লগারিদম চিহ্নের নীচে ঋণাত্মক সংখ্যা বা একটি আছে কিনা তা পরীক্ষা করুন।এই পদ্ধতিটি ফর্মের অভিব্যক্তিতে প্রযোজ্য লগ b (x) লগ b (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). যাইহোক, এটি কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে উপযুক্ত নয়:
অভিব্যক্তিটিকে একটি লগারিদমে রূপান্তর করুন।যদি অভিব্যক্তি উপরের একটি না হয় বিশেষ অনুষ্ঠান, এটি একটি একক লগারিদম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই জন্য নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করুন: লগ b (x) লগ b (a) = লগ a (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ লগ_(ক)(এক্স)).
যদি সম্ভব হয়, অভিব্যক্তির মান ম্যানুয়ালি মূল্যায়ন করুন।খুঁজতে লগ a (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), অভিব্যক্তি কল্পনা করুন " একটি? = x (\displaystyle a^(?)=x)", অর্থাৎ, নিম্নলিখিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন: "আপনি কোন শক্তি বাড়াতে হবে ক, অর্জন এক্স?. এই প্রশ্নের উত্তরের জন্য একটি ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন হতে পারে, কিন্তু আপনি যদি ভাগ্যবান হন তবে আপনি এটি ম্যানুয়ালি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে পারেন৷
আপনার উত্তর লগারিদমিক আকারে ছেড়ে দিন যদি আপনি এটিকে সরলীকরণ করতে না পারেন।অনেক লগারিদম হাতে গণনা করা খুব কঠিন। এই ক্ষেত্রে, একটি সঠিক উত্তর পেতে, আপনার একটি ক্যালকুলেটর প্রয়োজন হবে। যাইহোক, আপনি যদি ক্লাসে কোনো সমস্যা সমাধান করেন, তাহলে শিক্ষক সম্ভবত লগারিদমিক আকারে উত্তর দিয়ে সন্তুষ্ট হবেন। নীচে আলোচনা করা পদ্ধতিটি আরও জটিল উদাহরণ সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়:
সমাজের বিকাশ এবং উত্পাদন আরও জটিল হওয়ার সাথে সাথে গণিতেরও বিকাশ ঘটে। সরল থেকে জটিল পর্যন্ত আন্দোলন। তাদের সঙ্গে যোগ এবং বিয়োগ পদ্ধতি দ্বারা প্রচলিত অ্যাকাউন্টিং থেকে অনেক বার পুনরাবৃত্তি, গুণ ও ভাগের ধারণায় এসেছে। গুণের বারবার ক্রিয়াকলাপ হ্রাস করা সূচকের ধারণা হয়ে উঠেছে। ভিত্তির উপর সংখ্যার নির্ভরতা এবং সূচকের সংখ্যার প্রথম সারণীগুলি 8 ম শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদ ভারসেনা দ্বারা সংকলিত হয়েছিল। এগুলি থেকে আপনি লগারিদমগুলির সংঘটনের সময় গণনা করতে পারেন।
16 শতকে ইউরোপের পুনরুজ্জীবনও যান্ত্রিকতার বিকাশকে উদ্দীপিত করেছিল। টি প্রচুর পরিমাণে গণনার প্রয়োজনবহু-সংখ্যার সংখ্যার গুণ ও ভাগের সাথে সম্পর্কিত। প্রাচীন সারণীগুলো ছিল দারুণ সেবার। তারা জটিল ক্রিয়াকলাপগুলিকে সহজতর দিয়ে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব করেছে - যোগ এবং বিয়োগ। 1544 সালে প্রকাশিত গণিতবিদ মাইকেল স্টিফেলের কাজটি একটি বড় পদক্ষেপ ছিল, যেখানে তিনি অনেক গণিতবিদদের ধারণা উপলব্ধি করেছিলেন। এটি ফর্মের ডিগ্রির জন্যই কেবল টেবিল ব্যবহার করা সম্ভব করেনি মৌলিক সংখ্যা, কিন্তু নির্বিচারে যুক্তিবাদীদের জন্যও।
1614 সালে, স্কটসম্যান জন নেপিয়ার, এই ধারণাগুলি বিকাশকারী, প্রথম প্রবর্তন করেছিলেন নতুন শব্দ"একটি সংখ্যার লগারিদম।" সাইন এবং কোসাইনের লগারিদম, সেইসাথে স্পর্শকগুলির গণনার জন্য নতুন জটিল টেবিলগুলি সংকলিত হয়েছিল। এটি জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের কাজকে ব্যাপকভাবে হ্রাস করে।
নতুন টেবিলগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, যা সফলভাবে বিজ্ঞানীরা তিন শতাব্দী ধরে ব্যবহার করেছিলেন। বীজগণিতের নতুন অপারেশনটি তার সমাপ্ত রূপ অর্জন করার আগে অনেক সময় কেটে গেছে। লগারিদমের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছিল এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল।
