সিঁড়ি। এন্ট্রি গ্রুপ। উপকরণ। দরজা. তালা। ডিজাইন

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: অসমতা সমাধান করুন (0.5) (7 - 3*x)< 4.

উল্লেখ্য যে 4 = (0.5) 2। তাহলে অসমতা রূপ নেবে (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

আমরা পাই: 7 - 3*x>-2।

তাই: x<3.

উত্তরঃ x<3.

যদি বৈষম্যের ভিত্তি একের বেশি হয়, তাহলে বেস থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার সময়, বৈষম্যের চিহ্ন পরিবর্তন করার দরকার ছিল না।

এই পাঠে আমরা বিভিন্ন সূচকীয় অসমতা দেখব এবং সহজতম সূচকীয় অসমতাগুলি সমাধান করার কৌশলের উপর ভিত্তি করে কীভাবে সেগুলি সমাধান করতে হয় তা শিখব।

1. একটি সূচকীয় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

আসুন আমরা সূচকীয় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি। সমস্ত সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতার সমাধান এই বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে।

ব্যাখ্যামূলক কাজফর্মের একটি ফাংশন, যেখানে ভিত্তিটি ডিগ্রি এবং এখানে x হল স্বাধীন পরিবর্তনশীল, যুক্তি; y নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল, ফাংশন।

ভাত। 1. সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ

গ্রাফটি ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসকারী সূচকগুলি দেখায়, যথাক্রমে একের চেয়ে বড় এবং একের চেয়ে কম কিন্তু শূন্যের চেয়ে বড় বেস সহ সূচকীয় ফাংশনকে চিত্রিত করে।

উভয় বক্ররেখা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (0;1)

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

ডোমেইন: ;

মান পরিসীমা: ;

ফাংশন একঘেয়ে, সঙ্গে বৃদ্ধি, সঙ্গে হ্রাস.

একটি একঘেয়ে ফাংশন একটি একক যুক্তি মান দেওয়া তার প্রতিটি মান নেয়।

যখন , যখন আর্গুমেন্ট বিয়োগ থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, তখন ফাংশনটি শূন্য থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, আর্গুমেন্টের প্রদত্ত মানগুলির জন্য আমাদের একটি একঘেয়ে বর্ধিত ফাংশন রয়েছে ()। বিপরীতে, যখন আর্গুমেন্ট বিয়োগ থেকে প্লাস ইনফিনিটিতে বৃদ্ধি পায়, তখন ফাংশনটি অসীম থেকে শূন্য পর্যন্ত হ্রাস পায়, অর্থাৎ, আর্গুমেন্টের প্রদত্ত মানগুলির জন্য আমাদের একটি একঘেয়েভাবে হ্রাসকারী ফাংশন রয়েছে ()।

2. সহজতম সূচকীয় অসমতা, সমাধান পদ্ধতি, উদাহরণ

উপরের উপর ভিত্তি করে, আমরা সহজ সূচকীয় অসমতা সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি উপস্থাপন করি:

বৈষম্য সমাধানের কৌশল:

ডিগ্রির বেস সমান করুন;

বৈষম্য চিহ্নটিকে বিপরীতটির সাথে বজায় রেখে বা পরিবর্তন করে সূচকগুলির তুলনা করুন।

জটিল সূচকীয় বৈষম্যের সমাধান সাধারণত তাদের সহজতম সূচকীয় অসমতায় কমিয়ে আনার মধ্যে থাকে।

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, যার মানে অসমতার চিহ্ন সংরক্ষিত:

ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী ডানদিকের দিকটি রূপান্তর করা যাক:

ডিগ্রীর ভিত্তি একের কম, অসমতার চিহ্নটি অবশ্যই বিপরীত হতে হবে:

দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করতে, আমরা সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা শিকড় খুঁজে পাই:

প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে পরিচালিত হয়।

এইভাবে, আমাদের কাছে অসমতার একটি সমাধান আছে:

এটি অনুমান করা সহজ যে ডান দিকটি শূন্যের সূচক সহ একটি শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয় না, আমরা পাই:

আসুন আমরা এই ধরনের অসমতা সমাধানের কৌশলটি স্মরণ করি।

ভগ্নাংশ-যুক্তিগত ফাংশন বিবেচনা করুন:

আমরা সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে পাই:

ফাংশনের শিকড় সন্ধান করা:

ফাংশনের একটি একক রুট আছে,

আমরা ধ্রুব চিহ্নের ব্যবধান নির্বাচন করি এবং প্রতিটি ব্যবধানে ফাংশনের চিহ্ন নির্ধারণ করি:

ভাত। 2. চিহ্নের স্থিরতার ব্যবধান

এইভাবে, আমরা উত্তর পেয়েছি।

উত্তর:

3. স্ট্যান্ডার্ড সূচকীয় অসমতা সমাধান করা

আসুন একই সূচকগুলির সাথে বৈষম্য বিবেচনা করা যাক, তবে বিভিন্ন ভিত্তি।

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল আর্গুমেন্টের যেকোনো মানের জন্য এটি কঠোরভাবে ধনাত্মক মান নেয়, যার মানে এটি একটি সূচকীয় ফাংশনে বিভক্ত হতে পারে। আসুন প্রদত্ত অসমতাটিকে তার ডান দিক দিয়ে ভাগ করি:

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, অসমতার চিহ্ন সংরক্ষিত হয়।

আসুন সমাধানটি ব্যাখ্যা করি:

চিত্র 6.3 ফাংশনের গ্রাফ দেখায় এবং . স্পষ্টতই, যখন আর্গুমেন্টটি শূন্যের চেয়ে বেশি হয়, ফাংশনের গ্রাফটি বেশি হয়, তখন এই ফাংশনটি বড় হয়। যখন আর্গুমেন্ট মান নেতিবাচক হয়, ফাংশন কম যায়, এটি ছোট হয়। যুক্তি সমান হলে, ফাংশন সমান, যার মানে এই বিন্দুটিও প্রদত্ত অসমতার সমাধান।

ভাত। 3. উদাহরণ 4

আসুন ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য অনুসারে প্রদত্ত অসমতাকে রূপান্তর করি:

এখানে কিছু অনুরূপ পদ আছে:

আসুন উভয় অংশে বিভক্ত করি:

এখন আমরা উদাহরণ 4 এর মতো একইভাবে সমাধান করতে থাকি, উভয় অংশকে এভাবে ভাগ করি:

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, অসমতার চিহ্নটি রয়ে গেছে:

4. সূচকীয় অসমতার গ্রাফিক্যাল সমাধান

উদাহরণ 6 - গ্রাফিকভাবে অসমতা সমাধান করুন:

আসুন বাম এবং ডান দিকের ফাংশনগুলি দেখি এবং তাদের প্রতিটির জন্য একটি গ্রাফ তৈরি করি।

ফাংশনটি সূচকীয় এবং তার সম্পূর্ণ সংজ্ঞার ডোমেনে বৃদ্ধি পায়, অর্থাত্ আর্গুমেন্টের সমস্ত বাস্তব মানের জন্য।

ফাংশনটি রৈখিক এবং সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে হ্রাস পায়, অর্থাত্ আর্গুমেন্টের সমস্ত বাস্তব মানের জন্য।

যদি এই ফাংশনগুলিকে ছেদ করে, অর্থাৎ, সিস্টেমের একটি সমাধান থাকে, তাহলে এই জাতীয় সমাধানটি অনন্য এবং সহজেই অনুমান করা যায়। এটি করার জন্য, আমরা পূর্ণসংখ্যার উপর পুনরাবৃত্তি করি ()

এটি দেখতে সহজ যে এই সিস্টেমের মূল হল:

এইভাবে, ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি একটি বিন্দুতে ছেদ করে একটি আর্গুমেন্টের সমান।

এখন আমাদের একটি উত্তর পেতে হবে। প্রদত্ত অসমতার অর্থ হ'ল সূচকটি রৈখিক ফাংশনের চেয়ে বড় বা সমান হতে হবে, অর্থাৎ উচ্চতর হতে হবে বা এটির সাথে মিলিত হতে হবে। উত্তরটি সুস্পষ্ট: (চিত্র 6.4)

ভাত। 4. উদাহরণ 6

সুতরাং, আমরা বিভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড সূচকীয় অসমতা সমাধানের দিকে তাকিয়েছি। পরবর্তীতে আমরা আরও জটিল সূচকীয় অসমতা বিবেচনা করতে এগিয়ে যাই।

গ্রন্থপঞ্জি

মর্ডকোভিচ এ.জি. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের সূচনা। - এম.: মেমোসিন। মুরাভিন জি.কে., মুরাভিন ও.ভি. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের শুরু। - এম.: বাস্টার্ড। কোলমোগোরভ এ.এন., আব্রামভ এ.এম., ডুডনিটসিন ইউ. পি. এট আল. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের সূচনা৷ - এম.: এনলাইটেনমেন্ট।

গণিত মো. গণিত-পুনরাবৃত্তি। com. ডিফার। kemsu ru

বাড়ির কাজ

1. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা, গ্রেড 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, নং 472, 473;

2. অসমতা সমাধান করুন:

3. অসমতা সমাধান করুন।

সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতাগুলি হল যেগুলির মধ্যে অজানাটি সূচকের মধ্যে রয়েছে।

সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করা প্রায়শই a x = a b সমীকরণের সমাধানে নেমে আসে, যেখানে a > 0, a ≠ 1, x একটি অজানা। এই সমীকরণটির একটি একক মূল x = b আছে, যেহেতু নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি সত্য:

উপপাদ্য। a > 0, a ≠ 1 এবং a x 1 = a x 2 হলে, x 1 = x 2।

আমাদের বিবেচিত বিবৃতি প্রমাণ করা যাক.

