Σκάλες. Ομάδα εισόδου. Υλικά. Πόρτες. Κλειδαριές. Σχέδιο

ΣΕ Εργασίες Ενιαίας Κρατικής ΕξετάσεωνΣτα μαθηματικά, πρέπει να πληροίτε τη μελέτη μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την παράγωγό της. Μαθηματική ανάλυση- δεν είναι το πιο εύκολο πράγμα στον κόσμο. Αλλά στα CMM δεν υπάρχει τίποτα που να μην μπορεί να χειριστεί ένας μαθητής Λύκειο, αν κατέβαλε αρκετή προσπάθεια στις σπουδές του.

Ας καταλάβουμε μαζί τι είναι μια παράγωγος και πώς να τη χρησιμοποιήσουμε κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης.

Παράγωγο

Σχεδιάστε έναν άξονα συντεταγμένων και κατασκευάστε οποιαδήποτε στοιχειώδη συνάρτηση. Για παράδειγμα, μια παραβολή για τη συνάρτηση y = x 2.

Μπορείτε να δείτε μόνοι σας ότι σε ορισμένες περιοχές η συνάρτηση μειώνεται, σε άλλες αυξάνεται. Δηλαδή αλλάζει. Αυτή η δυναμική, με άλλα λόγια, η ταχύτητα με την οποία αλλάζει η λειτουργία, αντανακλά παράγωγο(y" = f'(x)).

Για παράδειγμα, σημειώστε ένα σημείο στον άξονα Χ στο σχέδιό σας, αφήστε το σημείο μας να είναι κάτω από τον αριθμό 1 - αυτό είναι x 1 και στον αριθμό 2 θα είναι x 2. Περαιτέρω θα λειτουργήσουμε με έννοιες όπως η αύξηση του ορίσματος – ∆х και η αύξηση συνάρτησης – ∆ου. Τι είναι? Το ∆х δείχνει πώς αλλάζει η συνάρτηση κατά μήκος του άξονα Χ, το ∆у αντανακλά την αλλαγή στη συνάρτηση κατά μήκος του άξονα Υ.

Ας υποθέσουμε ότι κινούμαστε κατά μήκος του γραφήματος από το σημείο x 1 στο σημείο x 2. Η μετακίνηση προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα X αντανακλά μια αύξηση στο όρισμα ∆x και η προκύπτουσα κίνηση προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα Y είναι μια αύξηση στη συνάρτηση ∆y. Μπορούμε να συνδυάσουμε και τις δύο ποσότητες στην ανισότητα Δу/∆х > 0, αφού οι προσαυξήσεις είναι θετικές - τελικά, κινούμαστε προς τα πάνω κατά μήκος ενός αυξανόμενου γραφήματος, «προς την κατεύθυνση της κίνησης».

Πήραμε δύο βαθμούς μακριά ο ένας από τον άλλον. Αλλά γενικά, μπορούμε να επιλέξουμε Δх για οποιοδήποτε σημείο στο επιλεγμένο τμήμα για να λάβουμε Δу > 0. Και σε οποιοδήποτε τμήμα όπου η συνάρτηση μειώνεται, μπορούμε να επιλέξουμε μια τέτοια αύξηση στο όρισμα στο οποίο< 0 и ∆у/∆х < 0.

Όσο μικρότερη είναι η απόσταση που θεωρούμε, τόσο ακριβέστερα θα περιγράψουμε τον ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης. Δεν είναι όλα τα γραφήματα τόσο απλά όσο αυτό. Επομένως, λένε ότι η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν (Δx → 0), δηλ. στην ελάχιστη τιμή του.

Είναι επίσης δυνατή η ακόλουθη ανισότητα: ∆у/∆х = 0 στο υψηλότερο και στο χαμηλότερο σημείο του γραφήματος. Στην περίπτωσή μας, εμπίπτει στην αρχή των συντεταγμένων.

Η ανισότητα Δου/∆χ που καταγράψαμε αντικατοπτρίζει την ουσία της παραγώγου – μιλάμε γιαστο όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση ενός ορίσματος.

Παράγωγος σε σημείο vs παράγωγος συνάρτησης

Ξεκινήσαμε επιλέγοντας το σημείο από το οποίο «ξεκινά» η προσαύξηση της συνάρτησής μας. Με άλλα λόγια, προσδιορίσαμε την αύξηση της συνάρτησης στο σημείο x 1.

Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης στο σημείο x 1 είναι το όριο της αύξησης της συνάρτησης Δу στην αύξηση του ορίσματος Δx σε αυτό το σημείο, παρά το γεγονός ότι Δx → 0.

Μπορείτε να το γράψετε ως εξής: f"(x 1) = lim x→0 f (x 1 + ∆x) – f(x 1) / ∆x = lim x→0 ∆ου/∆x. Μπορείτε επίσης σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση στο σημείο x 1, τότε η παράγωγος μπορεί να εκφραστεί μέσω της εφαπτομένης της γωνίας κλίσης της στη γραφική παράσταση: f"(x 1) = lim x→0 ∆у/∆x = tgφ.

Αν το όριο έχει όρια (δηλαδή είναι πεπερασμένο), ίσως διαφοροποιούνλειτουργούν σε ένα σημείο. Αυτό θα σημαίνει επίσης ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε αυτό το σημείο. ∆х → 0, αλλά ∆х ≠ 0. Παρεμπιπτόντως, μόνο και μόνο επειδή μια συνάρτηση είναι συνεχής, δεν σημαίνει ότι αυτή η συνάρτηση μπορεί απαραίτητα να διαφοροποιηθεί.

Αν σας ενδιαφέρει πώς μπορεί να συμβεί αυτό, προτείνω να βρείτε μόνοι σας ένα αντίστοιχο παράδειγμα - δεν είναι όλα έτοιμα να παραληφθούν σε μια πιατέλα. Επιπλέον, δεν χρειάζεται να το γνωρίζετε αυτό για τις εργασίες της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης. Και ακόμη, θα πω κάτι βλάσφημο, μπορεί να μην καταλάβετε τι είναι παράγωγο. Το κύριο πράγμα είναι να μάθετε να το βρίσκετε.

Τώρα μιλήσαμε για την παράγωγο στο σημείο x 1, αλλά με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να εκτελέσουμε όλους τους ίδιους χειρισμούς με οποιοδήποτε άλλο σημείο, επομένως έχουμε το δικαίωμα να γράψουμε τον τύπο για την παράγωγο της συνάρτησης ως εξής: f"(x ) = lim x→0 f (x+ ∆x ) – f(x) / ∆х = lim x→0 ∆ου/∆χ. Ή αλλιώς y" = f"(x), που προκύπτει, "προέρχεται" από η συνάρτηση y = f(x).

Ακολουθούν μερικά παράγωγα ως παράδειγμα, θα βρείτε περισσότερα από αυτά στον πίνακα των παραγώγων και μερικά προτείνεται να απομνημονεύονται με την πάροδο του χρόνου:

• παράγωγο σταθεράς (C)" = 0;
• παράγωγο λειτουργία ισχύος(x n)’ = nx n -1 ;
• Η ποικιλία του είναι η παράγωγος του αριθμού (x)' = 1.
• και επίσης (√x)' = 1/2√x;
• και (1/x)’ = -1/x 2 .

Κανόνες διαφοροποίησης

Η διαφοροποίηση σημαίνει την επισήμανση ορισμένων χαρακτηριστικών, στην περίπτωση μιας συνάρτησης - του ρυθμού μεταβολής της, έχουμε ήδη μιλήσει για αυτό. Εκείνοι. υπολογίστε την παράγωγο.

Για τον υπολογισμό της παραγώγου (διαφοροποίησης) μιας μεγάλης ποικιλίας συναρτήσεων, υπάρχουν ορισμένες γενικοί κανόνες. Τώρα θα τα θυμηθούμε εν συντομία, χρησιμοποιώντας ένα άρθρο του Alexander Emelin από έναν εξαιρετικό ιστότοπο αφιερωμένο στα ανώτερα μαθηματικά mathprofi.ru.

1. Ο σταθερός αριθμός αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο: (Cu)’ = Cu’, C = συνεχ.

   Y = 3cos x, y’ = (3 cos x)’ = 3 (cos x)’ = 3(-sin x) = -3sin x;

2. Η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων: (u ± v)' = u' ± v'.

   Y = 6 + x + 3x 2 – sin x – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x, y' = (6 + x + 3x 2 – sinx – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x )' = (6)' + (x)' + 3(x 2)' – (sin x)' – 2(x 1/3)'+ (x -2)' – 11(ctgx)' = 0 + 1 + 3*2x – cos x – 2*1/3x -2/3 + (-2)x -3 – 11(-1/sin 2 x) = 1 + 6x – cos x – 2/3 3 √x 2 – 2/x 3 + 11/sin 2 x;

3. Παράγωγος του γινομένου μιας συνάρτησης: (uv)' = u'v + uv'.

   Y = x 3 τόξο x, y' = (x 3 arcsin x)' = (x 3)' * arcsin x + x 3 * (arcsin x)'= 3x 2 arcsin x + x 3 * 1/√1 – x 2 = 3x 2 τόξο x + x 3 /√1 – x 2 ;

4. Παράγωγος συνάρτησης πηλίκου: (u/v)" = (u"v – uv")/v 2.

