При поперечном изгибе в поперечном сечении бруса (балки), кроме изгибающего момента, действует также поперечная сила. Если поперечный изгиб является прямым, то изгибающий момент действует в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей бруса.
Поперечная сила при этом обычно параллельна плоскости действия изгибающего момента и, как показано ниже (см. § 12.7), проходит через определенную точку поперечного сечения, называемую центром изгиба. Положение центра изгиба зависит от формы и размеров поперечного сечения бруса. При поперечном сечении, имеющем две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.
Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что формулы, полученные для случая прямого чистого изгиба, применимы и при прямом поперечном изгибе.
Поперечная сила, действующая в сечении бруса, связана с касательными напряжениями, возникающими в этом сечении, зависимостью
где - составляющая касательного напряжения в поперечном сечении бруса, параллельная оси у и силе
Величина представляет собой элементарную касательную силу (параллельную силе Q), действующую на элементарную площадку поперечного сечения бруса.
Рассмотрим некоторое поперечное сечение бруса (рис. 37.7). Касательные напряжения в точках около контура сечения направлены по касательной к контуру. Действительно, если бы касательное напряжение имело составляющую, направленную по нормали к контуру, то по закону парности касательных напряжений такое же напряжение возникло бы и на боковой поверхности бруса, что невозможно, так как боковая поверхность свободна от напряжений.
Касательное напряжение в каждой точке сечения можно разложить на две составляющие: .
Рассмотрим определение составляющих ту. Определение составляющих рассмотрено в § 12.7 только для некоторых типов поперечных сечений.
Предполагается, что составляющие касательных напряжений по всей ширине сечения в направлении, параллельном оси , одинаковы (рис. 37.7), т. е. что величина изменяется только по высоте сечения.
Для определения вертикальных составляющих касательных напряжений выделим из балки постоянного сечения, симметричного относительно оси у, элемент 1-2-3-4 двумя поперечными сечениями, проведенными на расстояниях от левого конца балки, и одним сечением, параллельным нейтральному слою, отстоящим от него на расстояние (рис. 38.7).
В поперечном сечении балки с абсциссой действует изгибающий момент М, а с абсциссой -момент М В соответствии с этим нормальные напряжения а и , действующие по площадкам 1-2 и 3-4 выделенного элемента, определяются выражениями [см. формулу (17.7)]
Эпюры нормальных напряжений действующих по площадкам 1-2 и 3-4 при положительном значении М, показаны на рис. 39.7. По этим же площадкам действуют и касательные напряжения также показанные на рис. 39.7. Величина этих напряжений изменяется по высоте сечения.
Обозначим величину касательного напряжения в нижних точках площадок 1-2 и 3-4 (на уровне ). По закону парности касательных напряжений следует, что такие же по величине касательные напряжения действуют по нижней площадке 1-4 выделенного элемента. Нормальные напряжения по этой площадке считаются равными нулю, так как в теории изгиба предполагается, что продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления.
Площадку 1-2 или 3-4 (рис. 39.7 и 40.7), т. е. часть поперечного сечения, расположенную выше уровня (выше площадки 1-4), называют отсеченной частью поперечного сечения. Ее площадь обозначим
Составим уравнение равновесия для элемента 1-2-3-4 в виде суммы проекций всех приложенных к нему сил на ось балки:
Здесь - равнодействующая элементарных сил возникающих по площадке 1-2 элемента; - равнодействующая элементарных сил возникающих по площадке 3-4 элемента; - равнодействующая элементарных касательных сил, возникающих по площадке 1-4 элемента; - ширина поперечного сечения балки на уровне у
Подставим в уравнение (27.7) выражения по формулам (26.7):
Но на основании теоремы Журавского [формула (6.7)]
Интеграл представляет собой статический момент площади относительно нейтральной оси поперечного сечения балки.
Следовательно,
По закону парности касательных напряжений напряжения в точках поперечного сечения балки, отстоящих на расстояние от нейтральной оси, равны (по абсолютной величине) т. е.