শুধুমাত্র 20 শতকে, ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে, মানবতা সেই প্রাচীন টেবিলগুলিকে পরিত্যাগ করেছিল যা 13 শতক জুড়ে সফলভাবে কাজ করেছিল।
আজকে আমরা b-এর লগারিদমকে বলি a সংখ্যা x এর ভিত্তি যা b তৈরি করতে a এর শক্তি। এটি একটি সূত্র হিসাবে লেখা হয়: x = log a(b)।
উদাহরণস্বরূপ, লগ 3(9) 2 এর সমান হবে। আপনি যদি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করেন তবে এটি স্পষ্ট। যদি আমরা 3 কে 2 এর শক্তিতে বাড়াই, আমরা 9 পাব।
সুতরাং, প্রণীত সংজ্ঞা শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধতা সেট করে: সংখ্যা a এবং b অবশ্যই বাস্তব হতে হবে।
ক্লাসিক সংজ্ঞাটিকে প্রকৃত লগারিদম বলা হয় এবং এটি আসলে একটি x = b সমীকরণের সমাধান। বিকল্প a = 1 হল সীমারেখা এবং আগ্রহের নয়। মনোযোগ: 1 যেকোন শক্তির সমান 1।
লগারিদমের প্রকৃত মানশুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন বেস এবং আর্গুমেন্ট 0 এর বেশি হয় এবং বেস অবশ্যই 1 এর সমান হবে না।
গণিতের ক্ষেত্রে বিশেষ স্থানলগারিদম খেলুন, যেগুলি তাদের বেসের আকারের উপর নির্ভর করে নাম দেওয়া হবে:
লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল নিয়ম: একটি পণ্যের লগারিদম লগারিদমিক যোগফলের সমান। log abp = log a(b) + log a(p)।
এই স্টেটমেন্টের বৈকল্পিক হিসেবে থাকবে: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ভাগফল ফাংশন ফাংশনের পার্থক্যের সমান।
পূর্ববর্তী দুটি নিয়ম থেকে এটি দেখতে সহজ যে: log a(b p) = p * log a(b)।
অন্যান্য বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত:
মন্তব্য করুন। একটি সাধারণ ভুল করবেন না - যোগফলের লগারিদম নয় যোগফলের সমানলগারিদম
বহু শতাব্দী ধরে, লগারিদম খুঁজে বের করা একটি বরং সময়সাপেক্ষ কাজ ছিল। গণিতবিদ ব্যবহার করেছেন সুপরিচিত সূত্রবহুপদী সম্প্রসারণের লগারিদমিক তত্ত্ব:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), যেখানে n হল 1-এর চেয়ে বড় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, যা গণনার নির্ভুলতা নির্ধারণ করে।
অন্যান্য বেস সহ লগারিদমগুলি একটি বেস থেকে অন্য বেসে রূপান্তর এবং পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল।
যেহেতু এই পদ্ধতিটি খুব শ্রম-নিবিড় এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করার সময়বাস্তবায়ন করা কঠিন, আমরা লগারিদমের প্রাক-সংকলিত সারণী ব্যবহার করেছি, যা উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত কাজের গতি বাড়িয়েছে।
কিছু ক্ষেত্রে, লগারিদমের বিশেষভাবে সংকলিত গ্রাফ ব্যবহার করা হয়েছিল, যা কম নির্ভুলতা দেয়, কিন্তু উল্লেখযোগ্যভাবে পছন্দসই মান অনুসন্ধানের গতি বাড়িয়ে দেয়। ফাংশনের বক্ররেখা y = log a(x), বেশ কয়েকটি বিন্দুতে নির্মিত, আপনাকে অন্য যেকোনো বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে পেতে একটি নিয়মিত রুলার ব্যবহার করতে দেয়। দীর্ঘকাল ধরে, প্রকৌশলীরা এই উদ্দেশ্যে তথাকথিত গ্রাফ পেপার ব্যবহার করেছেন।
17 শতকে, প্রথম অক্জিলিয়ারী এনালগ কম্পিউটিং শর্তাদি উপস্থিত হয়েছিল, যা 19 তম শতকএকটি সমাপ্ত চেহারা অর্জন. সবচেয়ে সফল ডিভাইসটিকে স্লাইড নিয়ম বলা হয়। ডিভাইসের সরলতা সত্ত্বেও, এর উপস্থিতি উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার প্রক্রিয়াকে ত্বরান্বিত করেছে এবং এটিকে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করা কঠিন। বর্তমানে, খুব কম লোকই এই ডিভাইসটির সাথে পরিচিত।
ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাব অন্য কোনো ডিভাইসের ব্যবহারকে অর্থহীন করে তুলেছে।
লগারিদম ব্যবহার করে বিভিন্ন সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়:
অসমতা সমাধানের জন্য এটি জানা দরকারী:
লগারিদম এবং তাদের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করার জন্য বিভিন্ন বিকল্প বিবেচনা করা যাক। সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ:
একটি শক্তিতে লগারিদম স্থাপনের বিকল্পটি বিবেচনা করুন:
একটি সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক হাতিয়ার হচ্ছে, এটা অনেক দূরে মনে হয় বাস্তব জীবনযে লগারিদম হঠাৎ অর্জিত তাত্পর্যপূর্ণবাস্তব বিশ্বের বস্তু বর্ণনা করতে. যেখানে এটি ব্যবহার করা হয় না এমন একটি বিজ্ঞান খুঁজে পাওয়া কঠিন। এটি কেবল প্রাকৃতিক নয়, মানবিক জ্ঞানের ক্ষেত্রেও পুরোপুরি প্রযোজ্য।
এখানে সংখ্যাসূচক নির্ভরতার কিছু উদাহরণ রয়েছে:
ঐতিহাসিকভাবে, মেকানিক্স এবং পদার্থবিদ্যা সর্বদা গাণিতিক গবেষণা পদ্ধতি ব্যবহার করে বিকশিত হয়েছে এবং একই সাথে লগারিদম সহ গণিতের বিকাশের জন্য একটি উদ্দীপক হিসাবে কাজ করেছে। পদার্থবিজ্ঞানের অধিকাংশ সূত্রের তত্ত্ব গণিতের ভাষায় লেখা। লগারিদম ব্যবহার করে ভৌত আইন বর্ণনা করার মাত্র দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক।
একটি রকেটের গতির মতো জটিল পরিমাণ গণনা করার সমস্যাটি সিওলকোভস্কি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, যা মহাকাশ অনুসন্ধানের তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেছিল:
V = I * ln (M1/M2), যেখানে
আরেকটা গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ - এটি অন্য একজন মহান বিজ্ঞানী ম্যাক্স প্ল্যাঙ্কের সূত্রে ব্যবহৃত হয়, যা তাপগতিবিদ্যায় ভারসাম্যের অবস্থা মূল্যায়ন করে।
S = k * ln (Ω), যেখানে
লগারিদমের অনুপাত ধারণকারী রসায়নে সূত্রের ব্যবহার কম স্পষ্ট। শুধু দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক:
এবং এটির সাথে মনোবিজ্ঞানের কী সম্পর্ক তা মোটেও পরিষ্কার নয়। এটা দেখা যাচ্ছে যে সংবেদনের শক্তি এই ফাংশন দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে উদ্দীপকের তীব্রতা মান থেকে নিম্ন তীব্রতার মানের বিপরীত অনুপাত হিসাবে।
উপরের উদাহরণগুলির পরে, এটি আর অবাক হওয়ার কিছু নেই যে লগারিদমের বিষয়টি জীববিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। লগারিদমিক সর্পিলগুলির সাথে সম্পর্কিত জৈবিক ফর্মগুলি সম্পর্কে সম্পূর্ণ ভলিউম লেখা যেতে পারে।
এটা মনে হয় যে এই ফাংশনের সাথে সংযোগ ছাড়া বিশ্বের অস্তিত্ব অসম্ভব, এবং এটি সমস্ত আইন শাসন করে। বিশেষ করে যখন প্রকৃতির নিয়ম জ্যামিতিক অগ্রগতির সাথে জড়িত। এটি MatProfi ওয়েবসাইটের দিকে ফিরে যাওয়া মূল্যবান এবং নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে এরকম অনেক উদাহরণ রয়েছে:
তালিকা অন্তহীন হতে পারে. এই ফাংশনের মৌলিক নীতিগুলি আয়ত্ত করার পরে, আপনি অসীম জ্ঞানের জগতে ডুবে যেতে পারেন।
লগারিদমিক এক্সপ্রেশন, সমাধানের উদাহরণ। এই নিবন্ধে আমরা লগারিদম সমাধান সম্পর্কিত সমস্যাগুলি দেখব। কাজগুলি একটি অভিব্যক্তির অর্থ খোঁজার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে। এটি লক্ষ করা উচিত যে লগারিদমের ধারণাটি অনেক কাজে ব্যবহৃত হয় এবং এর অর্থ বোঝা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য, লগারিদম ব্যবহার করা হয় সমীকরণ সমাধান করার সময়, ফলিত সমস্যায় এবং ফাংশন অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত কাজেও।
লগারিদমের অর্থ বোঝার জন্য উদাহরণ দেওয়া যাক:
মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়:
লগারিদমের বৈশিষ্ট্য যা সর্বদা মনে রাখতে হবে:
*উপাদানের লগারিদম গুণনীয়কগুলির লগারিদমের সমষ্টির সমান।
* * *
* একটি ভাগফলের লগারিদম (ভগ্নাংশ) গুণনীয়কগুলির লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যের সমান।
* * *
*ডিগ্রীর লগারিদম পণ্যের সমানএর ভিত্তির লগারিদম দ্বারা সূচক।
* * *
*একটি নতুন ভিত্তিতে স্থানান্তর
* * *
আরও বৈশিষ্ট্য:
* * *
