Komplexní čísla jsou minimálním rozšířením množiny reálných čísel, které známe. Jejich zásadní rozdíl je v tom, že se objeví prvek, který při umocnění dává -1, tzn. já nebo .

Každé komplexní číslo se skládá ze dvou částí: skutečné a imaginární:

Je tedy zřejmé, že množina reálných čísel se shoduje s množinou komplexních čísel s nulovou imaginární částí.

Nejoblíbenějším modelem pro množinu komplexních čísel je obyčejná rovina. První souřadnice každého bodu bude jeho skutečnou částí a druhá bude jeho imaginární částí. Role samotných komplexních čísel pak budou vektory se začátkem v bodě (0,0).

Operace zapnuty komplexní čísla.

Ve skutečnosti, pokud vezmeme v úvahu model množiny komplexních čísel, je intuitivně jasné, že sčítání (odčítání) a násobení dvou komplexních čísel se provádí stejným způsobem jako odpovídající operace s vektory. Navíc máme na mysli vektorový součin vektorů, protože výsledkem této operace je opět vektor.

1.1 Doplnění.

(Jak vidíte, tuto operaci přesně odpovídá)

1.2 Odečítání, podobně se vyrábí podle následujícího pravidla:

2. Násobení.

3. Rozdělení.

Definováno jednoduše jako inverzní operace násobení.

Trigonometrický tvar.

Modul komplexního čísla z je následující veličina:

,

zjevně je to opět jen modul (délka) vektoru (a,b).

Nejčastěji se modul komplexního čísla označuje jako ρ.

Ukazuje se, že

z = ρ(cosφ+isinφ).

Z trigonometrické formy zápisu komplexního čísla přímo vyplývá následující: vzorce :

Poslední vzorec se nazývá Moivreův vzorec. Vzorec je odvozen přímo z něj n-tá odmocnina komplexního čísla:

existuje tedy n-tá odmocnina komplexního čísla z.

Plán lekce.

1. Organizační moment.

2. Prezentace materiálu.

3. Domácí úkol.

4. Shrnutí lekce.

Postup lekce

I. Organizační moment.

II. Prezentace materiálu.

Motivace.

Rozšíření množiny reálných čísel spočívá v přidávání nových čísel (imaginárních) k reálným číslům. Zavedení těchto čísel je způsobeno nemožností extrahovat odmocninu záporného čísla v množině reálných čísel.

Úvod do pojmu komplexní číslo.

Imaginární čísla, kterými doplňujeme reálná čísla, se zapisují ve tvaru bi, Kde i je pomyslná jednotka a i 2 = - 1.

Na základě toho získáme následující definici komplexního čísla.

Definice. Komplexní číslo je vyjádřením tvaru a+bi, Kde A A b- reálná čísla. V tomto případě jsou splněny následující podmínky:

a) Dvě komplexní čísla a 1 + b 1 i A a 2 + b 2 i rovná tehdy a jen tehdy a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Sčítání komplexních čísel je určeno pravidlem:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Násobení komplexních čísel je určeno pravidlem:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraický tvar komplexního čísla.

Zápis komplexního čísla ve tvaru a+bi se nazývá algebraická forma komplexního čísla, kde A- skutečná část, bi je imaginární část a b– skutečné číslo.

Komplexní číslo a+bi je považován za rovný nule, pokud se jeho skutečná a imaginární část rovnají nule: a = b = 0

Komplexní číslo a+bi na b = 0 považovány za stejné jako reálné číslo A: a + 0i = a.

Komplexní číslo a+bi na a = 0 se nazývá čistě imaginární a označuje se bi: 0 + bi = bi.

Dvě komplexní čísla z = a + bi A = a – bi, lišící se pouze znaménkem imaginární části, se nazývají konjugované.

Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru.

S komplexními čísly v algebraické podobě můžete provádět následující operace.

1) Doplnění.

Definice. Součet komplexních čísel z 1 = a 1 + b 1 i A z2 = a2 + b2 i se nazývá komplexní číslo z, jehož reálná část se rovná součtu reálných částí z 1 A z 2, a imaginární část je součtem imaginárních částí čísel z 1 A z 2, to je z = (ai + a2) + (bi + b2)i.

Čísla z 1 A z 2 se nazývají termíny.

Sčítání komplexních čísel má následující vlastnosti:

1º. Komutativnost: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexní číslo –a –bi nazýván opakem komplexního čísla z = a + bi. Komplexní číslo, opak komplexního čísla z, označené -z. Součet komplexních čísel z A -z rovná se nule: z + (-z) = 0

Příklad 1: Proveďte sčítání (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odečítání.

Definice. Odečtěte od komplexního čísla z 1 komplexní číslo z 2 z, Co z + z 2 = z 1.

Teorém. Rozdíl mezi komplexními čísly existuje a je jedinečný.

Příklad 2: Proveďte odčítání (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Násobení.

Definice. Součin komplexních čísel z 1 = a 1 + b 1 i A z 2 = a 2 + b 2 i se nazývá komplexní číslo z, definovaný rovností: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Čísla z 1 A z 2 se nazývají faktory.

Násobení komplexních čísel má následující vlastnosti:

1º. Komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivita násobení vzhledem k sčítání:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- skutečné číslo.

V praxi se násobení komplexních čísel provádí podle pravidla násobení součtu součtem a oddělení reálné a imaginární části.

V následujícím příkladu budeme uvažovat o násobení komplexních čísel dvěma způsoby: pravidlem a násobením součtu součtem.

Příklad 3: Proveďte násobení (2 + 3i) (5 – 7i).

1 způsob. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Rozdělení.

Definice. Rozděl komplexní číslo z 1 na komplexní číslo z 2, znamená najít takové komplexní číslo z, co z · z 2 = z 1.

Teorém. Podíl komplexních čísel existuje a je jedinečný, jestliže z 2 ≠ 0 + 0i.

V praxi se podíl komplexních čísel zjistí vynásobením čitatele a jmenovatele konjugátem jmenovatele.

Nechat z 1 = a 1 + b 1 i, z2 = a2 + b2 i, Pak

.

V následujícím příkladu provedeme dělení pomocí vzorce a pravidla násobení číslem konjugovaným do jmenovatele.

Příklad 4. Najděte podíl .

5) Povýšení na pozitivní celkovou sílu.

a) Mocniny imaginární jednotky.

Využití rovnosti i2 = -1, je snadné definovat libovolnou kladnou celočíselnou mocninu imaginární jednotky. máme:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 atd.

To ukazuje, že hodnoty stupně já n, Kde n– kladné celé číslo, periodicky se opakující, jak se indikátor zvyšuje o 4 .

Proto pro zvýšení počtu i na kladnou celou mocninu, musíme exponent vydělit 4 a stavět i na mocninu, jejíž exponent se rovná zbytku dělení.

Příklad 5: Vypočítejte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Umocnění komplexního čísla na kladnou celočíselnou mocninu se provádí podle pravidla pro umocnění binomu na odpovídající mocninu, protože jde o speciální případ násobení stejných komplexních faktorů.

Příklad 6: Vypočítejte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.