5. Εύρεση της επιφάνειας των σωμάτων περιστροφής

Έστω η καμπύλη ΑΒ η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) ≥ 0, όπου x [a; b], και η συνάρτηση y = f(x) και η παράγωγός της y" = f"(x) είναι συνεχείς σε αυτό το τμήμα.

Ας βρούμε το εμβαδόν S της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή της καμπύλης ΑΒ γύρω από τον άξονα Ox (Εικ. 8).

Ας εφαρμόσουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος).

Μέσω ενός αυθαίρετου σημείου x [a; β] σχεδιάστε ένα επίπεδο P κάθετο στον άξονα Ox. Το επίπεδο П τέμνει την επιφάνεια περιστροφής σε κύκλο με ακτίνα y – f(x). Το μέγεθος S της επιφάνειας του τμήματος του σχήματος της περιστροφής που βρίσκεται στα αριστερά του επιπέδου είναι συνάρτηση του x, δηλ. s = s(x) (s(a) = 0 και s(b) = S).

Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Δx = dx. Μέσω του σημείου x + dx [a; β] σχεδιάζουμε και επίπεδο κάθετο στον άξονα Ox. Η συνάρτηση s = s(x) θα λάβει μια αύξηση Δs, που φαίνεται στο σχήμα ως «ιμάντας».

Ας βρούμε το διαφορικό εμβαδόν ds αντικαθιστώντας το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ των τομών με έναν κόλουρο κώνο, του οποίου η γενεαλογία είναι ίση με dl και οι ακτίνες των βάσεων είναι ίσες με y και y + dу. Το εμβαδόν της πλευρικής του επιφάνειας είναι ίσο με: = 2ydl + dydl.

Απορρίπτοντας το γινόμενο dу d1 ως απειροελάχιστο υψηλότερης τάξης από το ds, λαμβάνουμε ds = 2уdl, ή, αφού d1 = dx.

Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στο εύρος από x = a έως x = b, λαμβάνουμε

Αν η καμπύλη ΑΒ δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, τότε ο τύπος για την περιοχή επιφάνειες της επανάστασηςπαίρνει τη μορφή

S=2 dt.

Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας μπάλας ακτίνας R.

S=2 =

6. Εύρεση του έργου μιας μεταβλητής δύναμης

Εργασία μεταβλητής δύναμης

Αφήνω υλικό σημείοΤο M κινείται κατά μήκος του άξονα Ox υπό την επίδραση μιας μεταβλητής δύναμης F = F(x) που κατευθύνεται παράλληλα προς αυτόν τον άξονα. Το έργο που εκτελείται από μια δύναμη όταν μετακινείται το σημείο M από τη θέση x = a στη θέση x = b (α

Πόση δουλειά πρέπει να γίνει για να τεντώσει το ελατήριο κατά 0,05 m εάν μια δύναμη 100 N τεντώσει το ελατήριο κατά 0,01 m;

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke, η ελαστική δύναμη που τεντώνει το ελατήριο είναι ανάλογη με αυτό το τέντωμα x, δηλ. F = kх, όπου k είναι ο συντελεστής αναλογικότητας. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μια δύναμη F = 100 N τεντώνει το ελατήριο κατά x = 0,01 m. Επομένως, 100 = k 0,01, από όπου k = 10000; επομένως, F = 10000x.

Η απαιτούμενη εργασία με βάση τον τύπο

Α=

Βρείτε το έργο που πρέπει να δαπανηθεί για την άντληση υγρού πάνω από την άκρη από μια κατακόρυφη κυλινδρική δεξαμενή ύψους N m και ακτίνας βάσης R m (Εικ. 13).

Η εργασία που δαπανάται για την ανύψωση ενός σώματος βάρους p σε ύψος h ισούται με p N. Αλλά τα διαφορετικά στρώματα υγρού στη δεξαμενή βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη και το ύψος της ανύψωσης (στην άκρη της δεξαμενής) του διαφορετικού στρώματα δεν είναι το ίδιο.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, εφαρμόζουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος). Ας εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων.

