Γλωσσάρι όρων επιπεδομετρίας- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε ​​αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Συγγραμμικά σημεία

Άμεση αγωνιστική- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε ​​αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Κύκλος Απολλωνίας- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε ​​αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Μεταμόρφωση αεροπλάνου- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε ​​αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Σεβιάνα- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε ​​αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Γλωσσάρι επιπεδομετρίας- Αυτή η σελίδα είναι ένα γλωσσάρι. Δείτε επίσης το κύριο άρθρο: Planimetry Ορισμοί όρων από planimetry συγκεντρώνονται εδώ. Οι σύνδεσμοι προς τους όρους σε αυτό το λεξικό (σε αυτήν τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες... Wikipedia

Το πρόβλημα του Απολλώνιου- Το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι να κατασκευάσει έναν κύκλο που εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα. Σύμφωνα με το μύθο, το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Απολλώνιο τον Πέργα γύρω στο 220 π.Χ. μι. στο βιβλίο «Touch», το οποίο χάθηκε ... Wikipedia

Το πρόβλημα του Απολλώνιου- Το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι να κατασκευάσει έναν κύκλο που εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα. Σύμφωνα με το μύθο, το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Απολλώνιο τον Πέργα γύρω στο 220 π.Χ. μι. στο βιβλίο “Touch”, που χάθηκε, αλλά ήταν... ... Wikipedia

Διάγραμμα Voronoi- ένα τυχαίο σύνολο σημείων στο επίπεδο Το διάγραμμα Voronoi ενός πεπερασμένου συνόλου σημείων S στο επίπεδο αντιπροσωπεύει ένα διαμέρισμα του επιπέδου έτσι ώστε ... Wikipedia.

Στο προηγούμενο μάθημα, εξετάσαμε τις ιδιότητες της διχοτόμου μιας γωνίας, που περικλείεται σε τρίγωνο και είναι ελεύθερη. Ένα τρίγωνο περιλαμβάνει τρεις γωνίες και για καθεμία από αυτές διατηρούνται οι θεωρούμενες ιδιότητες της διχοτόμου.

Θεώρημα:

Οι διχοτόμοι AA 1, BB 1, СС 1 του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο O (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας εξετάσουμε πρώτα δύο διχοτόμους BB 1 και CC 1. Τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε το αντίθετο: οι δεδομένες διχοτόμοι ας μην τέμνονται, οπότε είναι παράλληλες. Τότε η ευθεία BC είναι τομή και το άθροισμα των γωνιών είναι , αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι σε ολόκληρο το τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι .

Άρα, το σημείο Ο της τομής δύο διχοτόμων υπάρχει. Ας δούμε τις ιδιότητές του:

Το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας, που σημαίνει ότι απέχει από τις πλευρές του BA και BC. Αν το OK είναι κάθετο στο BC, το OL είναι κάθετο στο BA, τότε τα μήκη αυτών των καθέτων είναι ίσα - . Επίσης, το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας και απέχει από τις πλευρές του CB και CA, οι κάθετοι ΟΜ και ΟΚ είναι ίσες.

Πήραμε τις ακόλουθες ισότητες:

, δηλαδή και οι τρεις κάθετοι που έπεσαν από το σημείο Ο στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Μας ενδιαφέρει η ισότητα των καθέτων ΟΛ και ΟΜ. Αυτή η ισότητα λέει ότι το σημείο Ο είναι ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας, έπεται ότι βρίσκεται στη διχοτόμο του AA 1.

Έτσι, αποδείξαμε ότι και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Επιπλέον, ένα τρίγωνο αποτελείται από τρία τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε τις ιδιότητες ενός μεμονωμένου τμήματος.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ. Οποιοδήποτε τμήμα έχει ένα μέσο και μια κάθετη μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτό - ας το συμβολίσουμε ως p. Άρα, p είναι η κάθετη διχοτόμος.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για το θεώρημα

Οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Αποδείξτε ότι (Εικ. 2).

