Πάνω από 80000 πραγματικά προβλήματαΕνιαία Κρατική Εξέταση 2020
Δεν είστε συνδεδεμένοι στο σύστημα "". Αυτό δεν παρεμβαίνει στην προβολή και την επίλυση εργασιών Ανοικτή Τράπεζα Προβλημάτων Εξετάσεων Ενιαίου Κράτους στα Μαθηματικά, αλλά να συμμετάσχουν στον διαγωνισμό χρηστών για την επίλυση αυτών των εργασιών.
Αποτέλεσμα αναζήτησης για εργασίες Ενιαίας Πολιτικής Εξετάσεων στα μαθηματικά για το ερώτημα:
« Ένα ποδήλατο αριστερά από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής» — Βρέθηκαν 251 εργασίες
(προβολές: 606 , απαντά: 13 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 10 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 2 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και 3 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 5 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Εργασία Β14 ()(προβολές: 625 , απαντά: 11 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 20 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 5 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 10 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 10 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Η σωστή απάντηση δεν έχει ακόμη καθοριστεί
Εργασία Β14 ()(προβολές: 691 , απαντά: 11 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 10 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 5 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 15 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 10 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Απάντηση: 60
Εργασία Β14 ()(προβολές: 613 , απαντά: 11 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 5 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 47 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 47 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Η σωστή απάντηση δεν έχει ακόμη καθοριστεί
Εργασία Β14 ()(προβολές: 610 , απαντά: 9 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 20 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 5 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 19 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 19 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Η σωστή απάντηση δεν έχει ακόμη καθοριστεί
Εργασία Β14 ()(προβολές: 618 , απαντά: 9 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 20 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 2 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 30 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 50 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Η σωστή απάντηση δεν έχει ακόμη καθοριστεί
Εργασία Β14 ()(προβολές: 613 , απαντά: 9 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 5 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 26 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 39 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Η σωστή απάντηση δεν έχει ακόμη καθοριστεί
Εργασία Β14 ()(προβολές: 622 , απαντά: 9 )
Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 50 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 5 λεπτά μετά την αναχώρηση πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 12 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 20 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Η σωστή απάντηση δεν έχει ακόμη καθοριστεί
Εργασία Β14 (Αυτό το έργο Ένας ποδηλάτης άφησε το σημείο Α μιας κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. Σε 10 λεπτά (Τεστ) με θέμα (Μακροοικονομία και δημόσια διοίκηση), πραγματοποιήθηκε σύμφωνα με ατομική παραγγελίαειδικοί της εταιρείας μας και πέρασε την επιτυχή υπεράσπισή της. Εργασία - Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α μιας κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα ένας μοτοσικλετιστής τον ακολούθησε. Σε 10 λεπτά, το θέμα Μακροοικονομία και Δημόσια Διοίκηση αντικατοπτρίζει το θέμα του και τη λογική συνιστώσα της αποκάλυψής του, αποκαλύπτεται η ουσία του υπό μελέτη θέματος, αναδεικνύονται οι κύριες διατάξεις και οι βασικές ιδέες αυτού του θέματος.
Εργασία - Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α μιας κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα ένας μοτοσικλετιστής τον ακολούθησε. Μετά από 10 λεπτά, περιέχει: πίνακες, σχήματα, τα πιο πρόσφατα λογοτεχνικές πηγές, έτος υποβολής και υπεράσπισης της εργασίας - 2017. Στην εργασία Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής, και 30 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε μοτοσικλετιστής. Μετά από 10 λεπτά (Μακροοικονομία και δημόσια διοίκηση), αποκαλύπτεται η συνάφεια του ερευνητικού θέματος, αντικατοπτρίζεται ο βαθμός εξέλιξης του προβλήματος, με βάση μια εις βάθος αξιολόγηση και ανάλυση επιστημονικών και μεθοδολογική βιβλιογραφία, στην εργασία για το θέμα της Μακροοικονομίας και της Δημόσιας Διοίκησης εξετάζονται διεξοδικά το αντικείμενο ανάλυσης και τα ζητήματά του, τόσο από θεωρητικό όσο και από πρακτική πλευρά, διατυπώνονται ο σκοπός και οι συγκεκριμένοι στόχοι του υπό εξέταση θέματος, υπάρχει λογική παρουσίασης του υλικού και της αλληλουχίας του.