1) Η εργασία που δαπανάται για την άντληση ενός στρώματος υγρού πάχους x (0 ≤ x ≤ H) από μια δεξαμενή είναι συνάρτηση του x, δηλ. A = A(x), όπου (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Να βρείτε το κύριο μέρος της αύξησης ΔΑ όταν το x μεταβάλλεται κατά το ποσό Δx = dx, δηλ. βρίσκουμε το διαφορικό dA της συνάρτησης A(x).

Λόγω της μικρότητας του dx, υποθέτουμε ότι το «στοιχειώδες» στρώμα υγρού βρίσκεται στο ίδιο βάθος x (από την άκρη της δεξαμενής). Τότε dA = dрх, όπου dρ είναι το βάρος αυτού του στρώματος. ισούται με g АV, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, είναι η πυκνότητα του υγρού, dv είναι ο όγκος του «στοιχειώδους» στρώματος του υγρού (τονίζεται στο σχήμα), δηλ. dр = g. Ο όγκος του υποδεικνυόμενου υγρού στρώματος είναι προφανώς ίσος με , όπου dx είναι το ύψος του κυλίνδρου (στρώμα), είναι το εμβαδόν της βάσης του, δηλ. dv = .

Έτσι, dр = . Και

3) Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στην περιοχή από x = 0 έως x = H, βρίσκουμε

ΕΝΑ

8. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση του πακέτου MathCAD

Κατά την επίλυση ορισμένων εφαρμοζόμενων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η λειτουργία της συμβολικής ολοκλήρωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόγραμμα MathCad μπορεί να είναι χρήσιμο τόσο στο αρχικό στάδιο (καλό είναι να γνωρίζετε την απάντηση εκ των προτέρων ή να γνωρίζετε ότι υπάρχει) όσο και στο τελικό στάδιο (καλό είναι να ελέγξετε το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας μια απάντηση από άλλη πηγή ή λύση άλλου ατόμου).

Κατά την επίλυση μεγάλου αριθμού προβλημάτων, μπορείτε να παρατηρήσετε ορισμένες δυνατότητες επίλυσης προβλημάτων χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα MathCad. Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε με πολλά παραδείγματα πώς λειτουργεί αυτό το πρόγραμμα, να αναλύσουμε τις λύσεις που λαμβάνονται με τη βοήθειά του και να συγκρίνουμε αυτές τις λύσεις με λύσεις που λαμβάνονται με άλλες μεθόδους.

Τα κύρια προβλήματα κατά τη χρήση του προγράμματος MathCad είναι τα εξής:

α) το πρόγραμμα δίνει την απάντηση όχι με τη μορφή γνωστών στοιχειωδών συναρτήσεων, αλλά με τη μορφή ειδικών συναρτήσεων που δεν είναι γνωστές σε όλους.

β) σε ορισμένες περιπτώσεις «αρνείται» να δώσει μια απάντηση, αν και υπάρχει λύση στο πρόβλημα.

γ) μερικές φορές είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί το αποτέλεσμα που λήφθηκε λόγω της δυσκίνησής του.

δ) δεν λύνει πλήρως το πρόβλημα και δεν αναλύει τη λύση.

Για την επίλυση αυτών των προβλημάτων, είναι απαραίτητο να αξιοποιηθούν τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία του προγράμματος.

Με τη βοήθειά του είναι εύκολο και απλό να υπολογιστούν ολοκληρώματα κλασματικών ορθολογικών συναρτήσεων. Επομένως, συνιστάται η χρήση της μεθόδου μεταβλητής αντικατάστασης, π.χ. Προετοιμάστε το ολοκλήρωμα για τη λύση. Για τους σκοπούς αυτούς, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι υποκαταστάσεις που συζητήθηκαν παραπάνω. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι τα αποτελέσματα που λαμβάνονται πρέπει να εξεταστούν ως προς τη σύμπτωση των τομέων ορισμού της αρχικής συνάρτησης και του ληφθέντος αποτελέσματος. Επιπλέον, ορισμένες από τις λύσεις που προέκυψαν απαιτούν πρόσθετη έρευνα.

Το πρόγραμμα MathCad απαλλάσσει τον μαθητή ή τον ερευνητή από τη συνήθη εργασία, αλλά δεν μπορεί να τον απαλλάξει από πρόσθετες αναλύσεις τόσο κατά την τοποθέτηση ενός προβλήματος όσο και κατά τη λήψη οποιωνδήποτε αποτελεσμάτων.

