§ 87. ভগ্নাংশের যোগ।
ভগ্নাংশ যোগ করার সাথে পূর্ণ সংখ্যা যোগ করার অনেক মিল রয়েছে। ভগ্নাংশের সংযোজন এমন একটি ক্রিয়া যা এই বাস্তবতায় গঠিত যে বেশ কয়েকটি প্রদত্ত সংখ্যা (পদ) একটি সংখ্যা (সমষ্টি) তে একত্রিত হয়, যা পদগুলির এককের সমস্ত একক এবং ভগ্নাংশ ধারণ করে।
আমরা তিনটি কেস পর্যায়ক্রমে বিবেচনা করব:
1. একই হর সহ ভগ্নাংশের যোগ।
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের সংযোজন।
3. মিশ্র সংখ্যার সংযোজন।
1. একই হর সহ ভগ্নাংশের যোগ।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: 1 / 5 + 2 / 5।
সেগমেন্ট AB (চিত্র 17) নিন, একে একক হিসেবে নিন এবং একে 5টি সমান অংশে ভাগ করুন, তাহলে এই সেগমেন্টের অংশ AC হবে AB সেগমেন্টের 1/5, এবং একই সেগমেন্ট CD এর অংশ। 2/5 AB এর সমান হবে।
অঙ্কন থেকে দেখা যায় যে আমরা যদি সেগমেন্টটি AD ধরি, তবে এটি 3/5 AB এর সমান হবে; কিন্তু সেগমেন্ট AD হল সুনির্দিষ্টভাবে AC এবং CD অংশের যোগফল। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
এই পদগুলি এবং ফলের পরিমাণ বিবেচনা করে, আমরা দেখতে পাই যে পদগুলির লব যোগ করে যোগফলের লব পাওয়া গেছে এবং হর অপরিবর্তিত রয়েছে।
এখান থেকে আমরা পাই পরবর্তী নিয়ম: একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে অবশ্যই তাদের লব যোগ করতে হবে এবং একই হর ছেড়ে দিতে হবে।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের সংযোজন।
ভগ্নাংশ যোগ করা যাক: 3/4 + 3/8 প্রথমে তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ হর-এ ছোট করতে হবে:
মধ্যবর্তী লিংক 6/8 + 3/8 লেখা যেত না; আমরা বৃহত্তর স্পষ্টতার জন্য এটি এখানে লিখেছি।
এইভাবে, বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে প্রথমে তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ হর-এ আনতে হবে, তাদের লব যোগ করতে হবে এবং সাধারণ হরকে সাইন ইন করতে হবে।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন (আমরা সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের উপর অতিরিক্ত কারণ লিখব):
3. মিশ্র সংখ্যার সংযোজন।
সংখ্যা যোগ করা যাক: 2 3 / 8 + 3 5 / 6।
আসুন প্রথমে আমাদের সংখ্যার ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং সেগুলি আবার লিখি:
এখন ক্রমানুসারে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ যোগ করুন:
§ 88. ভগ্নাংশের বিয়োগ।
ভগ্নাংশের বিয়োগ সম্পূর্ণ সংখ্যার বিয়োগের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি এমন একটি ক্রিয়া যার দ্বারা, দুটি পদ এবং তাদের একটির যোগফল দেওয়া হলে, আরেকটি পদ পাওয়া যায়। আসুন তিনটি কেস পর্যায়ক্রমে বিবেচনা করি:
1. একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।
3. মিশ্র সংখ্যার বিয়োগ।
1. একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
13 / 15 - 4 / 15
AB সেগমেন্টটি (চিত্র 18) নেওয়া যাক, এটিকে একটি ইউনিট হিসাবে নিন এবং এটিকে 15টি সমান অংশে ভাগ করুন; তাহলে এই সেগমেন্টের AC অংশ হবে AB এর 1/15, এবং একই অংশের AD অংশটি 13/15 AB এর সাথে মিলবে। 4/15 AB এর সমান আরেকটি সেগমেন্ট ED আলাদা করা যাক।
আমাদের 13/15 থেকে 4/15 বিয়োগ করতে হবে। অঙ্কনে, এর মানে হল যে সেগমেন্ট ED অবশ্যই সেগমেন্ট AD থেকে বিয়োগ করতে হবে। ফলস্বরূপ, সেগমেন্ট AE থাকবে, যা AB সেগমেন্টের 9/15। তাই আমরা লিখতে পারি:
আমরা যে উদাহরণটি তৈরি করেছি তা দেখায় যে লব বিয়োগ করে পার্থক্যের লব পাওয়া গেছে এবং হর একই রয়ে গেছে।
অতএব, একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার জন্য, আপনাকে মিনুএন্ডের লব থেকে সাবট্রাহেন্ডের লব বিয়োগ করতে হবে এবং একই হরকে ছেড়ে দিতে হবে।
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।
উদাহরণ। 3/4 - 5/8
প্রথমে, আসুন এই ভগ্নাংশগুলিকে ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর-এ কমিয়ে দেই:
মধ্যবর্তী লিঙ্ক 6/8 - 5/8 এখানে স্পষ্টতার জন্য লেখা হয়েছে, তবে ভবিষ্যতে এটি এড়িয়ে যাওয়া যেতে পারে।
এইভাবে, একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে তাদের ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর-এ আনতে হবে, তারপর ক্ষুদ্রতমের লব থেকে সাবট্রাহেন্ডের লব বিয়োগ করতে হবে এবং তাদের পার্থক্যের অধীনে সাধারণ হরকে স্বাক্ষর করতে হবে।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
3. মিশ্র সংখ্যার বিয়োগ।
উদাহরণ। 10 3 / 4 - 7 2 / 3।
আসুন মিনুএন্ড এবং সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশকে সর্বনিম্ন সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি:
আমরা একটি সম্পূর্ণ থেকে একটি সম্পূর্ণ এবং একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ. কিন্তু এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যখন সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের অংশটি মিনুএন্ডের ভগ্নাংশের চেয়ে বড়। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনাকে হ্রাসকৃত পূর্ণসংখ্যার অংশ থেকে একটি ইউনিট নিতে হবে, এটিকে সেই অংশগুলিতে বিভক্ত করতে হবে যেখানে ভগ্নাংশের অংশটি প্রকাশ করা হয়েছে এবং হ্রাসকৃত ভগ্নাংশের সাথে যোগ করুন। এবং তারপর বিয়োগটি আগের উদাহরণের মতো একইভাবে সঞ্চালিত হবে:
§ 89. ভগ্নাংশের গুণ।
ভগ্নাংশের গুণ অধ্যয়ন করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি বিবেচনা করব:
1. একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা।
2. প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা।
3. ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণ সংখ্যার গুণ।
4. ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।
5. মিশ্র সংখ্যার গুণ।
6. সুদের ধারণা।
7. একটি প্রদত্ত সংখ্যার শতাংশ খুঁজে বের করা। আসুন তাদের ক্রমানুসারে বিবেচনা করি।
1. একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা।
একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করার অর্থ একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করার মতোই। একটি পূর্ণসংখ্যা (গুণক) দ্বারা একটি ভগ্নাংশ (গুণ) গুণ করার অর্থ অভিন্ন পদগুলির যোগফল রচনা করা, যেখানে প্রতিটি পদ গুণকের সমান এবং পদগুলির সংখ্যা গুণকের সমান।
সুতরাং, যদি আপনার 1/9 কে 7 দ্বারা গুণ করতে হয়, তাহলে এটি এইভাবে করা যেতে পারে:
আমরা সহজেই ফলাফল পেয়েছি, যেহেতু ক্রিয়াটি একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য হ্রাস করা হয়েছিল। তাই,
এই ক্রিয়াটি বিবেচনা করলে দেখা যায় যে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করা এই ভগ্নাংশটিকে যতবার পূর্ণসংখ্যাতে একক রয়েছে ততবার বৃদ্ধি করার সমতুল্য। এবং যেহেতু ভগ্নাংশের বৃদ্ধি হয় তার লব বাড়িয়ে অর্জিত হয়
অথবা এর হর হ্রাস করে 
, তাহলে আমরা হয় লবকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করতে পারি, অথবা এর দ্বারা হরকে ভাগ করতে পারি, যদি এমন একটি ভাগ সম্ভব হয়।
এখান থেকে আমরা নিয়ম পেতে পারি:
একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে এই পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লবকে গুণ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে, অথবা, যদি সম্ভব হয়, লবটিকে অপরিবর্তিত রেখে এই সংখ্যা দ্বারা হরকে ভাগ করতে হবে।
গুন করার সময়, সংক্ষিপ্ত রূপগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ:
2. প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা।এমন অনেক সমস্যা রয়েছে যেখানে আপনাকে একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি অংশ খুঁজে বের করতে বা গণনা করতে হবে। এই কাজের এবং অন্যদের মধ্যে পার্থক্য হল যে তারা কিছু বস্তু বা পরিমাপের এককের সংখ্যা দেয় এবং আপনাকে এই সংখ্যার একটি অংশ খুঁজে বের করতে হবে, যা এখানে একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশ দ্বারা নির্দেশিত হয়েছে। বোঝার সুবিধার্থে, আমরা প্রথমে এই ধরনের সমস্যার উদাহরণ দেব, এবং তারপরে সেগুলি সমাধানের পদ্ধতি চালু করব।
কার্যক্রম 1.আমার 60 রুবেল ছিল; এর ১/৩ টাকা বই কেনার পেছনে খরচ করেছি। বইগুলোর দাম কত ছিল?
টাস্ক 2।ট্রেনটি অবশ্যই A এবং B শহরের মধ্যে 300 কিলোমিটারের সমান দূরত্ব কভার করবে। তিনি ইতিমধ্যে সেই দূরত্বের 2/3 কভার করেছেন। এটা কত কিলোমিটার?
টাস্ক 3।গ্রামে 400টি বাড়ি রয়েছে, এর মধ্যে 3/4টি ইটের, বাকিগুলি কাঠের। কতগুলো ইটের ঘর?
