Schody. Vstupní skupina. Materiály. Dveře. Hrady a zámky Design

Obyčejné diferenciální rovnice jsou takové rovnice, které obsahují jednu nebo více derivací požadované funkce y=y(x)

F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0, kde x je nezávislá proměnná.

Řešení diferenciální rovnice je funkce, která ji po dosazení do rovnice promění v triumf.

Některé metody řešení jsou známy z předmětu diferenciální rovnice. Pro řadu rovnic prvního řádu (se separovatelnými proměnnými, homogenní, lineární atd.) je možné analytickými transformacemi získat řešení ve formě vzorců.

Ve většině případů se k řešení diferenciálních rovnic používají přibližné metody, které lze rozdělit do dvou skupin:

1)analytické metody, které poskytují řešení ve formě analytického vyjádření;

2) numerické metody, které dávají přibližné řešení ve formě tabulky.

Podívejme se na uvedené metody ve formě následujících příkladů.

8.1 Metoda sekvenční diferenciace.

Zvažte rovnici:

s počátečními podmínkami, kde – daná čísla.

Předpokládejme, že požadované řešení y=f(x) lze vyřešit v Taylorově řadě v mocninách rozdílu (x-x 0):

2 n +….

Počáteční podmínky (8.2) nám dávají hodnoty y (k) (x 0) pro k=0,1,2,...,(n-1). Hodnoty y (n) (x 0) zjistíme z rovnice (8.1), dosazením (x-x 0) a použitím počátečních podmínek (8.2):

y (n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))

Hodnoty y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... jsou postupně určeny derivační rovnicí (8.1) a dosazením x=x 0, y (k) (x 0)=y 0k (k – 0,1,2).

PŘÍKLAD: Najděte prvních sedm členů rozšíření mocninné řady řešení y=y(x) k rovnici y "" +0,1(y ") 2 +(1+0,1x)y=0 s počátečními podmínkami y(0)= y" (0)=2.

ŘEŠENÍ: Hledáme řešení rovnice ve formě řady:

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

Z počátečních podmínek máme y(0)=1, y " (0)=2. Abychom určili y "" (0), vyřešme tuto rovnici pro y"":

y""(0)= – 0,1(y") 2 – (1+0,1x)y (8,3)

Pomocí počátečních podmínek získáme

y""(0)= –0,1*4 – 1*1= –1,4

Derivování s ohledem na x levou a pravou stranu rovnice (8.3)

y"""= – 0,2y"y"" – 0,1(xy"+y) – y",

y (4) = – 0,2(y"y"""+y""" 2) – 0,1(xy""+2y") – y"",

y (5) = – 0,2(y"y (4) +3y""y""") – 0,1(xy"""+3y"") – y""",

y (6) = – 0,2(y"y (5) +4y""y (4) +3y""" 2) – 0,1(xy (4) +4y""" – y (4) )

Dosazením počátečních podmínek a hodnoty y""(0) zjistíme y"""(0)= – 1,54;

y (4) (0) = – 1,224; y(5)(0)=0,1768; y (6) (0)= – 0,7308. Požadované přibližné řešení tedy zapíšeme ve tvaru: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x 2 – 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 – 0,00101x 6.

8.2 Eulerova metoda

Nejjednodušší z numerických metod řešení diferenciálních rovnic je Eulerova metoda, která je založena na nahrazení požadované funkce polynomem prvního stupně, tzn. lineární extrapolace. Mluvíme o hledání hodnot funkce v sousedních bodech argumentu x, nikoli mezi nimi.

Zvolme krok h malý, aby pro všechna x mezi x 0 a x 1 =x 0 +h se hodnota funkce y jen málo lišila od lineární funkce. Potom na uvedeném intervalu y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –

Pokračujeme v určování hodnot funkce stejným způsobem a jsme přesvědčeni, že Eulerova metoda je reprezentována ve formě sekvenčního provádění vzorců:

∆y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

PŘÍKLAD

Eulerovou metodou řešíme rovnice y" = x – y s počáteční podmínkou x 0 =0, y 0 =0 na úsečce s krokem h=0,1.

Výpočty jsou uvedeny v tabulce.

První řádek ve sloupcích 1 a 2 se vyplní podle výchozích údajů. Potom se y" vypočítá pomocí dané rovnice (ve sloupci 4), poté ∆y = y"h - ve sloupci (4).

Sloupec (5) obsahuje tabulku hodnot pro přesné řešení dané rovnice.

