ফ্যাক্টরিং বহুপদীর 8টি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। এগুলোর মধ্যে রয়েছে দ্বিঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ, পারস্পরিক বহুপদীর উদাহরণ এবং তৃতীয়- এবং চতুর্থ-ডিগ্রী বহুপদীর পূর্ণসংখ্যার মূল খোঁজার উদাহরণ।
এক্স 4 + x 3 - 6 x 2.
আমরা x বের করি 2
বন্ধনীর বাইরে:
.
2 + x - 6 = 0:
.
সমীকরণের মূল:
, .
.
তৃতীয় ডিগ্রি বহুপদী গুণনীয়ক:
এক্স 3 + 6 x 2 + 9 x.
বন্ধনী থেকে x বের করা যাক:
.
সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক দ্বিঘাত সমীকরণএক্স 2 + 6 x + 9 = 0:
এর বৈষম্যমূলক: .
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্য, তাই সমীকরণের মূলগুলি গুণিত: ;
.
এটি থেকে আমরা বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন পাই:
.
পঞ্চম ডিগ্রি বহুপদী গুণনীয়ক:
এক্স 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
আমরা x বের করি 3
বন্ধনীর বাইরে:
.
দ্বিঘাত সমীকরণ x সমাধান করা 2 - 2 x + 10 = 0.
এর বৈষম্যমূলক: .
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে কম, তাহলে সমীকরণের মূলগুলি জটিল: ;
, .
বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশনের ফর্ম রয়েছে:
.
যদি আমরা বাস্তব সহগ সহ ফ্যাক্টরাইজেশনে আগ্রহী হই, তাহলে:
.
দ্বিঘাত বহুপদী গুণনীয়ক:
এক্স 4 + x 2 - 20.
চলুন সূত্র প্রয়োগ করা যাক:
ক 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ক 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
বহুপদীকে গুণিত করুন যা দ্বিচক্রে কমে যায়:
এক্স 8 + x 4 + 1.
চলুন সূত্র প্রয়োগ করা যাক:
ক 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ক 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
পারস্পরিক বহুপদী গুণনীয়ক:
.
একটি পারস্পরিক বহুপদীর বিজোড় মাত্রা আছে। তাই এর রুট আছে x = - 1
. বহুপদকে x দ্বারা ভাগ করুন - (-1) = x + 1. ফলস্বরূপ আমরা পাই:
.
আসুন একটি প্রতিস্থাপন করা যাক:
, ;
;
;
.
বহুপদ গুণনীয়ক:
.
ধরা যাক যে সমীকরণ
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
সুতরাং, আমরা তিনটি শিকড় খুঁজে পেয়েছি:
এক্স 1 = 1
, এক্স 2 = 2
, এক্স 3 = 3
.
যেহেতু মূল বহুপদীটি তৃতীয় মাত্রার তাই এর তিনটির বেশি মূল নেই। যেহেতু আমরা তিনটি শিকড় খুঁজে পেয়েছি, সেগুলি সহজ। তারপর
.
বহুপদ গুণনীয়ক:
.
ধরা যাক যে সমীকরণ
অন্তত একটি সম্পূর্ণ রুট আছে। তারপর এটি সংখ্যার একটি ভাজক 2
(x ছাড়া সদস্য)। অর্থাৎ, পুরো মূলটি সংখ্যাগুলির একটি হতে পারে:
-2, -1, 1, 2
.
আমরা এই মানগুলি একে একে প্রতিস্থাপন করি:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
যদি আমরা ধরে নিই যে এই সমীকরণটির একটি পূর্ণসংখ্যার মূল রয়েছে, তবে এটি সংখ্যাটির একটি ভাজক 2
(x ছাড়া সদস্য)। অর্থাৎ, পুরো মূলটি সংখ্যাগুলির একটি হতে পারে:
1, 2, -1, -2
.
আসুন x = প্রতিস্থাপন করি -1
:
.
সুতরাং, আমরা আরেকটি মূল x খুঁজে পেয়েছি 2
= -1
. এটি সম্ভব হবে, পূর্ববর্তী ক্ষেত্রের মতো, বহুপদীকে দ্বারা ভাগ করা, তবে আমরা শর্তগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করব:
.
