Znalosti o tom, jak měřit Zemi, se objevily v dávných dobách a postupně se formovaly ve vědě o geometrii. S Řecký jazyk Toto slovo se překládá jako „zeměměřictví“.
Mírou rozsahu ploché části Země na délku a šířku je plocha. V matematice se obvykle označuje latinským písmenem S (z anglického „square“ - „area“, „square“) nebo řeckým písmenem σ (sigma). S označuje plochu obrazce na rovině nebo povrch tělesa a σ je plocha průřez dráty ve fyzice. Toto jsou hlavní symboly, i když mohou existovat i jiné, například v oblasti pevnosti materiálů, A je plocha průřezu profilu.
Znalost oblasti jednoduché postavy, můžete najít parametry složitější. Starověcí matematici vyvinuli vzorce, které lze použít k jejich snadnému výpočtu. Takové postavy jsou trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, kruh.
Chcete-li najít oblast složité rovinné postavy, je rozdělena na mnoho jednoduchých obrazců, jako jsou trojúhelníky, lichoběžníky nebo obdélníky. Poté se pomocí matematických metod odvodí vzorec pro oblast tohoto obrázku. Podobná metoda se používá nejen v geometrii, ale i v matematická analýza pro výpočet ploch obrazců ohraničených křivkami.
Začněme nejjednodušší postavou - trojúhelníkem. Jsou pravoúhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezměte libovolný trojúhelník ABC se stranami AB=a, BC=ba AC=c (∆ ABC). Pro zjištění jeho oblasti si připomeňme sinusové a kosinové věty známé z kurzu školní matematiky. Když necháme všechny výpočty, dojdeme k následujícím vzorcům:
Nechť existuje čtyřúhelník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Chcete-li najít plochu S libovolného 4úhelníku, musíte jej rozdělit úhlopříčkou na dva trojúhelníky, jejichž plochy S1 a S2 se obecně nerovnají.
Poté je pomocí vzorců vypočítejte a sečtěte, tedy S=S1+S2. Pokud však 4-úhelník patří do určité třídy, pak jeho oblast lze najít pomocí dříve známých vzorců:
Aby našli oblast n-úhelníku, matematici jej rozdělí na nejjednodušší stejná čísla - trojúhelníky, najdou oblast každého z nich a poté je sečtou. Pokud však mnohoúhelník patří do třídy regulárních, použijte vzorec:
S=a n h/2=a² n/=P²/, kde n je počet vrcholů (nebo stran) mnohoúhelníku, a je strana n-úhelníku, P je jeho obvod, h je apotém, tj. segment nakreslený od středu mnohoúhelníku k jedné z jeho stran pod úhlem 90°.
Kruh je dokonalý mnohoúhelník s nekonečným počtem stran. Potřebujeme vypočítat limit výrazu vpravo ve vzorci pro oblast mnohoúhelníku s počtem stran n sklonem k nekonečnu. V tomto případě se obvod mnohoúhelníku změní na délku kružnice o poloměru R, která bude hranicí naší kružnice, a bude se rovnat P=2 π R. Dosaďte tento výraz do výše uvedeného vzorce. Dostaneme:
S=(π2R2cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Najděte limitu tohoto výrazu jako n→∞. Abychom to udělali, vezmeme v úvahu, že lim (cos (180°/n)) pro n→∞ se rovná cos 0°=1 (lim je znaménko limity) a lim = lim pro n→∞ je rovná 1/π (míru stupně jsme převedli na radián pomocí vztahu π rad=180° a použili první pozoruhodnou mez lim (sin x)/x=1 v x→∞). Střídání v poslední výraz pro S získané hodnoty dojdeme k známý vzorec:
S=π2R21(1/π)=πR2.
Používají se systémové a nesystémové jednotky měření. Systémové jednotky patří do SI (System International). Jedná se o metr čtvereční (metr čtvereční, m²) a jednotky z něj odvozené: mm², cm², km².