Στην παρούσα εργασία συζητήθηκαν οι κύριες διατάξεις που σχετίζονται με τη μελέτη των εφαρμογών οριστικό ολοκλήρωμαστο μάθημα των μαθηματικών.

– διενεργήθηκε ανάλυση της θεωρητικής βάσης για την επίλυση ολοκληρωμάτων.

– συστηματοποιήθηκε και γενικεύτηκε το υλικό.

Κατά τη διαδικασία ολοκλήρωσης της εργασίας του μαθήματος εξετάστηκαν παραδείγματα πρακτικών προβλημάτων στον τομέα της φυσικής, της γεωμετρίας και της μηχανικής.

Σύναψη

Τα παραδείγματα πρακτικών προβλημάτων που συζητήθηκαν παραπάνω μας δίνουν μια ξεκάθαρη ιδέα της σημασίας του ορισμένου ολοκληρώματος για τη δυνατότητα επίλυσής τους.

Είναι δύσκολο να ονομάσουμε ένα επιστημονικό πεδίο στο οποίο δεν θα χρησιμοποιούνται οι μέθοδοι του ολοκληρωτικού λογισμού, γενικά, και οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, ειδικότερα. Έτσι, κατά τη διαδικασία ολοκλήρωσης των μαθημάτων, εξετάσαμε παραδείγματα πρακτικών προβλημάτων στον τομέα της φυσικής, της γεωμετρίας, της μηχανικής, της βιολογίας και της οικονομίας. Φυσικά, αυτό απέχει πολύ από μια εξαντλητική λίστα επιστημών που χρησιμοποιούν την ολοκληρωμένη μέθοδο για την αναζήτηση μιας καθιερωμένης αξίας κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος και τη δημιουργία θεωρητικών γεγονότων.

Το οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιείται επίσης για τη μελέτη των ίδιων των μαθηματικών. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες με τη σειρά τους συμβάλλουν αναντικατάστατα στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Μπορούμε να πούμε ότι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένα ορισμένο θεμέλιο για τη μελέτη των μαθηματικών. Εξ ου και η σημασία της γνώσης του τρόπου επίλυσής τους.

Από όλα τα παραπάνω, είναι σαφές γιατί η γνωριμία με το οριστικό ολοκλήρωμα συμβαίνει στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, όπου οι μαθητές μελετούν όχι μόνο την έννοια του ολοκληρώματος και τις ιδιότητές του, αλλά και ορισμένες από τις εφαρμογές του.

Λογοτεχνία

1. Volkov E.A. Αριθμητικές μέθοδοι. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Μ., Integral-Press, 2004. Τ. 1.

3. Shipachev V.S. Ανώτερα μαθηματικά. Μ., Ανώτατο Σχολείο, 1990.

Χαιρετισμούς, αγαπητοί φοιτητές του Πανεπιστημίου Αργεμώνα!

Σήμερα θα συνεχίσουμε να μαθαίνουμε πώς να υλοποιούμε αντικείμενα. Την τελευταία φορά περιστρέψαμε επίπεδες φιγούρες και πήραμε ογκομετρικά σώματα. Μερικά από αυτά είναι πολύ δελεαστικά και χρήσιμα. Νομίζω ότι πολλά από αυτά που επινοεί ένας μάγος μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον.

Σήμερα θα περιστρέψουμε καμπύλες. Είναι σαφές ότι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε κάποιο αντικείμενο με πολύ λεπτές άκρες (ένα χωνάκι ή ένα μπουκάλι για φίλτρα, ένα βάζο με λουλούδια, ένα ποτήρι για ποτά κ.λπ.), γιατί μια περιστρεφόμενη καμπύλη μπορεί να δημιουργήσει ακριβώς αυτού του είδους τα αντικείμενα. Με άλλα λόγια, περιστρέφοντας την καμπύλη μπορούμε να έχουμε κάποιο είδος επιφάνειας - κλειστή από όλες τις πλευρές ή όχι. Γιατί αυτή τη στιγμή θυμήθηκα το κύπελλο από το οποίο έπινε πάντα ο Sir Shurf Lonley-Lokley.