প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে পেতে আমাদের মোকাবেলা করতে হবে এমন অনেকগুলি সমস্যা এখানে রয়েছে। এগুলিকে সাধারণত প্রদত্ত সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে পাওয়ার জন্য সমস্যা বলা হয়।
সমস্যার সমাধান ১. 60 রুবেল থেকে। আমি বইয়ের জন্য 1/3 ব্যয় করেছি; সুতরাং, বইয়ের দাম খুঁজে পেতে, আপনাকে 60 নম্বরটিকে 3 দ্বারা ভাগ করতে হবে:
সমস্যা 2 সমাধান।সমস্যার অর্থ হল আপনাকে 300 কিলোমিটারের 2/3 খুঁজে বের করতে হবে। 300 এর প্রথম 1/3 গণনা করুন; এটি 300 কিলোমিটারকে 3 দ্বারা ভাগ করে অর্জন করা হয়:
300: 3 = 100 (এটি 300 এর 1/3)।
300 এর দুই-তৃতীয়াংশ খুঁজে পেতে, আপনাকে ফলাফলের ভাগফলকে দ্বিগুণ করতে হবে, অর্থাৎ, 2 দ্বারা গুণ করুন:
100 x 2 = 200 (এটি 300 এর 2/3)।
সমস্যার সমাধান 3.এখানে আপনাকে ইটের ঘরের সংখ্যা নির্ধারণ করতে হবে, যেগুলো 400-এর 3/4। প্রথমে 400-এর মধ্যে 1/4 বের করা যাক,
400: 4 = 100 (এটি 400 এর 1/4)।
400-এর তিন চতুর্থাংশ গণনা করতে, ফলের ভাগফলকে অবশ্যই তিনগুণ করতে হবে, অর্থাৎ, 3 দিয়ে গুণ করতে হবে:
100 x 3 = 300 (এটি 400 এর 3/4)।
এই সমস্যার সমাধানের উপর ভিত্তি করে, আমরা নিম্নলিখিত নিয়মটি পেতে পারি:
একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশের মান খুঁজে পেতে, আপনাকে এই সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং ফলাফলের ভাগফলকে এর লব দ্বারা গুণ করতে হবে।
3. ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণ সংখ্যার গুণ।
এর আগে (§ 26) এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে পূর্ণসংখ্যার গুণকে অভিন্ন পদের যোগ হিসাবে বোঝা উচিত (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)। এই অনুচ্ছেদে (অনুচ্ছেদ 1) এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা মানে এই ভগ্নাংশের সমান অভিন্ন পদগুলির যোগফল খুঁজে পাওয়া।
উভয় ক্ষেত্রেই, গুণটি অভিন্ন পদের যোগফল খুঁজে নিয়ে গঠিত।
এখন আমরা একটি পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার দিকে এগিয়ে যাই। এখানে আমরা এই ধরনের সাথে দেখা করব, উদাহরণস্বরূপ, গুণ: 9 2 / 3। এটা বেশ স্পষ্ট যে গুণের পূর্ববর্তী সংজ্ঞা এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। এটি এই সত্য থেকে স্পষ্ট যে আমরা সমান সংখ্যা যোগ করে এই জাতীয় গুণকে প্রতিস্থাপন করতে পারি না।
এই কারণে, আমাদের গুণনের একটি নতুন সংজ্ঞা দিতে হবে, অর্থাৎ, ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে কী বোঝা উচিত, এই ক্রিয়াটি কীভাবে বোঝা উচিত এই প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।
একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার অর্থ নিম্নলিখিত সংজ্ঞা থেকে স্পষ্ট: একটি পূর্ণসংখ্যা (গুণ) একটি ভগ্নাংশ (গুণক) দ্বারা গুণ করার অর্থ হল গুণকের এই ভগ্নাংশটি খুঁজে বের করা।
যথা, 9 কে 2/3 দ্বারা গুণ করা মানে নয়টি এককের 2/3 খুঁজে পাওয়া। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়েছিল; তাই এটা বের করা সহজ যে আমরা 6 দিয়ে শেষ করেছি।
কিন্তু এখন একটি আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন উঠেছে: যোগফল খুঁজে বের করার মতো আপাতদৃষ্টিতে ভিন্ন ক্রিয়া কেন? সমান সংখ্যাএবং একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা, পাটিগণিত একই শব্দ "গুণ" বলা হয়?
এটি ঘটে কারণ পূর্ববর্তী ক্রিয়া (সংখ্যাটি কয়েকবার পদের সাথে পুনরাবৃত্তি করা) এবং নতুন ক্রিয়া (একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে পাওয়া) সমজাতীয় প্রশ্নের উত্তর দেয়। এর মানে হল যে আমরা এখানে এই বিবেচনা থেকে এগিয়ে যাই যে সমজাতীয় প্রশ্ন বা কাজগুলি এক এবং একই ক্রিয়া দ্বারা সমাধান করা হয়।
এটি বোঝার জন্য, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন: “1 মিটার কাপড়ের দাম 50 রুবেল। এই ধরনের 4 মি কাপড়ের দাম কত হবে?
এই সমস্যাটি রুবেল (50) সংখ্যাকে মিটার (4) সংখ্যা দ্বারা গুণ করে, অর্থাৎ 50 x 4 = 200 (রুবেল) দ্বারা সমাধান করা হয়।
আসুন একই সমস্যাটি নেওয়া যাক, তবে এতে কাপড়ের পরিমাণ ভগ্নাংশ সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হবে: “1 মিটার কাপড়ের দাম 50 রুবেল। এরকম একটি কাপড়ের 3/4 মিটার দাম কত হবে?
রুবেল (50) সংখ্যাকে মিটারের (3/4) সংখ্যা দ্বারা গুণ করে এই সমস্যাটিও সমাধান করা দরকার।
আপনি সমস্যার অর্থ পরিবর্তন না করেও এটির সংখ্যাগুলি বেশ কয়েকবার পরিবর্তন করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, 9/10 মিটার বা 2 3/10 মিটার ইত্যাদি নিন।
যেহেতু এই সমস্যাগুলি একই বিষয়বস্তু রয়েছে এবং শুধুমাত্র সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য রয়েছে, তাই আমরা তাদের সমাধানে ব্যবহৃত ক্রিয়াগুলিকে একই শব্দ বলি - গুণ।
কিভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা হয়?
শেষ সমস্যাটির সম্মুখীন হওয়া সংখ্যাগুলি নেওয়া যাক:
সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের অবশ্যই 50-এর 3/4 খুঁজে বের করতে হবে। প্রথমে আমরা 50-এর 1/4 এবং তারপর 3/4 খুঁজে বের করব।
50 এর 1/4 হল 50/4;
50 এর 3/4 হল।
তাই।
আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: 12 5 / 8 =?
12 এর 1/8 হল 12/8,
12 নম্বরের 5/8 হল।
তাই,
এখান থেকে আমরা নিয়ম পেতে পারি:
একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে ভগ্নাংশের লব দ্বারা পূর্ণসংখ্যাকে গুণ করতে হবে এবং এই গুণফলটিকে লব করতে হবে এবং প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরকে হর হিসাবে স্বাক্ষর করতে হবে।
আমরা অক্ষর ব্যবহার করে এই নিয়ম লিখি:
এই নিয়মটি পুরোপুরি পরিষ্কার করার জন্য, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি ভগ্নাংশকে ভাগফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সুতরাং, ভাগফল দ্বারা একটি সংখ্যাকে গুণ করার নিয়মের সাথে পাওয়া নিয়মের তুলনা করা দরকারী, যা § 38 এ সেট করা হয়েছিল
এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে গুণন সম্পাদন করার আগে, আপনার করা উচিত (যদি সম্ভব হয়) কাট, উদাহরণ স্বরূপ:
4. ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার অর্থ একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার মতো, অর্থাৎ, একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার সময়, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশ (গুণক) থেকে গুণকের মধ্যে ভগ্নাংশটি খুঁজে বের করতে হবে।
যথা, 3/4 কে 1/2 (অর্ধেক) দ্বারা গুণ করা মানে 3/4 এর অর্ধেক খুঁজে পাওয়া।
আপনি কিভাবে একটি ভগ্নাংশ একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করবেন?
একটি উদাহরণ নেওয়া যাক: 3/4 বার 5/7। এর মানে হল যে আপনাকে 3/4 থেকে 5/7 খুঁজে বের করতে হবে। 3/4 এর প্রথম 1/7 এবং তারপর 5/7 খুঁজুন
3/4 এর 1/7 এভাবে প্রকাশ করা হবে:
5 / 7 সংখ্যা 3 / 4 নিম্নরূপ প্রকাশ করা হবে:
এইভাবে,
আরেকটি উদাহরণ: 5/8 বার 4/9।
5/8 এর 1/9 হল,
4/9 সংখ্যা 5/8 হল।
এইভাবে, 
এই উদাহরণগুলি থেকে, নিম্নলিখিত নিয়মটি অনুমান করা যেতে পারে:
একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবকে লব দ্বারা এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলকে লব এবং দ্বিতীয় গুণফলকে গুণফলের হর করতে হবে।
এই নিয়ম মধ্যে সাধারণ দৃষ্টিকোণএভাবে লেখা যেতে পারে:
গুন করার সময়, এটি (যদি সম্ভব হয়) হ্রাস করা প্রয়োজন। উদাহরণ বিবেচনা করুন:
5. মিশ্র সংখ্যার গুণ।যেহেতু মিশ্র সংখ্যাগুলি সহজেই অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, তাই এই পরিস্থিতিটি সাধারণত মিশ্র সংখ্যাকে গুণ করার সময় ব্যবহৃত হয়। এর মানে হল যে ক্ষেত্রে যেখানে গুণক, বা গুণক, বা উভয় গুণনীয়ককে মিশ্র সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয়, তখন সেগুলি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। গুন করুন, উদাহরণস্বরূপ, মিশ্র সংখ্যা: 2 1/2 এবং 3 1/5। আমরা তাদের প্রত্যেকটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত করি এবং তারপরে আমরা একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়ম অনুসারে ফলিত ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করব:
নিয়ম.মিশ্র সংখ্যাগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে সেগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে।
বিঃদ্রঃ.যদি কারণগুলির মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে নিম্নরূপ বন্টন আইনের উপর ভিত্তি করে গুণ করা যেতে পারে:
6. সুদের ধারণা।যখন সমস্যা সমাধান এবং বিভিন্ন সঞ্চালন ব্যবহারিক গণনাআমরা ভগ্নাংশ সব ধরণের ব্যবহার. কিন্তু একটি মনে রাখতে হবে যে অনেক পরিমাণে তাদের জন্য কোনো নয়, কিন্তু প্রাকৃতিক উপবিভাগ স্বীকার করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি রুবেলের একশতাংশ (1/100) নিতে পারেন, এটি একটি পয়সা হবে, দুই শততম হল 2 কোপেক, তিন শততম হল 3 কোপেক। আপনি রুবেলের 1/10 নিতে পারেন, এটি হবে "10 কোপেকস, বা একটি ডাইম। আপনি রুবেলের এক চতুর্থাংশ নিতে পারেন, অর্থাত্ 25 কোপেকস, অর্ধেক রুবেল, অর্থাৎ 50 কোপেকস (পঞ্চাশটি কোপেকস)। কিন্তু তারা কার্যত ডন উদাহরণস্বরূপ, 2/7 রুবেল গ্রহণ করবেন না কারণ রুবেলটি সপ্তম ভাগে বিভক্ত নয়।
ওজন পরিমাপের একক, যেমন, কিলোগ্রাম, প্রথমত, দশমিক উপবিভাগের অনুমতি দেয়, উদাহরণস্বরূপ, 1/10 কেজি, বা 100 গ্রাম। এবং এক কিলোগ্রামের ভগ্নাংশ যেমন 1/6, 1/11, 1/ 13টি অস্বাভাবিক।
সাধারণভাবে আমাদের (মেট্রিক) পরিমাপ দশমিক এবং অনুমতি দেয় দশমিক উপবিভাগ।
যাইহোক, এটি লক্ষ করা উচিত যে বিভিন্ন ধরণের ক্ষেত্রে উপবিভাজন করার একই (অভিন্ন) পদ্ধতি ব্যবহার করা অত্যন্ত দরকারী এবং সুবিধাজনক। বহু বছরের অভিজ্ঞতায় দেখা গেছে যে এই ধরনের একটি সুষ্ঠু বিচারযোগ্য বিভাগ হল "শতভাগ" বিভাগ। আসুন মানব অনুশীলনের সবচেয়ে বৈচিত্র্যময় ক্ষেত্রগুলির সাথে সম্পর্কিত কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করি।
1. বইয়ের দাম আগের দামের 12/100 কমেছে।
উদাহরণ। বইটির আগের দাম 10 রুবেল। সে 1 রুবেল কমে গেছে। 20 কোপ।
2. সঞ্চয় ব্যাঙ্কগুলি সঞ্চয়ের মধ্যে রাখা পরিমাণের 2/100 আমানতকারীদেরকে বছরে অর্থ প্রদান করে৷
উদাহরণ। 500 রুবেল নগদ ডেস্কে রাখা হয়, বছরের জন্য এই পরিমাণ থেকে আয় 10 রুবেল।
3. একটি স্কুলের স্নাতকের সংখ্যা ছিল মোট শিক্ষার্থীর 5/100।
উদাহরণ স্কুলে মাত্র 1,200 জন শিক্ষার্থী পড়াশোনা করেছে, তাদের মধ্যে 60 জন স্কুল থেকে স্নাতক হয়েছে।
একটি সংখ্যার শততম অংশকে শতাংশ বলা হয়।.
