বন্ধুরা, আজ কোন ছিটমহল বা আবেগপ্রবণতা থাকবে না। পরিবর্তে, আমি আপনাকে 8 ম-9ম শ্রেণীর বীজগণিত কোর্সের সবচেয়ে শক্তিশালী প্রতিপক্ষের সাথে যুদ্ধে কোন প্রশ্ন না করেই পাঠাব।
হ্যাঁ, আপনি সবকিছু সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছেন: আমরা মডুলাসের সাথে অসমতার কথা বলছি। আমরা চারটি মৌলিক কৌশল দেখব যার সাহায্যে আপনি এই ধরনের প্রায় 90% সমস্যার সমাধান করতে শিখবেন। বাকি 10% সম্পর্কে কি? ঠিক আছে, আমরা তাদের সম্পর্কে একটি পৃথক পাঠে কথা বলব :)
যাইহোক, কোন কৌশল বিশ্লেষণ করার আগে, আমি আপনাকে দুটি তথ্য মনে করিয়ে দিতে চাই যা আপনার ইতিমধ্যেই জানা দরকার। অন্যথায়, আপনি আজকের পাঠের উপাদানটি মোটেও বুঝতে পারবেন না।
ক্যাপ্টেন স্পষ্টতা ইঙ্গিত বলে মনে হচ্ছে যে মডুলাসের সাথে অসমতা সমাধান করার জন্য আপনাকে দুটি জিনিস জানতে হবে:
দ্বিতীয় পয়েন্ট দিয়ে শুরু করা যাক।
এখানে সবকিছু সহজ. দুটি সংজ্ঞা আছে: বীজগণিত এবং গ্রাফিক্যাল। এর সাথে শুরু করতে - বীজগণিত:
সংজ্ঞা। একটি সংখ্যা $x$ এর মডুলাস হয় সংখ্যাটি নিজেই, যদি এটি অ-ঋণাত্মক হয়, অথবা এর বিপরীত সংখ্যা, যদি আসল $x$ এখনও ঋণাত্মক হয়।
এটি এই মত লেখা হয়:
\[\বাম| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
কথা বলছি সহজ ভাষায়, মডুলাস হল "একটি বিয়োগ ছাড়া একটি সংখ্যা"। এবং এটি এই দ্বৈততার মধ্যে রয়েছে (কিছু জায়গায় আপনাকে আসল সংখ্যার সাথে কিছু করতে হবে না, তবে অন্যগুলিতে আপনাকে এক ধরণের বিয়োগ মুছে ফেলতে হবে) সেখানেই শুরুর শিক্ষার্থীদের জন্য পুরো অসুবিধা রয়েছে।
জ্যামিতিক সংজ্ঞাও আছে। এটি জানাও দরকারী, তবে আমরা কেবল জটিল এবং কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে এটির দিকে ফিরে যাব, যেখানে জ্যামিতিক পদ্ধতি বীজগণিতের চেয়ে বেশি সুবিধাজনক (স্পয়লার: আজ নয়)।
সংজ্ঞা। বিন্দু $a$ সংখ্যা রেখায় চিহ্নিত করা যাক. তারপর মডিউল $\left| x-a \right|$ হল এই লাইনের বিন্দু $x$ থেকে বিন্দু $a$ পর্যন্ত দূরত্ব।
আপনি একটি ছবি আঁকলে, আপনি এই মত কিছু পাবেন:
গ্রাফিক্যাল মডিউল সংজ্ঞা একটি উপায় বা অন্যভাবে, একটি মডিউলের সংজ্ঞা থেকে এর মূল বৈশিষ্ট্য অবিলম্বে অনুসরণ করে: একটি সংখ্যার মডুলাস সর্বদা একটি অ-ঋণাত্মক পরিমাণ. এই সত্যটি আজ আমাদের সমগ্র বর্ণনার মধ্য দিয়ে চলমান একটি লাল থ্রেড হবে।
এবার আসা যাক বৈষম্যের দিকে। তাদের মধ্যে অনেকগুলি রয়েছে, তবে আমাদের কাজ এখন তাদের মধ্যে অন্তত সবচেয়ে সহজ সমাধান করতে সক্ষম হওয়া। যেগুলি রৈখিক অসমতা হ্রাস করে, সেইসাথে ব্যবধান পদ্ধতিতে।
এই বিষয়ে আমার দুটি বড় পাঠ রয়েছে (যাইহোক, খুব, খুব দরকারী - আমি সেগুলি অধ্যয়ন করার পরামর্শ দিই):
আপনি যদি এই সমস্ত কিছু জানেন, যদি "আসুন অসমতা থেকে সমীকরণে চলে যাই" শব্দটি আপনাকে দেওয়ালে আঘাত করার অস্পষ্ট ইচ্ছা না করে, তবে আপনি প্রস্তুত: পাঠের মূল বিষয়ে নরকে স্বাগতম :)
এটি মডিউলগুলির সাথে সবচেয়ে সাধারণ সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। ফর্মের একটি অসমতা সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:
\[\বাম| f\right| \ltg\]
ফাংশন $f$ এবং $g$ যেকোনও হতে পারে, কিন্তু সাধারণত এগুলি বহুপদ। এই ধরনের বৈষম্যের উদাহরণ:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \বাম| ((x)^(2))-2\বাম| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
নিম্নলিখিত স্কিম অনুসারে তাদের সকলকে আক্ষরিকভাবে এক লাইনে সমাধান করা যেতে পারে:
\[\বাম| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(সারিবদ্ধ) \ঠিক, ঠিক)\]
এটা দেখা সহজ যে আমরা মডিউল থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি, কিন্তু বিনিময়ে আমরা একটি দ্বিগুণ অসমতা (বা, যা একই জিনিস, দুটি অসমতার একটি সিস্টেম) পাই। কিন্তু এই রূপান্তরটি একেবারে সবকিছু বিবেচনা করে সম্ভাব্য সমস্যা: যদি মডুলাসের অধীনে সংখ্যাটি ধনাত্মক হয়, পদ্ধতিটি কাজ করে; যদি নেতিবাচক, এটি এখনও কাজ করে; এবং এমনকি $f$ বা $g$ এর জায়গায় সবচেয়ে অপর্যাপ্ত ফাংশন সহ, পদ্ধতিটি এখনও কাজ করবে।
স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন ওঠে: এটি সহজ হতে পারে না? দুর্ভাগ্যবশত, এটা সম্ভব নয়। এই মডিউল পুরো বিন্দু.
