন্তব্য 1. b এর মান e এর উপর নির্ভর করে: 6 = 6(e)। মন্তব্য 2. Xq বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণে, বিন্দু xo নিজেই বিবেচনার বাইরে থাকে। সুতরাং, Hons বিন্দুতে ফাংশনের মান এই বিন্দুতে ফাংশনের সীমাকে প্রভাবিত করে। তদুপরি, Xq বিন্দুতে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত নাও হতে পারে। অতএব, দুটি ফাংশন যা Xq বিন্দুর আশেপাশে সমান, সম্ভবত xo বিন্দুটি বাদ দিয়ে (যেটিতে তারা থাকতে পারে বিভিন্ন অর্থ , তাদের মধ্যে একটি বা উভয়ই একত্রে অনির্ধারিত হতে পারে), x - Xq এর জন্য একই সীমা আছে, বা উভয়েরই কোনো সীমা নেই। এখান থেকে, বিশেষ করে, এটি অনুসরণ করে যে xo বিন্দুতে একটি ভগ্নাংশের সীমা খুঁজে বের করার জন্য, এই ভগ্নাংশটিকে সমান অভিব্যক্তিতে হ্রাস করা বৈধ যা x = Xq এ অদৃশ্য হয়ে যায়। উদাহরণ 1. ফাংশনটি খুঁজুন /(x) = j সকল x Ф 0 একের সমান, কিন্তু x = 0 বিন্দুতে এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। /(x) ফাংশন d(x) = 1 এর সমান x 0 এর সাথে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা একটি ফাংশনের ধারণা পাই একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার পদ্ধতি ফাংশনের উদাহরণ ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক সেটিং একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি একটি বিন্দুতে একটি ফাংশন একটি ফাংশন উপপাদ্য নির্দিষ্ট করার ট্যাবুলার পদ্ধতি একটি সীমার স্বতন্ত্রতা একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধতাকে সীমাবদ্ধ করে, একটি সীমা থাকা, অসমতার সীমার সীমাতে রূপান্তর অসীম এ একটি ফাংশন অসীম ফাংশন অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্য উদাহরণ 2 lim /(x) খুঁজুন, যেখানে ফাংশন x = 0 বিন্দু বাদ দিয়ে সর্বত্র ফাংশন /(x) এর সাথে মিলে যায়, এবং বিন্দুতে x = 0 সীমা শূন্যের সমান: lim d(x) = 0 (এটি দেখান! ) অতএব lim /(x) = 0. সমস্যা। অসমতা (ভাষা e -6) ব্যবহার করে প্রণয়ন করুন, যার অর্থ x0 বিন্দুর কিছু প্রতিবেশী Π-এ ফাংশন /(i) সংজ্ঞায়িত করা যাক, সম্ভবত, বিন্দু x0 নিজেই। সংজ্ঞা (হেইন)। A সংখ্যাটিকে x0 বিন্দুতে ফাংশনের /(x) সীমা বলা হয় যদি আর্গুমেন্ট x 6 P, z„ / x0) বিন্দু x0-তে রূপান্তরিত হওয়ার কোনো অনুক্রমের (xn) মানের জন্য অনুরূপ ক্রম। ফাংশনের মান (f(x„)) সংখ্যা A-তে রূপান্তরিত হয়। উপরের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক যখন এটি স্থাপন করা প্রয়োজন যে ফাংশন /(x) এর x0 বিন্দুতে কোন সীমা নেই। এটি করার জন্য, কিছু ক্রম (f(xn)) খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট যার কোন সীমা নেই, অথবা দুটি ক্রম নির্দেশ করা (f(xn)) এবং (f(xn)) ভিন্ন সীমা রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ দেখান। , যে ফাংশন ii /(x) = sin j (Fig. 7), বিন্দু X = O ব্যতীত সর্বত্র সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, চিত্র 7 এর x = 0 বিন্দুতে কোন সীমা নেই। দুটি ক্রম বিবেচনা করুন (বিন্দুতে রূপান্তরিত হচ্ছে) x = 0. ফাংশনের সংশ্লিষ্ট অনুক্রমের মানগুলি /(x) বিভিন্ন সীমাতে একত্রিত হয়: ক্রম (sinnTr) শূন্যে রূপান্তরিত হয় এবং অনুক্রমটি (sin(5 + - একটিতে। এর মানে হল যে ফাংশন /( x) = sin j বিন্দুতে x = 0 এর কোনো সীমা নেই দ্রষ্টব্য: একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমার উভয় সংজ্ঞা (কচির সংজ্ঞা এবং হাইনের সংজ্ঞা) সমতুল্য। §3. সীমার উপপাদ্য 1 (সীমার স্বতন্ত্রতা) ) যদি xo বিন্দুতে একটি ফাংশন f(x) এর একটি সীমা থাকে, তবে এই সীমাটি অনন্য। A Let lim /(x) = A। দেখা যাক যে কোন সংখ্যা B φ A এর সীমা x-x0 হতে পারে না x0 বিন্দুতে ফাংশন /(x)। lim /(x) φ যৌক্তিক চিহ্ন XO ব্যবহার করে নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: আমরা যে অসমতা পাই তা ব্যবহার করে e = > 0 নিন। যেহেতু lim /(x) = A, নির্বাচিত e > 0 এর জন্য 6 আছে > 0 এমন যে রিলেশন থেকে (1) x এর নির্দেশিত মানগুলির জন্য আমাদের কাছে এইভাবে, এটি পাওয়া গেছে যে x Φ xQ যত ছোটই হোক না কেন এবং একই সময়ে ^ e। তাই B সংজ্ঞা। একটি ফাংশন /(x) কে x0> বিন্দুর আশেপাশে আবদ্ধ বলা হয় যদি সেখানে M > 0 এবং 6 > 0 থাকে যেমন উপপাদ্য 2 (একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধতা)। যদি একটি ফাংশন f(x) একটি বিন্দু x0 এর আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং x0 বিন্দুতে একটি সীমাবদ্ধ সীমা থাকে, তাহলে এটি এই বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় আবদ্ধ। m চলুন তাহলে যে কোনোটির জন্য, উদাহরণস্বরূপ, e = 1 এর জন্য, 6 > O আছে যাতে সকল x Φ x0 শর্ত পূরণ করে অসমতা সত্য হবে। উল্লেখ্য যে আমরা সর্বদা পুট পাই। তারপর ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দুতে x আমাদের থাকবে এর অর্থ, সংজ্ঞা অনুসারে, ফাংশন /(x) একটি আশেপাশে আবদ্ধ। বিপরীতে, ফাংশনের সীমাবদ্ধতা থেকে /(x) একটি পার্শ্ববর্তী এলাকায় বিন্দু x0, x0 বিন্দুতে ফাংশনের একটি সীমা /(x) অস্তিত্ব অনুসরণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন /(x) = sin একটি বিন্দুর আশেপাশে সীমাবদ্ধ কিন্তু x = 0 বিন্দুতে এর কোনো সীমা নেই। আসুন আরও দুটি উপপাদ্য তৈরি করি, যার জ্যামিতিক অর্থ বেশ স্পষ্ট। উপপাদ্য 