Schody. Vstupní skupina. Materiály. Dveře. Hrady a zámky Design

V případě výpočtu kruhového nosníku při působení ohybu a kroucení (obr. 34.3) je nutné vzít v úvahu normálová a tangenciální napětí, protože maximální hodnoty napětí se v obou případech vyskytují na povrchu. Výpočet by měl být proveden podle teorie pevnosti, nahrazující komplexní stav napětí stejně nebezpečným jednoduchým.

Maximální torzní napětí v řezu

Maximální ohybové napětí v řezu

Podle jedné teorie pevnosti se v závislosti na materiálu nosníku vypočítá ekvivalentní napětí pro nebezpečný úsek a nosník se zkouší na pevnost pomocí dovoleného ohybového napětí pro materiál nosníku.

Pro kruhový nosník jsou průřezové momenty odporu následující:

Při výpočtu podle třetí teorie pevnosti, teorie maximálního smykového napětí, se ekvivalentní napětí vypočítá pomocí vzorce

Teorie je aplikovatelná na plastové materiály.

Při výpočtu podle teorie energie změny tvaru se pomocí vzorce vypočítá ekvivalentní napětí

Teorie je použitelná pro tvárné a křehké materiály.

Ekvivalentní napětí při výpočtu podle teorie energie změny tvaru:

kde je ekvivalentní moment.

Pevnostní stav

Příklady řešení problémů

Příklad 1 Pro daný napěťový stav (obr. 34.4) s využitím hypotézy maximálních tečných napětí vypočítejte součinitel bezpečnosti, pokud σ T = 360 N/mm 2.

Testové otázky a úkoly

1. Jak je charakterizován stav napětí v bodě a jak je znázorněn?

2. Jaké oblasti a jaká napětí se nazývají hlavní?

3. Vyjmenujte typy stresových stavů.

4. Čím se vyznačuje deformovaný stav v bodě?

5. V jakých případech vznikají mezní stavy napětí u tvárných a křehkých materiálů?

6. Co je ekvivalentní napětí?

7. Vysvětlete účel teorií pevnosti.

8. Napište vzorce pro výpočet ekvivalentních napětí ve výpočtech s využitím teorie maximálních tangenciálních napětí a teorie energie změny tvaru. Vysvětlete, jak je používat.

PŘEDNÁŠKA 35

Téma 2.7. Výpočet nosníku kruhového průřezu s kombinací základních deformací

Znát vzorce pro ekvivalentní napětí na základě hypotéz nejvyšších tečných napětí a energie změny tvaru.

Umět vypočítat pevnost nosníku kruhového průřezu při kombinaci základních deformací.

Při výpočtu hřídelí se nejčastěji uvažuje kombinace ohybu a krutu nosníků kruhového průřezu. Případy ohybu s kroucením nosníků jsou mnohem méně časté. kulatý úsek.

V § 1.9 je stanoveno, že v případě, kdy jsou momenty setrvačnosti průřezu vzhledem k hlavním osám navzájem stejné, není možný šikmý ohyb nosníku. V tomto ohledu je šikmé ohýbání kruhových nosníků nemožné. Proto v obecném případě vnějších sil zažívá kruhový nosník kombinaci následující typy deformace: přímý příčný ohyb, kroucení a středové napětí (nebo stlačení).

Uvažujme takový speciální případ výpočtu nosníku kruhového průřezu, když v jeho průřezech podélná síla rovna nule. V tomto případě nosník pracuje při kombinovaném působení ohybu a kroucení. Pro nalezení nebezpečného bodu nosníku je nutné zjistit, jak se mění hodnoty ohybových a krouticích momentů po délce nosníku, tedy sestrojit diagramy celkových ohybových momentů M a krouticích momentů těchto diagramů na konkrétní příklad hřídel zobrazený na Obr. 22.9, a. Hřídel spočívá na ložiskách A a B a je poháněna motorem C.

Na hřídeli jsou namontovány řemenice E a F, přes které jsou vrženy hnací řemeny s napětím. Předpokládejme, že hřídel se otáčí v ložiskách bez tření; zanedbáváme vlastní hmotnost hřídele a řemenic (v případě, že je jejich vlastní hmotnost významná, je třeba ji vzít v úvahu). Nasměrujme osu průřezu hřídele svisle a osu vodorovně.