লগারিদমের গণনা ঘনিষ্ঠভাবে সূচকের বৈশিষ্ট্য ব্যবহারের সাথে সম্পর্কিত।
তাদের কিছু তালিকা করা যাক:
এই বৈশিষ্ট্যের সারমর্ম হল যে যখন লবটি হরকে স্থানান্তরিত করা হয় এবং এর বিপরীতে, সূচকের চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়। উদাহরণ স্বরূপ:
এই সম্পত্তি থেকে একটি ফলাফল:
* * *
একটি শক্তিকে একটি শক্তিতে উত্থাপন করার সময়, ভিত্তিটি একই থাকে তবে সূচকগুলি গুণিত হয়।
* * *
আপনি যেমন দেখেছেন, লগারিদমের ধারণাটি নিজেই সহজ। প্রধান জিনিস হল যে আপনার ভাল অনুশীলন প্রয়োজন, যা আপনাকে একটি নির্দিষ্ট দক্ষতা দেয়। অবশ্যই, সূত্রের জ্ঞান প্রয়োজন। যদি প্রাথমিক লগারিদম রূপান্তর করার দক্ষতা বিকাশ করা না হয়, তবে সাধারণ কাজগুলি সমাধান করার সময় আপনি সহজেই ভুল করতে পারেন।
অনুশীলন করুন, প্রথমে গণিত কোর্স থেকে সহজ উদাহরণগুলি সমাধান করুন, তারপর আরও জটিল উদাহরণগুলিতে যান। ভবিষ্যতে, আমি অবশ্যই দেখাব যে কীভাবে "কুৎসিত" লগারিদমগুলি সমাধান করা হয়; এগুলি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উপস্থিত হবে না, তবে সেগুলি আগ্রহের বিষয়, সেগুলি মিস করবেন না!
এখানেই শেষ! আপনার জন্য শুভকামনা!
আন্তরিকভাবে, আলেকজান্ডার ক্রুটিটস্কিখ
P.S: আপনি যদি আমাকে সোশ্যাল নেটওয়ার্কে সাইটটি সম্পর্কে বলেন তাহলে আমি কৃতজ্ঞ হব।
আমরা লগারিদম অধ্যয়ন অবিরত. এই নিবন্ধে আমরা সম্পর্কে কথা বলতে হবে লগারিদম গণনা করা, এই প্রক্রিয়া বলা হয় লগারিদম. প্রথমে আমরা সংজ্ঞা অনুসারে লগারিদমের হিসাব বুঝব। এর পরে, আসুন দেখি কীভাবে লগারিদমের মানগুলি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে পাওয়া যায়। এর পরে, আমরা অন্যান্য লগারিদমের প্রাথমিকভাবে নির্দিষ্ট মানের মাধ্যমে লগারিদম গণনা করার উপর ফোকাস করব। সবশেষে, আসুন শিখি কিভাবে লগারিদম টেবিল ব্যবহার করতে হয়। সম্পূর্ণ তত্ত্বটি বিস্তারিত সমাধান সহ উদাহরণ সহ প্রদান করা হয়।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
সহজ ক্ষেত্রে এটি বেশ দ্রুত এবং সহজে সঞ্চালন করা সম্ভব সংজ্ঞা দ্বারা লগারিদম খুঁজে বের করা. আসুন এই প্রক্রিয়াটি কীভাবে ঘটবে তা ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।
এর সারমর্ম হল b সংখ্যাটিকে c আকারে উপস্থাপন করা, যেখান থেকে লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যাটি হল লগারিদমের মান। অর্থাৎ, সংজ্ঞা অনুসারে, নিম্নোক্ত সমতার শৃঙ্খল লগারিদম খোঁজার সাথে মিলে যায়: log a b=log a a c =c।
সুতরাং, সংজ্ঞা অনুসারে একটি লগারিদম গণনা করা হলে একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যায় যেমন একটি c = b, এবং সংখ্যাটি নিজেই লগারিদমের পছন্দসই মান।
পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের তথ্য বিবেচনায় নিয়ে, লগারিদম চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি লগারিদম বেসের একটি নির্দিষ্ট শক্তি দ্বারা দেওয়া হলে, আপনি অবিলম্বে নির্দেশ করতে পারেন লগারিদমটি কী সমান - এটি সূচকের সমান। উদাহরণের সমাধান দেখাই।
উদাহরণ।
লগ 2 2 −3 খুঁজুন, এবং e 5,3 সংখ্যার স্বাভাবিক লগারিদমও গণনা করুন।
সমাধান।
লগারিদমের সংজ্ঞা আমাদের অবিলম্বে বলতে দেয় যে লগ 2 2 −3 =−3। প্রকৃতপক্ষে, লগারিদম চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি বেস 2 থেকে −3 পাওয়ারের সমান।
একইভাবে, আমরা দ্বিতীয় লগারিদম খুঁজে পাই: lne 5.3 = 5.3।
উত্তর:
লগ 2 2 −3 =−3 এবং lne 5,3 =5,3।
লগারিদম চিহ্নের অধীনে b সংখ্যাটিকে লগারিদমের ভিত্তির শক্তি হিসাবে নির্দিষ্ট না করা থাকলে, c আকারে b সংখ্যাটির উপস্থাপনা করা সম্ভব কিনা তা আপনাকে সাবধানে দেখতে হবে। প্রায়শই এই উপস্থাপনাটি বেশ সুস্পষ্ট, বিশেষ করে যখন লগারিদম চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি 1, বা 2, বা 3, এর শক্তির বেসের সমান হয় ...