যাইহোক, দর্শনের সঙ্গে যথেষ্ট. আসুন কয়েকটি সমস্যার সমাধান করি:
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| 2x+3 \right| \lt x+7\]
সমাধান। সুতরাং, আমাদের সামনে "মডুলাস কম" ফর্মের একটি ক্লাসিক অসমতা রয়েছে - রূপান্তর করার মতো কিছুই নেই। আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি:
\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \বাম| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(সারিবদ্ধ)\]
একটি "বিয়োগ" দ্বারা পূর্বে বন্ধনী খুলতে তাড়াহুড়ো করবেন না: এটি খুব সম্ভব যে আপনার তাড়াহুড়ার কারণে আপনি একটি আপত্তিকর ভুল করবেন।
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right।\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right।\]
সমস্যা দুটি প্রাথমিক অসমতা হ্রাস করা হয়. আসুন সমান্তরাল সংখ্যা রেখায় তাদের সমাধানগুলি নোট করি:
অনেকের ছেদ
এই সেটগুলোর ছেদ হবে উত্তর।
উত্তর: $x\in \left(-\frac(10)(3); 4 \right)$
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
সমাধান। এই কাজটা একটু বেশি কঠিন। প্রথমত, দ্বিতীয় পদটিকে ডানদিকে সরিয়ে মডিউলটিকে আলাদা করা যাক:
\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \ডান)\]
স্পষ্টতই, আমাদের আবার "মডিউলটি ছোট" ফর্মের একটি অসমতা রয়েছে, তাই আমরা ইতিমধ্যে পরিচিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে মডিউলটি থেকে পরিত্রাণ পাই:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
এখন মনোযোগ: কেউ বলবে যে আমি এই সমস্ত বন্ধনীর সাথে কিছুটা বিকৃত ব্যক্তি। কিন্তু আমাকে আবারও মনে করিয়ে দিই যে আমাদের মূল লক্ষ্য সঠিকভাবে অসমতা সমাধান করুন এবং উত্তর পান. পরে, যখন আপনি এই পাঠে বর্ণিত সমস্ত কিছু নিখুঁতভাবে আয়ত্ত করেছেন, তখন আপনি নিজের ইচ্ছামত এটিকে বিকৃত করতে পারেন: বন্ধনী খুলুন, বিয়োগ যোগ করুন ইত্যাদি।
শুরু করার জন্য, আমরা কেবল বাম দিকের ডাবল বিয়োগ থেকে মুক্তি পাব:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\বাম(x+1 \ডান)\]
এখন ডবল অসমতার সমস্ত বন্ধনী খুলি:
দ্বৈত বৈষম্যের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। এবারের হিসেব আরও গুরুতর হবে:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(সারিবদ্ধ) \right।\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( ডানে যাও।\]
উভয় অসমতাই চতুর্মুখী এবং ব্যবধান পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে (তাই আমি বলি: আপনি যদি এটি কী তা না জানেন তবে এখনও মডিউলগুলি না নেওয়াই ভাল)। আসুন প্রথম অসমতার সমীকরণে এগিয়ে যাই:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আউটপুট একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যা প্রাথমিক উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে। এখন সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা দেখা যাক। সেখানে আপনাকে ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
আমরা ফলাফলের সংখ্যা দুটি সমান্তরাল রেখায় চিহ্নিত করি (প্রথম অসমতার জন্য পৃথক এবং দ্বিতীয়টির জন্য পৃথক):
আবার, যেহেতু আমরা অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করছি, তাই আমরা ছায়াযুক্ত সেটগুলির ছেদ করতে আগ্রহী: $x\in \left(-5;-2 \right)$। এই উত্তর.
উত্তর: $x\in \left(-5;-2 \right)$
আমি মনে করি যে এই উদাহরণগুলির পরে সমাধান পরিকল্পনা অত্যন্ত স্পষ্ট:
একটি অনুরূপ অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত ধরনের অসমতার জন্য বিদ্যমান, যখন মডুলাস ফাংশন থেকে বড় হয়। যাইহোক, গুরুতর "কিন্তু" একটি দম্পতি আছে. আমরা এখন এই "কিন্তু" সম্পর্কে কথা বলব।
তারা দেখতে এই মত:
\[\বাম| f\right| \gtg\]
আগের এক অনুরূপ? এটা দেখতে। এবং এখনও এই ধরনের সমস্যাগুলি সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, স্কিমটি নিম্নরূপ:
\[\বাম| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right\]
অন্য কথায়, আমরা দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করি:
এই ক্ষেত্রে, বিকল্পগুলি একটি বর্গাকার বন্ধনীর সাথে মিলিত হয়, i.e. আমাদের সামনে দুটি প্রয়োজনীয়তার সংমিশ্রণ রয়েছে।
অনুগ্রহ করে আবার নোট করুন: এটি একটি সিস্টেম নয়, তবে একটি সামগ্রিকতা উত্তরে সেটগুলিকে ছেদ করার পরিবর্তে একত্রিত করা হয়েছে. এটি আগের বিন্দু থেকে একটি মৌলিক পার্থক্য!
সাধারণভাবে, অনেক শিক্ষার্থী ইউনিয়ন এবং ছেদগুলির সাথে সম্পূর্ণ বিভ্রান্ত হয়, তাই আসুন এই সমস্যাটি একবার এবং সবের জন্য সমাধান করি:
মনে রাখা আরও সহজ করার জন্য, চশমা তৈরি করতে এই চিহ্নগুলিতে পা আঁকুন (শুধু এখন আমাকে মাদকাসক্তি এবং মদ্যপান প্রচারের জন্য অভিযুক্ত করবেন না: আপনি যদি এই পাঠটি গুরুত্ব সহকারে অধ্যয়ন করেন তবে আপনি ইতিমধ্যেই একজন মাদকাসক্ত):
ছেদ এবং সেটের মিলনের মধ্যে পার্থক্য রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদ করা হয়েছে, এর অর্থ নিম্নোক্ত: ইউনিয়ন (সম্পূর্ণতা) উভয় সেটের উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, তাই এটি তাদের প্রত্যেকের চেয়ে কম নয়; কিন্তু ছেদ (সিস্টেম) শুধুমাত্র সেই উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যেগুলি একই সাথে প্রথম সেট এবং দ্বিতীয় সেটে রয়েছে৷ অতএব, সেটের ছেদ কখনই উৎস সেটের চেয়ে বড় হয় না।
তাই এটা পরিষ্কার হয়ে গেল? ওটা দারুন। চলুন অনুশীলনে এগিয়ে যাই।
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
সমাধান। আমরা স্কিম অনুযায়ী এগিয়ে যাই:
\[\বাম| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ঠিক।\]
আমরা জনসংখ্যার প্রতিটি বৈষম্য সমাধান করি:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
আমরা সংখ্যা রেখায় প্রতিটি ফলাফল সেট চিহ্নিত করি এবং তারপরে তাদের একত্রিত করি:
সেটের ইউনিয়ন
এটা বেশ স্পষ্ট যে উত্তর হবে $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
উত্তর: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
সমাধান। আমরা হব? কিছুই না - সবকিছু একই। আমরা একটি মডুলাস সহ একটি অসমতা থেকে দুটি অসমতার একটি সেটে চলে যাই:
\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\শেষ(সারিবদ্ধ) \ ডান৷\]
আমরা প্রতিটি বৈষম্য সমাধান করি। দুর্ভাগ্যবশত, শিকড় খুব ভাল হবে না:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
দ্বিতীয় অসমতাও কিছুটা বন্য:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
এখন আপনাকে দুটি অক্ষে এই সংখ্যাগুলি চিহ্নিত করতে হবে - প্রতিটি অসমতার জন্য একটি অক্ষ। যাইহোক, আপনাকে সঠিক ক্রমে পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করতে হবে: than বড় সংখ্যা, আরও আমরা ডানদিকে বিন্দু স্থানান্তর.
