Vytváření grafů závislostí
Souřadnice z času
s rovnoměrným pohybem
Problém 7.1. Jsou uvedeny tři grafy závislostí v x = v x(t) (obr. 7.1). To se ví X(0) = 0. Sestavte grafy závislostí X = X(t).
Řešení. Protože všechny grafy jsou rovné čáry, pohyb podél osy X stejně variabilní. Protože v x se pak zvyšuje a x > 0.
V případě 1 v x(0) = 0 a X(0) = 0, tedy závislost X = X(t) docela jednoduché: X(t) = = . Protože a x> 0 rozvrh X(t) bude parabola s vrcholem v bodě 0, jejíž větve směřují vzhůru (obr. 7.2).
V případě 2 X(t) = υ 0 x t + je také rovnice paraboly. Pojďme zjistit, kde bude vrchol této paraboly. Momentálně t 1 (t 1 < 0) проекция скорости меняет свой знак: до момента t 1 v x < 0, а после момента t 1 v x> 0. To znamená, že do okamžiku t 1 těleso se pohybovalo v záporném směru osy X a po chvíli t 1 – v pozitivním směru. Tedy v tuto chvíli t 1 tělo odevzdané zatočit. Proto až do této chvíle t 1 souřadnice X(t) klesla a po chvíli t 1 x(t) se stal
Zastávka! Rozhodněte se sami: A2, B1, B2.
Problém 7.2. Podle tohoto rozvrhu υ x = υ x(t) (obr. 7.5) sestavte grafy a x(t) A X(t). Počítat X(0) = 0.
Řešení.
1. Kdy tÎ rovnoměrně zrychlený pohyb podél osy X bez počáteční rychlosti.
2. Kdy tÎ rovnoměrný pohyb podél osy X.
3. Kdy tÎ rovnoměrně pomalý pohyb podél osy X. Momentálně t= 6 s se těleso zastaví, zatímco a x < 0.
4. Kdy tÎ rovnoměrně zrychlený pohyb ve směru opačném ke směru osy X, a x < 0.
Na webu a x= 1 m/s;
na místě a x = 0;
na místě
a x = 
–2 m/s2.
Naplánovat a x(t) je znázorněn na obrázku 7.6.
Nyní vytvoříme graf X = X(t).
Na místě rozvrhu X(t) je parabola s vrcholem v bodě 0. Význam X(2) = s 02 se rovná ploše pod grafem υ x(t) na webu, tzn. s 02 = 2 m. X(2) = 2 m (obr. 7.7).
Pohyb v oblasti je rovnoměrný při konstantní rychlosti 2 m/s. Graf závislosti X(t) v této části je přímka. Význam X(5) = X(2) + s 25 kde s 25 – dráha ujetá za čas (5 s – 2 s) = 3 s, tzn. s 25 = (2 m/s) × (3 s) = 6 m. X(5) = = 2 m + 6 m = 8 m (viz obr. 7.7).
Rýže. 7.7 Obr. 7.8
Na webu a x= –2 m/s 2< 0, поэтому графиком X(t) je parabola, jejíž větve směřují dolů. Vrchol paraboly odpovídá časovému okamžiku t= 6 s, protože υ x= 0 at t= 6 s Hodnota souřadnice X(6) = X(5) + s 56 kde s 56 – cesta ujetá v určitém časovém období, s 56 = 1 m, tedy X(6) = 8 m + 1 m = 9 m.
Na souřadnici webu X(t) klesá, X(7) = x(6) – s 67 kde s 67 – cesta ujetá v určitém časovém období, s 67 = = 1 m, tedy X(7) = 9 m – 1 m = 8 m.
Konečný rozvrh x = x(t) je znázorněn na Obr. 7.8.
Zastávka! Vyřešte sami: A1 (b, c), B3, B4.
Pravidla pro tvorbu grafů x = x(t)
podle jízdních řádů v x = v x(t)
1. Je nutné rozbít rozvrh υ x = υ x(t) do sekcí tak, aby v každé sekci byla splněna následující podmínka: a x= konst.
2. Vezměte v úvahu, že v těch oblastech, kde a x= 0, graf x = x(t) je rovný a kde a x= konst ¹ 0, graf x = x(t) je parabola.