Από το σημείο Α μιας κυκλικής διαδρομής, το μήκος της οποίας είναι 75 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 89 km/h, η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι 59 km/h. Πόσα λεπτά μετά την εκκίνηση το πρώτο μονοθέσιο θα είναι μπροστά από το δεύτερο ακριβώς κατά έναν γύρο;
Αυτό το μάθημα δείχνει πώς, χρησιμοποιώντας τη φυσική φόρμουλα για τον προσδιορισμό του χρόνου κατά τη διάρκεια της ομοιόμορφης κίνησης: , δημιουργήστε μια αναλογία για να καθορίσετε τον χρόνο που ένα αυτοκίνητο θα προσπεράσει ένα άλλο σε κύκλο. Κατά την επίλυση του προβλήματος, υποδεικνύεται μια σαφής ακολουθία ενεργειών για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων: εισάγουμε μια συγκεκριμένη ονομασία για αυτό που θέλουμε να βρούμε, σημειώνουμε τον χρόνο που χρειάζεται ένα και το δεύτερο αυτοκίνητο για να καλύψει έναν ορισμένο αριθμό γύρων, λαμβάνοντας λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτός ο χρόνος είναι η ίδια τιμή - εξισώνουμε τις ισότητες που προκύπτουν. Η λύση περιλαμβάνει την εύρεση της άγνωστης ποσότητας σε μια γραμμική εξίσωση. Για να λάβετε τα αποτελέσματα, πρέπει να θυμάστε να αντικαταστήσετε τον αριθμό των ληφθέντων γύρων στον τύπο για τον προσδιορισμό του χρόνου.
Η λύση σε αυτό το πρόβλημα προτείνεται στους μαθητές της 7ης τάξης κατά τη μελέτη του θέματος «Μαθηματική γλώσσα. Μαθηματικό μοντέλο" ( Γραμμική εξίσωσημε μία μεταβλητή"). Κατά την προετοιμασία για το OGE, το μάθημα συνιστάται κατά την επανάληψη του θέματος «Μαθηματική γλώσσα. Μαθηματικό μοντέλο".
Ενότητες: Μαθηματικά
Τύπος μαθήματος: επανάληψη και γενίκευση του μαθήματος.
Στόχοι μαθήματος:
Εξοπλισμός μαθήματος:
Δομή μαθήματος.
Κύρια στάδια του μαθήματος |
Εργασίες που πρέπει να επιλυθούν σε αυτό το στάδιο |
||
| Οργάνωση χρόνου, εισαγωγικό μέρος |
|
||
| Προετοιμασία των μαθητών για ενεργή εργασία(επανάληψη) |
|
||
| Στάδιο γενίκευσης και συστηματοποίησης του μελετημένου υλικού (εργασία σε ομάδες) |
|
||
| Εξέταση κάνοντας τη δουλειά, προσαρμογή (αν χρειάζεται) |
|
||
| Συνοψίζοντας το μάθημα. Ανάλυση εργασία για το σπίτι |
|
Μορφές οργάνωσης της γνωστικής δραστηριότητας των μαθητών:
Μέθοδοι διδασκαλίας: λεκτική, οπτική, πρακτική, επεξηγηματική - παραστατική, αναπαραγωγική, εν μέρει - αναζήτηση, αναλυτική, συγκριτική, γενικευτική, μεταδοτική.
Ο δάσκαλος ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος, τους στόχους του μαθήματος και τα κύρια σημεία του μαθήματος. Ελέγχει την ετοιμότητα της τάξης για εργασία.
Απάντησε στις ερωτήσεις.
Όλη η τάξη χωρίζεται σε ομάδες (5-6 άτομα ανά ομάδα). Συνιστάται να υπάρχουν μαθητές διαφορετικών επιπέδων δεξιοτήτων στην ίδια ομάδα. Ανάμεσά τους ορίζεται αρχηγός ομάδας (ο δυνατότερος μαθητής), ο οποίος θα ηγηθεί των εργασιών της ομάδας.
Όλες οι ομάδες λαμβάνουν φακέλους με εργασίες (είναι ίδιες για όλες τις ομάδες), κάρτες συμβούλων (για αδύναμους μαθητές) και θεματικά φύλλα ελέγχου. Στα θεματικά φύλλα ελέγχου, ο αρχηγός της ομάδας δίνει βαθμούς σε κάθε μαθητή της ομάδας για κάθε εργασία και σημειώνει τις δυσκολίες που αντιμετώπισαν οι μαθητές κατά την ολοκλήρωση συγκεκριμένων εργασιών.
Κάρτα με εργασίες για κάθε ομάδα.
№ 5.