   Y = 2(3x – 4)/ x 2 + 1, y' = (2(3x – 4)/ x 2 + 1)' = 2 (3x – 4/ x 2 +1)' = 2 * ((3x – 4)'* (x 2 + 1) – (3x – 4) * (x 2 + 1)'/(x 2 + 1) 2) = 2 (3(x 2 + 1) - (3x – 4) * 2x/ (x 2 + 1) 2) = 2 (-3x 2 + 8x + 3)/ (x 2 + 1) 2 ;

5. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Δεν θα το χρειαστείτε αυτή τη στιγμή, επομένως δεν θα το εξετάσουμε.

Μελετάμε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγο

Λοιπόν, διευθετήσαμε το ρητό, ας ξεκινήσουμε το ίδιο το παραμύθι. Στο Μέρος Β των CIM στα μαθηματικά, είναι σίγουρο ότι θα συναντήσετε ένα ή και πολλά προβλήματα που αφορούν τη μελέτη μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Για παράδειγμα, μπορεί να χρειαστεί να εξετάσετε μια συνάρτηση για ακρότατα, να προσδιορίσετε τη μονοτονία της κ.λπ.

Χρησιμοποιώντας την παράγωγο μπορείτε να προσδιορίσετε:

• σε ποια διαστήματα μειώνεται και αυξάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης (μελετούμε τη μονοτονία);
• ελάχιστες και μέγιστες τιμές της παραγώγου (εξετάζουμε για ακρότητες).
• η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστημα.

Η πολυπλοκότητα τέτοιων εργασιών εξαρτάται κυρίως από τη λειτουργία που πληροίτε ανάλογα με την κατάσταση. Αλλά ο γενικός αλγόριθμος ενεργειών θα παραμείνει αμετάβλητος για εσάς σε κάθε περίπτωση. Ας τα δούμε λοιπόν όλα με τη σειρά.

Μονοτονία της συνάρτησης.Με απλά λόγια, προσδιορίζοντας περιοχές όπου η συνάρτηση παραμένει αμετάβλητη, π.χ. "μονότονος". Και η λειτουργία αλλάζει σε κρίσιμα σημεία, αλλά περισσότερα για αυτό παρακάτω.

Διαδικασία:

1. Βρείτε την παράγωγο.
2. Βρείτε τα κρίσιμα σημεία.
3. Προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου και τη φύση των μεταβολών της στα διαστήματα που μετρούν τα κρίσιμα σημεία (καθοδηγούμενη από επαρκείς συνθήκες μονοτονίας).
4. Ρεκόρ περιόδους μονοτονίας.

Μια συνάρτηση αυξάνεται εάν αντιστοιχεί μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης υψηλότερη τιμήορίσματα: x 2 > x 1 και f(x 2) > f(x 1) στο επιλεγμένο διάστημα. Το γράφημα κινείται από κάτω προς τα πάνω.

Μια συνάρτηση μειώνεται εάν μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος: x 2 > x 1 και f(x 2)< f(х 1) на выбранном интервале. График движется сверху вниз.

Δεδομένου ότι η συνάρτηση αυξάνεται και μειώνεται μέσα στο διάστημα, μπορεί να ονομαστεί αυστηρά μονότονη. Και η μελέτη μιας συνάρτησης για τη μονοτονία υποδηλώνει ότι μιλάμε για διαστήματα αυστηρής μονοτονίας.

Η συνάρτηση μπορεί επίσης να μην μειώνεται στο διάστημα: f(x 2) ≥ f(x 1) – μια μη φθίνουσα συνάρτηση. Και ομοίως, μην αυξάνετε στο διάστημα: η f(x 2) ≤ η f(x 1) είναι μια μη αύξουσα συνάρτηση.

Επαρκείς συνθήκες για τη μονοτονία μιας συνάρτησης:

• συνθήκη αύξησης: εάν σε ένα επιλεγμένο διάστημα σε κάθε σημείο η παράγωγος είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (f"(x) > 0), τότε η συνάρτηση σε αυτό το διάστημα αυξάνεται μονότονα.
• φθίνουσα συνθήκη: εάν σε επιλεγμένο διάστημα σε κάθε σημείο η παράγωγος λιγότερο από το μηδέν(f"(x)< 0), то функция на этом интервале монотонно убывает;
• συνθήκη σταθερότητας (δεν είναι μόνο επαρκής, αλλά και απαραίτητη): η συνάρτηση είναι σταθερή στο επιλεγμένο διάστημα όταν η παράγωγος είναι ίση με μηδέν (f"(x) = 0) σε κάθε σημείο της.

Κρίσιμο σημείοονομάζεται αυτή στην οποία η παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή η τιμή της δεν υπάρχει. Μπορεί ταυτόχρονα να είναι ένα ακραίο σημείο, αλλά μπορεί να μην είναι ένα. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

Ακρότατο μιας συνάρτησης.Εκείνοι. τέτοιες τιμές μιας μεταβλητής στις οποίες η συνάρτηση φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της.

Διαδικασία:

• Προσδιορίστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και σε ποια διαστήματα είναι συνεχής.
• Βρείτε την παράγωγο.
• Βρείτε τα κρίσιμα σημεία.
• Προσδιορίστε εάν τα κρίσιμα σημεία είναι ακραία σημεία (με βάση την επαρκή συνθήκη για το άκρο).
• Γράψτε τα άκρα.

Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ:

• Αν x 0 είναι το ακραίο σημείο μιας συνάρτησης, τότε είναι επίσης ένα κρίσιμο σημείο στο οποίο η παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το ακραίο σημείο μπορεί να μην συμπίπτει με το κρίσιμο σημείο. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y = x 3 (Εικ. 1), y =│x│ (Εικ. 2), y = 3 √x το ακραίο σημείο απουσιάζει στο κρίσιμο σημείο.

Επαρκείς προϋποθέσεις για ακραίο:

• Αν στο σημείο x 0 η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγός της αλλάζει πρόσημο σε αυτό, τότε το x 0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης.

Εάν, όταν διέρχεται από το σημείο x 0, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από "+" σε "-", τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο: f"(x) > 0 στο x< х 0 и f"(х) < 0 при х >x 0 .

Εάν, όταν διέρχεται από το σημείο x 0, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από «-» σε «+», τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση φτάνει στο ελάχιστο της: f"(x)< 0 при х < х 0 и f"(х) >0 για x > x 0.

Στο γράφημα, τα ακραία σημεία αντικατοπτρίζουν τιμές κατά μήκος του άξονα Χ και τα άκρα - τιμές κατά μήκος του άξονα Υ. Ονομάζονται επίσης αποσιωπητικά τοπικό εξτρέμΚαι τοπικά άκρα. Αλλά αυτή τη στιγμή, γνωρίζοντας τις διαφορές μεταξύ τοπικών και παγκόσμιαΔεν θα χρειαστείτε ακραίες τιμές, επομένως δεν θα σταθούμε σε αυτό.

Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης δεν είναι ταυτόσημες έννοιες με τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της. Σχετικά με το τι είναι αυτό, παρακάτω.

Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστημα.Θεωρούμε τη συνάρτηση στο επιλεγμένο διάστημα. Αν μια συνάρτηση εντός των ορίων της είναι συνεχής, τότε η μεγαλύτερη και μικρότερη τιμήσε ένα τμήμα πέφτουν είτε στα κρίσιμα σημεία που του ανήκουν είτε στα σημεία στα άκρα του.

Διαδικασία:

1. Βρείτε την παράγωγο.
2. Βρείτε τα κρίσιμα σημεία μέσα στο τμήμα.
3. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία και στα άκρα του τμήματος.
4. Από τις τιμές που προκύπτουν, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.

Ας εξερευνήσουμε τη συνάρτηση - γιατί;

Γιατί χρειάζεται να μελετήσουμε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγό της; Έπειτα για να καταλάβει καλύτερα πώς μοιάζει το πρόγραμμά της. Ναι, τώρα στα σχολικά βιβλία έχετε έτοιμα γραφήματα για καλά μελετημένες στοιχειώδεις συναρτήσεις. Αλλά σε πραγματικές συνθήκες «πεδίου», η κατάσταση είναι συχνά ακριβώς το αντίθετο: μια άγνωστη συνάρτηση και ένα γράφημα που δεν υπάρχει ακόμη. Και δεν είναι όλες οι λειτουργίες τόσο απλές όσο στα σχολικά εγχειρίδια. Είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς τα γραφήματα τους μόνο με τη δύναμη της φαντασίας.

Τα εργαλεία μαθηματικής ανάλυσης σάς επιτρέπουν να εξερευνήσετε διεξοδικά μια άγνωστη συνάρτηση. Χωρίς να εξεταστούν λεπτομερώς όλα τα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης και της παραγώγου της, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα σωστό γράφημα. Γι' αυτό στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου δίνεται τέτοια προσοχή σε σχετικές εργασίες. Και γι' αυτό τους έβαλαν σε εξετάσεις.