এবং এখানে একটি সেটআপ আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে। $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (প্রথমটির অংকের পদগুলি দিয়ে সবকিছু পরিষ্কার হলে ভগ্নাংশটি দ্বিতীয় সংখ্যার পদগুলির থেকে কম, তাই যোগফলও কম, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) সংখ্যা সহ (21))(2)$ কোন অসুবিধা হবে না (ইতিবাচক সংখ্যা স্পষ্টতই আরও নেতিবাচক), তারপর শেষ দম্পতির সাথে সবকিছু এতটা পরিষ্কার নয়। কোনটি বড়: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ অথবা $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? সংখ্যা রেখায় বিন্দু বসানো এবং প্রকৃতপক্ষে উত্তর নির্ভর করবে এই প্রশ্নের উত্তরের উপর।
তাহলে আসুন তুলনা করি:
\[\begin(ম্যাট্রিক্স) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]
আমরা মূলটিকে বিচ্ছিন্ন করেছি, অসমতার উভয় পাশে অ-নেতিবাচক সংখ্যা পেয়েছি, তাই আমাদের উভয় পক্ষের বর্গ করার অধিকার রয়েছে:
\[\begin(ম্যাট্রিক্স) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]
আমি মনে করি এটা কোন চিন্তার বিষয় নয় যে $4\sqrt(13) \gt 3$, তাই $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, অক্ষের চূড়ান্ত বিন্দুগুলি এভাবে স্থাপন করা হবে:
কুশ্রী শিকড় একটি কেস
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমরা একটি সেট সমাধান করছি, তাই উত্তরটি একটি ইউনিয়ন হবে, ছায়াযুক্ত সেটগুলির ছেদ নয়।
উত্তর: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমাদের স্কিম সহজ এবং খুব কঠিন উভয় সমস্যার জন্য দুর্দান্ত কাজ করে। এই পদ্ধতির একমাত্র "দুর্বল পয়েন্ট" হল যে আপনাকে সঠিকভাবে অযৌক্তিক সংখ্যাগুলির তুলনা করতে হবে (এবং আমাকে বিশ্বাস করুন: এগুলি কেবল মূল নয়)। তবে একটি পৃথক (এবং খুব গুরুতর) পাঠ তুলনামূলক বিষয়গুলির জন্য উত্সর্গীকৃত হবে। এবং আমরা এগিয়ে যান.
এখন আমরা সবচেয়ে আকর্ষণীয় অংশ পেতে. এগুলি ফর্মের অসমতা:
\[\বাম| f\right| \gt \left| g\right|\]
সাধারণভাবে বলতে গেলে, আমরা এখন যে অ্যালগরিদমের কথা বলব তা শুধুমাত্র মডিউলের জন্য সঠিক। এটি সমস্ত বৈষম্যের ক্ষেত্রে কাজ করে যেখানে বাম এবং ডানদিকে অ-নেতিবাচক অভিব্যক্তির নিশ্চয়তা রয়েছে:
এই কাজগুলো কি করতে হবে? শুধু মনে রাখ:
অ-নেতিবাচক "লেজ" সহ অসমতায়, উভয় পক্ষই যে কোনও প্রাকৃতিক শক্তিতে উত্থাপিত হতে পারে। কোন অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা থাকবে না।
প্রথমত, আমরা স্কোয়ারিংয়ে আগ্রহী হব - এটি মডিউল এবং শিকড় পোড়ায়:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
বর্গক্ষেত্রের মূল নেওয়ার সাথে এটিকে বিভ্রান্ত করবেন না:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \ right|\ne f\]
একজন ছাত্র একটি মডিউল ইনস্টল করতে ভুলে গেলে অগণিত ভুল হয়েছিল! কিন্তু এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন গল্প (এগুলি, যেমনটি ছিল, অযৌক্তিক সমীকরণ), তাই আমরা এখন এটিতে যাব না। আসুন কয়েকটি সমস্যার আরও ভাল সমাধান করি:
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
সমাধান। আসুন অবিলম্বে দুটি জিনিস লক্ষ্য করা যাক:
- এটি একটি কঠোর অসমতা নয়। নম্বর লাইনের পয়েন্টগুলি পাংচার করা হবে।
- অসমতার উভয় দিকই স্পষ্টতই অ-নেতিবাচক (এটি মডিউলের একটি বৈশিষ্ট্য: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।
অতএব, আমরা মডুলাস থেকে পরিত্রাণ পেতে এবং স্বাভাবিক ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করতে অসমতার উভয় দিকে বর্গ করতে পারি:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
শেষ ধাপে, আমি একটু প্রতারণা করেছি: আমি মডিউলের সমানতার সুবিধা নিয়ে পদের ক্রম পরিবর্তন করেছি (আসলে, আমি −1 দ্বারা $1-2x$ গুন করেছি)।
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-(\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ডান)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
আমরা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করি। আসুন অসমতা থেকে সমীকরণে চলে যাই:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
আমরা সংখ্যা লাইনে পাওয়া শিকড় চিহ্নিত করি। আবারও: সমস্ত পয়েন্ট ছায়াময় কারণ মূল অসমতা কঠোর নয়!