Απόδειξη:

Θεωρήστε τρίγωνα και . Είναι ορθογώνια και ίσα, επειδή έχουν ένα κοινό πόδι OM, και τα σκέλη AO και OB είναι ίσα κατά συνθήκη, επομένως έχουμε δύο ορθογώνιο τρίγωνο, ίσο σε δύο πόδια. Από αυτό προκύπτει ότι ίσες είναι και οι υποτείνουσες των τριγώνων, δηλαδή ό,τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Δίνεται ένα τμήμα AB, η κάθετη διχοτόμος του p και ένα σημείο M που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. Να αποδείξετε ότι το σημείο M βρίσκεται στη διχοτόμο του τμήματος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ισοσκελές, σύμφωνα με την κατάσταση. Θεωρήστε τη διάμεσο ενός τριγώνου: το σημείο Ο είναι το μέσο της βάσης ΑΒ, το OM είναι η διάμεσος. Σύμφωνα με την ιδιότητα ενός ισοσκελούς τριγώνου, η διάμεσος που έλκεται στη βάση του είναι και υψόμετρο και διχοτόμος. Από αυτό προκύπτει ότι. Αλλά η ευθεία p είναι επίσης κάθετη στην ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι στο σημείο O είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια κάθετη στο τμήμα AB, που σημαίνει ότι οι ευθείες OM και p συμπίπτουν, έπεται ότι το σημείο M ανήκει στην ευθεία p, που έπρεπε να αποδείξουμε.

Άμεση και αντίστροφο του θεωρήματοςμπορεί να γενικευτεί.

Ένα σημείο βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν και μόνο αν είναι ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Ας επαναλάβουμε λοιπόν ότι υπάρχουν τρία τμήματα σε ένα τρίγωνο και η ιδιότητα της κάθετης διχοτόμου ισχύει για καθένα από αυτά.

Θεώρημα:

Οι κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Δίνεται ένα τρίγωνο. Κάθετες στις πλευρές του: P 1 στην πλευρά BC, P 2 στην πλευρά AC, P 3 στην πλευρά AB.

Να αποδείξετε ότι οι κάθετοι P 1, P 2 και P 3 τέμνονται στο σημείο Ο (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας θεωρήσουμε δύο κάθετες διχοτόμους P 2 και P 3, τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Ας αποδείξουμε αυτό το γεγονός με αντίφαση - ας είναι παράλληλες οι κάθετοι P 2 και P 3. Τότε η γωνία αντιστρέφεται, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι . Άρα, υπάρχει ένα σημείο Ο της τομής δύο από τις τρεις κάθετες διχοτόμους. Ιδιότητες του σημείου Ο: βρίσκεται στη διχοτόμο προς την πλευρά ΑΒ, που σημαίνει ότι έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ: . Βρίσκεται επίσης στην κάθετη διχοτόμο προς την πλευρά AC, που σημαίνει . Λάβαμε τις ακόλουθες ισότητες.

Πρώτο επίπεδο

Περιγεγραμμένος κύκλος. Visual Guide (2019)

Το πρώτο ερώτημα που μπορεί να προκύψει είναι: τι περιγράφεται - γύρω από τι;

Λοιπόν, στην πραγματικότητα, μερικές φορές συμβαίνει γύρω από οτιδήποτε, αλλά θα μιλήσουμε για έναν κύκλο που περικλείεται γύρω από ένα τρίγωνο (μερικές φορές λένε επίσης "περίπου"). Τι είναι αυτό;

Και απλά φανταστείτε, συμβαίνει ένα εκπληκτικό γεγονός:

Γιατί προκαλεί έκπληξη αυτό το γεγονός;

Αλλά τα τρίγωνα είναι διαφορετικά!

Και για όλους υπάρχει ένας κύκλος που θα περάσει και στις τρεις κορυφές, δηλαδή ο περιγεγραμμένος κύκλος.

Απόδειξη αυτού καταπληκτικό γεγονόςμπορείτε να βρείτε στα ακόλουθα επίπεδα της θεωρίας, αλλά εδώ σημειώνουμε μόνο ότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο, τότε όχι για όλους θα υπάρχει ένας κύκλος που θα διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές. Για παράδειγμα, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα εξαιρετικό τετράπλευρο, αλλά δεν υπάρχει κύκλος που να διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του!

Και υπάρχει μόνο για ένα ορθογώνιο:

Ορίστε, και κάθε τρίγωνο έχει πάντα τον δικό του περιγεγραμμένο κύκλο!Και είναι ακόμα πολύ εύκολο να βρεις το κέντρο αυτού του κύκλου.

Ξέρεις τι είναι κάθετη διχοτόμος?

Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί αν θεωρήσουμε έως και τρεις κάθετες διχοτόμους στις πλευρές του τριγώνου.

Αποδεικνύεται (και αυτό ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί, αν και δεν θα το κάνουμε). και οι τρεις κάθετοι τέμνονται σε ένα σημείο.Κοιτάξτε την εικόνα - και οι τρεις κάθετες διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο.

Πιστεύετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο; Φανταστείτε - όχι πάντα!

Αλλα αν οξεία γωνία, μετά - μέσα:

Τι να κάνετε με ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Και με ένα επιπλέον μπόνους:

Εφόσον μιλάμε για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου: με τι ισούται για ένα αυθαίρετο τρίγωνο; Και υπάρχει απάντηση σε αυτό το ερώτημα: το λεγόμενο .

Και συγκεκριμένα:

Και φυσικά,

1. Ύπαρξη και κυκλικό κέντρο

Εδώ τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τέτοιος κύκλος για κάθε τρίγωνο; Αποδεικνύεται ότι ναι, για όλους. Και επιπλέον, θα διατυπώσουμε τώρα ένα θεώρημα που απαντά επίσης στο ερώτημα πού βρίσκεται το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Μοιάζει με αυτό:

Ας είμαστε γενναίοι και ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Εάν έχετε ήδη διαβάσει το θέμα "" και έχετε καταλάβει γιατί τρεις διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο, τότε θα είναι πιο εύκολο για εσάς, αλλά αν δεν το έχετε διαβάσει, μην ανησυχείτε: τώρα θα το καταλάβουμε.

Θα πραγματοποιήσουμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας την έννοια του τόπου σημείων (GLP).

Λοιπόν, για παράδειγμα, είναι το σετ μπάλες - " τόπος» στρογγυλά αντικείμενα; Όχι βέβαια γιατί υπάρχουν στρογγυλά...καρπούζια. Είναι ένα σύνολο ανθρώπων, ένας «γεωμετρικός τόπος», που μπορεί να μιλήσει; Ούτε, γιατί υπάρχουν μωρά που δεν μπορούν να μιλήσουν. Στη ζωή, είναι γενικά δύσκολο να βρεθεί ένα παράδειγμα μιας πραγματικής «γεωμετρικής θέσης σημείων». Είναι πιο εύκολο στη γεωμετρία. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε:

Εδώ το σύνολο είναι η κάθετη διχοτόμος και η ιδιότητα " " είναι "να είναι ίση απόσταση (ένα σημείο) από τα άκρα του τμήματος."

Να τσεκάρουμε; Επομένως, πρέπει να βεβαιωθείτε για δύο πράγματα:

1. Κάθε σημείο που είναι ίση απόσταση από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στην κάθετη με αυτό.

Ας συνδέσουμε τα c και c. Τότε η γραμμή είναι η διάμεσος και το ύψος b. Αυτό σημαίνει - ισοσκελές - φροντίσαμε ότι οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο είναι εξίσου μακριά από τα σημεία και.

Ας πάρουμε τη μέση και ας συνδεθούμε και. Το αποτέλεσμα είναι η διάμεσος. Σύμφωνα όμως με την συνθήκη, δεν είναι μόνο η διάμεσος ισοσκελές, αλλά και το ύψος, δηλαδή η κάθετη διχοτόμος. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο βρίσκεται ακριβώς στην κάθετη διχοτόμο.

Ολα! Έχουμε επαληθεύσει πλήρως το γεγονός ότι Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Όλα αυτά είναι καλά, αλλά έχουμε ξεχάσει τον περιγεγραμμένο κύκλο; Καθόλου, απλώς έχουμε προετοιμάσει τους εαυτούς μας ως «εφαλτήριο για επίθεση».

Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Ας σχεδιάσουμε δύο διτομικές κάθετες και, ας πούμε, στα τμήματα και. Θα διασταυρωθούν κάποια στιγμή, που θα ονομάσουμε.

Τώρα, προσοχή!

Το σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο.
το σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο.
Και αυτό σημαίνει, και.

Από αυτό προκύπτουν αρκετά πράγματα:

Πρώτον, το σημείο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη διχοτόμο κάθετη στο τμήμα.

Δηλαδή, η κάθετη διχοτόμος πρέπει επίσης να διέρχεται από το σημείο, και οι τρεις κάθετες διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο.

Δεύτερον: αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε σημείο και ακτίνα, τότε και αυτός ο κύκλος θα περάσει και από το σημείο και από το σημείο, δηλαδή θα είναι ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ήδη ότι η τομή τριών κάθετων διχοτόμων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Και το τελευταίο: για τη μοναδικότητα. Είναι ξεκάθαρο (σχεδόν) ότι το σημείο μπορεί να ληφθεί με μοναδικό τρόπο, επομένως ο κύκλος είναι μοναδικός. Λοιπόν, θα αφήσουμε "σχεδόν" για τον προβληματισμό σας. Αποδείξαμε λοιπόν το θεώρημα. Μπορείτε να φωνάξετε "Hurray!"

