Elektrostatické pole lze jasně znázornit pomocí elektrické vedení(napínací čáry). Elektrické vedení se nazývají křivky, jejichž tečny se v každém bodě shodují s vektorem napětí E.
Siločáry jsou konvenční koncept a ve skutečnosti neexistují. Siločáry jediného záporného a jediného kladného náboje jsou znázorněny na obr. 5 jsou radiální přímky vycházející z kladného náboje nebo přecházející do záporného náboje.
Zůstanou-li hustota a směr siločar v celém objemu pole nezměněny, považuje se takové elektrostatické pole za homogenní (počet siločar se musí číselně rovnat intenzitě pole E).
Počet siločar označených ">dS, kolmých na ně, určuje vektorový tok napětí elektrostatické pole:
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- projekce vektoru E do směru normály n do místa dS (obr. 6).
V souladu s tím tok vektoru E přes libovolný uzavřený povrch S
značka">S nejen velikost, ale také znaménko toku se může změnit:
1) se vzorcem" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
3) při volbě "> Najděte tok vektoru E kulovou plochou S, v jejímž středu je bodový poplatek q.
V tomto případě se značka ">E a n shoduje ve všech bodech kulové plochy.
Vezmeme-li v úvahu intenzitu pole bodového náboje, vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle " alt="(! JAZYK:dostaneme
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- algebraická veličina závislá na znaménku náboje. Například, když q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="kolem náboje q má libovolný tvar. Je zřejmé, že povrch je označen ">E, stejně jako povrch S. Proto je tok vektoru E libovolným povrchem vzorcem" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/ files/Fe.gif" border ="0" align="absmiddle" alt=".
Pokud je náboj umístěn mimo uzavřený povrch, pak je zřejmé, kolik čar vstoupí do uzavřené oblasti, stejný počet ji opustí. V důsledku toho bude tok vektoru E roven nule.
Je-li elektrické pole tvořeno soustavou bodových nábojů vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Tento vzorec je matematickým vyjádřením Gaussovy věty: vektorový tok napětí E elektrické pole ve vakuu přes libovolnou uzavřenou plochu se rovná algebraickému součtu nábojů, které pokrývá, děleno vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Aby byl popis úplný, uveďme také Gaussovu větu v lokální podobě, nespoléháme se na integrální vztahy, ale na parametry pole v daném bodě prostoru. K tomu je vhodné použít diferenciální operátor - vektorová divergence, -
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt="("nabla") -
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
V matematické analýze je známá Gauss-Ostrogradského věta: tok vektoru uzavřeným povrchem je roven integrálu jeho divergence přes objem omezený tímto povrchem -
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Tento výraz je Gaussova věta v lokálním (diferenciálním) tvaru.
Gaussova věta (2.2) nám umožňuje určit síly různých elektrostatických polí. Podívejme se na několik příkladů aplikace Gaussovy věty.
1. Počítejme E elektrostatické pole vytvořené rovnoměrně nabitou kulovou plochou.
Předpokládejme, že kulová plocha o poloměru R nese rovnoměrně rozložený náboj q, tzn. hustota povrchového náboje je všude stejná značka ">r >R ze středu koule, mentálně sestrojíme novou kulovou plochu S, symetrickou k nabité kouli. V souladu s Gaussovou větou
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Pro body umístěné na povrchu nabité koule o poloměru R můžeme analogicky napsat:
výběr">uvnitř nabité koule, neobsahuje v sobě elektrické náboje, takže značka toku">E = 0.
Představme si novou fyzikální veličinu charakterizující elektrické pole - vektorový tok napětí elektrické pole (Φ). Pojem vektorového proudění je podobný konceptu rychlostního vektorového proudění v proudění nestlačitelné tekutiny. Ve skutečnosti je tok vektoru úměrný počtu napínacích čar pronikajících elementární oblastí Δ S(obr. 1.6).
Nechť je v prostoru, kde vzniká elektrické pole, nějaká dostatečně malá plocha Δ S. Součin vektorového modulu a plochy Δ S a kosinus úhlu α mezi vektorem a normálou k místu se nazývá elementární tok vektoru intenzity místem Δ S:
kde je projekce vektoru na normálu k místu; - jednotkový vektor kolmý na místo.
Rýže. 1.6. K definici elementárního toku ΔΦ
Celkový tok vektoru napětí povrchem je obecně roven:
,
kde . (Volba normály je libovolná, ale v případě uzavřených ploch je obvyklé vzít plochu pokrytou těmito plochami ven, tj. zvolit vnější normálu). Jednotkou průtoku je V m.