"শতাংশ" শব্দটি ল্যাটিন ভাষা থেকে ধার করা হয়েছে এবং এর মূল "শত" অর্থ একশ। একত্রে অব্যয় (প্রো সেন্টাম) এর সাথে এই শব্দের অর্থ "একশ'র জন্য।" এই অভিব্যক্তির অর্থ এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে প্রাথমিকভাবে প্রাচীন রোমসুদ ছিল সেই অর্থ যা ঋণদাতা ঋণদাতাকে "প্রতি শতের জন্য" প্রদান করে। "সেন্ট" শব্দটি যেমন পরিচিত শব্দে শোনা যায়: সেন্টার (একশত কিলোগ্রাম), সেন্টিমিটার (তারা সেন্টিমিটার বলে)।
উদাহরণ স্বরূপ, প্ল্যান্টটি গত মাসে উত্পাদিত সমস্ত পণ্যের 1/100 উৎপাদন করেছে, আমরা এটি বলব: উদ্ভিদটি গত মাসে প্রত্যাখ্যানের এক শতাংশ উত্পাদন করেছে৷ বলার পরিবর্তে: উদ্ভিদটি প্রতিষ্ঠিত পরিকল্পনার চেয়ে 4/100 বেশি পণ্য উত্পাদন করেছে, আমরা বলব: উদ্ভিদটি 4 শতাংশ পরিকল্পনা অতিক্রম করেছে।
উপরের উদাহরণগুলি ভিন্নভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
1. বইয়ের দাম আগের দামের 12 শতাংশ কমেছে।
2. সেভিংস ব্যাঙ্কগুলি আমানতকারীদের প্রতি বছর সঞ্চয়ের মধ্যে রাখা পরিমাণের 2 শতাংশ প্রদান করে।
3. একটি বিদ্যালয়ের স্নাতকের সংখ্যা ছিল বিদ্যালয়ের সমস্ত শিক্ষার্থীর সংখ্যার 5 শতাংশ।
অক্ষরটি ছোট করার জন্য, "শতাংশ" শব্দের পরিবর্তে % চিহ্ন লেখার রেওয়াজ আছে।
যাইহোক, এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে % চিহ্নটি সাধারণত গণনায় লেখা হয় না, এটি সমস্যা বিবৃতিতে এবং চূড়ান্ত ফলাফলে লেখা যেতে পারে। গণনা সম্পাদন করার সময়, আপনাকে এই আইকনের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যার পরিবর্তে 100 এর হর দিয়ে একটি ভগ্নাংশ লিখতে হবে।
আপনাকে 100 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশের সাথে নির্দিষ্ট আইকনের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে সক্ষম হতে হবে:
বিপরীতভাবে, আপনাকে 100 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশের পরিবর্তে নির্দেশিত আইকন দিয়ে একটি পূর্ণসংখ্যা লিখতে অভ্যস্ত হতে হবে:
7. একটি প্রদত্ত সংখ্যার শতাংশ খুঁজে বের করা।
কার্যক্রম 1.বিদ্যালয়টি 200 ঘনমিটার পেয়েছে। মি ফায়ারউড, বার্চ ফায়ারউডের সাথে 30% অ্যাকাউন্টিং। কত বার্চ কাঠ ছিল?
এই সমস্যাটির অর্থ হল যে বার্চ ফায়ারউড ছিল শুধুমাত্র আগুনের কাঠের একটি অংশ যা স্কুলে বিতরণ করা হয়েছিল এবং এই অংশটি 30/100 এর ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছে। সুতরাং, আমরা একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার কাজটির সম্মুখীন হচ্ছি। এটি সমাধান করার জন্য, আমাদের অবশ্যই 200 কে 30 / 100 দ্বারা গুণ করতে হবে (একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার কাজগুলি একটি সংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করে সমাধান করা হয়।)
সুতরাং 200 এর 30% 60 এর সমান।
এই সমস্যার সম্মুখীন হওয়া ভগ্নাংশ 30/100 10 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। প্রথম থেকেই এই হ্রাস করা সম্ভব হবে; সমস্যার সমাধান পরিবর্তন হবে না।
টাস্ক 2।ক্যাম্পে বিভিন্ন বয়সের ৩০০ শিশু ছিল। 11 বছর বয়সী শিশুরা 21%, 12 বছর বয়সী শিশুরা 61% এবং অবশেষে 13 বছর বয়সী ছিল 18%। ক্যাম্পে প্রতিটি বয়সের কতজন শিশু ছিল?
এই সমস্যায়, আপনাকে তিনটি গণনা করতে হবে, অর্থাৎ ক্রমাগতভাবে 11 বছর বয়সী, তারপরে 12 বছর বয়সী এবং অবশেষে 13 বছর বয়সী শিশুদের সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে।
সুতরাং, এখানে একটি সংখ্যার তিন গুণের ভগ্নাংশ খুঁজে বের করতে হবে। চল এটা করি:
1) 11 বছর বয়সী কত শিশু ছিল?
2) 12 বছর বয়সী কত শিশু ছিল?
3) 13 বছর বয়সী কত শিশু ছিল?
সমস্যা সমাধানের পরে, পাওয়া সংখ্যা যোগ করা দরকারী; তাদের যোগফল 300 হওয়া উচিত:
63 + 183 + 54 = 300
আপনার এই বিষয়টিতেও মনোযোগ দেওয়া উচিত যে সমস্যার শর্তে প্রদত্ত শতাংশের যোগফল 100:
21% + 61% + 18% = 100%
এটি পরামর্শ দেয় যে ক্যাম্পে মোট শিশুর সংখ্যা 100% হিসাবে নেওয়া হয়েছিল।
3 a da cha 3.কর্মী প্রতি মাসে 1,200 রুবেল পেয়েছেন। এর মধ্যে, তিনি 65% খাবারে, 6% একটি অ্যাপার্টমেন্ট এবং গরম করার জন্য, 4% গ্যাস, বিদ্যুৎ এবং রেডিওতে, 10% সাংস্কৃতিক প্রয়োজনে এবং 15% তিনি সংরক্ষণ করেছিলেন। কাজের নির্দেশিত প্রয়োজনে কত টাকা খরচ হয়েছে?
এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে 1,200 সংখ্যাটির একটি ভগ্নাংশ 5 বার খুঁজে বের করতে হবে। আসুন এটি করি।
1) খাবারের জন্য কত টাকা খরচ হয়? টাস্কটি বলে যে এই ব্যয়টি সমস্ত উপার্জনের 65%, অর্থাৎ 1,200 নম্বরের 65/100৷ আসুন গণনা করা যাক:
2) হিটিং সহ একটি অ্যাপার্টমেন্টের জন্য কত টাকা দেওয়া হয়েছিল? পূর্বের মত তর্ক করে, আমরা নিম্নলিখিত গণনায় পৌঁছেছি:
3) আপনি গ্যাস, বিদ্যুৎ এবং রেডিওর জন্য কত টাকা পরিশোধ করেছেন?
4) সাংস্কৃতিক প্রয়োজনে কত টাকা ব্যয় করা হয়?
5) শ্রমিক কত টাকা সঞ্চয় করেছেন?
যাচাইকরণের জন্য, এই 5টি প্রশ্নে পাওয়া নম্বরগুলি যোগ করা দরকারী। পরিমাণ 1,200 রুবেল হওয়া উচিত। সমস্ত উপার্জন 100% হিসাবে নেওয়া হয়, যা সমস্যা বিবৃতিতে প্রদত্ত শতাংশ যোগ করে পরীক্ষা করা সহজ।
আমরা তিনটি সমস্যার সমাধান করেছি। এই কাজগুলি বিভিন্ন জিনিস (স্কুলের জন্য জ্বালানী কাঠ সরবরাহ, বিভিন্ন বয়সের বাচ্চাদের সংখ্যা, শ্রমিকের খরচ) সম্পর্কে ছিল তা সত্ত্বেও, সেগুলি একইভাবে সমাধান করা হয়েছিল। এটি ঘটেছে কারণ সমস্ত কাজে প্রদত্ত সংখ্যার কয়েক শতাংশ খুঁজে বের করা প্রয়োজন ছিল।
§ 90. ভগ্নাংশের বিভাজন।
ভগ্নাংশের বিভাজন অধ্যয়ন করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি বিবেচনা করব:
1. একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন।
2. একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশের বিভাজন
3. একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যার বিভাজন।
4. ভগ্নাংশ দ্বারা ভগ্নাংশের বিভাজন।
5. মিশ্র সংখ্যার বিভাজন।
6. তার ভগ্নাংশ দেওয়া একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা.
7. শতাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা।
আসুন তাদের ক্রমানুসারে বিবেচনা করি।
1. একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন।
যেমনটি পূর্ণসংখ্যার বিভাগে নির্দেশিত হয়েছিল, বিভাজন হল এমন একটি ক্রিয়া যা এই বাস্তবতার মধ্যে থাকে যে, দুটি গুণনীয়কের (লভ্যাংশ) গুণফল এবং এই গুণনীয়কগুলির একটির (ভাজক), অন্য একটি গুণনীয়ক পাওয়া যায়।
একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যার বিভাজন আমরা পূর্ণসংখ্যা বিভাগে বিবেচনা করেছি। আমরা সেখানে ভাগের দুটি ক্ষেত্রে দেখা করেছি: একটি অবশিষ্ট ছাড়া ভাগ, বা "সম্পূর্ণ" (150: 10 = 15), এবং একটি অবশিষ্টাংশ (100: 9 = 11 এবং অবশিষ্টাংশে 1)। তাই আমরা বলতে পারি যে পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, সঠিক বিভাজন সবসময় সম্ভব নয়, কারণ লভ্যাংশ সবসময় ভাজক এবং পূর্ণসংখ্যার গুণফল নয়। ভগ্নাংশ দ্বারা গুণের প্রবর্তনের পরে, আমরা পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের যে কোনও ক্ষেত্রে যতটা সম্ভব বিবেচনা করতে পারি (শুধুমাত্র শূন্য দ্বারা বিভাজন বাদ দেওয়া হয়)।
উদাহরণস্বরূপ, 7 কে 12 দ্বারা ভাগ করার অর্থ হল এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা যার গুণফল 12 হবে 7। এই সংখ্যাটি ভগ্নাংশ 7/12 কারণ 7/12 12 = 7। আরেকটি উদাহরণ: 14: 25 = 14/25 কারণ 14/25 25 = 14।
এইভাবে, একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করতে হবে, যার লব লভ্যাংশের সমান এবং হর হল ভাজক।
2. একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশের বিভাজন।
ভগ্নাংশ 6/7 কে 3 দ্বারা ভাগ করুন। উপরে প্রদত্ত বিভাগের সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের এখানে গুণফল (6/7) এবং একটি গুণনীয়ক (3); এমন একটি দ্বিতীয় গুণনীয়ক খুঁজে বের করতে হবে যেটিকে 3 দ্বারা গুণ করলে প্রদত্ত গুণফলটি 6/7 হবে। স্পষ্টতই, এটি এই পণ্যের চেয়ে তিনগুণ ছোট হওয়া উচিত। এর মানে হল আমাদের সামনে যে টাস্ক সেট করা হয়েছিল তা ছিল ভগ্নাংশ 6/7 কে 3 বার কমানো।
আমরা ইতিমধ্যে জানি যে একটি ভগ্নাংশের হ্রাস করা হয় তার লব কমিয়ে বা এর হর বৃদ্ধি করে। অতএব, আপনি লিখতে পারেন:
ভিতরে এই ক্ষেত্রেলব 6 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই লবটি 3 গুণ কমাতে হবে।
আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক: 5/8 ভাগ 2। এখানে লব 5 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়, যার মানে হল এই সংখ্যা দ্বারা হরকে গুণ করতে হবে:
এর উপর ভিত্তি করে, আমরা নিয়মটি বলতে পারি: একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে সেই পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশের লব ভাগ করতে হবে(যদি সম্ভব হয়), একই হর ছেড়ে, অথবা ভগ্নাংশের হরকে এই সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন, একই লব রেখে।
3. একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যার বিভাজন।
5 কে 1/2 দ্বারা ভাগ করতে হবে, অর্থাৎ এমন একটি সংখ্যা বের করুন যা 1/2 দ্বারা গুণ করার পরে, গুণফল 5 দেবে। স্পষ্টতই, এই সংখ্যাটি অবশ্যই 5 এর বেশি হতে হবে, যেহেতু 1/2 একটি সঠিক ভগ্নাংশ, এবং একটি সঠিক ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা গুণ করার সময়, গুণফলটি গুণকের থেকে কম হতে হবে। এটি পরিষ্কার করার জন্য, আসুন আমাদের ক্রিয়াগুলি নিম্নরূপ লিখি: 5: 1 / 2 = এক্স , তাই x 1 / 2 \u003d 5।
আমাদের অবশ্যই এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে এক্স , যা, 1/2 দ্বারা গুণ করা হলে, 5 দেবে। যেহেতু একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে 1/2 দ্বারা গুণ করার অর্থ হল এই সংখ্যাটির 1/2 খুঁজে পাওয়া, তাই, অজানা সংখ্যার 1/2 এক্স হল 5, এবং পুরো সংখ্যা এক্স দ্বিগুণ, অর্থাৎ 5 2 \u003d 10।
সুতরাং 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
আসুন পরীক্ষা করা যাক: 
আরও একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। 6 কে 2/3 দিয়ে ভাগ করতে হবে। আসুন প্রথমে অঙ্কন ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল খুঁজে বের করার চেষ্টা করি (চিত্র 19)।
চিত্র.19
কিছু এককের 6 এর সমান একটি AB সেগমেন্ট আঁকুন এবং প্রতিটি ইউনিটকে 3টি সমান অংশে ভাগ করুন। প্রতিটি ইউনিটে, সম্পূর্ণ সেগমেন্ট AB-তে তিন-তৃতীয়াংশ (3/3) 6 গুণ বড়, অর্থাৎ ঙ. 18/3। আমরা ছোট বন্ধনী 18 2 এর প্রাপ্ত সেগমেন্টের সাহায্যে সংযোগ করি; মাত্র 9টি সেগমেন্ট থাকবে। এর মানে হল ভগ্নাংশ 2/3টি b ইউনিটে 9 বার রয়েছে, বা, অন্য কথায়, ভগ্নাংশ 2/3টি 6 পূর্ণসংখ্যার এককের চেয়ে 9 গুণ কম। তাই,
কিভাবে শুধুমাত্র গণনা ব্যবহার করে একটি অঙ্কন ছাড়া এই ফলাফল পেতে? আমরা নিচের মত তর্ক করব: 6 কে 2/3 দিয়ে ভাগ করতে হবে, অর্থাৎ, 6-এর মধ্যে কতবার 2/3 আছে সেই প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। প্রথমেই জেনে নেওয়া যাক: 1/3 কতবার 6 এর মধ্যে রয়েছে? একটি সম্পূর্ণ ইউনিটে - 3 তৃতীয়াংশ, এবং 6টি ইউনিটে - 6 গুণ বেশি, অর্থাৎ 18 তৃতীয়াংশ; এই সংখ্যাটি খুঁজে পেতে, আমাদের অবশ্যই 6 কে 3 দ্বারা গুণ করতে হবে। তাই, 1/3টি b ইউনিটে 18 বার থাকে এবং 2/3টি b ইউনিটে 18 বার নয়, বরং অর্ধেক বার থাকে, অর্থাৎ 18: 2 = 9 তাই, 6 কে 2/3 দ্বারা ভাগ করার সময় আমরা নিম্নলিখিতটি করেছি:
এখান থেকে আমরা একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার নিয়ম পাই। একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই পূর্ণসংখ্যাটিকে প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং এই গুণফলটিকে লব তৈরি করে, প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব দ্বারা ভাগ করতে হবে।
আমরা অক্ষর ব্যবহার করে নিয়ম লিখি:
এই নিয়মটি পুরোপুরি পরিষ্কার করার জন্য, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি ভগ্নাংশকে ভাগফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অতএব, একটি সংখ্যাকে ভাগফল দ্বারা ভাগ করার নিয়মের সাথে পাওয়া নিয়মের তুলনা করা দরকারী, যা § 38 এ সেট করা হয়েছিল। উল্লেখ্য যে একই সূত্র সেখানে প্রাপ্ত হয়েছিল।
বিভাজন করার সময়, সংক্ষিপ্ত রূপগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ:
4. ভগ্নাংশ দ্বারা ভগ্নাংশের বিভাজন।
3/4 কে 3/8 দিয়ে ভাগ করতে হবে। বিভাজনের ফলে যে সংখ্যা প্রাপ্ত হবে তা কী নির্দেশ করবে? এটি 3/4 ভগ্নাংশের মধ্যে 3/8 ভগ্নাংশ কতবার রয়েছে সেই প্রশ্নের উত্তর দেবে। এই সমস্যাটি বোঝার জন্য, আসুন একটি অঙ্কন করি (চিত্র 20)।
সেগমেন্ট AB নিন, এটিকে একটি ইউনিট হিসাবে নিন, এটিকে 4টি সমান অংশে ভাগ করুন এবং 3টি অনুরূপ অংশ চিহ্নিত করুন। সেগমেন্ট AC হবে সেগমেন্ট AB এর 3/4 সমান। আসুন এখন চারটি প্রারম্ভিক সেগমেন্টের প্রতিটিকে অর্ধেক ভাগ করি, তাহলে রেখাংশ AB 8টি সমান অংশে বিভক্ত হবে এবং প্রতিটি অংশ AB রেখাংশের 1/8 এর সমান হবে। আমরা 3টি সেগমেন্টকে আর্কসের সাথে সংযুক্ত করি, তারপর AD এবং DC সেগমেন্টের প্রতিটি AB সেগমেন্টের 3/8 এর সমান হবে। অঙ্কনটি দেখায় যে 3/8 এর সমান সেগমেন্টটি 3/4 এর সমান সেগমেন্টে রয়েছে ঠিক 2 বার; তাই বিভাগের ফলাফল এভাবে লেখা যেতে পারে:
3 / 4: 3 / 8 = 2
আরও একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। 15/16 কে 3/32 দ্বারা ভাগ করতে হবে:
আমরা এইরকম যুক্তি দিতে পারি: আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা 3/32 দ্বারা গুণ করার পরে, 15/16 এর সমান একটি গুণফল দেবে। আসুন এইভাবে গণনা লিখি:
15 / 16: 3 / 32 = এক্স
3 / 32 এক্স = 15 / 16
3/32 অজানা নম্বর এক্স আপ 15/16
1/32 অজানা নম্বর এক্স হয়,
32/32 সংখ্যা এক্স আপ করা
তাই,
এইভাবে, একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয়টির হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয়টির লব দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব করতে হবে এবং দ্বিতীয় হর
চলুন অক্ষর ব্যবহার করে নিয়ম লিখি:
বিভাজন করার সময়, সংক্ষিপ্ত রূপগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ:
5. মিশ্র সংখ্যার বিভাজন।
মিশ্র সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার সময়, সেগুলিকে প্রথমে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপরে ভগ্নাংশের সংখ্যাগুলি ভাগ করার নিয়ম অনুসারে ফলস্বরূপ ভগ্নাংশগুলিকে ভাগ করতে হবে। একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন:
এখন বিভক্ত করা যাক:
এইভাবে, মিশ্র সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার জন্য, আপনাকে সেগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশকে ভাগ করার নিয়ম অনুসারে ভাগ করতে হবে।
6. তার ভগ্নাংশ দেওয়া একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা.
মধ্যে বিভিন্ন কাজভগ্নাংশের উপর, কখনও কখনও এমন কিছু আছে যেখানে একটি অজানা সংখ্যার কিছু ভগ্নাংশের মান দেওয়া হয় এবং এই সংখ্যাটি খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়। এই ধরনের সমস্যা একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার সমস্যার বিপরীত হবে; সেখানে একটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছিল এবং এই সংখ্যাটির কিছু ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার প্রয়োজন ছিল, এখানে একটি সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ দেওয়া হয়েছে এবং এই সংখ্যাটি নিজেই খুঁজে বের করতে হবে। এই ধারণাটি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠবে যদি আমরা এই ধরণের সমস্যার সমাধানের দিকে ফিরে যাই।
কার্যক্রম 1.প্রথম দিনে, গ্লাসিয়ারগুলি 50 টি জানালাকে গ্লাস করেছে, যা নির্মিত বাড়ির সমস্ত জানালার 1/3। এই বাড়িতে কয়টা জানালা আছে?
সমাধান।সমস্যাটি বলে যে 50টি চকচকে জানালা বাড়ির সমস্ত জানালার 1/3 অংশ তৈরি করে, যার মানে মোট 3 গুণ বেশি জানালা রয়েছে, যেমন
বাড়িতে 150টি জানালা ছিল।
টাস্ক 2।দোকানটি 1,500 কেজি ময়দা বিক্রি করেছে, যা দোকানের মোট আটার মজুদের 3/8। দোকানের ময়দা প্রাথমিক সরবরাহ কি ছিল?
সমাধান।সমস্যাটির অবস্থা থেকে দেখা যায় যে বিক্রি হওয়া 1,500 কেজি আটা মোট মজুদের 3/8 করে; এর মানে হল এই স্টকের 1/8 3 গুণ কম হবে, অর্থাৎ, এটি গণনা করতে, আপনাকে 1500 3 বার কমাতে হবে:
1,500: 3 = 500 (এটি স্টকের 1/8)।
স্পষ্টতই, পুরো স্টকটি 8 গুণ বড় হবে। তাই,
500 8 \u003d 4,000 (কেজি)।
দোকানে প্রাথমিকভাবে ময়দার সরবরাহ ছিল চার হাজার কেজি।
এই সমস্যাটি বিবেচনা করে, নিম্নলিখিত নিয়মটি অনুমান করা যেতে পারে।
ভগ্নাংশের একটি প্রদত্ত মানের দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে পেতে, ভগ্নাংশের লব দ্বারা এই মানটিকে ভাগ করা এবং ফলাফলটিকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট।
একটি সংখ্যার ভগ্নাংশের ভিত্তিতে আমরা দুটি সমস্যার সমাধান করেছি। এই ধরনের সমস্যাগুলি, যেহেতু এটি শেষেরটি থেকে বিশেষভাবে ভালভাবে দেখা যায়, দুটি ক্রিয়া দ্বারা সমাধান করা হয়: ভাগ (যখন একটি অংশ পাওয়া যায়) এবং গুণ (যখন পুরো সংখ্যা পাওয়া যায়)।
যাইহোক, আমরা ভগ্নাংশের বিভাজন অধ্যয়ন করার পরে, উপরের সমস্যাগুলি একটি ক্রিয়াতে সমাধান করা যেতে পারে, যথা: একটি ভগ্নাংশ দ্বারা বিভাজন।
উদাহরণস্বরূপ, শেষ কাজটি এইরকম একটি ক্রিয়াতে সমাধান করা যেতে পারে:
ভবিষ্যতে, আমরা একটি ক্রিয়া - বিভাগে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার সমস্যাটি সমাধান করব।
7. শতাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা।
এই কাজগুলিতে, আপনাকে এই সংখ্যার কয়েক শতাংশ জেনে একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে।
কার্যক্রম 1.এই বছরের শুরুতে, আমি সঞ্চয় ব্যাংক থেকে 60 রুবেল পেয়েছি। এক বছর আগে আমি যে পরিমাণ সঞ্চয় করেছিলাম তা থেকে আয়। আমি সঞ্চয় ব্যাংকে কত টাকা রাখলাম? (নগদ অফিসগুলি আমানতকারীদের প্রতি বছর আয়ের 2% দেয়।)
সমস্যাটির অর্থ হল যে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ আমার দ্বারা একটি সঞ্চয় ব্যাংকে রাখা হয়েছিল এবং সেখানে এক বছরের জন্য রাখা হয়েছিল। এক বছর পরে, আমি তার কাছ থেকে 60 রুবেল পেয়েছি। আয়, যা আমি যে টাকা রাখি তার 2/100। আমি কত টাকা জমা দিয়েছি?
