Pojem funkce Metody specifikace funkce Příklady funkcí Analytická definice funkce Grafická metoda specifikace funkce Limita funkce v bodě Tabulková metoda specifikace funkce věta o limitách jednoznačnost limitní ohraničenosti funkce s limitou přechod k limitě v nerovnosti Limita funkce v nekonečnu Infinitezimální funkce Vlastnosti nekonečně malých funkcí
Pojem funkce je základní a výchozí, stejně jako pojem množiny. Nechť X je nějaká množina reálných čísel x. Je-li každé x € X podle nějakého zákona spojeno s určitým reálným číslem y, pak říkají, že na množině X je dána funkce, a takto zavedenou funkci nazýváme numerickou. V tomto případě se množina X nazývá definičním oborem funkce a nezávislá proměnná x se nazývá argument. K označení funkce někdy používají pouze symbol, který označuje zákon korespondence, tedy místo f(x) n a šašek jednoduše /. Funkce je tedy dána, pokud je zadán 1) obor definice 2) pravidlo /, které každé hodnotě přiřadí a: € X určitý počet y = /(x) - hodnota funkce odpovídající této hodnotě argumentu x. Funkce / a g se nazývají rovné, pokud se jejich definiční obory shodují a rovnost f(x) = g(x) platí pro jakoukoli hodnotu argumentu x z jejich společného definičního oboru. Funkce y se tedy nerovnají; rovnají se pouze na intervalu [O, I]. Příklady funkcí. 1. Posloupnost (o„) je funkcí celočíselného argumentu definovaného na množině přirozených čísel tak, že /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funkce y = n? (čtěte „en-factorial“). Dáno na množině přirozených čísel: každé přirozené číslo n je spojeno se součinem všech přirozených čísel od 1 do n včetně: a podle konvence předpokládáme 0! = 1. Označení znak pochází z latinského slova signum - znak. Tato funkce je definována na celé číselné řadě, její množina hodnot se skládá ze tří čísel -1,0, I (obr. 1). y = |x), kde (x) označuje celočíselnou část reálného čísla x, tj. [x| - největší celé číslo nepřesahující Read: -y se rovná antie x” (francouzsky entier). Tato funkce je uvedena na celé číselné ose a množina všech jejích hodnot se skládá z celých čísel (obr. 2). Metody specifikace funkce Analytické specifikace funkce Funkce y = f(x) je považována za analyticky specifikovanou, pokud je určena pomocí vzorce udávajícího, jaké akce musí být provedeny s každou hodnotou x, aby se získala odpovídající hodnota y . Například funkce je specifikována analyticky. Definiční obor funkce (pokud není předem specifikován) je v tomto případě chápán jako množina všech reálných hodnot argumentu x, pro které analytický výraz definující funkci přijímá pouze reálné a konečné hodnoty . V tomto smyslu se definiční obor funkce nazývá také doménou její existence. U funkce je definičním oborem segment U funkce y - sin x je definičním oborem celá číselná osa. Všimněte si, že ne každý vzorec definuje funkci. Vzorec například nedefinuje žádnou funkci, protože neexistuje jediná reálná hodnota x, při které skutečné hodnoty oba kořeny napsané výše. Analytická úloha funkce může vypadat poměrně složitě. Zejména může být funkce specifikována různými vzorci na jeho doména definice. Funkce může být například definována takto: 1.2. Grafický způsob zadání funkce O funkci y = f(x) se říká, že je zadaná graficky, pokud je dán její graf, tzn. množina bodů (xy/(x)) na rovině xOy, jejichž úsečky patří do definičního oboru funkce a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce (obr. 4). Ne pro každou funkci lze její graf znázornit na obrázku. Například Dirichletova funkce, je-li x racionální, je-li x iracionální, ZX \o, takový obraz neumožňuje. Funkce R(x) je uvedena na celé číselné ose a množina jejích hodnot se skládá ze dvou čísel 0 a 1. 