Οι εργασίες του Μέρους Β αξίζουν αρκετά υψηλούς βαθμούς. Επομένως, δώστε τη δέουσα προσοχή στην εκπαίδευση στον προσδιορισμό της παραγώγου και στη μελέτη της συνάρτησης με τη βοήθειά της. Αυτό το άρθρο δημιουργήθηκε ως μια χρήσιμη περίληψη για αυτο-μελέτη. Το οποίο περιέχει βασικούς ορισμούς, που επαναλαμβάνεται όποτε είναι δυνατόν σε απλή γλώσσα. Και συνοψίζει τα βήματα που πρέπει να κάνετε κατά την έρευνα μιας συνάρτησης.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

ΜΣ κατά μέσο όρο ολοκληρωμένο σχολείο № 18.

"Εξερεύνηση μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την παράγωγή της."

Περίληψη για τα μαθηματικά για την Ημέρα της Επιστήμης.

Εκτελέστηκε:

μαθητής της 11ης «Β» τάξης

Μποκάρεβα Ιρίνα Νικολάεβνα

Επόπτης:

καθηγητής μαθηματικών

Μπατιούκοβα Γκαλίνα Βικτόροβνα.

Σμολένσκ 2005

Εισαγωγή. 3

Κεφάλαιο Ι. Ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης. 4

Κεφάλαιο II. Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης. 7

2.1. Ορισμός συνάρτησης και γράφημα συνάρτησης. Πεδίο εφαρμογής και

εύρος λειτουργίας. Συναρτήσεις μηδενικά. 7

2.2. Τύποι συναρτήσεων (άρτιος, περιττός, γενική εικόνα, περιοδική

λειτουργίες). 8

2.3. Αύξηση και μείωση συναρτήσεων. Ακρα. 10

Κεφάλαιο III. Έρευνα λειτουργιών. 12

3.1. Γενικό σχήμαΛειτουργικές μελέτες. 12

3.2. Σημάδι αύξησης και μείωσης συναρτήσεων. 12

3.3. Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης, μέγιστα και ελάχιστα. 13

3.4. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης. 14

Κεφάλαιο IV. Παραδείγματα εφαρμογής της παραγώγου στη μελέτη μιας συνάρτησης. 15

Συμπέρασμα. 22

Αναφορές 23

Εισαγωγή.

Η μελέτη των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και η γραφική παράσταση της είναι μια από τις πιο θαυμάσιες εφαρμογές των παραγώγων. Αυτή η μέθοδος μελέτης της συνάρτησης έχει επανειλημμένα υποβληθεί σε προσεκτική ανάλυση. Ο κύριος λόγος είναι ότι σε εφαρμογές των μαθηματικών ήταν απαραίτητο να ασχοληθούμε με όλο και πιο πολύπλοκες συναρτήσεις που εμφανίζονταν στη μελέτη νέων φαινομένων. Εμφανίστηκαν εξαιρέσεις από τους κανόνες που ανέπτυξαν τα μαθηματικά, εμφανίστηκαν περιπτώσεις όπου οι κανόνες που δημιουργήθηκαν δεν ήταν καθόλου κατάλληλοι, εμφανίστηκαν συναρτήσεις που δεν είχαν παράγωγο σε κανένα σημείο.

Σκοπός της μελέτης του μαθήματος της άλγεβρας και των αρχών της ανάλυσης στις τάξεις 10-11 είναι η συστηματική μελέτη συναρτήσεων, η αποκάλυψη της εφαρμοσμένης σημασίας κοινές μεθόδουςμαθηματικά που σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων.

Έχοντας επιλέξει το θέμα του δοκιμίου «Μελέτη συνάρτησης χρησιμοποιώντας την παράγωγο», έθεσα τις ακόλουθες εργασίες:

Συστηματοποιήστε τις γνώσεις σας σχετικά με τη συνάρτηση ως το πιο σημαντικό μαθηματικό μοντέλο.

Βελτιώστε την ικανότητά σας να χρησιμοποιείτε διαφορικό λογισμό για τη μελέτη στοιχειωδών συναρτήσεων.

Η ανάπτυξη λειτουργικών εννοιών κατά τη μελέτη της άλγεβρας και οι αρχές της ανάλυσης στο ανώτερο επίπεδο εκπαίδευσης βοηθά τους μαθητές γυμνασίου να αποκτήσουν μια οπτική κατανόηση της συνέχειας και των ασυνεχειών των συναρτήσεων, να μάθουν για τη συνέχεια οποιασδήποτε στοιχειώδους λειτουργίας στο πεδίο της εφαρμογής του, μάθουν να κατασκευάζουν τα γραφήματα τους και να γενικεύουν πληροφορίες για το βασικό στοιχειώδεις λειτουργίεςκαι συνειδητοποιούν το ρόλο τους στη μελέτη των φαινομένων της πραγματικότητας, στην ανθρώπινη πρακτική.

Η εργασία στο περιεχόμενο του θέματος «Μελέτη συναρτήσεων με χρήση παραγώγων» θα αυξήσει το επίπεδο της μαθηματικής μου κατάρτισης και θα μου επιτρέψει να λύνω προβλήματα περισσότερο υψηλή πολυπλοκότητασε σύγκριση με το απαιτούμενο μάθημα.

Κεφάλαιο Ι. Ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης.

Θεμελιωδώς νέο μέροςΤο μάθημα της άλγεβρας είναι αφιερωμένο στη μελέτη των αρχών της ανάλυσης. Η μαθηματική ανάλυση είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που διαμορφώθηκε τον 18ο αιώνα και περιλαμβάνει δύο κύρια μέρη: τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό. Η ανάλυση προέκυψε χάρη στις προσπάθειες πολλών μαθηματικών και έπαιξε τεράστιο ρόλο στην ανάπτυξη της φυσικής επιστήμης - εμφανίστηκε μια ισχυρή, αρκετά καθολική μέθοδος για τη μελέτη συναρτήσεων που προκύπτουν κατά την επίλυση διαφόρων εφαρμοσμένων προβλημάτων. Η εισαγωγή σε βασικές έννοιες και μεθόδους ανάλυσης είναι ένας από τους σημαντικότερους στόχους του μαθήματος.

Από τον 18ο αιώνα, μια από τις πιο σημαντικές έννοιες είναι η έννοια της λειτουργίας. Έπαιξε και παίζει μεγάλο ρόλο στην κατανόηση του πραγματικού κόσμου.

Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για την εμφάνιση της έννοιας της συνάρτησης δημιουργήθηκαν όταν προέκυψε η αναλυτική γεωμετρία, που χαρακτηρίζεται από την ενεργό συμμετοχή της άλγεβρας στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Η ιδέα της λειτουργικής εξάρτησης προέκυψε στην αρχαιότητα. Περιέχεται ήδη στις πρώτες μαθηματικά εκφρασμένες σχέσεις μεταξύ μεγεθών, στους πρώτους κανόνες για πράξεις με αριθμούς, στους πρώτους τύπους για την εύρεση του εμβαδού και του όγκου ορισμένων σχημάτων και γεωμετρικών σωμάτων.

Ωστόσο, η ρητή και εντελώς συνειδητή χρήση της έννοιας της συνάρτησης και η συστηματική μελέτη της λειτουργικής εξάρτησης ξεκινά τον 17ο αιώνα σε σχέση με τη διείσδυση της ιδέας των μεταβλητών στα μαθηματικά.

Δεν υπήρχε σαφής ορισμός της έννοιας της λειτουργίας τον 17ο αιώνα, αλλά ο Ντεκάρτ άνοιξε το δρόμο για τον πρώτο τέτοιο ορισμό. Σταδιακά, η έννοια της συνάρτησης άρχισε να ταυτίζεται με την έννοια μιας αναλυτικής έκφρασης - ενός τύπου.

Ένας σαφής ορισμός μιας συνάρτησης δόθηκε για πρώτη φορά το 1718 από τον Johann Bernoulli: «Μια συνάρτηση μεταβλητής ποσότητας είναι μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και σταθερές».

Ο Leonhard Euler στο «Introduction to the Analysis of Infinites» (1748) εμμένει στον ορισμό του δασκάλου του I. Bernoulli, αποσαφηνίζοντάς τον κάπως. Είναι αλήθεια ότι δεν τηρούσε πάντα τον παραπάνω ορισμό. Ο Euler δίνει περισσότερα ευρύ νόημαλειτουργία, κατανοώντας την ως μια καμπύλη που χαράσσεται από το «ελεύθερο τράβηγμα του χεριού».

Στο Διαφορικό Λογισμό, που δημοσιεύτηκε το 1755, ο Euler δίνει γενικός ορισμόςσυναρτήσεις: «Όταν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες με τέτοιο τρόπο ώστε όταν οι τελευταίες αλλάζουν, οι ίδιες υπόκεινται σε αλλαγές, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις της δεύτερης».

Μεγάλη συνεισφορά στην επίλυση διαφορών είχε ο Jean Baptiste Joseph Fourier, ο οποίος ήταν ο πρώτος που έδωσε παραδείγματα συναρτήσεων που προσδιορίζονται σε διαφορετικούς τομείς με διάφορες αναλυτικές εκφράσεις.

Στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα η έννοια της συνάρτησης διατυπώθηκε ως εξής: αν κάθε στοιχείο Χσκηνικά ΕΝΑεκχωρείται ένα συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου ΣΕ, τότε λέμε ότι η συνάρτηση y=f(x) δίνεται στο σύνολο Α ή ότι το σύνολο Α αντιστοιχίζεται στο σύνολο Β.

