সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

সব বৈচিত্র্যের মধ্যে লগারিদমিক অসমতাপরিবর্তনশীল বেস সহ অসমতা আলাদাভাবে অধ্যয়ন করা হয়। এগুলি একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, যা কিছু কারণে খুব কমই স্কুলে শেখানো হয়:

লগ k (x) f (x) ∨ লগ k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

"∨" চেকবক্সের পরিবর্তে, আপনি যেকোনো অসমতার চিহ্ন রাখতে পারেন: কম বা বেশি। প্রধান বিষয় হল যে উভয় অসমতার লক্ষণ একই।

এইভাবে আমরা লগারিদম থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি এবং সমস্যাটিকে একটি যৌক্তিক অসমতায় কমিয়ে আনব। পরেরটি সমাধান করা অনেক সহজ, কিন্তু লগারিদম বর্জন করার সময়, অতিরিক্ত শিকড় উপস্থিত হতে পারে। তাদের কেটে ফেলার জন্য, এটি গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসীমা খুঁজে বের করার জন্য যথেষ্ট। আপনি যদি লগারিদমের ODZ ভুলে গিয়ে থাকেন, আমি দৃঢ়ভাবে এটি পুনরাবৃত্তি করার পরামর্শ দিচ্ছি - দেখুন "লগারিদম কী"।

গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের সাথে সম্পর্কিত সবকিছু অবশ্যই লিখতে হবে এবং আলাদাভাবে সমাধান করতে হবে:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ ১।

এই চারটি অসমতা একটি সিস্টেম গঠন করে এবং একই সাথে সন্তুষ্ট হতে হবে। যখন গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর পাওয়া যায়, তখন যা অবশিষ্ট থাকে তা হল যৌক্তিক অসমতার সমাধান দিয়ে এটিকে ছেদ করা - এবং উত্তর প্রস্তুত।

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

প্রথমে, লগারিদমের ODZ লিখি:

প্রথম দুটি অসমতা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়, তবে শেষটি লিখতে হবে। যেহেতু একটি সংখ্যার বর্গ যদি শূন্য হয় এবং শুধুমাত্র যদি সংখ্যাটি নিজেই শূন্য হয়, তাহলে আমাদের আছে:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0।

দেখা যাচ্ছে যে লগারিদমের ODZ হল শূন্য বাদে সমস্ত সংখ্যা: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। এখন আমরা প্রধান অসমতা সমাধান করি:

আমরা লগারিদমিক অসমতা থেকে যৌক্তিক একটিতে রূপান্তর করি। মূল অসমতার একটি "কম" চিহ্ন রয়েছে, যার মানে ফলাফল অসমতার একটি "এর চেয়ে কম" চিহ্ন থাকতে হবে। আমাদের আছে:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 −1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

এই রাশির শূন্যগুলি হল: x = 3; x = −3; x = 0. তাছাড়া, x = 0 হল দ্বিতীয় গুণের একটি মূল, যার অর্থ হল এটির মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ফাংশনের চিহ্ন পরিবর্তন হয় না। আমাদের আছে:

আমরা x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) পাই। এই সেটটি সম্পূর্ণরূপে লগারিদমের ODZ এর মধ্যে রয়েছে, যার অর্থ এই উত্তর।

লগারিদমিক অসমতা রূপান্তর

প্রায়ই মূল অসমতা উপরের এক থেকে ভিন্ন। এই দ্বারা ঠিক করা সহজ আদর্শ নিয়মলগারিদমের সাথে কাজ করা - "লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য" দেখুন। যথা:

1. যেকোন সংখ্যাকে একটি প্রদত্ত বেস সহ লগারিদম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে;
2. একই বেস সহ লগারিদমের যোগফল এবং পার্থক্য একটি লগারিদম দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

আলাদাভাবে, আমি আপনাকে গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর সম্পর্কে মনে করিয়ে দিতে চাই। যেহেতু মূল অসমতায় বেশ কয়েকটি লগারিদম থাকতে পারে, তাই তাদের প্রতিটির VA খুঁজে বের করতে হবে। এইভাবে, সাধারণ স্কিমলগারিদমিক অসমতার সমাধানগুলি নিম্নরূপ:

1. অসমতার অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি লগারিদমের VA খুঁজুন;
2. লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার সূত্র ব্যবহার করে একটি আদর্শে অসমতা হ্রাস করুন;
3. উপরে প্রদত্ত স্কিম ব্যবহার করে ফলস্বরূপ অসমতা সমাধান করুন।