মডুলাস চিহ্ন থেকে মুক্তি পাওয়া
যারা বিশেষভাবে একগুঁয়ে তাদের জন্য আমি আপনাকে স্মরণ করিয়ে দিচ্ছি: আমরা শেষ অসমতা থেকে লক্ষণগুলি গ্রহণ করি, যা সমীকরণে যাওয়ার আগে লেখা হয়েছিল। এবং আমরা একই অসমতার প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রগুলির উপর রঙ করি। আমাদের ক্ষেত্রে এটি $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$।
ঠিক আছে এখন সব শেষ। সমস্যাটি সমাধানকৃত।
উত্তর: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$।
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
সমাধান। আমরা সবকিছু একই করি। আমি মন্তব্য করব না - শুধু কর্মের ক্রম দেখুন।
এটি বর্গক্ষেত্র:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ডান))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))-(\left(((x)^(2))+3x+4 \ ডান))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0। \\\end(align)\]
ব্যবধান পদ্ধতি:
\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ রাইট্যারো x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
সংখ্যা রেখায় শুধুমাত্র একটি মূল আছে:
উত্তর একটি সম্পূর্ণ বিরতি
উত্তর: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$।
শেষ কাজ সম্পর্কে একটি ছোট নোট. আমার একজন ছাত্র যেমন সঠিকভাবে উল্লেখ করেছে, এই অসমতার উভয় সাবমডুলার অভিব্যক্তি স্পষ্টতই ইতিবাচক, তাই মডুলাস চিহ্নটি স্বাস্থ্যের ক্ষতি ছাড়াই বাদ দেওয়া যেতে পারে।
তবে এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন স্তরের চিন্তাভাবনা এবং একটি ভিন্ন পদ্ধতি - এটি শর্তসাপেক্ষে পরিণতির পদ্ধতি বলা যেতে পারে। এটি সম্পর্কে - একটি পৃথক পাঠে। এখন আসুন আজকের পাঠের চূড়ান্ত অংশে যাওয়া যাক এবং একটি সর্বজনীন অ্যালগরিদম দেখুন যা সর্বদা কাজ করে। এমনকি যখন সমস্ত পূর্ববর্তী পন্থা শক্তিহীন ছিল :)
যদি এই সমস্ত কৌশল সাহায্য না করে? যদি অসমতা অ-নেতিবাচক লেজে কমানো যায় না, যদি মডিউলটি বিচ্ছিন্ন করা অসম্ভব হয়, যদি সাধারণভাবে ব্যথা, দুঃখ, বিষণ্ণতা থাকে?
তারপরে সমস্ত গণিতের "ভারী কামান" দৃশ্যে আসে - পাশবিক শক্তি পদ্ধতি। মডুলাসের সাথে অসমতার সাথে এটি দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:
তা কিভাবে? দুর্বল? সহজে ! শুধু দীর্ঘ সময়ের জন্য। চলুন অনুশীলনে দেখা যাক:
টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:
\[\বাম| x+2 \right| \lt \বাম| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
সমাধান। এই বাজে কথা $\left| এর মত অসাম্যের জন্য ফুটে ওঠে না f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ বা $\left| f\right| \lt \বাম| g \right|$, তাই আমরা এগিয়ে কাজ করি।
আমরা সাবমডুলার এক্সপ্রেশন লিখি, সেগুলিকে শূন্যে সমান করি এবং শিকড়গুলি সন্ধান করি:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
মোট, আমাদের দুটি মূল রয়েছে যা সংখ্যারেখাটিকে তিনটি বিভাগে বিভক্ত করে, যার মধ্যে প্রতিটি মডিউল অনন্যভাবে প্রকাশিত হয়:
সাবমডুলার ফাংশনের শূন্য দ্বারা সংখ্যারেখাকে বিভাজন করা
আসুন প্রতিটি বিভাগে আলাদাভাবে তাকান।
1. যাক $x \lt -2$। তারপর উভয় সাবমডুলার এক্সপ্রেশন নেতিবাচক, এবং মূল অসমতা নিম্নরূপ পুনরায় লেখা হবে:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(সারিবদ্ধ)\]
আমরা একটি মোটামুটি সহজ সীমাবদ্ধতা পেয়েছিলাম. আসুন এটিকে প্রাথমিক অনুমানের সাথে ছেদ করি যে $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
স্পষ্টতই, ভেরিয়েবল $x$ একই সাথে −2 এর কম এবং 1.5 এর বেশি হতে পারে না। এই এলাকায় কোন সমাধান আছে.
1.1। আসুন আলাদাভাবে বর্ডারলাইন কেস বিবেচনা করি: $x=-2$। আসুন এই সংখ্যাটিকে মূল অসমতার সাথে প্রতিস্থাপন করি এবং পরীক্ষা করি: এটি কি সত্য?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \বাম| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
এটা স্পষ্ট যে গণনার শৃঙ্খল আমাদের একটি ভুল বৈষম্যের দিকে নিয়ে গেছে। অতএব, মূল অসমতাও মিথ্যা, এবং $x=-2$ উত্তরটিতে অন্তর্ভুক্ত নয়।
2. এখন ধরুন $-2 \lt x \lt 1$। বাম মডিউলটি ইতিমধ্যে একটি "প্লাস" দিয়ে খুলবে, কিন্তু ডানটি এখনও একটি "বিয়োগ" দিয়ে খুলবে। আমাদের আছে:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
আবার আমরা মূল প্রয়োজনীয়তার সাথে ছেদ করি:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
এবং আবার, সমাধানের সেটটি খালি, যেহেতু −2.5-এর চেয়ে কম এবং −2-এর চেয়ে বড় কোনও সংখ্যা নেই।
2.1। এবং আবার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: $x=1$। আমরা মূল অসমতার প্রতিস্থাপন করি:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\right| \lt \বাম| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]
পূর্ববর্তী "বিশেষ ক্ষেত্রে" এর মতো, $x=1$ নম্বরটি স্পষ্টভাবে উত্তরটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি।
3. লাইনের শেষ অংশ: $x \gt 1$। এখানে সমস্ত মডিউল একটি প্লাস চিহ্ন দিয়ে খোলা হয়:
\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(সারিবদ্ধ)\ ]
এবং আবার আমরা পাওয়া সেটটিকে মূল সীমাবদ্ধতার সাথে ছেদ করি:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
অবশেষে ! আমরা একটি ব্যবধান খুঁজে পেয়েছি যে উত্তর হবে.