Velikosti sil lze určit pomocí vzorců (1.6) a (2.6), je-li znám např. výkon přenášený každou řemenicí, úhlová rychlost hřídele a poměry Po určení velikostí sil, např. tyto síly jsou přenášeny rovnoběžně s podélnou osou hřídele. V tomto případě jsou torzní momenty aplikovány na hřídel v úsecích, ve kterých jsou umístěny řemenice E a F a jsou rovny, resp. Tyto momenty jsou vyváženy momentem přenášeným z motoru (obr. 22.9, b). Síly se pak rozkládají na vertikální a horizontální složky. Svislé síly vyvolají svislé reakce v ložiscích a vodorovné síly vyvolají reakce vodorovné. Velikosti těchto reakcí jsou určeny jako pro nosník ležící na dvou podporách.

Diagram ohybových momentů působících ve vertikální rovině je sestrojen ze svislých sil (obr. 22.9, c). Je to znázorněno na Obr. 22.9, d Obdobně se z vodorovných sil (obr. 22.9, e) sestrojí diagram ohybových momentů působících ve vodorovné rovině (obr. 22.9, f).

Z diagramů můžete určit (v libovolném průřez) celkový ohybový moment M podle vzorce

Pomocí hodnot M získaných pomocí tohoto vzorce se sestrojí diagram celkových ohybových momentů (obr. 22.9, g). V těch úsecích šachty, ve kterých přímé, omezující diagramy protínají osy diagramů v bodech umístěných na stejné vertikále, je diagram M omezen přímkami a v ostatních oblastech je omezen křivkami.

(viz sken)

Například v příslušném řezu hřídele je délka diagramu M omezena na přímku (obr. 22.9, g), protože diagramy v tomto řezu jsou omezeny přímkami a protínajícími osy diagramů. v bodech umístěných na stejné vertikále.

Bod O průsečíku přímky s osou diagramu je umístěn na stejné svislici. Podobná situace je typická pro hřídelový úsek s délkou

Diagram celkových (celkových) ohybových momentů M charakterizuje velikost těchto momentů v každém úseku hřídele. Roviny působení těchto momentů v různých částech hřídele jsou různé, ale ordináty diagramu pro všechny části jsou konvenčně zarovnány s rovinou výkresu.

Diagram točivých momentů je konstruován stejným způsobem jako u čistého kroucení (viz § 1.6). Pro dotyčnou šachtu je to znázorněno na Obr. 22.9, z.

Nebezpečný úsek hřídele se stanoví pomocí diagramů celkových ohybových momentů M a momentů Pokud v úseku nosníku o konstantním průměru s největším ohybovým momentem M působí i největší moment, pak je tento úsek nebezpečný. Zejména uvažovaný hřídel má takový úsek umístěný napravo od řemenice F v nekonečně malé vzdálenosti od ní.

Působí-li maximální ohybový moment M a maximální krouticí moment v různých průřezech, pak se úsek, ve kterém ani jedna hodnota není největší, může ukázat jako nebezpečný. U nosníků s proměnným průměrem může být nejnebezpečnější úsek, ve kterém působí výrazně nižší ohybové a torzní momenty než v jiných úsecích.

V případech, kdy nelze nebezpečný úsek určit přímo z diagramů M a je nutné zkontrolovat pevnost nosníku v několika jeho řezech a tímto způsobem stanovit nebezpečná napětí.

Jakmile je stanoven nebezpečný úsek paprsku (nebo je identifikováno několik úseků, z nichž jeden se může ukázat jako nebezpečný), je nutné v něm najít nebezpečná místa. K tomu uvažujme napětí vznikající v průřezu nosníku, když v něm současně působí ohybový moment M a krouticí moment.

U nosníků kruhového průřezu, jejichž délka je mnohonásobně větší než průměr, jsou hodnoty nejvyšších tangenciálních napětí od příčné síly malé a nejsou brány v úvahu při výpočtu pevnosti nosníků při kombinovaném působení. ohybu a kroucení.

Na Obr. Obrázek 23.9 ukazuje průřez kruhového nosníku. V tomto řezu působí ohybový moment M a krouticí moment. Osa y je kolmá k rovině působení ohybového momentu. Osa y je tedy neutrální osou řezu.

V průřezu nosníku vznikají normálová napětí od ohybu a smyková napětí od kroucení.

Normálová napětí a jsou určena vzorcem Diagram těchto napětí je na Obr. 23.9. Největší normálová napětí v absolutní hodnotě se vyskytují v bodech A a B. Tato napětí jsou stejná

kde je osový moment odporu průřezu nosníku.