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

আসুন প্রথম লগারিদমের সংজ্ঞার ডোমেন (DO) সন্ধান করি:

আমরা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করি। লবের শূন্য খুঁজে বের করা:

3x − 2 = 0;
x = 2/3।

তারপর - হর এর শূন্য:

x − 1 = 0;
x = 1।

আমরা স্থানাঙ্ক তীরটিতে শূন্য এবং চিহ্নগুলি চিহ্নিত করি:

আমরা x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) পাই। দ্বিতীয় লগারিদমের একই VA থাকবে। আপনি বিশ্বাস না হলে, আপনি এটি পরীক্ষা করতে পারেন. এখন আমরা দ্বিতীয় লগারিদমকে রূপান্তর করি যাতে ভিত্তিটি দুটি হয়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমের বেসে এবং সামনের তিনটি ছোট করা হয়েছে। আমরা দুটি লগারিদম পেয়েছি একই ভিত্তি. আসুন সেগুলি যোগ করি:

লগ 2 (x − 1) 2< 2;
লগ 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

আমরা স্ট্যান্ডার্ড লগারিদমিক অসমতা পেয়েছি। আমরা সূত্র ব্যবহার করে লগারিদম পরিত্রাণ পেতে. যেহেতু মূল অসমতা একটি "কম" চিহ্ন ধারণ করে, ফলে যৌক্তিক অভিব্যক্তিটিও হতে হবে শূন্যের চেয়ে কম. আমাদের আছে:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3)।

আমরা দুটি সেট পেয়েছি:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. প্রার্থীর উত্তর: x ∈ (−1; 3)।

এই সেটগুলিকে ছেদ করা বাকি আছে - আমরা আসল উত্তর পাই:

আমরা সেটগুলির ছেদ করতে আগ্রহী, তাই আমরা উভয় তীরের ছায়াযুক্ত বিরতিগুলি নির্বাচন করি। আমরা x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) পাই - সমস্ত বিন্দু পাংচার করা হয়েছে।

লগারিদমিক অসমতা

পূর্ববর্তী পাঠে, আমরা লগারিদমিক সমীকরণের সাথে পরিচিত হয়েছি এবং এখন আমরা জানি সেগুলি কী এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করা যায়। আজকের পাঠটি লগারিদমিক অসমতার অধ্যয়নের জন্য নিবেদিত হবে। এই অসমতাগুলি কী এবং লগারিদমিক সমীকরণ এবং একটি অসমতার সমাধানের মধ্যে পার্থক্য কী?

লগারিদম অসমতা হল অসমতা যেগুলির লগারিদম চিহ্নের নীচে বা এর ভিত্তিতে একটি পরিবর্তনশীল প্রদর্শিত হয়।

অথবা, আমরা এটাও বলতে পারি যে লগারিদমিক অসমতা হল একটি অসমতা যেখানে লগারিদম সমীকরণের মতো তার অজানা মানটি লগারিদমের চিহ্নের অধীনে প্রদর্শিত হবে।

সহজ লগারিদমিক অসমতাগুলির নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:

যেখানে f(x) এবং g(x) কিছু এক্সপ্রেশন যা x এর উপর নির্ভর করে।

আসুন এই উদাহরণটি ব্যবহার করে এটি দেখি: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1।

লগারিদমিক অসমতা সমাধান করা

লগারিদমিক অসমতাগুলি সমাধান করার আগে, এটি লক্ষ করা উচিত যে সমাধান করার সময় তারা একই রকম সূচকীয় অসমতা, যথা:

প্রথমত, লগারিদম থেকে লগারিদম চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে যাওয়ার সময়, আমাদের লগারিদমের ভিত্তিটিকে একটির সাথে তুলনা করতে হবে;

দ্বিতীয়ত, ভেরিয়েবলের পরিবর্তন ব্যবহার করে লগারিদমিক অসমতা সমাধান করার সময়, আমরা সহজতম অসমতা না পাওয়া পর্যন্ত পরিবর্তনের সাথে বৈষম্যগুলি সমাধান করতে হবে।

কিন্তু আপনি এবং আমি লগারিদমিক অসমতা সমাধানের অনুরূপ দিক বিবেচনা করেছি। এখন আসুন একটি বরং উল্লেখযোগ্য পার্থক্যের দিকে মনোযোগ দিন। আপনি এবং আমি জানি যে লগারিদমিক ফাংশনের সংজ্ঞার একটি সীমিত ডোমেন রয়েছে, তাই লগারিদম থেকে লগারিদম চিহ্নের অধীনে এক্সপ্রেশনে যাওয়ার সময়, আমাদের অনুমতিযোগ্য মানগুলির পরিসর (ADV) বিবেচনা করতে হবে।

