Περιοχή τριγώνου - τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός αυθαίρετου τριγώνουτα οποία είναι κατάλληλα για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητες, τις γωνίες ή τα μεγέθη του. Οι τύποι παρουσιάζονται σε μορφή εικόνας, με επεξηγήσεις για την εφαρμογή τους ή αιτιολόγηση της ορθότητάς τους. Επίσης, ένα ξεχωριστό σχήμα δείχνει την αντιστοιχία μεταξύ των συμβόλων γραμμάτων στους τύπους και των γραφικών συμβόλων στο σχέδιο.

Σημείωση . Αν το τρίγωνο έχει ειδικές ιδιότητες(ισοσκελές, ορθογώνιο, ισόπλευρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που δίνονται παρακάτω, καθώς και πρόσθετους ειδικούς τύπους που ισχύουν μόνο για τρίγωνα με αυτές τις ιδιότητες:

• "Τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου"

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

Επεξηγήσεις για τύπους:
α, β, γ- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν θέλουμε να βρούμε
r- ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο
R- ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο
η- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στο πλάι
Π- ημιπερίμετρος τριγώνου, 1/2 του αθροίσματος των πλευρών του (περίμετρος)
α - γωνία απέναντι από την πλευρά α του τριγώνου
β - γωνία απέναντι από την πλευρά β του τριγώνου
γ - γωνία απέναντι από την πλευρά c του τριγώνου
η ένα, η σι , η ντο- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στις πλευρές a, b, c

Σημειώστε ότι οι παραπάνω συμβολισμοί αντιστοιχούν στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε κατά την επίλυση πραγματικό πρόβλημαΌσον αφορά τη γεωμετρία, ήταν οπτικά ευκολότερο για εσάς να αντικαταστήσετε τα σωστά μέρηοι τύποι είναι σωστές τιμές.

• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ήμισυ του γινόμενου του ύψους του τριγώνου και του μήκους της πλευράς κατά την οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει(Φόρμουλα 1). Η ορθότητα αυτού του τύπου μπορεί να γίνει κατανοητή λογικά. Το ύψος που χαμηλώνει στη βάση θα χωρίσει ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Εάν χτίσετε καθένα από αυτά σε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις b και h, τότε προφανώς το εμβαδόν αυτών των τριγώνων θα είναι ίσο με ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου (Spr = bh)
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο των δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας(Τύπος 2) (δείτε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παρακάτω). Παρόλο που φαίνεται διαφορετικό από το προηγούμενο, μπορεί εύκολα να μεταμορφωθεί σε αυτό. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία Β στην πλευρά β, προκύπτει ότι το γινόμενο της πλευράς α και του ημιτόνου της γωνίας γ, σύμφωνα με τις ιδιότητες του ημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνο, είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου που σχεδιάσαμε , που μας δίνει τον προηγούμενο τύπο
• Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου διά μέσου δουλειάτο ήμισυ της ακτίνας του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό από το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του(Τύπος 3), με απλά λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (αυτό είναι πιο εύκολο να το θυμάστε)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο όλων των πλευρών του με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περικλείεται γύρω του (Τύπος 4)
• Η Formula 5 βρίσκει το εμβαδόν ενός τριγώνου στα μήκη των πλευρών του και στην ημιπερίμετρό του (το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του)
• Η φόρμουλα του HeronΤο (6) είναι μια αναπαράσταση του ίδιου τύπου χωρίς τη χρήση της έννοιας της ημιπεριμέτρου, μόνο μέσω του μήκους των πλευρών
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς του τριγώνου και των ημιτόνων των γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν την πλευρά διαιρούμενα με το διπλό ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά (Τύπος 7)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο δύο τετραγώνων του κύκλου που οριοθετούνται γύρω του από τα ημίτονο κάθε γωνίας του. (Φόρμουλα 8)
• Εάν είναι γνωστά το μήκος μιας πλευράς και οι τιμές δύο γειτονικών γωνιών, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το τετράγωνο αυτής της πλευράς διαιρούμενο με το διπλό άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών (Τύπος 9)
• Εάν είναι γνωστό μόνο το μήκος καθενός από τα ύψη του τριγώνου (Formula 10), τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι αντιστρόφως ανάλογο με τα μήκη αυτών των υψών, όπως σύμφωνα με τον τύπο του Heron
• Η Formula 11 σας επιτρέπει να υπολογίζετε εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις συντεταγμένες των κορυφών του, οι οποίες καθορίζονται ως τιμές (x;y) για κάθε μια από τις κορυφές. Λάβετε υπόψη ότι η προκύπτουσα τιμή πρέπει να ληφθεί modulo, καθώς οι συντεταγμένες των μεμονωμένων (ή ακόμα και όλων) κορυφών μπορεί να βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών τιμών