Νο. 7. Το μηχανοκίνητο σκάφος διένυσε 112 χλμ. ανάντη του ποταμού και επέστρεψε στο σημείο αναχώρησης, ξοδεύοντας 6 ώρες λιγότερες στο ταξίδι της επιστροφής. Βρείτε την ταχύτητα του ρεύματος αν η ταχύτητα του σκάφους σε ακίνητα νερά είναι 11 km/h. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Νο. 8. Το μηχανοκίνητο πλοίο ταξιδεύει κατά μήκος του ποταμού μέχρι τον προορισμό του 513 km και, αφού σταματήσει, επιστρέφει στο σημείο αναχώρησης. Βρείτε την ταχύτητα του πλοίου σε ακίνητο νερό εάν η τρέχουσα ταχύτητα είναι 4 km/h, η παραμονή διαρκεί 8 ώρες και το πλοίο επιστρέφει στο σημείο αναχώρησης 54 ώρες μετά την αναχώρηση. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Δείγμα θεματικής κάρτας ελέγχου.
| Τάξη ________ Ονοματεπώνυμο μαθητή_________________________________ | ||
Αριθμός εργασίας |
Σχόλιο |
|
Κάρτες συμβούλων.
| Κάρτα Νο. 1 (σύμβουλος) |
| 1. Οδήγηση σε ευθύ δρόμο |
| Κατά την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν ομοιόμορφη κίνηση, συχνά συμβαίνουν δύο καταστάσεις. Εάν η αρχική απόσταση μεταξύ των αντικειμένων είναι S και οι ταχύτητες των αντικειμένων είναι V1 και V2, τότε: α) όταν τα αντικείμενα κινούνται το ένα προς το άλλο, ο χρόνος μετά τον οποίο θα συναντηθούν είναι ίσος με . β) όταν τα αντικείμενα κινούνται προς μία κατεύθυνση, ο χρόνος μετά τον οποίο το πρώτο αντικείμενο θα φτάσει το δεύτερο είναι ίσο με , ( V 2 > V 1) |
Παράδειγμα 1. Το τρένο, έχοντας διανύσει 450 χλμ., σταμάτησε λόγω χιονόπτωσης. Μισή ώρα αργότερα το μονοπάτι καθαρίστηκε και ο οδηγός, αυξάνοντας την ταχύτητα του τρένου κατά 15 χλμ./ώρα, το έφερε στο σταθμό χωρίς καθυστέρηση. Βρείτε την αρχική ταχύτητα του τρένου εάν η απόσταση που διένυσε μέχρι τη στάση ήταν 75% της συνολικής απόστασης.
Το X= -75 δεν ταιριάζει στις συνθήκες του προβλήματος, όπου x > 0. Απάντηση: η αρχική ταχύτητα του τρένου είναι 60 km/h. |
| Κάρτα Νο. 2 (σύμβουλος) |
2. Οδήγηση σε κλειστό δρόμο |
| Αν το μήκος ενός κλειστού δρόμου είναι μικρόκαι τις ταχύτητες των αντικειμένων V 1 και V 2, τότε: α) όταν μετακινούνται αντικείμενα διαφορετικές κατευθύνσειςο χρόνος μεταξύ των συναντήσεων τους υπολογίζεται με τον τύπο. |
| Παράδειγμα 2.Σε έναν αγώνα σε πίστα σιρκουί, ένας σκιέρ ολοκληρώνει έναν γύρο 2 λεπτά γρηγορότερα από τον άλλο και μια ώρα αργότερα είναι ακριβώς ένα γύρο μπροστά του. Πόσο χρόνο χρειάζεται κάθε σκιέρ για να ολοκληρώσει τον κύκλο; Αφήνω μικρό m – μήκος της διαδρομής του δακτυλίου και Χ m/min και y m/min – ταχύτητες του πρώτου και του δεύτερου σκιέρ, αντίστοιχα ( x> y) . Επειτα S/x min και S/y min – ο χρόνος που χρειάζεται ο πρώτος και ο δεύτερος σκιέρ για να ολοκληρώσουν τον γύρο, αντίστοιχα. Από την πρώτη συνθήκη παίρνουμε την εξίσωση. Δεδομένου ότι η ταχύτητα αφαίρεσης του πρώτου σκιέρ από τον δεύτερο σκιέρ είναι ( Χ- y) m/min, τότε από τη δεύτερη συνθήκη έχουμε την εξίσωση . Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων.