অতএব, এই অর্থের অংশটি জেনে, দুটি উপায়ে (রুবেল এবং ভগ্নাংশে) প্রকাশ করা হয়, আমাদের অবশ্যই সম্পূর্ণ, এখনও অজানা, পরিমাণটি খুঁজে বের করতে হবে। ভগ্নাংশ দেওয়া একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার এটি একটি সাধারণ সমস্যা। নিম্নলিখিত কাজগুলি বিভাগ দ্বারা সমাধান করা হয়:
সুতরাং, 3,000 রুবেল সঞ্চয় ব্যাংকে রাখা হয়েছিল।
টাস্ক 2।দুই সপ্তাহে, জেলেরা মাসিক পরিকল্পনাটি 64% পূরণ করেছে, 512 টন মাছ প্রস্তুত করেছে। তাদের পরিকল্পনা কি ছিল?
অবস্থাদৃষ্ট থেকে জানা যায়, জেলেরা পরিকল্পনার একাংশ সম্পন্ন করেছেন। এই অংশটি 512 টনের সমান, যা পরিকল্পনার 64%। পরিকল্পনা অনুযায়ী কত টন মাছ আহরণ করতে হবে, তা আমরা জানি না। সমস্যার সমাধান এই সংখ্যা খুঁজে নিয়ে গঠিত হবে.
এই জাতীয় কাজগুলি ভাগ করে সমাধান করা হয়:
সুতরাং, পরিকল্পনা অনুযায়ী, আপনাকে 800 টন মাছ প্রস্তুত করতে হবে।
টাস্ক 3।ট্রেনটি রিগা থেকে মস্কো গিয়েছিল। তিনি যখন 276 তম কিলোমিটার পাড়ি দিয়েছিলেন, তখন একজন যাত্রী পাশ করা কন্ডাক্টরকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে তারা ইতিমধ্যে কত যাত্রা করেছেন। এর উত্তরে কন্ডাক্টর বলেছিলেন: "আমরা ইতিমধ্যে পুরো যাত্রার 30% কভার করেছি।" রিগা থেকে মস্কোর দূরত্ব কত?
সমস্যাটির অবস্থা থেকে দেখা যায় যে রিগা থেকে মস্কো পর্যন্ত যাত্রার 30% 276 কিলোমিটার। আমাদের এই শহরগুলির মধ্যে সম্পূর্ণ দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে, অর্থাৎ, এই অংশের জন্য, পুরোটি খুঁজে বের করুন:
§ 91. পারস্পরিক সংখ্যা। গুন দিয়ে ভাগ প্রতিস্থাপন।
ভগ্নাংশ 2/3 নিন এবং লবটিকে হর এর জায়গায় পুনরায় সাজান, আমরা 3/2 পাব। আমরা একটি ভগ্নাংশ পেয়েছি, এটির পারস্পরিক।
একটি প্রদত্ত ভগ্নাংশের পারস্পরিক ভগ্নাংশ পেতে, আপনাকে তার লবটি হর-এর জায়গায় এবং হরকে লবের জায়গায় বসাতে হবে। এইভাবে, আমরা একটি ভগ্নাংশ পেতে পারি যা যেকোনো ভগ্নাংশের পারস্পরিক। উদাহরণ স্বরূপ:
3 / 4 , বিপরীত 4 / 3 ; 5/6, বিপরীত 6/5
যে দুটি ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে প্রথমটির লবটি দ্বিতীয়টির হর এবং প্রথমটির হরটি দ্বিতীয়টির লব। পারস্পরিক বিপরীত
এখন চিন্তা করা যাক 1/2 এর রেসিপ্রোকাল কোন ভগ্নাংশ হবে। স্পষ্টতই, এটি হবে 2/1, অথবা মাত্র 2। এর পারস্পরিক সূচক খুঁজছি, আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা পেয়েছি। এবং এই মামলা বিচ্ছিন্ন নয়; বিপরীতে, 1 (এক) এর লব সহ সমস্ত ভগ্নাংশের জন্য, পারস্পরিক পূর্ণসংখ্যা হবে, উদাহরণস্বরূপ:
1/3, বিপরীত 3; 1/5, বিপরীত 5
যেহেতু পারস্পরিক অনুসন্ধান করার সময় আমরা পূর্ণসংখ্যার সাথেও দেখা করেছি, ভবিষ্যতে আমরা পারস্পরিক সম্পর্কে নয়, পারস্পরিক সম্পর্কে কথা বলব।
আসুন জেনে নেই কিভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যার পরস্পরকে লিখতে হয়। ভগ্নাংশের জন্য, এটি সহজভাবে সমাধান করা হয়েছে: আপনাকে লবের জায়গায় হর বসাতে হবে। একইভাবে, আপনি একটি পূর্ণসংখ্যার রেসিপ্রোকাল পেতে পারেন, যেহেতু যেকোনো পূর্ণসংখ্যার 1 এর হর থাকতে পারে। তাই, 7 এর পারস্পরিক 1 / 7 হবে, কারণ 7 \u003d 7 / 1; 10 নম্বরের জন্য বিপরীত হল 1/10 যেহেতু 10 = 10/1
এই ধারণাটি অন্যভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: প্রদত্ত সংখ্যার পারস্পরিক একটি প্রদত্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়. এই বিবৃতিটি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার জন্য নয়, ভগ্নাংশের জন্যও সত্য। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি একটি সংখ্যা লিখতে চান যা 5/9 এর পারস্পরিক, তাহলে আমরা 1 নিতে পারি এবং এটিকে 5/9 দ্বারা ভাগ করতে পারি, অর্থাৎ
এখন একটি নির্দেশ করা যাক সম্পত্তিপারস্পরিক পারস্পরিক সংখ্যা, যা আমাদের জন্য দরকারী হবে: পারস্পরিক পারস্পরিক সংখ্যার গুণফল একের সমান।প্রকৃতপক্ষে:
এই সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারি। আসুন 8 এর পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে বের করি।
এর অক্ষর দিয়ে বোঝানো যাক এক্স , তারপর 8 এক্স = 1, তাই এক্স = 1/8। আসুন আরেকটি সংখ্যা খুঁজে বের করি, 7/12 এর বিপরীত, এটি একটি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করুন এক্স , তারপর 7/12 এক্স = 1, তাই এক্স = 1:7 / 12 বা এক্স = 12 / 7 .
ভগ্নাংশের বিভাজন সম্পর্কে তথ্যের সামান্য পরিপূরক করার জন্য আমরা এখানে পারস্পরিক সংখ্যার ধারণাটি চালু করেছি।
যখন আমরা 6 নম্বরটিকে 3/5 দ্বারা ভাগ করি, তখন আমরা নিম্নলিখিতগুলি করি:
বেতন বিশেষ মনোযোগঅভিব্যক্তিতে এবং প্রদত্ত একের সাথে এটি তুলনা করুন: .
যদি আমরা আগেরটির সাথে সংযোগ ছাড়াই অভিব্যক্তিটিকে আলাদাভাবে নিই, তবে এটি কোথা থেকে এসেছে এই প্রশ্নের সমাধান করা অসম্ভব: 6 কে 3/5 দ্বারা ভাগ করা বা 6কে 5/3 দ্বারা গুণ করা থেকে। উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল একই। তাই আমরা বলতে পারি যে একটি সংখ্যাকে অন্য দ্বারা ভাগ করলে তা ভাজকের পারস্পরিক দ্বারা লভ্যাংশকে গুণ করে প্রতিস্থাপিত হতে পারে।
আমরা নীচে দেওয়া উদাহরণগুলি এই উপসংহারটি সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত করে।
আরেকটি অপারেশন যা সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে তা হল গুণ। আমরা সমস্যার সমাধান করার সময় এর মৌলিক নিয়মগুলি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব, কীভাবে একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় এবং কীভাবে তিন বা ততোধিক সাধারণ ভগ্নাংশকে সঠিকভাবে গুণ করা যায় তা দেখান।
আসুন প্রথমে মৌলিক নিয়ম লিখি:
সংজ্ঞা 1
যদি আমরা একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করি, তাহলে ফলস্বরূপ ভগ্নাংশের লব হবে পণ্যের সমানমূল ভগ্নাংশের লব, এবং হর - তাদের হরগুলির গুণফল। আক্ষরিক আকারে, a / b এবং c / d দুটি ভগ্নাংশের জন্য, এটি একটি b · c d = a · c b · d হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
আসুন এই নিয়মটি কীভাবে সঠিকভাবে প্রয়োগ করা যায় তার একটি উদাহরণ দেখি। ধরা যাক আমাদের একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে যার বাহু একটি সংখ্যাগত এককের সমান। তাহলে চিত্রটির ক্ষেত্রফল হবে ১ বর্গ। ইউনিট যদি আমরা বর্গক্ষেত্রটিকে সংখ্যার এককের 1 4 এবং 1 8 এর সমান বাহু সহ সমান আয়তক্ষেত্রে ভাগ করি তবে আমরা বুঝতে পারি যে এটি এখন 32টি আয়তক্ষেত্র নিয়ে গঠিত (কারণ 8 4 = 32)। তদনুসারে, তাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল সমগ্র চিত্রের ক্ষেত্রফলের 1 32 এর সমান হবে, অর্থাৎ 1 32 বর্গ. ইউনিট
আমাদের কাছে একটি ছায়াযুক্ত খণ্ড রয়েছে যার বাহু 5 8 সাংখ্যিক একক এবং 3 4 সংখ্যাসূচক এককের সমান। তদনুসারে, এর ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য, প্রথম ভগ্নাংশটিকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করা প্রয়োজন। এটি 5 8 3 4 বর্গ মিটারের সমান হবে। ইউনিট কিন্তু আমরা সহজেই গণনা করতে পারি কতগুলি আয়তক্ষেত্র খণ্ডটিতে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে: তাদের মধ্যে 15টি রয়েছে, তাই মোট এলাকাহল 1532 বর্গ ইউনিট।
যেহেতু 5 3 = 15 এবং 8 4 = 32 আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি লিখতে পারি:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
এটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য যে নিয়মটি তৈরি করেছি তার একটি নিশ্চিতকরণ, যা একটি b · c d = a · c b · d হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এটি সঠিক এবং অনুপযুক্ত উভয় ভগ্নাংশের জন্য একই কাজ করে; এটি বিভিন্ন এবং একই হর দিয়ে ভগ্নাংশকে গুণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
সাধারণ ভগ্নাংশের গুণের জন্য বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান বিশ্লেষণ করা যাক।
উদাহরণ 1
7 11 কে 9 8 দ্বারা গুণ করুন।
সমাধান
শুরুতে, আমরা 7 কে 9 দ্বারা গুন করে নির্দেশিত ভগ্নাংশের অংকের গুণফল গণনা করি। আমরা 63 পেয়েছি। তারপর আমরা হরগুলির গুণফল গণনা করি এবং পাই: 11 8 = 88। দুটি সংখ্যা থেকে উত্তর রচনা করা যাক: 63 88।
পুরো সমাধানটি এভাবে লেখা যেতে পারে:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
উত্তর: 7 11 9 8 = 63 88।
যদি উত্তরে আমরা একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ পেয়ে থাকি তবে আমাদের গণনাটি সম্পূর্ণ করতে হবে এবং এর হ্রাস সম্পাদন করতে হবে। যদি আমরা সফল হই অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, এটি থেকে পুরো অংশটি নির্বাচন করা প্রয়োজন।
উদাহরণ 2
ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করুন 4 15 এবং 55 6।
সমাধান
উপরে অধ্যয়ন করা নিয়ম অনুসারে, আমাদের লবকে লব দ্বারা এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে। সমাধান এন্ট্রি এই মত দেখাবে:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
আমরা একটি হ্রাস ভগ্নাংশ পেয়েছি, যেমন যেটির 10 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন রয়েছে।
আসুন ভগ্নাংশটি কম করি: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9। ফলস্বরূপ, আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পেয়েছি, যা থেকে আমরা পূর্ণসংখ্যার অংশটি নির্বাচন করি এবং পাই মিশ্র সংখ্যা: 22 9 = 2 4 9 .