3 (বৈষম্যের সীমা অতিক্রম করা)। যদি /(x) ^ ip(x) বিন্দু x0 এর কিছু আশেপাশের সমস্ত x এর জন্য, সম্ভবত, বিন্দু x0 নিজেই, এবং x0 বিন্দুতে /(x) এবং ip(x) প্রতিটি ফাংশন ছাড়া একটি সীমা, তারপর মনে রাখবেন যে ফাংশনের জন্য একটি কঠোর অসমতা তাদের সীমার জন্য একটি কঠোর অসমতা বোঝায় না। যদি এই সীমাগুলি বিদ্যমান থাকে, তাহলে আমরা কেবলমাত্র জোর দিয়ে বলতে পারি যে তাই, উদাহরণস্বরূপ, অসমতা যখন ফাংশনের জন্য সন্তুষ্ট হয়। উপপাদ্য 4 (একটি মধ্যবর্তী ফাংশনের সীমা)। যদি Xq বিন্দুর কিছু আশেপাশের সমস্ত x এর জন্য, সম্ভবত, বিন্দু x0 নিজেই (চিত্র 9), এবং xo বিন্দুতে f(x) এবং ip(x) ফাংশনগুলির একই সীমা A থাকে, তাহলে x0 বিন্দুতে ফাংশনের f(x) একই মানের A এর সমান একটি সীমা রয়েছে। § 4. অসীমতায় একটি ফাংশনের সীমা ফাংশন f(x)টিকে সম্পূর্ণ সংখ্যা রেখায় সংজ্ঞায়িত করা যাক, অথবা অন্তত জন্য সব x শর্ত পূরণ করে jx| > কিছু K এর জন্য K > 0। সংজ্ঞা। A সংখ্যাটিকে f(x) ফাংশনের সীমা বলা হয় কারণ x অসীমতার দিকে প্রবণ হয়, এবং এটি লেখা হয় যদি কোনো e > 0 এর জন্য একটি সংখ্যা jV > 0 থাকে যাতে সমস্ত x শর্ত পূরণ করে |x| > lg, অসমতা সত্য। এই সংজ্ঞা অনুসারে শর্ত প্রতিস্থাপন করলে, আমরা সংজ্ঞাগুলি পাই। এই সংজ্ঞাগুলি থেকে এটি অনুসৃত হয় যে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একই সাথে সেই সত্যটি জ্যামিতিকভাবে নিম্নলিখিতগুলিকে বোঝায়: সোজার মধ্যে ই-স্ট্রিপ যতই সংকীর্ণ হোক না কেন লাইন y = A-eyu = A + e, এখানে একটি সরল রেখা আছে x = N >0 যাতে ডানদিকে ফাংশনের গ্রাফটি y = /(x) সম্পূর্ণরূপে নির্দেশিত ই-স্ট্রিপে রয়েছে (চিত্র। 10)। এই ক্ষেত্রে, তারা বলে যে x +oo ফাংশনের গ্রাফটি y = /(x) অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সরলরেখা y = A এর কাছে আসে। উদাহরণ, ফাংশন /(x) = jtjj- সম্পূর্ণ সংখ্যারেখায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং একটি ভগ্নাংশ যেখানে লব ধ্রুবক , এবং হর সীমাহীনভাবে |x| হিসাবে বৃদ্ধি পায় +ওও এটা আশা করা স্বাভাবিক যে lim /(x)=0। দেখাই যাক। M আসুন আমরা যেকোন e > 0 নিই, শর্ত সাপেক্ষে সম্পর্কটি ঘটানোর জন্য, এর সাথে অসমতা বা, যা একই, যেখান থেকে এইভাবে, সন্তুষ্ট হতে হবে। যদি আমরা এটি গ্রহণ করি তবে আমাদের এটি থাকবে। এর মানে হল সংখ্যা হল এই ফাংশনের সীমা মনে রাখবেন যে র্যাডিকাল এক্সপ্রেশনটি শুধুমাত্র t^1 এর জন্য। যে ক্ষেত্রে, সমস্ত গ্রাফের সাথে অসমতা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয় এমনকি ফাংশন y = - উপসর্গহীনভাবে একটি সরল রেখার সমস্যায় পৌঁছায়। §5 মানে কি অসমতা ব্যবহার করে প্রণয়ন