Έτσι θα δημιουργήσουμε ένα μπολ με τρύπες και ένα μπολ χωρίς τρύπες και θα υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας που δημιουργήθηκε. Νομίζω ότι (η επιφάνεια γενικά) θα χρειαστεί για κάτι - καλά, τουλάχιστον για την εφαρμογή ειδικής μαγικής βαφής. Από την άλλη πλευρά, οι περιοχές των μαγικών αντικειμένων μπορεί να απαιτούνται για τον υπολογισμό των μαγικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτά ή κάτι άλλο. Θα μάθουμε να το βρίσκουμε, και θα βρούμε πού να το εφαρμόσουμε.

Έτσι, ένα κομμάτι παραβολής μπορεί να μας δώσει το σχήμα ενός μπολ. Ας πάρουμε το απλούστερο y=x 2 στο διάστημα. Μπορεί να φανεί ότι όταν το περιστρέφετε γύρω από τον άξονα OY, έχετε μόνο ένα μπολ. Χωρίς πάτο.

Το ξόρκι για τον υπολογισμό της επιφάνειας περιστροφής έχει ως εξής:

Εδώ |y| είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης που περιστρέφεται. Όπως γνωρίζετε, η απόσταση είναι κάθετη.
Λίγο πιο δύσκολο με το δεύτερο στοιχείο του ξόρκι: ds είναι το διαφορικό τόξου. Αυτές οι λέξεις δεν μας δίνουν τίποτα, οπότε ας μην ενοχλούμε, αλλά ας περάσουμε στη γλώσσα των τύπων, όπου αυτή η διαφορά παρουσιάζεται ξεκάθαρα για όλες τις γνωστές σε εμάς περιπτώσεις:
- Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
- καταγραφή της καμπύλης σε παραμετρική μορφή.
- πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Για την περίπτωσή μας, η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης είναι x. Υπολογίζουμε την επιφάνεια του μπολ τρύπας που προκύπτει:

Για να φτιάξετε ένα μπολ με πάτο, πρέπει να πάρετε ένα άλλο κομμάτι, αλλά με διαφορετική καμπύλη: στο διάστημα αυτή είναι η γραμμή y=1.

Είναι σαφές ότι όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OY, ο πυθμένας του μπολ θα έχει τη μορφή κύκλου μοναδιαίας ακτίνας. Και ξέρουμε πώς υπολογίζεται το εμβαδόν ενός κύκλου (χρησιμοποιώντας τον τύπο pi*r^2. Για την περίπτωσή μας, το εμβαδόν του κύκλου θα είναι ίσο με το pi), αλλά ας το υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας έναν νέο τύπο - για έλεγχο.
Η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του κομματιού της καμπύλης είναι επίσης ίση με x.

Λοιπόν, οι υπολογισμοί μας είναι σωστοί, που είναι καλά νέα.

Και τώρα σχολική εργασία στο σπίτι.

1. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει περιστρέφοντας τη διακεκομμένη γραμμή ABC, όπου A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), γύρω από τον άξονα OX.
Συμβουλή. Καταγράψτε όλα τα τμήματα σε παραμετρική μορφή.
ΑΒ: x=1, y=t, 2≤t≤5
π.Χ.: x=t, y=2, 1≤t≤6
Παρεμπιπτόντως, πώς μοιάζει το στοιχείο που προκύπτει;

2. Λοιπόν, τώρα σκεφτείτε κάτι μόνοι σας. Νομίζω ότι τρία στοιχεία θα είναι αρκετά.

I. Όγκοι σωμάτων περιστροφής. Μελετήστε προκαταρκτικά το Κεφάλαιο XII, παράγραφοι 197, 198 από το σχολικό βιβλίο του G. M. Fikhtengolts * Αναλύστε λεπτομερώς τα παραδείγματα που δίνονται στην παράγραφο 198.

508. Να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται περιστρέφοντας μια έλλειψη γύρω από τον άξονα Ox.

Ετσι,

530. Να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox του ημιτονοειδούς τόξου y = sin x από το σημείο X = 0 έως το σημείο X = It.

531. Υπολογίστε την επιφάνεια ενός κώνου με ύψος h και ακτίνα r.