Η γενική έννοια της συνάρτησης ισχύει, φυσικά, όχι μόνο σε ποσότητες και αριθμούς, αλλά και σε άλλα μαθηματικά αντικείμενα, για παράδειγμα, σε γεωμετρικά σχήματα.

Αυτός ο γενικός ορισμός της λειτουργίας είχε ήδη διαμορφωθεί τον 18ο αιώνα και το πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Αλλά από τις αρχές του 20ου αιώνα, αυτός ο ορισμός άρχισε να εγείρει κάποιες αμφιβολίες σε ορισμένους μαθηματικούς.

Ο Dirac εισήγαγε τη λεγόμενη συνάρτηση δέλτα, η οποία ξεπέρασε πολύ τον κλασικό ορισμό μιας συνάρτησης.

Ο Sergei Lvovich Sobolev ήταν ο πρώτος που εξέτασε μια ειδική περίπτωση μιας γενικευμένης συνάρτησης, συμπεριλαμβανομένης της συνάρτησης δέλτα, και εφάρμοσε τη θεωρία που δημιουργήθηκε για να λύσει μια σειρά προβλημάτων στη μαθηματική φυσική.

Σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη της θεωρίας των γενικευμένων συναρτήσεων είχαν μαθητές και οπαδοί των L. Schwartz - I.M. Gelfand, G.E. Shilov κ.α.

Μια σύντομη ανασκόπηση της ανάπτυξης της έννοιας της συνάρτησης οδηγεί στην ιδέα ότι η εξέλιξη απέχει πολύ από το να τελειώσει και πιθανότατα δεν θα τελειώσει ποτέ, όπως και η εξέλιξη των μαθηματικών στο σύνολό της δεν θα τελειώσει ποτέ.

Κεφάλαιο II. Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης.

2.1. Ορισμός συνάρτησης και γράφημα συνάρτησης. Το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών μιας συνάρτησης. Συναρτήσεις μηδενικά.

Η ικανότητα απεικόνισης γεωμετρικά λειτουργικών εξαρτήσεων που καθορίζονται από τύπους είναι ιδιαίτερα σημαντική για την επιτυχή κατάκτηση ενός μαθήματος στα ανώτερα μαθηματικά.

Όπως είναι γνωστό, η συναρτησιακή εξάρτηση είναι ο νόμος σύμφωνα με τον οποίο κάθε τιμή της ποσότητας x από ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών, που ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, συνδέεται με μια καλά καθορισμένη τιμή της ποσότητας y. το σύνολο των τιμών που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή y ονομάζεται περιοχή αλλαγής της συνάρτησης.

Η ανεξάρτητη μεταβλητή x ονομάζεται επίσης όρισμα της συνάρτησης. Ο αριθμός y που αντιστοιχεί στον αριθμό x ονομάζεται τιμή της συνάρτησης f στο σημείο x και συμβολίζεται με f(x).

Η συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί με τρεις τρόπους: αναλυτικό, πίνακα, γραφικό.

Αναλυτικός- χρησιμοποιώντας τύπους.

Πινακοειδής– χρησιμοποιώντας πίνακες όπου μπορείτε να καθορίσετε τιμές συναρτήσεων, αλλά μόνο για ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών ορίσματος.

ΓραφικόςΗ μέθοδος καθορισμού μιας συνάρτησης είναι πολύ βολική: καθιστά δυνατή την οπτικοποίηση των ιδιοτήτων της συνάρτησης.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο όλων των σημείων (x;y) του επιπέδου συντεταγμένων, όπου y=f(x) και x «διατρέχει» ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Παράδειγμα 1 . Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=lg (2x-3)

Απάντηση: D(y)=(1,5; +∞).

Μία από τις έννοιες για τη μελέτη μιας συνάρτησης είναι τα μηδενικά της συνάρτησης.

Τα μηδενικά μιας συνάρτησης είναι τα σημεία στα οποία η συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν.

Παράδειγμα 2. Να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης y=x 2 -5x.

A-priory:

Απάντηση: τα μηδενικά της συνάρτησης είναι τα σημεία x=0 και x=5.

Παράδειγμα 3. Να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης y=4x-8

A-priory:

y=0, λοιπόν

Απάντηση: τα μηδενικά αυτής της συνάρτησης είναι το σημείο x=2.

2.2. Είδη συναρτήσεων (άρτια, περιττή, γενική μορφή, περιοδικές συναρτήσεις).

Ας εξετάσουμε συναρτήσεις των οποίων τα πεδία ορισμού είναι συμμετρικά ως προς την αρχή, δηλαδή για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού, ο αριθμός (-x) ανήκει επίσης στο πεδίο ορισμού. Αυτές οι συναρτήσεις περιλαμβάνουν άρτιο και περιττό.

Ορισμός: Μια συνάρτηση f καλείται ακόμα και αν για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της f(-x)=f(x).

Πρόγραμμα ομοιόμορφη λειτουργίασυμμετρικά ως προς τον άξονα τεταγμένων.

Παράδειγμα 4. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – άρτιος.

Παράδειγμα 5. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης y=x 4 -2x 2 +2.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – ζυγός.

Ορισμός: Μια συνάρτηση f ονομάζεται περιττή αν για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της f(-x)=-f(x).

Πρόγραμμα περιττή συνάρτησησυμμετρικά ως προς την προέλευση.

Παράδειγμα 6. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – περιττός.

Παράδειγμα 7. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης y=3x+1/3x.

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – περιττός.

Παράδειγμα 4. Παράδειγμα 5.

Ορισμός: Μια συνάρτηση f ονομάζεται περιοδική με περίοδο T≠ 0 εάν για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού οι τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία x, x-T και x+T είναι ίσες, δηλαδή f(x+T)=f (x)=f(x-T).

Παράδειγμα 8. Να προσδιορίσετε την περίοδο της συνάρτησης y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), όπου 2T=2π, δηλ. T=π.

Για να κατασκευάσουμε ένα γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο T, αρκεί να το κατασκευάσουμε σε ένα τμήμα μήκους T και στη συνέχεια να μεταφέρουμε το γράφημα που προκύπτει παράλληλα στις αποστάσεις nT δεξιά και αριστερά κατά μήκος του άξονα Ox.

Παράδειγμα 9. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης f(x)=sin2x.

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), όπου 2Τ=2π, δηλ. T=π.

2.3. Αύξηση και μείωση συναρτήσεων. Ακρα.

Επίσης, οι ιδιότητες μιας συνάρτησης περιλαμβάνουν αύξουσα και φθίνουσα συνάρτηση, ακρότατα.

Η συνάρτηση f αυξάνεται στο σύνολο P εάν για οποιαδήποτε x 1 και x 2 από το σύνολο P έτσι ώστε x 2 >x 1 να ικανοποιηθεί η ανισότητα f(x 2)>f(x 1).

Η συνάρτηση f μειώνεται στο σύνολο P εάν για οποιαδήποτε x 1 και x 2 από το σύνολο P, έτσι ώστε x 2 >x 1, ικανοποιείται η ανισότητα f(x 2).

Με άλλα λόγια, μια συνάρτηση f λέγεται ότι αυξάνεται στο σύνολο P εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το σύνολο αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Μια συνάρτηση f λέγεται ότι μειώνεται στο σύνολο P εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Όταν σχεδιάζετε γραφήματα συγκεκριμένων συναρτήσεων, είναι χρήσιμο να βρείτε πρώτα τα ελάχιστα (x min) και τα μέγιστα (x max) σημεία.

Ένα σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης f αν για όλα τα x από κάποια γειτονιά του x 0 ισχύει η ανισότητα f(x) ≤f(x 0).

Ένα σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης f αν για όλα τα x από κάποια γειτονιά του x 0 ισχύει η ανισότητα f(x)≥ f(x 0).

Τα ελάχιστα και μέγιστα σημεία ονομάζονται συνήθως ακραία σημεία.

Παράδειγμα 10. Να βρείτε τα ακραία σημεία, άκρα της συνάρτησης y=x 2 +2x και να υποδείξετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.

y=x 2 +2x, D(y)=R

y’=(x 2 +2x)’=2x+2

y’=0, δηλ. 2x+2=0

Ας εξετάσουμε το πρόσημο της παραγώγου δεξιά και αριστερά του ακραίου σημείου.

x=-2, y’=-4+2<0

x=0, y’=0+2>0

Εφόσον η παράγωγος αλλάζει το πρόσημά της από «-» σε «+», τότε x = -1, αυτό είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x=-1, η συνάρτηση αυξάνεται κατά [-1;+∞] και μειώνεται κατά [-∞;-1].

Ακραία σημεία: x min = -1

Ακρότατα συναρτήσεων: y min =y(-1)=1-2= -1

Κεφάλαιο III. Έρευνα λειτουργιών.

3.1. Γενικό σχήμα για τη μελέτη συναρτήσεων.

Όταν εξετάζετε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζετε το γενικό ερευνητικό σχήμα:

1) D(y) – τομέας ορισμού (εύρος μεταβολής της μεταβλητής x)

2) E(y) – περιοχή τιμής x (περιοχή αλλαγής μεταβλητής y)

3) Τύπος συνάρτησης: άρτια, περιττή, περιοδική ή γενική συνάρτηση.

