একটি ফাংশনকে বলা হয় জোড় (বিজোড়) যদি কোনো এবং সমতার জন্য 
.
একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফ অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম 
.
একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।
উদাহরণ 6.2। একটি ফাংশন জোড় বা বিজোড় কিনা পরীক্ষা করুন
1)
;
2)
;
3)
.
সমাধান.
1) ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন 
. আমরা খুঁজে বের করব 
.
সেগুলো। 
. এর মানে হল যে এই ফাংশনটি সমান।
2) ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন 
সেগুলো। 
. সুতরাং, এই ফাংশন অদ্ভুত.
3) ফাংশনটি এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেমন জন্য
,
. তাই ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। এটাকে সাধারণ ফর্মের ফাংশন বলি।
ফাংশন 
একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি (হ্রাস) বলা হয় যদি প্রতিটি এই ব্যবধানে থাকে উচ্চ মানআর্গুমেন্ট ফাংশনের একটি বড় (ছোট) মানের সাথে মিলে যায়।
একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ক্রমবর্ধমান (হ্রাস) ফাংশনকে একঘেয়ে বলা হয়।
যদি ফাংশন 
ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য 
এবং একটি ইতিবাচক (নেতিবাচক) ডেরিভেটিভ আছে 
, তারপর ফাংশন 
এই ব্যবধানে বৃদ্ধি (হ্রাস)।
উদাহরণ 6.3। ফাংশনের একঘেয়েতার ব্যবধান খুঁজুন
1)
;
3)
.
সমাধান.
1) এই ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক.
ডেরিভেটিভ যদি শূন্যের সমান 
এবং 
. সংজ্ঞার ডোমেন হল সংখ্যা অক্ষ, বিন্দু দ্বারা বিভক্ত 
,
অন্তর। আসুন প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করি।
ব্যবধানে 
ডেরিভেটিভ নেতিবাচক, এই ব্যবধানে ফাংশন হ্রাস পায়।
ব্যবধানে 
ডেরিভেটিভ ইতিবাচক, তাই এই ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
2) এই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি 
বা
.
আমরা প্রতিটি ব্যবধানে দ্বিঘাত ত্রিনয়কের চিহ্ন নির্ধারণ করি।
সুতরাং, ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন
এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক 
,
, যদি 
, অর্থাৎ 
, কিন্তু 
. আসুন বিরতিতে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করি 
.
ব্যবধানে 
ডেরিভেটিভ নেতিবাচক, তাই, ব্যবধানে ফাংশন হ্রাস পায় 
. ব্যবধানে 
ডেরিভেটিভটি ইতিবাচক, ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায় 
.
ডট 
ফাংশনের সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) পয়েন্ট বলা হয় 
, বিন্দু যেমন একটি প্রতিবেশী আছে 
এটা সবার জন্য 
এই প্রতিবেশী থেকে অসমতা ঝুলিতে 
.
একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দুকে বলা হয় এক্সট্রিম পয়েন্ট।
যদি ফাংশন 
বিন্দুতে 
একটি extremum আছে, তাহলে এই পয়েন্টে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই (একটি এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত)।
যে সকল বিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্য বা বিদ্যমান নেই তাদেরকে ক্রিটিকাল বলে।
5. একটি extremum অস্তিত্বের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত.নিয়ম 1। যদি পরিবর্তনের সময় (বাম থেকে ডানে) সমালোচনামূলক পয়েন্টের মাধ্যমে 
অমৌলিক 
চিহ্ন পরিবর্তন করে “+” থেকে “–”, তারপর বিন্দুতে 
ফাংশন 
সর্বোচ্চ আছে; যদি “–” থেকে “+” হয়, তাহলে সর্বনিম্ন; যদি 
চিহ্ন পরিবর্তন করে না, তাহলে কোন চরমপন্থা নেই।
নিয়ম 2। বিন্দুতে যাক 
একটি ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ 
শূন্যের সমান 
, এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং শূন্য থেকে আলাদা। যদি 
, যে 
- সর্বোচ্চ পয়েন্ট, যদি 
, যে 
- ফাংশনের ন্যূনতম পয়েন্ট।
উদাহরণ 6.4. সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন ফাংশন অন্বেষণ করুন:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
সমাধান।
1) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন 
.
এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক 
এবং সমীকরণ সমাধান করুন 
, অর্থাৎ 
।এখান থেকে 
- সমালোচনামূলক পয়েন্ট।
আসুন বিরতিতে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করি, 
.
পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় 
এবং 
ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন “–” থেকে “+”, তাই নিয়ম 1 অনুযায়ী 
- ন্যূনতম পয়েন্ট।
যখন একটি বিন্দু অতিক্রম করে 
ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন “+” থেকে “–”, তাই 
- সর্বোচ্চ পয়েন্ট।
,
.
2) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন 
. এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক 
.
সমীকরণ সমাধান করে 
, আমরা খুঁজে পাব 
এবং 
- সমালোচনামূলক পয়েন্ট। হর হলে 
, অর্থাৎ 
, তাহলে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। তাই, 
- তৃতীয় গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট। আসুন বিরতিতে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করি।
অতএব, বিন্দুতে ফাংশন একটি সর্বনিম্ন আছে 
, পয়েন্ট সর্বোচ্চ 
এবং 
.
3) একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন যদি 
, অর্থাৎ এ 
.
এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক 
.
আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সন্ধান করি: 
পয়েন্টের পাড়া 
সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত নয়, তাই তারা চরম নয়। সুতরাং, আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্ট পরীক্ষা করা যাক 
এবং 
.
4) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন 
. আসুন নিয়ম 2 ব্যবহার করি। ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
.
আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সন্ধান করি:
দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক 
এবং পয়েন্টে এর চিহ্ন নির্ধারণ করুন 
পয়েন্টে 
ফাংশন একটি সর্বনিম্ন আছে.
পয়েন্টে 
ফাংশন একটি সর্বোচ্চ আছে.
ফাংশন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। একটি ফাংশন হল x এর উপর ভেরিয়েবল y এর নির্ভরতা, যদি x এর প্রতিটি মান y এর একক মানের সাথে মিলে যায়। চলক x কে স্বাধীন চলক বা যুক্তি বলা হয়। y চলককে নির্ভরশীল চলক বলা হয়। স্বাধীন ভেরিয়েবলের সমস্ত মান (ভেরিয়েবল x) ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন গঠন করে। নির্ভরশীল ভেরিয়েবল (ভেরিয়েবল y) যে সমস্ত মানগুলি গ্রহণ করে তা ফাংশনের পরিসর তৈরি করে।
একটি ফাংশনের গ্রাফ হল স্থানাঙ্ক সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট, যার অ্যাবসিসাসগুলি আর্গুমেন্টের মানের সমান এবং অর্ডিনেটগুলি হল ফাংশনের অনুরূপ মান, অর্থাৎ মানগুলি ভেরিয়েবলের xকে অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং y ভেরিয়েবলের মানগুলি অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়। একটি ফাংশন গ্রাফ করার জন্য, আপনাকে ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি জানতে হবে। ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য নিচে আলোচনা করা হবে!
একটি ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করতে, আমরা আমাদের প্রোগ্রাম - গ্রাফিং ফাংশন অনলাইন ব্যবহার করার পরামর্শ দিই। এই পৃষ্ঠার উপাদান অধ্যয়ন করার সময় আপনার যদি কোন প্রশ্ন থাকে, আপনি সবসময় আমাদের ফোরামে তাদের জিজ্ঞাসা করতে পারেন। এছাড়াও ফোরামে তারা আপনাকে গণিত, রসায়ন, জ্যামিতি, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং অন্যান্য অনেক বিষয়ে সমস্যা সমাধান করতে সাহায্য করবে!
ফাংশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
1) ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন এবং ফাংশনের মানগুলির পরিসর।
একটি ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত বৈধের সেট বাস্তব মানআর্গুমেন্ট x (ভেরিয়েবল x ), যার জন্য ফাংশন y = f(x) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।
একটি ফাংশনের পরিসর হল সমস্ত বাস্তব y মানের সেট যা ফাংশন গ্রহণ করে।
প্রাথমিক গণিতে, ফাংশনগুলি শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যার সেটে অধ্যয়ন করা হয়।
2) ফাংশন শূন্য।
x এর মান যার জন্য y=0 বলা হয় ফাংশন শূন্য. এগুলি হল অক্স অক্ষের সাথে ফাংশন গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলির অ্যাবসিসাস।
3) একটি ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান।
একটি ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান - x মানের ব্যবধান যার উপর y ফাংশনের মানগুলি হয় শুধুমাত্র ধনাত্মক বা শুধুমাত্র ঋণাত্মক হয়। ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান।
4) ফাংশনের একঘেয়েমি।
একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন (একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে) এমন একটি ফাংশন যেখানে এই ব্যবধান থেকে আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি বৃহত্তর মানের সাথে মিলে যায়।
একটি হ্রাসকারী ফাংশন (একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে) এমন একটি ফাংশন যেখানে এই ব্যবধান থেকে আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি ছোট মানের সাথে মিলে যায়।
5) ফাংশনের সমানতা (বিজোড়তা)।
একটি জোড় ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যার সংজ্ঞার ডোমেন উৎপত্তির ক্ষেত্রে এবং যেকোনো x f(-x) = f(x) এর ক্ষেত্রে প্রতিসম। একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি অর্ডিনেট সম্পর্কে প্রতিসম।
একটি বিজোড় ফাংশন হল একটি ফাংশন যার সংজ্ঞার ডোমেনটি উৎপত্তির ক্ষেত্রে প্রতিসম এবং সংজ্ঞার ডোমেন থেকে যেকোনো x-এর জন্য সমতা f(-x) = - f(x) সত্য। সময়সূচী অদ্ভুত ফাংশনউৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।
এমনকি ফাংশন
1) সংজ্ঞার ডোমেন বিন্দু (0; 0) এর সাপেক্ষে প্রতিসম, অর্থাৎ, যদি পয়েন্ট a সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত হয়, তাহলে পয়েন্ট -aও সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত।
2) যেকোনো মানের জন্য x f(-x)=f(x)
3) একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি ওয় অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম।
একটি বিজোড় ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1) সংজ্ঞার ডোমেন বিন্দু (0; 0) সম্পর্কে প্রতিসম।
2) সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত x-এর যেকোনো মানের জন্য, সমতা f(-x)=-f(x) সন্তুষ্ট
3) একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম (0; 0)।
প্রতিটি ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়। ফাংশন সাধারণ দৃষ্টিকোণ জোড় বা বিজোড়ও নয়।
6) সীমিত এবং সীমাহীন ফাংশন।
একটি ফাংশনকে বাউন্ডেড বলা হয় যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যা M থাকে যেমন |f(x)| x এর সকল মানের জন্য M। যদি এমন একটি সংখ্যা বিদ্যমান না থাকে, তাহলে ফাংশনটি সীমাহীন।
7) ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতা।
একটি ফাংশন f(x) পর্যায়ক্রমিক হয় যদি একটি অ-শূন্য সংখ্যা T থাকে যেমন ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন থেকে যে কোনো x এর জন্য নিম্নলিখিতটি ধারণ করে: f(x+T) = f(x)। এই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে ফাংশনের সময়কাল বলা হয়। সব ত্রিকোণমিতিক ফাংশনপর্যায়ক্রমিক হয় (ত্রিকোণমিতিক সূত্র)।