করুন। অসীম ফাংশন xo বিন্দুর কিছু আশেপাশে ফাংশন a(x) সংজ্ঞায়িত করা যাক, সম্ভবত, বিন্দু x0 নিজেই। সংজ্ঞা। একটি ফাংশন a(x) কে বলা হয় একটি অসীম ফাংশন (সংক্ষেপে অসীম ফাংশন হিসাবে) যার সাথে x x প্রবণতা থাকে যদি একটি ফাংশনের ধারণা একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করার পদ্ধতি ফাংশনের উদাহরণ একটি ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা একটি ফাংশনের সীমা নির্দিষ্ট করার গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি একটি বিন্দুতে একটি ফাংশন উপপাদ্য নির্দিষ্ট করার ট্যাবুলার পদ্ধতি সীমার স্বতন্ত্রতাকে সীমাবদ্ধ করে একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধতা যাতে অসমতার সীমাতে একটি সীমা রূপান্তর থাকে অসমতায় একটি ফাংশনের সীমা অসীম ফাংশন অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্য উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন a(x) = x - 1 হল b. m.f x 1 এ, যেহেতু lim(x-l) = 0। y = x-1 1-1 ফাংশনের গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। ২. সাধারণভাবে, ফাংশন a(x) = x-x0 হল b এর সবচেয়ে সহজ উদাহরণ। m.f x-»ho এ। একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা বিবেচনায় নিয়ে, সংজ্ঞা খ. m.f এই মত প্রণয়ন করা যেতে পারে। সংজ্ঞা। একটি ফাংশন a(x) কে x -* xo এর জন্য অসীম বলা হয় যদি, যে কোনো £ > 0 এর জন্য একটি "5 > 0 থাকে যে সকল x শর্ত পূরণ করার জন্য নিম্নলিখিত অসমতা সত্য। এর ধারণার সাথে x x xo এর জন্য একটি অসীম ফাংশন, একটি অসীম ফাংশনের ধারণাটি সংজ্ঞায় ফাংশন চালু করা হয়। ফাংশন a(x) কে x -» oo এর জন্য অসীম বলা হয়, যদি তারপরে a(x) ফাংশনটিকে যথাক্রমে অসীম বলা হয়, এর জন্য বা উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি x -» oo এর জন্য অসীম, যেহেতু lim j = 0 ফাংশন a(x ) = e~x হল x -* +oo এর জন্য একটি অসীম ফাংশন, যেহেতু নিম্নলিখিতটিতে, আমরা একটি নিয়ম হিসাবে, শুধুমাত্র ফাংশনের সীমার সাথে সম্পর্কিত সমস্ত ধারণা এবং উপপাদ্য বিবেচনা করব একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমার ক্ষেত্রে, পাঠককে সংশ্লিষ্ট ধারণাগুলি তৈরি করতে এবং দিনের অনুরূপ উপপাদ্যগুলি প্রমাণ করার জন্য ছেড়ে দেয় যেখানে অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি উপপাদ্য 5. যদি a(x) এবং P(x) - b. m.f x -* xo এর জন্য, তারপর তাদের যোগফল a(x) + P(x)ও b.m। চ x -» xo এর জন্য। 