Tangenciální napětí jsou určena vzorcem Diagram těchto napětí je na Obr. 23.9.

V každém bodě řezu směřují kolmo k poloměru spojujícímu tento bod se středem řezu. Nejvyšší smyková napětí se vyskytují v bodech umístěných po obvodu průřezu; jsou si rovni

kde je polární moment odporu průřezu paprsku.

U plastového materiálu body A a B průřezu, ve kterých současně dosahují normálové i smykové napětí nejvyšší hodnotu, jsou nebezpečné. Pro křehký materiál je nebezpečný bod, ve kterém vznikají tahová napětí od ohybového momentu M.

Napjatý stav elementárního rovnoběžnostěnu izolovaného v blízkosti bodu A je na Obr. 24.9, a. Podél ploch rovnoběžnostěnu, které se shodují s průřezy nosníku, působí normálová napětí a tangenciální napětí. Na základě zákona o párování tečných napětí vznikají napětí také na horní a spodní straně kvádru. Jeho zbývající dvě tváře jsou bez stresu. Tedy v v tomto případě k dispozici soukromý pohled rovinný napjatostní stav, podrobně rozebrán v kap. 3. Hlavní napětí amax a jsou určena vzorcem (12.3).

Po dosazení hodnot do nich dostaneme

Napětí mají různá znamení a proto

Elementární rovnoběžnostěn, zvýrazněný v blízkosti bodu A hlavními plochami, je na Obr. 24,9, b.

Výpočet pevnosti nosníků při ohybu s kroucením, jak již bylo uvedeno (viz začátek § 1.9), se provádí pomocí pevnostních teorií. V tomto případě se výpočet nosníků z plastových materiálů obvykle provádí na základě třetí nebo čtvrté teorie pevnosti a z křehkých - podle Mohrovy teorie.

Podle třetí teorie síly [viz. vzorec (6.8)], dosazením výrazů do této nerovnosti [viz. vzorec (23.9)], získáme

Zavedení.

Ohýbání je typ deformace charakterizovaný zakřivením (změnou zakřivení) osy nebo střední plochy deformovatelného předmětu (nosníku, nosníku, desky, skořepiny atd.) vlivem vnějších sil nebo teploty. Ohyb je spojen s výskytem ohybových momentů v průřezech nosníku. Pokud ze šesti činitelů vnitřní síly v průřezu nosníku je pouze jeden ohybový moment nenulový, ohyb se nazývá čistý:

Pokud v průřezech nosníku existuje kromě ohybového momentu také příčná síla, ohyb se nazývá příčný:

Ve strojírenské praxi se s tím také počítá speciální případ ohyb - podélný I. ( rýže. 1, c), vyznačující se vybočením tyče působením podélných tlakových sil. Současné působení sil směřujících podél osy tyče a kolmo k ní způsobuje podélné příčné ohýbání (rýže. 1, G).

Rýže. 1. Ohyb nosníku: a - čistý: b - příčný; c - podélný; g - podélně-příčně.

Paprsek, který se ohýbá, se nazývá paprsek. Ohyb se nazývá plochý, pokud osa nosníku zůstane po deformaci rovnou čárou. Rovina umístění zakřivené osy nosníku se nazývá rovina ohybu. Rovina působení zatěžovacích sil se nazývá silová rovina. Pokud se rovina síly shoduje s jednou z hlavních rovin setrvačnosti průřezu, ohyb se nazývá přímý. (V opačném případě dochází k šikmému ohybu). Hlavní rovina setrvačnosti příčného řezu je rovina tvořená jednou z hlavních os příčného řezu s podélnou osou nosníku. Když plochý rovný oblouk rovina ohybu a rovina síly se shodují.

Problém kroucení a ohybu nosníku (Saint-Venantův problém) je velmi praktický. Aplikace teorie ohýbání stanovené Navierem představuje rozsáhlé odvětví stavební mechaniky a má obrovský praktický význam, protože slouží jako základ pro výpočet rozměrů a kontrolu pevnosti různých částí konstrukcí: nosníků, mostů, strojních prvků atd.

ZÁKLADNÍ ROVNICE A PROBLÉMY TEORIE ELASTICITY

§ 1. základní rovnice

Nejprve uvedeme obecné shrnutí základních rovnic pro úlohy rovnováhy pružného tělesa, které tvoří obsah oddílu teorie pružnosti, obvykle nazývaného statika pružného tělesa.