একটি ফাংশন f কে পর্যায়ক্রমিক বলা হয় যদি এমন একটি সংখ্যা থাকে যা সংজ্ঞার ডোমেইন থেকে যেকোনো x এর জন্য সমতা f(x)=f(x-T)=f(x+T) ধরে থাকে। T হল ফাংশনের সময়কাল।
প্রতিটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি অসীম সংখ্যক পিরিয়ড থাকে। অনুশীলনে, ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক সময়কাল সাধারণত বিবেচনা করা হয়।
পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের মানগুলি পিরিয়ডের সমান একটি ব্যবধানের পরে পুনরাবৃত্তি হয়। গ্রাফ নির্মাণের সময় এটি ব্যবহার করা হয়।
একটি ফাংশনের সমানতা এবং অদ্ভুততা তার প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি, এবং সমতা স্কুলের গণিত কোর্সের একটি চিত্তাকর্ষক অংশ গ্রহণ করে। এটি মূলত ফাংশনের আচরণ নির্ধারণ করে এবং সংশ্লিষ্ট গ্রাফের নির্মাণকে ব্যাপকভাবে সহজতর করে।
ফাংশনের সমতা নির্ধারণ করা যাক। সাধারণভাবে বলতে গেলে, অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনটি বিবেচনা করা হয় এমনকি যদি তার সংজ্ঞার ডোমেনে অবস্থিত স্বাধীন পরিবর্তনশীল (x) এর বিপরীত মানের জন্য, y (ফাংশন) এর সংশ্লিষ্ট মানগুলি সমান হয়।
আসুন আরও কঠোর সংজ্ঞা দেওয়া যাক। কিছু ফাংশন f (x) বিবেচনা করুন, যা ডোমেনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি সংজ্ঞার ডোমেনে অবস্থিত কোনো বিন্দু x এর জন্যও হবে:
উপরের সংজ্ঞা থেকে এই ধরনের ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত অনুসরণ করা হয়েছে, যথা, O বিন্দুর সাথে প্রতিসাম্য, যা স্থানাঙ্কের উত্স, কারণ যদি কিছু বিন্দু b একটি জোড়ের সংজ্ঞার ডোমেনে থাকে। ফাংশন, তারপর সংশ্লিষ্ট বিন্দু বি এই ডোমেইনে অবস্থিত। উপরের থেকে, অতএব, উপসংহারটি নিম্নরূপ: জোড় ফাংশনের অর্ডিনেট অক্ষ (Oy) এর সাথে সাপেক্ষে একটি ফর্ম রয়েছে।
অনুশীলনে একটি ফাংশনের সমতা কীভাবে নির্ধারণ করবেন?
এটি h(x)=11^x+11^(-x) সূত্র ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যাক। অ্যালগরিদম অনুসরণ করে যা সরাসরি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে, আমরা প্রথমে এর সংজ্ঞার ডোমেন পরীক্ষা করি। স্পষ্টতই, এটি আর্গুমেন্টের সমস্ত মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অর্থাৎ, প্রথম শর্তটি সন্তুষ্ট।
পরবর্তী ধাপটি হল যুক্তি (x) এর বিপরীত মান (-x) প্রতিস্থাপন করা।
আমরা পেতে:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x।
যেহেতু সংযোজন কম্যুটেটিভ (পরিবর্তনমূলক) আইনকে সন্তুষ্ট করে, তাই এটা স্পষ্ট যে h(-x) = h(x) এবং প্রদত্ত কার্যকরী নির্ভরতা সমান।
h(x)=11^x-11^(-x) ফাংশনের প্যারিটি পরীক্ষা করা যাক। একই অ্যালগরিদম অনুসরণ করে, আমরা h(-x) = 11^(-x) -11^x পাই। মাইনাস বের করে, শেষ পর্যন্ত আমাদের আছে
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x)। অতএব, h(x) বিজোড়।
যাইহোক, এটি মনে রাখা উচিত যে এমন কিছু ফাংশন রয়েছে যা এই মানদণ্ড অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা যায় না তাদের বলা হয় না জোড় বা বিজোড়।
এমনকি ফাংশনগুলির বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
একটি ফাংশনের সমতা সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
g(x) = 0 এর মতো একটি সমীকরণ সমাধান করতে, যেখানে সমীকরণের বাম দিকটি একটি জোড় ফাংশন, এটি ভেরিয়েবলের অ-নেতিবাচক মানের জন্য এর সমাধানগুলি খুঁজে পেতে যথেষ্ট হবে। সমীকরণের ফলের মূলগুলি অবশ্যই বিপরীত সংখ্যার সাথে মিলিত হতে হবে। তাদের মধ্যে একটি যাচাই সাপেক্ষে.
