funkce je korespondence mezi prvky dvou množin, stanovená podle pravidla, že každý prvek jedné množiny je spojen s nějakým prvkem z jiné množiny.
graf funkce je místo body roviny, jejichž úsečka (x) a pořadnice (y) spolu souvisí zadanou funkcí:
bod se nachází (nebo nachází) na grafu funkce právě tehdy, když .
Funkci lze tedy adekvátně popsat jejím grafem.
Tabulková metoda. Poměrně běžným je zadání tabulky individuální hodnoty argument a jejich odpovídající funkční hodnoty. Tato metoda definice funkce se používá, když je definičním oborem funkce diskrétní konečná množina.
Pomocí tabulkové metody zadávání funkce je možné přibližně vypočítat hodnoty funkce, které nejsou obsaženy v tabulce, odpovídající mezilehlým hodnotám argumentu. K tomu použijte metodu interpolace.
Výhody tabulkové metody zadávání funkce jsou v tom, že umožňuje určit určité konkrétní hodnoty okamžitě, bez dalších měření nebo výpočtů. V některých případech však tabulka nedefinuje funkci úplně, ale pouze pro některé hodnoty argumentu a neposkytuje vizuální znázornění povahy změny funkce v závislosti na změně argumentu.
Grafická metoda. Grafem funkce y = f(x) je množina všech bodů v rovině, jejichž souřadnice splňují danou rovnici.
Grafická metoda zadávání funkce neumožňuje vždy přesně určit číselné hodnoty argumentu. Nicméně má velkou výhodou před jinými metodami - viditelnost. Ve strojírenství a fyzice se často používá grafická metoda specifikace funkce a graf je k tomu jediný dostupný způsob.
Aby bylo grafické přiřazení funkce z matematického hlediska zcela správné, je nutné uvést přesné geometrické provedení grafu, které je nejčastěji specifikováno rovnicí. To vede k následujícímu způsobu zadání funkce.
Analytická metoda. Nejčastěji je zákon, který vytváří spojení mezi argumentem a funkcí, specifikován pomocí vzorců. Tato metoda specifikace funkce se nazývá analytická.
Tato metoda umožňuje pro každou číselnou hodnotu argumentu x najít odpovídající číselnou hodnotu funkce y přesně nebo s určitou přesností.
Pokud je vztah mezi x a y dán vzorcem vyřešeným vzhledem k y, tzn. má tvar y = f(x), pak říkáme, že funkce x je dána explicitně.
Pokud hodnoty x a y souvisí nějakou rovnicí ve tvaru F(x,y) = 0, tzn. vzorec není vyřešen pro y, což znamená, že funkce y = f(x) je dána implicitně.
Funkce může být definována různými vzorci v různých částech svého oboru.
Analytická metoda je nejběžnějším způsobem specifikace funkcí. Kompaktnost, stručnost, schopnost vypočítat hodnotu funkce pro libovolnou hodnotu argumentu z definičního oboru, schopnost aplikovat aparát matematické analýzy na danou funkci, to jsou hlavní výhody analytické metody zadávání a funkce. Mezi nevýhody patří nedostatečná viditelnost, která je kompenzována schopností sestavit graf a nutností provádět někdy velmi těžkopádné výpočty.
Verbální metoda. Tato metoda spočívá ve vyjádření funkční závislosti slovy.
Příklad 1: funkce E(x) je celočíselná část x. Obecně platí, že E(x) = [x] označuje největší celé číslo, které nepřesahuje x. Jinými slovy, pokud x = r + q, kde r je celé číslo (může být záporné) a q patří do intervalu = r. Funkce E(x) = [x] je na intervalu = r konstantní.
Příklad 2: funkce y = (x) je zlomková část čísla. Přesněji y =(x) = x - [x], kde [x] je celá část čísla x. Tato funkce je definována pro všechna x. Je-li x libovolné číslo, pak jej reprezentujte jako x = r + q (r = [x]), kde r je celé číslo a q leží v intervalu .
Vidíme, že přidání n do argumentu x nezmění hodnotu funkce.