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση S/x= αΚαι Α/γ= β, τότε το σύστημα των εξισώσεων θα έχει τη μορφή:
60(ένα + 2) – 60α = ένα(ένα + 2)ένα 2 + 2ένα- 120 = 0. Τετραγωνική εξίσωσηέχει μια θετική ρίζα α = 10 τότε β = 12. Αυτό σημαίνει ότι ο πρώτος σκιέρ ολοκληρώνει τον κύκλο σε 10 λεπτά και ο δεύτερος σκιέρ σε 12 λεπτά. Απάντηση: 10 λεπτά; 12 λεπτά. |
| Κάρτα Νο. 3 (σύμβουλος) |
3. Κίνηση κατά μήκος του ποταμού |
| Αν ένα αντικείμενο κινείται με τη ροή ενός ποταμού, τότε η ταχύτητά του είναι ίση με Vflow. =Vob. +
Vcurrent Εάν ένα αντικείμενο κινείται ενάντια στη ροή ενός ποταμού, τότε η ταχύτητά του είναι ίση με Vagainst the ρεύμα = V inc. – Ρεύμα V Η ταχύτητα του αντικειμένου (ταχύτητα σε ακίνητο νερό) είναι ίση με Η ταχύτητα της ροής του ποταμού είναι Η ταχύτητα της σχεδίας είναι ίση με την ταχύτητα της ροής του ποταμού. |
| Παράδειγμα 3.Το σκάφος πήγε 50 χλμ στο ρεύμα του ποταμού και στη συνέχεια ταξίδεψε 36 χλμ προς την αντίθετη κατεύθυνση, κάτι που του πήρε 30 λεπτά περισσότερο από ό,τι κατά μήκος του ποταμού. Ποια είναι η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους αν η ταχύτητα του ποταμού είναι 4 km/h; Ας είναι η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους Χ km/h, τότε η ταχύτητά του κατά μήκος του ποταμού είναι ( x+ 4) km/h και ενάντια στη ροή του ποταμού ( Χ- 4) km/h. Ο χρόνος που χρειάζεται για να κινηθεί το σκάφος κατά μήκος της ροής του ποταμού είναι ώρες, και αντίθετα με τη ροή του ποταμού είναι ώρες, αφού 30 λεπτά = 1/2 ώρα, τότε σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος θα δημιουργήσουμε την εξίσωση =. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2 ( x+ 4)(Χ- 4) >0 . Παίρνουμε 72( x+ 4) -100(Χ- 4) = (x+ 4)(Χ- 4) Χ 2 + 28Χ- 704 = 0 x 1 =16, x 2 = - 44 (εξαιρείται από x> 0). Έτσι, η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους είναι 16 km/h. Απάντηση: 16 km/h. |
Αναλύονται προβλήματα που προκάλεσαν δυσκολία στους μαθητές.
Νο. 1. Από δύο πόλεις, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 480 χλμ., δύο αυτοκίνητα οδηγούσαν ταυτόχρονα το ένα προς το άλλο. Μετά από πόσες ώρες θα συναντηθούν τα αυτοκίνητα αν η ταχύτητά τους είναι 75 km/h και 85 km/h;
Απάντηση: τα αυτοκίνητα θα συναντηθούν σε 3 ώρες.
Νο. 2. Από τις πόλεις Α και Β, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 330 χλμ., δύο αυτοκίνητα έφυγαν ταυτόχρονα το ένα προς το άλλο και συναντήθηκαν μετά από 3 ώρες σε απόσταση 180 χλμ. από την πόλη Β. Βρείτε την ταχύτητα του αυτοκινήτου που έφυγε από την πόλη Α Δώστε την απάντηση σε km/h.
Απάντηση: η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου που φεύγει από την πόλη Α είναι 50 km/h.
Νο. 3. Ένας αυτοκινητιστής και ένας ποδηλάτης έφυγαν ταυτόχρονα από το σημείο Α στο σημείο Β, η απόσταση μεταξύ του οποίου είναι 50 km. Είναι γνωστό ότι ένας αυτοκινητιστής διανύει 65 χιλιόμετρα περισσότερο την ώρα από έναν ποδηλάτη. Προσδιορίστε την ταχύτητα του ποδηλάτη εάν είναι γνωστό ότι έφτασε στο σημείο Β 4 ώρες 20 λεπτά αργότερα από τον οδηγό. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Ας κάνουμε ένα τραπέζι.
Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση, λαμβάνοντας υπόψη ότι 4 ώρες 20 λεπτά =
,Προφανώς, το x = -75 δεν ταιριάζει στις συνθήκες του προβλήματος.
Απάντηση: Η ταχύτητα του ποδηλάτη είναι 10 km/h.
Νο 4. Δύο μοτοσικλετιστές ξεκινούν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση από δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 14 km. Πόσα λεπτά θα χρειαστούν για να συναντηθούν οι μοτοσικλετιστές για πρώτη φορά αν η ταχύτητα του ενός είναι 21 km/h μεγαλύτερη από την ταχύτητα του άλλου;
Ας κάνουμε ένα τραπέζι.
Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση.
, όπου 1/3 ώρα = 20 λεπτά.Απάντηση: σε 20 λεπτά οι μοτοσυκλετιστές θα προσπεράσουν ο ένας τον άλλον για πρώτη φορά.
Νο 5. Από ένα σημείο σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 12 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 101 km/h και 20 λεπτά μετά την εκκίνηση ήταν ένας γύρος μπροστά από το δεύτερο αυτοκίνητο. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Ας κάνουμε ένα τραπέζι.
Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση.
Απάντηση: η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι 65 km/h.
Νο. 6. Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 40 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 8 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 36 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 30 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Ας κάνουμε ένα τραπέζι.