Deformovaný stav tělesa je zcela určen tenzorem deformačního pole nebo polem posuvu Složky deformačního tenzoru jsou spojeny s posuny diferenciálními Cauchyovými závislostmi:

(1)

Komponenty deformačního tenzoru musí splňovat Saint-Venantovy diferenciální závislosti:

které jsou nezbytnými a postačujícími podmínkami pro integrovatelnost rovnic (1).

Napjatý stav tělesa je určen tenzorem pole napětí Šest nezávislých složek symetrického tenzoru () musí splňovat tři diferenciální rovnice rovnováhy:

Složky tenzoru napětí A pohyby spojeno šesti rovnicemi Hookova zákona:

V některých případech musí být rovnice Hookeova zákona použity ve formě vzorce

, (5)

Rovnice (1)-(5) jsou základní rovnice statických úloh v teorii pružnosti. Někdy se rovnicím (1) a (2) říká geometrické rovnice, rovnice ( 3) jsou statické rovnice a rovnice (4) nebo (5) jsou fyzikální rovnice. K základním rovnicím, které určují stav lineárně pružného tělesa v jeho vnitřních objemových bodech, je třeba přidat podmínky na jeho povrchu Tyto podmínky se nazývají okrajové. Jsou určeny buď danými vnějšími povrchovými silami nebo určené pohyby body na povrchu těla. V prvním případě jsou okrajové podmínky vyjádřeny rovností:

kde jsou složky vektoru t povrchová síla, - složky jednotkového vektoru n, směřující podél vnější normály k povrchu v dotyčném bodě.

Ve druhém případě jsou okrajové podmínky vyjádřeny rovností

Kde - funkce specifikované na povrchu.

Okrajové podmínky mohou mít i smíšený charakter, kdy na jedné části vnější povrchové síly jsou dány povrchu tělesa a na druhé straně povrchu tělesa jsou dány posuny:

Jiné typy okrajových podmínek jsou také možné. Například na určité ploše povrchu tělesa jsou specifikovány pouze některé složky vektoru posunutí a navíc ne všechny složky vektoru povrchové síly.

§ 2. hlavní problémy statiky pružného tělesa

Podle typu okrajových podmínek se rozlišují tři typy základních statických úloh v teorii pružnosti.

Hlavním úkolem prvního typu je určit složky tenzoru pole napětí v rámci oblasti , obsazené tělesem, a složkou vektoru pohybu bodů uvnitř plochy a povrchové body těles podle daných hmotnostních sil a povrchové síly

Požadovaných devět funkcí musí splňovat základní rovnice (3) a (4) a také okrajové podmínky (6).

Hlavním úkolem druhého typu je určit pohyby body uvnitř oblasti a složku tenzoru pole napětí podle daných hmotnostních sil a podle určených pohybů na povrchu těla.

Funkce, které hledáte A musí splňovat základní rovnice (3) a (4) a okrajové podmínky (7).

Všimněte si, že okrajové podmínky (7) odrážejí požadavek na spojitost definovaných funkcí na hranici tělo, t. j. když vnitřní bod inklinuje k nějakému bodu na povrchu, funkci by měl mít tendenci k dané hodnotě v daném bodě na povrchu.

Hlavním problémem třetího typu nebo smíšeného problému je, že dané povrchové síly působí na jednu část povrchu těla a podle daných posuvů na jiné části povrchu těla a také obecně řečeno podle daných hmotnostních sil je nutné určit složky tenzoru napětí a posunutí , splňující základní rovnice (3) a (4) při splnění smíšených okrajových podmínek (8).

Po vyřešení tohoto problému je možné určit zejména síly na spojích , který musí být aplikován v bodech povrchu, aby se na tomto povrchu realizovaly zadané posuny, a je také možné vypočítat posuny bodů povrchu . Kurz >> Průmysl, výroba

Délka dřevo, To dřevo deformované. Deformace dřevo doprovázené současně... dřevo, polymer atd. Když ohyb dřevo leží na dvou podpěrách... ohyb bude charakterizována vychylovací šipkou. V tomto případě tlakové napětí v konkávní části dřevo ...

Tato kombinace součinitelů vnitřní síly je typická při výpočtu hřídelí. Problém je plochý, protože koncept „šikmého ohybu“ pro nosník kruhového průřezu, ve kterém je hlavní libovolná středová osa, není použitelný. V obecném případě vnějších sil u takového nosníku dochází ke kombinaci následujících typů deformace: přímý příčný ohyb, kroucení a středový tah (tlak). Na Obr. Obrázek 11.5 ukazuje nosník zatížený vnějšími silami, které způsobují všechny čtyři typy deformací.