উদাহরণ।
লগারিদম লগ গণনা করুন 5 25 , এবং।
সমাধান।
এটা দেখা সহজ যে 25=5 2, এটি আপনাকে প্রথম লগারিদম গণনা করতে দেয়: log 5 25=log 5 5 2 =2।
দ্বিতীয় লগারিদম গণনা করা যাক। সংখ্যাটি 7 এর শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: 
(প্রয়োজন হলে দেখুন)। তাই, 
.
তৃতীয় লগারিদম আবার লিখি নিম্নলিখিত ফর্ম. এখন আপনি যে দেখতে পারেন 
, যা থেকে আমরা উপসংহারে আসি 
. তাই লগারিদমের সংজ্ঞা দিয়ে 
.
সংক্ষেপে, সমাধানটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: .
উত্তর:
লগ 5 25=2 , 
এবং .
লগারিদম চিহ্নের নীচে যখন যথেষ্ট পরিমাণে বড় প্রাকৃতিক সংখ্যা থাকে, তখন এটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করতে ক্ষতি হয় না। এটি প্রায়শই লগারিদমের ভিত্তির কিছু শক্তি হিসাবে এই জাতীয় সংখ্যাকে উপস্থাপন করতে সহায়তা করে এবং তাই সংজ্ঞা অনুসারে এই লগারিদমটি গণনা করে।
উদাহরণ।
লগারিদমের মান নির্ণয় কর।
সমাধান।
লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য আপনাকে লগারিদমের মান অবিলম্বে নির্দিষ্ট করতে দেয়। এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি ইউনিটের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এবং একটি সংখ্যার লগারিদমের বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, বেসের সমান: log 1 1=log a a 0 =0 এবং log a a=log a a 1 =1। অর্থাৎ, লগারিদম চিহ্নের নীচে যখন লগারিদমের বেসের সমান একটি সংখ্যা 1 বা একটি সংখ্যা থাকে, তখন এই ক্ষেত্রে লগারিদমগুলি যথাক্রমে 0 এবং 1 এর সমান হয়।
উদাহরণ।
লগারিদম এবং log10 কি সমান?
সমাধান।
যেহেতু , তারপর লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে 
.
দ্বিতীয় উদাহরণে, লগারিদম চিহ্নের অধীনে 10 নম্বরটি তার ভিত্তির সাথে মিলে যায়, তাই দশের দশমিক লগারিদম একের সমান, অর্থাৎ lg10=lg10 1 =1।
উত্তর:
এবং lg10=1।
লক্ষ্য করুন যে সংজ্ঞা অনুসারে লগারিদমের গণনা (যা আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আলোচনা করেছি) সমতা লগ a p =p ব্যবহার বোঝায়, যা লগারিদমের অন্যতম বৈশিষ্ট্য।
অনুশীলনে, যখন লগারিদম চিহ্নের অধীনে একটি সংখ্যা এবং লগারিদমের ভিত্তি সহজেই একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, তখন সূত্রটি ব্যবহার করা খুব সুবিধাজনক 
, যা লগারিদমের একটি বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায়। আসুন একটি লগারিদম খোঁজার একটি উদাহরণ দেখি যা এই সূত্রটির ব্যবহারকে ব্যাখ্যা করে।
উদাহরণ।
লগারিদম গণনা করুন।
সমাধান।
উত্তর:
.