যেহেতু সমীকরণ x 2 + 2 = 0 এর কোনো প্রকৃত শিকড় নেই, তাহলে বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন ফর্ম আছে।
এই নিবন্ধে আপনি সব পাবেন প্রয়োজনীয় তথ্যপ্রশ্নের উত্তর কিভাবে একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টর এ গুণনীয়ক করা যায়. প্রথম দেওয়া সাধারণ ধারণাএকটি সংখ্যার মৌলিক উপাদানে পচন সম্পর্কে, পচনের উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। নিম্নলিখিতটি মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে একটি সংখ্যাকে পচানোর ক্যানোনিকাল ফর্ম দেখায়। এর পরে, নির্বিচারে সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করার জন্য একটি অ্যালগরিদম দেওয়া হয় এবং এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সংখ্যাগুলিকে পচানোর উদাহরণ দেওয়া হয়। এছাড়াও বিবেচনা করা হয় বিকল্প উপায়, যা আপনাকে বিভাজ্যতা পরীক্ষা এবং গুণন সারণী ব্যবহার করে দ্রুত ছোট পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করতে দেয়।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
প্রথমত, আসুন দেখি প্রাইম ফ্যাক্টর কি।
এটা স্পষ্ট যে যেহেতু এই শব্দগুচ্ছটিতে "ফ্যাক্টর" শব্দটি উপস্থিত রয়েছে, তাই কিছু সংখ্যার একটি গুণফল আছে এবং যোগ্যতা শব্দ "সহজ" মানে প্রতিটি গুণনীয়ক একটি মৌলিক সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, 2·7·7·23 ফর্মের একটি গুণফলের চারটি মৌলিক গুণনীয়ক রয়েছে: 2, 7, 7 এবং 23।
একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টর করার অর্থ কী?
এর মানে হল যে এই সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলির একটি গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে এবং এই গুণের মান অবশ্যই মূল সংখ্যার সমান হতে হবে। উদাহরণ হিসাবে, তিনটি মৌলিক সংখ্যা 2, 3 এবং 5 এর গুণফল বিবেচনা করুন, এটি 30 এর সমান, এইভাবে 30 সংখ্যাটির মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পচন 2·3·5। সাধারনত মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে একটি সংখ্যার পচন একটি সমতা হিসাবে লেখা হয়; আমাদের উদাহরণে এটি এরকম হবে: 30=2·3·5। আমরা আলাদাভাবে জোর দিই যে সম্প্রসারণের প্রধান কারণগুলি পুনরাবৃত্তি হতে পারে। এটি নিম্নলিখিত উদাহরণ দ্বারা স্পষ্টভাবে চিত্রিত হয়েছে: 144=2·2·2·2·3·3। কিন্তু 45=3·15 ফর্মের একটি উপস্থাপনা মৌলিক গুণনীয়কগুলির মধ্যে একটি পচন নয়, যেহেতু 15 সংখ্যাটি একটি যৌগিক সংখ্যা।
নিম্নলিখিত প্রশ্ন উঠেছে: "কোন সংখ্যাগুলিকে মৌলিক উপাদানগুলিতে পচানো যেতে পারে?"
এর উত্তর খুঁজতে আমরা নিম্নোক্ত যুক্তি উপস্থাপন করছি। মৌলিক সংখ্যা, সংজ্ঞা অনুসারে, একের চেয়ে বড় সংখ্যাগুলির মধ্যে রয়েছে। এই সত্যটি বিবেচনা করে এবং , এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে বেশ কয়েকটি মৌলিক গুণনীয়কের গুণফল একটির চেয়ে বড় একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। অতএব, মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে গুণিতকরণ ঘটে শুধুমাত্র 1-এর চেয়ে বড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য।
কিন্তু একের চেয়ে বড় সব পূর্ণসংখ্যাকে কি মৌলিক গুণনীয়ক হিসেবে গণ্য করা যায়?
এটা স্পষ্ট যে সাধারণ পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করা সম্ভব নয়। এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে মৌলিক সংখ্যাগুলির শুধুমাত্র দুটি ধনাত্মক ভাজক রয়েছে - একটি এবং নিজেই, তাই তাদের দুটি বা এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না আরোমৌলিক সংখ্যা। যদি পূর্ণসংখ্যা z কে মৌলিক সংখ্যা a এবং b এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যায়, তাহলে বিভাজ্যতার ধারণাটি আমাদের এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে দেবে যে z a এবং b উভয় দ্বারা বিভাজ্য, যা z সংখ্যার সরলতার কারণে অসম্ভব। যাইহোক, তারা বিশ্বাস করে যে কোন মৌলিক সংখ্যা নিজেই একটি পচন।
যৌগিক সংখ্যা সম্পর্কে কি? যৌগিক সংখ্যাগুলি কি মৌলিক উপাদানে পচনশীল, এবং সমস্ত যৌগিক সংখ্যা কি এই ধরনের পচন সাপেক্ষে? পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য এই কয়েকটি প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর দেয়। পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে 1 এর চেয়ে বড় যেকোন পূর্ণসংখ্যা a কে মৌলিক গুণনীয়ক p 1, p 2, ..., p n এর গুণফলের মধ্যে পচানো যেতে পারে এবং পচনের ফর্ম a = p 1 · p 2 · … · p n, এবং এটি সম্প্রসারণ অনন্য, যদি আপনি কারণগুলির ক্রম বিবেচনা না করেন
একটি সংখ্যার প্রসারণে, মৌলিক গুণনীয়কগুলি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। রিপিটিং প্রাইম ফ্যাক্টর ব্যবহার করে আরও কম্প্যাক্টলি লেখা যায়। একটি সংখ্যার পচনের ক্ষেত্রে প্রাইম ফ্যাক্টর p 1 ঘটবে s 1 বার, মৌলিক ফ্যাক্টর p 2 – s 2 বার, এবং তাই, p n – s n বার। তারপর a সংখ্যাটির মৌলিক গুণনীয়ক হিসাবে লেখা যেতে পারে a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. রেকর্ডিং এই ফর্ম তথাকথিত হয় প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে একটি সংখ্যার ক্যানোনিকাল ফ্যাক্টরাইজেশন.