Diagramy vnitřních sil umožňují identifikovat nebezpečné úseky a diagramy napětí pomáhají identifikovat nebezpečné body v těchto řezech. Tangenciální napětí od příčných sil dosahují maxima na ose nosníku a jsou nevýznamná pro nosník plného průřezu a lze je zanedbat ve srovnání s tangenciálními napětími od krutu, která dosahují maxima v obvodových bodech (bod B).

Nebezpečným úsekem je zapuštění, kde zároveň jsou skvělá hodnota podélné a příčné síly, ohybové a krouticí momenty.

Nebezpečným bodem v tomto úseku bude bod, kde σ x a τ xy dosáhnou významné hodnoty (bod B). V tomto okamžiku působí největší normální napětí z ohybu a smykové napětí z kroucení, stejně jako normální napětí z protahování

Po určení hlavních napětí pomocí vzorce:

najdeme σ červené =

(při použití kritéria nejvyšších tečných napětí m = 4, při použití kritéria specifická energie změny tvaru m = 3).

Dosazením výrazů σ α a τ xy získáme:

nebo s přihlédnutím ke skutečnosti, že W р =2 W z, A= (viz 10.4),

Pokud se hřídel ohýbá ve dvou vzájemně kolmých rovinách, pak ve vzorci místo M z je nutné dosadit M tot =

Redukované napětí σ red nesmí překročit dovolené napětí σ adm stanovené při zkoušení za lineárního namáhání s přihlédnutím k bezpečnostnímu faktoru. Pro dané rozměry a povolená napětí se provede ověřovací výpočet Ze stavu jsou zjištěny rozměry nutné k zajištění bezpečné pevnosti

11.5. Výpočet bezmomentových skořepin otáček

V technice jsou široce používány konstrukční prvky, které lze z hlediska pevnostních a pevnostních výpočtů klasifikovat jako tenké skořepiny. Skořápka je považována za tenkou, pokud je poměr její tloušťky k celkové velikosti menší než 1/20. Pro tenké skořepiny platí hypotéza přímých normál: normálové segmenty ke střední ploše zůstávají po deformaci rovné a neroztažitelné. V tomto případě dochází k lineárnímu rozložení deformací, a tedy normálových napětí (pro malé elastické deformace) po tloušťce skořepiny.

Povrch skořepiny se získá rotací ploché křivky kolem osy ležící v rovině křivky. Pokud je křivka nahrazena přímkou, pak při jejím otočení rovnoběžně s osou se získá kruhová válcová skořepina a při otočení pod úhlem k ose se získá kuželová skořepina.

Ve výpočtových schématech je skořepina reprezentována svou střední plochou (ekvidistantní od předních ploch). Střední plocha je obvykle spojena s křivočarým ortogonálním souřadnicovým systémem Ө a φ. Úhel θ () určuje polohu rovnoběžky s průsečíkem střední plochy s rovinou procházející kolmo k ose rotace.

Obr.11.6 Obr. 11.7

Přes normálu ke středu plochy můžete nakreslit mnoho rovin, které k ní budou kolmé, a v úsecích s ní tvořit čáry s různými poloměry zakřivení. Dva z těchto poloměrů mají extrémní hodnoty. Čáry, kterým odpovídají, se nazývají čáry hlavního zakřivení. Jedna z přímek je poledník, její poloměr zakřivení je označen r 1. Poloměr zakřivení druhé křivky – r 2(střed křivosti leží na ose rotace). Středy poloměru r 1 A r 2 může se shodovat (kulatý plášť), ležet jeden po druhém nebo jeden po druhém různé strany střední plocha, jeden ze středů může jít do nekonečna (válcové a kuželové skořepiny).

Při sestavování základních rovnic vztahujeme síly a posunutí k normálovým řezům skořepiny v rovinách hlavních křivostí. Vytvořme rovnice pro vnitřní úsilí. Uvažujme nekonečně malý skořepinový prvek (obr. 11.6), vyříznutý dvěma sousedními poledníkovými rovinami (s úhly θ a θ+dθ) a dvěma sousedními rovnoběžnými kružnicemi kolmými k ose rotace (s úhly φ a φ+dφ). Jako soustavu promítacích os a momentů volíme pravoúhlou soustavu os x, y, z. Osa y směřuje tečně k meridiánu, os z- podle normálu.