1.3. Tabulková metoda zadávání funkce Funkce se nazývá tabulková, pokud je k dispozici tabulka, ve které jsou pro některé hodnoty argumentů uvedeny číselné hodnoty funkce. Při zadávání funkce v tabulce se její definiční doména skládá pouze z hodnot x\t x2i..., xn uvedených v tabulce. §2. Limita funkce v bodě Koncept limity funkce je ústřední matematická analýza. Nechť je funkce f(x) definována v nějakém okolí Q bodu xq, snad kromě bodu redefinice (Cauchy). Číslo A se nazývá limita funkce f(x) v bodě xo, jestliže pro libovolné číslo e > 0, které může být libovolně malé, existuje číslo<5 >0, takže pro všechny iGH.i^ x0 splňující podmínku je nerovnost pravdivá Pojem funkce Metody zadání funkce Příklady funkcí Analytické nastavení funkce Grafický způsob zadání funkce Limita funkce v bodě Tabulková metoda určení funkční věty o limitách jednoznačnost limitní ohraničenosti funkce mající přechodovou limitu k limitě v nerovnosti Limita funkce v nekonečnu Infinitezimální funkce Vlastnosti infinitezimálních funkcí Zápis: Pomocí logických symbolů je tato definice vyjádřena následovně Příklady . 1. Pomocí definice limity funkce v bodě ukažte, že Funkce je definována všude, včetně bodu zo = 1: /(1) = 5. Vezměte libovolný. Aby byla nerovnost |(2x + 3) - 5| proběhly, musí být uspokojeny následující nerovnosti Pokud tedy vezmeme, máme. To znamená, že číslo 5 je limita funkce: v bodě 2. Pomocí definice limity funkce ukažte, že Funkce není definována v bodě xo = 2. Uvažujme /(x) v nějakém okolí bod Xq = 2 např. na intervalu ( 1, 5), který neobsahuje bod x = 0, ve kterém je funkce f(x) také nedefinovaná. Vezměme libovolné číslo s > 0 a transformujme výraz |/(x) - 2| pro x φ 2 takto Pro x b (1, 5) dostaneme nerovnost Je jasné, že pokud vezmeme 6 = c, pak pro všechna x € (1,5) za podmínky bude nerovnost platit číslo A - 2 je limita dané funkce v bodě Uveďme geometrické vysvětlení pojmu limita funkce v bodě odkazem na její graf (obr. 5). Pro x jsou hodnoty funkce /(x) určeny souřadnicemi bodů křivky M\M a pro x > xo - souřadnicemi bodů křivky MM2. Hodnota /(x0) je určena ordinátou bodu N. Graf této funkce získáme, když vezmeme „dobrou“ křivku M\MMg a nahradíme bod M(x0, A) na křivce bodem jV. Ukažme, že v bodě xo má funkce f(x) limitu, rovnající se číslu A (souřadnice bodu M). Vezměte libovolné (jakkoli malé) číslo e > 0. Označte na ose Oy body s pořadnicemi A, A - e, A + e Označme P a Q průsečíky grafu funkce y = /(x) s přímkami y = A- epy = A + e Nechť úsečky těchto bodů jsou x0 - Al x0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Z obrázku je zřejmé, že pro libovolné x Ф x0 z intervalu (x0 - h\, x0 + hi) je hodnota funkce /(x) obsažena mezi. pro všechna x ^ xo splňující podmínku platí nerovnost. Pak bude interval obsažen v intervalu a tedy nerovnost or, která je stejná, bude splněna pro všechna x splňující podmínku že Funkce y = /(x) má tedy limitu A v bodě x0, jestliže bez ohledu na to, jak úzký je e-proužek mezi přímkami y = A - eny = A + e, existuje 5 > 0 takové, že pro všechna x z proraženého okolí bodu x0 se body grafu funkce y = /(x) ocitnou uvnitř zadaného e-pásku. Poznámka 1. Hodnota b závisí na e: 6 = 6(e). Poznámka 2. Při určování limity