আসুন ধরে নিই যে সমতা x 1 = x 2 ধরে না, অর্থাৎ x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, তারপর ব্যাখ্যামূলক কাজ y = a x বৃদ্ধি পায় এবং তাই অসমতা a x 1 অবশ্যই সন্তুষ্ট হবে< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >একটি x 2। উভয় ক্ষেত্রেই আমরা একটি x 1 = a x 2 শর্তের একটি দ্বন্দ্ব পেয়েছি।

আসুন বেশ কয়েকটি সমস্যা বিবেচনা করি।

4 ∙ 2 x = 1 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

আসুন 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 আকারে সমীকরণটি লিখি, যেখান থেকে আমরা x + 2 = 0 পাই। x = -2।

উত্তর. x = -2।

সমীকরণ 2 3x ∙ 3 x = 576 সমাধান করুন।

সমাধান।

যেহেতু 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, সমীকরণটি 8 x ∙ 3 x = 24 2 বা 24 x = 24 2 হিসাবে লেখা যেতে পারে।

এখান থেকে আমরা x = 2 পাই।

উত্তর. x = 2।

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

বাম দিকে বন্ধনীর মধ্যে 3 x - 2 কমন ফ্যাক্টর নিলে, আমরা 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 পাব,

যেখান থেকে 3 x - 2 = 1, অর্থাৎ x – 2 = 0, x = 2।

উত্তর. x = 2।

3 x = 7 x সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

যেহেতু 7 x ≠ 0, সমীকরণটি 3 x /7 x = 1 হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখান থেকে (3/7) x = 1, x = 0।

উত্তর. x = 0।

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

3 x = a প্রতিস্থাপন করলে এই সমীকরণ কমে যায় দ্বিঘাত সমীকরণ a 2 – 4a – 45 = 0।

এই সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা এর মূল খুঁজে পাই: a 1 = 9, এবং 2 = -5, যেখান থেকে 3 x = 9, 3 x = -5।

3 x = 9 সমীকরণের রুট 2 আছে, এবং সমীকরণ 3 x = -5 এর কোনো মূল নেই, যেহেতু সূচকীয় ফাংশন নেতিবাচক মান নিতে পারে না।

উত্তর. x = 2।

সূচকীয় অসমতাগুলি সমাধান করা প্রায়শই অসমতাগুলি a x > a b বা a x সমাধানে নেমে আসে< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

চলুন কিছু সমস্যা দেখা যাক।

অসমতা সমাধান করুন 3 x< 81.

সমাধান।

অসমতাকে 3 x আকারে লিখি< 3 4 . Так как 3 >1, তাহলে ফাংশন y = 3 x বাড়ছে।

অতএব, x এর জন্য< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

এইভাবে, x এ< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 এক্স< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

উত্তর. এক্স< 4.

অসমতা সমাধান করুন 16 x +4 x – 2 > 0।

সমাধান।

আসুন 4 x = t বোঝাই, তারপর আমরা দ্বিঘাত অসমতা t2 + t – 2 > 0 পাই।

এই অসমতা টি জন্য ঝুলিতে< -2 и при t > 1.

যেহেতু t = 4 x, আমরা দুটি অসমতা 4 x পাই< -2, 4 х > 1.

প্রথম অসমতার কোনো সমাধান নেই, যেহেতু 4 x > 0 সব x € R এর জন্য।

আমরা দ্বিতীয় অসমতা 4 x > 4 0 আকারে লিখি, যেখান থেকে x > 0।

উত্তর. x > 0।

গ্রাফিকভাবে সমীকরণটি সমাধান করুন (1/3) x = x – 2/3।

সমাধান।

1) আসুন y = (1/3) x এবং y = x – 2/3 ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করি।

2) আমাদের চিত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে বিবেচিত ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি বিন্দুতে অ্যাবসিসা x ≈ 1 দিয়ে ছেদ করে। পরীক্ষা করা প্রমাণ করে যে

x = 1 এই সমীকরণের মূল:

(1/3) 1 = 1/3 এবং 1 – 2/3 = 1/3।

অন্য কথায়, আমরা সমীকরণের একটি মূল খুঁজে পেয়েছি।

3) আসুন অন্য শিকড় খুঁজে বের করি বা প্রমাণ করি যে কোনটি নেই। ফাংশন (1/3) x কমছে, এবং ফাংশন y = x – 2/3 বাড়ছে। অতএব, x > 1 এর জন্য, প্রথম ফাংশনের মান 1/3-এর কম, এবং দ্বিতীয়টি - 1/3-এর বেশি; x এ< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 এবং x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

উত্তর. x = 1।

উল্লেখ্য যে এই সমস্যার সমাধান থেকে, বিশেষ করে, এটি অনুসরণ করে যে অসমতা (1/3) x > x – 2/3 x এর জন্য সন্তুষ্ট< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।