Vzhledem k osové symetrii (zatížení P=0) budou na prvek působit pouze normálové síly. N φ - lineární poledníková síla směřující tangenciálně k poledníku: N θ - lineární prstencová síla směřující tečně ke kružnici. Rovnice ΣХ=0 se stává identitou. Promítneme všechny síly na osu z:

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Zanedbáme-li infinitezimální veličinu vyššího řádu ()r o dθ dφ a vydělíme rovnici r 1 r o dφ dθ, pak vezmeme-li v úvahu, že díky P. Laplaceovi dostaneme rovnici:

Místo rovnice ΣY=0 pro uvažovaný prvek sestavíme rovnovážnou rovnici pro horní část pláště (obr. 11.6). Promítněme všechny síly na osu rotace:

ude: R v - svislý průmět výsledných vnějších sil působících na odříznutou část pláště. Tak,

Dosazením hodnot N φ do Laplaceovy rovnice zjistíme N θ. Určení sil v rotačním plášti podle bezmomentové teorie je staticky definovatelný problém. To bylo možné díky tomu, že jsme okamžitě postulovali zákon změn napětí podél tloušťky pláště - považovali jsme je za konstantní.

V případě kulovitá kupole máme r 1 = r 2 = r a r o = r. Pokud je zatížení specifikováno jako intenzita P na vodorovnou projekci pláště

V poledním směru je tedy kopule rovnoměrně stlačena. Složky plošného zatížení podél normály z se rovná Pz =P. Dosadíme hodnoty N φ a P z do Laplaceovy rovnice a zjistíme z ní:

Prstencové tlakové síly dosahují svého maxima v horní části kopule při φ = 0. Při φ = 45º - N θ =0; při φ > 45-N se θ =0 stává tažným a dosahuje maxima při φ = 90.

Horizontální složka poledníkové síly je rovna:

Uvažujme příklad výpočtu bezmomentové skořápky. Hlavní potrubí je naplněno plynem, jehož tlak se rovná R.

Zde r 1 = R, r 2 = a v souladu s dříve přijatým předpokladem, že napětí jsou rozložena rovnoměrně po celé tl. δ skořápka

kde: σ m - normálová meridionální napětí, a

σ t - obvodová (šířková, prstencová) normálová napětí.

Ohybem rozumíme druh zatížení, při kterém v průřezech nosníku vznikají ohybové momenty. Pokud je ohybový moment v řezu jediným silovým faktorem, pak se ohyb nazývá čistý. Pokud spolu s ohybovým momentem vznikají v průřezech nosníku i příčné síly, pak se ohyb nazývá příčný.

Předpokládá se, že ohybový moment a smyková síla leží v jedné z hlavních rovin nosníku (předpokládejme, že tato rovina je ZOY). Tento typ ohybu se nazývá plochý.

Ve všech níže uvažovaných případech dochází k plochému příčnému ohybu nosníků.

Pro výpočet nosníku na pevnost nebo tuhost je nutné znát součinitele vnitřní síly, které vznikají v jeho řezech. Za tímto účelem jsou sestrojeny diagramy příčných sil (diagram Q) a ohybových momentů (M).

Při ohýbání se přímá osa nosníku ohýbá, neutrální osa prochází těžištěm řezu. Pro jistotu při konstrukci diagramů příčných sil a ohybových momentů pro ně stanovíme znaménková pravidla. Předpokládejme, že ohybový moment bude považován za kladný, pokud se nosníkový prvek ohne konvexně dolů, tzn. takovým způsobem, že jeho stlačená vlákna jsou v horní části.

Pokud moment ohne paprsek konvexně nahoru, bude tento moment považován za negativní.

Při konstrukci diagramu se kladné hodnoty ohybových momentů vykreslují jako obvykle ve směru osy Y, což odpovídá konstrukci diagramu na stlačeném vláknu.

Proto lze pravidlo znamének pro diagram ohybových momentů formulovat následovně: pořadnice momentů jsou vyneseny ze strany vrstev nosníku.

Ohybový moment v řezu rovnající se součtu momenty vzhledem k tomuto řezu všech sil umístěných na jedné straně (buď) řezu.

Pro určení příčných sil (Q) stanovíme pravidlo znaménka: příčná síla je považována za kladnou, pokud má vnější síla tendenci otáčet odříznutou částí nosníku každou hodinu. šipka vzhledem k bodu osy, který odpovídá nakreslenému řezu.