4) Σημεία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με τους άξονες Ohi O (αν είναι δυνατόν).

5) Διαστήματα σταθερότητας σημείων:

α) η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή: f(x)>0

β) αρνητική τιμή: f(x)<0.

6) Διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης:

α) αύξηση·

β) φθίνουσα·

γ) σταθερότητα (f=const).

7) Ακραία σημεία (ελάχιστοι και μέγιστοι βαθμοί)

8) Extrema συνάρτησης (τιμή συνάρτησης στα ελάχιστα και μέγιστα σημεία)

9) Πρόσθετα σημεία.

Μπορούν να ληφθούν για να σχεδιάσουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια το γράφημα συνάρτησης.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα άκρα της συνάρτησης f δεν συμπίπτουν πάντα με τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης.

3.2. Σημάδι αύξησης και μείωσης συναρτήσεων.

Εάν δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ορισμένα τυχαία επιλεγμένα σημεία, συνδέοντάς τα με μια ομαλή γραμμή, τότε ακόμη και με έναν πολύ μεγάλο αριθμό τυχαία επιλεγμένων σημείων, μπορεί να αποδειχθεί ότι το γράφημα που κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο θα είναι πολύ διαφορετικό από το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης.

Εάν χρησιμοποιείτε την παράγωγο όταν μελετάτε μια συνάρτηση και βρείτε τα λεγόμενα σημεία «αναφοράς», π.χ. σημεία διακοπής, μέγιστα και ελάχιστα σημεία, διαστήματα μονοτονίας μιας συνάρτησης, τότε ακόμη και με έναν μικρό αριθμό τέτοιων σημείων «αναφοράς» θα έχουμε μια σωστή ιδέα για το γράφημα της συνάρτησης.

Πριν στραφώ σε παραδείγματα, θα δώσω τους απαραίτητους ορισμούς και θεωρήματα.

Προσδιορισμός μονοτονίας συνάρτησης σε διάστημα Μια συνάρτηση y=f(x) λέγεται ότι αυξάνεται σε ένα διάστημα εάν για οποιαδήποτε σημεία x 1 και x 2 αυτού του διαστήματος από τη συνθήκη x 1<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), τότε η συνάρτηση λέγεται ότι μειώνεται σε αυτό το διάστημα.

Επαρκές σημάδι της μονοτονίας μιας συνάρτησης στο διάστημα. Θεώρημα: αν μια συνάρτηση έχει θετική (αρνητική) παράγωγο σε κάθε σημείο του διαστήματος, τότε η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται) σε αυτό το διάστημα.

Αυτό το θεώρημα γίνεται αποδεκτό χωρίς απόδειξη στα σχολικά εγχειρίδια.

Η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος είναι πολύ απλή αν θυμηθούμε ότι f ’(x)=tgα, α είναι η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο x. Αν, για παράδειγμα, f ‘ (x)>0 σε όλα τα σημεία ενός συγκεκριμένου διαστήματος, τότε η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση με τον άξονα της τετμημένης σχηματίζει οξείες γωνίες, πράγμα που σημαίνει ότι όσο αυξάνεται το x, αυξάνεται και η f(x). Αν f ' (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης, μέγιστα και ελάχιστα.

Προσδιορισμός των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης . Έστω x 0 ένα εσωτερικό σημείο από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x). Τότε, αν υπάρχει τέτοια δ - γειτονιά ] x 0 - δ, x 0 + δ [ σημεία x 0 τέτοια ώστε για όλα τα x από αυτή τη γειτονιά η ανίσωση f(x)≤f(x 0) (η ανισότητα f(x )≥f (x 0)), το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο (ελάχιστο σημείο) αυτής της συνάρτησης.

Το μέγιστο και το ελάχιστο σημείο είναι εσωτερικά σημεία του τομέα ορισμού της συνάρτησης.

Απαραίτητο σημάδι ύπαρξης άκρου διαφοροποιήσιμης συνάρτησης .

Θεώρημα Fermat.

Αν x 0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης f(x) και σε αυτό το σημείο υπάρχει η παράγωγος, τότε ισούται με μηδέν: f ’(x 0) = 0.

Αυτό το θεώρημα δεν είναι επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη ενός άκρου μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης: εάν σε κάποιο σημείο x 0 η παράγωγος εξαφανιστεί, τότε δεν προκύπτει από αυτό ότι η συνάρτηση έχει άκρο στο σημείο x 0.

Προσδιορισμός κρίσιμων σημείων μιας συνάρτησης . Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει ονομάζονται κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.

Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου .

Θεώρημα 1. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο σημείο x 0, f ‘(x)>0 στο διάστημα και f ‘(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Θεώρημα 2. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο σημείο x 0, f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 στο διάστημα , τότε το x 0 είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x).

Για να βρείτε τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης, πρέπει να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της και για καθένα από αυτά να ελέγξετε αν πληρούνται επαρκείς προϋποθέσεις για το άκρο.

3.4. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης.

Κανόνες για την εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών των συναρτήσεων στο διάστημα. Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης διαφοροποιήσιμης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, πρέπει να βρείτε όλα τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται μέσα στο διάστημα, να υπολογίσετε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία και στα άκρα του διαστήματος, και επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη από όλες τις τιμές της συνάρτησης που ελήφθησαν με αυτόν τον τρόπο.

Κεφάλαιο IV. Παραδείγματα εφαρμογής της παραγώγου στη μελέτη μιας συνάρτησης.

Παράδειγμα 11. Εξερευνήστε τη συνάρτηση y=x 3 +6x 2 +9x και σχεδιάστε μια γραφική παράσταση.

2) Ας προσδιορίσουμε τον τύπο της συνάρτησης:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x συνάρτηση γενικής μορφής.

x=0 ή x 2 +6x+9=0

D=0, η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Τα (0;0) και (-3;0) είναι τα σημεία τομής με τον άξονα x.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, δηλ. 3x 2 +12x+9=0 μείωση κατά 3

D>0, η εξίσωση έχει 2 ρίζες.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Βρείτε x min και x max:

8) Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης:

y min =y(-1)=-1+6-9=-4

y max =y(-3)=-27+54-27=0

9) Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση:

10) Πρόσθετα σημεία:

y(-4)=-64+96-36=-4

Παράδειγμα 12. Εξερευνήστε τη συνάρτηση y=x 2 /(x-2) και σχεδιάστε ένα γράφημα

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Ας βρούμε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης:

x≠ 2, x=2 – κατακόρυφη ασύμπτωτη

y=x+2 – λοξή ασύμπτωτη, γιατί

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού.

2) Ας προσδιορίσουμε τον τύπο της συνάρτησης.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), συνάρτηση γενικής μορφής.

3) Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – σημείο τομής με τον άξονα y.

x=0 ή x=2 (2;0) – σημείο τομής με τον άξονα x

4) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Ας προσδιορίσουμε τα κρίσιμα σημεία:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0, και (x-2) 2 ≠ 0, δηλ. x≠ 2

6) Ας ορίσουμε τα κρίσιμα σημεία στη γραμμή συντεταγμένων και ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της συνάρτησης.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Βρείτε τα ελάχιστα και μέγιστα σημεία της συνάρτησης:

8) Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης:

y min =y(4)=16/2=8

9) Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση:

10) Πρόσθετα σημεία:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Παράδειγμα 13. Εξερευνήστε τη συνάρτηση y=(6(x-1))/(x 2 +3) και κατασκευάστε ένα γράφημα. 1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

2) Ας προσδιορίσουμε τον τύπο της συνάρτησης:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) είναι συνάρτηση γενικής μορφής.

3) Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – σημείο τομής με τον άξονα y.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

O x: y=0,<=>

4) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x 2 +3) 2

5) Ας προσδιορίσουμε τα κρίσιμα σημεία:

y’=0, δηλ. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, αν x 1 =-1 ή x 2 =3, τότε x=-1 και x=3, κρίσιμα σημεία.

6) Ας υποδηλώσουμε τα κρίσιμα σημεία στη γραμμή συντεταγμένων και ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της συνάρτησης:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Βρείτε τους ελάχιστους και μέγιστους βαθμούς:

8) Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης:

y min =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση:

10) Πρόσθετα σημεία:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Παράδειγμα 14. Εξερευνήστε τη συνάρτηση y=xlnx και σχεδιάστε την:

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

D(y)=R + (μόνο θετικές τιμές)

2) Ας προσδιορίσουμε τον τύπο της συνάρτησης:

y(-x)=-xlnx - γενικής μορφής.

3) Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες:

O y, αλλά x≠ 0, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν σημεία τομής με τον άξονα y.

O x: y=0, δηλαδή xlnx=0

x=0 ή lnx=0

(1;0) – σημείο τομής με τον άξονα x

4) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Ας προσδιορίσουμε τα κρίσιμα σημεία:

y’=0, δηλαδή lnx +1=0

y’=0, αν x=1/e, τότε το x=1/e είναι το κρίσιμο σημείο.