Σημείωση. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων γεωμετρίας για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι παρόμοιο εδώ, γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Σε λύσεις, αντί για το σύμβολο " Τετραγωνική ρίζα" μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση sqrt(), στην οποία sqrt είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και η ριζική έκφραση υποδεικνύεται σε αγκύλες.Μερικές φορές για απλές ριζοσπαστικές εκφράσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο √

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν των δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και 6 cm Η γωνία μεταξύ τους είναι 60 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο από το θεωρητικό μέρος του μαθήματος.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τα μήκη δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και θα είναι ίσο με
S=1/2 ab sin γ

Εφόσον έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη λύση (σύμφωνα με τον τύπο), μπορούμε μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές από τις συνθήκες του προβλήματος στον τύπο:
S = 1/2 * 5 * 6 * αμαρτία 60

Στον πίνακα των αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσειςΑς βρούμε και ας αντικαταστήσουμε την τιμή του ημιτόνου 60 μοιρών στην έκφραση. Θα είναι ίσο με τη ρίζα του τρεις φορές δύο.
S = 15 √3 / 2

Απάντηση: 7,5 √3 (ανάλογα με τις απαιτήσεις του δασκάλου, μπορείτε πιθανώς να αφήσετε 15 √3/2)

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 3 cm.

Λύση .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Εφόσον a = b = c, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου παίρνει τη μορφή:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Απάντηση: 9 √3 / 4.

Εργο. Αλλαγή στην περιοχή κατά την αλλαγή του μήκους των πλευρών

Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν του τριγώνου αν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές;

Λύση.

Εφόσον οι διαστάσεις των πλευρών του τριγώνου είναι άγνωστες σε εμάς, για να λύσουμε το πρόβλημα θα υποθέσουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα με αυθαίρετους αριθμούς a, b, c. Στη συνέχεια, για να απαντήσουμε στο ερώτημα του προβλήματος, βρίσκουμε την περιοχή δεδομένο τρίγωνοκαι στη συνέχεια βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερες. Η αναλογία των εμβαδών αυτών των τριγώνων θα μας δώσει την απάντηση στο πρόβλημα.

Παρακάτω παρέχουμε μια γραπτή εξήγηση της λύσης του προβλήματος βήμα προς βήμα. Ωστόσο, στο τέλος, αυτή η ίδια λύση παρουσιάζεται σε μια πιο βολική γραφική μορφή. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να κατεβούν άμεσα τις λύσεις.

Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron (δείτε παραπάνω στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος). Μοιάζει με αυτό:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πρώτη γραμμή της εικόνας παρακάτω)

Τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τριγώνου καθορίζονται από τις μεταβλητές a, b, c.
Εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές, τότε το εμβαδόν του νέου τριγώνου c θα είναι:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(δείτε τη δεύτερη γραμμή στην παρακάτω εικόνα)

Όπως μπορείτε να δείτε, το 4 είναι ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες και από τις τέσσερις εκφράσεις σύμφωνα με γενικοί κανόνεςμαθηματικά.
Επειτα

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - στην τρίτη γραμμή της εικόνας
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - τέταρτη γραμμή

Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 256 έχει εξαχθεί τέλεια, οπότε ας την βγάλουμε κάτω από τη ρίζα
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πέμπτη γραμμή της παρακάτω εικόνας)

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τέθηκε στο πρόβλημα, πρέπει απλώς να διαιρέσουμε την περιοχή του τριγώνου που προκύπτει με την περιοχή του αρχικού.
Ας προσδιορίσουμε τους λόγους εμβαδών διαιρώντας τις εκφράσεις μεταξύ τους και μειώνοντας το κλάσμα που προκύπτει.

Από την αντίθετη κορυφή) και διαιρέστε το γινόμενο που προκύπτει με το δύο. Αυτό μοιάζει με αυτό:

S = ½ * a * h,

Οπου:
S – εμβαδόν του τριγώνου,
a είναι το μήκος της πλευράς του,
h είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.

Το μήκος και το ύψος της πλευράς πρέπει να παρουσιάζονται στις ίδιες μονάδες μέτρησης. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν του τριγώνου θα ληφθεί στις αντίστοιχες μονάδες "".