উপরে উল্লিখিত লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলিও গণনায় ব্যবহৃত হয়, তবে আমরা নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে এটি সম্পর্কে কথা বলব।
এই অনুচ্ছেদের তথ্য লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলিকে গণনা করার সময় ব্যবহার করার বিষয়টিকে অব্যাহত রাখে। কিন্তু এখানে মূল পার্থক্য হল লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি মূল লগারিদমকে অন্য লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়, যার মান জানা যায়। ব্যাখ্যার জন্য একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। ধরা যাক আমরা জানি যে লগ 2 3≈1.584963, তাহলে আমরা খুঁজে পেতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সামান্য রূপান্তর করে লগ 2 6: লগ 2 6 = লগ 2 (2 3) = লগ 2 2+ লগ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
উপরের উদাহরণে, একটি পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা আমাদের জন্য যথেষ্ট ছিল। যাইহোক, প্রায়শই প্রদত্তগুলির মাধ্যমে মূল লগারিদম গণনা করার জন্য লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলির একটি বিস্তৃত অস্ত্রাগার ব্যবহার করা প্রয়োজন।
উদাহরণ।
27 থেকে বেস 60 এর লগারিদম গণনা করুন যদি আপনি জানেন যে লগ 60 2=a এবং লগ 60 5=b।
সমাধান।
তাই আমাদের লগ খুঁজে বের করতে হবে 60 27। এটা দেখা সহজ যে 27 = 3 3 , এবং মূল লগারিদম, পাওয়ার লগারিদমের বৈশিষ্ট্যের কারণে, 3·log 60 3 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে।
এখন দেখা যাক কিভাবে পরিচিত লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে লগ 60 3 প্রকাশ করা যায়। ভিত্তির সমান একটি সংখ্যার লগারিদমের বৈশিষ্ট্য আমাদের সমতা লগ 60 60=1 লিখতে দেয়। অন্যদিকে, লগ 60 60=log60(2 2 3 5)= লগ 60 2 2 + লগ 60 3 + লগ 60 5 = 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5। এইভাবে, 2 লগ 60 2+ লগ 60 3+ লগ 60 5=1. তাই, লগ 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
অবশেষে, আমরা মূল লগারিদম গণনা করি: লগ 60 27=3 লগ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
উত্তর:
লগ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
আলাদাভাবে, ফর্মের লগারিদমের একটি নতুন বেসে রূপান্তরের জন্য সূত্রটির অর্থ উল্লেখ করার মতো 
. এটি আপনাকে যেকোন বেস সহ লগারিদম থেকে একটি নির্দিষ্ট বেস সহ লগারিদমে যেতে দেয়, যার মানগুলি পরিচিত বা সেগুলি খুঁজে পাওয়া সম্ভব। সাধারণত, মূল লগারিদম থেকে, ট্রানজিশন সূত্র ব্যবহার করে, তারা 2, e বা 10 বেসগুলির একটিতে লগারিদমে চলে যায়, কারণ এই বেসের জন্য লগারিদমের টেবিল রয়েছে যা তাদের মানগুলি একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রির সাথে গণনা করতে দেয়। সঠিকতা. পরবর্তী অনুচ্ছেদে আমরা দেখাব কিভাবে এটি করা হয়।
লগারিদম মানগুলির আনুমানিক গণনার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে লগারিদম টেবিল. সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত বেস 2 লগারিদম টেবিল হল টেবিল প্রাকৃতিক লগারিদমএবং দশমিক লগারিদমের একটি টেবিল। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে কাজ করার সময়, বেস টেনের উপর ভিত্তি করে লগারিদমের একটি টেবিল ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এর সাহায্যে আমরা লগারিদমের মান খুঁজে বের করতে শিখব।
উপস্থাপিত সারণী আপনাকে 1,000 থেকে 9,999 পর্যন্ত সংখ্যার দশমিক লগারিদমের মান খুঁজে পেতে দেয় (তিন দশমিক স্থান সহ) এক দশ-হাজারতমের নির্ভুলতার সাথে। আমরা দশমিক লগারিদমের একটি টেবিল ব্যবহার করে লগারিদমের মান খুঁজে বের করার নীতিটি বিশ্লেষণ করব নির্দিষ্ট উদাহরণ-এটা আরও পরিষ্কার। আসুন log1.256 খুঁজে বের করি।
