Που σας ήταν οικεία σε έναν ή τον άλλο βαθμό. Σημειώθηκε επίσης ότι το απόθεμα των ιδιοτήτων λειτουργίας θα αναπληρωθεί σταδιακά. Δύο νέα ακίνητα θα συζητηθούν σε αυτήν την ενότητα.
Ορισμός 1.
Η συνάρτηση y = f(x), x є X, καλείται ακόμη και αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X ισχύει η ισότητα f (-x) = f (x).
Ορισμός 2.
Η συνάρτηση y = f(x), x є X, ονομάζεται περιττή αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X ισχύει η ισότητα f (-x) = -f (x).
Αποδείξτε ότι y = x 4 - ομοιόμορφη λειτουργία.
Λύση. Έχουμε: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Αλλά(-x) 4 = x 4. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε x ισχύει η ισότητα f(-x) = f(x), δηλ. η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.
Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y - x 2, y = x 6, y - x 8 είναι άρτιες.
Να αποδείξετε ότι y = x 3 ~ περιττή συνάρτηση.
Λύση. Έχουμε: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Αλλά (-x) 3 = -x 3. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε x ισχύει η ισότητα f (-x) = -f (x), δηλ. η συνάρτηση είναι περίεργη.
Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y = x, y = x 5, y = x 7 είναι περιττές.
Εσείς και εγώ έχουμε ήδη πειστεί πολλές φορές ότι οι νέοι όροι στα μαθηματικά έχουν τις περισσότερες φορές μια «γήινη» προέλευση, δηλ. μπορούν να εξηγηθούν με κάποιο τρόπο. Αυτό συμβαίνει και με τις άρτιες και τις περιττές συναρτήσεις. Δείτε: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - περιττές συναρτήσεις, ενώ y = x 2, y = x 4, y = x 6 είναι άρτιες συναρτήσεις. Και γενικά, για οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής y = x" (παρακάτω θα μελετήσουμε συγκεκριμένα αυτές τις συναρτήσεις), όπου το n είναι φυσικός αριθμός, μπορούμε να συμπεράνουμε: αν το n είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση y = x" είναι Περιττός; αν το n είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση y = xn είναι άρτια.
Υπάρχουν επίσης συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι η συνάρτηση y = 2x + 3. Πράγματι, f(1) = 5, και f (-1) = 1. Όπως μπορείτε να δείτε, εδώ, επομένως, ούτε η ταυτότητα f(-x) = f ( x), ούτε η ταυτότητα f(-x) = -f(x).
Άρα, μια συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια, περιττή ή κανένα.
Μελετώντας το ερώτημα αν δεδομένη λειτουργίαάρτιος ή περιττός ονομάζεται συνήθως η μελέτη μιας συνάρτησης για ισοτιμία.
Στους ορισμούς 1 και 2 μιλάμε γιασχετικά με τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x και -x. Αυτό προϋποθέτει ότι η συνάρτηση ορίζεται και στο σημείο x και στο σημείο -x. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο -x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ταυτόχρονα με το σημείο x. Εάν ένα αριθμητικό σύνολο X, μαζί με κάθε στοιχείο του x, περιέχει και το αντίθετο στοιχείο -x, τότε το X ονομάζεται συμμετρικό σύνολο. Ας πούμε (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) είναι συμμετρικά σύνολα, ενώ: έστω Χ 1ένα;σι, ΕΝΑ Χ 2ένα;σι .
Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;
Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτό καθολική μέθοδοςθα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.
Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.
Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:
Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.
Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.
Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοια στιγμή ονομάζεται επανάληψη.
Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.