6) Ας υποδηλώσουμε τα κρίσιμα σημεία στη γραμμή συντεταγμένων και ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της συνάρτησης:

1/ε

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

8) Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση:

Συμπέρασμα.

Πολλοί επιστήμονες και φιλόσοφοι έχουν εργαστεί πάνω σε αυτό το θέμα. Πριν από πολλά χρόνια προέκυψαν αυτοί οι όροι: συνάρτηση, γράφημα, μελέτη συνάρτησης και διατηρήθηκαν ακόμη, αποκτώντας νέα χαρακτηριστικά και χαρακτηριστικά.

Επέλεξα αυτό το θέμα γιατί με ενδιέφερε πολύ να περάσω από αυτό το μονοπάτι της έρευνας στη λειτουργία. Μου φαίνεται ότι πολλοί θα ενδιαφερόντουσαν να μάθουν περισσότερα για τη συνάρτηση, τις ιδιότητες και τους μετασχηματισμούς της. Ολοκληρώνοντας αυτό το δοκίμιο, συστηματοποίησα τις δεξιότητές μου και διεύρυνα τις γνώσεις μου σχετικά με αυτό το θέμα.

Θα ήθελα να ενθαρρύνω όλους να μελετήσουν περαιτέρω αυτό το θέμα.

Βιβλιογραφία.

1. Μπασμακόφ, Μ.Ι. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης - Μ.: Εκπαίδευση, 1992.

2. Γκλέιζερ, Γ.Ι. Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο - Μ.: Εκπαίδευση, 1983.

3. Gusev, V.A. Μαθηματικά: Υλικό αναφοράς - Μ.: Εκπαίδευση, 1888.

4. Dorofeev, G.V. Ένα εγχειρίδιο για τα μαθηματικά για όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια - M.: Nauka, 1974.

5. Zorin, V.V. Εγχειρίδιο για τα μαθηματικά για όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια. - M.: Higher School, 1980.

6. Kolmogorov A.N. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης - Μ.: Εκπαίδευση, 1993.

Σκοπός του μαθήματος: έλεγχος των δεξιοτήτων μελέτης συναρτήσεων και σχεδίασης γραφημάτων με χρήση παραγώγων.

Θεωρητικό μέρος του τεστ.

Ερωτήσεις Καθορισμός ελάχιστων και μέγιστων βαθμών.

Προσδιορισμός του κρίσιμου σημείου.

Απαραίτητη προϋπόθεση είναι το σημείο x 0 να είναι ακραίο σημείο.

Αλγόριθμος για την εύρεση κρίσιμων σημείων μιας συνάρτησης.

Προσδιορισμός ακίνητων σημείων.

Θεώρημα Fermat (απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο μιας συνάρτησης).

Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης.

Επαρκές σημάδι αυξανόμενης ή φθίνουσας λειτουργίας.

Ακραία σημεία, άκρο μιας συνάρτησης.

Αλγόριθμος για την εύρεση των άκρων μιας συνάρτησης.

Ένας αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.

Θεωρητικό μέρος του τεστ

1) Προσδιορισμός του ελάχιστου βαθμού.

Εάν η συνάρτηση ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου X 0, τότε καλείται το σημείο X 0 ελάχιστο σημείο λειτουργίες f(x), αν υπάρχει γειτονιά του σημείου X 0 τέτοια ώστε για όλα τα xx 0 από αυτή τη γειτονιά να ικανοποιείται η ανισότητα f(x)>f(x 0).

Προσδιορισμός του μέγιστου σημείου.

Εάν η συνάρτηση ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου X 0, τότε καλείται το σημείο X 0 μέγιστο σημείο λειτουργίες f(x), αν υπάρχει γειτονιά του σημείου X 0 τέτοια ώστε για όλα τα x? x 0 από αυτή τη γειτονιά να ικανοποιείται η ανισότητα f(x)

2) Προσδιορισμός κρίσιμων σημείων.

Τα κρίσιμα σημεία είναι εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης στα οποία η παράγωγος δεν υπάρχει ή είναι ίση με μηδέν.

3) Απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι το Χ 0 σημείο ακραίο : Αυτό το σημείο πρέπει να είναι κρίσιμο.

4) Αλγόριθμος εύρεσης κρίσιμων σημείων.

1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.

3. Βρείτε το πεδίο ορισμού της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης. (Για να προσδιορίσετε αν υπάρχουν σημεία στα οποία η παράγωγος δεν υπάρχει. Εάν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε ελέγξτε αν είναι εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της λειτουργία.

4. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι ίση με το μηδέν λύνοντας την εξίσωση: f "(x)=0.

Ελέγξτε εάν τα σημεία που βρέθηκαν είναι εσωτερικά σημεία του τομέα συνάρτησης.

5) Σταθερά σημεία - σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

6) Θεώρημα Fermat. (Προαπαιτούμενο άκρο της συνάρτησης.)

Η y=f(x) είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου X 0 και έχει παράγωγο σε αυτό το σημείο.

Θεώρημα: αν X 0 είναι το ακραίο σημείο της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης f(x), τότε f "(x)=0.

7) Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη εξτρέμ λειτουργεί σε ένα σημείο.

Το y=f(x) ορίζεται στο (a;c). Το X 0 είναι το κρίσιμο σημείο.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο X 0, και f "(x)>0 στο διάστημα (a; x 0) και f "(x)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является μέγιστο σημείο της συνάρτησης f.

(Απλοποιημένη διατύπωση: αν στο σημείο X 0 η παράγωγος αλλάξει πρόσημο από «+» σε «_», τότε Χ 0 υπάρχει μέγιστο σημείο.)

Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο X 0, και η f "(x)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 στο διάστημα (X 0 ;в), τότε το σημείο x 0 είναι ελάχιστο σημείο της συνάρτησηςφά.

(Απλοποιημένη διατύπωση: αν στο σημείο Χ 0 η παράγωγος αλλάξει πρόσημο από «_» σε «+», τότε το Χ 0 είναι ελάχιστο σημείο.)

8) Επαρκές σημάδι αύξησης, φθίνων λειτουργίες .

Αν f "(x)>0 για όλα τα x από το διάστημα (a; b), τότε η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα (a; b).

Αν f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο τέλος του διαστήματος, τότε μπορεί να προστεθεί στο διάστημα της αυξανόμενης (φθίνουσας) συνάρτησης.)

9) Ακραία σημεία, άκρο της συνάρτησης.

Χ 0 - μέγιστο σημείο, Χ 0 - ελάχιστο σημείο καλούνται ακραία σημεία.

f(x 0) - μέγιστο της συνάρτησης,

f(x 0) - καλείται το ελάχιστο της συνάρτησης άκρα της συνάρτησης.

10) Αλγόριθμος εύρεσης των άκρων μιας συνάρτησης.

1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.

3. Βρείτε κρίσιμα σημεία.

4. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία τα κρίσιμα σημεία διαιρούν το πεδίο ορισμού.

5. Ας βρούμε τα ακραία σημεία, λαμβάνοντας υπόψη τη φύση της αλλαγής στο πρόσημο της παραγώγου.

6. Ας βρούμε τα ακρότατα των συναρτήσεων.

11) Αλγόριθμος για την εύρεση του μεγαλύτερου και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.

1. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος [a; V].

2. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε εκείνα τα κρίσιμα σημεία που ανήκουν στο διάστημα (a; b).

3. Από τις τιμές που βρέθηκαν, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.

Πρακτικό μέρος του τεστ

«Μελέτη συναρτήσεων με χρήση παραγώγων.

Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές συναρτήσεων σε ένα τμήμα»

α) κρίσιμα σημεία συναρτήσεων,

β) ακραίες συναρτήσεις

γ) τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές συναρτήσεων στο καθορισμένο διάστημα

δ) να φτιάξετε ένα γράφημα.

1. y=(x-3) 2 (x-2).		11. y=2x 4 -x.	[-1;1]
2. y=1/3x 3 +x 2	[-4;1]	12. y=x 2 -2/x.	[-3;-0,5]
3. y=1/3x 3 -x 2 -3x	[-2;6]	13. y=1/(x 2 +1).	[-1;2]
4. y=-1/4x 4 +2x 2 +1.	[-3;3]	14. y=3x-x 3 .	[-1,5;1,5]
5. y=x 4 -8x 2 -9.	[-3;3]	15. y=2x 2 -x 4.	[-2;1,5]
6. y=(x-2)(x+1) 2.	[-1,5;1,5]	16. y=3x 2/3 -x 2.	[-8;8]
7. y=-2/3x 3 +2x-4/3.	[-1,5;1,5]	17. y=3x 1/3 -x.	[-8;8]
8. y=3x 5 -5x 4 +4.	[-1;1]	18. y=x 3 -1,5x 2 -6x+4.	[-2;3]
9. y=9x 2 -9x 3.	[-0,5;1]	19. y=(1-x)/(x 2 +3).	[-2;5]
10. y=1/3x 3 -4x.	[-3;3]	20. y= -x 4 +2x 2 +3.	[-0,5;2]

Στο πρόβλημα Β15 προτείνεται να εξεταστεί η συνάρτηση που καθορίζεται από τον τύπο για τα άκρα. Αυτό είναι ένα τυπικό πρόβλημα λογισμού και η δυσκολία του ποικίλλει πολύ ανάλογα με την εν λόγω συνάρτηση: μερικά μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά προφορικά, ενώ άλλα απαιτούν σοβαρή σκέψη.