প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে একটি সংখ্যার ক্যানোনিকাল পচনের উদাহরণ দেওয়া যাক। আমাদের পচন জানা যাক 609 840 = 2 2 2 3 3 5 7 11 11, এর ক্যানোনিকাল স্বরলিপির ফর্ম আছে 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে একটি সংখ্যার ক্যানোনিকাল ফ্যাক্টরাইজেশন আপনাকে সংখ্যার সমস্ত ভাজক এবং সংখ্যার ভাজকের সংখ্যা খুঁজে পেতে দেয়।
একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করার কাজটি সফলভাবে মোকাবেলা করার জন্য, আপনাকে প্রাইম এবং কম্পোজিট সংখ্যা নিবন্ধের তথ্য সম্পর্কে খুব ভালো জ্ঞান থাকতে হবে।
একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পচন প্রক্রিয়ার সারমর্ম যা একটিকে অতিক্রম করে তা পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের প্রমাণ থেকে স্পষ্ট। বিন্দুটি হল ক্রমানুসারে a, a 1, a 2, ..., a n-1 সংখ্যার ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক p 1, p 2, ..., p n খুঁজে বের করা, যা আমাদের সমতার একটি সিরিজ পেতে দেয় a=p 1 ·a 1, যেখানে a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, যেখানে a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n, যেখানে a n =a n-1:p n। যখন এটি একটি n =1 পরিণত হয়, তখন সমতা a=p 1 ·p 2 ·…·p n আমাদেরকে একটি সংখ্যার কাঙ্খিত পচনকে মৌলিক গুণনীয়ক হিসাবে দেবে। এখানে এটিও উল্লেখ করা উচিত p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
প্রতিটি ধাপে কীভাবে ক্ষুদ্রতম মৌলিক গুণনীয়কগুলি খুঁজে বের করা যায় তা নির্ধারণ করা বাকি আছে এবং আমাদের কাছে একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে বিভক্ত করার জন্য একটি অ্যালগরিদম থাকবে। মৌলিক সংখ্যার একটি টেবিল আমাদের মৌলিক গুণনীয়ক খুঁজে পেতে সাহায্য করবে। z সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম প্রাইম ভাজক পাওয়ার জন্য কীভাবে এটি ব্যবহার করতে হয় তা দেখাই।
আমরা ক্রমানুসারে মৌলিক সংখ্যার সারণী থেকে মৌলিক সংখ্যা গ্রহণ করি (2, 3, 5, 7, 11, ইত্যাদি) এবং তাদের দ্বারা প্রদত্ত সংখ্যা zকে ভাগ করি। প্রথম মৌলিক সংখ্যা যার দ্বারা z সমানভাবে ভাগ করা হবে সেটি হবে তার ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক। যদি z সংখ্যাটি মৌলিক হয়, তাহলে এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজকটি হবে z সংখ্যাটিই। এখানে এটাও স্মরণ করা উচিত যে যদি z না হয় মৌলিক সংখ্যা, তাহলে এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক সংখ্যাটি অতিক্রম করে না, যেখানে z থেকে এসেছে। এইভাবে, মৌলিক সংখ্যাগুলির মধ্যে যদি z সংখ্যার একটিও ভাজক না থাকে, তাহলে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে z একটি মৌলিক সংখ্যা (এটি সম্পর্কে আরও কিছু শিরোনামের অধীনে তত্ত্ব বিভাগে লেখা আছে এই সংখ্যাটি মৌলিক বা যৌগিক )
উদাহরণ হিসাবে, আমরা দেখাব কিভাবে 87 সংখ্যার ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক বের করা যায়। 2 নম্বরটা ধরা যাক। 87 কে 2 দ্বারা ভাগ করুন, আমরা 87:2=43 (বাকি 1) পাই (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধটি দেখুন)। অর্থাৎ, 87 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্টাংশ 1 হয়, তাই 2 সংখ্যাটি 87 এর ভাজক নয়। আমরা মৌলিক সংখ্যা টেবিল থেকে পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা নিই, এটি হল 3 নম্বর। 87 কে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 87:3=29 পাই। সুতরাং, 87 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই, 3 সংখ্যাটি 87 সংখ্যার ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক।