অর্থাৎ সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় তা বিবেচনায় নিতে হবে লগারিদমিক সমীকরণআপনি এবং আমি প্রথমে সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে পারি, এবং তারপর এই সমাধানটি পরীক্ষা করুন। কিন্তু লগারিদমিক অসমতা সমাধান করা এইভাবে কাজ করবে না, যেহেতু লগারিদম থেকে লগারিদম চিহ্নের অধীনে এক্সপ্রেশনে যাওয়ার জন্য, অসমতার ODZ লিখতে হবে।

উপরন্তু, এটা মনে রাখা মূল্যবান যে অসমতার তত্ত্বটি বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গঠিত, যা ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যা, সেইসাথে 0 সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, যখন "a" সংখ্যাটি ধনাত্মক হয়, তখন আপনাকে নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করতে হবে: a >0। এই ক্ষেত্রে, এই সংখ্যাগুলির যোগফল এবং গুণফল উভয়ই ধনাত্মক হবে।

একটি অসমতা সমাধানের প্রধান নীতি হল এটিকে একটি সহজ অসমতার সাথে প্রতিস্থাপন করা, তবে মূল বিষয় হল এটি প্রদত্ত একটির সমতুল্য। আরও, আমরা একটি অসমতাও পেয়েছি এবং আবার এটিকে একটি সরল ফর্ম, ইত্যাদি দিয়ে প্রতিস্থাপন করেছি।

একটি পরিবর্তনশীল দিয়ে অসমতা সমাধান করার সময়, আপনাকে এর সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। যদি দুটি অসাম্যের একই চলক x থাকে, তাহলে এই ধরনের অসমতাগুলি সমতুল্য, যদি তাদের সমাধানগুলি মিলে যায়।

লগারিদমিক অসমতা সমাধানের কাজ সম্পাদন করার সময়, আপনাকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে যখন a > 1, তখন লগারিদমিক ফাংশন বৃদ্ধি পায় এবং যখন 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

লগারিদমিক অসমতা সমাধানের পদ্ধতি

এখন আসুন লগারিদমিক অসমতা সমাধান করার সময় যে পদ্ধতিগুলি ঘটে তার কিছু দেখি। আরও ভাল বোঝার জন্য এবং আত্তীকরণের জন্য, আমরা নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে সেগুলি বোঝার চেষ্টা করব।

আমরা সকলেই জানি যে সহজতম লগারিদমিক অসমতার নিম্নলিখিত রূপ রয়েছে:

এই অসমতার মধ্যে, V – নিম্নলিখিত অসমতার লক্ষণগুলির মধ্যে একটি:<,>, ≤ বা ≥।

যখন একটি প্রদত্ত লগারিদমের ভিত্তি এক (a>1) এর চেয়ে বেশি হয়, লগারিদম থেকে লগারিদম চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে রূপান্তর করে, তখন এই সংস্করণে অসমতা চিহ্নটি সংরক্ষিত থাকে এবং অসমতার নিম্নলিখিত রূপ থাকবে:

যা এই সিস্টেমের সমতুল্য:

যে ক্ষেত্রে লগারিদমের ভিত্তি শূন্যের চেয়ে বড় এবং একের কম (0

এটি এই সিস্টেমের সমতুল্য:

আসুন নীচের ছবিতে দেখানো সহজ লগারিদমিক অসমতা সমাধানের আরও উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ সমাধান

ব্যায়াম।আসুন এই অসমতা সমাধান করার চেষ্টা করি:

গ্রহণযোগ্য মান পরিসীমা সমাধান.

এখন এর ডান দিক দিয়ে গুণ করার চেষ্টা করা যাক:

আসুন দেখি আমরা কী নিয়ে আসতে পারি:

এখন, সাবলোগারিদমিক এক্সপ্রেশন রূপান্তরের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। লগারিদমের ভিত্তি 0 হওয়ার কারণে< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8।

এবং এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে আমরা যে ব্যবধানটি পেয়েছি তা সম্পূর্ণরূপে ODZ এর অন্তর্গত এবং এটি এই জাতীয় অসমতার সমাধান।

আমরা যে উত্তর পেয়েছি তা এখানে:

লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য কী প্রয়োজন?