উত্তর: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
অবশেষে, একটি মন্তব্য যা আপনাকে বাস্তব সমস্যা সমাধান করার সময় বোকা ভুল থেকে বাঁচাতে পারে:
মডিউলির সাথে অসমতার সমাধানগুলি সাধারণত সংখ্যা রেখা - ব্যবধান এবং সেগমেন্টের অবিচ্ছিন্ন সেটগুলিকে উপস্থাপন করে। বিচ্ছিন্ন পয়েন্ট অনেক কম সাধারণ। এবং এমনকি কম প্রায়ই, এটি ঘটে যে সমাধানের সীমানা (সেগমেন্টের শেষ) বিবেচনাধীন পরিসরের সীমানার সাথে মিলে যায়।
ফলস্বরূপ, যদি সীমানাগুলি (একই "বিশেষ ক্ষেত্রে") উত্তরে অন্তর্ভুক্ত না হয়, তাহলে এই সীমানার বাম এবং ডানদিকের এলাকাগুলি অবশ্যই উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হবে না। এবং তদ্বিপরীত: বর্ডারটি উত্তরে প্রবেশ করেছে, যার মানে এটির আশেপাশের কিছু এলাকাও উত্তর হবে।
আপনার সমাধান পর্যালোচনা করার সময় এটি মনে রাখবেন।
এই নিবন্ধটি বিভিন্ন সমীকরণ এবং অসমতা সমন্বিত সমাধানের কৌশলগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত
মডুলাস চিহ্নের অধীনে পরিবর্তনশীল।
আপনি যদি পরীক্ষায় একটি মডুলাসের সাথে একটি সমীকরণ বা অসমতার সম্মুখীন হন তবে আপনি এটি সমাধান করতে পারেন
কোন কিছু না জেনে বিশেষ পদ্ধতিএবং শুধুমাত্র মডিউল সংজ্ঞা ব্যবহার করে। এটা সত্যি,
এটি মূল্যবান পরীক্ষার সময়ের দেড় ঘন্টা সময় নিতে পারে।
এই কারণেই আমরা আপনাকে এমন কৌশলগুলি সম্পর্কে বলতে চাই যা এই জাতীয় সমস্যাগুলি সমাধান করা সহজ করে।
প্রথমত, আমাদের এটি মনে রাখা যাক
চলো বিবেচনা করি বিভিন্ন ধরনের মডুলাস সহ সমীকরণ. (আমরা পরে অসমতার দিকে এগিয়ে যাব।)
এটি সবচেয়ে সহজ কেস। আসুন সমীকরণটি সমাধান করি
মাত্র দুটি সংখ্যা আছে যার মডিউল চারটির সমান। এগুলি হল 4 এবং −4। তাই সমীকরণ
দুটি সাধারণের সমন্বয়ের সমতুল্য:
দ্বিতীয় সমীকরণের কোন সমাধান নেই। প্রথমটির সমাধান: x = 0 এবং x = 5।
উত্তর: 0; 5.
এখানে আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে মডিউলটি প্রসারিত করতে হবে। . . বা ভাবুন!
মডুলাসের অধীনে অভিব্যক্তির চিহ্নের উপর নির্ভর করে সমীকরণটি দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত হয়।
অন্য কথায়, এটি দুটি সিস্টেমের সমন্বয়ের সমতুল্য:
প্রথম সিস্টেমের সমাধান: . দ্বিতীয় সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।
উত্তর 1।
প্রথম ক্ষেত্রে: x ≥ 3. মডিউলটি সরান:
সংখ্যাটি নেতিবাচক হওয়ায় x ≥ 3 শর্ত পূরণ করে না এবং তাই মূল সমীকরণের মূল নয়।
এটি সন্তুষ্ট কিনা তা খুঁজে বের করা যাক এই অবস্থাসংখ্যা এটি করার জন্য, আমরা পার্থক্য রচনা করি এবং এর চিহ্ন নির্ধারণ করি:
এর মানে হল যে এটি তিনটির চেয়ে বড় এবং তাই মূল সমীকরণের মূল
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: x< 3. Снимаем модуль:
সংখ্যা এর থেকে বড়, এবং তাই x শর্ত পূরণ করে না< 3. Проверим :
মানে, . মূল সমীকরণের মূল।
সংজ্ঞা দ্বারা মডিউল অপসারণ? এটি সম্পর্কে চিন্তা করাও ভীতিজনক, কারণ বৈষম্যকারী একটি নিখুঁত বর্গ নয়। আসুন নিম্নলিখিত বিবেচনাটি আরও ভালভাবে ব্যবহার করি: ফর্মের একটি সমীকরণ |A| = B দুটি সিস্টেমের সমন্বয়ের সমতুল্য:
একই জিনিস, কিন্তু একটু ভিন্ন:
অন্য কথায়, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করি, A = B এবং A = −B, এবং তারপর B ≥ 0 শর্ত পূরণ করে এমন মূল নির্বাচন করি।
চল শুরু করি। প্রথমে আমরা প্রথম সমীকরণটি সমাধান করি:
তারপরে আমরা দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করি:
এখন প্রতিটি ক্ষেত্রে আমরা ডান দিকের চিহ্নটি পরীক্ষা করি:
অতএব, শুধুমাত্র এবং উপযুক্ত.