RAFINOVANÁ EULEROVA METODA

Při stejném množství výpočetní práce dává více vysoká přesnost.

Dříve jsme považovali integrandovou funkci za konstantní, rovnou její hodnotě f(x k ,y k) na levém konci sekce. Přesnější hodnotu získáme, pokud předpokládáme, že f(x,y(x)) se rovná hodnotě ve středu oblasti. Chcete-li to provést, musíte vzít dvojitý řez (x k-1 ,x k+1), který nahradí vzorec

y k+1 =y k +∆y k on y k+1 =y k-1 +2hy" k (8,5)

Tento vzorec vyjadřuje rafinovanou Eulerovu metodu. V tomto případě však musíte dodržovat následující posloupnost akcí:

Teorém.

Vzhledem k tomu:

Pokud je pravá strana dálkového ovladače, tzn. funkce , je analytická funkce jeho argumentů v nějakém sousedství bodu , pak pro hodnoty dostatečně blízké , existuje jedinečné řešení Cauchyho problému, které lze znázornit jako mocninnou řadu (Taylorova řada).

Zvažte Cauchyho problém výše. Budeme hledat řešení Cauchyho problému pro DE n-tého řádu ve formě Taylorovy řady v mocninách v okolí bodu.

Koeficienty řady jsou derivacemi funkce vypočtené v bodě.

Pojďme je najít:

1) Z počátečních podmínek určíme prvních n expanzních koeficientů:

;

2) Hodnotu (n+1)-tého koeficientu určíme dosazením hodnot:

3) Abychom našli všechny následující koeficienty, budeme postupně diferencovat levou a pravou část původního DE a vypočítat hodnoty koeficientů pomocí počátečních podmínek a všech již získaných koeficientů.

Komentář. Pokud jsou splněny podmínky existenční věty a jednoznačnosti řešení, pak dílčí součet výsledné Taylorovy řady bude přibližným řešením nastoleného Cauchyho problému.

Algoritmus metody sekvenční diferenciace

1. Napište řešení y(x) ve tvaru nekonečné mocninné řady v mocninách:

, Kde

2. Určete hodnoty prvních n koeficientů (zde n je řád původní rovnice) s použitím počátečních podmínek.

3. Vyjádřete nejvyšší derivaci z diferenciální rovnice. Vypočítejte jeho hodnotu v počátečním bodě pomocí počátečních podmínek. Vypočítejte koeficient.

4. Po derivování výrazu pro nejvyšší derivaci z kroku 3 vzhledem k x najděte n+1 derivaci funkce. Vypočítejte jeho hodnotu v počátečním bodě pomocí počátečních podmínek a hodnoty nejvyšší derivace vypočítané v kroku 3. Vypočítejte koeficient.

5. Zbývající koeficienty se vypočítají obdobně jako v odstavci 4.

Pokud má rovnice tvar Máme rozdíl v Taylorově řadě Zkoumáme konvergenci výsledné řady, do které dosadíme počáteční podmínky Řady lze použít k řešení algebraických rovnic. Vida. Řešení takových rovnic se provádí metodou neurčitého koeficientu a následné derivace.

51. Periodické funkce. Trigonometrický. Stanovení koeficientů Euler-Fourierovou metodou.

Periodická funkce s periodou 2P, splňující Dirichletovy podmínky na intervalu (-P, P), může být reprezentována Fourierovou řadou:

Koeficienty zjišťujeme pomocí vzorců

V bodech spojitosti funkce f(x) Fourierova řada konverguje k f() a v bodech nespojitosti - k . Rozšíření Fourierovy řady periodické funkce f(x) s periodou 2l má tvar kde

53 Ortogonální systémy funkcí. Fourierovy řady pro libovolný ortogonální systém funkcí. Definice 1. Nekonečný systém funkcí f 1 (x), f 2 (x)..f n (x) (1) se nazývá ortogonální na intervalu [a, b], pokud pro libovolné n≠k platí rovnost (x) ϕ k ( x)dx=0(2) Předpokládá se, že dx≠0 Nechť funkce ϕ(x) definovaná na intervalu [a, b] je taková, že je reprezentována řadou funkcí ortogonálního systému ( 1), která k této funkci konverguje na [a, b]: f(x)= (x) (6). Stanovme koeficienty s n Předpokládejme, že řada získaná po vynásobení řady (6) libovolným ϕ k (x) umožňuje integraci po členech. Vynásobme obě strany rovnosti (6) ϕ k (x) a integrujme od a do b. Při zohlednění rovností (2) získáme (x)ϕ k (x)dx=c k odkud (7) Koeficienty s k, vypočtené pomocí vzorců (7), nazýváme 5 Fourierovými koeficienty funkce f (x) podle k systému ortogonálních funkcí (1). Řada (6) se nazývá Fourierova řada podle systému funkcí (1).