Ve čtverečních milimetrech (mm²) se například měří plocha průřezu vodičů v elektrotechnice, v centimetrech čtverečních (cm²) - průřez paprsku v stavební mechanika, v metrech čtverečních (m²) - byty nebo domy, v kilometrech čtverečních (km²) - území v geografii.
Někdy se však používají nesystémové měrné jednotky, jako jsou: weave, ar (a), hektar (ha) a acre (as). Uveďme si následující vztahy:
Důležité poznámky!
1. Pokud místo vzorců vidíte gobbledygook, vymažte mezipaměť. Jak to udělat ve vašem prohlížeči je napsáno zde:
2. Než začnete číst článek, věnujte pozornost nejvíce našemu navigátoru užitečný zdroj Pro
Pojďme si to ilustrovat první způsob.
Předpokládejme, že potřebujete najít oblast takového lichoběžníku, postavenou na listu papíru v kleci
Prostě spočítáme buňky a uvidíme, že v našem případě a. Dosaďte do vzorce:
Zdá se to být dokonce obdélníkové a, ale čemu se to rovná a čemu se to rovná? Jak to zjistit? Pro úplnou přehlednost použijme obě metody.
Metoda I
Metoda II (řeknu vám tajemství - tato metoda je lepší!)
Musíme naši postavu obklopit obdélníkem. Takhle:
Výsledkem byl jeden (potřebný) trojúhelník uvnitř a tři zbytečné trojúhelníky vně. Ale plochy těchto zbytečných trojúhelníků se snadno spočítají na kostkovaném listu papíru!
Takže je spočítáme a pak je jednoduše odečteme z celého obdélníku.
Proč je tato metoda lepší? Protože funguje i pro ty nejmazanější postavy.
Obklopíme jej obdélníkem a opět získáme ten, který potřebujeme, ale komplexní oblast a mnoho zbytečných, ale jednoduchých.
Nyní, abychom našli oblast, jednoduše najdeme oblast obdélníku a odečteme od ní zbývající oblast čísel na kostkovaném papíře.
Algoritmus pro nalezení oblasti obrazců na kostkovaném papíře:
Metoda 1: (vhodné pro standardní tvary: trojúhelník, lichoběžník atd.)
Metoda 2: (velmi vhodné pro složité postavy, ale také není špatné pro jednoduché)
No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.
Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5 %!
Teď to nejdůležitější.
Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... tohle je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.
Problém je, že to nemusí stačit...
Proč?
Pro úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za přijetí na vysokou školu s omezeným rozpočtem a HLAVNĚ na celý život.
Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...
Lidé, kteří dostali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří je nedostali. Toto je statistika.
Ale to není to hlavní.
Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...
Ale zamyslete se sami...
Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?
ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.
Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.
Budete potřebovat řešit problémy s časem.
A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.
Je to jako ve sportu – pro jistotu je potřeba to opakovat mnohokrát.
Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobná analýza a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!
Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.
Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.
Jak? Jsou dvě možnosti:
Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.
Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.
Na závěr...
Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.
„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.
Najděte problémy a řešte je!
Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání. Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Vzdělávací pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 5. ročník
Simulátor pro učebnici I.I. Zubarevy a A.G. Mordkoviche
Simulátor k učebnici G.V. Dorofeeva a L.G
Potom je plocha obrázku 12 centimetrů čtverečních. V matematice se oblast označuje latinským písmenem S.
To znamená, že oblast naší postavy je: Tvar S = 12 cm2.
Plocha figurky se rovná ploše všech malých čtverců, které ji tvoří!
Kluci, pamatujte!
Plocha se měří ve čtverečních jednotkách délky. Plošné jednotky:
1. Kilometr čtvereční- km 2 (pokud jsou oblasti velmi velké, například země nebo moře).
2. Metr čtvereční- m2 (docela vhodné pro měření plochy pozemku nebo bytu).
3. Čtvercový centimetr - cm 2 (obvykle se používá v hodinách matematiky při kreslení postav do sešitu).
4. Čtvercový milimetr- mm 2.