Nejmenší nenulové číslo v n je , takže perioda je sin 2x .
Zavolá se hodnota argumentu, při které je funkce rovna 0 nula (vykořenit) funkce.
Funkce může mít více nul.
Například funkce y = x (x + 1) (x-3) má tři nuly: x = 0, x = - 1, x = 3.
Geometricky je nula funkce úsečkou průsečíku grafu funkce s osou X .
Obrázek 7 ukazuje graf funkce s nulami: x = a, x = b a x = c.
Pokud se graf funkce neomezeně přibližuje k určité přímce, když se vzdaluje od počátku, pak se tato přímka nazývá asymptota.
Inverzní funkce
Nechť je dána funkce y=ƒ(x) s definičním oborem D a množinou hodnot E Pokud každá hodnota yєE odpovídá jedné hodnotě xєD, pak je funkce x=φ(y) definována s a. doména definice E a množina hodnot D (viz obr. 102).
Taková funkce φ(y) se nazývá inverzní funkce ƒ(x) a je zapsána následující formulář: x=j(y)=f -1 (y). O funkcích y=ƒ(x) a x=φ(y) se říká, že jsou vzájemně inverzní. K nalezení funkce x=φ(y), inverzní k funkci y=ƒ (x), stačí vyřešit rovnici ƒ(x)=y pro x (pokud je to možné).
1. Pro funkci y=2x je inverzní funkcí funkce x=y/2;
2. Pro funkci y=x2 xє je inverzní funkce x=√y; všimněte si, že pro funkci y=x 2 definovanou na segmentu [-1; 1], inverzní neexistuje, protože jedna hodnota y odpovídá dvěma hodnotám x (takže, pokud y = 1/4, pak x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Z definice inverzní funkce vyplývá, že funkce y=ƒ(x) má inverzní právě tehdy, když funkce ƒ(x) udává vzájemnou shodu mezi množinami D a E. Z toho vyplývá, že přísně monotónní funkce má inverzní. Navíc, pokud funkce roste (klesá), pak se zvyšuje (snižuje) i inverzní funkce.
Všimněte si, že funkce y=ƒ(x) a její inverzní x=φ(y) jsou znázorněny stejnou křivkou, tj. jejich grafy se shodují. Pokud se dohodneme, že jako obvykle se nezávislá proměnná (tedy argument) označí x a závislá proměnná y, pak inverzní funkci funkce y=ƒ(x) zapíšeme ve tvaru y=φ( x).
To znamená, že bod M 1 (x o;y o) křivky y=ƒ(x) se stává bodem M 2 (y o;x o) křivky y=φ(x). Ale body M 1 a M 2 jsou symetrické vzhledem k přímce y=x (viz obr. 103). Proto jsou grafy vzájemně inverzních funkcí y=ƒ(x) a y=φ(x) symetrické vzhledem k ose prvního a třetího úhlu souřadnic.
Komplexní funkce
Nechť je na množině D definována funkce у=ƒ(u) a na množině D 1 funkce u= φ(х) a pro x D 1 odpovídající hodnota u=φ(х) є D. Pak na množině D 1 funkce u=ƒ(φ(x)), která se nazývá komplexní funkce x (nebo superpozice daných funkcí, nebo funkce funkce).
Proměnná u=φ(x) se nazývá mezilehlý argument komplexní funkce.
Například funkce y=sin2x je superpozicí dvou funkcí y=sinu a u=2x. Složitá funkce může mít několik mezilehlých argumentů.
4. Základní elementární funkce a jejich grafy.
Následující funkce se nazývají hlavní elementární funkce.
1) Exponenciální funkce y=a x,a>0, a ≠ 1. Na Obr. Zobrazeno 104 grafů exponenciální funkce, odpovídající různým stupňům základů.
2) Mocninná funkce y=x α, αєR. Příklady grafů mocenské funkce, odpovídající různým exponentům, jsou poskytnuty na obrázcích
3) Logaritmická funkce y=log a x, a>0,a≠1 Grafy logaritmických funkcí odpovídajících různým bázím jsou na Obr. 106.