Πριν μελετήσετε μεθόδους επίλυσης, πρέπει να κατανοήσετε ορισμένους όρους από το πεδίο της μαθηματικής ανάλυσης. Έτσι, στο Πρόβλημα Β15 πρέπει να βρείτε τις ακόλουθες ποσότητες χρησιμοποιώντας την παράγωγο:

1. Τοπικά μέγιστα (ελάχιστα) σημεία - η τιμή της μεταβλητής στην οποία η συνάρτηση φτάνει στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της. Τέτοια σημεία ονομάζονται επίσης ακραία σημεία.
2. Το συνολικό μέγιστο (ελάχιστο) μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης υπό τους καθορισμένους περιορισμούς. Ένα άλλο όνομα είναι παγκόσμιες ακρότητες.

Σε αυτήν την περίπτωση, τα καθολικά άκρα συνήθως αναζητούνται όχι σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού της συνάρτησης, αλλά μόνο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι το καθολικό άκρο και η τιμή της συνάρτησης στο ακραίο σημείο δεν συμπίπτουν πάντα. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

Εργο. Να βρείτε το ελάχιστο σημείο και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 στο διάστημα [−3; 3].

Αρχικά, βρίσκουμε το ελάχιστο σημείο, για το οποίο υπολογίζουμε την παράγωγο:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία λύνοντας την εξίσωση y’ = 0. Παίρνουμε την τυπική τετραγωνική εξίσωση:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στη γραμμή συντεταγμένων, προσθέτουμε παράγωγα σημάδια και περιορισμούς - τα άκρα του τμήματος:

Η κλίμακα της εικόνας δεν έχει σημασία. Το πιο σημαντικό είναι να σημειώσετε τα σημεία με τη σωστή σειρά. Από ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών γνωρίζουμε ότι στο ελάχιστο σημείο η παράγωγος αλλάζει από μείον σε συν. Η μέτρηση πηγαίνει πάντα από αριστερά προς τα δεξιά - προς την κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα. Επομένως, υπάρχει μόνο ένα ελάχιστο σημείο: x = 2.

Τώρα ας βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα [−3; 3]. Επιτυγχάνεται είτε στο ελάχιστο σημείο (τότε γίνεται το παγκόσμιο ελάχιστο σημείο) είτε στο τέλος του τμήματος. Σημειώστε ότι στο διάστημα (2; 3) η παράγωγος είναι θετική παντού, που σημαίνει y(3) > y(2), επομένως το δεξί άκρο του τμήματος μπορεί να αγνοηθεί. Τα μόνα σημεία που απομένουν είναι x = −3 (το αριστερό άκρο του τμήματος) και x = 2 (το ελάχιστο σημείο). Εχουμε:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Άρα, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο τέλος του τμήματος και είναι ίση με −44.

Απάντηση: x min = 2; y min = −44

Από τον παραπάνω συλλογισμό προκύπτει ένα σημαντικό γεγονός που πολλοί ξεχνούν. Η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή της όχι απαραίτητα στο ακραίο σημείο. Μερικές φορές αυτή η τιμή επιτυγχάνεται στο τέλος του τμήματος και η παράγωγος εκεί δεν χρειάζεται να είναι ίση με το μηδέν.

Σχέδιο επίλυσης προβλημάτων Β15

Εάν στο πρόβλημα Β15 πρέπει να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) στο διάστημα, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

1. Λύστε την εξίσωση f’(x) = 0. Αν δεν υπάρχουν ρίζες, παραλείψτε το τρίτο βήμα και πηγαίνετε κατευθείαν στο τέταρτο.
2. Από το προκύπτον σύνολο ριζών, διαγράψτε όλα όσα βρίσκονται έξω από το τμήμα. Ας υποδηλώσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς x 1, x 2, ..., x n - κατά κανόνα, θα είναι λίγοι από αυτούς.
3. Ας αντικαταστήσουμε τα άκρα του τμήματος και τα σημεία x 1, x 2, ..., x n στην αρχική συνάρτηση. Λαμβάνουμε ένα σύνολο αριθμών f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), από τους οποίους επιλέγουμε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή - αυτή θα είναι η απάντηση.

Μια σύντομη εξήγηση σχετικά με τη διαγραφή των ριζών όταν συμπίπτουν με τα άκρα ενός τμήματος. Μπορούν επίσης να διαγραφούν, καθώς στο τέταρτο βήμα τα άκρα του τμήματος εξακολουθούν να αντικαθίστανται στη συνάρτηση - ακόμα κι αν η εξίσωση f’(x) = 0 δεν είχε λύσεις.

Εργο. Εύρημα υψηλότερη τιμήσυναρτήσεις y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 στο διάστημα [−5; 0].

Αρχικά, ας βρούμε την παράγωγο: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Διαγράφουμε τη ρίζα x = 1, επειδή δεν ανήκει στο τμήμα [−5; 0].

Απομένει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στο σημείο x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.

Προφανώς, η μεγαλύτερη τιμή είναι το 20 - επιτυγχάνεται στο σημείο x = −3.

Τώρα εξετάστε την περίπτωση που πρέπει να βρείτε το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) στο τμήμα. Εάν το τμήμα δεν καθορίζεται, η συνάρτηση θεωρείται στον τομέα ορισμού της. Σε κάθε περίπτωση η λύση είναι η εξής:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: f’(x).
2. Λύστε την εξίσωση f’(x) = 0. Αν η παράγωγος είναι κλασματική ορθολογική συνάρτηση, επιπλέον βρίσκουμε πότε ο παρονομαστής της είναι μηδέν. Ας συμβολίσουμε τις ρίζες που προκύπτουν x 1 , x 2 , ..., x n .
3. Σημειώστε x 1, x 2, ..., x n στη γραμμή συντεταγμένων και τακτοποιήστε τα πρόσημα που παίρνει η παράγωγος μεταξύ αυτών των αριθμών. Εάν δίνεται ένα τμήμα, σημειώστε το και διαγράψτε όλα όσα βρίσκονται έξω από αυτό.
4. Ανάμεσα στα υπόλοιπα σημεία, αναζητούμε ένα όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο) ή από συν σε μείον (το ελάχιστο σημείο). Θα πρέπει να υπάρχει μόνο ένα τέτοιο σημείο - αυτή θα είναι η απάντηση.

Ο στοχαστικός αναγνώστης πιθανότατα θα παρατηρήσει ότι για ορισμένες συναρτήσεις αυτός ο αλγόριθμος δεν λειτουργεί. Πράγματι, υπάρχει μια ολόκληρη κατηγορία συναρτήσεων για τις οποίες η εύρεση ακραίων σημείων απαιτεί πιο σύνθετους υπολογισμούς. Ωστόσο, τέτοιες συναρτήσεις δεν βρίσκονται στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά.

Προσέξτε προσεκτικά την τοποθέτηση πινακίδων μεταξύ των σημείων x 1, x 2, ..., x n. Θυμηθείτε: όταν περνάτε από μια ρίζα άρτιας πολλαπλότητας, το πρόσημο της παραγώγου δεν αλλάζει. Όταν ψάχνετε για ακραία σημεία, τα σημάδια προβάλλονται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά, δηλ. προς την κατεύθυνση του άξονα αριθμών.

Εργο. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης

στο τμήμα [-8; 8].

Ας βρούμε την παράγωγο:

Δεδομένου ότι αυτή είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση, εξισώνουμε την παράγωγο και τον παρονομαστή της με μηδέν:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (δεύτερη ρίζα πολλαπλότητας).

Ας σημειωθούν τα σημεία x = −5, x = 0 και x = 5 στην ευθεία συντεταγμένων, τοποθετήστε τα σημάδια και τα όρια:

Προφανώς, απομένει μόνο ένα σημείο μέσα στο τμήμα x = −5, στο οποίο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην. Αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Ας εξηγήσουμε για άλλη μια φορά πώς διαφέρουν τα ακραία σημεία από τα ίδια τα άκρα. Τα ακραία σημεία είναι οι τιμές των μεταβλητών στις οποίες η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή. Extrema είναι οι τιμές των ίδιων των συναρτήσεων, μέγιστες ή ελάχιστες σε ορισμένες από τις γειτονιές τους.

Εκτός από τα συνηθισμένα πολυώνυμα και τις κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις, οι ακόλουθοι τύποι παραστάσεων βρίσκονται στο Πρόβλημα Β15:

1. Παράλογες λειτουργίες
2. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις,
3. εκθετικές συναρτήσεις,
4. Λογαριθμικές συναρτήσεις.

