Schody. Vstupní skupina. Materiály. Dveře. Hrady a zámky Design

Nabízíme vám pohodlné zdarma online kalkulačka pro řešení kvadratických rovnic. Pomocí jasných příkladů můžete rychle získat a pochopit, jak jsou řešeny.
K výrobě řešit kvadratickou rovnici online, nejprve snižte rovnici na celkový vzhled:
ax 2 + bx + c = 0
Vyplňte odpovídajícím způsobem pole formuláře:

Jak řešit kvadratickou rovnici

Příklad 1. Řešení obyčejné kvadratické rovnice s různými reálnými kořeny.
x 2 + 3 x -10 = 0
V této rovnici
A = 1, B = 3, C = -10
D=B2-4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
odmocnina Označíme to jako číslo 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Pro kontrolu nahraďte:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Příklad 2. Řešení kvadratické rovnice s odpovídajícími reálnými kořeny.
x 2 – 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Pojďme nahradit
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Příklad 3. Řešení kvadratické rovnice s komplexními kořeny.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 – 52 = -36
Diskriminant je negativní – kořeny jsou složité.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, kde I je druhá odmocnina z -1

Zde jsou vlastně všechny možné případy řešení kvadratických rovnic.
Doufáme, že naše online kalkulačka bude pro vás velmi užitečné.
Pokud byl materiál užitečný, můžete

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Odtud vidíme, že existuje jedna rovnice 3 * x – 1 = 0.

Dostali jsme lineární rovnici ve tvaru 3 * x – 1 = 0

Abychom mohli rovnici vyřešit, určíme, jaké vlastnosti má rovnice:

• Rovnice je lineární a je zapsána jako a * x + b = 0, kde a a b jsou libovolná čísla;
• Když a = b = 0, rovnice má nekonečný počet řešení;
• Jestliže a = 0, b ≠ 0, rovnice nemá řešení;
• Jestliže a ≠ 0, b = 0, rovnice má řešení: x = 0;
• Pokud a a b jsou jakákoli čísla jiná než 0, pak se kořen najde pomocí následujícího vzorce x = - b/a.

Odtud dostaneme, že a = 3, b = - 1, což znamená, že rovnice má jeden kořen.

Kontrola řešení rovnice

Nalezenou hodnotu x = 1/3 dosadíme do původního výrazu |3 * x - 1| = 0, pak dostaneme:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Abychom našli hodnotu výrazu, nejprve vypočítáme násobení nebo dělení a poté sčítáme nebo odečítáme. To znamená, že dostaneme:

To znamená, že x = 1/3 je kořenem rovnice |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Modul se otevírá znaménkem plus a mínus. Dostaneme 2 rovnice:

1) 3* x - 1 = 0;

Známé hodnoty přenášíme na jednu stranu a neznámé hodnoty na druhou stranu. Při přenosu hodnot se jejich znaménka změní na opačné znaménko. To znamená, že dostaneme:
3* x = 0 + 1;
3* x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Otevření závorek. Protože před závorkami je znaménko mínus, při jejich rozbalení se znaménka hodnot změní na opačné znaménko. To znamená, že dostaneme:
- 3* x + 1 = 0;
-3* x = -1;
x = -1/(-3);
x = 1/3;
Odpověď: x = 1/3.

Uvažujme rovnici x^2=a, kde a může být libovolné číslo. Existují tři případy řešení této rovnice v závislosti na hodnotě, kterou nabývá číslo a (a0).

Zvažme každý případ zvlášť.

Příklady různých případů rovnice x^2=a

x^2=a, pro a<0

Protože druhá mocnina jakéhokoli reálného čísla nemůže být záporné číslo, platí rovnice x^2=a pro a

x^2=a, s a=0

V tomto případě má rovnice jeden kořen. Tento kořen je číslo 0. Protože rovnici lze přepsat jako x*x=0, také se někdy říká, že tato rovnice má dva kořeny, které jsou si navzájem rovné a rovné 0.

x^2=a, pro a>0

V tomto případě je rovnice x^2=a pro a řešena následovně. Nejprve se přesuneme a na levou stranu.