এটিও সফলভাবে সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় অ-মানক কাজপ্যারামিটার সহ।
উদাহরণস্বরূপ, প্যারামিটার a এর কোন মান আছে যার জন্য 2x^6-x^4-ax^2=1 সমীকরণের তিনটি মূল থাকবে?
যদি আমরা বিবেচনা করি যে ভেরিয়েবলটি সমীকরণে জোড় শক্তিতে প্রবেশ করে, তাহলে এটা স্পষ্ট যে x এর পরিবর্তে - x দিয়ে প্রদত্ত সমীকরণপরিবর্তন হবে না। এটি অনুসরণ করে যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যদি তার মূল হয়, তবে বিপরীত সংখ্যাটিও মূল। উপসংহারটি সুস্পষ্ট: শূন্য থেকে ভিন্ন একটি সমীকরণের শিকড়গুলি "জোড়া" এর সমাধানগুলির সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।
এটা স্পষ্ট যে সংখ্যাটি নিজেই 0 নয়, অর্থাৎ, এই জাতীয় সমীকরণের শিকড়ের সংখ্যা কেবলমাত্র সমান হতে পারে এবং স্বাভাবিকভাবেই, প্যারামিটারের যে কোনও মানের জন্য এটির তিনটি মূল থাকতে পারে না।
কিন্তু 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 সমীকরণের মূল সংখ্যা বিজোড় হতে পারে এবং প্যারামিটারের যেকোনো মানের জন্য। প্রকৃতপক্ষে, এই সমীকরণের শিকড়ের সেটে "জোড়ায়" সমাধান রয়েছে তা পরীক্ষা করা সহজ। 0 একটি রুট কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। যখন আমরা এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি, তখন আমরা 2=2 পাব। সুতরাং, "জোড়া" ছাড়াও, 0ও একটি মূল, যা তাদের বিজোড় সংখ্যা প্রমাণ করে।
কিভাবে একটি ওয়েবসাইটে গাণিতিক সূত্র সন্নিবেশ করান?
আপনার যদি কখনও একটি ওয়েব পৃষ্ঠায় এক বা দুটি গাণিতিক সূত্র যোগ করার প্রয়োজন হয়, তবে এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল নিবন্ধে বর্ণিত হিসাবে: গাণিতিক সূত্রগুলি সহজেই ছবির আকারে সাইটে প্রবেশ করানো হয় যা উলফ্রাম আলফা দ্বারা স্বয়ংক্রিয়ভাবে তৈরি হয় . সরলতা ছাড়াও, এই সর্বজনীন পদ্ধতিওয়েবসাইটের দৃশ্যমানতা উন্নত করতে সাহায্য করবে সার্চ ইঞ্জিন. এটি একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য কাজ করছে (এবং, আমি মনে করি, চিরকাল কাজ করবে), কিন্তু ইতিমধ্যে নৈতিকভাবে পুরানো।
আপনি যদি নিয়মিত আপনার সাইটে গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করেন, তাহলে আমি আপনাকে MathJax - একটি বিশেষ জাভাস্ক্রিপ্ট লাইব্রেরি ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি যা MathML, LaTeX বা ASCIIMathML মার্কআপ ব্যবহার করে ওয়েব ব্রাউজারে গাণিতিক স্বরলিপি প্রদর্শন করে।
