জটিল সংখ্যা হল বাস্তব সংখ্যার সেটের ন্যূনতম এক্সটেনশন যার সাথে আমরা পরিচিত। তাদের মৌলিক পার্থক্য হল যে একটি উপাদান উপস্থিত হয় যা বর্গ করার সময় -1 দেয়, যেমন i, বা.
যেকোনো জটিল সংখ্যা দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: বাস্তব এবং কাল্পনিক:
সুতরাং, এটা স্পষ্ট যে বাস্তব সংখ্যার সেটটি একটি শূন্য কাল্পনিক অংশ সহ জটিল সংখ্যার সেটের সাথে মিলে যায়।
জটিল সংখ্যার সেটের জন্য সবচেয়ে জনপ্রিয় মডেল হল সাধারণ সমতল। প্রতিটি বিন্দুর প্রথম স্থানাঙ্ক হবে তার বাস্তব অংশ, এবং দ্বিতীয়টি হবে তার কাল্পনিক অংশ। তারপর জটিল সংখ্যার ভূমিকা হবে ভেক্টরের সাথে শুরুতে বিন্দু (0,0)।
অপারেশন চালু জটিল সংখ্যা.
প্রকৃতপক্ষে, আমরা যদি জটিল সংখ্যার সেটের মডেলটি বিবেচনা করি, তবে এটি স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার যে দুটি জটিল সংখ্যার যোগ (বিয়োগ) এবং গুণ ভেক্টরের অনুরূপ ক্রিয়াকলাপগুলির মতোই সঞ্চালিত হয়। তাছাড়া, আমরা ভেক্টরের ভেক্টর পণ্য বলতে বোঝায়, কারণ এই অপারেশনের ফলাফল আবার একটি ভেক্টর।
1.1 সংযোজন।
(যেমন দেখা গেল, এই অপারেশনঠিক মেলে)
1.2 বিয়োগ, একইভাবে, নিম্নলিখিত নিয়ম অনুযায়ী উত্পাদিত হয়:
2. গুণ।
3. বিভাগ।
গুণনের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ হিসাবে সহজভাবে সংজ্ঞায়িত।
ত্রিকোণমিতিক ফর্ম।
একটি জটিল সংখ্যা z এর মডুলাস হল নিম্নোক্ত পরিমাণ:
,
স্পষ্টতই, এটি আবার, ভেক্টর (a,b) এর মডুলাস (দৈর্ঘ্য)।
প্রায়শই, একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস হিসাবে চিহ্নিত করা হয় ρ.
এটা দেখা যাচ্ছে যে
জটিল সংখ্যা লেখার ত্রিকোণমিতিক ফর্ম থেকে নিম্নলিখিতগুলি সরাসরি অনুসরণ করে: সূত্র :
শেষ সূত্র বলা হয় Moivre এর সূত্র. সূত্রটি সরাসরি এটি থেকে উদ্ভূত হয় একটি জটিল সংখ্যার nম মূল:
এইভাবে, জটিল সংখ্যা z এর n তম মূল রয়েছে।
পাঠ পরিকল্পনা।
1. সাংগঠনিক মুহূর্ত।
2. উপাদান উপস্থাপনা.
3. বাড়ির কাজ।
4. পাঠের সারসংক্ষেপ।
ক্লাস চলাকালীন
I. সাংগঠনিক মুহূর্ত.
২. উপাদান উপস্থাপনা.
প্রেরণা।
বাস্তব সংখ্যার সেটের সম্প্রসারণ হল বাস্তব সংখ্যার সাথে নতুন সংখ্যা (কাল্পনিক) যোগ করা। প্রকৃত সংখ্যার সেটে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার মূল বের করার অসম্ভবতার কারণে এই সংখ্যাগুলির প্রবর্তন হয়।
একটি জটিল সংখ্যার ধারণার ভূমিকা।
কাল্পনিক সংখ্যা, যার সাথে আমরা বাস্তব সংখ্যার পরিপূরক, ফর্মে লেখা হয় দ্বি, কোথায় iএকটি কাল্পনিক একক, এবং i 2 = - 1.