উত্তর: 4 15 55 6 = 2 4 9।
গণনার সুবিধার জন্য, আমরা গুণনের অপারেশন করার আগে মূল ভগ্নাংশগুলিকেও কমাতে পারি, যার জন্য আমাদের ভগ্নাংশটিকে a · c b · d আকারে আনতে হবে। আমরা ভেরিয়েবলের মানগুলিকে সাধারণ ফ্যাক্টরগুলিতে পচিয়ে ফেলি এবং একইগুলি বাতিল করি।
একটি নির্দিষ্ট সমস্যার ডেটা ব্যবহার করে এটি কেমন লাগে তা ব্যাখ্যা করা যাক।
উদাহরণ 3
পণ্য গণনা করুন 4 15 55 6।
সমাধান
গুণের নিয়মের উপর ভিত্তি করে গণনা লিখি। আমরা সক্ষম হব:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
যেহেতু 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 এবং 6 = 2 3, তারপর 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3।
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
উত্তর: 4 15 55 6 = 2 4 9।
সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যেটিতে সাধারণ ভগ্নাংশের গুন সংঘটিত হয়, এর একটি পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি রয়েছে, অর্থাৎ, যদি প্রয়োজন হয়, আমরা কারণগুলির ক্রম পরিবর্তন করতে পারি:
a b c d = c d a b = a c b d
আসুন এখনই মৌলিক নিয়মটি লিখি, এবং তারপর অনুশীলনে এটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করি।
সংজ্ঞা 2
একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশের লবটিকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ভগ্নাংশের হর মূল সাধারণ ভগ্নাংশের হরের সমান হবে। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n দ্বারা কিছু ভগ্নাংশ a b এর গুণকে একটি সূত্র a b · n = a · n b হিসাবে লেখা যেতে পারে।
এই সূত্রটি বোঝা সহজ যদি আপনি মনে রাখবেন যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যার একটি হর সমান, তা হল:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
আসুন আমাদের ধারণাটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করি।
উদাহরণ 4
5 দ্বারা 2 27 এর গুণফল গণনা করুন।
সমাধান
মূল ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করার ফলে আমরা 10 পাব। উপরের নিয়ম অনুসারে, আমরা ফলস্বরূপ 10 27 পাব। পুরো সমাধান এই পোস্টে দেওয়া হয়েছে:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
উত্তর: 2 27 5 = 10 27
যখন আমরা একটি স্বাভাবিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করি, তখন আমাদের প্রায়শই ফলাফলটি কমাতে হয় বা এটিকে মিশ্র সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করতে হয়।
উদাহরণ 5
শর্ত: 8 গুণ 5 12 এর গুণফল গণনা করুন।
সমাধান
উপরের নিয়ম অনুসারে, আমরা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে লব দ্বারা গুণ করি। ফলস্বরূপ, আমরা পাই যে 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12। চূড়ান্ত ভগ্নাংশে 2 দ্বারা বিভাজ্যতার লক্ষণ রয়েছে, তাই আমাদের এটি কমাতে হবে:
LCM (40, 12) \u003d 4, তাই 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
এখন আমাদের শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার অংশটি নির্বাচন করতে হবে এবং সমাপ্ত উত্তরটি লিখতে হবে: 10 3 = 3 1 3।
এই এন্ট্রিতে, আপনি সম্পূর্ণ সমাধানটি দেখতে পারেন: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 ।
আমরা লব এবং হরকে প্রাইম ফ্যাক্টর করে ভগ্নাংশ কমাতে পারি, এবং ফলাফল ঠিক একই হবে।
উত্তর: 5 12 8 = 3 1 3।
একটি সাংখ্যিক অভিব্যক্তি যেখানে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা হয় তারও স্থানচ্যুতি বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ, কারণগুলির ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না:
a b n = n a b = a n b
আমরা সাধারণ ভগ্নাংশের গুণে প্রসারিত করতে পারি একই বৈশিষ্ট্য যা প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণনের বৈশিষ্ট্য। এটি এই ধারণাগুলির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।
সহযোগী এবং পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্যের জ্ঞানের জন্য ধন্যবাদ, তিন বা তার বেশি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করা সম্ভব। বৃহত্তর সুবিধার জন্য জায়গাগুলিতে ফ্যাক্টরগুলিকে পুনর্বিন্যাস করা বা বন্ধনীগুলিকে এমনভাবে সাজানো অনুমোদিত যা গণনাকে সহজ করে তুলবে।
আসুন একটি উদাহরণ দেখান কিভাবে এটি করা হয়।
উদাহরণ 6
চারটি সাধারণ ভগ্নাংশ 1 20, 12 5, 3 7 এবং 5 8 গুণ করুন।
সমাধান: প্রথমে কাজটি রেকর্ড করি। আমরা 1 20 12 5 3 7 5 8 পাই। আমাদের সমস্ত লব এবং সমস্ত হর একসাথে গুণ করতে হবে: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8।
আমরা গুণন শুরু করার আগে, আমরা এটিকে নিজেদের জন্য একটু সহজ করে তুলতে পারি এবং আরও কমানোর জন্য কিছু সংখ্যাকে মৌলিক উপাদানে বিভক্ত করতে পারি। এটির ফলে সমাপ্ত ভগ্নাংশ কমানোর চেয়ে এটি সহজ হবে।
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
উত্তর: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280।
উদাহরণ 7
5টি সংখ্যা 7 8 12 8 5 36 10 গুণ করুন।
সমাধান
সুবিধার জন্য, আমরা ভগ্নাংশ 7 8 কে 8 নম্বরের সাথে এবং 12 নম্বরটিকে 5 36 ভগ্নাংশের সাথে গ্রুপ করতে পারি, কারণ এটি আমাদের কাছে ভবিষ্যতের হ্রাসগুলিকে পরিষ্কার করে দেবে। ফলস্বরূপ, আমরা পাব:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 = 303 116 2 3
উত্তর: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
শেষবার আমরা শিখেছি কিভাবে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করতে হয় (পাঠ দেখুন " ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ")। এই ক্রিয়াগুলির মধ্যে সবচেয়ে কঠিন মুহূর্তটি ছিল ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে আসা।
এখন গুণ এবং ভাগের সাথে মোকাবিলা করার সময়। ভাল খবরএই অপারেশনগুলি যোগ এবং বিয়োগের চেয়েও সহজ। শুরু করার জন্য, সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন, যখন একটি বিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা অংশ ছাড়া দুটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ থাকে।
দুটি ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব এবং হরকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে। প্রথম সংখ্যাটি হবে নতুন ভগ্নাংশের লব, এবং দ্বিতীয়টি হবে হর।
দুটি ভগ্নাংশকে ভাগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশটিকে "উল্টানো" দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে।
উপাধি:
সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ভগ্নাংশের বিভাজন গুণে হ্রাস করা হয়। একটি ভগ্নাংশ উল্টাতে, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অতএব, সমগ্র পাঠ আমরা প্রধানত গুণ বিবেচনা করব।
গুণের ফলস্বরূপ, একটি হ্রাসকৃত ভগ্নাংশ উঠতে পারে (এবং প্রায়শই দেখা দেয়) - অবশ্যই, এটি অবশ্যই হ্রাস করা উচিত। যদি, সমস্ত হ্রাসের পরে, ভগ্নাংশটি ভুল বলে প্রমাণিত হয়, তবে পুরো অংশটি এতে আলাদা করা উচিত। কিন্তু গুণের সাথে ঠিক যা ঘটবে না তা হল একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করা: কোন ক্রসওয়াইজ পদ্ধতি, সর্বাধিক গুণনীয়ক এবং সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক নেই।
সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:
যদি ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকে, তবে সেগুলিকে অবশ্যই অনুপযুক্তগুলিতে রূপান্তর করতে হবে - এবং শুধুমাত্র তারপরে উপরে বর্ণিত স্কিম অনুসারে গুণিত হবে।
ভগ্নাংশের লবটিতে, হর বা তার সামনে একটি বিয়োগ থাকলে, নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে এটিকে গুণের সীমার বাইরে নেওয়া যেতে পারে বা সম্পূর্ণ অপসারণ করা যেতে পারে:
এখন পর্যন্ত, এই নিয়মগুলি কেবলমাত্র নেতিবাচক ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় সম্মুখীন হয়েছে, যখন এটি সম্পূর্ণ অংশ পরিত্রাণ পেতে প্রয়োজন ছিল। একটি পণ্যের জন্য, একবারে বেশ কয়েকটি বিয়োগ "বার্ন" করার জন্য সেগুলিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে:
টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:
আমরা সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে অনুবাদ করি এবং তারপরে আমরা গুণের সীমার বাইরে বিয়োগগুলি বের করি। যা বাকি আছে তা দিয়ে গুণ করা হয় স্বাভাবিক নিয়ম. আমরা পেতে:
আমি আপনাকে আবারও মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি হাইলাইট করা পূর্ণসংখ্যা অংশের সাথে একটি ভগ্নাংশের আগে যে বিয়োগটি আসে তা বিশেষভাবে সম্পূর্ণ ভগ্নাংশকে বোঝায়, এবং শুধুমাত্র এর পূর্ণসংখ্যা অংশকে নয় (এটি শেষ দুটি উদাহরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য)।
নেতিবাচক সংখ্যাগুলিতেও মনোযোগ দিন: যখন গুণ করা হয়, সেগুলি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে। এটি করা হয় গুণের চিহ্নগুলি থেকে বিয়োগগুলিকে আলাদা করার জন্য এবং পুরো স্বরলিপিটিকে আরও নির্ভুল করার জন্য।
গুণন একটি খুব শ্রমসাধ্য অপারেশন। এখানে সংখ্যাগুলি বেশ বড়, এবং কাজটি সহজ করার জন্য, আপনি ভগ্নাংশটি আরও কম করার চেষ্টা করতে পারেন গুণের আগে. প্রকৃতপক্ষে, সারমর্মে, ভগ্নাংশের লব এবং হর হল সাধারণ ফ্যাক্টর, এবং তাই, ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তাদের হ্রাস করা যেতে পারে। উদাহরণগুলি একবার দেখুন:
টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:
সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:
সমস্ত উদাহরণে, যে সংখ্যাগুলি হ্রাস করা হয়েছে এবং সেগুলির মধ্যে যা অবশিষ্ট রয়েছে তা লাল রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে।
দয়া করে মনে রাখবেন: প্রথম ক্ষেত্রে, গুণকগুলি সম্পূর্ণভাবে হ্রাস করা হয়েছিল। ইউনিটগুলি তাদের জায়গায় রয়ে গেছে, যা সাধারণত বলতে গেলে বাদ দেওয়া যেতে পারে। দ্বিতীয় উদাহরণে, সম্পূর্ণ হ্রাস অর্জন করা সম্ভব হয়নি, তবে গণনার মোট পরিমাণ এখনও হ্রাস পেয়েছে।
যাইহোক, ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় কোনও ক্ষেত্রেই এই কৌশলটি ব্যবহার করবেন না! হ্যাঁ, কখনও কখনও অনুরূপ সংখ্যা রয়েছে যা আপনি কমাতে চান। এখানে, দেখুন:
তুমি এটা করতে পারবে না!