4 যেকোনো e > 0 নিন। যেহেতু a(x) হল b.m.f। x -* xo এর জন্য, তারপরে “51 > 0 আছে যে সকল x Φ xo শর্ত পূরণ করে অসমতা সত্য। শর্ত দ্বারা P(x) এছাড়াও b.m.f. x xo-এর জন্য, তাই এমন আছে যে সকল x Φ xo শর্ত পূরণ করে অসমতা সত্য। সেট 6 = মিনিট(«5j, 62)। তারপর সমস্ত x Ф xo শর্ত পূরণ করার জন্য, অসমতা (1) এবং (2) একই সাথে সত্য হবে। তাই এর মানে হল a(x) +/3(x) যোগফল হল b.m.f. x xq এ। মন্তব্য করুন। উপপাদ্যটি যেকোন সসীম সংখ্যক ফাংশনের যোগফলের জন্য বৈধ থাকে, b. m. x zo এ। উপপাদ্য b (একটি আবদ্ধ ফাংশন দ্বারা b.m.f এর গুণফল)। যদি ফাংশন a(x) হয় b. m.f x -* x0 এর জন্য, এবং ফাংশন f(x) Xo বিন্দুর আশেপাশে আবদ্ধ থাকে, তাহলে গুণফল a(x)/(x) হয় b। m.f x -» x0 এর জন্য। শর্ত অনুসারে, ফাংশন /(x) বিন্দু x0 এর আশেপাশে আবদ্ধ। এর মানে হল যে সংখ্যাগুলি 0 এবং M > 0 যেমন যেকোনও e > 0 নিন। যেহেতু শর্ত অনুসারে, 62 > 0 এমন যে সমস্ত x φ x0 শর্ত পূরণ করে |x - xol , অসমতা সত্য হবে সমস্ত x φ x0 শর্ত |x - x0| সন্তুষ্ট করে, অসমতা একই সাথে সত্য হবে। অতএব, এর মানে হল a(x)/(x) গুণফলটি b। m.f উদাহরণে ফাংশন y = xsin - (চিত্র 12) ফাংশন a(ar) = x এবং f(x) = sin j এর গুণফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। ফাংশন a(ag) হল b. m.f x - 0 এর জন্য, এবং ফাংশন f সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাকে বোঝায় যা x এর বেশি নয়। অন্য কথায়, যদি x = r + q হয়, যেখানে r একটি পূর্ণসংখ্যা (ঋণাত্মক হতে পারে) এবং q অন্তর = r এর অন্তর্গত। ফাংশন E(x) = [x] ব্যবধানে ধ্রুবক = r।
উদাহরণ 2: ফাংশন y = (x) হল একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ। আরও সঠিকভাবে বললে, y =(x) = x - [x], যেখানে [x] হল x সংখ্যাটির পূর্ণসংখ্যার অংশ। এই ফাংশন সব x জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়. যদি x একটি নির্বিচারে সংখ্যা হয়, তাহলে এটিকে x = r + q (r = [x]) হিসাবে উপস্থাপন করুন, যেখানে r একটি পূর্ণসংখ্যা এবং q অন্তরের মধ্যে থাকে।
আমরা দেখি যে আর্গুমেন্ট x-এ n যোগ করলে ফাংশনের মান পরিবর্তন হয় না।
n-এ ক্ষুদ্রতম অ-শূন্য সংখ্যা হল, তাই সময়কাল হল sin 2x।
যে আর্গুমেন্ট ভ্যালুতে ফাংশনটি 0 এর সমান তাকে বলা হয় শূন্য (মূল) ফাংশন।
একটি ফাংশনে একাধিক শূন্য থাকতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y = x (x + 1)(x-3)তিনটি শূন্য আছে: x = 0, x = - 1, x =3.
জ্যামিতিকভাবে, একটি ফাংশনের শূন্য হল অক্ষের সাথে ফাংশন গ্রাফের ছেদ বিন্দুর অবসিসা এক্স .
চিত্র 7 শূন্য সহ একটি ফাংশনের একটি গ্রাফ দেখায়: x = a, x = b এবং x = c।
যদি কোন ফাংশনের গ্রাফ অনির্দিষ্টকালের জন্য একটি নির্দিষ্ট রেখার কাছে আসে কারণ এটি উত্স থেকে দূরে সরে যায়, তবে এই লাইনটিকে বলা হয় উপসর্গ.