funkce v bodě Xq je samotný bod xo vyloučen z úvahy. Hodnota funkce v bodě Ho ns tedy ovlivňuje limitu funkce v tomto bodě. Navíc funkce nemusí být ani definována v bodě Xq. Proto dvě funkce, které jsou si rovny v okolí bodu Xq, snad kromě samotného bodu xo (ve kterém mohou mít různé významy , jeden z nich nebo oba dohromady mohou být nedefinované), mají stejnou limitu pro x - Xq nebo obě nemají žádnou limitu. Odtud zejména vyplývá, že abychom našli limitu zlomku v bodě xo, je legální tento zlomek redukovat na stejné výrazy, které zanikají v x = Xq. Příklad 1. Najít Funkce /(x) = j pro všechna x Ф 0 je rovna jedné, ale v bodě x = 0 není definována. Nahradíme-li /(x) funkcí d(x) = 1 rovnající se jí v x 0, získáme pojem funkce Metody specifikace funkce Příklady funkcí Analytické nastavení funkce Grafická metoda specifikace funkce Limita funkce v bodě Tabulková metoda určení funkce věta o limitách jednoznačnost limity omezenost funkce, mající limitu, přechod k limitě v nerovnosti Limita funkce v nekonečnu Infinitezimální funkce Vlastnosti nekonečně malých funkcí Příklad 2 Najděte lim /(x), kde Funkce se všude shoduje s funkcí /(x), kromě bodu x = 0, a má v bodě x = 0 limit rovný nule: lim d(x) = 0 (ukažte to! ). Proto lim /(x) = 0. Problém. Formulujte pomocí nerovnic (v jazyce e -6), což znamená Nechť je funkce /(i) definována v nějakém okolí Π bodu x0, snad kromě samotného bodu x0. Definice (Heine). Číslo A se nazývá limita funkce /(x) v bodě x0, jestliže pro libovolnou posloupnost (xn) hodnot argumentu x 6 P, z„ / x0) konvergující k bodu x0 odpovídající posloupnost hodnot funkce (f(x„)) konverguje k číslu A. Výše uvedenou definici je vhodné použít, když je potřeba zjistit, že funkce /(x) nemá limitu v bodě x0. K tomu stačí najít nějakou posloupnost (f(xn)), která nemá limitu, nebo označit dvě posloupnosti (f(xn)) a (f(xn)), které mají různé limity , že funkce iia /(x) = sin j (obr. 7), definovaná VŠUDE, kromě BODU X = O, obr. 7 nemá limitu v bodě x = 0. Uvažujme dvě posloupnosti (konvergující k bodu x = 0. Hodnoty odpovídajících posloupností funkce /(x) konvergují k různým limitám: posloupnost (sinnTr) konverguje k nule a posloupnost (sin(5 + - k jedné. To znamená, že funkce /( x) = sin j v bodě x = 0 nemá limitu Poznámka: Obě definice limity funkce v bodě (Cauchyho definice a Heineova definice) jsou ekvivalentní Věta o limitě 1 (jednoznačnost limity If). funkce f(x) má limitu v bodě xo, pak je tato limita jednoznačná Nechť lim /(x) = A. Ukažme, že žádné číslo B φ A nemůže být limitou x-x0 funkce /(. x) v bodě x0. Skutečnost, že lim /(x) φ pomocí logických symbolů XO je formulována následovně: Pomocí nerovnosti, kterou získáme, vezměte e = > 0. Protože lim /(x) = A, pro zvolené e > 0 je 6 > 0 tak, že Ze vztahu (1) pro uvedené hodnoty x máme Tedy bylo zjištěno, že bez ohledu na to, jak malé je x Φ xQ, a zároveň ^ e. O funkci /(x) se říká, že je omezená v okolí bodu x0>, pokud existují čísla M > 0 a 6 > 0 taková, že Věta 2 (ohraničenost funkce s limitou). Je-li funkce f(x) definována v okolí bodu x0 a má v bodě x0 konečnou limitu, pak je omezena v určitém okolí tohoto bodu. m Nechť Potom pro jakýkoli příklad, pro e = 1, je 6 > O takové, že pro všechna x Φ x0 splňující podmínku bude nerovnost pravdivá, přičemž vždy dostaneme Put. Pak v každém bodě x intervalu budeme mít To podle definice znamená, že funkce /(x) je ohraničená v okolí Naopak z ohraničenosti funkce /(x) v