532. Να υπολογίσετε την επιφάνεια που σχηματίστηκε

περιστροφή του αστροειδούς x3 -)- y* - a3 γύρω από τον άξονα Ox.

533. Υπολογίστε την επιφάνεια που σχηματίζεται περιστρέφοντας τον βρόχο της καμπύλης 18 ug - x (6 - x) z γύρω από τον άξονα Ox.

534. Να βρείτε την επιφάνεια του δακτύλου που παράγεται από την περιστροφή του κύκλου X2 - j - (y-3)2 = 4 γύρω από τον άξονα Ox.

535. Να υπολογίσετε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του κύκλου X = ένα κόστος, y = ασίντ γύρω από τον άξονα Ox.

536. Να υπολογίσετε την επιφάνεια που σχηματίζεται από την περιστροφή του βρόχου της καμπύλης x = 9t2, y = St - 9t3 γύρω από τον άξονα Ox.

537. Να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του τόξου της καμπύλης x = e*sint, y = el κόστος γύρω από τον άξονα Ox

από t = 0 έως t = —.

538. Δείξτε ότι η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή του κυκλοειδούς τόξου x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) γύρω από τον άξονα Oy είναι ίση με 16 u2 o2.

539. Βρείτε την επιφάνεια που προκύπτει περιστρέφοντας το καρδιοειδές γύρω από τον πολικό άξονα.

540. Να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του λεμνίσκου Γύρω από τον πολικό άξονα.

Πρόσθετες εργασίες για το Κεφάλαιο IV

Περιοχές με επίπεδα σχήματα

541. Βρείτε ολόκληρη την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη Και ο άξονας Οξ.

542. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και ο άξονας Οξ.

543. Βρείτε το τμήμα της περιοχής της περιοχής που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και οριοθετείται από την καμπύλη

l συντεταγμένοι άξονες.

544. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περιέχεται μέσα

βρόχοι:

545. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από έναν βρόχο της καμπύλης:

546. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περιέχεται μέσα στον βρόχο:

547. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και ο άξονας Οξ.

548. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και ο άξονας Οξ.

549. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από τον άξονα Oxr

ευθεία και καμπύλη

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος για τον όγκο ενός σώματος από το εμβαδόν των παράλληλων τμημάτων.

Παράδειγμα. Βρείτε τον όγκο του ελλειψοειδούς x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Κόβοντας το ελλειψοειδές με ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο Oyz και σε αποστάσεις από αυτό (-а ≤х ≤а), παίρνουμε μια έλλειψη (βλ. Εικ. 15):

Η περιοχή αυτής της έλλειψης είναι

Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (16), έχουμε

Υπολογισμός επιφάνειας περιστροφής

Έστω η καμπύλη ΑΒ μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) ≥ 0, όπου x [a,b], μια συνάρτηση y = f (x) και η παράγωγός της y" = f" (x) είναι συνεχείς σε αυτό τμήμα.

Τότε το εμβαδόν S της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή της καμπύλης ΑΒ γύρω από τον άξονα Ox υπολογίζεται με τον τύπο

Εάν η καμπύλη ΑΒ δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, τότε ο τύπος για την επιφάνεια περιστροφής παίρνει τη μορφή

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Παράδειγμα Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας μπάλας ακτίνας R. Λύση:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η επιφάνεια της μπάλας σχηματίζεται από την περιστροφή του ημικυκλίου y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, γύρω από τον άξονα Ox. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (19) βρίσκουμε

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Παράδειγμα. Δίνεται ένα κυκλοειδές x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− κόστος) ,

Βρείτε την επιφάνεια που σχηματίζεται περιστρέφοντάς την γύρω από τον άξονα Ox. Διάλυμα:

Όταν το μισό του κυκλοειδούς τόξου περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, η επιφάνεια περιστροφής είναι ίση με

Υπολογισμός του μήκους τόξου μιας επίπεδης καμπύλης

Ορθογώνιες συντεταγμένες

Έστω σε ένα τόξο, όταν ο αριθμός των συνδέσμων της διακεκομμένης γραμμής αυξάνεται απεριόριστα και το μήκος των μεγαλύτερων ορθογώνιων συντεταγμένων δίνεται μια επίπεδη καμπύλη AB, η εξίσωση της οποίας είναι y = f(x), όπου a ≤ x≤ b .