বিপরীত ফাংশন
একটি ফাংশন y=ƒ(x) সংজ্ঞা D এর একটি ডোমেন এবং E মানের একটি সেট সহ দেওয়া যাক। যদি প্রতিটি মান yєE একটি একক মানের xєD এর সাথে মিলে যায়, তাহলে x=φ(y) ফাংশনটি একটি দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয় সংজ্ঞা E এর ডোমেন এবং D মানগুলির একটি সেট (চিত্র 102 দেখুন)।
এই ধরনের ফাংশন φ(y) কে ফাংশনের বিপরীত বলা হয় ƒ(x) এবং লেখা হয় নিম্নলিখিত ফর্ম: x=j(y)=f -1 (y)। ফাংশন y=ƒ(x) এবং x=φ(y) পারস্পরিক বিপরীত বলা হয়। ফাংশন x=φ(y), ফাংশন y=ƒ (x) এর বিপরীতে খুঁজতে, x (যদি সম্ভব হয়) এর জন্য ƒ(x)=y সমীকরণটি সমাধান করাই যথেষ্ট।
1. y=2x ফাংশনের জন্য বিপরীত ফাংশন হল x=y/2 ফাংশন;
2. y=x2 xє ফাংশনের জন্য বিপরীত ফাংশন হল x=√y; মনে রাখবেন যে অংশে সংজ্ঞায়িত y=x 2 ফাংশনের জন্য [-1; 1], বিপরীতটি বিদ্যমান নেই, যেহেতু y এর একটি মান x এর দুটি মানের সাথে মিলে যায় (তাই, যদি y = 1/4, তাহলে x1 = 1/2, x2 = -1/2)।
একটি বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ফাংশন y=ƒ(x) এর একটি বিপরীত থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ফাংশন ƒ(x) সেট D এবং E এর মধ্যে এক-একটি চিঠিপত্র নির্দিষ্ট করে। এটি অনুসরণ করে যে কোনো কঠোরভাবে একঘেয়ে ফাংশন একটি বিপরীত আছে. তদুপরি, যদি একটি ফাংশন বৃদ্ধি পায় (হ্রাস), তবে বিপরীত ফাংশনটিও বৃদ্ধি পায় (হ্রাস)।
লক্ষ্য করুন যে ফাংশন y=ƒ(x) এবং এর বিপরীত x=φ(y) একই বক্ররেখা দ্বারা চিত্রিত হয়, অর্থাৎ তাদের গ্রাফগুলি মিলে যায়। যদি আমরা সম্মত হই যে, যথারীতি, স্বাধীন চলক (অর্থাৎ যুক্তি) x দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং নির্ভরশীল চলককে y দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তাহলে y=ƒ(x) ফাংশনের বিপরীত ফাংশনটি y=φ( আকারে লেখা হবে। এক্স).
এর মানে হল y=ƒ(x) বক্ররেখার M 1 (x o;y o) বিন্দুটি y=φ(x) বক্ররেখার M 2 (y o;x o) হয়ে যায়। কিন্তু বিন্দু M 1 এবং M 2 সরলরেখা y=x এর সাপেক্ষে প্রতিসম (চিত্র 103 দেখুন)। অতএব, y=ƒ(x) এবং y=φ(x) পারস্পরিক বিপরীত ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি প্রথম এবং তৃতীয় স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে প্রতিসম।
জটিল ফাংশন
D সেটে y=ƒ(u) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং D 1 সেটে ফাংশন u= φ(x), এবং x D 1 এর জন্য সংশ্লিষ্ট মান u=φ(x) є D। তারপর সেটে D 1 ফাংশন u=ƒ(φ(x)), যাকে x (বা সুপারপজিশন) এর একটি জটিল ফাংশন বলা হয় নির্দিষ্ট ফাংশন, বা একটি ফাংশনের একটি ফাংশন)।
u=φ(x) চলকটিকে একটি জটিল ফাংশনের মধ্যবর্তী আর্গুমেন্ট বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, y=sin2x ফাংশনটি y=sinu এবং u=2x দুটি ফাংশনের একটি সুপারপজিশন। একটি জটিল ফাংশনের বিভিন্ন মধ্যবর্তী আর্গুমেন্ট থাকতে পারে।
4. মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের গ্রাফ।
নিম্নলিখিত ফাংশনগুলিকে প্রধান প্রাথমিক ফাংশন বলা হয়।
1) সূচকীয় ফাংশন y=a x,a>0, a ≠ 1. চিত্রে। 104টি গ্রাফ দেখানো হয়েছে সূচকীয় ফাংশন, বিভিন্ন ডিগ্রী বেস অনুরূপ.