Τι γίνεται αν το πρόβλημα ρωτά "βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου"; Ή το αντίστροφο, η ακτίνα είναι δεδομένη, αλλά πρέπει να βρείτε κάτι άλλο; Υπάρχει τύπος που να συσχετίζει την ακτίνα του κυκλικού κύκλου με τα άλλα στοιχεία του τριγώνου;

Παρακαλώ σημειώστε: το ημιτονικό θεώρημα δηλώνει ότι για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, χρειάζεστε μια πλευρά (οποιαδήποτε!) και τη γωνία απέναντι από αυτήν. Αυτό είναι όλο!

3. Κέντρο του κύκλου - μέσα ή έξω

Τώρα το ερώτημα είναι: μπορεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου να βρίσκεται έξω από το τρίγωνο;
Απάντηση: όσο το δυνατόν περισσότερο. Επιπλέον, αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα αμβλύ τρίγωνο.

Και γενικά μιλώντας:

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

1. Κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο

Αυτός είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές αυτού του τριγώνου.

2. Ύπαρξη και κυκλικό κέντρο

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι;

Για επιτυχημένη περνώντας την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, δια βίου.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Άνθρωποι που έλαβαν μια καλή εκπαίδευση, κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έλαβαν. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Για να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 499 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Οδηγίες

Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στα σημεία τομής των κύκλων. Έχετε λάβει τη διχοτόμο σε ένα δεδομένο τμήμα.

Ας μας δοθεί τώρα ένα σημείο και μια ευθεία γραμμή. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια κάθετη από αυτό το σημείο μέχρι τοποθετήστε τη βελόνα στο σημείο. Σχεδιάστε έναν κύκλο ακτίνας (η ακτίνα πρέπει να είναι από ένα σημείο σε μια ευθεία έτσι ώστε ο κύκλος να μπορεί να τέμνει τη γραμμή σε δύο σημεία). Τώρα έχετε δύο σημεία σε μια γραμμή. Αυτά τα σημεία δημιουργούν ένα ευθύγραμμο τμήμα. Κατασκευάστε την κάθετη διχοτόμο στο τμήμα, τα άκρα είναι τα σημεία που προκύπτουν, σύμφωνα με τον αλγόριθμο που συζητήθηκε παραπάνω. Η κάθετη πρέπει να διέρχεται από το σημείο εκκίνησης.

Η κατασκευή ευθειών είναι η βάση του τεχνικού σχεδίου. Στις μέρες μας αυτό γίνεται όλο και περισσότερο με τη βοήθεια γραφικών επεξεργαστών, οι οποίοι παρέχουν στον σχεδιαστή μεγάλες ευκαιρίες. Ωστόσο, ορισμένες αρχές κατασκευής παραμένουν οι ίδιες όπως στο κλασικό σχέδιο - χρησιμοποιώντας μολύβι και χάρακα.

Θα χρειαστείτε

• - χαρτί?
• - μολύβι;
• - χάρακας
• - υπολογιστής με πρόγραμμα AutoCAD.

Οδηγίες

Ξεκινήστε με την κλασική κατασκευή. Προσδιορίστε το επίπεδο στο οποίο θα χτίσετε τη γραμμή. Αφήστε αυτό να είναι το επίπεδο ενός φύλλου χαρτιού. Ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, κανονίστε. Μπορεί να είναι αυθαίρετα, αλλά είναι πιθανό να δοθεί ένα σύστημα συντεταγμένων. Τοποθετήστε τυχαίες κουκκίδες όπου σας αρέσει περισσότερο. Βάλτε τις ετικέτες A και B. Χρησιμοποιήστε ένα χάρακα για να τις συνδέσετε. Σύμφωνα με το αξίωμα, είναι πάντα δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσω δύο σημείων και μόνο ενός.

Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Ας σας δοθούν τα σημεία A (x1; y1). Για να τα φτιάξετε, πρέπει να σχεδιάσετε τον απαιτούμενο αριθμό κατά μήκος του άξονα x και να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα y μέσω του σημειωμένου σημείου. Στη συνέχεια σχεδιάστε την τιμή ίση με y1 κατά μήκος του αντίστοιχου άξονα. Από το σημειωμένο σημείο, σχεδιάστε μια κάθετη μέχρι να τέμνεται με. Η θέση της τομής τους θα είναι το σημείο Α. Με τον ίδιο τρόπο, βρείτε το σημείο Β, οι συντεταγμένες του οποίου μπορούν να οριστούν ως (x2; y2). Συνδέστε και τα δύο σημεία.