Το μήκος του τόξου ΑΒ νοείται ως το όριο στο οποίο το μήκος της διακεκομμένης γραμμής που εγγράφεται σε αυτόν τον σύνδεσμο τείνει στο μηδέν. Ας δείξουμε ότι αν η συνάρτηση y = f(x) και η παράγωγός της y′ = f′ (x) είναι συνεχείς στο τμήμα [a ,b ], τότε η καμπύλη ΑΒ έχει μήκος ίσο με

Αν η εξίσωση της καμπύλης ΑΒ δίνεται σε παραμετρική μορφή

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

όπου x (t) και y (t) είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους και x (α) = a, x (β) = b, τότε το μήκος l της καμπύλης ΑΒ βρίσκεται με τον τύπο

Αυτό σημαίνει l = 2π R. Αν η εξίσωση ενός κύκλου είναι γραμμένη με την παραμετρική μορφή = R κόστος, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), τότε

Πολικές συντεταγμένες

Έστω η καμπύλη AB που δίνεται από την εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Ας υποθέσουμε ότι τα r (ϕ ) και r" (ϕ ) είναι συνεχόμενα στο διάστημα [α , β ].

Αν στις ισότητες x = r cosϕ, y = r sinϕ, συνδέοντας πολικές και καρτεσιανές συντεταγμένες,

η γωνία ϕ θεωρείται παράμετρος, τότε η καμπύλη AB μπορεί να οριστεί παραμετρικάx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Εφαρμόζοντας τον τύπο (15), λαμβάνουμε l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Παράδειγμα Βρείτε το μήκος του καρδιοειδούς r =a (1 + cosϕ ). Διάλυμα:

Το καρδιοειδές r =a (1 + cosϕ) έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα 14. Είναι συμμετρικό ως προς τον πολικό άξονα. Ας βρούμε το μισό μήκος του καρδιοειδούς:

Έτσι, 1 2 l = 4 a. Αυτό σημαίνει l = 8a.

Επομένως, θα περάσω αμέσως στις βασικές έννοιες και τα πρακτικά παραδείγματα.

Ας δούμε την απλή εικόνα

Και θυμηθείτε: τι μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας οριστικό ολοκλήρωμα?

Πρώτα από όλα, φυσικά, περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς. Γνωστό από τα σχολικά χρόνια.

Αν αυτό το σχήμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα των συντεταγμένων, τότε μιλάμε για εύρεση όγκος ενός σώματος περιστροφής. Απλό επίσης.

Τι άλλο; Αναθεωρήθηκε πριν από λίγο καιρό πρόβλημα μήκους τόξου .

Και σήμερα θα μάθουμε πώς να υπολογίζουμε ένα ακόμη χαρακτηριστικό - μια άλλη περιοχή. Φανταστείτε αυτή τη γραμμή περιστρέφεταιγύρω από τον άξονα. Το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας είναι γεωμετρικό σχήμα, κάλεσε επιφάνεια περιστροφής. ΣΕ σε αυτή την περίπτωσηθυμίζει κατσαρόλα χωρίς πάτο. Και χωρίς καπάκι. Όπως θα έλεγε ο Eeyore, ένα σπαραχτικό θέαμα =)

Για να εξαλείψω οποιαδήποτε διφορούμενη ερμηνεία, θα κάνω μια βαρετή αλλά σημαντική διευκρίνιση:

Με γεωμετρικό σημείοΗ «κατσαρόλα» μας έχει θέα απείρως λεπτήτοίχο και δυοεπιφάνειες με ίσες επιφάνειες - εξωτερικές και εσωτερικές. Έτσι, όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί συνεπάγονται την περιοχή μόνο εξωτερική επιφάνεια.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο:

ή, πιο συμπαγή: .

Στη συνάρτηση και στην παράγωγό της επιβάλλονται οι ίδιες απαιτήσεις όπως κατά την εύρεση μήκος τόξου της καμπύλης, αλλά, επιπλέον, πρέπει να εντοπιστεί η καμπύλη υψηλότερατσεκούρια Αυτό είναι σημαντικό! Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι αν βρίσκεται η γραμμή υπόάξονα, τότε το ολοκλήρωμα θα είναι αρνητικό: , και επομένως θα πρέπει να προσθέσετε ένα σύμβολο μείον στον τύπο για να διατηρήσετε τη γεωμετρική σημασία του προβλήματος.