Příčná síla (Q) v libovolném průřezu nosníku je číselně rovna součtu průmětů na osu vnějších sil působících na jeho komolou část.

Uvažujme několik příkladů konstrukce diagramů příčných sil a ohybových momentů. Všechny síly jsou kolmé na osu nosníků, takže vodorovná složka reakce je nulová. Deformovaná osa nosníku a síly leží v hlavní rovině ZOY.

Nosník délky je upnut na jeho levém konci a zatížen soustředěnou silou F a momentem m=2F.

Sestrojme diagramy příčných sil Q a ohybových momentů M z.

V našem případě nejsou na nosníku na pravé straně žádné spoje. Aby se tedy neurčovaly podporové reakce, je vhodné uvažovat o rovnováze pravé odříznuté části nosníku. Daný nosník má dva zatěžovací úseky. Hranice řezů, ve kterých působí vnější síly. 1. úsek - SV, 2. - VA.

Provedeme libovolný řez v řezu 1 a uvažujeme rovnováhu pravé odříznuté části délky Z 1.

Z podmínky rovnováhy vyplývá:

Q=F; M out = -FZ 1 ()

Smyková síla je kladná, protože vnější síla F má tendenci otáčet odříznutou částí ve směru hodinových ručiček. Ohybový moment je považován za negativní, protože ohýbá příslušnou část paprsku konvexní nahoru.

Při sestavování rovnovážných rovnic mentálně fixujeme umístění řezu; z rovnic () vyplývá, že příčná síla v řezu I nezávisí na Z 1 a je konstantní hodnotou. Kladnou sílu Q=F vyneseme na stupnici směrem nahoru od osy paprsku, kolmo k ní.

Ohybový moment závisí na Z 1.

Když Z 1 = O M z =O, když Z 1 = M z =

Výslednou hodnotu () položíme dolů, tzn. diagram M from je postaven na stlačeném vláknu.

Pojďme k druhé části

Řezíme řez II v libovolné vzdálenosti Z 2 od volného pravého konce nosníku a uvažujeme rovnováhu řezané části délky Z 2 . Změnu smykové síly a ohybového momentu na základě podmínek rovnováhy lze vyjádřit následujícími rovnicemi:

Q=FM od = - FZ 2 + 2F

Velikost a znaménko smykové síly se nezměnily.

Velikost ohybového momentu závisí na Z 2 .

Když Z 2 = M z =, když Z 2 =

Ohybový moment se ukázal jako kladný, a to jak na začátku úseku II, tak na jeho konci. V řezu II se nosník ohýbá konvexně dolů.

Vyneseme na stupnici velikost momentů nahoru podél středové osy paprsku (tj. diagram je postaven na stlačeném vláknu). Největší ohybový moment nastává v úseku, kde působí vnější moment m a jeho absolutní hodnota je rovna

Všimněte si, že po délce nosníku, kde Q zůstává konstantní, se ohybový moment M mění lineárně a je v diagramu znázorněn nakloněnými přímkami. Z diagramů Q a M z je zřejmé, že v řezu, kde působí vnější příčná síla, má diagram Q skok o velikost této síly a diagram M z má zlom. V úseku, kde je aplikován vnější ohybový moment, má Miz diagram skok o hodnotu tohoto momentu. To se v Q diagramu neodráží. Z diagramu M to vidíme

max M od =

proto je nebezpečný úsek extrémně blízko na levé straně k tzv.

Pro nosník zobrazený na obr. 13 a sestrojte diagramy příčných sil a ohybových momentů. Nosník je po své délce zatížen rovnoměrně rozloženým zatížením o intenzitě q(KN/cm).

Na podpěře A (pevný závěs) dojde k vertikální reakci R a (horizontální reakce je nulová) a na podpěře B (pohyblivý závěs) k vertikální reakci R v.

Stanovme svislé reakce podpor složením rovnice momentů vzhledem k podporám A a B.

Zkontrolujeme správnost definice reakce:

těch. reakce podpory jsou určeny správně.

Daný nosník má dva zatěžovací úseky: Řez I - AC.

Sekce II - SV.

V prvním úseku a, v aktuálním úseku Z 1 z rovnovážné podmínky odříznuté části máme

Rovnice ohybových momentů na 1 řezu nosníku:

Moment z reakce R a ohne nosník v řezu 1, konvexní stranou dolů, takže ohybový moment z reakce Ra se do rovnice zadá se znaménkem plus. Zatížení qZ 1 ohýbá nosník svou konvexitou nahoru, takže moment z něj se do rovnice zadává se znaménkem mínus. Ohybový moment se mění podle zákona čtvercové paraboly.