মনে রাখবেন যে সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করার জন্য, আমাদের একটি সংখ্যা পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একটি সারণী প্রয়োজন যেটি সংখ্যার চেয়ে কম নয়। আমাদের প্রতিটি পদক্ষেপে এই টেবিলটি উল্লেখ করতে হবে, তাই আমাদের এটি হাতে থাকা দরকার। উদাহরণস্বরূপ, 95 নম্বরটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য, আমাদের শুধুমাত্র 10 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একটি টেবিলের প্রয়োজন হবে (যেহেতু 10 এর থেকে বড়)। এবং 846,653 সংখ্যাটি পচানোর জন্য, আপনার ইতিমধ্যেই 1,000 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একটি টেবিলের প্রয়োজন হবে (যেহেতু 1,000 এর থেকে বড়)।
আমরা এখন লিখতে যথেষ্ট তথ্য আছে একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টর করার জন্য অ্যালগরিদম. A সংখ্যাটি পচানোর জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:
স্পষ্টতার জন্য, একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচানোর জন্য অ্যালগরিদমের প্রতিটি ধাপে প্রাপ্ত সমস্ত ফলাফল নিম্নলিখিত টেবিলের আকারে উপস্থাপন করা হয়েছে, যেখানে সংখ্যাগুলি a, a 1, a 2, ..., a n ক্রমিকভাবে লেখা হয়েছে উল্লম্ব রেখার বাম দিকে এবং লাইনের ডানদিকে একটি কলামে - সংশ্লিষ্ট ক্ষুদ্রতম প্রাইম ভাজক p 1, p 2, ..., p n।
যা অবশিষ্ট থাকে তা হল সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচানোর জন্য ফলস্বরূপ অ্যালগরিদমের প্রয়োগের কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করা।
এখন আমরা বিস্তারিত দেখব সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করার উদাহরণ. পচন করার সময়, আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অ্যালগরিদম ব্যবহার করব। আসুন সাধারণ কেস দিয়ে শুরু করা যাক, এবং সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করার সময় উদ্ভূত সমস্ত সম্ভাব্য সূক্ষ্মতার সম্মুখীন হওয়ার জন্য ধীরে ধীরে সেগুলিকে জটিল করে তুলি।
উদাহরণ।
78 নম্বরটিকে এর মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করুন।
সমাধান।
আমরা a=78 সংখ্যাটির প্রথম ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক p 1 অনুসন্ধান শুরু করি। এটি করার জন্য, আমরা মৌলিক সংখ্যার সারণী থেকে মৌলিক সংখ্যার মাধ্যমে ক্রমানুসারে সাজাতে শুরু করি। আমরা 2 নম্বরটি নিই এবং 78 কে এটি দিয়ে ভাগ করি, আমরা 78:2=39 পাই। 78 সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করা হয় একটি অবশিষ্ট ছাড়া, তাই p 1 =2 হল 78 নম্বরের প্রথম পাওয়া মৌলিক ভাজক। এই ক্ষেত্রে, a 1 =a:p 1 =78:2=39। সুতরাং আমরা সমতায় আসি a=p 1 ·a 1 যার ফর্ম 78=2·39। স্পষ্টতই, একটি 1 =39 1 থেকে আলাদা, তাই আমরা অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় ধাপে চলে যাই।
এখন আমরা a 1 =39 সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক p 2 খুঁজছি। আমরা p 1 =2 দিয়ে শুরু করে মৌলিক সংখ্যার টেবিল থেকে সংখ্যা গণনা শুরু করি। 39 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই 39:2=19 (বাকি 1)। যেহেতু 39 সমানভাবে 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই 2 এর ভাজক নয়। তারপর আমরা মৌলিক সংখ্যার টেবিল থেকে পরবর্তী সংখ্যাটি নিই (সংখ্যা 3) এবং এটি দিয়ে 39 কে ভাগ করলে আমরা 39:3=13 পাই। অতএব, p 2 =3 হল 39 সংখ্যার ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক, যখন a 2 =a 1:p 2 =39:3=13। আমাদের সমতা আছে a=p 1 ·p 2 ·a 2 আকারে 78=2·3·13। যেহেতু একটি 2 =13 1 থেকে আলাদা, আমরা অ্যালগরিদমের পরবর্তী ধাপে চলে যাই।