54. Dirichletovy poměry. Postačující podmínka pro reprezentaci funkce ve Fourierově řadě. Funkce f(x) je definovaná a spojitá v určitém rozsahu hodnot x nazývá se neklesající (nerostoucí), pokud z podmínky x 2 >x 1; f(x 2)≥f(x 1) - neklesající f(x 2)≤f(x 1) - nerostoucí Funkce f(x) se nazývá po částech monotónní na segmentu, pokud lze tento segment rozdělit na konečný počet bodů x 1, x 2 , x 3 ..... x n -1 do intervalů tak, že na každém z intervalů je funkce monotónní, to znamená, že buď neklesá, nebo neroste, následuje že pokud je funkce f (x) po částech monotónní a omezená na intervaly, pak může mít body nespojitosti 1. druhu. x=c =f(c-0) =f(c+0);f(c-0) f(c+0).T.Dirichlet.Je-li funkce f(x) s periodou 2π po částech monotónní a ohraničená na uzavřeném intervalu x [-π;π], pak Fourierova řada sestrojená na této funkci konverguje ve všech bodech, součet výsledné řady S(x) je roven hodnotě f(x) v bodech spojitosti této funkce je v bodech nespojitosti funkce f(x) součet řady roven aritmetickému průměru funkce f(x) vpravo a vlevo S(c)=(f(c). -0)+f(c+0))/2 Podmínky této věty se nazývají Dirichletovy podmínky.

55. Rozšíření sudých/lichých funkcí ve Fourierových řadách.

Z definice sudých a Ne dokonce funkci z toho vyplývá, že je-li ψ(x) sudá funkce, pak skutečně

Protože podle definice sudé funkce platí ψ(-x)= ψ(x).

Podobně lze dokázat, že pokud je φ(x) lichá funkce, pak je-li lichá funkce f(x) rozšířena do Fourierovy řady, pak součin f(x)cos(kx) je také lichá funkce a f (x)sin(kx) -sudý; to znamená, že Fourierova řada liché funkce obsahuje „pouze sinus“

Pokud je sudá funkce rozšířena do Fourierovy řady, pak součin f(x)sin(kx) je lichá funkce a f(x)cos(kx) je sudá funkce, proto

To znamená, že Fourierova řada sudé funkce obsahuje „pouze kosiny“. Výsledné vzorce umožňují zjednodušit výpočty při hledání Fourierových koeficientů v případech, kdy danou funkci je sudá nebo lichá. Je zřejmé, že ne každá periodická funkce je sudá nebo lichá.

IZVESTIYA

TOMSKOVÝ ŘÁD ŘÍJNOVÉ REVOLUCE A ŘÁD ČERVENÉHO PRAHU POLYTECHNICKÉHO ÚSTAVU PRÁCE PO S. M. KIROVI

APLIKACE SEKVENCE METODY

DIFERENCIACE PŘI VÝPOČTU PŘECHODNÝCH PROCESŮ ZDROJŮ ELEKTRICKÝCH STROJŮ

IMPULZY

A. V. LOOS

(Uvádí vědecký seminář kateder elektrické stroje a obecná elektrotechnika)

Přechodové děje elektrických strojních pulzních zdrojů, např. jednofázové rázové generátory, ventilové pulzní generátory atd., jsou popsány soustavami diferenciálních rovnic s periodickými koeficienty, které nelze eliminovat žádnými transformacemi. Studium přechodových procesů elektrických strojů v obecném případě asymetrie je založeno na využití principu vazby konstantního toku, použití integrálních rovnic, přibližných metod pro jeho řešení atd. d.

V některých případech rovnice přechodových dějů elektrických strojů pulzní zdroje energie lze redukovat na rovnice s konstantními koeficienty, nicméně nutnost uvažovat případ dvou a více vinutí na rotoru vyžaduje řešení kubické rovnice nebo charakteristických rovnic vyšších stupňů s komplexními koeficienty, což je v algebraické podobě nemožné. Nutnost brát v úvahu saturaci magnetického obvodu a změny rychlosti otáčení rotoru dále komplikuje řešení takových problémů. V těchto případech je nejvhodnější použít analytické metody přibližné řešení.