ত্রুটিটি ঘটে এই কারণে যে একটি ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, যোগফলটি একটি ভগ্নাংশের লবটিতে প্রদর্শিত হয়, সংখ্যার গুণফল নয়। অতএব, একটি ভগ্নাংশের মূল সম্পত্তি প্রয়োগ করা অসম্ভব, যেহেতু এই সম্পত্তিতে আমরা কথা বলছিএটা সংখ্যা গুন সম্পর্কে.
ভগ্নাংশ কমানোর অন্য কোন কারণ নেই, তাই সঠিক সমাধানআগের কাজটি এইরকম দেখায়:
সঠিক সমাধান:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সঠিক উত্তরটি এত সুন্দর নয়। সাধারণভাবে, সতর্ক থাকুন।
পাঠের বিষয়বস্তুভগ্নাংশ যোগ করা দুই প্রকার:
একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করে শুরু করা যাক। এখানে সবকিছু সহজ. একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা যাক এবং . আমরা লব যোগ করি, এবং হর অপরিবর্তিত রাখি:
এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা চার ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে পিজা যোগ করেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:
উদাহরণ 2ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং .
উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। যদি টাস্কের সমাপ্তি আসে, তাহলে এটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে প্রথাগত। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে, আপনি এটি সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, পূর্ণসংখ্যার অংশটি সহজে বরাদ্দ করা হয় - দুই ভাগ দুই দ্বারা এক সমান:
এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা দুটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে আরও পিজ্জা যোগ করেন, তাহলে আপনি একটি সম্পূর্ণ পিজ্জা পাবেন:
উদাহরণ 3. ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং .
আবার, লব যোগ করুন, এবং হর অপরিবর্তিত রাখুন:
এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা তিনটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে আরও পিজা যোগ করেন, তাহলে আপনি পিজ্জা পাবেন:
উদাহরণ 4একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন 
এই উদাহরণটি আগেরগুলির মতো ঠিক একইভাবে সমাধান করা হয়েছে। অংকগুলি অবশ্যই যোগ করতে হবে এবং হর অপরিবর্তিত থাকবে:
আসুন একটি ছবি ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজ্জাতে পিজ্জা যোগ করেন এবং আরও পিজা যোগ করেন, তাহলে আপনি 1টি সম্পূর্ণ পিজ্জা এবং আরও পিজ্জা পাবেন।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করা কঠিন নয়। নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বোঝার জন্য এটি যথেষ্ট:
এখন আমরা শিখব কিভাবে বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়। ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, সেই ভগ্নাংশের হরগুলি অবশ্যই একই হতে হবে। কিন্তু তারা সবসময় এক হয় না।
উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা যেতে পারে কারণ তাদের একই হর রয়েছে।
কিন্তু ভগ্নাংশ একবারে যোগ করা যায় না, কারণ এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) হর-এ কমিয়ে আনতে হবে।
একই হর ভগ্নাংশ কমাতে বিভিন্ন উপায় আছে. আজ আমরা তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি বিবেচনা করব, যেহেতু বাকি পদ্ধতিগুলি একজন শিক্ষানবিশের জন্য জটিল বলে মনে হতে পারে।
এই পদ্ধতির সারমর্ম এই যে উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির প্রথম (এলসিএম) চাওয়া হয়। তারপর LCM প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত হয়। তারা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করে - LCM দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত হয়।
তারপর ভগ্নাংশের লব এবং হরগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াগুলির ফলস্বরূপ, যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়.
উদাহরণ 1. ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং
প্রথমত, আমরা উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে পাই। প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2। এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 6
LCM (2 এবং 3) = 6
এখন ভগ্নাংশ এবং . প্রথমত, আমরা LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাই। LCM হল সংখ্যা 6, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3। 6 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 2 পাব।
ফলাফল সংখ্যা 2 হল প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক। আমরা এটি প্রথম ভগ্নাংশে লিখি। এটি করার জন্য, আমরা ভগ্নাংশের উপরে একটি ছোট তির্যক রেখা তৈরি করি এবং এর উপরে পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি লিখি:
আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করি। আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি এবং দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাই। LCM হল সংখ্যা 6, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2। 6 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 3 পাব।
ফলাফল সংখ্যা 3 হল দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক। আমরা এটি দ্বিতীয় ভগ্নাংশে লিখি। আবার, আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে একটি ছোট তির্যক রেখা তৈরি করি এবং এর উপরে পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি লিখি:
এখন আমরা সব যোগ করার জন্য প্রস্তুত. ভগ্নাংশের লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:
আমরা কি এসেছি তা ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন। আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়. শেষ পর্যন্ত এই উদাহরণটি সম্পূর্ণ করা যাক:
এভাবে উদাহরণ শেষ হয়। যোগ করার জন্য এটি সক্রিয় আউট.
আসুন একটি ছবি ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজ্জাতে পিজ্জা যোগ করেন, আপনি একটি সম্পূর্ণ পিজ্জা এবং একটি পিজ্জার ষষ্ঠাংশ পাবেন:
একই (সাধারণ) ডিনোমিনেটরে ভগ্নাংশের হ্রাসও একটি ছবি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে। ভগ্নাংশ এবং একটি সাধারণ হরকে নিয়ে আসলে আমরা ভগ্নাংশ এবং পাই। এই দুটি ভগ্নাংশ পিজ্জার একই স্লাইস দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে। পার্থক্য শুধু এই যে এই সময় তারা সমান শেয়ারে বিভক্ত হবে (একই ডিনোমিনেটরে হ্রাস করা হয়েছে)।
প্রথম অঙ্কনটি একটি ভগ্নাংশ দেখায় (ছয়টির মধ্যে চারটি টুকরা) এবং দ্বিতীয় চিত্রটি একটি ভগ্নাংশ (ছয়টির মধ্যে তিনটি টুকরা) দেখায়। এই টুকরা একসাথে রাখলে আমরা পাই (ছয়টির মধ্যে সাতটি টুকরা)। এই ভগ্নাংশটি ভুল, তাই আমরা এতে পূর্ণসংখ্যা অংশটি হাইলাইট করেছি। ফলাফল ছিল (একটি পুরো পিজা এবং আরেকটি ষষ্ঠ পিজ্জা)।
মনে রাখবেন যে আমরা এই উদাহরণটি খুব বিশদভাবে অঙ্কন করেছি। ভিতরে শিক্ষা প্রতিষ্ঠানএত বিস্তারিতভাবে লেখার প্রথা নেই। আপনার লব এবং হরগুলির দ্বারা পাওয়া অতিরিক্ত গুণনীয়কগুলিকে দ্রুত গুণিত করার পাশাপাশি উভয় হর এবং তাদের অতিরিক্ত কারণগুলির LCM দ্রুত খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে। স্কুলে থাকাকালীন, আমাদের এই উদাহরণটি নিম্নরূপ লিখতে হবে:
কিন্তু এছাড়াও আছে পিছন দিকপদক গণিত অধ্যয়নের প্রথম পর্যায়ে যদি বিস্তারিত নোট তৈরি না করা হয়, তাহলে সেই ধরনের প্রশ্ন "এই সংখ্যাটি কোথা থেকে আসে?", "কেন ভগ্নাংশগুলি হঠাৎ করে সম্পূর্ণ ভিন্ন ভগ্নাংশে পরিণত হয়? «.
বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা সহজ করতে, আপনি নিম্নলিখিত ধাপে ধাপে নির্দেশাবলী ব্যবহার করতে পারেন:
উদাহরণ 2একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন 
.
চলুন উপরে নির্দেশাবলী ব্যবহার করা যাক.
ধাপ 1. ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন
উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM নির্ণয় কর। ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2, 3 এবং 4
ধাপ 2. LCM কে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করুন এবং প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণক পান
প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল 12 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2৷ 12 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 6 পাব৷ আমরা প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক 6 পেয়েছি৷ আমরা এটিকে প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লিখি:
এখন আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল 3 নম্বর। 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 4 পাব। আমরা দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 4 পেয়েছি। আমরা এটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:
এখন আমরা তৃতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM কে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং তৃতীয় ভগ্নাংশের হর হল 4 নম্বর। 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 3 পাব। আমরা তৃতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 3 পেয়েছি। আমরা এটি তৃতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:
ধাপ 3. আপনার অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করুন
আমরা আমাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা লব এবং হরকে গুণ করি:
ধাপ 4. একই হর আছে এমন ভগ্নাংশ যোগ করুন
আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে যেগুলির একই (সাধারণ) হর রয়েছে৷ এই ভগ্নাংশ যোগ করা অবশেষ. যোগ করুন:
সংযোজনটি এক লাইনে ফিট হয়নি, তাই আমরা অবশিষ্ট অভিব্যক্তিটিকে পরবর্তী লাইনে সরিয়ে নিয়েছি। এটি গণিতে অনুমোদিত। যখন একটি অভিব্যক্তি একটি লাইনে মাপসই হয় না, তখন এটি পরবর্তী লাইনে নিয়ে যাওয়া হয় এবং প্রথম লাইনের শেষে এবং একটি নতুন লাইনের শুরুতে একটি সমান চিহ্ন (=) স্থাপন করা প্রয়োজন। দ্বিতীয় লাইনে সমান চিহ্নটি নির্দেশ করে যে এটি প্রথম লাইনে থাকা অভিব্যক্তিটির ধারাবাহিকতা।
ধাপ 5. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ বলে প্রমাণিত হয়, তাহলে এতে পুরো অংশটি নির্বাচন করুন
আমাদের উত্তর একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ. আমরা এর পুরো অংশ একক আউট করতে হবে. আমরা হাইলাইট করি:
উত্তর পেয়েছি
ভগ্নাংশ বিয়োগ দুই ধরনের আছে:
প্রথমে, আসুন শিখি কিভাবে একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যায়। এখানে সবকিছু সহজ. একটি ভগ্নাংশ থেকে আরেকটি বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।
উদাহরণস্বরূপ, আসুন অভিব্যক্তিটির মান খুঁজে বের করি। এই উদাহরণটি সমাধান করার জন্য, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে। চল এটা করি:
এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা চার ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি একটি পিজ্জা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:
উদাহরণ 2অভিব্যক্তির মান খুঁজুন।
আবার, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে, দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করুন এবং হর অপরিবর্তিত রেখে দিন:
এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা তিনটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জা থেকে পিজ্জা কাটেন তবে আপনি পিজ্জা পাবেন:
উদাহরণ 3একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন 
এই উদাহরণটি আগেরগুলির মতো ঠিক একইভাবে সমাধান করা হয়েছে। প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে, আপনাকে অবশিষ্ট ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার ক্ষেত্রে জটিল কিছু নেই। নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বোঝার জন্য এটি যথেষ্ট:
উদাহরণস্বরূপ, একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যেতে পারে, যেহেতু এই ভগ্নাংশগুলির একই হর রয়েছে। কিন্তু ভগ্নাংশ থেকে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যায় না, কারণ এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) হর-এ কমিয়ে আনতে হবে।
সাধারণ হর একই নীতি অনুসারে পাওয়া যায় যা আমরা বিভিন্ন হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার সময় ব্যবহার করেছি। প্রথমত, উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন। তারপর LCM প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত হয়, যা প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লেখা হয়। একইভাবে, LCM দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং একটি দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাওয়া যায়, যা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লেখা হয়।
ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াকলাপের ফলস্বরূপ, যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়.