Таким образом, величины касательных напряжений в поперечных сечениях балки и в сечениях ее плоскостями, параллельными нейтральному слою, определяются по формуле
Здесь Q - поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; - статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; J - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; - ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором определяются касательные напряжения .
Выражение (28.7) называется формулой Журавского.
Определение касательных напряжений по формуле (28.7) производится в следующем порядке:
1) проводится поперечное сечение балки;
2) для этого поперечного сечения определяются значения поперечной силы Q и величина J момента инерции сечения относительно главной центральной оси, совпадающей с нейтральной осью;
3) в поперечном сечении на уровне, для которого определяются касательные напряжения, параллельно нейтральной оси проводится прямая, отсекающая часть сечения; длина отрезка этой прямой, заключенного внутри контура поперечного сечения, представляет собой ширину , входящую в знаменатель формулы (28.7);
4) вычисляется статический момент S отсеченной (расположенной по одну сторону от прямой, указанной в п. 3) части сечения относительно нейтральной оси;
5) по формуле (28.7) определяется абсолютное значение касательного напряжения . Знак касательных напряжений в поперечном сечении балки совпадает со знаком поперечной силы, действующей в этом сечении. Знак же касательных напряжений в площадках, параллельных нейтральному слою, противоположен знаку поперечной силы.
Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоугольном поперечном сечении балки, изображенном на рис. 41.7, а. Поперечная сила в этом сечении действует параллельно оси у и равна
Момент инерции поперечного сечения относительно оси
Для определения касательного напряжения в некоторой точке С проведем через эту точку прямую 1-1, параллельную оси (рис. 41.7, а).
Определим статический момент S части сечения, отсеченной прямой 1-1, относительно оси . За отсеченную можно принимать как часть сечения, расположенную выше прямой 1-1 (заштрихованную на рис. 41.7, а), так и часть, расположенную ниже этой прямой.
Для верхней части
Подставим в формулу (28.7) значения Q, S, J и b:
Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы. При напряжения Наибольшие напряжения имеются в точках нейтральной оси, т. е. при
где - площадь поперечного сечения.
Таким образом, в случае прямоугольного сечения наибольшее касательное напряжение в 1,5 раза больше среднего его значения, равного Эпюра касательных напряжений, показывающая их изменение по высоте сечения балки, изображена на рис. 41.7, б.
Для проверки полученного выражения [см. формулу (29.7)] подставим его в равенство (25.7):
Полученное тождество свидетельствует о правильности выражения (29.7).
Параболическая эпюра касательных напряжений, показанная на рис. 41.7, б, является следствием того, что при прямоугольном сечении статический момент отсеченной части сечения изменяется с изменением положения прямой 1-1 (см. рис. 41.7, а) по закону квадратной параболы.
При сечениях любой другой формы характер изменения касательных напряжений по высоте сечения зависит от того, по какому закону изменяется отношение при этом, если на отдельных участках высоты сечения ширина b постоянна, то напряжения на этих участках изменяются по закону изменения статического момента
В точках поперечного сечения балки, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, так как при определении напряжений в этих точках в формулу (28.7) подставляется значение статического момента отсеченной части сечения, равное нулю.
Величина 5 достигает максимума для точек, расположенных на нейтральной оси, однако касательные напряжения при сечениях с переменной шириной b могут не быть максимальными на нейтральной оси. Так, например, эпюра касательных напряжений для сечения, изображенного на рис. 42.7, а имеет вид, показанный на рис. 42.7, б.
Касательные напряжения, возникающие при поперечном изгибе в плоскостях, параллельных нейтральному слою, характеризуют собой силы взаимодействия между отдельными слоями балки; эти силы стремятся сдвинуть соседние слои друг относительно друга в продольном направлении.
Если между отдельными слоями балки не имеется достаточной связи, то такой сдвиг произойдет. Например, доски, положенные друг на друга (рис. 43.7, а), будут сопротивляться внешней нагрузке, как целый брус (рис. 43.7, б), пока усилия по плоскостям соприкасания досок не превысят сил трения между ними. Когда же силы трения будут превзойдены, то доски сдвинутся одна по другой, как это показано на рис. 43.7, в. При этом прогибы досок резко увеличатся.