এর উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি জটিল সংখ্যার নিম্নলিখিত সংজ্ঞা পাই।
সংজ্ঞা. একটি জটিল সংখ্যা ফর্মের একটি অভিব্যক্তি a+bi, কোথায় কএবং খ- বাস্তব সংখ্যার। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:
ক) দুটি জটিল সংখ্যা a 1 + b 1 iএবং a 2 + b 2 iসমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি a 1 = a 2, b 1 = b 2.
খ) জটিল সংখ্যার যোগ নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
গ) জটিল সংখ্যার গুণফল নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
একটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতীয় রূপ।
ফর্মে একটি জটিল সংখ্যা লেখা a+biএকটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতিক রূপ বলা হয়, যেখানে ক- বাস্তব অংশ, দ্বিকাল্পনিক অংশ, এবং খ- সত্য নম্বর।
জটিল সংখ্যা a+biশূন্যের সমান বিবেচিত হয় যদি এর বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ শূন্যের সমান হয়: a = b = 0
জটিল সংখ্যা a+biএ b = 0একটি বাস্তব সংখ্যা হিসাবে একই হিসাবে বিবেচনা করা হয় ক: a + 0i = a.
জটিল সংখ্যা a+biএ a = 0বিশুদ্ধভাবে কাল্পনিক বলা হয় এবং চিহ্নিত করা হয় দ্বি: 0 + bi = bi.
দুটি জটিল সংখ্যা z = a + biএবং = a – bi, শুধুমাত্র কাল্পনিক অংশের চিহ্নের মধ্যে পার্থক্য, বলা হয় সংযোজক।
বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ।
আপনি বীজগণিত আকারে জটিল সংখ্যার উপর নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করতে পারেন।
1) সংযোজন।
সংজ্ঞা. জটিল সংখ্যার যোগফল z 1 = a 1 + b 1 iএবং z 2 = a 2 + b 2 iএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয় z, যার বাস্তব অংশ বাস্তব অংশের যোগফলের সমান z 1এবং z 2, এবং কাল্পনিক অংশ হল সংখ্যার কাল্পনিক অংশের সমষ্টি z 1এবং z 2, এটাই z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
সংখ্যা z 1এবং z 2পদ বলা হয়।
জটিল সংখ্যার সংযোজনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1º। পরিবর্তনশীলতা: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º। সহযোগীতা: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)।
3º। জটিল সংখ্যা -a -biএকটি জটিল সংখ্যার বিপরীত বলা হয় z = a + bi. জটিল সংখ্যা, জটিল সংখ্যার বিপরীত z, নির্দেশিত -z. জটিল সংখ্যার যোগফল zএবং -zশূন্যের সমান: z + (-z) = 0
উদাহরণ 1: সংযোজন সম্পাদন করুন (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) বিয়োগ।
সংজ্ঞা।একটি জটিল সংখ্যা থেকে বিয়োগ করুন z 1জটিল সংখ্যা z 2 জেড,কি z + z 2 = z 1.
উপপাদ্য. জটিল সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য বিদ্যমান এবং অনন্য।
উদাহরণ 2: একটি বিয়োগ সম্পাদন করুন (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) গুণ।
সংজ্ঞা. জটিল সংখ্যার গুণফল z 1 =a 1 +b 1 iএবং z 2 =a 2 +b 2 iএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয় z, সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
সংখ্যা z 1এবং z 2ফ্যাক্টর বলা হয়।
জটিল সংখ্যার গুণের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1º। পরিবর্তনশীলতা: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º। সহযোগীতা: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º। যোগ সাপেক্ষে গুণের বন্টন:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º। z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- সত্য নম্বর।
অনুশীলনে, একটি যোগফলকে যোগফল দ্বারা গুণ করার এবং বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে পৃথক করার নিয়ম অনুসারে জটিল সংখ্যাগুলির গুণন করা হয়।
নিম্নলিখিত উদাহরণে, আমরা জটিল সংখ্যাগুলিকে দুটি উপায়ে গুণ করার কথা বিবেচনা করব: নিয়ম দ্বারা এবং যোগফলকে যোগফল দ্বারা গুণ করে।
উদাহরণ 3: গুণ করুন (2 + 3i) (5 - 7i).