4) Goniometrické funkce y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafy goniometrické funkce mají tvar znázorněný na obr. 107.
5) Inverzní goniometrické funkce y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Na Obr. 108 ukazuje grafy inverzních goniometrických funkcí.
Funkce definovaná jediným vzorcem složeným ze základních elementární funkce a konstant využívající konečný počet aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) a operací převzetí funkce z funkce, se nazývá elementární funkce.
Příkladem elementárních funkcí jsou funkce
Příkladem neelementárních funkcí jsou funkce
5. Pojmy limity posloupnosti a funkce. Vlastnosti limit.
Funkční limit (mezní hodnota funkce) v daném bodě, omezující definiční obor funkce, je hodnota, ke které se hodnota uvažované funkce blíží, když její argument směřuje k danému bodu.
V matematice limit sekvence prvky metrického prostoru nebo topologického prostoru jsou prvkem stejného prostoru, který má vlastnost „přitahovat“ prvky dané sekvence. Limita posloupnosti prvků topologického prostoru je takový bod, že každé jeho okolí obsahuje všechny prvky posloupnosti, počínaje určitým číslem. V metrickém prostoru jsou okolí definována pomocí funkce vzdálenosti, takže koncept limity je formulován v jazyce vzdáleností. Historicky první byl koncept limity číselné posloupnosti, vzniklý v matematická analýza, kde slouží jako základ pro systém aproximací a je široce používán při konstrukci diferenciálního a integrálního počtu.
Označení:
(čte se: limita x-n-té posloupnosti, protože en má tendenci k nekonečnu, je rovna a)
Vlastnost posloupnosti s limitou se nazývá konvergence: pokud má posloupnost limitu, pak se říká, že tato posloupnost konverguje; jinak (pokud posloupnost nemá žádné omezení) se říká, že posloupnost je se rozchází. V Hausdorffově prostoru a zvláště v metrickém prostoru každá podposloupnost konvergentní posloupnosti konverguje a její limita se shoduje s limitou původní posloupnosti. Jinými slovy, posloupnost prvků Hausdorffova prostoru nemůže mít dvě různé limity. Může se však ukázat, že posloupnost nemá limitu, ale existuje podposloupnost (dané posloupnosti), která limitu má. Pokud lze konvergentní podposloupnost identifikovat z libovolné posloupnosti bodů v prostoru, pak se o daném prostoru říká, že má vlastnost sekvenční kompaktnosti (nebo jednoduše kompaktnosti, pokud je kompaktnost definována výhradně v posloupnostech).
Pojem limita posloupnosti přímo souvisí s pojmem limitního bodu (množiny): pokud má množina limitní bod, pak existuje posloupnost prvků této množiny sbíhající se k tomuto bodu.
Definice
Nechť je dán topologický prostor a posloupnost, existuje-li prvek takový, že
kde je otevřená množina obsahující , pak se nazývá limita posloupnosti. Pokud je prostor metrický, pak lze limit definovat pomocí metriky: pokud existuje prvek takový, že
kde je metrika, nazývá se limita.
· Pokud je prostor vybaven antidiskrétní topologií, pak limitem jakékoli sekvence bude jakýkoli prvek prostoru.
6. Limita funkce v bodě. Jednostranné limity.
Funkce jedné proměnné. Určení limity funkce v bodě podle Cauchyho.Číslo b nazýváme limita funkce na = F(x) v X, usilovat o A(nebo na místě A), jestliže pro libovolné kladné číslo existuje kladné číslo takové, že pro všechna x ≠ a, takové, že | x – A | < , выполняется неравенство
| F(x) – A | < .
Určení limity funkce v bodě podle Heineho.Číslo b nazýváme limita funkce na = F(x) v X, usilovat o A(nebo na místě A), pokud pro jakoukoli sekvenci ( x n), konvergující k A(míří na A s limitním číslem A), a v jakékoli hodnotě n x n ≠ A, podsekvence ( y n= F(x n)) konverguje k b.