Касательные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки и в сечениях, параллельных нейтральному слою, вызывают деформации сдвига, в результате которых прямые углы между этими сечениями искажаются, т. е. перестают быть прямыми. Наибольшие искажения углов имеются в тех точках поперечного сечения, в которых действуют наибольшие касательные напряжения; у верхнего и нижнего краев балки искажения углов отсутствуют, так как касательные напряжения там равны нулю.
В результате деформаций сдвига поперечные сечения балки при поперечном изгибе искривляются. Однако это существенно не влияет на деформации продольных волокон, а следовательно, и на распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях балки.
Рассмотрим теперь распределение касательных напряжений в тонкостенных балках с поперечными сечениями, симметричными относительно оси у, по направлению которой действует поперечная сила Q, например, в балке двутаврового сечения, изображенной на рис. 44.7, а.
Для этого по формуле Журавского (28.7) определим касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки.
В верхней точке 1 (рис. 44.7, а) касательные напряжения так как вся площадь поперечного сечения расположена ниже этой точки, а потому статический момент 5 относительно оси (части площади сечения, расположенной выше точки 1) равен нулю.
В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра, касательные напряжения, подсчитанные по формуле (28.7),
Между точками 1 и 2 напряжения [определяемые по формуле (28.7)] изменяются по квадратной параболе, как для прямоугольного сечения. В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения
Так как ширина b полки двутавра значительно больше толщины d вертикальной стенки, то эпюра касательных напряжений (рис. 44.7, б) имеет резкий скачок в уровне, соответствующем нижней грани верхней полки. Ниже точки 3 касательные напряжения в стенке двутавра изменяются по закону квадратной параболы, как для прямоугольника. Наибольшие касательные напряжения возникают на уровне нейтральной оси:
Эпюра касательных напряжений, построенная по полученным значениям и , изображена на рис. 44.7, б; она симметрична относительно ординаты .
Согласно этой эпюре, в точках, расположенных у внутренних граней полок (например, в точках 4 на рис. 44.7, а), действуют касательные напряжения перпендикулярные к контуру сечения. Но, как уже отмечалось, такие напряжения около контура сечения возникать не могут. Следовательно, предположение о равномерном распределении касательных напряжений по ширине b поперечного сечения, положенное в основу вывода формулы (28.7), неприменимо к полкам двутавра; оно неприменимо и к некоторым элементам других тонкостенных балок.
Касательные напряжения ту в полках двутавра определить методами сопротивления материалов нельзя. Эти напряжения весьма невелики по сравнению с напряжениями ту в стенке двутавра. Поэтому их не учитывают и эпюру касательных напряжений строят только для стенки двутавра, как показано на рис. 44.7, в.
В некоторых случаях, например при расчете составных балок, определяют величину Т касательных сил, действующих в сечениях балки, параллельных нейтральному слою и приходящихся на единицу ее длины. Эту величину найдем, умножив значение напряжения на ширину сечения b:
Подставим значение по формуле (28.7):
Классификация видов изгиба стержня
Изгибом называют такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Стержень, работающий на изгиб, принято называть балкой. Если изгибающие моменты - единственные внутренние силовые факторы в поперечных сечениях, то стержень испытывает чистый изгиб. Если же изгибающие моменты возникают совместно с поперечными силами, то такой изгиб называют поперечным.
На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций.
Введем некоторые понятия. Плоскость, проходящая через одну из главных центральных осей сечения и геометрическую ось стержня, называется главной плоскостью. Плоскость, в которой действуют внешние нагрузки, вызывающие изгиб балки, называется силовой плоскостью. Линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения стержня носит название силовой линии. В зависимости от взаимного расположения силовой и главных плоскостей балки различают прямой или косой изгиб. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей, то стержень испытывает прямой изгиб (рис. 5.1, а ), если же не совпадает - косой (рис. 5.1, б).