MathJax ব্যবহার শুরু করার দুটি উপায় রয়েছে: (1) একটি সাধারণ কোড ব্যবহার করে, আপনি দ্রুত আপনার ওয়েবসাইটে একটি MathJax স্ক্রিপ্ট সংযোগ করতে পারেন, যা সঠিক সময়ে একটি দূরবর্তী সার্ভার থেকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে লোড হবে (সার্ভারের তালিকা); (2) আপনার সার্ভারে একটি দূরবর্তী সার্ভার থেকে MathJax স্ক্রিপ্ট ডাউনলোড করুন এবং এটি আপনার সাইটের সমস্ত পৃষ্ঠায় সংযুক্ত করুন। দ্বিতীয় পদ্ধতি - আরও জটিল এবং সময়সাপেক্ষ - আপনার সাইটের পৃষ্ঠাগুলি লোড করার গতি বাড়িয়ে তুলবে এবং যদি প্যারেন্ট ম্যাথজ্যাক্স সার্ভারটি কোনো কারণে সাময়িকভাবে অনুপলব্ধ হয়ে যায়, তাহলে এটি আপনার নিজের সাইটকে কোনোভাবেই প্রভাবিত করবে না। এই সুবিধা থাকা সত্ত্বেও, আমি প্রথম পদ্ধতিটি বেছে নিয়েছি কারণ এটি সহজ, দ্রুত এবং প্রযুক্তিগত দক্ষতার প্রয়োজন নেই৷ আমার উদাহরণ অনুসরণ করুন, এবং মাত্র 5 মিনিটের মধ্যে আপনি আপনার সাইটে MathJax এর সমস্ত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে সক্ষম হবেন।
আপনি প্রধান MathJax ওয়েবসাইট বা ডকুমেন্টেশন পৃষ্ঠা থেকে নেওয়া দুটি কোড বিকল্প ব্যবহার করে একটি দূরবর্তী সার্ভার থেকে MathJax লাইব্রেরি স্ক্রিপ্ট সংযোগ করতে পারেন:
এই কোড বিকল্পগুলির মধ্যে একটিকে আপনার ওয়েব পৃষ্ঠার কোডে অনুলিপি এবং পেস্ট করতে হবে, বিশেষত ট্যাগের মধ্যে এবং বা ট্যাগের পরে। প্রথম বিকল্প অনুযায়ী, MathJax দ্রুত লোড হয় এবং পৃষ্ঠা কম ধীর করে দেয়। কিন্তু দ্বিতীয় বিকল্পটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে ম্যাথজ্যাক্সের সর্বশেষ সংস্করণগুলি নিরীক্ষণ এবং লোড করে। আপনি যদি প্রথম কোডটি সন্নিবেশ করেন তবে এটি পর্যায়ক্রমে আপডেট করতে হবে। আপনি যদি দ্বিতীয় কোডটি সন্নিবেশ করেন, পৃষ্ঠাগুলি আরও ধীরে ধীরে লোড হবে, তবে আপনাকে ক্রমাগত MathJax আপডেটগুলি নিরীক্ষণ করতে হবে না।
ম্যাথজ্যাক্স সংযোগ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ব্লগার বা ওয়ার্ডপ্রেস: সাইট কন্ট্রোল প্যানেলে, তৃতীয় পক্ষের জাভাস্ক্রিপ্ট কোড সন্নিবেশ করার জন্য ডিজাইন করা একটি উইজেট যোগ করুন, উপরে উপস্থাপিত ডাউনলোড কোডের প্রথম বা দ্বিতীয় সংস্করণটি কপি করুন এবং উইজেটটিকে কাছাকাছি রাখুন টেমপ্লেটের শুরুতে (যাইহোক, এটি মোটেও প্রয়োজনীয় নয়, যেহেতু MathJax স্ক্রিপ্টটি অ্যাসিঙ্ক্রোনাসভাবে লোড করা হয়)। এখানেই শেষ। এখন MathML, LaTeX, এবং ASCIIMathML-এর মার্কআপ সিনট্যাক্স শিখুন এবং আপনি আপনার সাইটের ওয়েব পৃষ্ঠাগুলিতে গাণিতিক সূত্র সন্নিবেশ করতে প্রস্তুত৷
যেকোন ফ্র্যাক্টাল একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে তৈরি করা হয়, যা ধারাবাহিকভাবে সীমাহীন সংখ্যক বার প্রয়োগ করা হয়। এই ধরনের প্রতিটি সময় একটি পুনরাবৃত্তি বলা হয়.