Uvažujme nyní nějakou libovolnou uzavřenou plochu S. Pokud tuto plochu rozdělíme na malé plochy Δ S i, určit toky elementárních polí přes tyto malé oblasti a pak je sečíst, pak jako výsledek získáme tok Φ vektoru přes uzavřenou plochu S(obr. 1.7):
.
Rýže. 1.7. Průtok Ф libovolnou uzavřenou plochou S
Gaussova věta: tok vektoru uzavřeným povrchem se rovná algebraickému součtu nábojů obsažených uvnitř tohoto povrchu dělenému, tj.
.
Výpočet intenzity pole soustavy elektrických nábojů a polí vytvořených nabitými tělesy různé tvary, lze provést pomocí principu superpozice. V mnoha případech však lze tento problém značně zjednodušit pomocí Gaussovy věty.
Modul intenzity elektrického pole vytvořený bodovým nábojem ve vzdálenosti od něj (obr. 1.8),
Rýže. 1.8 Tok elektrického pole bodového náboje libovolnou plochou S, obklopující náboj
Modul intenzity pole dipólu v bodě umístěném ve vzdálenosti od dipólu (- rameno dipólu),
,
kde je elektrický moment dipólu, je úhel mezi osou dipólu a vektorem poloměru nakresleným od středu dipólu k danému bodu.
Točivý moment sil působících na dipól ve vnějším elektrické pole,
kde je síla elektrického pole; - úhel mezi vektory a .
Síla působící na dipól ve vnějším elektrickém poli je
kde derivace je vzata ve směru vektoru. Směr vektoru se v obecném případě neshoduje se směrem vektoru, ani se směrem vektoru. Směr vektoru síly se shoduje pouze se směrem elementárního přírůstku vektoru odebraného ve směru.
Výrazy pro moduly intenzity elektrického pole symetrických objektů mají tvar:
1. Síla pole rovnoměrně nabité kulové plochy v bodech ležících vně a uvnitř koule ve vzdálenosti od jejího středu
; .
2. Intenzita pole nekonečně dlouhého rovnoměrně nabitého závitu nebo nekonečně dlouhého rovnoměrně nabitého válcového povrchu v bodech umístěných mimo něj,
kde je vzdálenost bodu od závitu (osa válce), je lineární hustota náboje, numericky rovnající se poplatku na jednotku délky závitu nebo válce:
Rýže. 1.9. Výpočet pole rovnoměrně nabitého válce.
O.O." - osa symetrie válce
kde je hustota povrchového náboje, číselně rovna náboji na jednotku plochy nabitého povrchu:
Rýže. 1.10 Pole rovnoměrně nabité roviny
4. Síla pole dvou nekonečných, rovnoběžných rovin, rovnoměrně nabitých hustotou povrchového náboje a (pole rovinného kondenzátoru) v bodech umístěných mezi rovinami a mimo ně, jsou příslušně stejné
Potenciální energie interakce dvou bodových nábojů umístěných ve vzdálenosti
.
Potenciál elektrického pole je energetická skalární charakteristika elektrického pole a je rovna poměru potenciální energie kladného náboje zkušebního bodu umístěného v daném bodě pole k hodnotě tohoto náboje:
kde je potenciální energie náboje umístěného v daném bodě elektrického pole. Potenciální energie bodu v nekonečnu se považuje za nulovou. Jednotkou potenciálu je volt (V): 1 V je potenciál bodu v poli, ve kterém má náboj 1 C potenciální energii 1 J.
Práce vykonaná silami pole pro přesun kladného náboje z bodu 1 do bodu 2:
nebo ,
kde je průmět vektoru napětí na směr; v tomto případě se integrace provádí podél libovolné linie spojující body 1 a 2 (obr. 1.11).
Integrace může být provedena podél jakékoli linie spojující počáteční a koncové body, protože práce sil elektrostatického pole nezávisí na trajektorii pohybu.
Nyní předpokládejme, že poplatek q 0 se pohybuje z libovolného bodu mimo pole (do nekonečna), kde se potenciální energie, a tedy potenciál, rovná nule, pak práce sil elektrostatického pole, ze které získáme:
Tento výraz nám umožňuje formulovat další definici potenciálu. Potenciál- Tohle fyzikální veličina, určený prací na přesunutí jednotkového kladného náboje při jeho odstranění z daného bodu v prostoru do nekonečna (potenciál bodu v nekonečnu je nulový).