Proto je nutné zjistit, zda existuje extrém. Mezi smyková síla Q a ohybový moment existuje diferenciální vztah, jehož analýze se budeme věnovat níže

Jak víte, funkce má extrém, kde je derivace nula. Abychom tedy určili, při jaké hodnotě Z 1 bude ohybový moment extrémní, je nutné rovnici příčné síly přirovnat k nule.

Protože příčná síla v daném úseku mění znaménko z plus na mínus, bude ohybový moment v tomto úseku maximální. Pokud Q změní znaménko z mínus na plus, pak bude ohybový moment v tomto řezu minimální.

Takže ohybový moment v

je maximum.

Proto sestavíme parabolu pomocí tří bodů

Když Z 1 =0 M od =0

Druhý řez odřízneme ve vzdálenosti Z 2 od podpory B. Z podmínky rovnováhy pravé odříznuté části nosníku máme:

Když hodnota Q=konst,

ohybový moment bude:

v, v, tj. M OD

se mění podle lineárního zákona.

Nosník na dvou podpěrách, mající rozpětí 2 a levou konzolu délky, je zatížen, jak je znázorněno na obr. 14, a., kde q(KN/cm) je lineární zatížení. Podpěra A je sklopně stacionární, podpěra B je pohyblivý váleček. Sestrojte diagramy Q a M z.

Řešení problému by mělo začít určením reakcí podpor. Z podmínky, že součet průmětů všech sil na osu Z je roven nule, vyplývá, že vodorovná složka reakce na podpoře A je rovna 0.

Pro kontrolu použijeme rovnici

Rovnováha rovnováhy je splněna, proto jsou reakce vypočteny správně. Přejděme k definování vnitřních silových faktorů. Daný nosník má tři zatěžovací úseky:

• 1. sekce - SA,
• Oddíl 2 – AD,
• Sekce 3 - Dálný východ.

Uřízneme 1 řez ve vzdálenosti Z 1 od levého konce trámu.

při Zi =0 Q=0 MIZ =0

při Z 1 = Q= -q M OD =

Na diagramu příčných sil se tak získá nakloněná přímka a na diagramu ohybových momentů parabola, jejíž vrchol je umístěn na levém konci nosníku.

V řezu II (a Z 2 2a) pro určení součinitelů vnitřní síly uvažujeme rovnováhu levé odříznuté části nosníku o délce Z 2. Z podmínky rovnováhy máme:

Smyková síla v této oblasti je konstantní.

V části III()

Z diagramu vidíme, že největší ohybový moment nastává v řezu pod silou F a je roven. Tento úsek bude nejnebezpečnější.

V diagramu M od je ráz na podpěře B, rovný vnějšímu momentu působícímu v tomto řezu.

Při pohledu na výše zkonstruované diagramy je snadné si všimnout určité přirozené souvislosti mezi diagramy ohybových momentů a diagramy příčných sil. Pojďme to dokázat.

Derivace smykové síly po délce nosníku je rovna modulu intenzity zatížení.

Vynecháním množství vyššího řádu maličkosti dostaneme:

těch. smyková síla je derivací ohybového momentu po délce nosníku.

Vezmeme-li v úvahu získané diferenciální závislosti, lze vyvodit obecné závěry. Pokud je nosník zatížen rovnoměrně rozloženým zatížením o intenzitě q=konst, je zřejmé, že funkce Q bude lineární a M bude kvadratická.

Pokud je nosník zatížen soustředěnými silami nebo momenty, pak v intervalech mezi body jejich působení je intenzita q=0. V důsledku toho Q = konst a M od je lineární funkcí Z. V bodech působení koncentrovaných sil se Q diagram podrobí skoku o velikost vnější síla, a v diagramu M odtud se objeví odpovídající zlom (nespojitost v derivaci).

V bodě, kde působí vnější ohybový moment, je pozorována mezera v momentovém diagramu, která se rovná velikosti působícího momentu.

Pokud Q>0, pak M roste, a pokud Q<0, то М из убывает.

Diferenciální závislosti se používají ke kontrole rovnic sestavených pro konstrukci diagramů Q a M, jakož i k objasnění typu těchto diagramů.

Ohybový moment se mění podle zákona paraboly, jejíž konvexnost vždy směřuje k vnějšímu zatížení.