3. Při konstrukci paraboly vezměte v úvahu, že: a) větve paraboly směřují vzhůru, pokud a x> 0 a dolů, pokud a x < 0; б) координата t ve vrcholech paraboly je v bodě, ve kterém υ x(t c) = 0.
4. Mezi úseky pozemku x = x(t) by neměly být žádné zauzlování.
5. Je-li známa aktuální hodnota souřadnice t 1 x(t 1) = X 1, pak aktuální hodnota souřadnice t 2 > t 1 je určen vzorcem x(t 2) = X 1 + s + – s- , Kde s+ – plocha pod grafem υ x = υ x(t), s – – oblast nad grafem υ x = υ x(t) na webu [ t 1 , t 2 ], vyjádřené v jednotkách délky s přihlédnutím k měřítku.
6. Počáteční hodnota souřadnice X(t) musí být uvedeno v prohlášení o problému.
7. Graf je sestaven postupně pro každý úsek, počínaje bodem t = t 0, řádek x = x(t) – vždy souvisle, takže každá následující sekce začíná v místě, kde končí předchozí.
Problém 7.3. Podle tohoto rozvrhu υ x = υ x(t) (obr. 7.9, A) vytvořit graf x = x(t). To se ví X(0) = 1,5 m.
Řešení
.
1. Rozvrh υ x = υ x(t) se skládá ze dvou částí: , na kterých a x < 0 и , на котором a x > 0.
2. Na rozvrhu stránek x = x(t) je parabola, jejíž větve směřují dolů, protože a x < 0. Координата вершины t za = 1 s, protože υ x(1) = 0, X(1) = X(0) + s 01 = = 1,5 m + 2,0 m Parabola protíná osu X na místě X= 1,5 m, od x(0) = 1,5 m podle problémových podmínek (obr. 7.9, b).
3. Na místě dle harmonogramu x = x(t) je také parabola, ale s větvemi nahoru, protože a x> 0. Jeho vrchol je v bodě tв = 3с, protože υ x(3) = 0.
Hodnoty souřadnic X v časech 2s, 3s, 4s je snadné najít:
X(2) = X(1) – s 12 = 2 m – 1,5 m;
X(3) = X(2) – s 23 = 1,5 m – 1 m;
X(4) = X(3) + s 34 = 1 m + 1,5 m.
Zastávka! Vyřešte sami: A1 (a), B5 (d, f, g).
Problém 7.4. Podle tohoto rozvrhu x = = x(t) vytvořit graf υ x = υ x(t). Naplánovat x = x(t) se skládá z částí dvou parabol (obr. 7.10, A).
Řešení.
1. Všimněte si, že v tuto chvíli t= 0 υ x < 0, так как X klesá;
momentálně t= 1 s υ x= 0 (vrchol paraboly);
momentálně t= 2 s υ x> 0, od X roste;
Problém 40762
Těleso bez počáteční rychlosti spadne do dolu hlubokého 100 km. Nakreslete graf závislosti okamžité rychlosti na čase. Odhadněte maximální rychlost pohybu těla.
Problém 10986
Rovnice přímočarý pohyb má tvar x = At+Bt2, kde A = 3 m/s, B = -0,25 m/s2. Sestavte grafy souřadnic a drah v závislosti na čase pro daný pohyb.
Problém 40839
Těleso se pohybuje ve směru opačném k ose X rychlostí 200 m/s. Nakreslete graf V x (t). Graficky zjistěte posun tělesa podél osy X během prvních 4 s pohybu.
Problém 26400
Závislost X souřadnice na čase t je určena rovnicí X = –1 + 2t – 3t 2 + 3t 3. Určete závislost rychlosti a zrychlení na čase; vzdálenost, kterou tělo urazí za t = 4 sekundy od začátku pohybu; rychlost a zrychlení těla po t = 4 sekundy od začátku pohybu; průměrná rychlost a průměrné zrychlení během poslední sekundy pohybu. Vykreslete grafy rychlosti a zrychlení tělesa v časovém intervalu od 0 do 4 sekund.