একটি মেঞ্জার স্পঞ্জ তৈরির জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক অ্যালগরিদমটি বেশ সহজ: 1 পাশের মূল ঘনকটিকে তার মুখের সমান্তরাল সমতল দ্বারা 27টি সমান ঘনক্ষেত্রে ভাগ করা হয়েছে। একটি কেন্দ্রীয় ঘনক এবং মুখ বরাবর 6 টি কিউব এটি থেকে সরানো হয়। ফলাফলটি অবশিষ্ট 20টি ছোট কিউব নিয়ে গঠিত একটি সেট। এই কিউবগুলির প্রতিটির সাথে একই কাজ করলে, আমরা 400টি ছোট কিউব সমন্বিত একটি সেট পাই। অবিরামভাবে এই প্রক্রিয়া চালিয়ে, আমরা একটি Menger স্পঞ্জ পেতে.
এমনকি ফাংশন.
একটি ফাংশন যার চিহ্ন পরিবর্তন হলে চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না তাকে ইভেন বলা হয়। এক্স.
এক্সসমতা ধরে রাখে চ(–এক্স) = চ(এক্স) চিহ্ন এক্সচিহ্নকে প্রভাবিত করে না y.
একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি স্থানাঙ্ক অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম (চিত্র 1)।
একটি সমান ফাংশনের উদাহরণ:
y= কারণ এক্স
y = এক্স 2
y = –এক্স 2
y = এক্স 4
y = এক্স 6
y = এক্স 2 + এক্স
ব্যাখ্যা:
এর ফাংশন নেওয়া যাক y = এক্স 2 বা y = –এক্স 2 .
যেকোনো মূল্যের জন্য এক্সফাংশনটি ইতিবাচক। চিহ্ন এক্সচিহ্নকে প্রভাবিত করে না y. গ্রাফটি স্থানাঙ্ক অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। এটি একটি সমান ফাংশন.
অদ্ভুত ফাংশন।
একটি ফাংশন যার চিহ্ন পরিবর্তিত হলে চিহ্ন পরিবর্তিত হয় তাকে বিজোড় বলে। এক্স.
অন্য কথায়, যেকোনো মূল্যের জন্য এক্সসমতা ধরে রাখে চ(–এক্স) = –চ(এক্স).
একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফটি উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম (চিত্র 2)।
বিজোড় ফাংশনের উদাহরণ:
y= পাপ এক্স
y = এক্স 3
y = –এক্স 3
ব্যাখ্যা:
y = – ফাংশনটি ধরা যাক এক্স 3 .
সমস্ত অর্থ এএতে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকবে। যে একটি চিহ্ন এক্সচিহ্নকে প্রভাবিত করে y. যদি স্বাধীন চলকটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে ফাংশনটি ধনাত্মক, যদি স্বাধীন চলকটি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে ফাংশনটি ঋণাত্মক: চ(–এক্স) = –চ(এক্স).
ফাংশনের গ্রাফটি উত্স সম্পর্কে প্রতিসম। এটি একটি অদ্ভুত ফাংশন.
জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:
বিঃদ্রঃ:
সব ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়। এমন কিছু ফাংশন আছে যা এই ধরনের গ্রেডেশন মানে না। যেমন রুট ফাংশন এ = √এক্সজোড় বা বিজোড় ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয় (চিত্র 3)। এই ধরনের ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি তালিকাভুক্ত করার সময়, একটি উপযুক্ত বিবরণ দেওয়া উচিত: জোড় বা বিজোড়ও নয়।
পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।
আপনি জানেন যে, পর্যায়ক্রম হল একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে নির্দিষ্ট প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি। যে ফাংশনগুলি এই প্রক্রিয়াগুলিকে বর্ণনা করে তাকে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন বলে। অর্থাৎ, এগুলি এমন ফাংশন যার গ্রাফে এমন উপাদান রয়েছে যা নির্দিষ্ট সংখ্যার ব্যবধানে পুনরাবৃত্তি করে।