উদাহরণ 1একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:
এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে, তাই আপনাকে তাদের একই (সাধারণ) হর-এ আনতে হবে।
প্রথমত, আমরা উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজে পাই। প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 4৷ এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল হল 12
LCM (3 এবং 4) = 12
এখন ভগ্নাংশে ফিরে আসি এবং
প্রথম ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল 3 নম্বর। 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 4 পাব। আমরা প্রথম ভগ্নাংশের উপরে চারটি লিখি:
আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করি। আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল 4 নম্বর। 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 3 পাব। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে একটি ট্রিপল লিখুন:
এখন আমরা বিয়োগের জন্য প্রস্তুত। ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:
আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়. শেষ পর্যন্ত এই উদাহরণটি সম্পূর্ণ করা যাক:
উত্তর পেয়েছি
আসুন একটি ছবি ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন।
এটি সমাধানের বিস্তারিত সংস্করণ। স্কুলে থাকার কারণে, আমাদের এই উদাহরণটিকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে সমাধান করতে হবে। যেমন একটি সমাধান এই মত হবে:
ভগ্নাংশের হ্রাস এবং একটি সাধারণ হরকেও একটি ছবি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে। এই ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ আনলে, আমরা ভগ্নাংশ এবং পাই। এই ভগ্নাংশগুলিকে একই পিৎজা স্লাইস দ্বারা উপস্থাপিত করা হবে, কিন্তু এবার তারা একই ভগ্নাংশে বিভক্ত হবে (একই হরকে হ্রাস করা):
প্রথম অঙ্কনটি একটি ভগ্নাংশ দেখায় (বারোটির মধ্যে আটটি টুকরা), এবং দ্বিতীয় ছবিটি একটি ভগ্নাংশ দেখায় (বারোটির মধ্যে তিনটি টুকরা)। আট টুকরো থেকে তিন টুকরো কেটে দিলে আমরা বারোটির মধ্যে পাঁচটি পাই। ভগ্নাংশ এই পাঁচটি টুকরা বর্ণনা করে।
উদাহরণ 2একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন 
এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে, তাই আপনাকে প্রথমে তাদের একই (সাধারণ) হর-এ আনতে হবে।
এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির LCM খুঁজুন।
ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 10, 3 এবং 5। এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 30
LCM(10, 3, 5) = 30
এখন আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য অতিরিক্ত কারণ খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা LCM কে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করি।
প্রথম ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা যাক। LCM হল 30 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল 10 নম্বর। 30 কে 10 দিয়ে ভাগ করলে আমরা প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক 3 পাই। আমরা এটিকে প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লিখি:
এখন আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পাই। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল সংখ্যা 30, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3। 30 কে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 10 পাই। আমরা এটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:
এখন আমরা তৃতীয় ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পাই। তৃতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল 30 নম্বর, এবং তৃতীয় ভগ্নাংশের হর হল 5 নম্বর। 30 কে 5 দিয়ে ভাগ করলে আমরা তৃতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 6 পাই। আমরা এটি তৃতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:
এখন সবকিছু বিয়োগের জন্য প্রস্তুত। ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:
আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে যেগুলির একই (সাধারণ) হর রয়েছে৷ এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়. এই উদাহরণ শেষ করা যাক.
উদাহরণের ধারাবাহিকতা এক লাইনে ফিট হবে না, তাই আমরা ধারাবাহিকতাকে পরবর্তী লাইনে নিয়ে যাই। নতুন লাইনে সমান চিহ্ন (=) সম্পর্কে ভুলবেন না:
উত্তরটি একটি সঠিক ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়েছে এবং সবকিছুই আমাদের জন্য উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে, তবে এটি খুব কষ্টকর এবং কুশ্রী। আমরা এটা সহজ করা উচিত. কি করা যেতে পারে? আপনি এই ভগ্নাংশ কমাতে পারেন.
একটি ভগ্নাংশ কমাতে, আপনাকে এর লব এবং হরকে (gcd) সংখ্যা 20 এবং 30 দ্বারা ভাগ করতে হবে।
সুতরাং, আমরা 20 এবং 30 সংখ্যার GCD খুঁজে পাই:
এখন আমরা আমাদের উদাহরণে ফিরে আসি এবং পাওয়া GCD দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে ভাগ করি, অর্থাৎ 10 দ্বারা
উত্তর পেয়েছি
একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবটিকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।
উদাহরণ 1. ভগ্নাংশটিকে 1 সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন।
ভগ্নাংশের লবকে 1 সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন
এন্ট্রি অর্ধ 1 সময় নিচ্ছে বোঝা যায়. উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 1 বার পিজা নেন, আপনি পিজা পাবেন
গুণের সূত্র থেকে, আমরা জানি যে গুণক এবং গুণক যদি পরস্পর পরিবর্তন হয়, তবে গুণফল পরিবর্তন হবে না। যদি অভিব্যক্তিটি হিসাবে লেখা হয়, তবে গুণফলটি এখনও সমান হবে। আবার, একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম কাজ করে:
এই এন্ট্রি ইউনিটের অর্ধেক নেওয়া হিসাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি 1টি সম্পূর্ণ পিৎজা থাকে এবং আমরা তার অর্ধেক গ্রহণ করি, তাহলে আমাদের কাছে পিজ্জা থাকবে:
উদাহরণ 2. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
ভগ্নাংশের লবকে 4 দ্বারা গুণ করুন
উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। এর একটি সম্পূর্ণ অংশ নেওয়া যাক:
অভিব্যক্তিটি 4 বার দুই চতুর্থাংশ গ্রহণ হিসাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 4 বার পিজ্জা নেন, আপনি দুটি পুরো পিজা পাবেন।
এবং যদি আমরা মাল্টিপ্লিক্যান্ড এবং গুণককে জায়গায় অদলবদল করি, আমরা অভিব্যক্তি পাই। এটি 2 এর সমানও হবে। এই অভিব্যক্তিটি চারটি সম্পূর্ণ পিজ্জা থেকে দুটি পিজ্জা নেওয়া হিসাবে বোঝা যেতে পারে:
ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব এবং হরগুলিকে গুণ করতে হবে। যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হয় তবে আপনাকে এটিতে পুরো অংশটি নির্বাচন করতে হবে।
উদাহরণ 1অভিব্যক্তির মান খুঁজুন।
উত্তর পেয়েছি। এই ভগ্নাংশ কমানো বাঞ্ছনীয়। ভগ্নাংশ 2 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। তারপর চূড়ান্ত সমাধান নিম্নলিখিত ফর্ম গ্রহণ করবে:
অর্ধেক পিজ্জা থেকে পিজ্জা নেওয়ার অভিব্যক্তি বোঝা যায়। ধরা যাক আমাদের অর্ধেক পিজ্জা আছে:
এই অর্ধেক থেকে দুই-তৃতীয়াংশ কীভাবে নেবেন? প্রথমে আপনাকে এই অর্ধেকটিকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করতে হবে:
এবং এই তিনটি টুকরা থেকে দুটি নিন:
আমরা পিজ্জা নিয়ে আসব। মনে রাখবেন একটি পিজা দেখতে কেমন তা তিনটি ভাগে বিভক্ত:
এই পিৎজা থেকে একটি স্লাইস এবং আমরা যে দুটি স্লাইস নিয়েছি তাদের একই মাত্রা থাকবে:
অন্য কথায়, আমরা একই পিজ্জা আকার সম্পর্কে কথা বলছি। অতএব, অভিব্যক্তির মান
উদাহরণ 2. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব দ্বারা এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন:
উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। এর একটি সম্পূর্ণ অংশ নেওয়া যাক:
উদাহরণ 3একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব দ্বারা এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন:
উত্তরটি সঠিক ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে, তবে এটি কমিয়ে দিলে ভাল হবে। এই ভগ্নাংশটি কমাতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশের লব এবং হরকে বৃহত্তম দ্বারা ভাগ করতে হবে সাধারণ ভাজক(gcd) সংখ্যা 105 এবং 450।
সুতরাং, আসুন 105 এবং 450 সংখ্যার GCD খুঁজে বের করি:
এখন আমরা এখন পাওয়া GCD-তে আমাদের উত্তরের লব এবং হরকে ভাগ করি, অর্থাৎ 15 দ্বারা
যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি থেকে, পাঁচটি এর অর্থ পরিবর্তন করবে না, যেহেতু অভিব্যক্তিটির অর্থ "এক দ্বারা বিভক্ত পাঁচ নম্বর" এবং এটি, আপনি জানেন, পাঁচটির সমান:
এখন আমরা পরিচিত হব আকর্ষণীয় বিষয়গণিতে একে "বিপরীত সংখ্যা" বলা হয়।
সংজ্ঞা। সংখ্যায় বিপরীতক সংখ্যা যা দিয়ে গুণ করলেক একটি ইউনিট দেয়।
চলুন একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তে এই সংজ্ঞা প্রতিস্থাপন করা যাক কসংখ্যা 5 এবং সংজ্ঞা পড়ার চেষ্টা করুন:
সংখ্যায় বিপরীত 5 সংখ্যা যা দিয়ে গুণ করলে 5 একটি ইউনিট দেয়।
এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব যেটিকে 5 দিয়ে গুণ করলে একটি পাওয়া যায়? এটা আপনি পারেন সক্রিয় আউট. আসুন পাঁচটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি:
তারপর এই ভগ্নাংশটিকে নিজেই গুণ করুন, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অন্য কথায়, আসুন ভগ্নাংশটিকে নিজেই গুণ করি, শুধুমাত্র উল্টানো:
এর ফল কী হবে? যদি আমরা এই উদাহরণটি সমাধান করতে থাকি তবে আমরা একটি পাই:
এর মানে হল যে সংখ্যা 5 এর বিপরীত হল সংখ্যা, যেহেতু 5 কে একটি দ্বারা গুণ করা হয়, একটি পাওয়া যায়।
পারস্পরিক অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যার জন্যও পাওয়া যাবে।
আপনি অন্য কোনো ভগ্নাংশের জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারেন। এটি করার জন্য, এটি চালু করা যথেষ্ট।
ধরা যাক আমাদের অর্ধেক পিজ্জা আছে:
এর সমানভাবে দুই মধ্যে ভাগ করা যাক. প্রত্যেকে কয়টি পিজ্জা পাবে?
এটি দেখা যায় যে পিজ্জার অর্ধেক ভাগ করার পরে, দুটি সমান টুকরা প্রাপ্ত হয়েছিল, যার প্রতিটি পিজা তৈরি করে। তাই সবাই পিজ্জা পায়।
ভগ্নাংশের বিভাজন পারস্পরিক ব্যবহার করে করা হয়। রেসিপ্রোকালগুলি আপনাকে গুণের সাথে ভাগ প্রতিস্থাপন করতে দেয়।
একটি ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশটিকে ভাজকের পারস্পরিক দ্বারা গুণ করতে হবে।
এই নিয়মটি ব্যবহার করে, আমরা আমাদের পিজ্জার অর্ধেককে দুটি ভাগে ভাগ করে লিখব।
সুতরাং, আপনাকে ভগ্নাংশটিকে 2 সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে। এখানে লভ্যাংশ একটি ভগ্নাংশ এবং ভাজক 2।
একটি ভগ্নাংশকে সংখ্যা 2 দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশটিকে ভাজক 2 এর পারস্পরিক দ্বারা গুণ করতে হবে। ভাজক 2 এর পারস্পরিক ভগ্নাংশ। তাই আপনি দ্বারা গুন করতে হবে