Рис. 5.1. Изгиб стержня: а - прямой; б - косой
С геометрической точки зрения изгиб стержня сопровождается изменением кривизны оси стержня. Первоначально прямолинейная ось стержня становится криволинейной при его изгибе. При прямом изгибе изогнутая ось стержня лежит в силовой плоскости, при косом - в плоскости, отличной от силовой.
Наблюдая за изгибом резинового стержня, можно заметить, что часть его продольных волокон растягивается, а другая часть сжимается. Очевидно, между растянутыми и сжатыми волокнами стержня существует слой волокон, не испытывающих ни растяжения, ни сжатия, - так называемый нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя стержня с плоскостью его поперечного сечения называется нейтральной линией сечения.
Как правило, действующие на балку нагрузки можно отнести к одному из трех видов: сосредоточенные силы Р, сосредоточенные моменты М распределенные нагрузки интенсивностью ц (рис. 5.2). Часть I балки, расположенную между опорами, называют пролетом, часть II балки, расположенную по одну сторону от опоры, - консолью.
При изгибе стержни подвергаются воздействию поперечной силы или изгибающего момента. Изгиб называется чистым, если действует только изгибающий момент, и поперечным, если действует нагрузка, перпендикулярная оси стержня. Брус (стержень), работающий на изгиб, обычно называют балкой. Балки являются наиболее часто встречающимися элементами сооружений и машин, воспринимающими нагрузки от других элементов конструкций и, передающими их тем частям, которые поддерживают балку (чаще всего опорам).
В строительных сооружениях и машиностроительных конструкциях чаше всего можно встретить следующие случаи крепления балок: консольные - с одним защемленным концом (с жесткой заделкой), двухопорные - с одной шарнирно-неподвижной опорой и с одной шарнирно-подвижной опорой и многоопорные балки. Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, то такие балки называют статически неопределимыми. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения - уравнения перемещений. При плоском поперечном изгибе все внешние нагрузки перпендикулярны к оси балки.
Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечных сечениях балки, следует начинать с определения опорных реакций. После этого используем метод сечений, мысленно рассекаем, балку на две части и рассматриваем равновесие одной части. Взаимодействие частей балки заменяем внутренними факторами: изгибающим моментом и поперечной силой.
Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил, а изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения. Знаки действующих сил и моментов следует определять в соответствии с принятыми правилами. Необходимо научиться правильно определять равнодействующую силу и изгибающий момент от равномерно распределенной по длине балки нагрузки.
Следует иметь в виду, что при определении напряжений, возникающих при изгибе, принимают следующие допущения: сечения плоские до изгиба остаются плоскими и после изгиба (гипотеза плоских сечений); продольные соседние волокна не давят одно на другое; зависимость между напряжениями и деформациями линейная.
При изучении изгиба следует обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки. Нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Следует уметь определять напряжения изгиба, которые зависят от величины действующего изгибающего момента М И и момента сопротивления сечения при изгибе W О (осевой момент сопротивления сечения).
Условие прочности при изгибе: σ = М И / W О £ [σ] . Значение W О зависит от размеров, формы и расположения поперечного сечения относительно оси.
Наличие поперечной силы, действующей на балку, связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях, а по закону парности касательных напряжений - и в продольных сечениях. Касательные напряжения определяют по формуле Д. И. Журавского.
Поперечная сила сдвигает рассматриваемое сечение относительно смежного. Изгибающий момент, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, поворачивает сечение относительно смежного, чем и обусловлено искривление оси балки, т. е. ее изгиб.
Когда балка испытывает чистый изгиб, то по всей длине балки или на отдельном ее участке в каждом сечении действует изгибающий момент постоянной величины, а поперечная сила в любом сечении данного участка равна нулю. При этом в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения.