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:
যেহেতু , প্রতিস্থাপন করা সুবিধাজনক |x| = টি. আমরা পেতে:
উত্তর: ±1।
আমরা |A| ফর্মের সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলছি = |বি| এটি ভাগ্যের উপহার। সংজ্ঞা দ্বারা কোন মডিউল প্রকাশ! ইহা সহজ:
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি বিবেচনা করুন: . এটি নিম্নলিখিত সেটের সমতুল্য:
এটি সেটের প্রতিটি সমীকরণ সমাধান এবং উত্তর লিখতে অবশেষ।
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:
আসুন প্রতিটি মডিউল নিয়ে আলাদাভাবে বিরক্ত না হয়ে সংজ্ঞা অনুসারে এটি খুলুন - অনেকগুলি বিকল্প থাকবে। একটি আরও যুক্তিসঙ্গত উপায় আছে - ব্যবধান পদ্ধতি।
x = 1, x = 2, এবং x = 3 বিন্দুতে মডুলাস এক্সপ্রেশনগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। এই বিন্দুগুলি সংখ্যারেখাকে চারটি ব্যবধানে (ব্যবধান) ভাগ করে। আসুন সংখ্যা রেখায় এই বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি এবং ফলাফলের ব্যবধানে মডিউলগুলির অধীনে প্রতিটি অভিব্যক্তির জন্য চিহ্নগুলি স্থাপন করি। (চিহ্নের ক্রম সমীকরণে সংশ্লিষ্ট মডিউলগুলির ক্রমগুলির সাথে মিলে যায়।)
এইভাবে, আমাদের চারটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করতে হবে - যখন প্রতিটি ব্যবধানে x থাকে।
কেস 1: x ≥ 3. সমস্ত মডিউল "একটি প্লাস সহ" সরানো হয়েছে:
ফলস্বরূপ মান x = 5 শর্ত x ≥ 3 সন্তুষ্ট করে এবং তাই মূল সমীকরণের মূল।
কেস 2: 2 ≤ x ≤ 3. শেষ মডিউলটি এখন "মাইনাস সহ" সরানো হয়েছে:
x এর ফলের মানটিও উপযুক্ত - এটি বিবেচনাধীন ব্যবধানের অন্তর্গত।
কেস 3: 1 ≤ x ≤ 2. দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মডিউলগুলি "একটি বিয়োগ সহ" সরানো হয়েছে:
আমরা বিবেচনাধীন ব্যবধান থেকে যেকোনো x এর জন্য সঠিক সংখ্যাগত সমতা পেয়েছি তারা এই সমীকরণের সমাধান হিসেবে কাজ করে।
কেস 4: x ≤ 1 ≤ 1. দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মডিউলগুলি "একটি বিয়োগ সহ" সরানো হয়েছে:
কোনো নতুন কিছু নেই। আমরা ইতিমধ্যে জানি যে x = 1 একটি সমাধান।
উত্তর: ∪ (5)।
আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:
আমরা অভ্যন্তরীণ মডিউল খোলার মাধ্যমে শুরু করি।
1) x ≤ 3. আমরা পাই:
মডুলাসের অধীনে অভিব্যক্তিটি তে অদৃশ্য হয়ে যায়। এই পয়েন্ট বিবেচিত অন্তর্গত
মধ্যে অতএব, আমাদের দুটি সাবকেস বিশ্লেষণ করতে হবে।
1.1) এই ক্ষেত্রে আমরা পাই:
এই x মানটি উপযুক্ত নয় কারণ এটি বিবেচনাধীন ব্যবধানের অন্তর্গত নয়।
1.2)। তারপর:
এই x মানটিও ভাল নয়।
সুতরাং, x ≤ 3 এর জন্য কোন সমাধান নেই। চলুন দ্বিতীয় ক্ষেত্রে চলুন.
2) x ≥ 3. আমাদের আছে:
এখানে আমরা ভাগ্যবান: x + 2 অভিব্যক্তিটি বিবেচনাধীন ব্যবধানে ইতিবাচক! অতএব, আর কোন সাবকেস থাকবে না: মডিউলটি "একটি প্লাস সহ" সরানো হয়েছে:
x-এর এই মানটি বিবেচনাধীন ব্যবধানে রয়েছে এবং তাই মূল সমীকরণের মূল।
এই ধরনের সমস্ত সমস্যা এইভাবে সমাধান করা হয় - আমরা অভ্যন্তরীণ একটি দিয়ে শুরু করে একে একে নেস্টেড মডিউলগুলি খুলি।
অসমতার সমাধানমোডে অনলাইন সমাধানপ্রায় কোনো প্রদত্ত অসমতা অনলাইন. গাণিতিক অনলাইনে বৈষম্যগণিত সমাধান করতে। দ্রুত খুঁজে নিন অসমতার সমাধানমোডে অনলাইন. ওয়েবসাইট www.site আপনি খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় সমাধানপ্রায় কোনো দেওয়া বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিকবা অনলাইনে অতীন্দ্রিয় বৈষম্য. গণিতের প্রায় যেকোনো শাখায় অধ্যয়ন করার সময় বিভিন্ন পর্যায়সিদ্ধান্ত নিতে হবে অনলাইনে বৈষম্য. অবিলম্বে একটি উত্তর পেতে, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে একটি সঠিক উত্তর, আপনার একটি সংস্থান প্রয়োজন যা আপনাকে এটি করতে দেয়। সাইট www.site ধন্যবাদ অনলাইনে বৈষম্য সমাধান করুনকয়েক মিনিট সময় লাগবে। গাণিতিক সমাধান করার সময় www.site এর প্রধান সুবিধা অনলাইনে বৈষম্য- এটি প্রদত্ত প্রতিক্রিয়ার গতি এবং নির্ভুলতা। সাইটটি যেকোনো সমাধান করতে সক্ষম বীজগণিত বৈষম্য অনলাইন, ত্রিকোণমিতিক অসমতা অনলাইন, অনলাইনে অতিক্রান্ত অসমতা, এবং অসমতামোডে অজানা পরামিতি সহ অনলাইন. অসমতাএকটি শক্তিশালী গাণিতিক যন্ত্রপাতি হিসাবে পরিবেশন করা সমাধানব্যবহারিক সমস্যা। সাহায্যের সাথে গাণিতিক অসমতাপ্রথম নজরে বিভ্রান্তিকর এবং জটিল বলে মনে হতে পারে এমন তথ্য এবং সম্পর্ক প্রকাশ করা সম্ভব। অজানা পরিমাণ অসমতামধ্যে সমস্যা প্রণয়ন দ্বারা পাওয়া যেতে পারে গাণিতিকআকারে ভাষা অসমতাএবং সিদ্ধান্তমোডে টাস্ক প্রাপ্ত অনলাইনওয়েবসাইটে www.site. যে কোন বীজগণিতীয় অসমতা, ত্রিকোণমিতিক অসমতাবা অসমতাধারণকারী অতীন্দ্রিয়বৈশিষ্ট্য আপনি সহজেই করতে পারেন সিদ্ধান্তঅনলাইন এবং সঠিক উত্তর পান। অধ্যয়নরত প্রাকৃতিক বিজ্ঞান, আপনি অনিবার্যভাবে প্রয়োজন সম্মুখীন অসমতার সমাধান. এই ক্ষেত্রে, উত্তর অবশ্যই সঠিক হতে হবে এবং মোডে অবিলম্বে প্রাপ্ত করতে হবে অনলাইন. অতএব জন্য অনলাইনে গাণিতিক অসমতা সমাধান করুনআমরা www.site সাইটটি সুপারিশ করি, যা আপনার অপরিহার্য ক্যালকুলেটর হয়ে উঠবে অনলাইন বীজগণিত বৈষম্য সমাধান, ত্রিকোণমিতিক অসমতা অনলাইন, এবং অনলাইনে অতিক্রান্ত অসমতাবা অসমতাঅজানা পরামিতি সহ। অনলাইনে বিভিন্ন সমাধান খুঁজে বের করার ব্যবহারিক সমস্যার জন্য গাণিতিক অসমতাসম্পদ www.. সমাধান করা অনলাইনে বৈষম্যনিজে, এটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত উত্তর পরীক্ষা করা দরকারী অনলাইন সমাধানঅসমতাওয়েবসাইটে www.site. আপনি সঠিকভাবে অসমতা লিখতে হবে এবং অবিলম্বে পেতে অনলাইন সমাধান, এর পরে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল আপনার অসমতার সমাধানের সাথে উত্তরটির তুলনা করা। উত্তরটি পরীক্ষা করতে এক মিনিটের বেশি সময় লাগবে না, এটি যথেষ্ট অনলাইনে বৈষম্য সমাধান করুনএবং উত্তর তুলনা. এটি আপনাকে ভুলগুলি এড়াতে সহায়তা করবে সিদ্ধান্তএবং সময়মতো উত্তর সংশোধন করুন অনলাইনে বৈষম্য সমাধানহয় বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিক, অতীন্দ্রিয়বা অসমতাঅজানা পরামিতি সহ।
সংখ্যার মডুলাসএই সংখ্যাটি নিজেই বলা হয় যদি এটি অ-ঋণাত্মক হয়, অথবা বিপরীত চিহ্ন সহ একই সংখ্যা যদি এটি ঋণাত্মক হয়।
উদাহরণস্বরূপ, 6 নম্বরের মডুলাসটি 6 এবং -6 নম্বরের মডুলাসটিও 6।
অর্থাৎ, একটি সংখ্যার মডুলাসটি পরম মান হিসাবে বোঝা যায়, এই সংখ্যার চিহ্নটি বিবেচনা না করেই তার পরম মান।
এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়েছে: |6|, | এক্স|, |ক| ইত্যাদি
(আরো বিশদ বিবরণ "সংখ্যা মডিউল" বিভাগে)।
মডুলাস সহ সমীকরণ।
উদাহরণ 1 . সমীকরণটি সমাধান করুন|10 এক্স - 5| = 15.