দশমিক লগারিদমের টেবিলের বাম কলামে আমরা 1.256 সংখ্যার প্রথম দুটি সংখ্যা খুঁজে পাই, অর্থাৎ, আমরা 1.2 পাই (এই সংখ্যাটি স্পষ্টতার জন্য নীল রঙে বৃত্তাকার)। সংখ্যা 1.256 (অঙ্ক 5) এর তৃতীয় সংখ্যাটি ডবল লাইনের বাম দিকের প্রথম বা শেষ লাইনে পাওয়া যায় (এই সংখ্যাটি লাল রঙে বৃত্তাকার)। মূল সংখ্যা 1.256 (অঙ্ক 6) এর চতুর্থ সংখ্যাটি ডাবল লাইনের ডানদিকে প্রথম বা শেষ লাইনে পাওয়া যায় (এই সংখ্যাটি একটি সবুজ রেখা দিয়ে বৃত্তাকার)। এখন আমরা চিহ্নিত সারি এবং চিহ্নিত কলামগুলির সংযোগস্থলে লগারিদমের টেবিলের ঘরগুলিতে সংখ্যাগুলি খুঁজে পাই (এই সংখ্যাগুলি হাইলাইট করা হয়েছে কমলা) চিহ্নিত সংখ্যার যোগফল দশমিক লগারিদমের পছন্দসই মান দেয় চতুর্থ দশমিক স্থানে নির্ভুল, অর্থাৎ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
উপরের টেবিলটি ব্যবহার করে, দশমিক বিন্দুর পরে তিনটি সংখ্যার বেশি এবং সেইসাথে 1 থেকে 9.999 পর্যন্ত সীমার বাইরে যাওয়া সংখ্যাগুলির দশমিক লগারিদমের মানগুলি খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব? হ্যা, তুমি পারো. আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি কীভাবে করা হয় তা দেখাই।
আসুন lg102.76332 হিসাব করি। প্রথমে আপনাকে লিখতে হবে সংখ্যা মান ফর্ম : 102.76332=1.0276332·10 2। এই পরে, mantissa তৃতীয় দশমিক স্থানে বৃত্তাকার করা উচিত, আমরা আছে 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, যখন মূল দশমিক লগারিদমটি ফলাফলপ্রাপ্ত সংখ্যার লগারিদমের প্রায় সমান, অর্থাৎ, আমরা log102.76332≈lg1.028·10 2 নিই। এখন আমরা লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করি: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. অবশেষে, আমরা দশমিক লগারিদমের টেবিল থেকে লগারিদম lg1.028 এর মান খুঁজে পাই lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012। ফলস্বরূপ, লগারিদম গণনা করার সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াটি এইরকম দেখায়: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
উপসংহারে, এটি লক্ষণীয় যে দশমিক লগারিদমের একটি টেবিল ব্যবহার করে আপনি যে কোনও লগারিদমের আনুমানিক মান গণনা করতে পারেন। এটি করার জন্য, দশমিক লগারিদমে যেতে, টেবিলে তাদের মানগুলি খুঁজে বের করতে এবং অবশিষ্ট গণনাগুলি সম্পাদন করার জন্য রূপান্তর সূত্রটি ব্যবহার করা যথেষ্ট।
উদাহরণস্বরূপ, আসুন log 2 3 গণনা করি। লগারিদমের একটি নতুন বেসে রূপান্তরের সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে। দশমিক লগারিদমের টেবিল থেকে আমরা log3≈0.4771 এবং log2≈0.3010 খুঁজে পাই। এইভাবে, 
.
গ্রন্থপঞ্জি।
লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতোই, যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তরিত হতে পারে। কিন্তু লগারিদম যেহেতু ঠিক নয় সাধারণ সংখ্যা, এখানে নিয়ম আছে, যা বলা হয় প্রধান বৈশিষ্ট্য.
আপনাকে অবশ্যই এই নিয়মগুলি জানতে হবে - এগুলি ছাড়া, একটি গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যাবে না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - আপনি একদিনে সবকিছু শিখতে পারেন। চল শুরু করা যাক.
সঙ্গে দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন একই ভিত্তিতে: লগ ক এক্সএবং লগ ক y. তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:
সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান এবং পার্থক্যটি ভাগফলের লগারিদমের সমান। বিঃদ্রঃ: মূল মুহূর্তএখানে - অভিন্ন ভিত্তি. কারণ ভিন্ন হলে এই নিয়মগুলো কাজ করে না!