Rýže. 1.11. Práce polních sil s malým pohybem náboje q
Potenciální rozdíl a modul intenzity elektrického pole
kde se derivace bere ve směru nejrychlejší změny potenciálu, tedy podél siločáry (obr. 1.12).
Pro jednotné pole ()
kde je vzdálenost mezi dvěma body měřená podél siločáry.
Rýže. 1.12. Práce vykonaná Coulombovými silami při pohybu náboje q záleží jen na vzdálenostech r 1 a r 2
Potenciál pole bodového náboje ve vzdálenosti od něj
Potenciál pole kulového povrchu (koule) o poloměru, na kterém je náboj rovnoměrně rozložen:
1. - pro body ležící mimo kouli (kouli) ve vzdálenosti od jejího středu;
2. - pro body ležící na povrchu koule (koule) nebo uvnitř ní.
Potenciál elektrického pole uvnitř nevodivé koule rovnoměrně nabité v celém jejím objemu je
kde je dielektrická konstanta materiálu kuličky; - dielektrická konstanta prostředí, ve kterém se kulička nachází.
Princip superpozice pro potenciál elektrického pole. Potenciál pole vytvořený soustavou nábojů je roven algebraický součet potenciálů, vytvořený každým z poplatků samostatně:
kde je potenciál elektrického pole vytvořeného th nábojem.
Pro grafický obrázek potenciál se využívá ekvipotenciální plochy- jedná se o povrchy ve všech bodech, jejichž potenciál má stejnou hodnotu. Ekvipotenciální plochy se obvykle kreslí tak, že potenciální rozdíly mezi dvěma sousedními ekvipotenciálními plochami jsou stejné. Hustota ekvipotenciálních ploch jasně charakterizuje intenzitu pole v různých bodech. V libovolném bodě ekvipotenciální plochy je siločára k ní kolmá, proto je kolmý i vektor (obr. 1.13).
Rýže. 1.13. Ekvipotenciální plochy a siločáry jednoduchých elektrických polí: bodový náboj; elektrický dipól; dva stejné kladné náboje
Dielektrika se nazývají látky, které za normálních podmínek prakticky nevedou elektrický proud. Existují tři typy dielektrik:
1) Nepolární dielektrika. Jedná se o dielektrika s nepolárními molekulami, jejichž symetrické molekuly mají za nepřítomnosti vnějšího pole nulový dipólový moment (například N 2, H 2, O 2, CO 2).
2) Polární dielektrika. Jedná se o dielektrika s polárními molekulami, jejichž molekuly mají vlivem asymetrie nenulový dipólový moment (například H 2 O, NH 3, SO 2, CO).
3) Iontová dielektrika(například NaCl, KCl). Iontové krystaly jsou prostorové mřížky s pravidelným střídáním iontů různých znaků.
Pokud je dielektrikum umístěno do vnějšího elektrického pole, objeví se v jeho objemu jeho vlastní makroskopické pole, které je vždy orientováno opačně vzhledem k vnějšímu poli. Tento jev se nazývá dielektrická polarizace, a vysvětluje se to tím, že v jeho objemu se objevuje celkový dipólový elektrický moment molekul. Existují tři hlavní typy polarizace:
1) Elektronické nebo deformační polarizace dielektrika s nepolárními molekulami - v důsledku deformace elektronových drah vzniká v atomech nebo molekulách dielektrika indukovaný dipólový moment (obr. 1.14).
Rýže. 1.14. Deformační polarizace nepolárního dielektrika
2) Orientace nebo dipól polarizace dielektrika s polárními molekulami - orientace stávajících dipólových momentů molekul podél pole (tato orientace je silnější, čím vyšší je intenzita elektrického pole a tím nižší je teplota) (obr. 1.15).
Rýže. 1.15. Polarizace polárního dielektrika
3) Iontová polarizace dielektrikum s iontovými krystalovými mřížkami - posunutí podmřížky kladných iontů podél pole a posunutí záporných iontů proti poli vede ke vzniku dipólových momentů.
Kvantitativní mírou polarizace dielektrika je vektor zvaný polarizace hmoty (vektor polarizace)
,
kde je fyzikálně malý objem hmoty; - koncentrace molekul; - průměrný dipólový moment jedné molekuly. Polarizační vektor je tedy měřen celkovým elektrickým momentem všech molekulových dipólů na jednotku objemu dielektrika.