Chcete-li najít oblast pravoúhlý trojuhelník musíte znát délku a výšku základny. V pravoúhlém trojúhelníku je výška nahrazena jednou ze stran. Proto ve vzorci pro oblast trojúhelníku místo výšky nahradíme jednu ze stran. 
V našem příkladu jsou strany 7 cm a 4 cm Vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku je napsán takto:
S pravoúhlého trojúhelníku ABC = BC * CA: 2
S pravoúhlého trojúhelníku ABC = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2
Nyní zvažte libovolný trojúhelník. 
U takového trojúhelníku musíte nakreslit výšku k základně.
V našem příkladu je výška 6 cm a základna 8 cm Stejně jako v předchozím příkladu vypočítáme plochu pomocí vzorce:
S libovolného trojúhelníku ABC = BC * h: 2.
Dosadíme naše data do vzorce a dostaneme:
S libovolného trojúhelníku ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.
Vzorec pro výpočet plochy obdélníku je napsán takto:
S obdélník ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.
Nyní vypočítejme plochu čtverce. Na rozdíl od obdélníku a trojúhelníku, abyste našli plochu čtverce, potřebujete znát pouze jednu stranu. V našem příkladu je strana čtverce ABCD 9 cm. 
S čtverec ABCD = AB * BC = AB 2.
Dosadíme naše data do vzorce a dostaneme:
S čtverec ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.
Instrukce
Je vhodné jednat, pokud je vaše postava mnohoúhelník. Vždy to můžete rozložit na konečné číslo a stačí si zapamatovat jeden vzorec - oblast trojúhelníku. Trojúhelník je tedy poloviční součin délky jeho strany a délky nadmořské výšky nakreslené právě na tuto stranu. Sečtením ploch jednotlivých trojúhelníků, na které se svou vůlí přeměnil složitější trojúhelník, zjistíte požadovaný výsledek.
Je obtížnější vyřešit problém určení oblasti libovolného obrázku. Taková postava může mít nejen zakřivené hranice. Existují způsoby, jak provést přibližný výpočet. Jednoduchý.
Nejprve můžete použít paletu. Toto je nástroj od průhledný materiál s mřížkou čtverců nebo trojúhelníků aplikovanou na její povrch známá oblast. Umístěním palety na tvar, pro který hledáte oblast, přepočítáte počet vašich měrných jednotek, které překrývají obrázek. Kombinujte vzájemně neúplně uzavřené měrné jednotky a doplňujte je ve své mysli, abyste dokončili jednotky. Dále vynásobením plochy jednoho tvaru palety číslem, které jste vypočítali, zjistíte přibližnou plochu vašeho libovolného tvaru. Je jasné, že čím hustší je mřížka na paletě, tím přesnější je výsledek.
Za druhé, můžete nastínit maximální počet trojúhelníků v hranicích libovolného obrázku, pro který určujete oblast. Určete plochu každého z nich a přidejte jejich oblasti. To bude velmi hrubý výsledek. Pokud si přejete, můžete také samostatně určit oblast segmentů ohraničených oblouky. Chcete-li to provést, představte si, že segment je součástí . Sestrojte tuto kružnici a poté z jejího středu nakreslete poloměry k okrajům oblouku. Segmenty mezi sebou svírají úhel α. Plocha všeho je určena π*R^2*α/360. Pro každou menší část vaší postavy určíte plochu a celkový výsledek získáte sečtením výsledných hodnot.
Třetí metoda je obtížnější, ale přesnější a pro některé jednodušší. Plochu libovolného obrázku lze určit pomocí integrálu. Definovaná funkce zobrazuje oblast od grafu funkce po úsečku. Plochu uzavřenou mezi dvěma grafy lze určit odečtením určitého integrálu s menší hodnotou od integrálu uvnitř stejných hranic, ale s skvělá hodnota. Pro použití této metody je vhodné přenést svůj libovolný obrazec do souřadnicového systému a následně určit jejich funkce a jednat pomocí metod vyšší matematiky, do kterých se zde a nyní nebudeme vrtat.