Ας δούμε μια φιγούρα που δεν άξιζε να αγνοηθεί:

Επιφάνεια Torus

Με λίγα λόγια, το torus είναι ένα ντόνατ. Ένα παράδειγμα σχολικού βιβλίου, που συζητείται σχεδόν σε όλα τα σχολικά βιβλία σχετικά με το matan, είναι αφιερωμένο στην εύρεση τόμος torus, και ως εκ τούτου, για χάρη της ποικιλίας, θα αναλύσω το σπανιότερο πρόβλημα του την επιφάνειά του. Πρώτα με συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές:

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε το εμβαδόν επιφάνειας ενός δακτύλου που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από τον άξονα.

Διάλυμα: όπως γνωρίζετε, η εξίσωση σκηνικά κύκλοςμονάδα ακτίνας με κέντρο στο σημείο . Σε αυτήν την περίπτωση, είναι εύκολο να αποκτήσετε δύο λειτουργίες:

– θέτει το άνω ημικύκλιο.
– ορίζει το κάτω ημικύκλιο:

Το θέμα είναι ξεκάθαρο: κύκλοςπεριστρέφεται γύρω από τον άξονα x και σχηματίζεται επιφάνειακουλούρι. Το μόνο πράγμα εδώ, για να αποφύγετε τις ωμές επιφυλάξεις, είναι να είστε προσεκτικοί στην ορολογία: αν κάνετε περιστροφή κύκλος, που οριοθετείται από κύκλο , τότε αποδεικνύεται γεωμετρικό σώμα, δηλαδή το ίδιο το κουλούρι. Και τώρα μιλάμε για την περιοχή του επιφάνειες, το οποίο προφανώς πρέπει να υπολογιστεί ως το άθροισμα των περιοχών:

1) Βρείτε την επιφάνεια που προκύπτει περιστρέφοντας το «μπλε» τόξο γύρω από τον άξονα της τετμημένης. Χρησιμοποιούμε τον τύπο . Όπως έχω επανειλημμένα συμβουλέψει, είναι πιο βολικό να πραγματοποιείτε ενέργειες σε στάδια:

Ας πάρουμε τη συνάρτηση και βρες την παραγωγό:

Και τέλος, φορτώνουμε το αποτέλεσμα στον τύπο:

Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση αποδείχθηκε πιο ορθολογικό διπλάσιο του ολοκληρώματος μιας άρτιας συνάρτησηςκατά τη διάρκεια της λύσης, αντί να συλλογιστεί προκαταρκτικά η συμμετρία του σχήματος σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων.

2) Βρείτε την επιφάνεια που προκύπτει περιστρέφοντας το «κόκκινο» τόξο γύρω από τον άξονα της τετμημένης. Όλες οι ενέργειες θα διαφέρουν στην πραγματικότητα μόνο κατά ένα σημάδι. Θα γράψω τη λύση με διαφορετικό στυλ, το οποίο, φυσικά, έχει επίσης δικαίωμα στη ζωή:


3) Έτσι, το εμβαδόν της επιφάνειας του τόρου είναι:

Απάντηση:

Το πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί σε γενική άποψη– υπολογίστε το εμβαδόν επιφανείας ενός τόρου που λαμβάνεται περιστρέφοντας έναν κύκλο γύρω από τον άξονα της τετμημένης και λάβετε την απάντηση . Ωστόσο, για λόγους σαφήνειας και μεγαλύτερης απλότητας, πραγματοποίησα τη λύση σε συγκεκριμένους αριθμούς.

Εάν πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο του ίδιου του ντόνατ, ανατρέξτε στο εγχειρίδιο ως γρήγορη αναφορά:

Σύμφωνα με τη θεωρητική παρατήρηση, θεωρούμε το άνω ημικύκλιο. "Τραβιέται" όταν η τιμή της παραμέτρου αλλάζει εντός των ορίων (είναι εύκολο να το δούμε αυτό σε αυτό το διάστημα), έτσι:

Απάντηση:

Εάν λύσετε το πρόβλημα σε γενική μορφή, θα λάβετε ακριβώς τη σχολική φόρμουλα για το εμβαδόν μιας σφαίρας, πού είναι η ακτίνα της.