1 উপায়। (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
পদ্ধতি 2। (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) বিভাগ।
সংজ্ঞা. একটি জটিল সংখ্যা ভাগ করুন z 1একটি জটিল সংখ্যায় z 2, মানে এমন একটি জটিল সংখ্যা খুঁজে বের করা z, কি z·z 2 = z 1.
উপপাদ্য।জটিল সংখ্যার ভাগফল বিদ্যমান এবং যদি অনন্য z 2 ≠ 0 + 0i.
অনুশীলনে, জটিল সংখ্যার ভাগফল পাওয়া যায় লব এবং হরকে হরের সংযোজন দ্বারা গুণ করে।
দিন z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, তারপর
.
নিম্নলিখিত উদাহরণে, আমরা সূত্র এবং হরকে সংযোজিত সংখ্যা দ্বারা গুণের নিয়ম ব্যবহার করে ভাগ করব।
উদাহরণ 4. ভাগফল নির্ণয় কর 
.
5) একটি ইতিবাচক সমগ্র শক্তি উত্থাপন.
ক) কাল্পনিক এককের ক্ষমতা।
সমতার সুযোগ নিচ্ছে i 2 = -1, কাল্পনিক এককের যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তিকে সংজ্ঞায়িত করা সহজ। আমাদের আছে:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1ইত্যাদি
এই ডিগ্রী মান দেখায় ভিতরে, কোথায় n– একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পর্যায়ক্রমে সূচকটি বৃদ্ধির সাথে সাথে পুনরাবৃত্তি হয় 4 .
তাই সংখ্যা বাড়াতে হবে iএকটি ধনাত্মক সমগ্র শক্তিতে, আমাদের অবশ্যই সূচকটিকে দ্বারা ভাগ করতে হবে 4 এবং নির্মাণ iএকটি শক্তি যার সূচক ভাগের অবশিষ্টাংশের সমান।
উদাহরণ 5: গণনা করুন: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i।
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 – i।
b) একটি জটিল সংখ্যাকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার শক্তিতে উন্নীত করা একটি দ্বিপদীকে সংশ্লিষ্ট শক্তিতে বাড়ানোর নিয়ম অনুসারে সঞ্চালিত হয়, যেহেতু এটি অভিন্ন জটিল গুণনীয়কগুলিকে গুণ করার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।
উদাহরণ 6: গণনা করুন: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i।
জটিল সংখ্যা
কাল্পনিক এবং জটিল সংখ্যা। Abscissa এবং ordinate
জটিল সংখ্যা। সংযুক্ত জটিল সংখ্যা।
জটিল সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ। জ্যামিতিক
জটিল সংখ্যার উপস্থাপনা। জটিল সমতল।
জটিল সংখ্যা ফর্ম। জটিল সঙ্গে অপারেশন
ত্রিকোণমিতিক আকারে সংখ্যা। Moivre এর সূত্র.
সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য কাল্পনিক এবং জটিল সংখ্যা "কাল্পনিক এবং জটিল সংখ্যা" বিভাগে দেওয়া আছে। মামলার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় একটি নতুন ধরণের এই সংখ্যাগুলির প্রয়োজনীয়তা দেখা দেয়
ডি< 0 (здесь ডি– বৈষম্যমূলক দ্বিঘাত সমীকরণ) দীর্ঘদিন ধরে এসব নম্বর পাওয়া যায়নি শারীরিক প্রয়োগ, যে কারণে তাদের "কাল্পনিক" সংখ্যা বলা হত। যাইহোক, এখন তারা পদার্থবিদ্যার বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়এবং প্রযুক্তি: বৈদ্যুতিক প্রকৌশল, হাইড্রো- এবং এরোডাইনামিকস, স্থিতিস্থাপকতা তত্ত্ব, ইত্যাদি।
জটিল সংখ্যা ফর্মে লেখা আছে:a+bi. এখানে কএবং খ – বাস্তব সংখ্যার , ক i – কাল্পনিক একক, যেমন e i 2 = –1. সংখ্যা কডাকা abscissa, ক b – অর্ডিনেটজটিল সংখ্যাa + bi।দুটি জটিল সংখ্যাa+biএবং a-bi ডাকল কনজুগেটজটিল সংখ্যা।
প্রধান চুক্তি:
1. বাস্তব সংখ্যা
কফর্মেও লেখা যাবেজটিল সংখ্যা:a + 0 iবা একটি - 0 i. উদাহরণস্বরূপ, 5 + 0 রেকর্ড করেiএবং 5 – 0 iমানে একই সংখ্যা 5 .2. কমপ্লেক্স নম্বর 0 + দ্বিডাকা সম্পূর্ণ কাল্পনিক সংখ্যা. রেকর্ডদ্বিমানে 0 এর মতই + দ্বি.