Plochých figurek je nekonečné množství různé tvary, správně i špatně. Obecný majetek všechny figury - kterákoli z nich má plochu. Plochy obrázků jsou rozměry části roviny obsazené těmito obrázky, vyjádřené v určitých jednotkách. Tato hodnota je vždy vyjádřena kladným číslem. Jednotka měření je plocha čtverce, jehož strana se rovná jednotce délky (například jeden metr nebo jeden centimetr). Přibližnou plochu libovolného obrázku lze vypočítat vynásobením počtu jednotkových čtverců, na které je rozdělen, plochou jednoho čtverce.
Jiné definice tento koncept vypadat takto:
1. Plochy jednoduchých obrazců jsou skalární kladné veličiny, které splňují podmínky:
Ve stejných číslech - stejné hodnoty oblasti;
Pokud je obrazec rozdělen na části (jednoduché obrazce), pak jeho plocha je součtem ploch těchto obrazců;
Čtverec se stranou měrné jednotky slouží jako jednotka plochy.
2. Plochy obrazců složitého tvaru (polygony) jsou kladné veličiny s následujícími vlastnostmi:
Stejné mnohoúhelníky mají stejnou velikost plochy;
Pokud se mnohoúhelník skládá z několika dalších mnohoúhelníků, jeho plocha se rovná součtu jejich ploch. Toto pravidlo platí pro nepřekrývající se polygony.
Platí axiom, že plochy obrazců (polygony) jsou kladné veličiny.
Definice plochy kruhu je uvedena samostatně jako hodnota, ke které směřuje plocha daného kruhu vepsaného do kruhu - navzdory skutečnosti, že počet jeho stran má tendenci k nekonečnu.
Oblasti postav nepravidelný tvar(libovolné figury) nemají definici, jsou určeny pouze metody jejich výpočtu.
Již v dávných dobách byl výpočet ploch důležitým praktickým úkolem při určování velikosti pozemků. Pravidla pro výpočet oblastí v průběhu několika set let byla formulována řeckými vědci a uvedena v Euklidových prvcích jako věty. Je zajímavé, že pravidla pro určování ploch jednoduchých obrazců v nich jsou stejná jako v současné době. Oblasti se zakřiveným obrysem byly vypočteny pomocí přechodu na limit.
Výpočet ploch jednoduchého obdélníku nebo čtverce), který každý zná ze školy, je docela jednoduchý. Není ani nutné se obsah učit nazpaměť označení písmen vzorce pro oblasti obrazců. Stačí si pár zapamatovat jednoduchá pravidla:
2. Plocha obdélníku se vypočítá vynásobením jeho délky jeho šířkou. Je nutné, aby délka a šířka byly vyjádřeny ve stejných měrných jednotkách.
3. Vypočítáme plochu složité postavy tak, že ji rozdělíme na několik jednoduchých a sečteme výsledné oblasti.
4. Úhlopříčka obdélníku jej rozděluje na dva trojúhelníky, jejichž obsah se rovná polovině jeho plochy.
5. Plocha trojúhelníku se vypočítá jako polovina součinu jeho výšky a základny.
6. Plocha kruhu se rovná součinu druhé mocniny poloměru a známého čísla „π“.
7. Vypočítáme plochu rovnoběžníku jako součin sousedních stran a sinus úhlu ležícího mezi nimi.
8. Plocha kosočtverce je ½ výsledkem vynásobení úhlopříček sinusem vnitřní roh.
9. Najděte plochu lichoběžníku vynásobením jeho výšky jeho délkou střední čára, což se rovná aritmetickému průměru základů. Další možností, jak určit plochu lichoběžníku, je vynásobit jeho úhlopříčky a sinus úhlu ležícího mezi nimi.
Děti v základní škola Pro jasnost jsou často uvedeny úkoly: najděte oblast obrázku nakresleného na papíře pomocí palety nebo listu průhledného papíru, rozděleného na čtverce. Takový list papíru se položí na měřený obrazec, spočítá se počet celých buněk (jednotek plochy), které se vejdou do jeho obrysu, a poté počet neúplných, který se rozdělí na polovinu.