Pro izotropní dielektrikum je vektor úměrný intenzitě pole uvnitř
kde je dielektrická susceptibilita dielektrika.
Vlivem polarizace se na povrchu dielektrika objevují nekompenzované náboje, které jsou tzv související(na rozdíl od uvolnit náboje, které vytvářejí vnější pole).
Povrchová hustota vázaných nábojů se rovná průmětu vektoru na vnější normálu k povrchu dielektrika:
Síla pole uvnitř dielektrika je:
kde je dielektrická konstanta prostředí, která charakterizuje schopnost dielektrika polarizovat se v elektrickém poli a ukazuje, kolikrát je pole oslabeno dielektrikem. Tedy dielektrická konstanta média
kde je intenzita pole ve vakuu; - síla pole v médiu. Dielektrická konstanta je bezrozměrná veličina a charakterizuje schopnost dielektrika polarizovat se v elektrickém poli a také ukazuje, kolikrát je pole dielektrikem oslabeno.
Abychom charakterizovali pole v dielektriku, uvedeme vektor elektrického posunu (elektrická indukce ), což se pro izotropní dielektrikum zapisuje jako
Jednotkou elektrického výtlaku je C/m2. Vektor popisuje elektrostatické pole vytvořené volnými náboji (tedy ve vakuu), ale s takovým rozložením v prostoru jako v přítomnosti dielektrika.
Zavedení polarizačních vektorů a elektrického přemístění v úvahu nám umožňuje změnit zápis a formulaci Gaussovy věty.
Gaussova věta: vektorový tok uzavřenou plochou je roven algebraickému součtu volných nábojů q i pokrytých touto plochou
Základní pojmy elektrostatiky. Coulombův zákon.
Princip superpozice.Coulombův zákon. q 1 Coulombův zákon: q 2 síla elektrostatické interakce mezi dvěma bodovými náboji r A
ve vakuu je přímo úměrná součinu těchto nábojů a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti
mezi nimi.
Tok vektoru E. Gaussova věta pro elektrostatické pole ve vakuu. Práce elektrostatického pole. dФ E prostřednictvím platformy dS. Tato hodnota se vypočítá podle vzorce dФ E = ЕdScos(), kde je úhel mezi normálovým vektorem k místu dS a vektorem . Představme velikost plošného prvku jako vektor. Jedná se tedy o vektor, který se číselně rovná ploše povrchového prvku a shoduje se ve směru s vnější normálou k němu. Pak E n =Ecos je průmět vektoru na normální plochu dS (obr. 1.6) a .
Je-li rovná plocha S kolmá na siločáry rovnoměrného elektrického pole, pak je tok napětí přes ni roven Ф E = ЕS. Pokud je plocha dS rovnoběžná s tahovými čarami, pak je průtok dФ E roven nule, protože v tomto případě E n = 0. Pokud má plocha S libovolný tvar a pole je nehomogenní, pak je plocha rozdělena na malé elementární oblasti dS, na každé z nich Síla pole je konstantní. Tok intenzity pole každou elementární oblastí je roven dФ E = E n dS a tok intenzity pole celým povrchem bude reprezentován součtem elementárních toků a bude nakonec roven .
Tok vektoru intenzity elektrostatického pole ve vakuu libovolným uzavřeným povrchem se rovná algebraickému součtu nábojů pokrytých tímto povrchem dělenému elektrickou konstantou 0 .
Tato formulace je teorémem K. Gausse. Obecně elektrické náboje lze distribuovat s určitou objemovou hmotností, rozdílnou v různá místa
plocha. Potom je celkový náboj objemu V pokrytý uzavřenou plochou S roven a Gaussův teorém by měl být zapsán ve tvaru.
Cirkulace vektoru intenzity elektrického pole. Práce vykonávaná silami elektrického pole při pohybu jednotkový kladný náboj podél uzavřeného obrysu délky l
, je definován jako cirkulace vektoru síly elektrického pole:
Protože pro uzavřenou dráhu se polohy počátečního a konečného bodu pohybu náboje shodují, je práce sil elektrického pole na uzavřené dráze nulová, a proto je nulová i cirkulace vektoru intenzity, tzn. Rovná nule znamená, že síly elektrického pole jsou síly konzervativní a pole samotné -
potenciál