Στο AutoCAD, μια ευθεία γραμμή μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας πολλά . Η συνάρτηση "by" εγκαθίσταται συνήθως από προεπιλογή. Βρείτε την καρτέλα "Αρχική σελίδα" στο επάνω μενού. Θα δείτε τον πίνακα Draw μπροστά σας. Βρείτε το κουμπί με την εικόνα μιας ευθείας γραμμής και κάντε κλικ σε αυτό.

Το AutoCAD σας επιτρέπει επίσης να καθορίσετε τις συντεταγμένες και των δύο. Πληκτρολογήστε (_xline) στη γραμμή εντολών παρακάτω. Πατήστε Enter. Εισαγάγετε τις συντεταγμένες του πρώτου σημείου και πατήστε επίσης enter. Προσδιορίστε το δεύτερο σημείο με τον ίδιο τρόπο. Μπορεί επίσης να καθοριστεί κάνοντας κλικ με το ποντίκι, τοποθετώντας τον κέρσορα μέσα επιθυμητό σημείοοθόνη.

Στο AutoCAD, μπορείτε να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή όχι μόνο κατά δύο σημεία, αλλά και από τη γωνία κλίσης. ΣΕ κατάλογος συμφραζόμενων«Σχέδιο» επιλέξτε την ευθεία γραμμή και μετά την επιλογή «Γωνία». Το σημείο εκκίνησης μπορεί να οριστεί κάνοντας κλικ με το ποντίκι ή με το , όπως στην προηγούμενη μέθοδο. Στη συνέχεια, ορίστε το μέγεθος της γωνίας και πατήστε enter. Από προεπιλογή, η ευθεία γραμμή θα βρίσκεται στην επιθυμητή γωνία ως προς την οριζόντια.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Σε ένα σύνθετο σχέδιο (διάγραμμα) κάθετοευθεία και επίπεδοκαθορίζονται από τις βασικές διατάξεις: εάν η μία πλευρά ορθή γωνίαπαράλληλο επίπεδοπροβολές, τότε μια ορθή γωνία προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο χωρίς παραμόρφωση. αν μια ευθεία είναι κάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες επίπεδο, είναι κάθετο σε αυτό επίπεδο.

Θα χρειαστείτε

• Μολύβι, χάρακας, μοιρογνωμόνιο, τρίγωνο.

Οδηγίες

Παράδειγμα: σχεδιάστε μια κάθετη στο σημείο Μ προς επίπεδοΝα σχεδιάσετε μια κάθετη σε επίπεδο, υπάρχουν δύο τεμνόμενες γραμμές σε αυτό επίπεδο, και να κατασκευάσετε μια ευθεία κάθετη σε αυτά. Η μετωπική και η οριζόντια επιλέγονται ως αυτές οι δύο τεμνόμενες γραμμές. επίπεδο.

Η μετωπική f(f1f2) είναι μια ευθεία γραμμή που βρίσκεται μέσα επίπεδοκαι παράλληλα με το μετωπικό επίπεδοπροβολές P2. Αυτό σημαίνει ότι η f2 είναι η φυσική της τιμή και η f1 είναι πάντα παράλληλη προς το x12. Από το σημείο A2, σχεδιάστε το h2 παράλληλα στο x12 και λάβετε το σημείο 12 στο B2C2.

Χρησιμοποιώντας μια γραμμή επικοινωνίας προβολής, τα σημεία 11 έως B1C1. Συνδεθείτε με A1 - αυτό είναι h1 - φυσικό μέγεθοςοριζόντιος. Από το σημείο B1 σχεδιάστε f1‖x12, στο A1C1 παίρνετε το σημείο 21. Χρησιμοποιώντας τη γραμμή σύνδεσης προβολής, βρείτε το σημείο 22 στο A2C2. Συνδέστε στο σημείο B2 - αυτό θα είναι f2 - το φυσικό μέγεθος της πρόσοψης.

Κατασκευασμένες φυσικές οριζόντιες h1 και μετωπικές f2 προεξοχών κάθετων προς επίπεδο. Από το σημείο M2, σχεδιάστε την μετωπική του προβολή a2 υπό γωνία 90

Κάθετη διχοτόμος (διάμεσος κάθετοςή μεσολαβητής) - μια ευθεία κάθετη σε ένα δεδομένο τμήμα και που διέρχεται από τη μέση του.