সমাধান.
নিয়ম অনুসারে, সমীকরণটি দুটি সমীকরণের সমন্বয়ের সমতুল্য:
10এক্স - 5 = 15
10এক্স - 5 = -15
আমরা সিদ্ধান্ত নিই:
10এক্স = 15 + 5 = 20
10এক্স = -15 + 5 = -10
এক্স = 20: 10
এক্স = -10: 10
এক্স = 2
এক্স = -1
উত্তর: এক্স 1 = 2, এক্স 2 = -1.
উদাহরণ 2 . সমীকরণটি সমাধান করুন|2 এক্স + 1| = এক্স + 2.
সমাধান.
যেহেতু মডুলাস একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা, তাহলে এক্স+ 2 ≥ 0. সেই অনুযায়ী:
এক্স ≥ -2.
দুটি সমীকরণ করা যাক:
2এক্স + 1 = এক্স + 2
2এক্স + 1 = -(এক্স + 2)
আমরা সিদ্ধান্ত নিই:
2এক্স + 1 = এক্স + 2
2এক্স + 1 = -এক্স - 2
2এক্স - এক্স = 2 - 1
2এক্স + এক্স = -2 - 1
এক্স = 1
এক্স = -1
উভয় সংখ্যাই -2 এর চেয়ে বড়। সুতরাং উভয়ই সমীকরণের মূল।
উত্তর: এক্স 1 = -1, এক্স 2 = 1.
উদাহরণ 3
. সমীকরণটি সমাধান করুন
|এক্স + 3| - 1
————— = 4
এক্স - 1
সমাধান.
সমীকরণটি বোধগম্য হয় যদি হর শূন্য না হয় - এর অর্থ যদি হয় এক্স≠ 1. আসুন এই শর্তটি বিবেচনায় নেওয়া যাক। আমাদের প্রথম কাজটি সহজ - আমরা কেবল ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাই না, তবে এটিকে রূপান্তর করি যাতে মডিউলটিকে তার বিশুদ্ধ আকারে পেতে পারি:
|এক্স+3| - 1 = 4 · ( এক্স - 1),
|এক্স + 3| - 1 = 4এক্স - 4,
|এক্স + 3| = 4এক্স - 4 + 1,
|এক্স + 3| = 4এক্স - 3.
এখন আমাদের সমীকরণের বাম দিকে মডুলাসের অধীনে একটি অভিব্যক্তি আছে। এগিয়ে যান।
একটি সংখ্যার মডুলাস একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা - অর্থাৎ, এটি শূন্যের চেয়ে বড় বা শূন্যের সমান হতে হবে। তদনুসারে, আমরা অসমতা সমাধান করি:
4এক্স - 3 ≥ 0
4এক্স ≥ 3
এক্স ≥ 3/4
সুতরাং, আমাদের একটি দ্বিতীয় শর্ত রয়েছে: সমীকরণের মূলটি কমপক্ষে 3/4 হতে হবে।
নিয়ম অনুসারে, আমরা দুটি সমীকরণের একটি সেট রচনা করি এবং সেগুলি সমাধান করি:
এক্স + 3 = 4এক্স - 3
এক্স + 3 = -(4এক্স - 3)
এক্স + 3 = 4এক্স - 3
এক্স + 3 = -4এক্স + 3
এক্স - 4এক্স = -3 - 3
এক্স + 4এক্স = 3 - 3
এক্স = 2
এক্স = 0
আমরা দুটি উত্তর পেয়েছি। এগুলি মূল সমীকরণের মূল কিনা তা পরীক্ষা করা যাক।
আমাদের দুটি শর্ত ছিল: সমীকরণের মূল 1 এর সমান হতে পারে না এবং এটি কমপক্ষে 3/4 হতে হবে। এটাই এক্স ≠ 1, এক্স≥ 3/4। এই দুটি শর্তই প্রাপ্ত দুটি উত্তরের মধ্যে একটির সাথে মিলে যায় - নম্বর 2। এর মানে হল যে এটিই মূল সমীকরণের মূল।
উত্তর: এক্স = 2.
মডুলাস সঙ্গে অসমতা.
উদাহরণ 1 . বৈষম্য সমাধান করুন| এক্স - 3| < 4
সমাধান.
মডিউল নিয়ম বলে:
|ক| = ক, যদি ক ≥ 0.
|ক| = -ক, যদি ক < 0.
মডিউলটিতে অ-ঋণাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় সংখ্যা থাকতে পারে। সুতরাং আমাদের উভয় ক্ষেত্রেই বিবেচনা করতে হবে: এক্স- 3 ≥ 0 এবং এক্স - 3 < 0.
1) কখন এক্স- 3 ≥ 0 আমাদের আসল অসমতা যেমন আছে তেমনই থাকে, শুধুমাত্র মডুলাস চিহ্ন ছাড়া:
এক্স - 3 < 4.
2) কখন এক্স - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(এক্স - 3) < 4.
বন্ধনী খোলা, আমরা পেতে:
-এক্স + 3 < 4.