Κατά κανόνα, δεν προκύπτουν προβλήματα με παράλογες λειτουργίες. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις αξίζει να εξεταστούν λεπτομερέστερα.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Η κύρια δυσκολία με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ότι κατά την επίλυση εξισώσεων προκύπτει άπειρος αριθμός ριζών. Για παράδειγμα, η εξίσωση sin x = 0 έχει ρίζες x = πn, όπου n ∈ Z. Λοιπόν, πώς να τις σημειώσετε στη γραμμή συντεταγμένων εάν υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί;

Η απάντηση είναι απλή: πρέπει να αντικαταστήσετε συγκεκριμένες τιμές του n. Πράγματι, στα προβλήματα Β15 με τριγωνομετρικές συναρτήσεις υπάρχει πάντα ένας περιορισμός - ένα τμήμα. Επομένως, για αρχή, παίρνουμε n = 0 και, στη συνέχεια, αυξάνουμε το n έως ότου η αντίστοιχη ρίζα «πετάξει» πέρα ​​από τα όρια του τμήματος. Ομοίως, μειώνοντας το n, θα λάβουμε πολύ σύντομα μια ρίζα που είναι μικρότερη από το κάτω όριο.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι στο τμήμα δεν υπάρχουν ρίζες, εκτός από αυτές που προέκυψαν κατά την εξεταζόμενη διαδικασία. Ας εξετάσουμε τώρα αυτή τη διαδικασία χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Εργο. Να βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, που ανήκει στο τμήμα [−π/3; π/3].

Υπολογίζουμε την παράγωγο: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.

Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 ή x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Όλα είναι ξεκάθαρα με τη ρίζα x = 0,2, αλλά ο τύπος x = π/2 + πn απαιτεί πρόσθετη επεξεργασία. Θα αντικαταστήσουμε διαφορετικές τιμές του n, ξεκινώντας από n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Αλλά π/2 > π/3, άρα η ρίζα x = π/2 δεν περιλαμβάνεται στο αρχικό τμήμα. Επίσης, όσο μεγαλύτερο n, τόσο μεγαλύτερο το x, επομένως δεν έχει νόημα να θεωρήσουμε n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2. Αλλά −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Αποδεικνύεται ότι στο διάστημα [−π/3; Το π/3] βρίσκεται μόνο με τη ρίζα x = 0,2. Ας το σημειώσουμε μαζί με τα σημάδια και τα όρια στη γραμμή συντεταγμένων:

Για να βεβαιωθείτε ότι η παράγωγος στα δεξιά του x = 0,2 είναι πραγματικά αρνητική, αρκεί να αντικαταστήσετε την τιμή x = π/4 σε y’. Απλώς θα σημειώσουμε ότι στο σημείο x = 0,2 η παράγωγος αλλάζει πρόσημα από συν σε πλην, και επομένως αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Εργο. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y = 4tg x − 4x + π − 5 στο διάστημα [−π/4; π/4].

Υπολογίζουμε την παράγωγο: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Ας εξαγάγουμε τις ρίζες από αυτόν τον τύπο αντικαθιστώντας το συγκεκριμένο n, ξεκινώντας από το n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Αυτή η ρίζα μας ταιριάζει.
n = 1 ⇒ x = π. Αλλά π > π/4, επομένως η ρίζα x = π και οι τιμές n > 1 πρέπει να διαγράφονται.
n = −1 ⇒ x = −π. Όμως ο π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Από όλη την ποικιλία των ριζών μένει μόνο μία: x = 0. Επομένως, υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης για x = 0, x = π/4 και x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Τώρα σημειώστε ότι π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Σημειώστε ότι στο τελευταίο πρόβλημα ήταν δυνατό να μην συγκριθούν οι αριθμοί μεταξύ τους. Άλλωστε, από τους αριθμούς π − 5, 1 και 2π − 9, μόνο ένας μπορεί να γραφεί στη φόρμα απάντησης. Πράγματι, πώς γράφεται, ας πούμε, ο αριθμός π σε μια φόρμα; Αλλά σε καμία περίπτωση. Αυτό σημαντικό χαρακτηριστικότο πρώτο μέρος της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά, που απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τη λύση πολλών προβλημάτων. Και λειτουργεί όχι μόνο στο B15.

Μερικές φορές κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης προκύπτουν εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες. Σε αυτήν την περίπτωση, η εργασία γίνεται ακόμη πιο απλή, αφού μόνο τα άκρα του τμήματος απομένουν να ληφθούν υπόψη.

Εργο. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y = 7sin x − 8x + 5 στο διάστημα [−3π/2; 0].

Πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Αλλά οι τιμές του cos x βρίσκονται πάντα στο διάστημα [−1; 1], και 8/7 > 1. Επομένως, δεν υπάρχουν ρίζες.

Εάν δεν υπάρχουν ρίζες, τότε δεν χρειάζεται να διαγράψετε τίποτα. Ας προχωρήσουμε στο τελευταίο βήμα - υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 0 + 5 = 5.

Δεδομένου ότι ο αριθμός 12π + 12 δεν μπορεί να γραφεί στο φύλλο απαντήσεων, το μόνο που μένει είναι y = 5.

Εκθετικές συναρτήσεις

Σε γενικές γραμμές, μια εκθετική συνάρτηση είναι μια έκφραση της μορφής y = a x, όπου a > 0. Αλλά στο πρόβλημα B15 υπάρχουν μόνο συναρτήσεις της μορφής y = e x και, σε ακραίες περιπτώσεις, y = e kx + b. Ο λόγος είναι ότι οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων υπολογίζονται πολύ εύκολα:

1. (e x)" = e x. Τίποτα δεν έχει αλλάξει.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b. Απλώς προσθέστε έναν παράγοντα ίσο με τον συντελεστή της μεταβλητής x. Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Όλα τα άλλα είναι απολύτως στάνταρ. Φυσικά, οι πραγματικές συναρτήσεις στα προβλήματα Β15 φαίνονται πιο σοβαρές, αλλά αυτό δεν αλλάζει το σχήμα λύσης. Ας δούμε μερικά παραδείγματα, επισημαίνοντας μόνο τα κύρια σημεία της λύσης - χωρίς λεπτομερή συλλογισμό ή σχολιασμό.

Εργο. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 στο διάστημα [−1; 5].

Παράγωγος: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Να βρείτε τις ρίζες: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Και οι δύο ρίζες βρίσκονται στο τμήμα [−1; 5]. Απομένει να βρούμε την τιμή της συνάρτησης σε όλα τα σημεία:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2 .

Από τους τέσσερις αριθμούς που λαμβάνονται, μόνο y = −1 μπορεί να γραφεί στη φόρμα. Επιπλέον, αυτός είναι ο μόνος αρνητικός αριθμός - θα είναι ο μικρότερος.

Εργο. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y = (2x − 7) e 8 − 2x στο τμήμα.

Παράγωγος: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .

Να βρείτε τις ρίζες: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

Η ρίζα x = 4 ανήκει στο τμήμα . Αναζητούμε τις τιμές συνάρτησης:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4 .

Προφανώς, μόνο y = 1 μπορεί να είναι η απάντηση.

Λογαριθμικές συναρτήσεις

Κατ' αναλογία με εκθετικές συναρτήσεις, στο πρόβλημα Β15 συναντώνται μόνο φυσικοί λογάριθμοι, αφού η παράγωγός τους υπολογίζεται εύκολα:

1. (ln x)' = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). Συγκεκριμένα, αν b = 0, τότε (ln(kx))' = 1/x.

Έτσι, η παράγωγος θα είναι πάντα μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση. Το μόνο που μένει είναι να εξισώσουμε αυτήν την παράγωγο και τον παρονομαστή της με μηδέν και στη συνέχεια να λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν.

Για να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή μιας λογαριθμικής συνάρτησης, θυμηθείτε: φυσικός λογάριθμοςμετατρέπεται σε «κανονικό» αριθμό μόνο σε σημεία της μορφής e n . Για παράδειγμα, ln 1 = ln e 0 = 0 είναι ένα λογαριθμικό μηδέν, και τις περισσότερες φορές η λύση καταλήγει σε αυτό. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι αδύνατο να «αφαιρηθεί» το πρόσημο του λογαρίθμου.

Εργο. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y = x 2 − 3x + ln x στο τμήμα.

Υπολογίζουμε την παράγωγο:

Βρίσκουμε τα μηδενικά της παραγώγου και του παρονομαστή της:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - δεν υπάρχει τίποτα να αποφασίσετε εδώ.

Από τους τρεις αριθμούς x = 0, x = 0,5 και x = 1, μόνο x = 1 βρίσκεται μέσα στο τμήμα και ο αριθμός x = 0,5 είναι το τέλος του. Εχουμε:
y(0,5) = 0,5 2 − 3 0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Από τις τρεις τιμές που ελήφθησαν, μόνο το y = −2 δεν περιέχει λογαριθμικό σύμβολο - αυτή θα είναι η απάντηση.

Εργο. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y = ln(6x) − 6x + 4 στο τμήμα.

Υπολογίζουμε την παράγωγο:

Ανακαλύπτουμε πότε η παράγωγος ή ο παρονομαστής της είναι ίσος με μηδέν:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - έχει ήδη αποφασιστεί.

Διαγράφουμε τον αριθμό x = 0, αφού βρίσκεται έξω από το τμήμα. Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στο σημείο x = 1/6:
y(0,1) = ln(6 0,1) − 6 0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.

Προφανώς, μόνο το y = 3 μπορεί να λειτουργήσει ως απάντηση - οι υπόλοιπες τιμές περιέχουν ένα σύμβολο λογάριθμου και δεν μπορούν να γραφτούν στο φύλλο απαντήσεων.