এখন আসুন বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করি সফলভাবে লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য আমাদের কী দরকার?

প্রথমত, আপনার সমস্ত মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করুন এবং এই অসমতার মধ্যে দেওয়া রূপান্তরগুলি সম্পাদন করার সময় ভুল না করার চেষ্টা করুন। এছাড়াও, এটি মনে রাখা উচিত যে এই জাতীয় বৈষম্যগুলি সমাধান করার সময়, অসমতার সম্প্রসারণ এবং সংকোচন এড়াতে হবে, যা বহিরাগত সমাধানগুলির ক্ষতি বা অধিগ্রহণের কারণ হতে পারে।

দ্বিতীয়ত, লগারিদমিক অসমতাগুলি সমাধান করার সময়, আপনাকে যৌক্তিকভাবে চিন্তা করতে শিখতে হবে এবং ধারণাগুলির মধ্যে পার্থক্য বুঝতে শিখতে হবে যেমন একটি বৈষম্যের সিস্টেম এবং অসমতার একটি সেট, যাতে আপনি এর DL দ্বারা পরিচালিত হয়ে অসমতার সমাধানগুলি সহজেই নির্বাচন করতে পারেন।

তৃতীয়ত, এই ধরনের বৈষম্য সফলভাবে সমাধান করার জন্য, আপনার প্রত্যেককে অবশ্যই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি পুরোপুরি জানতে হবে প্রাথমিক ফাংশনএবং স্পষ্টভাবে তাদের অর্থ বুঝতে. এই ধরনের ফাংশনগুলির মধ্যে শুধুমাত্র লগারিদমিক নয়, বরং যুক্তিসঙ্গত, শক্তি, ত্রিকোণমিতিক ইত্যাদিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, এক কথায়, আপনি যে সমস্ত বিষয়ে অধ্যয়ন করেছেন। স্কুলিংবীজগণিত

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমিক অসমতার বিষয়টি অধ্যয়ন করার পরে, এই বৈষম্যগুলি সমাধান করা কঠিন কিছু নেই, যদি আপনি আপনার লক্ষ্য অর্জনে সতর্ক এবং অবিচল থাকেন। বৈষম্য সমাধানে কোনো সমস্যা এড়াতে আপনাকে যতটা সম্ভব অনুশীলন করতে হবে, সমাধান করতে হবে বিভিন্ন কাজএবং একই সময়ে এই ধরনের বৈষম্য সমাধানের মৌলিক পদ্ধতি এবং তাদের সিস্টেমগুলি মনে রাখবেন। আপনি লগারিদমিক অসমতাগুলি সমাধান করতে ব্যর্থ হলে, আপনার ভুলগুলিকে সাবধানে বিশ্লেষণ করা উচিত যাতে ভবিষ্যতে আবার সেগুলি ফিরে না আসে।

বাড়ির কাজ

বিষয়টি আরও ভালভাবে বুঝতে এবং কভার করা উপাদানকে একীভূত করতে, নিম্নলিখিত অসমতাগুলি সমাধান করুন:

ব্যবহারে লগারিদমিক অসমতা

সেচিন মিখাইল আলেকজান্দ্রোভিচ

কাজাখস্তান প্রজাতন্ত্রের ছাত্রদের জন্য ছোট একাডেমি অফ সায়েন্সেস "ইসকাটেল"

MBOU "সোভেটস্কায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 1", 11 ম শ্রেণী, শহর। সোভেটস্কি সোভেটস্কি জেলা

গুঙ্কো লিউডমিলা দিমিত্রিভনা, পৌর বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষক "সোভেটস্কায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 1"

সোভেটস্কি জেলা

কাজের লক্ষ্য:অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে লগারিদমিক অসমতা C3 সমাধানের পদ্ধতির অধ্যয়ন, সনাক্তকরণ মজার ঘটনালগারিদম

পাঠ্য বিষয়:

3) অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট লগারিদমিক অসমতা C3 সমাধান করতে শিখুন।

ফলাফল:

বিষয়বস্তু

ভূমিকা ……………………………………………………………………………………….৪

অধ্যায় 1. সমস্যাটির ইতিহাস ……………………………………………………….৫

অধ্যায় 2. লগারিদমিক অসমতার সংগ্রহ ……………………… 7

2.1। সমতুল্য রূপান্তর এবং ব্যবধানের সাধারণীকৃত পদ্ধতি…………… 7

2.2। যৌক্তিককরণ পদ্ধতি……………………………………………………………… 15

2.3। অ-মানক প্রতিস্থাপন ……………………………………………… ............ ..... 22

2.4। ফাঁদ সহ কাজগুলি………………………………………………………27

উপসংহার……………………………………………………………………………… 30

সাহিত্য………………………………………………………………. 31

ভূমিকা

আমি 11 তম শ্রেণীতে আছি এবং একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তির পরিকল্পনা করছি যেখানে মূল বিষয় গণিত। এই কারণেই আমি অংশ সি-তে সমস্যা নিয়ে অনেক কাজ করি। টাস্ক C3-তে, আমাকে একটি অ-মানক অসমতা বা অসমতার সিস্টেমের সমাধান করতে হবে, সাধারণত লগারিদমের সাথে সম্পর্কিত। পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নেওয়ার সময়, আমি C3-তে দেওয়া পরীক্ষার লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য পদ্ধতি এবং কৌশলগুলির অভাবের সমস্যার সম্মুখীন হয়েছিলাম। যে পদ্ধতিতে অধ্যয়ন করা হয় স্কুলের পাঠ্যক্রমএই বিষয়ে, C3 কাজগুলি সমাধান করার জন্য একটি ভিত্তি প্রদান করবেন না। গণিত শিক্ষক পরামর্শ দিয়েছেন যে আমি তার নির্দেশনায় স্বাধীনভাবে C3 অ্যাসাইনমেন্টে কাজ করি। উপরন্তু, আমি প্রশ্নে আগ্রহী ছিলাম: আমরা কি আমাদের জীবনে লগারিদমের সম্মুখীন হই?

এটি মাথায় রেখে, বিষয়টি বেছে নেওয়া হয়েছিল:

"ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় লগারিদমিক অসমতা"

কাজের লক্ষ্য:লগারিদম সম্পর্কে আকর্ষণীয় তথ্য সনাক্ত করে অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে C3 সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ার অধ্যয়ন।

পাঠ্য বিষয়:

1) সম্পর্কে প্রয়োজনীয় তথ্য খুঁজুন অ-মানক পদ্ধতিলগারিদমিক অসমতার সমাধান।

2) লগারিদম সম্পর্কে অতিরিক্ত তথ্য খুঁজুন।

3) অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট C3 সমস্যা সমাধান করতে শিখুন।

ফলাফল:

ব্যবহারিক তাত্পর্য C3 সমস্যা সমাধানের জন্য যন্ত্রপাতি সম্প্রসারণের মধ্যে নিহিত। এই উপাদানকিছু পাঠে, ক্লাবের জন্য এবং গণিতের ঐচ্ছিক ক্লাসে ব্যবহার করা যেতে পারে।

প্রকল্পের পণ্যটি হবে "সমাধানের সাথে C3 লগারিদমিক অসমতা।"

অধ্যায় 1। পটভূমি

16 শতক জুড়ে, প্রাথমিকভাবে জ্যোতির্বিদ্যায় আনুমানিক গণনার সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায়। যন্ত্রপাতি উন্নত করা, গ্রহের গতিবিধি অধ্যয়ন করা এবং অন্যান্য কাজের জন্য প্রচুর, কখনও কখনও বহু বছরের গণনা প্রয়োজন। জ্যোতির্বিদ্যা হুমকির সম্মুখীন হয়েছিল প্রকৃত বিপদঅসম্পূর্ণ গণনায় ডুবে যাওয়া। অন্যান্য ক্ষেত্রে অসুবিধা দেখা দেয়, উদাহরণস্বরূপ, বীমা ব্যবসায়, টেবিলের প্রয়োজন ছিল চক্রবৃদ্ধিহারে সুদজন্য বিভিন্ন অর্থশতাংশ. প্রধান অসুবিধা ছিল বহু-সংখ্যার সংখ্যার গুণন এবং ভাগ, বিশেষ করে ত্রিকোণমিতিক পরিমাণ।

লগারিদমের আবিষ্কারটি অগ্রগতির বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে ছিল যা 16 শতকের শেষের দিকে সুপরিচিত ছিল। আর্কিমিডিস জ্যামিতিক অগ্রগতির শর্তাবলী q, q2, q3, ... এবং তাদের সূচক 1, 2, 3,... এর গাণিতিক অগ্রগতির মধ্যে সংযোগ সম্পর্কে কথা বলেছেন। আর একটি পূর্বশর্ত ছিল ডিগ্রীর ধারণাকে ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশের সূচকে প্রসারিত করা। অনেক লেখক উল্লেখ করেছেন যে জ্যামিতিক অগ্রগতিতে গুণ, ভাগ, সূচক এবং মূল নিষ্কাশন পাটিগণিতের সাথে মিলে যায় - একই ক্রমে - যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ।