এইভাবে, এই দুটি শর্ত থেকে আমরা অসমতার দুটি সিস্টেমের একীকরণে এসেছি:
এক্স - 3 ≥ 0
এক্স - 3 < 4
এক্স - 3 < 0
-এক্স + 3 < 4
আসুন তাদের সমাধান করি:
এক্স ≥ 3
এক্স < 7
এক্স < 3
এক্স > -1
সুতরাং, আমাদের উত্তর হল দুটি সেটের মিলন:
3 ≤ এক্স < 7 U -1 < এক্স < 3.
ক্ষুদ্রতম নির্ধারণ করুন এবং সর্বোচ্চ মান. এগুলো হলো-১ ও ৭। তাছাড়া এক্স-1 এর চেয়ে বড় কিন্তু 7 এর কম।
এছাড়া, এক্স≥ 3. এর মানে হল অসমতার সমাধান হল -1 থেকে 7 পর্যন্ত সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট, এই চরম সংখ্যাগুলি বাদ দিয়ে।
উত্তর: -1 < এক্স < 7.
বা: এক্স ∈ (-1; 7).
অ্যাড-অন.
1) আমাদের অসমতা সমাধানের একটি সহজ এবং সংক্ষিপ্ত উপায় আছে - গ্রাফিকভাবে। এটি করার জন্য, আপনাকে একটি অনুভূমিক অক্ষ (চিত্র 1) আঁকতে হবে।
অভিব্যক্তি | এক্স - 3| < 4 означает, что расстояние от точки এক্সপয়েন্ট 3 থেকে চার এককের কম। আমরা অক্ষে 3 নম্বরটি চিহ্নিত করি এবং বাম এবং ডানদিকে 4 টি বিভাগ গণনা করি। বাম দিকে আমরা পয়েন্ট -1-এ আসব, ডানদিকে - পয়েন্ট 7 এ। এভাবে, পয়েন্ট এক্সআমরা তাদের হিসাব না করেই দেখেছি।
তদুপরি, অসমতার শর্ত অনুসারে, -1 এবং 7 নিজেই সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত নয়। সুতরাং, আমরা উত্তর পেতে পারি:
1 < এক্স < 7.
2) তবে আরও একটি সমাধান রয়েছে যা আরও সহজ গ্রাফিক পদ্ধতি. এটি করার জন্য, আমাদের অসমতা নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা আবশ্যক:
4 < এক্স - 3 < 4.
সর্বোপরি, মডুলাস নিয়ম অনুসারে এটি এমনই হয়। অ-ঋণাত্মক সংখ্যা 4 এবং অনুরূপ ঋণাত্মক সংখ্যা -4 অসমতা সমাধানের সীমানা।
4 + 3 < এক্স < 4 + 3
1 < এক্স < 7.
উদাহরণ 2 . বৈষম্য সমাধান করুন| এক্স - 2| ≥ 5
সমাধান.
এই উদাহরণটি আগের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। বাম দিকটি 5-এর বেশি বা সমান 5 ডিগ্রি সেলসিয়াস জ্যামিতিক বিন্দুদৃষ্টিকোণ থেকে, অসমতার সমাধান হল সমস্ত সংখ্যা যা বিন্দু 2 (চিত্র 2) থেকে 5 একক বা তার বেশি দূরত্বে রয়েছে। গ্রাফটি দেখায় যে এই সমস্ত সংখ্যা যা -3 এর থেকে কম বা সমান এবং 7 এর থেকে বড় বা সমান। এর মানে আমরা ইতিমধ্যে উত্তর পেয়েছি।
উত্তর: -3 ≥ এক্স ≥ 7.
পথ বরাবর, আমরা বিপরীত চিহ্নের সাথে বাম এবং ডানে বিনামূল্যে শব্দটি পুনর্বিন্যাস করে একই অসমতার সমাধান করি:
5 ≥ এক্স - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ এক্স ≥ 5 + 2
উত্তর একই: -3 ≥ এক্স ≥ 7.
বা: এক্স ∈ [-3; 7]
উদাহরণ সমাধান করা হয়.
উদাহরণ 3 . বৈষম্য সমাধান করুন 6 এক্স 2 - | এক্স| - 2 ≤ 0
সমাধান.
সংখ্যা এক্সএকটি ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হতে পারে। অতএব, আমাদের তিনটি পরিস্থিতি বিবেচনায় নিতে হবে। আপনি জানেন যে, এগুলি দুটি অসমতার মধ্যে বিবেচনা করা হয়: এক্স≥ 0 এবং এক্স < 0. При এক্স≥ 0 আমরা কেবলমাত্র মডুলাস চিহ্ন ছাড়াই আমাদের আসল অসমতাকে আবার লিখি:
6x 2 - এক্স - 2 ≤ 0.
এখন দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: যদি এক্স < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6এক্স 2 - (-এক্স) - 2 ≤ 0.
বন্ধনী প্রসারিত করা হচ্ছে:
6এক্স 2 + এক্স - 2 ≤ 0.
সুতরাং, আমরা সমীকরণের দুটি সিস্টেম পেয়েছি:
6এক্স 2 - এক্স - 2 ≤ 0
এক্স ≥ 0
6এক্স 2 + এক্স - 2 ≤ 0
এক্স < 0
আমাদের সিস্টেমে অসমতা সমাধান করতে হবে - এবং এর মানে হল আমাদের দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা অসমতার বাম দিকের দিকগুলিকে শূন্যের সাথে সমান করি।
প্রথমটি দিয়ে শুরু করা যাক:
6এক্স 2 - এক্স - 2 = 0.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবেন - বিভাগটি দেখুন দ্বিঘাত সমীকরণ" আমরা অবিলম্বে উত্তরের নাম দেব:
এক্স 1 = -1/2, x 2 = 2/3।
বৈষম্যের প্রথম সিস্টেম থেকে আমরা পাই যে আসল অসমতার সমাধান হল -1/2 থেকে 2/3 পর্যন্ত সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট। আমরা সমাধানের মিলন এখানে লিখি এক্স ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
এখন দ্বিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করা যাক:
6এক্স 2 + এক্স - 2 = 0.
এর শিকড়:
এক্স 1 = -2/3, এক্স 2 = 1/2.
উপসংহার: কখন এক্স < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
আসুন দুটি উত্তর একত্রিত করি এবং চূড়ান্ত উত্তর পাই: সমাধান হল -2/3 থেকে 2/3 পর্যন্ত সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট, এই চরম সংখ্যাগুলি সহ।
উত্তর: -2/3 ≤ এক্স ≤ 2/3.
বা: এক্স ∈ [-2/3; 2/3].