Z definice odmocniny vyplývá, že a lze zapsat následující formulář: a=(√a)^2. Potom lze rovnici přepsat takto:

x^2 - (√a)^2 = 0.

Na levé straně vidíme vzorec pro rozdíl čtverců;

(x+√a)*(x-√a)=0;

Součin dvou závorek je roven nule, pokud je alespoň jedna z nich rovna nule. Proto,

Tedy x1=√a x2=-√a.

Toto řešení lze zkontrolovat vynesením grafu.

Udělejme to například pro rovnici x^2 = 4.

Chcete-li to provést, musíte sestavit dva grafy y=x^2 a y=4. A podívejte se na x souřadnice jejich průsečíků. Kořeny by měly být 2 a -2. Vše je jasně vidět na obrázku.

Potřebujete pomoci se studiem?

I. Lineární rovnice

II. Kvadratické rovnice

sekera 2 + bx +C= 0, A≠ 0, jinak se rovnice stane lineární

Kořeny kvadratické rovnice lze vypočítat různými způsoby, Například:

Jsme dobří v řešení kvadratických rovnic. Mnoho rovnic vyšších stupňů lze redukovat na kvadratické rovnice.

III.

Rovnice redukované na kvadratické. sekera změna proměnné: a) bikvadratická rovnice bx 2n+ C = 0,A ≠ 0,n+ ≥ 2

n

2) symetrická rovnice 3. stupně – rovnice tvaru

sekera 4 + bx 3 + 3) symetrická rovnice 4. stupně – rovnice tvaru 2 +cx + bx = 0, bx A ≠ 0, koeficienty a b c b a

sekera 4 + bx 3 + 3) symetrická rovnice 4. stupně – rovnice tvaru 2 –cx + bx = 0, bx nebo ≠ 0, koeficienty

a b c (–b) a Protože x Protože= 0 není kořen rovnice, pak je možné obě strany rovnice vydělit

2, pak dostaneme: . bx(Provedením substituce vyřešíme kvadratickou rovnici 2 – 2) + t + bt = 0

C Protože 4 – 2Protože 3 – Protože 2 – 2Protože Například vyřešme rovnici Protože 2 ,

+ 1 = 0, vydělte obě strany Provedením substituce vyřešíme kvadratickou rovnici 2 – 2Provedením substituce vyřešíme kvadratickou rovnici – 3 = 0

, po nahrazení dostaneme rovnici

– rovnice nemá kořeny. 4) Rovnice formuláře ()(x–a)(x–b)(x–c) = x–d Sekera 2, koeficienty

ab = cd Například ()(x+2)(x +3)(x+8) = x+12 4x Protože 2 + 14Protože+ 24)(Protože 2 +11Protože + 24) = 4Protože 2. Vynásobením 1–4 a 2–3 závorek dostaneme ( Protože 2, vydělte obě strany rovnice

2, dostaneme: Provedením substituce vyřešíme kvadratickou rovnici+ 14)(Provedením substituce vyřešíme kvadratickou rovnici + 11) = 4.

Máme (

5) Homogenní rovnice 2. stupně - rovnice tvaru P(x,y) = 0, kde P(x,y) je polynom, jehož každý člen má 2. stupeň.

Odpověď: -2; -0,5; 0

IV. Všechny výše uvedené rovnice jsou rozpoznatelné a typické, ale co rovnice libovolného tvaru? Nechť je dán polynom P Protože) = bx n ( Protože n bx n+ Protože n-1 bx n-1 + ...+ 1x+ A bx 0, kde

n ≠ 0

Uvažujme o metodě snížení stupně rovnice. bx Je známo, že pokud koeficienty bx jsou celá čísla a Nechť je dán polynom P Protože n = 1, pak celočíselné kořeny rovnice bx) = 0 patří mezi dělitele volného členu Protože 4 + 2Protože 3 – 2Protože 2 – 6Protože 0 Například, Nechť je dán polynom+ 5 = 0, dělitelé čísla 5 jsou čísla 5; –5; 1; –1. Pak Protože 4 (1) = 0, tj. Nechť je dán polynom 4 (Protože) = 0 dělením polynomu s „rohem“ faktorem x –1 získáme

Nechť je dán polynom 4 (Protože) = (Protože – 1)(Protože 3 + 3Protože 2 + Protože – 5).