okolí bodu x0, existence limity funkce /(x) v bodě x0 nenásleduje. Například funkce /(x) = sin je omezena v okolí bodu, ale nemá limitu v bodě x = 0. Zformulujme ještě dvě věty, jejichž geometrický význam je zcela jasný. Věta 3 (přechod na limitu v nerovnici). Jestliže /(x) ^ ip(x) pro všechna x z nějakého okolí bodu x0, snad kromě samotného bodu x0 a každá z funkcí /(x) a ip(x) v bodě x0 má limit, pak Všimněte si, že přísná nerovnost pro funkce nutně neznamená přísnou nerovnost pro jejich limity. Pokud tyto limity existují, pak můžeme pouze tvrdit, že například pro funkce je splněna nerovnost while (limita mezifunkce). Jestliže pro všechna x v nějakém okolí bodu Xq, snad kromě samotného bodu x0 (obr. 9), a funkcí f(x) a ip(x) v bodě xo mají stejnou limitu A, pak funkce f (x) v bodě x0 má limitu rovnou stejné hodnotě A. § 4 Limita funkce v nekonečnu Nechť je funkce f(x) definována buď na celé číselné ose, nebo alespoň pro všechna x splňující podmínku jx| > K pro nějaké K > 0. Definice. Číslo A se nazývá limita funkce f(x), protože x má tendenci k nekonečnu, a zapisuje se, pokud pro libovolné e > 0 existuje číslo jV > 0 takové, že pro všechna x splňují podmínku |x| > lg, nerovnost je pravdivá Nahradíme-li podmínku v této definici odpovídajícím způsobem, získáme definice Z těchto definic vyplývá, že právě tehdy, když současně Tato skutečnost geometricky znamená následující: bez ohledu na to, jak úzký je e-proužek mezi přímým. přímky y = A-eyu = A + e, existuje přímka x = N >0 taková, že vpravo je graf funkce y = /(x) celý obsažen v naznačeném e-proužku (obr. 10). V tomto případě říkají, že v x +oo se graf funkce y = /(x) asymptoticky blíží k přímce y = A. Příklad, Funkce /(x) = jtjj- je definována na celé číselné ose a je zlomek, ve kterém je čitatel konstantní a jmenovatel neomezeně roste jako |x| +oo. Je přirozené očekávat, že lim /(x)=0. Pojďme to ukázat. M Vezměme libovolné e > 0, za podmínky Aby vztah mohl vzniknout, musí být splněna nerovnost s nebo, která je stejná, odkud tedy. když to vezmeme, budeme to mít. To znamená, že číslo je limitou dané funkce na Všimněte si, že radikální výraz je pouze pro t ^ 1. V případě kdy je nerovnost s splněna automaticky pro všechny Graf dokonce funkci y = - se asymptoticky blíží k přímce Problém. Formulujte pomocí nerovností, co znamená §5. Infinitezimální funkce Nechť je funkce a(x) definována v nějakém okolí bodu xo, snad kromě samotného bodu x0. Definice. Funkce a(x) se nazývá infinitezimální funkce (zkráceně infinitezimální funkce) s x inklinuje k xo if Pojem funkce Metody specifikace funkce Příklady funkcí Analytická definice funkce Grafická metoda specifikace funkce Limita funkce v bodě Tabulková metoda zadání funkční věty o omezuje jednoznačnost limity omezenost funkce, která má limitní přechod k limitě v nerovnici Limita funkce v nekonečnu Infinitezimální funkce Vlastnosti nekonečně malých funkcí Např. funkce a(x) = x - 1 je b. m.f. při x 1, jelikož lim(x-l) = 0. Graf funkce y = x-1 1-1 je na Obr. II. Obecně je funkce a(x) = x-x0 nejjednodušším příkladem b. m.f. na x-»ho. Vezmeme-li v úvahu definici limity funkce v bodě, definice b. m.f. lze takto formulovat. Komentář. Věta zůstává platná pro součet libovolného konečného počtu funkcí, b. m. při x zo. Věta b (součin b.m.f. omezenou funkcí). Je-li funkce a(x) b. m.f. pro x -* x0 a funkce f(x) je ohraničená v okolí bodu Xo, pak součin a(x)/(x) je b. m.f. pro x -» x0.