এই সূত্রগুলি আপনাকে গণনা করতে সাহায্য করবে লগারিদমিক অভিব্যক্তিএমনকি যখন এর পৃথক অংশ গণনা করা হয় না (পাঠ দেখুন "লগারিদম কি")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:
লগ 6 4 + লগ 6 9।
যেহেতু লগারিদমের একই ভিত্তি রয়েছে, তাই আমরা যোগফল সূত্রটি ব্যবহার করি:
লগ 6 4 + লগ 6 9 = লগ 6 (4 9) = লগ 6 36 = 2।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 2 48 − log 2 3।
ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
লগ 2 48 − লগ 2 3 = লগ 2 (48: 3) = লগ 2 16 = 4।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 3 135 − log 3 5।
আবার ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
লগ 3 135 − লগ 3 5 = লগ 3 (135: 5) = লগ 3 27 = 3।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে গণনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পরে, সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সংখ্যা প্রাপ্ত হয়। অনেকেই এই সত্যের উপর নির্মিত পরীক্ষার কাগজপত্র. হ্যাঁ, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় পরীক্ষার মতো অভিব্যক্তিগুলি সমস্ত গুরুত্ব সহকারে (কখনও কখনও কার্যত কোনও পরিবর্তন ছাড়াই) দেওয়া হয়।
এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক। লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তি একটি শক্তি হলে কি হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচককে বের করা যেতে পারে:
এটি দেখতে সহজ যে শেষ নিয়মটি প্রথম দুটি অনুসরণ করে। তবে যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।
অবশ্যই, লগারিদমের ODZ পরিলক্ষিত হলে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: ক > 0, ক ≠ 1, এক্স> 0. এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধুমাত্র বাম থেকে ডানে নয়, বরং উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন, যেমন লগারিদমে লগারিদম সাইন করার আগে আপনি সংখ্যাগুলি লিখতে পারেন। এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 7 49 6।
আসুন প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করে আর্গুমেন্টের ডিগ্রি থেকে পরিত্রাণ পাই:
লগ 7 49 6 = 6 লগ 7 49 = 6 2 = 12
টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]
লক্ষ্য করুন যে হরটিতে একটি লগারিদম রয়েছে, যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2। আমাদের আছে:
[ছবির জন্য ক্যাপশন] আমি মনে করি শেষ উদাহরণ কিছু স্পষ্টীকরণ প্রয়োজন. লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি। আমরা শক্তির আকারে সেখানে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছি এবং সূচকগুলি বের করেছি - আমরা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছি।
এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা ধারণ করে: লগ 2 7। যেহেতু লগ 2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর-এ থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি অংকে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল উত্তর ছিল: 2.
লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। কারণ ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক ক্ষমতা না হয়?
একটি নতুন ফাউন্ডেশনে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আসুন একটি উপপাদ্য আকারে তাদের গঠন করা যাক:
লগারিদম লগ দেওয়া যাক ক এক্স. তারপর যেকোনো নম্বরের জন্য গযেমন যে গ> 0 এবং গ≠ 1, সমতা সত্য:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]
বিশেষ করে, যদি আমরা করা গ = এক্স, আমরা পেতে:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]
দ্বিতীয় সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি অদলবদল করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তিটি "টার্ন ওভার" হয়, যেমন লগারিদম হর প্রদর্শিত হয়.
এই সূত্রগুলো প্রচলিত খুব কমই পাওয়া যায় সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি. তারা কতটা সুবিধাজনক তা কেবল সিদ্ধান্ত নেওয়ার মাধ্যমেই মূল্যায়ন করা সম্ভব লগারিদমিক সমীকরণএবং অসমতা।
যাইহোক, এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যা একটি নতুন ভিত্তির দিকে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। আসুন এর মধ্যে কয়েকটি দেখি:
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 5 16 log 2 25।
মনে রাখবেন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টে সঠিক ক্ষমতা রয়েছে। আসুন সূচকগুলি বের করা যাক: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
এখন দ্বিতীয় লগারিদমটিকে "বিপরীত" করা যাক:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]যেহেতু উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার সময় পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমের সাথে কাজ করেছি।
টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 9 100 lg 3।
প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক ক্ষমতা। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]প্রায়শই সমাধান প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:
প্রথম ক্ষেত্রে, সংখ্যা nআর্গুমেন্টে দাঁড়িয়ে থাকা ডিগ্রির একটি সূচক হয়ে ওঠে। সংখ্যা nএকেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি লগারিদম মান।
দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। এটাকে বলে: মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়।
আসলে সংখ্যা হলে কি হবে খএমন একটি শক্তি বাড়াতে যে সংখ্যা খএই শক্তি নম্বর দেয় ক? এটা ঠিক: আপনি এই একই নম্বর পাবেন ক. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেকে এতে আটকে যায়।
একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।
টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]
লক্ষ্য করুন যে লগ 25 64 = লগ 5 8 - সহজভাবে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি থেকে বর্গক্ষেত্রটি নিয়েছে। একই বেস দিয়ে শক্তি গুণ করার নিয়মগুলি বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:
[ছবির জন্য ক্যাপশন]যদি কেউ না জানে, এটি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার একটি বাস্তব কাজ ছিল :)
উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে খুব কমই বৈশিষ্ট্য বলা যেতে পারে - বরং, তারা লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে উপস্থিত হয় এবং আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্যও সমস্যা তৈরি করে।
যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট আউট করুন এবং সমস্যার সমাধান করুন।