Παράδειγμα.
Στη μία πλευρά ενός τριγώνου σκαληνής μήκους 20 cm, μια κάθετη από την αντίθετη κορυφή μήκους 10 cm είναι χαμηλωμένη.
Απαιτείται η περιοχή του τριγώνου.
Λύση.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Εάν είναι γνωστά τα μήκη οποιωνδήποτε δύο πλευρών ενός τριγώνου κλίμακας και η μεταξύ τους γωνία, τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο:

S = ½ * a * b * sinγ,

όπου: α, β είναι τα μήκη δύο αυθαίρετων πλευρών και γ η γωνία μεταξύ τους.

Στην πράξη, για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση οικοπέδων, η χρήση των παραπάνω τύπων είναι μερικές φορές δύσκολη, αφού απαιτεί πρόσθετη κατασκευή και μέτρηση γωνιών.

Εάν γνωρίζετε τα μήκη και των τριών πλευρών ενός τριγώνου κλίμακας, χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – τα μήκη των πλευρών του τριγώνου,
p – ημιπερίμετρος: p = (a+b+c)/2.

Εάν, εκτός από τα μήκη όλων των πλευρών, είναι γνωστή η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο συμπαγή τύπο:

όπου: r – ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου (ρ – ημιπερίμετρος).

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου κλίμακας και το μήκος των πλευρών του, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

όπου: R – ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εάν γνωρίζετε το μήκος μιας από τις πλευρές του τριγώνου και τις τρεις γωνίες (καταρχήν, δύο είναι αρκετές - η τιμή της τρίτης υπολογίζεται από την ισότητα του αθροίσματος των τριών γωνιών του τριγώνου - 180º), τότε χρησιμοποιήστε ο τύπος:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sina,

όπου α είναι η τιμή της γωνίας απέναντι από την πλευρά α.
β, γ – τιμές των υπόλοιπων δύο γωνιών του τριγώνου.

Η ανάγκη να βρεθεί διάφορα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένων των περιοχών τρίγωνο, εμφανίστηκε πολλούς αιώνες π.Χ. μεταξύ λόγιων αστρονόμων Αρχαία Ελλάδα. τετράγωνο τρίγωνομπορεί να υπολογιστεί διαφορετικοί τρόποιχρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους. Η μέθοδος υπολογισμού εξαρτάται από ποια στοιχεία τρίγωνογνωστός.

Οδηγίες

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές των δύο πλευρών b, c και τη γωνία που σχηματίζουν αυτές;, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = (bcsin?)/2.

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές δύο πλευρών a, b και τη γωνία που δεν σχηματίζουν αυτές;, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται ως εξής:
Βρίσκοντας τη γωνία;, αμαρτία; = bsin?/a, στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τον πίνακα για να προσδιορίσετε την ίδια τη γωνία.
Βρίσκοντας τη γωνία;, ? = 180°-?-?.
Βρίσκουμε την ίδια την περιοχή S = (absin;)/2.

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές μόνο τριών πλευρών τρίγωνοα, β και γ και μετά η περιοχή τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , όπου p είναι η ημιπερίμετρος p = (a+b+c)/2

Αν από τις προβληματικές συνθήκες γνωρίζουμε το ύψος τρίγωνο h και την πλευρά στην οποία έχει χαμηλώσει αυτό το ύψος, μετά την περιοχή τρίγωνο ABC σύμφωνα με τον τύπο:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Αν γνωρίζουμε τις έννοιες των πλευρών τρίγωνοα, β, γ και την ακτίνα που περιγράφεται σχετικά τρίγωνο R, τότε η περιοχή αυτού τρίγωνοΤο ABC καθορίζεται από τον τύπο:
S = abc/4R.
Αν είναι γνωστές τρεις πλευρές a, b, c και η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = pr, όπου p είναι η ημιπερίμετρος, p = (a+b+c)/2.

Εάν το ABC είναι ισόπλευρο, τότε το εμβαδόν βρίσκεται με τον τύπο:
S = (a^2v3)/4.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, όπου c – τρίγωνο.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = ab/2, όπου τα a και b είναι σκέλη τρίγωνο.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = c^2/4 = a^2/2, όπου c είναι η υποτείνουσα τρίγωνο, a=b – πόδι.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Πηγές:

• πώς να μετρήσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου εάν η γωνία είναι γνωστή

Η γνώση μιας μόνο παραμέτρου (της γωνίας) δεν αρκεί για να βρεθεί η περιοχή τρε τετράγωνο . Εάν υπάρχουν πρόσθετες διαστάσεις, τότε για να προσδιορίσετε την περιοχή μπορείτε να επιλέξετε έναν από τους τύπους στους οποίους η τιμή της γωνίας χρησιμοποιείται επίσης ως μία από τις γνωστές μεταβλητές. Αρκετοί από τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους τύπους δίνονται παρακάτω.