Κίνηση πριν την πρώτη συνάντηση |
|||
ποδηλάτης |
Νο. 9. Από την προβλήτα Α στην προβλήτα Β, η απόσταση μεταξύ της οποίας είναι 168 km, το πρώτο μηχανοκίνητο πλοίο ξεκίνησε με σταθερή ταχύτητα και 2 ώρες μετά το δεύτερο ξεκίνησε μετά από αυτήν, με ταχύτητα 2 km/ h ψηλότερα. Βρείτε την ταχύτητα του πρώτου πλοίου εάν και τα δύο πλοία έφτασαν στο σημείο Β ταυτόχρονα. Δώστε την απάντησή σας σε km/h. Ας κάνουμε έναν πίνακα με βάση την συνθήκη τους ότι η ταχύτητα του πρώτου πλοίου είναι x km/h. Ας κάνουμε μια εξίσωση: Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x ,Απάντηση: η ταχύτητα του πρώτου μηχανοκίνητου πλοίου είναι ίση με τον ποταμό 12 km/h V. Συνοψίζοντας το μάθημα.Όταν συνοψίζετε το μάθημα, θα πρέπει για άλλη μια φορά να επιστήσετε την προσοχή των μαθητών στις αρχές της επίλυσης προβλημάτων κίνησης. Όταν δίνετε εργασίες για το σπίτι, δώστε μια εξήγηση για τις πιο δύσκολες εργασίες. Βιβλιογραφία. 1) Αρθρο : Μαθηματικά Ενιαία Κρατική Εξέταση 2014 (σύστημα προβλημάτων από μια τράπεζα ανοιχτών εργασιών) Koryanov A.G., Nadezhkina N.V. – δημοσιεύεται στον ιστότοπο | ||
Ενότητες: Μαθηματικά
Το άρθρο συζητά καθήκοντα για να βοηθήσει τους μαθητές: να αναπτύξουν δεξιότητες στην επίλυση προβλημάτων λέξεων κατά την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, όταν μαθαίνουν να επιλύουν προβλήματα σχετικά με τη σύνθεση μαθηματικό μοντέλοπραγματικές καταστάσεις σε όλους τους παραλληλισμούς του δημοτικού και του λυκείου. Παρουσιάζει εργασίες: για κίνηση σε κύκλο. να βρείτε το μήκος ενός κινούμενου αντικειμένου. για να βρείτε τη μέση ταχύτητα.
I. Προβλήματα που αφορούν την κίνηση σε κύκλο.
Τα προβλήματα κυκλικής κίνησης αποδείχθηκαν δύσκολα για πολλούς μαθητές. Επιλύονται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο όπως τα συνηθισμένα προβλήματα κίνησης. Χρησιμοποιούν επίσης τη φόρμουλα. Υπάρχει όμως ένα σημείο στο οποίο θα θέλαμε να δώσουμε προσοχή.
Εργασία 1.Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α της κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 10 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 30 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 30 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Λύση.Οι ταχύτητες των συμμετεχόντων θα ληφθούν ως Χ km/h και y km/h. Για πρώτη φορά, μοτοσικλετιστής προσπέρασε έναν ποδηλάτη 10 λεπτά αργότερα, δηλαδή μια ώρα μετά την εκκίνηση. Μέχρι αυτό το σημείο, ο ποδηλάτης ήταν στο δρόμο για 40 λεπτά, δηλαδή ώρες Οι συμμετέχοντες στην κίνηση διένυσαν τις ίδιες αποστάσεις, δηλαδή y = x. Ας εισάγουμε τα δεδομένα στον πίνακα.
Τραπέζι 1
Στη συνέχεια, ο μοτοσικλετιστής πέρασε τον ποδηλάτη για δεύτερη φορά. Αυτό έγινε 30 λεπτά αργότερα, δηλαδή μια ώρα μετά το πρώτο προσπέρασμα. Πόσο μακριά ταξίδεψαν; Μοτοσικλετιστής προσπέρασε έναν ποδηλάτη. Αυτό σημαίνει ότι συμπλήρωσε έναν ακόμη γύρο. Αυτή είναι η στιγμή
που πρέπει να προσέξεις. Ένας γύρος είναι το μήκος της πίστας, είναι 30 χλμ. Ας δημιουργήσουμε έναν άλλο πίνακα.
πίνακας 2
Παίρνουμε τη δεύτερη εξίσωση: y - x = 30. Έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων: 
Στην απάντηση υποδεικνύουμε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή.
Απάντηση: 80 km/h.
Εργασίες (ανεξάρτητα).