এখানে একটি সূচক হিসাবে লগারিদমের ধারণা ছিল।

লগারিদমের মতবাদের বিকাশের ইতিহাসে, বেশ কয়েকটি পর্যায় অতিক্রম করেছে।

ধাপ 1

লগারিদম 1594 সালের পরে স্বাধীনভাবে স্কটিশ ব্যারন নেপিয়ার (1550-1617) দ্বারা এবং দশ বছর পরে সুইস মেকানিক বুর্গি (1552-1632) দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল। উভয়ই পাটিগণিত গণনার একটি নতুন, সুবিধাজনক উপায় প্রদান করতে চেয়েছিল, যদিও তারা বিভিন্ন উপায়ে এই সমস্যাটির সাথে যোগাযোগ করেছিল। নেপিয়ার গতিশীলভাবে লগারিদমিক ফাংশন প্রকাশ করেছিলেন এবং এর ফলে ফাংশন তত্ত্বের একটি নতুন ক্ষেত্রে প্রবেশ করেছিলেন। Bürgi বিচ্ছিন্ন অগ্রগতি বিবেচনার ভিত্তিতে রয়ে গেছে. যাইহোক, উভয়ের জন্য লগারিদমের সংজ্ঞা আধুনিক একের মত নয়। "লগারিদম" (লগারিদমাস) শব্দটি নেপিয়ারের অন্তর্গত। এটি গ্রীক শব্দের সংমিশ্রণ থেকে উদ্ভূত হয়েছে: লোগো - "সম্পর্ক" এবং আরিকমো - "সংখ্যা", যার অর্থ "সম্পর্কের সংখ্যা"। প্রাথমিকভাবে, নেপিয়ার একটি ভিন্ন শব্দ ব্যবহার করতেন: সংখ্যার কৃত্রিম - "কৃত্রিম সংখ্যা", সংখ্যাগত প্রাকৃতিকতার বিপরীতে - "প্রাকৃতিক সংখ্যা"।

1615 সালে, লন্ডনের গ্রেশ কলেজের গণিতের অধ্যাপক হেনরি ব্রিগস (1561-1631) এর সাথে একটি কথোপকথনে, নেপিয়ার শূন্যকে একটির লগারিদম হিসাবে এবং 100কে দশের লগারিদম হিসাবে নেওয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন, বা, কী পরিমাণ সমান? জিনিস, শুধু 1. এইভাবে দশমিক লগারিদম এবং প্রথম লগারিদমিক টেবিল মুদ্রিত হয়েছিল। পরবর্তীতে, ব্রিগসের টেবিলগুলি ডাচ বই বিক্রেতা এবং গণিত উত্সাহী অ্যাড্রিয়ান ফ্লাকাস (1600-1667) দ্বারা পরিপূরক হয়েছিল। নেপিয়ার এবং ব্রিগস, যদিও তারা লগারিদমে সবার চেয়ে আগে এসেছিলেন, তাদের টেবিল অন্যদের চেয়ে পরে প্রকাশ করেছিলেন - 1620 সালে। 1624 সালে আই. কেপলার দ্বারা চিহ্ন লগ এবং লগ প্রবর্তন করা হয়। "প্রাকৃতিক লগারিদম" শব্দটি 1659 সালে মেঙ্গোলি এবং 1668 সালে এন. মার্কেটর দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং লন্ডনের শিক্ষক জন স্পিডেল "নতুন লগারিদম" নামে 1 থেকে 1000 পর্যন্ত সংখ্যার প্রাকৃতিক লগারিদমের সারণী প্রকাশ করেছিলেন।

প্রথম লগারিদমিক টেবিল 1703 সালে রাশিয়ান ভাষায় প্রকাশিত হয়েছিল। কিন্তু সমস্ত লগারিদমিক টেবিলে গণনার ত্রুটি ছিল। জার্মান গণিতবিদ কে. ব্রেমিকার (1804-1877) দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত প্রথম ত্রুটি-মুক্ত টেবিলগুলি 1857 সালে বার্লিনে প্রকাশিত হয়েছিল।