Pokud je vztah mezi x a y dán vzorcem vyřešeným vzhledem k y, tzn. má tvar y = f(x), pak říkají, že funkce x je dána explicitně, například. Pokud hodnoty x a y souvisí nějakou rovnicí ve tvaru F(x,y) = 0, tzn. vzorec není vyřešen vzhledem k y, pak se říká, že funkce je specifikována implicitně. Například,. Všimněte si, že ne každá implicitní funkce může být reprezentována ve tvaru y = f (x), naopak každá explicitní funkce může být vždy reprezentována ve formě implicitní: 
. Dalším typem analytické specifikace funkce je parametrická, kdy argument x a funkce y jsou funkcemi třetí veličiny - parametru t: 
, Kde 
, T – nějaký interval. Tato metoda je široce používána v mechanice a geometrii.
Analytická metoda je nejběžnějším způsobem definování funkce. Kompaktnost, schopnost aplikovat matematickou analýzu na danou funkci a schopnost vypočítat funkční hodnoty pro libovolné hodnoty argumentů jsou její hlavní výhody.
4. Verbální metoda. Tato metoda spočívá ve vyjádření funkční závislosti slovy. Například funkce E(x) je celočíselná část čísla x, Dirichletova funkce, Riemannova funkce, n!, r(n) je počet dělitelů přirozeného čísla n.
5. Semi grafická metoda. Zde jsou hodnoty funkcí reprezentovány jako segmenty a hodnoty argumentů jsou reprezentovány jako čísla umístěná na koncích segmentů označujících hodnoty funkcí. Takže například teploměr má stupnici se stejnými dílky s čísly. Tato čísla jsou hodnotami argumentu (teplota). Stojí v místě, které určuje grafické prodloužení rtuťového sloupce (funkční hodnotu) v důsledku jeho objemové roztažnosti v důsledku teplotních změn.
Udělejme několik vysvětlujících poznámek ke specifikaci funkce analytickým výrazem nebo vzorcem, který hraje v matematické analýze mimořádně důležitou roli.
1° Především, jaké analytické operace nebo akce lze zahrnout do těchto vzorců? Na prvním místě jsou zde myšleny všechny operace studované v elementární algebře a trigonometrii: aritmetické operace, umocňování (a extrakce odmocnin), logaritmus, přechod od úhlů k jejich goniometrickým veličinám a zpět [viz. pod 48 - 51]. Nicméně, a to je důležité zdůraznit, jak se budou naše informace o analýze vyvíjet, k jejich počtu budou přibývat další operace, především přechod na limit, který je čtenáři již znám z kapitoly I.
Tedy, plný obsah Pojem „analytický výraz“ nebo „vzorec“ bude odhalován až postupně.
2° Druhá poznámka se týká rozsahu definování funkce analytickým výrazem nebo vzorcem.
Každý analytický výraz obsahující argument x má, abych tak řekl, přirozený rozsah: toto je množina všech hodnot x, pro které si zachovává význam, to znamená, že má dobře definovanou, konečnou, skutečnou hodnotu. Pojďme si to vysvětlit na jednoduchých příkladech.