I.1.1. Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο «Α» της κυκλικής διαδρομής και 40 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 10 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 36 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 36 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
I.1. 2. Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο «Α» της κυκλικής διαδρομής και 30 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 8 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 12 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 15 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
I.1. 3. Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο «Α» της κυκλικής διαδρομής και 50 λεπτά αργότερα τον ακολούθησε ένας μοτοσικλετιστής. 10 λεπτά μετά την αναχώρηση, πρόλαβε τον ποδηλάτη για πρώτη φορά και άλλα 18 λεπτά μετά τον πρόλαβε για δεύτερη φορά. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν το μήκος της διαδρομής είναι 15 χλμ. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Δύο μοτοσικλετιστές ξεκινούν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση από δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 20 km. Πόσα λεπτά θα χρειαστούν για να συναντηθούν οι μοτοσικλετιστές για πρώτη φορά αν η ταχύτητα του ενός είναι 15 km/h μεγαλύτερη από την ταχύτητα του άλλου;
Λύση.
Εικόνα 1
Με ταυτόχρονη εκκίνηση ο μοτοσικλετιστής που ξεκίνησε από το “Α” διένυσε μισό γύρο περισσότερο από αυτόν που ξεκίνησε από το “Β”. Δηλαδή 10 χλμ. Όταν δύο μοτοσικλετιστές κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, η ταχύτητα αφαίρεσης v = -. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, v = 15 km/h = km/min = km/min – ταχύτητα αφαίρεσης. Βρίσκουμε την ώρα μετά την οποία οι μοτοσυκλετιστές φτάνουν ο ένας στον άλλον για πρώτη φορά.
10:= 40 (λεπτά).
Απάντηση: 40 λεπτά.
Εργασίες (ανεξάρτητα).
I.2.1. Δύο μοτοσικλετιστές ξεκινούν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση από δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 27 km. Πόσα λεπτά θα χρειαστούν για να συναντηθούν οι μοτοσικλετιστές για πρώτη φορά αν η ταχύτητα του ενός είναι 27 km/h μεγαλύτερη από την ταχύτητα του άλλου;
I.2.2. Δύο μοτοσικλετιστές ξεκινούν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση από δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 6 km. Πόσα λεπτά θα χρειαστούν για να συναντηθούν οι μοτοσικλετιστές για πρώτη φορά αν η ταχύτητα του ενός είναι 9 km/h μεγαλύτερη από την ταχύτητα του άλλου;
Από ένα σημείο σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 8 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 89 km/h και 16 λεπτά μετά την εκκίνηση ήταν ένας γύρος μπροστά από το δεύτερο αυτοκίνητο. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Λύση.
x km/h είναι η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου.
(89 – x) km/h – ταχύτητα αφαίρεσης.
8 χλμ είναι το μήκος της κυκλικής διαδρομής.
Η εξίσωση.
(89 – x) = 8,
89 – x = 2 15,
Απάντηση: 59 km/h.
Εργασίες (ανεξάρτητα).
I.3.1. Από ένα σημείο σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 12 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 103 km/h και 48 λεπτά μετά την εκκίνηση ήταν ένας γύρος μπροστά από το δεύτερο αυτοκίνητο. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
I.3.2. Από ένα σημείο σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 6 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 114 km/h και 9 λεπτά μετά την εκκίνηση ήταν ένας γύρος μπροστά από το δεύτερο αυτοκίνητο. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
I.3.3. Από ένα σημείο σε μια κυκλική διαδρομή, το μήκος της οποίας είναι 20 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 105 km/h και 48 λεπτά μετά την εκκίνηση ήταν ένα γύρο μπροστά από το δεύτερο αυτοκίνητο. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
I.3.4. Από ένα σημείο σε μια κυκλική διαδρομή, μήκους 9 χλμ., δύο αυτοκίνητα ξεκίνησαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι 93 km/h και 15 λεπτά μετά την εκκίνηση ήταν ένας γύρος μπροστά από το δεύτερο αυτοκίνητο. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου. Δώστε την απάντησή σας σε km/h.
Το ρολόι με τους δείκτες δείχνει 8 ώρες 00 λεπτά. Σε πόσα λεπτά ο λεπτοδείκτης θα ευθυγραμμιστεί με τον ωροδείκτη για τέταρτη φορά;
Λύση. Υποθέτουμε ότι δεν λύνουμε το πρόβλημα πειραματικά.
Σε μία ώρα, ο λεπτοδείκτης διανύει έναν κύκλο και ο ωροδείκτης έναν κύκλο. Έστω οι ταχύτητες τους 1 (γύροι ανά ώρα) και 
Έναρξη - στις 8.00. Ας βρούμε τον χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει ο λεπτοδείκτης για πρώτη φορά με τον ωροδείκτη.