ধাপ ২

লগারিদম তত্ত্বের আরও উন্নয়নের সাথে আরও কিছু জড়িত ব্যাপকভাবে ব্যবহারবিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি এবং অসীম ক্যালকুলাস। ততক্ষণে, একটি সমবাহু হাইপারবোলার বর্গক্ষেত্র এবং এর মধ্যে সংযোগ প্রাকৃতিক লগারিদম. এই সময়ের লগারিদমের তত্ত্বটি বেশ কয়েকটি গণিতবিদদের নামের সাথে জড়িত।

একটি প্রবন্ধে জার্মান গণিতবিদ, জ্যোতির্বিদ এবং প্রকৌশলী নিকোলাস মার্কেটর

"লগারিথমোটেকনিক্স" (1668) একটি সিরিজ দেয় যা ln(x+1) এর সম্প্রসারণ করে

x এর ক্ষমতা:

এই অভিব্যক্তিটি তার চিন্তার ট্রেনের সাথে হুবহু মিলে যায়, যদিও, অবশ্যই, তিনি d, ... চিহ্নগুলি ব্যবহার করেননি, তবে আরও কষ্টকর প্রতীকবাদ। লগারিদম সিরিজ আবিষ্কারের সাথে সাথে লগারিদম গণনা করার কৌশল পরিবর্তিত হয়: তারা অসীম সিরিজ ব্যবহার করে নির্ধারণ করা শুরু করে। 1907-1908 সালে প্রদত্ত "উচ্চতর দৃষ্টিকোণ থেকে প্রাথমিক গণিত" বক্তৃতাগুলিতে, এফ. ক্লেইন লগারিদম তত্ত্ব নির্মাণের জন্য সূত্রটিকে সূচনা বিন্দু হিসাবে ব্যবহার করার প্রস্তাব করেছিলেন।

পর্যায় 3

একটি বিপরীত ফাংশন হিসাবে লগারিদমিক ফাংশনের সংজ্ঞা

সূচকীয়, প্রদত্ত বেসের সূচক হিসাবে লগারিদম

তাৎক্ষণিকভাবে প্রণয়ন করা হয়নি। লিওনহার্ড অয়লারের প্রবন্ধ (1707-1783)

"অনন্ত অসীম বিশ্লেষণের ভূমিকা" (1748) আরও কাজ করেছে

লগারিদমিক ফাংশন তত্ত্বের বিকাশ। এইভাবে,

লগারিদম প্রথম চালু হওয়ার পর 134 বছর কেটে গেছে

(1614 থেকে গণনা), গণিতবিদরা সংজ্ঞায় আসার আগে

লগারিদমের ধারণা, যা এখন স্কুল কোর্সের ভিত্তি।

অধ্যায় 2. লগারিদমিক অসমতার সংগ্রহ

2.1। সমতুল্য রূপান্তর এবং ব্যবধানের সাধারণীকৃত পদ্ধতি।

সমতুল্য রূপান্তর

, যদি a > 1

, যদি 0 < а < 1

সাধারণ ব্যবধান পদ্ধতি

এই পদ্ধতিপ্রায় যেকোনো ধরনের বৈষম্য সমাধানের জন্য সর্বজনীন। সমাধান ডায়াগ্রাম এই মত দেখায়:

1. ফর্মে অসমতা আনুন যেখানে বাম পাশের ফাংশনটি রয়েছে
, এবং ডানদিকে 0।

2. ফাংশনের ডোমেইন খুঁজুন
.

3. ফাংশনের শূন্য খুঁজুন
, অর্থাৎ সমীকরণটি সমাধান করুন
(এবং একটি সমীকরণ সমাধান করা সাধারণত অসমতা সমাধানের চেয়ে সহজ)।

4. সংখ্যা রেখায় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং শূন্যের ডোমেন আঁকুন।

5. ফাংশনের লক্ষণ নির্ণয় কর
প্রাপ্ত বিরতির উপর।

6. ব্যবধান নির্বাচন করুন যেখানে ফাংশনটি প্রয়োজনীয় মান নেয় এবং উত্তরটি লিখুন।

উদাহরণ 1.