Tyto definice předpokládají, že funkce na = F(x) je definován v nějakém okolí bodu A, snad kromě samotného bodu A.
Cauchyho a Heineho definice limity funkce v bodě jsou ekvivalentní: pokud číslo b slouží jako limit pro jeden z nich, pak to platí i pro druhý.
Stanovený limit je označen takto:
Geometricky existence limity funkce v bodě podle Cauchyho znamená, že pro libovolné číslo > 0 lze na souřadnicové rovině označit takový obdélník se základnou 2 > 0, výškou 2 a středem v bodě. ( A; b), že všechny body grafu dané funkce na intervalu ( A– ; A+ ), snad s výjimkou bodu M(A; F(A)), leží v tomto obdélníku
Jednostranný limit v matematické analýze limita numerické funkce, což znamená „přiblížení“ k limitnímu bodu na jedné straně. Takové limity se nazývají odpovídajícím způsobem levý limit(nebo limit doleva) A pravý limit (omezit doprava). Nechť je uvedena nějaká číselná množina numerická funkce a číslo je limitním bodem definičního oboru. Pro jednostranné limity funkce v bodě existují různé definice, ale všechny jsou ekvivalentní.
>>Matematika: Metody specifikace funkce
Metody pro specifikaci funkce
Uvedením různých příkladů funkcí v předchozím odstavci jsme poněkud ochudili samotný pojem funkce.
Definovat funkci totiž znamená specifikovat pravidlo, které umožňuje vypočítat odpovídající hodnotu y z libovolně zvolené hodnoty x z B(0. Nejčastěji je toto pravidlo spojeno se vzorcem nebo více vzorci - tento způsob zadání funkce se obvykle nazývá analytické Všechny funkce popsané v § 7 byly dány analyticky. Mezitím existují další způsoby, jak definovat funkci, o kterých bude pojednáno v této části.
Pokud byla funkce zadána analyticky a podařilo se nám sestrojit graf funkce, pak jsme vlastně přešli od analytického způsobu zadávání funkce ke grafickému. Opačný přechod není vždy možný. Zpravidla se jedná o poměrně obtížný, ale zajímavý úkol.
Ne každou přímku v souřadnicové rovině lze považovat za graf nějaké funkce. Například kružnice definovaná rovnicí x 2 + y 2 - 9 (obr. 51) není grafem funkce, protože jakákoli přímka x = a, kde | a |<3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).
Zároveň, pokud je tento kruh rozříznut na dvě části - horní půlkruh (obr. 52) a spodní půlkruh (obr. 53), pak každý z půlkruhů lze považovat za graf nějaké funkce a v obou případech je snadné přejít z grafického způsobu zadání funkce na analytický.
Z rovnice x 2 + y 2 = 9 zjistíme y 2 = 9 - x 2 a dále 
Grafem funkce je horní půlkruh kruhu x 2 + y 2 = 9 (obr. 52) a grafem funkce dolní půlkruh kruhu x 2 + y 2 = 9 (obr. 53) .
Tento příklad nám umožňuje upozornit na jednu významnou okolnost. Podívejte se na graf funkce (obr. 52). Hned je jasné, že D(f) = [-3, 3]. A pokud bychom mluvili o analytickém nalezení domény definice danou funkci Pak bychom museli, stejně jako v § 7, věnovat čas a úsilí řešení nerovnice, proto se obvykle snaží pracovat současně s analytickými i grafickými metodami zadávání funkcí. Po dvou letech studia algebry ve škole už jste si na to ale zvykli.
Kromě analytické a grafické se v praxi používá tabulková metoda specifikace funkce. Pomocí této metody je k dispozici tabulka, která uvádí hodnoty funkce (někdy přesné, někdy přibližné) pro konečnou sadu hodnot argumentů. Příkladem tabulkových funkcí mohou být tabulky druhých mocnin čísel, kostky čísel, odmocniny atd.
V mnoha případech je vhodná tabulková specifikace funkce. Umožňuje vám najít hodnotu funkce pro hodnoty argumentů dostupné v tabulce bez jakýchkoli výpočtů.