Ήταν ένα τόσο οδυνηρά απλό έργο, ένιωσα ακόμη και ντροπή... Σας προτείνω να διορθώσετε αυτό το σφάλμα =)

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει περιστρέφοντας το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα.

Η εργασία είναι δημιουργική. Προσπαθήστε να εξαγάγετε ή να μαντέψετε διαισθητικά τον τύπο για τον υπολογισμό της επιφάνειας που λαμβάνεται περιστρέφοντας μια καμπύλη γύρω από τον άξονα τεταγμένων. Και, φυσικά, πρέπει να σημειωθεί και πάλι το πλεονέκτημα των παραμετρικών εξισώσεων - δεν χρειάζεται να τροποποιηθούν με κανέναν τρόπο. δεν χρειάζεται να ασχοληθούμε με την εύρεση άλλων ορίων ολοκλήρωσης.

Το κυκλοειδές γράφημα μπορεί να προβληθεί στη σελίδα Εμβαδόν και όγκος, εάν η γραμμή καθορίζεται παραμετρικά. Η επιφάνεια περιστροφής θα μοιάζει με... Δεν ξέρω καν με τι να το συγκρίνω... κάτι απόκοσμο - στρογγυλό σχήμα με μυτερή κοιλότητα στη μέση. Για την περίπτωση της περιστροφής ενός κυκλοειδούς γύρω από έναν άξονα, ήρθε αμέσως στο μυαλό ένας συσχετισμός - μια επιμήκης μπάλα ράγκμπι.

Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Ολοκληρώνουμε τη συναρπαστική κριτική μας με την υπόθεση πολικές συντεταγμένες. Ναι, ακριβώς μια κριτική, αν δεις τα σχολικά βιβλία στο μαθηματική ανάλυση(Fichtengolts, Bokhan, Piskunov, άλλοι συγγραφείς), μπορείτε να πάρετε μια καλή ντουζίνα (ή ακόμα και πολλά περισσότερα) τυπικά παραδείγματα, μεταξύ των οποίων είναι πολύ πιθανό να βρείτε την εργασία που χρειάζεστε.

Πώς να υπολογίσετε την επιφάνεια περιστροφής,
αν η ευθεία δίνεται σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων;

Αν δοθεί η καμπύλη πολικές συντεταγμένεςεξίσωση, και η συνάρτηση έχει μια συνεχή παράγωγο σε ένα δεδομένο διάστημα, τότε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή αυτής της καμπύλης γύρω από τον πολικό άξονα υπολογίζεται από τον τύπο , όπου είναι οι γωνιακές τιμές που αντιστοιχούν στα άκρα της καμπύλης.

Σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία του προβλήματος, η συνάρτηση ολοκλήρωσης , και αυτό επιτυγχάνεται μόνο υπό την προϋπόθεση (και είναι προφανώς μη αρνητικές). Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι τιμές γωνίας από το εύρος, με άλλα λόγια, η καμπύλη πρέπει να βρίσκεται υψηλότεραπολικός άξονας και η συνέχειά του. Όπως μπορείτε να δείτε, η ίδια ιστορία με τις δύο προηγούμενες παραγράφους.

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε την επιφάνεια που σχηματίζεται περιστρέφοντας το καρδιοειδές γύρω από τον πολικό άξονα.

Διάλυμα: το γράφημα αυτής της καμπύλης φαίνεται στο Παράδειγμα 6 του μαθήματος σχετικά πολικό σύστημα συντεταγμένων. Το καρδιοειδές είναι συμμετρικό ως προς τον πολικό άξονα, οπότε θεωρούμε το πάνω μισό του στο διάστημα (που, μάλιστα, οφείλεται στην παραπάνω παρατήρηση).

Η επιφάνεια περιστροφής θα μοιάζει με bullseye.

Η τεχνική λύσης είναι στάνταρ. Ας βρούμε την παράγωγο σε σχέση με το "phi":

Ας συνθέσουμε και απλοποιήσουμε τη ρίζα:

Ελπίζω με τακτική