সমাধান:

ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাক

কোথায়

এই মানের জন্য, লগারিদমিক চিহ্নের অধীনে সমস্ত অভিব্যক্তি ইতিবাচক।

উত্তর:

উদাহরণ 2।

সমাধান:

১ম উপায় . ADL অসমতা দ্বারা নির্ধারিত হয় এক্স> 3. এই ধরনের জন্য লগারিদম গ্রহণ এক্সবেস 10 এ, আমরা পাই

শেষ অসমতা সম্প্রসারণ নিয়ম প্রয়োগ করে সমাধান করা যেতে পারে, যেমন শূন্যের সাথে ফ্যাক্টর তুলনা করা। যাইহোক, মধ্যে এক্ষেত্রেএকটি ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান নির্ধারণ করা সহজ

অতএব, ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা যেতে পারে।

ফাংশন চ(এক্স) = 2এক্স(এক্স- 3.5)lgǀ এক্স- 3ǀ এ অবিচ্ছিন্ন এক্স> 3 এবং পয়েন্টে অদৃশ্য হয়ে যায় এক্স 1 = 0, এক্স 2 = 3,5, এক্স 3 = 2, এক্স 4 = 4. এইভাবে, আমরা ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান নির্ধারণ করি চ(এক্স):

উত্তর:

২য় পদ্ধতি . আসুন মূল অসমতার জন্য ব্যবধান পদ্ধতির ধারণাগুলি সরাসরি প্রয়োগ করি।

এটি করার জন্য, যে অভিব্যক্তি প্রত্যাহার কখ- কগ এবং ( ক - 1)(খ- 1) একটি চিহ্ন আছে. তখন আমাদের অসমতা এ এক্স> 3 অসমতার সমতুল্য

বা

শেষ অসমতা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়

উত্তর:

উদাহরণ 3.

সমাধান:

ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাক

উত্তর:

উদাহরণ 4.

সমাধান:

2 সাল থেকে এক্স 2 - 3এক্সসব বাস্তবের জন্য + 3 > 0 এক্স, যে

দ্বিতীয় অসমতা সমাধান করতে আমরা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করি

প্রথম অসমতা আমরা প্রতিস্থাপন করা

তাহলে আমরা অসমতার দিকে আসি 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, যা অসমতা পূরণ করে -0.5< y < 1.

কোথা থেকে, কারণ

আমরা অসমতা পেতে

যা বাহিত হয় যখন এক্স, যার জন্য 2 এক্স 2 - 3এক্স - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

এখন, সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতার সমাধান বিবেচনা করে, আমরা অবশেষে প্রাপ্ত করি

উত্তর:

উদাহরণ 5।

সমাধান:

অসমতা সিস্টেমের একটি সংগ্রহের সমতুল্য

বা

চলুন ইন্টারভাল পদ্ধতি বা ব্যবহার করি

উত্তর:

উদাহরণ 6.

সমাধান:

বৈষম্য সমান ব্যবস্থা

দিন

তারপর y > 0,

এবং প্রথম অসমতা

সিস্টেম রূপ নেয়

অথবা, উদ্ঘাটন

দ্বিঘাত ত্রিনামিককারণ দ্বারা,

শেষ অসমতার জন্য ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা,

আমরা দেখছি যে এর সমাধানগুলি শর্তকে সন্তুষ্ট করছে y> 0 সব হবে y > 4.

এইভাবে, মূল অসমতা সিস্টেমের সমতুল্য:

তাই, বৈষম্যের সমাধান সবই

2.2। যৌক্তিককরণ পদ্ধতি।

পূর্বে, যৌক্তিককরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে অসমতা সমাধান করা হয়নি; এটি জানা ছিল না। এটি "নতুন আধুনিক" কার্যকর পদ্ধতিসূচকীয় এবং লগারিদমিক অসমতার সমাধান" (S.I. Kolesnikova এর বই থেকে উদ্ধৃতি)
এবং এমনকি যদি শিক্ষক তাকে চিনতেন, একটি ভয় ছিল - ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিশেষজ্ঞ কি তাকে চেনেন এবং কেন তারা তাকে স্কুলে দেয় না? এমন পরিস্থিতি ছিল যখন শিক্ষক ছাত্রকে বলেছিলেন: "আপনি এটি কোথায় পেয়েছেন? বসুন - 2।"
এখন পদ্ধতিটি সর্বত্র প্রচার করা হচ্ছে। এবং বিশেষজ্ঞদের জন্য আছে নির্দেশিকা, এই পদ্ধতির সাথে যুক্ত, এবং "মডেল বিকল্পের সর্বাধিক সম্পূর্ণ সংস্করণ..." সমাধানে C3 এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে।
বিস্ময়কর পদ্ধতি!

"ম্যাজিক টেবিল"

অন্যান্য সূত্রে

যদি a>1 এবং b>1, তারপর a b>0 এবং (a -1)(b -1)>0 লগ করুন;

যদি a>1 এবং 0

যদি 0<ক<1 и b >1, তারপর লগ a b<0 и (a -1)(b -1)<0;