এখানে আমাদের a 2 = 13 সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক খুঁজে বের করতে হবে। 13 নম্বরের ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক p 3-এর সন্ধানে, আমরা p 2 =3 দিয়ে শুরু করে মৌলিক সংখ্যার সারণী থেকে সংখ্যাগুলিকে ক্রমানুসারে সাজাব। 13 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়, যেহেতু 13:3=4 (বাকি। 1), এছাড়াও 13 5, 7 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়, যেহেতু 13:5=2 (বাকি। 3), 13:7=1 (বাকি। 6) এবং 13:11=1 (বাকি। 2)। পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা হল 13, এবং 13 একটি অবশিষ্ট ছাড়াই এটি দ্বারা বিভাজ্য, তাই, 13-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক p 3 হল 13 নম্বরটি, এবং a 3 =a 2:p 3 =13:13=1। যেহেতু একটি 3 =1, অ্যালগরিদমের এই ধাপটি শেষ, এবং 78 নম্বরের প্রয়োজনীয় পচনকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) গঠন করা হয়েছে।
উত্তর:
78=2·3·13।
উদাহরণ।
83,006 সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলির গুণফল হিসাবে প্রকাশ করুন।
সমাধান।
একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচানোর জন্য অ্যালগরিদমের প্রথম ধাপে, আমরা p 1 =2 এবং a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 পাই, যেখান থেকে 83,006=2·41,503।
দ্বিতীয় ধাপে, আমরা জানতে পারি যে 2, 3 এবং 5 সংখ্যাটি a 1 = 41,503 এর মৌলিক ভাজক নয়, কিন্তু 41,503:7=5,929 থেকে সংখ্যাটি 7। আমাদের আছে p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929। এইভাবে, 83,006 = 2 7 5 929।
a 2 = 5 929 সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 7 সংখ্যা, যেহেতু 5 929:7 = 847। সুতরাং, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, যা থেকে 83 006 = 2·7·7·847।
এরপর আমরা দেখতে পাই যে a 3 =847 সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক p 4 হল 7 এর সমান। তারপর a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, তাই 83 006=2·7·7·7·121।
এখন আমরা a 4 =121 সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক খুঁজে পাই, এটি সংখ্যা p 5 =11 (যেহেতু 121 11 দ্বারা বিভাজ্য এবং 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়)। তারপর a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, এবং 83 006=2·7·7·7·11·11।
অবশেষে, a 5 =11 সংখ্যাটির ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল সংখ্যা p 6 =11। তারপর a 6 =a 5:p 6 =11:11=1। একটি 6 =1 থেকে, একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচানোর জন্য অ্যালগরিদমের এই ধাপটি শেষ, এবং পছন্দসই পচনের ফর্মটি 83 006 = 2·7·7·7·11·11।
প্রাপ্ত ফলাফলকে সংখ্যার প্রামাণিক পচন হিসাবে লেখা যেতে পারে মৌলিক গুণনীয়ক 83 006 = 2·7 3 ·11 2।
উত্তর:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 একটি মৌলিক সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, এটির একটি একক প্রাইম ভাজক নেই যা অতিক্রম করে না ( মোটামুটি অনুমান করা যেতে পারে, যেহেতু এটি স্পষ্ট যে 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