Для того чтобы глубже разобраться в физических явлениях изгиба и в методике решения задач при расчете на прочность и жесткость, необходимо хорошо усвоить геометрические характеристики плоских сечений, а именно: статические моменты сечений, моменты инерции сечений простейшей формы и сложных сечений, определение центра тяжести фигур, главные моменты инерции сечений и главные оси инерции, центробежный момент инерции, изменение моментов инерции при повороте осей, теоремы о переносе осей.
При изучении этого раздела следует научиться правильно строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, определять опасные сечения и действующие в них напряжения. Помимо определения напряжений следует научиться определять перемещения (прогибы балки) при изгибе. Для этого используется дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии), записанное в общем виде.
Для определения прогибов проводится интегрирование уравнения упругой линии. При этом следует правильно определять постоянные интегрирования С и D исходя из условий опирания балки (граничных условий). Зная величины С и D , можно определить угол поворота и прогиб любого сечения балки. Изучение сложного сопротивления обычно начинают с косого изгиба.
Явление косого изгиба особенно опасно для сечений со значительно отличающимися друг от друга главными моментами инерции; балки с таким сечением хорошо работают на изгиб в плоскости наибольшей жесткости, но даже при небольших углах наклона плоскости внешних сил к плоскости наибольшей жесткости в балках возникают значительные дополнительные напряжения и деформации. Для балки круглого сечения косой изгиб невозможен, так как все центральные оси такого сечения являются главными и нейтральный слой всегда будет перпендикулярен плоскости внешних сил. Косой изгиб невозможен и для балки квадратного сечения.
При определении напряжений в случае внецентренного растяжения или сжатия необходимо знать положение главных центральных осей сечения; именно от этих осей отсчитывают расстояния точки приложения силы и точки, в которой определяют напряжения.
Приложенная эксцентрично сжимающая сила может вызвать в поперечном сечении стержня растягивающие напряжения. В связи с этим внецентренное сжатие является особенно опасным для стержней из хрупких материалов, которые слабо сопротивляются растягивающим усилиям.
В заключение следует изучить случай сложного сопротивления, когда тело испытывает одновременно несколько деформаций: например, изгиб совместно с кручением, растяжение-сжатие совместно с изгибом и т. д. При этом следует иметь в виду, что изгибающие моменты, действующие в различных плоскостях, могут складываться как векторы.
Как и в § 17, предположим, что поперечное сечение стержня имеет две оси симметрии, одна из которых лежит в плоскости изгиба.
В случае поперечного изгиба стержня в поперечном сечении его возникают касательные напряжения, и при деформации стержня оно не остается плоским, как в случае чистого изгиба. Однако для бруса сплошного поперечного сечения влиянием касательных напряжений при поперечном изгибе можно пренебречь и приближенно принять, что так же, как и в случае чистого изгиба, поперечное сечение стержня при его деформации остается плоским. Тогда выведенные в § 17 формулы для напряжений и кривизны остаются приближенно справедливыми. Они являются точными для частного случая постоянной по длине стержня поперечной силы 1102).
В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе изгибающий момент и кривизна не остаются постоянными по длине стержня. Основная задача в случае поперечного изгиба - определение прогибов. Для определения малых прогибов можно воспользоваться известной приближенной зависимостью кривизны изогнутого стержня от прогиба 11021. На основании этой зависимости кривизна изогнутого стержня х с и прогиб V е , возникшие вследствие ползучести материала, связаны соотношением х с = = dV
Подставив в это соотношение кривизну по формуле (4.16), устанавливаем, что
Интегрирование последнего уравнения дает возможность получить прогиб, возникший вследствие ползучести материала балки.
Анализируя приведенное выше решение задачи о ползучести изогнутого стержня, можно заключить, что оно полностью эквивалентно решению задачи об изгибе стержня из материала, у которого диаграммы растяжения-сжатия могут быть аппроксимированы степенной функцией. Поэтому определение прогибов, возникших из-за ползучести, в рассматриваемом случае может быть произведено и при помощи интеграла Мора для определения перемещения стержней, выполненных из материала, не подчиняющегося закону Гука }