Mezi analytickými metodami pro přibližnou integraci soustav diferenciálních rovnic je velmi rozšířená integrace pomocí mocninných řad metodou sekvenční derivace. Tato metoda použitelné jak pro řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními a proměnnými koeficienty, tak pro řešení nelineárních úloh. Požadované konkrétní řešení je reprezentováno formou rozšíření Taylorovy řady. Účinnost metody do značné míry závisí na schopnosti výzkumníka využít a priori informace o fyzické povahy problém, který se řeší.

Pokud totiž sestavíme systém diferenciálních rovnic pro zdroj impulzů elektrického stroje, vezmeme-li proudy jako neznámé funkce, pak předem víme, že řešení budou představovat rychle oscilující funkce. Je zřejmé, že jejich znázornění ve formě Taylorovy řady bude vyžadovat velké množství termínů, tj. řešení bude extrémně těžkopádné. Diferenciální rovnice přechodových dějů je výhodnější skládat nikoli pro proudy, ale pro průtokové vazby. To je způsobeno skutečností, že se mění spojení toku vinutí

v čase jsou mnohem menší, protože jde zpravidla o monotónně se měnící funkce, k jejichž dostatečně přesné reprezentaci ve formě rozvoje Taylorovy řady je potřeba jen několik členů. Po určení vazeb toku jsou proudy nalezeny řešením obyčejných algebraických rovnic.

Jako příklad zvažte použití metody sekvenční diferenciace pro výpočet přechodných procesů generátoru pulsů ventilu.

Výpočet zatěžovacího proudu generátoru ventilu lze provést pomocí obalové křivky fázových proudů získaných při náhlém zapnutí synchronní generátor pro symetrickou třífázovou aktivní zátěž. Velikost ekvivalentního symetrického aktivního zatížení je určena poměrem R3 - 2/sRh. Pro výpočet křivky zatěžovacího proudu a fázových proudů je tedy nutné vyřešit kompletní systém diferenciálních rovnic synchronního generátoru při zapnutí na symetrickou aktivní zátěž.

Při určování proudu kotvy lze externí činný odpor přičíst k aktivnímu odporu statoru r = R3 + rc. Rovnice přechodových dějů synchronního generátoru v osách d, q mají tvar:

pYd= - Ud - (ü^q -rld, (1)

р - - Uq + с W6 riq , (2)

P^f = Uf - rfif , (3)

P^Dd - - rodiDcb (4)

PXVD:( = - rDq ioq , (5)

XfXDd - X2ag| m Xad(XDd-XaH) Tph. xad (Xj - Xpn) w

D " d ri " d Tßd 9

,* _ x°q w „ xaq /7)

q ~ "Ä7™ q q"

XdXDd ~~ x"ad ig xad (xDd "~"xad) m Xad(xd Xad) -TsG f ^ -D- 1 ~~ "-~D- d " ---- d" * "

XdXf X2ad yep xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w /n\ iDd = -~d- ^ Dd--D- Td --d--M» w)

D - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad(xd + xr -f X[)d), (11)

A" = XqXDq - X2aq. (12)

Analytické řešení soustavy rovnic (1-^12) in celkový pohled nepřítomný. Pokus o získání vypočtených vztahů pro proudy synchronního generátoru za přítomnosti aktivních odporů v obvodu statoru byl proveden v r. Autor se však dopustil chyby fyzikálně související s nepřípustností předpokladu konstantních vazeb toku podél podélné a příčné osy v točivém stroji za přítomnosti aktivního odporu v obvodu statoru. Na tuto chybu bylo poukázáno v, kde bylo získáno přesné řešení pro případ jednoho systému vinutí na rotoru a ukázala se nemožnost použití konvenčních metod řešení při uvažování dvou a více systémů vinutí na rotoru. Zde uvažovaný příklad je proto velmi zajímavý.