2) পাওয়ার ফাংশন y=x α, αєR। গ্রাফের উদাহরণ শক্তি ফাংশন, বিভিন্ন সূচকের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, পরিসংখ্যানে প্রদান করা হয়েছে
3) লগারিদমিক ফাংশন y=log a x, a>0,a≠1; বিভিন্ন বেসের সাথে সম্পর্কিত লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 106।
4) ত্রিকোণমিতিক ফাংশন y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির গ্রাফের ফর্মটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 107।
5) বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx। চিত্রে। 108 বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ দেখায়।
মৌলিক দিয়ে গঠিত একটি একক সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন প্রাথমিক ফাংশনএবং ধ্রুবকগুলি একটি সীমিত সংখ্যক পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপ (যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ) ব্যবহার করে এবং একটি ফাংশন থেকে একটি ফাংশন নেওয়ার ক্রিয়াকলাপগুলিকে প্রাথমিক ফাংশন বলে।
প্রাথমিক ফাংশনের উদাহরণ হল ফাংশন
নন-প্রাথমিক ফাংশনের উদাহরণ হল ফাংশন
5. ক্রম এবং ফাংশনের সীমার ধারণা। সীমার বৈশিষ্ট্য।
ফাংশন সীমা (ফাংশনের সীমা মান) একটি প্রদত্ত বিন্দুতে, একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে সীমিত করে, সেই মান যা বিবেচনাধীন ফাংশনের মানটি প্রবণতা হিসাবে প্রদত্ত বিন্দুতে থাকে।
গণিতে অনুক্রমের সীমাএকটি মেট্রিক স্পেস বা টপোলজিকাল স্পেসের উপাদানগুলি একই স্থানের একটি উপাদান যা একটি প্রদত্ত অনুক্রমের "আকর্ষণকারী" উপাদানগুলির বৈশিষ্ট্য রয়েছে। একটি টপোলজিক্যাল স্পেসের উপাদানগুলির একটি অনুক্রমের সীমা এমন একটি বিন্দু যে এর প্রতিটি আশেপাশে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা থেকে শুরু করে অনুক্রমের সমস্ত উপাদান রয়েছে। একটি মেট্রিক স্পেসে, দূরত্ব ফাংশনের মাধ্যমে আশেপাশের এলাকাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই একটি সীমার ধারণাটি দূরত্বের ভাষায় প্রণয়ন করা হয়। ঐতিহাসিকভাবে, প্রথমটি ছিল একটি সংখ্যাসূচক ক্রম সীমার ধারণা, যা গাণিতিক বিশ্লেষণে উদ্ভূত হয়, যেখানে এটি আনুমানিক পদ্ধতির ভিত্তি হিসাবে কাজ করে এবং ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস নির্মাণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
উপাধি:
(পড়ে: x-nম ক্রম-এর সীমা হিসাবে en অনন্তের দিকে থাকে a)
একটি সীমা বিশিষ্ট অনুক্রমের বৈশিষ্ট্য বলা হয় অভিন্নতা: যদি একটি অনুক্রমের একটি সীমা থাকে, তাহলে বলা হয় এই ক্রমটিকে একত্রিত হয়; অন্যথায় (যদি ক্রমটির কোন সীমা না থাকে) ক্রমটিকে বলা হয় বিচ্যুত. একটি হাউসডর্ফ স্পেস এবং বিশেষ করে, একটি মেট্রিক স্পেসে, একটি অভিসারী অনুক্রমের প্রতিটি অনুগামী একত্রিত হয় এবং এর সীমা মূল অনুক্রমের সীমার সাথে মিলে যায়। অন্য কথায়, হাউসডর্ফ স্থানের উপাদানগুলির একটি ক্রম দুটি ভিন্ন সীমা থাকতে পারে না। যাইহোক, এটি চালু হতে পারে যে ক্রমটির কোন সীমা নেই, তবে একটি পরবর্তী (প্রদত্ত ক্রমটির) একটি সীমা রয়েছে। যদি স্থানের যেকোন বিন্দুর ক্রম থেকে একটি অভিসারী অনুক্রমকে চিহ্নিত করা যায়, তাহলে প্রদত্ত স্থানটিকে অনুক্রমিক কম্প্যাক্টনেসের বৈশিষ্ট্য (বা, সহজভাবে, কম্প্যাক্টনেস, যদি কম্প্যাক্টনেসকে একচেটিয়াভাবে অনুক্রমের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়) বলা হয়।