Analytické, grafické, tabulkové - naitabulární, jednodušší, a tedy nejoblíbenější funkce slovních úloh, tyto metody jsou pro naše potřeby zcela dostačující. Ve skutečnosti existuje v matematice poměrně mnoho různých způsobů, jak definovat funkci, ale my vám představíme pouze jednu další metodu, která se používá ve velmi zvláštních situacích. Mluvíme o verbální metodě, kdy je pravidlo pro specifikaci funkce popsáno slovy. Uveďme příklady.
Příklad 1
Funkce y = f(x) je definována na množině všech nezáporných čísel pomocí další pravidlo: každé číslo x > 0 je přiřazeno na první desetinné místo v desetinném zápisu čísla x. Pokud řekněme x = 2,534, pak f(x) = 5 (první desetinné místo je číslo 5); jestliže x = 13,002, pak f(x) = 0; pokud tedy zapíšeme 0,6666... jako nekonečný desetinný zlomek, zjistíme f(x) = 6. Jaká je hodnota f(15)? Rovná se 0, protože 15 = 15 000..., a vidíme, že první desetinné místo za desetinnou čárkou je 0 (ve skutečnosti je také pravda rovnost 15 = 14 999..., ale matematici souhlasili, že nebudou uvažujme nekonečné periodické desetinné zlomky s tečkou 9).
Jakékoli nezáporné číslo x lze zapsat jako desetinný(konečná nebo nekonečná), a proto pro každou hodnotu x můžeme najít určitou hodnotu prvního desetinného místa, takže můžeme mluvit o funkci, i když poněkud neobvyklé. Tato funkce 
Příklad 2
Funkce y = f(x) je definována na množině všech reálných čísel pomocí následujícího pravidla: každé číslo x je spojeno s největším ze všech celých čísel, která nepřesahují x. Jinými slovy, funkce y = f(x) je určena následujícími podmínkami:
a) f(x) - celé číslo;
b) f(x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
c) f(x) + 1 > x (protože f(x) je největší celé číslo nepřesahující x, což znamená, že f(x) + 1 je již větší než r). Pokud řekněme x = 2,534, pak f(x) = 2, protože za prvé je 2 celé číslo a za druhé 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
Tato funkce má (množinu celých čísel).
Funkce diskutovaná v příkladu 2 se nazývá celočíselná část čísla; pro celočíselnou část čísla x použijte zápis [x]. Například = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Graf funkce y = [x] vypadá velmi zvláštně (obr. 54).
Udělejme několik vysvětlujících poznámek ke specifikaci funkce analytickým výrazem nebo vzorcem, který hraje v matematické analýze mimořádně důležitou roli.
1° Především, jaké analytické operace nebo akce lze zahrnout do těchto vzorců? Na prvním místě jsou zde myšleny všechny operace studované v elementární algebře a trigonometrii: aritmetické operace, umocňování (a extrakce odmocnin), logaritmus, přechod od úhlů k jejich goniometrickým veličinám a zpět [viz. pod 48 - 51]. Nicméně, a to je důležité zdůraznit, jak se budou naše informace o analýze vyvíjet, k jejich počtu budou přibývat další operace, především přechod na limit, který je čtenáři již znám z kapitoly I.
Tedy, plný obsah Pojem „analytický výraz“ nebo „vzorec“ bude odhalován až postupně.
2° Druhá poznámka se týká rozsahu definování funkce analytickým výrazem nebo vzorcem.
Každý analytický výraz obsahující argument x má, abych tak řekl, přirozený rozsah: toto je množina všech hodnot x, pro které si zachovává význam, to znamená, že má dobře definovanou, konečnou, skutečnou hodnotu. Pojďme si to vysvětlit na jednoduchých příkladech.
Takže pro výraz bude taková oblast celá množina reálných čísel. Pro vyjádření bude tato oblast redukována na uzavřený interval, za kterým její hodnota přestává být reálná. Naopak výraz bude muset obsahovat otevřený interval jako přirozenou oblast použití, protože na koncích se jeho jmenovatel změní na 0. Někdy se rozsah hodnot, pro které si výraz zachovává svůj význam, skládá z izolovaných intervalů: k tomu budou intervaly pro - intervaly atd.