Dosazením (6-10) do (1-5) a uvážením, že Ud = Uq =: 0, získáme rovnice přechodných procesů napsané s ohledem na tokové vazby v normálním Coshově tvaru a:

[(x(x1)c1 - x.^H^ - xa(1(x0(1 - x^H^ _

3 d7~ (xOo(H^ x,1(] X^)

P^ = bm - ^ [(xc]x0c1 - x2aa) H*( - Xa(1 (XO(1 - xa)<1№

Ha<1 (хс! - Х^Ч^] ,

P =--- X2a(1)¥141 - vysoká (x( - x^H^

Hayo(Xc1 – x1)¥(] ,

r ChC = ^ -¿g (khch Ch^ - xch Ch^).

Předpokládejme, že před zapnutím zátěže pracoval synchronní generátor naprázdno s budícím proudem, počáteční podmínky jsou pak 1 = 0.

H^o = *Goxa = Mb^H"o = 1Goha (b HQ0 - O, ¥C(0 = 0.

Za přijatých počátečních podmínek může být řešení pro H^, Hbа, H^, Hbt reprezentováno ve formě rozšíření Maclaurinovy ​​řady

Podobně pro tokové vazby Ch^, Ch^, Tsh, Ch^. Počáteční hodnoty derivací tokových vazeb v rovnicích tvaru (18) lze snadno najít za známých počátečních podmínek postupným derivováním rovnic (13-17). Po dosazení počátečních hodnot tokových vazeb a jejich derivací do rovnic tvaru (18) získáme:

(3 = 1 Gohas1

XrX^ - x^\

^ = Cho má1 N

1 GHop « +2 1 ^ - 4 Г---7- Ш X

2 A" (x2ochg + x2achGoch)

X? 1 g(xaN (Hoa - Chlsl)®2

syo ~ 1 gól (1

1__GR(1 xyas1 (x( - xas!) s°2

L X2ad Rok

(20) (21) (22) (23)

Konvergenci řešení pro Ch"d, Ch^, Ch"sh, Chbch lze určit studiem zbytkových členů expanzí v Maclaurinově řadě (19-23)

KnN)= -^tm P(n+1) ^ (I), (24)

kde 0

Podobně pro "Rva, Podle zjištěných hodnot toku-

Podle vzorců lineárních transformací určujeme fázové proudy:

1a = ¡с) soe so 1 - ¡d a so 1(25) 1b = 1. vzlyk 1--- 1h e1p ^--> (26)

"-c = - 1a ->b- (27)

Zatěžovací proud generátoru pulsů ventilu se zjistí jako součet okamžitých hodnot fázových proudů 1a, 1b, ¡c stejného znaménka.

Pomocí uvažované metody byly vypočteny přechodové procesy generátoru pulsů ventilu s parametry:

X(1 = = Hos! = xvch = 1,05; xa(1 = xas, = 1; x( = 1,2; gs = g.-!! = goa = = 0,02; In = 0,05).

Na Obr. Obrázek 1 ukazuje vypočtené křivky fázových proudů \ъ, ¡с a zatěžovacího proudu ¡ts. Porovnání analytických výpočtů s výsledky získanými na AVM MN-14 během výzkumu na kompletní systém rovnice, dává

Rýže. 1. Vypočítané křivky tokos bez generátoru a zátěže

dobrá konvergence. Posouzení konvergence řešení studiem zbývajícího členu expanze v Maclaurinově řadě (24) také ukazuje, že maximální chyba výpočtu nepřesahuje 5-=-7 %.

Metodu sekvenční diferenciace lze použít k analýze přechodových procesů elektrických strojních pulzních zdrojů, jejichž rovnice obsahují proměnné koeficienty. Studium přechodných dějů popsaných nelineárními diferenciálními rovnicemi také nenaráží při použití této metody na zásadní potíže, ale její použití v tomto případě může vést k těžkopádným výrazům. Pro správná volba typu původní soustavy diferenciálních rovnic, je nutné ve všech případech využívat apriorní informace o fyzikálním obrazu procesů, což značně zjednodušuje řešení.

LITERATURA

1. I. I. Treshchev. Metody strojového výzkumu AC. "Energie", 1969.

2. A.I. Základy teorie přechodných procesů synchronního stroje. Gosenergoizdat, 1960.

3. K o n k o r d i a. Synchronní stroje. Gosenergoizdat, 1959.

4. E. Ja. Přechodové děje ve střídavých elektrických strojích. Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1962.

5. L. E. Elsgolts. Diferenciální rovnice a variační počet. "Věda", 1969.

6. G. A. Sipailov, A. V. L o o s, Yu I. Ryabchikov. Studium přechodových procesů generátoru pulsů ventilu. Izv. TPI. Skutečná sbírka.