Rovněž, Nechť je dán polynom 3 (1) = 0, tedy Nechť je dán polynom 4 (Protože) = (Protože – 1)(Protože – 1)(Protože 2 + 4Protože+5), tzn. rovnice Nechť je dán polynom 4 (x) = 0 má kořeny Protože 1 = Protože 2 = 1. Ukážeme si více krátké řešení tuto rovnici (s použitím Hornerova schématu).

Prostředek, Protože 1 = 1 znamená Protože 2 = 1.

Takže, ( Protože– 1) 2 (Protože 2 + 4Protože + 5) = 0

co jsme udělali? Snížili jsme stupeň rovnice.

V. Uvažujme symetrické rovnice 3. a 5. stupně.

A) sekera 3 + bx 2 + bx + bx= 0, jasně Protože= –1 je kořen rovnice, pak snížíme stupeň rovnice na dva.

b) sekera 5 + bx 4 + 3) symetrická rovnice 4. stupně – rovnice tvaru 3 + 3) symetrická rovnice 4. stupně – rovnice tvaru 2 + bx + bx= 0, jasně Protože= –1 je kořen rovnice, pak snížíme stupeň rovnice na dva.

Ukažme si například řešení rovnice 2 Protože 5 + 3Protože 4 – 5Protože 3 – 5Protože 2 + 3Protože + = 0

Protože = –1

Dostáváme ( Protože – 1) 2 (Protože + 1)(2Protože 2 + 5Protože+ 2) = 0. To znamená, že kořeny rovnice jsou: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Zde je seznam různých rovnic k řešení ve třídě i doma.

Doporučuji čtenáři, aby si rovnice 1–7 vyřešil sám a dostal odpovědi...

Kvadratické rovnice se učí v 8. třídě, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je naprosto nezbytná.

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Před studiem konkrétních metod řešení si všimněte, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:

1. Nemají kořeny;
2. Mít přesně jeden kořen;
3. Mají dva různé kořeny.

To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými rovnicemi a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0, pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:

1. Pokud D< 0, корней нет;
2. Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
3. Pokud D > 0, budou dva kořeny.

Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů, a vůbec ne jejich znaky, jak z nějakého důvodu mnoho lidí věří. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:

Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišme si koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Analyzujeme druhou rovnici podobným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Poslední rovnice zbývá:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - odmocnina bude jedna.

Vezměte prosím na vědomí, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to únavné, ale nespletete si šance a nebudete dělat hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.

Mimochodem, pokud na to přijdete, po chvíli už nebudete muset zapisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní přejděme k samotnému řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:

Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:

Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazování záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže technika popsaná výše: podívejte se na vzorec doslova, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavíte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice se mírně liší od toho, co je uvedeno v definici. Například:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je snadné si všimnout, že v těchto rovnicích chybí jeden z členů. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nevyžadují ani výpočet diskriminantu. Pojďme si tedy představit nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.

Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.

Podívejme se na zbývající případy. Nechť b = 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Trochu ji transformujme:

Protože aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze pro (−c /a) ≥ 0. Závěr:

1. Pokud je v neúplné kvadratické rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splněna nerovnost (−c /a) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
2. Pokud (−c /a)< 0, корней нет.

Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován – v neúplných kvadratických rovnicích nejsou vůbec žádné složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je negativní, nebudou tam žádné kořeny.

Nyní se podívejme na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:

Součin je nula, když je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud pramení kořeny. Na závěr se podívejme na několik z těchto rovnic:

Úkol. Řešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistují žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.