3. দুটি জটিল সংখ্যাa+bi এবংc + diসমান বিবেচিত হয় যদিa = গএবং b = d. অন্যথায় জটিল সংখ্যা সমান নয়।
যোগ। জটিল সংখ্যার যোগফলa+biএবং c + diএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয় (a+c ) + (b+d ) iএইভাবে, যোগ করার সময় জটিল সংখ্যা, তাদের অ্যাবসিসাস এবং অর্ডিনেট আলাদাভাবে যোগ করা হয়েছে।
এই সংজ্ঞাটি সাধারণ বহুপদী সহ ক্রিয়াকলাপের নিয়মের সাথে মিলে যায়।
বিয়োগ. দুটি জটিল সংখ্যার পার্থক্যa+bi(হ্রাস) এবং c + di(সাবট্রাহেন্ড) একটি জটিল সংখ্যা বলা হয় (a–c ) + (b–d ) i
এইভাবে, দুটি জটিল সংখ্যা বিয়োগ করার সময়, তাদের অ্যাবসিসাস এবং অর্ডিনেট আলাদাভাবে বিয়োগ করা হয়।
গুণ. জটিল সংখ্যার গুণফলa+biএবং c + di একটি জটিল সংখ্যা বলা হয়:
(ac–bd ) + (ad+bc ) iএই সংজ্ঞা দুটি প্রয়োজনীয়তা থেকে অনুসরণ করে:
1) সংখ্যা a+biএবং c + diবীজগণিতের মত গুন করতে হবেদ্বিপদ,
2) সংখ্যা iপ্রধান সম্পত্তি আছে:i 2 = – 1.
উদাহরণ ( a+ দ্বি )(a-bi) =a 2 +খ 2 . তাই, কাজ
দুটি সমন্বিত জটিল সংখ্যা বাস্তবের সমান
একটি ইতিবাচক সংখ্যা।
বিভাগ। একটি জটিল সংখ্যা ভাগ করুনa+bi (বিভাজ্য) অন্যের দ্বারাc + di(বিভাজক) - মানে তৃতীয় সংখ্যা খুঁজে বের করাe + f i(চ্যাট), যা ভাজক দ্বারা গুণিত হলেc + di, লভ্যাংশ ফলাফলa + bi।
ভাজক শূন্য না হলে, বিভাজন সর্বদা সম্ভব।
উদাহরণ খুঁজুন (8 +i ) : (2 – 3 i) .
সমাধান একটি ভগ্নাংশ হিসাবে এই অনুপাত পুনরায় লিখুন:
এর লব এবং হরকে 2 + 3 দ্বারা গুণ করা হচ্ছেi
এবং সমস্ত রূপান্তর সম্পাদন করার পরে, আমরা পাই:
জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক উপস্থাপনা। বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখার বিন্দু দ্বারা উপস্থাপন করা হয়:
এখানে বিন্দু কমানে সংখ্যা -3, বিন্দুখ- নম্বর 2, এবং ও- শূন্য। বিপরীতে, জটিল সংখ্যাগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে বিন্দু দ্বারা উপস্থাপিত হয়। এই উদ্দেশ্যে, আমরা উভয় অক্ষে একই স্কেল সহ আয়তক্ষেত্রাকার (কার্টেসিয়ান) স্থানাঙ্ক নির্বাচন করি। তারপর জটিল সংখ্যাa+bi একটি বিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে আবসিসা সহ পি a এবং ordinate খ (ছবি দেখো)। এই সমন্বয় ব্যবস্থা বলা হয় জটিল সমতল .
মডিউল জটিল সংখ্যা হল ভেক্টরের দৈর্ঘ্যওপি, স্থানাঙ্কে একটি জটিল সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে ( ব্যাপক) সমতল। একটি জটিল সংখ্যার মডুলাসa+biচিহ্নিত | a+bi| বা চিঠি r