উত্তর:
897 924 289 = 937 967 991।
সাধারণ ক্ষেত্রে, আপনি এই নিবন্ধের প্রথম অনুচ্ছেদ থেকে পচন অ্যালগরিদম ব্যবহার না করেই একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করতে পারেন। সংখ্যাগুলো যদি বড় না হয়, তাহলে সেগুলোকে মৌলিক উপাদানে পচানোর জন্য প্রায়শই বিভাজ্যতার চিহ্নগুলো জানা যথেষ্ট। ব্যাখ্যার জন্য উদাহরণ দেওয়া যাক।
উদাহরণস্বরূপ, আমাদের 10 নম্বরটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে গুণতে হবে। গুণের সারণী থেকে আমরা জানি যে 2·5=10, এবং সংখ্যা 2 এবং 5 স্পষ্টতই মৌলিক, তাই 10 নম্বরের মৌলিক গুণনীয়কটি 10=2·5 এর মত দেখাচ্ছে।
আরেকটি উদাহরণ. গুণের সারণী ব্যবহার করে, আমরা 48 নম্বরটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করব। আমরা জানি যে ছয় হল আট - আটচল্লিশ, অর্থাৎ 48 = 6·8। যাইহোক, 6 বা 8 কোনটিই মৌলিক সংখ্যা নয়। কিন্তু আমরা জানি যে দুইবার তিন মানে ছয়, আর দুইবার চার মানে আট, অর্থাৎ 6=2·3 এবং 8=2·4। তারপর ৪৮=৬·৮=২·৩·২·৪। মনে রাখতে হবে যে দুই গুণ দুই হল চার, তাহলে আমরা কাঙ্খিত পচনকে মৌলিক গুণনীয়ক 48 = 2·3·2·2·2 এ পাই। আসুন এই সম্প্রসারণটিকে প্রামাণিক আকারে লিখি: 48=2 4 ·3।
কিন্তু 3,400 সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করার সময়, আপনি বিভাজ্যতার মানদণ্ড ব্যবহার করতে পারেন। 10, 100 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নগুলি আমাদেরকে বলতে দেয় যে 3,400 100 দ্বারা বিভাজ্য, 3,400 = 34·100 সহ, এবং 100 10 দ্বারা বিভাজ্য, 100=10·10 সহ, তাই, 3,400=34·10·10। এবং 2 দ্বারা বিভাজ্যতার পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে, আমরা বলতে পারি যে 34, 10 এবং 10 এর প্রতিটি গুণনীয়ক 2 দ্বারা বিভাজ্য, আমরা পাই 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. ফলাফল সম্প্রসারণের সমস্ত কারণ সহজ, তাই এই সম্প্রসারণটি কাঙ্খিত। যা বাকি থাকে তা হল ফ্যাক্টরগুলিকে পুনর্বিন্যাস করা যাতে তারা আরোহী ক্রমে যায়: 3 400 = 2·2·2·5·5·17। আসুন আমরা এই সংখ্যার ক্যানোনিকাল পচনকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে লিখি: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17।
একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচানোর সময়, আপনি পালাক্রমে বিভাজ্যতার চিহ্ন এবং গুণ সারণী উভয়ই ব্যবহার করতে পারেন। আসুন 75 সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলির গুণফল হিসাবে কল্পনা করি। 5 দ্বারা বিভাজ্যতার পরীক্ষা আমাদের বলতে দেয় যে 75 5 দ্বারা বিভাজ্য, এবং আমরা পাই 75 = 5·15। এবং গুণন সারণী থেকে আমরা জানি যে 15=3·5, অতএব, 75=5·3·5। এটি 75 নম্বরের মৌলিক গুণনীয়কগুলির প্রয়োজনীয় পচন।
গ্রন্থপঞ্জি।
ফ্যাক্টরিং মানে কি? এর অর্থ হল এমন সংখ্যা খুঁজে বের করা যার গুণফল আসল সংখ্যার সমান।
ফ্যাক্টর বলতে কী বোঝায় তা বোঝার জন্য, আসুন একটি উদাহরণ দেখি।
8 নম্বর গুণনীয়ক।
8 নম্বরটিকে 2 দ্বারা 4 এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
8 কে 2 * 4 এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করার অর্থ ফ্যাক্টরাইজেশন।
উল্লেখ্য যে এটি 8 এর একমাত্র ফ্যাক্টরাইজেশন নয়।
সব পরে, 4 এই মত ফ্যাক্টরাইজ করা হয়:
এখান থেকে 8 প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
আমাদের উত্তর চেক করা যাক. আসুন ফ্যাক্টরাইজেশন কি সমান তা খুঁজে বের করা যাক:
অর্থাৎ, আমরা আসল নম্বর পেয়েছি, উত্তরটি সঠিক।
কিভাবে সংখ্যা 24 মৌলিক গুণনীয়ক মধ্যে গুণনীয়ক?