Takže pro výraz bude taková oblast celá množina reálných čísel. Pro vyjádření bude tato oblast redukována na uzavřený interval, za kterým její hodnota přestává být reálná. Naopak výraz bude muset obsahovat otevřený interval jako přirozenou oblast použití, protože na koncích se jeho jmenovatel změní na 0. Někdy se rozsah hodnot, pro které si výraz zachovává svůj význam, skládá z izolovaných intervalů: k tomu budou intervaly pro - intervaly atd.
Jako poslední příklad uvažujme součet nekonečné geometrické posloupnosti
Pokud tedy, jak víme, tato hranice existuje a záleží na ní. Když je limit buď stejný, nebo vůbec neexistuje. Pro daný analytický výraz by tedy přirozenou doménou aplikace byl otevřený interval
V následné prezentaci budeme muset uvažovat jak o složitějších, tak o obecnějších analytických výrazech a nejednou se budeme věnovat studiu vlastností funkcí specifikovaných takovým výrazem v celé oblasti, kde si zachovává svůj význam, tedy při studiu samotného analytického aparátu.
Možný je však i jiný stav, na který považujeme za nutné čtenáře předem upozornit. Představme si, že nějaká konkrétní otázka, ve které je proměnná x v podstatě omezena na variační rozsah X, vedla k úvaze o funkci schopné analytického vyjádření. I když se může stát, že tento výraz má význam mimo oblast X, je samozřejmě stále nemožné ji překročit. Analytický výraz zde hraje vedlejší, pomocnou roli.
Pokud například studujeme volný pád těžkého bodu z výšky nad zemským povrchem, uchýlíme se ke vzorci
Bylo by absurdní uvažovat o záporných hodnotách t nebo hodnotách vyšších, protože, jak je snadné vidět, bod již spadne na zem. A to přesto, že si výraz sám zachovává význam pro všechny skutečné.
3° Může se stát, že funkce není určena stejným vzorcem pro všechny hodnoty argumentu, ale pro některé - jedním vzorcem a pro jiné - jiným. Příkladem takové funkce v intervalu je funkce definovaná následujícími třemi vzorci:
a nakonec, pokud .
Zmiňme také Dirichletovu funkci (P. G. Lejeune-Dinchlet), která je definována takto:
Nakonec se společně s Kroneckerem (L. Kroneckcf) podíváme na funkci, kterou nazval „signum“ a označil ji
Jsou uvedeny hlavní způsoby specifikace funkcí: explicitní analytické; interval; parametrický; implicitní; určení funkce pomocí řady; tabelární; grafický. Příklady použití těchto metod
Existují následující způsoby, jak určit funkci y = f (x):
Na explicitním způsobem, hodnota funkce je určena vzorcem reprezentujícím rovnici y = f (x). Na levé straně této rovnice je závislá proměnná y a na pravé straně je výraz složený z nezávisle proměnné x, konstant, známých funkcí a operací sčítání, odčítání, násobení a dělení. Známé funkce jsou elementární funkce a speciální funkce, jejichž hodnoty lze vypočítat pomocí nástrojů.
výpočetní technika
;
;
.
Na Intervalová metoda zadání funkce intervalová metoda určení funkce
definiční obor je rozdělen do několika intervalů a funkce je specifikována samostatně pro každý interval.
Na Parametrická metoda zadání funkce parametrická metoda
(1)
, je zavedena nová proměnná, která se nazývá parametr. Dále nastavte hodnoty x a y jako funkci parametru pomocí metody explicitního nastavení:
Zde jsou příklady parametrického způsobu zadávání funkce pomocí parametru t:
Výhodou parametrické metody je, že stejnou funkci lze zadat nekonečně mnoha způsoby. Funkce může být definována například takto:
Nebo můžete udělat toto:
Tato svoboda volby vám v některých případech umožňuje použít tuto metodu k řešení rovnic (viz „Diferenciální rovnice, které neobsahují jednu z proměnných“). Podstatou aplikace je, že do rovnice místo proměnných x a y dosadíme dvě funkce a.
.
Pak si jednu z nich nastavíme podle vlastního uvážení, aby bylo možné z výsledné rovnice určit druhou.