Jako poslední příklad uvažujme součet nekonečné geometrické posloupnosti
Pokud tedy, jak víme, tato hranice existuje a záleží na ní. Když je limit buď stejný, nebo vůbec neexistuje. Pro daný analytický výraz by tedy přirozenou doménou aplikace byl otevřený interval
V následné prezentaci budeme muset uvažovat jak o složitějších, tak o obecnějších analytických výrazech a nejednou se budeme věnovat studiu vlastností funkcí specifikovaných takovým výrazem v celé oblasti, kde si zachovává svůj význam, tedy při studiu samotného analytického aparátu.
Možný je však i jiný stav, na který považujeme za nutné čtenáře předem upozornit. Představme si, že nějaká konkrétní otázka, ve které je proměnná x v podstatě omezena na variační rozsah X, vedla k úvaze o funkci schopné analytického vyjádření. I když se může stát, že tento výraz má význam mimo oblast X, je samozřejmě stále nemožné ji překročit. Analytický výraz zde hraje vedlejší, pomocnou roli.
Pokud například studujeme volný pád těžkého bodu z výšky nad zemským povrchem, uchýlíme se ke vzorci
Bylo by absurdní uvažovat o záporných hodnotách t nebo hodnotách vyšších, protože, jak je snadné vidět, bod již spadne na zem. A to přesto, že si výraz sám zachovává význam pro všechny skutečné.
3° Může se stát, že funkce není určena stejným vzorcem pro všechny hodnoty argumentu, ale pro některé - jedním vzorcem a pro jiné - jiným. Příkladem takové funkce v intervalu je funkce definovaná následujícími třemi vzorci:
a nakonec, pokud .
Zmiňme také Dirichletovu funkci (P. G. Lejeune-Dinchlet), která je definována takto:
Nakonec se společně s Kroneckerem (L. Kroneckcf) podíváme na funkci, kterou nazval „signum“ a označil ji
Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
Jak používáme vaše osobní údaje:
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.
Je dána funkce %%y = f(x), x \in X%%. explicitním analytickým způsobem, pokud je uveden vzorec udávající posloupnost matematických operací, které je třeba provést s argumentem %%x%%, aby se získala hodnota %%f(x)%% této funkce.
Tedy například ve fyzice s rovnoměrným zrychlením přímý pohyb rychlost tělesa je určena vzorcem %%v = v_0 + a t%% a vzorcem pro pohyb %%s%% tělesa s rovnoměrně zrychleným pohybem po dobu od %%0%% do %% t%% se zapisuje jako: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.
Někdy může být daná funkce specifikována několika vzorci, na které působí různé oblasti definiční obor, ve kterém se mění argument funkce. Například: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
Funkce tohoto typu se někdy nazývají kompozitní nebo po částech specifikováno. Příkladem takové funkce je %%y = |x|%%
Pokud je funkce specifikována explicitním analytickým způsobem pomocí vzorce, ale není specifikován obor definice funkce ve formě množiny %%D%%, pak výrazem %%D%% budeme vždy mínit množinu hodnot argumentu %%x%%, pro které má tento vzorec smysl . Takže pro funkci %%y = x^2%% je doménou definice množina %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, protože argument %%x%% může nabývat jakýchkoli hodnot číselná řada. A pro funkci %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% bude doménou definice množina hodnot %%x%% splňující nerovnost %%1 - x^2 > 0 % %, t .e. %%D = (-1, 1)%%.
Všimněte si, že explicitní analytická metoda specifikace funkce je poměrně kompaktní (vzorec zpravidla zabírá málo místa), snadno se reprodukuje (vzorec není obtížné napsat) a je nejvhodnější pro provádění matematických operací a transformací. na funkcích.