Ο λεπτοδείκτης θα κινηθεί περαιτέρω, οπότε παίρνουμε την εξίσωση
Αυτό σημαίνει ότι για πρώτη φορά τα βέλη θα ευθυγραμμιστούν
Αφήστε τα βέλη να ευθυγραμμιστούν για δεύτερη φορά μετά την ώρα z. Ο λεπτοδείκτης θα διανύσει απόσταση 1·z και ο ωροδείκτης θα διανύσει έναν κύκλο παραπάνω. Ας γράψουμε την εξίσωση:
Αφού το λύσαμε, το καταλαβαίνουμε.
Έτσι, μέσα από τα βέλη θα ευθυγραμμιστούν για δεύτερη φορά, μετά την άλλη - για τρίτη φορά και μετά την άλλη - για τέταρτη φορά.
Επομένως, εάν η έναρξη ήταν στις 8.00, τότε για τέταρτη φορά τα χέρια θα ευθυγραμμιστούν
4h = 60 * 4 min = 240 min.
Απάντηση: 240 λεπτά.
Εργασίες (ανεξάρτητα).
I.4.1.Το ρολόι με τους δείκτες δείχνει 4 ώρες 45 λεπτά. Σε πόσα λεπτά ο λεπτοδείκτης θα ευθυγραμμιστεί με τον ωροδείκτη για έβδομη φορά;
I.4.2 Το ρολόι με τους δείκτες δείχνει ακριβώς 2 η ώρα. Σε πόσα λεπτά ο λεπτοδείκτης θα ευθυγραμμιστεί με τον ωροδείκτη για δέκατη φορά;
I.4.3. Το ρολόι με τους δείκτες δείχνει 8 ώρες 20 λεπτά. Σε πόσα λεπτά ο λεπτοδείκτης θα ευθυγραμμιστεί με τον ωροδείκτη για τέταρτη φορά; τέταρτος
II. Προβλήματα εύρεσης του μήκους ενός κινούμενου αντικειμένου.
Ένα τρένο, που κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 80 χλμ./ώρα, περνά από έναν στύλο στην άκρη του δρόμου σε 36 δευτερόλεπτα. Βρείτε το μήκος του τρένου σε μέτρα.
Λύση. Εφόσον η ταχύτητα του τρένου υποδεικνύεται σε ώρες, θα μετατρέψουμε τα δευτερόλεπτα σε ώρες.
1) 36 δευτερόλεπτα = 
2) βρείτε το μήκος του τρένου σε χιλιόμετρα.
80· 
Απάντηση: 800μ.
Εργασίες (ανεξάρτητα).
II.2 Μια αμαξοστοιχία, που κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 60 km/h, περνάει από έναν στύλο στην άκρη του δρόμου σε 69 s. Βρείτε το μήκος του τρένου σε μέτρα. Απάντηση: 1150μ.
II.3. Ένα τρένο, που κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 60 km/h, περνά από μια δασική ζώνη μήκους 200 m σε 1 λεπτό και 21 δευτερόλεπτα. Βρείτε το μήκος του τρένου σε μέτρα. Απάντηση: 1150μ.
III. Προβλήματα μεσαίας ταχύτητας.
Σε μια εξέταση μαθηματικών, μπορεί να αντιμετωπίσετε ένα πρόβλημα σχετικά με την εύρεση της μέσης ταχύτητας. Πρέπει να θυμόμαστε ότι η μέση ταχύτητα δεν είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των ταχυτήτων. Η μέση ταχύτητα βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο:
Αν υπήρχαν δύο τμήματα του μονοπατιού, τότε 
.
Η απόσταση μεταξύ των δύο χωριών είναι 18 χλμ. Ένας ποδηλάτης ταξίδευε από το ένα χωριό στο άλλο για 2 ώρες και επέστρεφε στον ίδιο δρόμο για 3 ώρες. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του ποδηλάτη σε όλη τη διαδρομή;
Λύση:
2 ώρες + 3 ώρες = 5 ώρες - δαπανήθηκαν για ολόκληρη την κίνηση,
.Ο τουρίστας περπάτησε με ταχύτητα 4 χλμ./ώρα και στη συνέχεια για την ίδια ακριβώς ώρα με ταχύτητα 5 χλμ./ώρα. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του τουρίστα σε όλη τη διαδρομή;
Αφήστε τον τουρίστα να περπατήσει t h με ταχύτητα 4 km/h και t h με ταχύτητα 5 km/h. Στη συνέχεια σε 2t ώρες κάλυψε 4t + 5t = 9t (km). Η μέση ταχύτητα ενός τουρίστα είναι = 4,5 (km/h).
Απάντηση: 4,5 km/h.
Σημειώνουμε ότι η μέση ταχύτητα του τουρίστα αποδείχθηκε ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο δεδομένων ταχυτήτων. Μπορείτε να επαληθεύσετε ότι εάν ο χρόνος ταξιδιού σε δύο τμήματα της διαδρομής είναι ο ίδιος, τότε η μέση ταχύτητα κίνησης είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο δεδομένων ταχυτήτων. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε το ίδιο πρόβλημα σε γενική μορφή.