.
Tato metoda se také používá pro zjednodušení výpočtů. Například závislost souřadnic bodů elipsy s poloosami a a b lze znázornit takto:
V parametrické podobě může být tato závislost dána jednodušší formou: - 1
Rovnice (1) nejsou jediným způsobem, jak parametricky specifikovat funkci. Můžete zadat ne jeden, ale několik parametrů a spojit je s dalšími rovnicemi. Můžete například zadat dva parametry a .
Pak bude definice funkce vypadat takto:
(2)
.
Zde se objeví další rovnice, která souvisí s parametry. Pokud je počet parametrů n , pak jich musí být n
Na implicitním způsobem, hodnota funkce se určí z řešení rovnice.
Například rovnice elipsy je:
(3)
.
Je to jednoduchá rovnice. Pokud jen uvážíme vrchní díl elipsy, pak můžeme vyjádřit proměnnou y jako funkci x explicitním způsobem:
(4)
.
Ale i když je možné redukovat (3) na explicitní způsob specifikace funkce (4), druhý vzorec není vždy vhodný k použití. Například pro nalezení derivace je vhodné diferencovat rovnici (3) spíše než (4):
;
.
Mimořádně důležitým způsobem, jak definovat funkci, je to sériová reprezentace, složený ze známých funkcí. Tato metoda umožňuje studovat funkci pomocí matematických metod a vypočítat její hodnoty pro aplikované problémy.
Nejběžnější reprezentací je definování funkce pomocí mocninné řady. V tomto případě se používá řada výkonových funkcí:
.
Také se používá řada se zápornými stupni:
.
Například funkce sinus má následující rozšíření:
(5)
.
Taková rozšíření jsou široce používána ve výpočetní technice k výpočtu hodnot funkcí, protože umožňují zredukovat výpočty na aritmetické operace.
Pro ilustraci vypočítejme hodnotu sinusu 30° pomocí expanze (5).
Převod stupňů na radiány:
.
Nahradíme v (5):
.
V matematice, spolu s mocninnými řadami, expanze do goniometrických řad ve funkcích a , stejně jako v jiných, jsou široce používány. speciální funkce. Pomocí řad můžete provádět přibližné výpočty integrálů, rovnic (diferenciálních, integrálních, parciálních derivací) a studovat jejich řešení.
Na tabulkový způsob určení funkce máme tabulku, která obsahuje hodnoty nezávislé proměnné x a odpovídající hodnoty závislé proměnné y.
Nezávislé a závislé proměnné mohou mít různé zápisy, ale my zde používáme x a y.
.
Abychom určili hodnotu funkce pro danou hodnotu x, pomocí tabulky najdeme hodnotu x, která je nejbližší naší hodnotě. Poté určíme odpovídající hodnotu závislé proměnné y.
Pro přesnější určení hodnoty funkce předpokládáme, že funkce mezi dvěma sousedními hodnotami x je lineární, to znamená, že má následující tvar:
.
Zde jsou hodnoty funkcí nalezené z tabulky s odpovídajícími hodnotami argumentů.
.
Podívejme se na příklad. Potřebujeme najít hodnotu funkce v .
.
Z tohoto příkladu je zřejmé, že použití lineární aproximace vedlo ke zvýšení přesnosti určení hodnoty funkce.
Používá se tabulková metoda aplikované vědy. Před rozvojem výpočetní techniky byl široce používán ve strojírenství a dalších výpočtech. Nyní se tabulková metoda používá ve statistice a experimentálních vědách pro sběr a analýzu experimentálních dat.
Na graficky, hodnota funkce je určena z grafu, hodnoty nezávisle proměnné jsou vyneseny podél osy x a závislá proměnná je vynesena podél osy pořadnice.
Grafická metoda poskytuje vizuální znázornění chování funkce. Výsledky funkční studie jsou často ilustrovány grafem. Z grafu můžete určit přibližnou hodnotu funkce. To umožňuje použití grafické metody v aplikovaných a technických vědách.