Ιδιότητες

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$όπου ο δείκτης δηλώνει την πλευρά προς την οποία σύρεται η κάθετη, $\mu \iota \kappa \rho ό$είναι το εμβαδόν του τριγώνου και θεωρείται επίσης ότι οι πλευρές σχετίζονται με ανισότητες $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; \gamma .$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$Και $p\_c\backslash geq\; p\_b.$Με άλλα λόγια, η μικρότερη κάθετη διχοτόμος ενός τριγώνου ανήκει στο μεσαίο τμήμα.

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Κάθετη διχοτόμος"

Σημειώσεις

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη διχοτόμο

Ο Κουτούζοφ, σταματώντας να μασήσει, κοίταξε έκπληκτος τον Βολτσόγκεν, σαν να μην καταλάβαινε τι του έλεγαν. Ο Wolzogen, παρατηρώντας τον ενθουσιασμό του des alten Herrn, [ο γέρος κύριος (Γερμανός)] είπε χαμογελώντας:
– Δεν θεώρησα ότι δικαιούμαι να κρύψω από την αρχοντιά σας αυτό που είδα... Τα στρατεύματα βρίσκονται σε πλήρη αταξία...
- Εχεις δει; Είδατε;.. – φώναξε ο Κουτούζοφ, συνοφρυωμένος, σηκώθηκε γρήγορα και προχωρώντας προς τον Βολτσόγκεν. «Πώς κάνεις... πώς τολμάς!..», φώναξε κάνοντας απειλητικές χειρονομίες με χειραψία και πνιγμό. - Πώς τολμάς, αγαπητέ κύριε, να μου το πεις αυτό; Δεν ξέρεις τίποτα. Πες στον στρατηγό Μπάρκλεϊ από εμένα ότι οι πληροφορίες του είναι λανθασμένες και ότι η πραγματική πορεία της μάχης είναι γνωστή σε μένα, τον αρχιστράτηγο, καλύτερα από εκείνον.
Ο Βολτσόγκεν ήθελε να αντιταχθεί, αλλά ο Κουτούζοφ τον διέκοψε.
- Ο εχθρός αποκρούεται στα αριστερά και ηττάται στο δεξί πλευρό. Αν δεν είδατε καλά, αγαπητέ κύριε, τότε μην επιτρέψετε στον εαυτό σας να πει αυτό που δεν γνωρίζετε. Παρακαλώ, πηγαίνετε στον στρατηγό Μπάρκλεϊ και του μεταφέρετε την επόμενη μέρα την απόλυτη πρόθεσή μου να επιτεθώ στον εχθρό», είπε αυστηρά ο Κουτούζοφ. Όλοι ήταν σιωπηλοί και το μόνο που ακουγόταν ήταν η βαριά ανάσα του λαχανιασμένου γέρου στρατηγού. «Ήταν απωθημένοι παντού, για το οποίο ευχαριστώ τον Θεό και τον γενναίο στρατό μας». Ο εχθρός ηττήθηκε και αύριο θα τον διώξουμε από την ιερή ρωσική γη», είπε ο Κουτούζοφ, σταυρώνοντας τον εαυτό του. και ξαφνικά έκλαψε από τα δάκρυα που ήρθαν. Ο Γουλτσόγκεν, ανασηκώνοντας τους ώμους του και σφίγγοντας τα χείλη του, απομακρύνθηκε σιωπηλά στο πλάι, αναρωτούμενος uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [σε αυτή την τυραννία του γέρου κυρίου. (Γερμανός)]
«Ναι, ορίστε, ήρωά μου», είπε ο Κουτούζοφ στον παχουλό, όμορφο, μαυρομάλλη στρατηγό, που έμπαινε στο ανάχωμα εκείνη την ώρα. Ήταν ο Ραέφσκι, ο οποίος πέρασε όλη την ημέρα στο κεντρικό σημείο του γηπέδου Borodino.
Ο Ραέφσκι ανέφερε ότι τα στρατεύματα ήταν σταθερά στις θέσεις τους και ότι οι Γάλλοι δεν τολμούσαν πια να επιτεθούν. Αφού τον άκουσε, ο Κουτούζοφ είπε στα γαλλικά:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer; [Δεν νομίζετε, λοιπόν, όπως άλλοι, ότι πρέπει να υποχωρήσουμε;]