Ο τουρίστας περπάτησε με ταχύτητα χλμ/ώρα και στη συνέχεια για την ίδια ακριβώς ώρα με ταχύτητα χλμ/ώρα. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του τουρίστα σε όλη τη διαδρομή;
Αφήστε τον τουρίστα να περπατήσει t h με ταχύτητα km/h και t h με ταχύτητα km/h. Στη συνέχεια σε 2t ώρες ταξίδεψε t + t = t (km). Η μέση ταχύτητα ενός τουρίστα είναι
= (χλμ/ώρα).Το αυτοκίνητο διένυσε κάποια απόσταση στην ανηφόρα με ταχύτητα 42 χλμ./ώρα και κάτω από το βουνό με ταχύτητα 56 χλμ./ώρα.
.
Η μέση ταχύτητα κίνησης είναι 2 s: (km/h).
Απάντηση: 48 km/h.
Το αυτοκίνητο διένυσε κάποια απόσταση σε ανηφόρα με ταχύτητα km/h και κατηφόρα με ταχύτητα km/h.
Ποια είναι η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλη τη διαδρομή;
Έστω το μήκος του τμήματος του μονοπατιού s km. Στη συνέχεια το αυτοκίνητο διένυσε 2 s km και προς τις δύο κατευθύνσεις, περνώντας όλο το ταξίδι 
.
Η μέση ταχύτητα κίνησης είναι 2 δευτερόλεπτα: 
(χλμ/ώρα).
Απάντηση: km/h.
Εξετάστε ένα πρόβλημα στο οποίο δίνεται η μέση ταχύτητα και πρέπει να προσδιοριστεί μία από τις ταχύτητες. Θα απαιτηθεί η εφαρμογή της εξίσωσης.
Ο ποδηλάτης ταξίδευε στην ανηφόρα με ταχύτητα 10 km/h και κατέβαινε στο βουνό με κάποια άλλη σταθερή ταχύτητα. Όπως υπολόγισε, η μέση ταχύτητα ήταν 12 km/h.
.III.2. Το ήμισυ του χρόνου στο δρόμο, το αυτοκίνητο ταξίδευε με ταχύτητα 60 km/h και το δεύτερο μισό του χρόνου με ταχύτητα 46 km/h. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλο το ταξίδι.
III.3 Στο δρόμο από το ένα χωριό στο άλλο, το αυτοκίνητο περπάτησε για αρκετή ώρα με ταχύτητα 60 χλμ./ώρα, στη συνέχεια για την ίδια ακριβώς ώρα με ταχύτητα 40 χλμ./ώρα και μετά για την ίδια ακριβώς ώρα. ταχύτητα ίση με τη μέση ταχύτητα στα δύο πρώτα τμήματα της διαδρομής . Ποια είναι η μέση ταχύτητα ταξιδιού σε όλη τη διαδρομή από το ένα χωριό στο άλλο;
III.4. Ένας ποδηλάτης ταξιδεύει από το σπίτι στη δουλειά μαζί του μέση ταχύτητα 10 km/h, και πίσω με μέση ταχύτητα 15 km/h, αφού ο δρόμος κατηφορίζει ελαφρώς. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του ποδηλάτη από το σπίτι μέχρι τη δουλειά και πίσω.
III.5. Ένα αυτοκίνητο ταξίδεψε από το σημείο Α στο σημείο Β άδειο με σταθερή ταχύτητα και επέστρεψε στον ίδιο δρόμο με φορτίο με ταχύτητα 60 km/h. Με τι ταχύτητα οδηγούσε άδειος αν η μέση ταχύτητα ήταν 70 km/h;
III.6. Το αυτοκίνητο οδήγησε τα πρώτα 100 km με ταχύτητα 50 km/h, τα επόμενα 120 km με ταχύτητα 90 km/h και στη συνέχεια για 120 km με ταχύτητα 100 km/h. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλο το ταξίδι.
III.7. Το αυτοκίνητο οδήγησε τα πρώτα 100 km με ταχύτητα 50 km/h, τα επόμενα 140 km με ταχύτητα 80 km/h και στη συνέχεια 150 km με ταχύτητα 120 km/h. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλο το ταξίδι.
III.8. Το αυτοκίνητο οδήγησε τα πρώτα 150 km με ταχύτητα 50 km/h, τα επόμενα 130 km με ταχύτητα 60 km/h και στη συνέχεια τα 120 km με ταχύτητα 80 km/h. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλο το ταξίδι.
III. 9. Το αυτοκίνητο οδήγησε τα πρώτα 140 km με ταχύτητα 70 km/h, τα επόμενα 120 km με ταχύτητα 80 km/h και στη συνέχεια 180 km με ταχύτητα 120 km/h. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλο το ταξίδι.