একটি অনুক্রমের সীমার ধারণাটি একটি সীমা বিন্দু (সেট) ধারণার সাথে সরাসরি সম্পর্কিত: যদি একটি সেটের একটি সীমা বিন্দু থাকে তবে এই সেটের উপাদানগুলির একটি ক্রম এই বিন্দুতে রূপান্তরিত হয়।
সংজ্ঞা
একটি টপোলজিকাল স্পেস এবং একটি সিকোয়েন্স দেওয়া যাক তারপর, যদি এমন একটি উপাদান থাকে
যেখানে একটি খোলা সেট থাকে যেখানে ক্রমিক সীমা বলা হয়। যদি স্থানটি মেট্রিক হয়, তবে সীমাটি মেট্রিক ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: যদি এমন একটি উপাদান থাকে
মেট্রিক কোথায়, একে সীমা বলে।
· যদি স্থানটি একটি অ্যান্টি-ডিসক্রিট টপোলজি দিয়ে সজ্জিত হয়, তাহলে যেকোন ক্রমটির সীমা স্থানের যেকোনো উপাদান হবে।
6. একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা। একতরফা সীমা।
একটি ভেরিয়েবলের ফাংশন। Cauchy অনুযায়ী একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ।সংখ্যা খফাংশনের সীমা বলা হয় এ = চ(এক্স) এ এক্স, জন্য প্রচেষ্টা ক(বা বিন্দুতে ক), যদি কোনো ধনাত্মক সংখ্যার জন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা থাকে যেমন সব x ≠ a, যেমন | এক্স – ক | < , выполняется неравенство
| চ(এক্স) – ক | < .
Heine অনুযায়ী একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ।সংখ্যা খফাংশনের সীমা বলা হয় এ = চ(এক্স) এ এক্স, জন্য প্রচেষ্টা ক(বা বিন্দুতে ক), যদি কোন অনুক্রমের জন্য ( এক্স n ), রূপান্তরিত ক(লক্ষে ক, একটি সীমা সংখ্যা আছে ক), এবং যেকোনো মূল্যে n x n ≠ ক, পরবর্তী ( y n= চ(এক্স n)) এর সাথে মিলিত হয় খ.
এই সংজ্ঞা অনুমান যে ফাংশন এ = চ(এক্সবিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ক, ছাড়া, সম্ভবত, বিন্দু নিজেই ক.
একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমার Cauchy এবং Heine সংজ্ঞা সমতুল্য: যদি সংখ্যা খতাদের একটির জন্য একটি সীমা হিসাবে কাজ করে, তারপর এটি দ্বিতীয়টির জন্যও সত্য।
নির্দিষ্ট সীমা নিম্নরূপ নির্দেশিত হয়:
জ্যামিতিকভাবে, Cauchy অনুসারে একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের একটি সীমার অস্তিত্বের অর্থ হল যে কোনো সংখ্যা > 0 এর জন্য স্থানাঙ্ক সমতলে বেস 2 > 0, উচ্চতা 2 এবং বিন্দুতে কেন্দ্র সহ একটি আয়তক্ষেত্র নির্দেশ করা সম্ভব। ( ক; খ) যে ব্যবধানে একটি প্রদত্ত ফাংশনের গ্রাফের সমস্ত বিন্দু ( ক– ; ক+ ), বিন্দুর সম্ভাব্য ব্যতিক্রম সহ এম(ক; চ(ক)), এই আয়তক্ষেত্রে থাকা
একতরফা সীমাগাণিতিক বিশ্লেষণে, একটি সংখ্যাসূচক ফাংশনের সীমা, একদিকে সীমা বিন্দুকে "কাছে আসা" বোঝায়। এই ধরনের সীমা অনুযায়ী বলা হয় বাম হাতের সীমা(বা বাম দিকে সীমা) এবং ডান হাতের সীমা (ডানদিকে সীমা) কিছু নম্বর সেট দেওয়া যাক সংখ্যাসূচক ফাংশনএবং সংখ্যাটি সংজ্ঞার ডোমেনের সীমা বিন্দু। একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের একতরফা সীমার জন্য বিভিন্ন সংজ্ঞা আছে, কিন্তু তারা সবই সমান।