Některé z těchto operací - algebraické (sčítání, násobení atd.) - dobře známe z kurzu školní matematiky, jiné (diferenciace, integrace) budeme studovat v budoucnu. Tato metoda však není vždy jasná, protože povaha závislosti funkce na argumentu není vždy jasná a někdy jsou k nalezení hodnot funkce vyžadovány těžkopádné výpočty (pokud jsou nutné).
Funkce %%y = f(x)%% definována implicitním analytickým způsobem, pokud je dán vztah $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ spojující hodnoty funkce %%y%% a argumentu %% x %%. Pokud zadáte hodnoty argumentu, pak abyste našli hodnotu %%y%% odpovídající konkrétní hodnotě %%x%%, musíte vyřešit rovnici %%(1)%% pro %% y%% při této konkrétní hodnotě %%x%%.
Pro daná hodnota%%x%% rovnice %%(1)%% nemusí mít žádné řešení nebo mít více než jedno řešení. V prvním případě zadaná hodnota %%x%% nepatří do definičního oboru implicitně specifikované funkce a ve druhém případě určuje vícehodnotová funkce, který má pro danou hodnotu argumentu více než jeden význam.
Všimněte si, že pokud lze rovnici %%(1)%% explicitně vyřešit s ohledem na %%y = f(x)%%, pak získáme stejnou funkci, ale již specifikovanou explicitním analytickým způsobem. Takže rovnice %%x + y^5 - 1 = 0%%
a rovnost %%y = \sqrt(1 - x)%% definuje stejnou funkci.
Když není dána přímo závislost %%y%% na %%x%%, ale místo toho jsou dány závislosti obou proměnných %%x%% a %%y%% na nějaké třetí pomocné proměnné %%t%% ve formuláři
$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$ o čem mluví parametrické způsob specifikace funkce;
pak se pomocná proměnná %%t%% nazývá parametr.
Pokud je možné eliminovat parametr %%t%% z rovnic %%(2)%%, pak dospějeme k funkci definované explicitní nebo implicitní analytickou závislostí %%y%% na %%x%% . Například ze vztahů $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ kromě pro parametr % %t%% získáme závislost %%y = 2 x + 2%%, která definuje přímku v rovině %%xOy%%.
Příklad grafický úkol funkcí
Výše uvedené příklady ukazují, že analytická metoda specifikace funkce odpovídá její grafický obrázek, což lze považovat za pohodlnou a vizuální formu popisu funkce. Někdy používané grafická metoda určení funkce, kdy závislost %%y%% na %%x%% je určena úsečkou v rovině %%xOy%%. Přes veškerou jasnost však ztrácí přesnost, protože hodnoty argumentu a odpovídající hodnoty funkcí lze z grafu získat pouze přibližně. Výsledná chyba závisí na měřítku a přesnosti měření úsečky a pořadnice jednotlivých bodů grafu. V následujícím textu přiřadíme grafu funkce pouze roli znázornění chování funkce a omezíme se proto na konstrukci „náčrtů“ grafů, které odrážejí hlavní rysy funkcí.
Poznámka tabulková metoda přiřazení funkcí, kdy jsou některé hodnoty argumentů a odpovídající hodnoty funkcí umístěny v tabulce v určitém pořadí. Takto se konstruují známé tabulky goniometrických funkcí, tabulky logaritmů atd. Vztah mezi veličinami měřenými při experimentální studie, pozorování, testy.
Nevýhodou této metody je, že není možné přímo určit funkční hodnoty pro hodnoty argumentů, které nejsou zahrnuty v tabulce. Pokud existuje jistota, že hodnoty argumentů, které nejsou uvedeny v tabulce, patří do oblasti definice dané funkce, lze odpovídající hodnoty funkce přibližně vypočítat pomocí interpolace a extrapolace.
| x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
| y | 9 | 23 | 80 | 110 |
Funkci lze nastavit algoritmický(nebo software) způsobem, který je široce používán v počítačových výpočtech.
Konečně lze poznamenat popisný(nebo slovní) způsob, jak určit funkci, kdy je pravidlo pro shodu hodnot funkce s hodnotami argumentu vyjádřeno slovy.
Například funkce %%[x] = m~\forall (x \in )