একটি সংখ্যাকে প্রাইম বলা হয় যদি এটি শুধুমাত্র একটি এবং নিজে দ্বারা বিভাজ্য হয়।
8 নম্বরটিকে 3 দ্বারা 8 এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
এখানে 24 নম্বর ফ্যাক্টরাইজ করা হয়েছে। কিন্তু অ্যাসাইনমেন্টে বলা হয়েছে "24 নম্বরটিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টর করুন," অর্থাৎ এটা প্রধান কারণ যে প্রয়োজন হয়. এবং আমাদের সম্প্রসারণে, 3 একটি মৌলিক গুণনীয়ক, এবং 8 একটি মৌলিক গুণনীয়ক নয়।
আমরা ইতিমধ্যেই জানি কিভাবে আংশিকভাবে ক্ষমতার পার্থক্যের ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করতে হয় - "বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য" এবং "কিউবগুলির পার্থক্য" বিষয় অধ্যয়ন করার সময় আমরা একটি পণ্য হিসাবে অভিব্যক্তির পার্থক্যকে উপস্থাপন করতে শিখেছি যা বর্গাকার বা কিউব হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এক্সপ্রেশন বা সংখ্যা।
সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করে:
বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য দুটি সংখ্যা বা রাশির পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
কিউবের পার্থক্যকে যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা দুটি সংখ্যার পার্থক্যের গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
বর্গক্ষেত্র সূত্রের পার্থক্যের উপর ভিত্তি করে, আসুন $a^4-b^4$ রাশিটিকে ফ্যাক্টরাইজ করার চেষ্টা করি
আসুন মনে রাখবেন কিভাবে একটি ডিগ্রী একটি ডিগ্রীতে উন্নীত হয় - এর জন্য, ভিত্তিটি একই থাকে এবং সূচকগুলিকে গুণ করা হয়, যেমন $((a^n))^m=a^(n*m)$
তারপর আপনি কল্পনা করতে পারেন:
$a^4=(((a)^2))^2$
$b^4=(((b)^2))^2$
এর মানে হল যে আমাদের অভিব্যক্তিটিকে $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
এখন প্রথম বন্ধনীতে আমরা আবার সংখ্যার পার্থক্য পেয়েছি, যার মানে আমরা আবার এটিকে দুটি সংখ্যা বা রাশির যোগফলের পার্থক্যের গুণফল হিসাবে গুণিত করতে পারি: $a^2-b^2=\left(a-b\right )(a+b)$।
এখন বহুপদীর গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় বন্ধনীর গুণফল গণনা করা যাক - প্রথম বহুপদীর প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় বহুপদীর প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করুন এবং ফলাফল যোগ করুন। এটি করার জন্য, প্রথমে প্রথম বহুপদীর প্রথম পদটিকে গুণ করুন - $a$ - দ্বিতীয়টির প্রথম এবং দ্বিতীয় পদ ($a^2$ এবং $b^2$ দ্বারা), অর্থাৎ। আমরা $a\cdot a^2+a\cdot b^2$ পাই, তারপর প্রথম বহুপদীর দ্বিতীয় পদ -$b$-কে দ্বিতীয় বহুপদীর প্রথম এবং দ্বিতীয় পদ দ্বারা গুণ করি ($a^2$ এবং $b^2$), যারা। আমরা $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ পাই এবং ফলাফলের রাশিগুলির যোগফল রচনা করি
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
আসুন গণনাকৃত গুণফলকে বিবেচনায় নিয়ে ডিগ্রী 4 এর মনোমিয়ালের পার্থক্য লিখি:
$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=(a)^2-b^2)(a^2) +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আসুন $a^6-b^6$ রাশিটিকে ফ্যাক্টরাইজ করার চেষ্টা করি
আসুন মনে রাখবেন কিভাবে একটি ডিগ্রী একটি ডিগ্রীতে উন্নীত হয় - এর জন্য, ভিত্তিটি একই থাকে এবং সূচকগুলিকে গুণ করা হয়, যেমন $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$
তারপর আপনি কল্পনা করতে পারেন:
$a^6=(((a)^3))^2$
$b^6=(((b)^3))^2$
এর মানে হল যে আমাদের অভিব্যক্তিটিকে $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
প্রথম বন্ধনীতে আমরা মোনোমিয়ালের ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য পেয়েছি, দ্বিতীয়টিতে মনোমিয়ালের ঘনকের যোগফল, এখন আমরা আবার যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা দুটি সংখ্যার পার্থক্যের গুণফল হিসাবে মনোমিয়ালের ঘনকের পার্থক্যকে গুণিত করতে পারি। $a^3-b^3=\left(a-b\right)( a^2+ab+b^2)$
মূল অভিব্যক্তি রূপ নেয়
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$
