Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн

Движение

Отображение плоскости на себя

• Каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят,что дано отображение плоскости на себя.

• Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

• Центральная симметрия также представляет собой отображение плоскости на себя.

Понятие движения

• Осевая симметрия обладает важным свойством - это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

• Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

• Центральная симметрия плоскости также является отображение плоскости на себя

ТЕОРЕМА №1

• При движении отрезок отображается на отрезок.

ТЕОРЕМА №1

• Дано: отрезок MN.

• Доказать:1.MN отображается при заданном движение M1N1 ;2.P отображается в P1;

Доказательство

• I.1)MP+PN=MN(из условия)

• 2)т.к. при движение расстояние сохраняется =>M1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 ПРИНАДЛЕЖИТ M1N1 =>точки MN отображается в отрезке M1N1

• II.Пусть P1 произвольная точка M1N1, а точка P при заданном движении отображается в P1

• Из соотношения равенства (1) и M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>PпринадлежитMN.

Следствие

• Из теоремы №1 следует, что при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок => треугольник отображается на треугольник с равными сторонами, т.е.на равный треугольник при движении. Из теоремы №1следует, что при движении:

• 1)прямая отображается на прямую;

• 2)луч- на луч;

• 3)угол- на равный ему угол.

Наложения и движения

• Фигура Ф равна фигуре Ф1 , если фигуру Ф можно совместить с фигурой Ф1 .Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1.При этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определенную точку плоскости, т. е. наложение – это отображение плоскости на себя.

• Наложения – это такие отображения плоскости на себя, которые обладают, свойствами выраженными в аксиомах. Они позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при решении задач

Теорема №2

• При наложение различных точки отображаются в различные точки.

Доказательство

Предположим, что это не так, т.е. при некотором положении какие-то точки A и B отображаются, в Ф2=Ф1,т.е.при некотором наложении Ф2 отображается в Ф1.Но это невозможно, т.к. наложение-это отображение, а при любом отображении, С становится в соответствие только одна точка плоскости =>при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Пусть при наложении концы A и В отрезка АВ отображаются в А1 и В1. Тогда,АВ отображается на А1 В1 => АВ=А1В1. Т.к равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние, т.е. любое наложение является движением плоскости.

Теорема №3

• Любое движение является наложением.

Теорема №3

• Дано:g-произвольное движение треугольника ABC отображается в треугольник A1 B1 C1

• f- наложение, при котором точки A,B,C отображаются в A1 B1 C1 .

• Доказать:g совпадает c f.

Доказательство

Предположим, что g не совпадает с f=> на плоскости найдется хотя бы 1-ая точка M, которая при движении g отображается в M1, а при наложении f- в M2. Т.к. при отображениях f и g сохраняется расстояние, то AM=A1M1, AM=A1M2 ,т.е. точка A1 равноудалена от M1 и M2=>A1,B1 и C1 лежат на серединном перпендикуляре к M1 M2.Но это невозможно, т.к. вершины треугольника A1B1C1 не лежат на одной прямой.Таким образом g совпадает f,т.е. движение g является наложением.

Следствие

• При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру .

Параллельный перенос

• Пусть а – данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что вектор ММ1 равен вектору а

Теорема №4

• Параллельный перенос является движение, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Теорема №4

• Дано: При параллельном переносе на а,M и N отображаются в M1 и N1.

• Доказать:MN=M1N1.

Доказательство

• Т.к. MM1= а, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 и MM1=NN1 => MM1NN1-параллелограмм =>MN=M1N1,т.е. расстояние между M и N= расстоянию между M1и N1.

• Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что ОМ=ОМ1 и угол МОМ1 равен а. При этом точка О остается на месте, т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении –по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Теорема №5

• Поворот является движением , т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние.

Теорема №5

• Дано: О- центр поворота d- угол поворота против часовой стрелки

• Доказать: MN=M1N1

Доказательство

• Допустим, что при этом повороте M и N отображаются в M1 и N1.

• Треугольник OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, угол MON=углу M1ON1).Из этого равенства следует, что MN=M1N1,т.е. расстояние между M и N= расстоянию между M1 и N1.

• Поворот сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение.

Дано: Угол АОВ и угол А1О1В1.

• Дано: Угол АОВ и угол А1О1В1.

• Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

РЕШЕНИЕ

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол А1О1В1, причем точки А.О.в отображаются соответственно в точки А1,О1,В1. так как при движении сохраняются расстояния, то ОА=О1А1, ОВ= О1В1. Если угол АОВ неразвернутый, то треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам, и, следовательно, угол АОВ= углу А1О1в1. Если угол АОВ развернутый, то и угол А1О1В1 развернутый, поэтому они равны.

• Задача № 2

РЕШЕНИЕ

• Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам. Следовательно, существует наложение, т.е движение, при котором точки А,В и С отображаются соответственно в точки А1, В1 и С1.Это движение является единственным движением, при котором точки А,В и С отображаются в точки А1В1и С1.

• Задача №3. Начертите треугольник АВС, вектор ММ1, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне АС. Постройте треугольник А1В1С1, который получается из треугольника АВС параллельным переносом: а) на вектор ММ1; б) на вектор а.

• Дано:

• Решение

б) Решение

• б) Решение

• Свойство 1 (сохранение прямолинейности). При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .

• Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.

• Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.

• Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.

• Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.

• Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

• Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY".

• Основное свойство переноса:

• Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY.

• Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.

• Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.

• Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х.

• Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.

• Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY.

• Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.

• Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA".

• Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) .

• Точки A и A" называются симметричными относительно плоскости, если отрезок AA" перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

• Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.

• Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.

• Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

• Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A", что прямая a перпендикулярна отрезку AA" и пересекает его в середине. Про такие точки A и A" говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.