Problém 12242
Pomocí dané rovnice pro dráhu, kterou urazí těleso s = 4 + 2t + 5t 2, sestrojte graf závislosti rychlosti na čase za první 3 s. Určete vzdálenost, kterou těleso urazilo za tuto dobu?
Problém 15931
Pohybová rovnice bodu má tvar x = –1,5t. Pomocí rovnice určete: 1) souřadnici x 0 bodu v počátečním časovém okamžiku; 2) počáteční rychlost v 0 bodů; 3) zrychlení a bodu; 4) napište vzorec pro závislost rychlosti na čase v = f(t); 5) nakreslete závislost souřadnice na čase x = f(t) a rychlosti na čase v = f(t) v intervalu 0
Problém 15933
Pohybová rovnice bodu má tvar x = 1–0,2t 2. Pomocí rovnice určete: 1) souřadnici x 0 bodu v počátečním časovém okamžiku; 2) počáteční rychlost v 0 bodu; 3) zrychlení a bodu; 4) napište vzorec pro závislost rychlosti na čase v = f(t); 5) nakreslete závislost souřadnice na čase x = f(t) a rychlosti na čase v = f(t) v intervalu 0
Problém 15935
Pohybová rovnice bodu má tvar x = 2+5t. Pomocí rovnice určete: 1) souřadnici x 0 bodu v počátečním časovém okamžiku; 2) počáteční rychlost v 0 bodu; 3) zrychlení a bodu; 4) napište vzorec pro závislost rychlosti na čase v = f(t); 5) nakreslete závislost souřadnice na čase x = f(t) a rychlosti na čase v = f(t) v intervalu 0
Problém 15937
Pohybová rovnice bodu má tvar x = 400–0,6t. Pomocí rovnice určete: 1) souřadnici x 0 bodu v počátečním časovém okamžiku; 2) počáteční rychlost v 0 bodu; 3) zrychlení a bodu; 4) napište vzorec pro závislost rychlosti na čase v = f(t); 5) nakreslete závislost souřadnice na čase x = f(t) a rychlosti na čase v = f(t) v intervalu 0
Problém 15939
Pohybová rovnice bodu má tvar x = 2t–t 2. Pomocí rovnice určete: 1) souřadnici x 0 bodu v počátečním časovém okamžiku; 2) počáteční rychlost v 0 bodu; 3) zrychlení a bodu; 4) napište vzorec pro závislost rychlosti na čase v = f(t); 5) nakreslete závislost souřadnice na čase x = f(t) a rychlosti na čase v = f(t) v intervalu 0
Problém 17199
V elektrický obvod s nízkým činným odporem, obsahující kondenzátor o kapacitě C = 0,2 μF a indukční cívku L = 1 mH, síla proudu při rezonanci se mění podle zákona I = 0,02sinωt. Najděte okamžitou hodnotu proudu a také okamžité hodnoty napětí na kondenzátoru a cívce po 1/3 periody od začátku kmitů. Sestavte grafy závislosti proudu a napětí na čase.
Problém 19167
Kondenzátor o kapacitě 0,5 μF byl nabit na napětí 20 V a připojen k cívce s indukčností 0,65 H a odporem 46 Ohmů. Najděte rovnici pro proud in oscilační obvod. Jak dlouho bude trvat, než se amplituda proudu sníží o faktor 4? Nakreslete graf závislosti proudu na čase.
Vozík o hmotnosti m 1 =210 kg s osobou o hmotnosti m 2 =70 kg se pohybuje volně vodorovně rychlostí v 1 =3 m/s. Osoba skočí v opačném směru, než je pohyb vozíku. Rychlost vozíku se rovná u 1 =4 m/s. Najděte horizontální složku rychlosti u 2x osoby vzhledem k vozíku během skoku.