চলুন বহুপদীর গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় বন্ধনীর গুণফল গণনা করি - প্রথম বহুপদীর প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় বহুপদীর প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করুন এবং ফলাফল যোগ করুন।
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
আসুন গণনাকৃত গুণফলকে বিবেচনায় নিয়ে ডিগ্রী 6 এর মনোমিয়ালের পার্থক্য লিখি:
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
আসুন ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য, $4$ ডিগ্রীর পার্থক্য, $6$ ডিগ্রীর পার্থক্যের সূত্রগুলি বিশ্লেষণ করি
আমরা দেখতে পাই যে এই প্রতিটি সম্প্রসারণের মধ্যে কিছু সাদৃশ্য রয়েছে, যা আমরা পাই:
উদাহরণ 1
ফ্যাক্টরাইজ $(32x)^(10)-(243y)^(15)$
সমাধান:প্রথমে, আসুন প্রতিটি একপদকে 5ম শক্তির কিছু মনোমিয়াল হিসাবে উপস্থাপন করি:
\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]
আমরা শক্তি পার্থক্য সূত্র ব্যবহার
ছবি 1।
সাধারণভাবে, এই কাজটির জন্য একটি সৃজনশীল পদ্ধতির প্রয়োজন, যেহেতু এটি সমাধানের জন্য কোনও সর্বজনীন পদ্ধতি নেই। তবে কিছু টিপস দেওয়ার চেষ্টা করি।
বেশির ভাগ ক্ষেত্রেই, একটি বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশন বেজউটের উপপাদ্যের একটি ফলাফলের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়, অর্থাৎ, মূল পাওয়া যায় বা নির্বাচিত হয় এবং বহুপদীর ডিগ্রী একটি দ্বারা ভাগ করে কমিয়ে দেওয়া হয়। ফলস্বরূপ বহুপদীর মূল অনুসন্ধান করা হয় এবং সম্পূর্ণ সম্প্রসারণ না হওয়া পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করা হয়।
যদি মূলটি খুঁজে পাওয়া না যায়, তবে নির্দিষ্ট সম্প্রসারণ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়: গ্রুপিং থেকে অতিরিক্ত পারস্পরিক একচেটিয়া পদ প্রবর্তন পর্যন্ত।
আরও উপস্থাপনা পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ উচ্চ ডিগ্রির সমীকরণ সমাধানের দক্ষতার উপর ভিত্তি করে।
চলুন সহজ ক্ষেত্রে শুরু করা যাক, যখন মুক্ত পদটি শূন্যের সমান হয়, অর্থাৎ বহুপদীটির ফর্ম থাকে।
স্পষ্টতই, এই ধরনের বহুপদীর মূল হল , অর্থাৎ, আমরা বহুপদীকে আকারে উপস্থাপন করতে পারি।
এই পদ্ধতি আর কিছুই নয় সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখা.
উদাহরণ।
একটি তৃতীয় ডিগ্রি বহুপদী গুণনীয়ক।
সমাধান।
স্পষ্টতই, বহুপদীর মূল কী, অর্থাৎ এক্সবন্ধনী থেকে নেওয়া যেতে পারে:
চলুন চতুর্মুখী ত্রিনয়কের মূল খুঁজে বের করা যাক 
এইভাবে, 
পৃষ্ঠার উপরিভাগে
প্রথমে, আসুন ফর্মের পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদ সম্প্রসারণের একটি পদ্ধতি বিবেচনা করি, সর্বোচ্চ ডিগ্রির সহগ একের সমান।
এই ক্ষেত্রে, যদি একটি বহুপদে পূর্ণসংখ্যার মূল থাকে, তবে তারা মুক্ত পদের ভাজক।
উদাহরণ।
সমাধান।
অক্ষত শিকড় আছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, সংখ্যার ভাজক লিখুন -18
: অর্থাৎ, যদি কোনো বহুপদীর পূর্ণসংখ্যার মূল থাকে, তাহলে সেগুলো লিখিত সংখ্যার মধ্যে থাকে। হর্নারের স্কিম ব্যবহার করে ক্রমানুসারে এই সংখ্যাগুলি পরীক্ষা করা যাক। এর সুবিধার মধ্যেও রয়েছে যে শেষ পর্যন্ত আমরা বহুপদীর সম্প্রসারণ সহগ পেতে পারি: 
এটাই, x=2এবং x=-3মূল বহুপদীর মূল এবং আমরা এটিকে একটি পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি:
এটি দ্বিঘাত ত্রিকোণিক প্রসারিত অবশেষ.
এই ত্রিনয়কের বৈষম্যকারী নেতিবাচক, তাই এর কোনো প্রকৃত শিকড় নেই।
উত্তর:
মন্তব্য:
হর্নারের স্কিমের পরিবর্তে, কেউ একটি বহুপদ দ্বারা বহুপদীর মূল এবং পরবর্তী বিভাজন ব্যবহার করতে পারে।
এখন ফর্মের পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদীর প্রসারণ বিবেচনা করুন এবং সর্বোচ্চ ডিগ্রির সহগ একের সমান নয়।
এই ক্ষেত্রে, বহুপদীর ভগ্নাংশে যুক্তিযুক্ত মূল থাকতে পারে।
উদাহরণ।
অভিব্যক্তি ফ্যাক্টর.
সমাধান।
একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন সম্পাদন করে y=2x, চলুন সর্বোচ্চ ডিগ্রীতে একের সমান সহগ সহ একটি বহুপদে এগিয়ে যাই। এটি করার জন্য, প্রথমে অভিব্যক্তিটিকে দ্বারা গুণ করুন 4
.
যদি ফলস্বরূপ ফাংশনের পূর্ণসংখ্যার মূল থাকে, তাহলে তারা মুক্ত পদের ভাজকগুলির মধ্যে রয়েছে। আসুন সেগুলি লিখি:
চলুন ক্রমানুসারে ফাংশনের মান গণনা করি g(y)এই বিন্দুতে শূন্য না পৌঁছানো পর্যন্ত। 