Οδηγίες

Αν εκτός από το μέγεθος της γωνίας (γ) που σχηματίζουν οι δύο πλευρές τρε τετράγωνο , τα μήκη αυτών των πλευρών (Α και Β) είναι επίσης γνωστά, λοιπόν τετράγωνοΤο (S) ενός σχήματος μπορεί να οριστεί ως το μισό του γινόμενου των μηκών των πλευρών και του ημιτόνου αυτής της γνωστής γωνίας: S=½×A×B×sin(γ).

Το τρίγωνο είναι μια φιγούρα γνωστή σε όλους. Και αυτό παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι διαφορετικό κατά κάποιο τρόπο. Αλλά για οποιονδήποτε πρέπει να μάθετε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n σε, n με.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, μιας πλευράς και του ύψους που αφαιρείται από αυτό. S = ½ * a * n a. Οι τύποι για τις άλλες δύο πλευρές πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνήθως συμβολίζεται με το μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος για την ημιπερίμετρο είναι: p = (a+b+c) / 2. Τότε η ισότητα για το εμβαδόν του ​​το σχήμα μοιάζει με αυτό: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε είναι χρήσιμος αυτός ο τύπος, ο οποίος περιέχει μόνο τα μήκη των πλευρών: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν έχετε ξεχάσει πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι που αφορούν τις γωνίες ενός τριγώνου

Σημειώσεις που απαιτούνται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από τη μία πλευρά και από τρεις γνωστές γωνίες. S = (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης μια φόρμουλα με ένα γνωστό κόμμακαι δύο παρακείμενες γωνίες. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι αρκετά δύσκολο να τα θυμάστε.

Γενικοί τύποι για καταστάσεις όπου είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R - ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Ένας άλλος τρόπος για να το γράψετε είναι: S = ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με το τετραπλάσιο της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. ΣΕ κυριολεκτική έκφρασημοιάζει με αυτό: S = (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά θα χρειαστείτε τις τιμές και των τριών γωνιών. S = 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Ονομάζονται με τα λατινικά γράμματα a και b. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι το πιο εύκολο να θυμάστε. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δείχνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι έχει δύο ίσες πλευρές, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Αν το μεταμορφώσεις, θα γίνει πιο κοντό. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Ο τύπος εμβαδού φαίνεται κάπως απλούστερος από ό,τι για ένα αυθαίρετο τρίγωνο εάν οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστές. S = ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως στα προβλήματα η πλευρά σχετικά με αυτό είναι γνωστή ή μπορεί να βρεθεί με κάποιο τρόπο. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Προβλήματα εύρεσης της περιοχής εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Τότε το σχήμα που θα προκύψει θα έχει 3 τρίγωνα. Το ένα είναι αυτό που δίνεται στο πρόβλημα. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Καθορίζεται το εμβαδόν του τριγώνου.

Η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού αποδεικνύεται πολύ πιο περίπλοκη. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο, έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Παράδειγμα προβλήματος που χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει γνωστές πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 cm Πρέπει να μάθετε την περιοχή του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √(4 * 14) = 2 √(14).

Εάν δεν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι ίση με 3,74. Τότε η περιοχή θα είναι 7,48.

Απάντηση. S = 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 31 cm μεγαλύτερο από το δεύτερο Πρέπει να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Λύση. Θα πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο σχετίζεται με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 = ½ a * b;

α = β + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 = ½ (σε + 31) * ίντσες. Έχει μόνο μία άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Αφού ανοίξουμε τις αγκύλες παίρνουμε τετραγωνική εξίσωση: σε 2 + 31 σε - 360 = 0. Δίνει δύο τιμές για το "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση, καθώς το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητικό αξία.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε 31 στον αριθμό που προκύπτει Αποδεικνύεται 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Πρόβλημα εύρεσης πλευράς μέσω του εμβαδού, της πλευράς και της γωνίας ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν ενός συγκεκριμένου τριγώνου είναι 60 cm 2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Λύση. Με βάση τον αποδεκτό συμβολισμό, η επιθυμητή πλευρά είναι "a", η γνωστή πλευρά είναι "b", η δεδομένη γωνία είναι "γ". Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 = ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η απαιτούμενη πλευρά είναι 16 cm.

Πρόβλημα σχετικά με ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο βρίσκονται στα πλάγια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός από τα πόδια είναι 42 cm Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου;

Λύση. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο είναι αυτό που καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται σε διάσημο πόδιτο αρχικό τρίγωνο. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι ίσα με 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένου σκέλους 42 cm αφαιρούμε την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Τα αντίστοιχα σκέλη ενός μεγάλου τριγώνου είναι 42 cm και x cm είναι αυτό το «x» που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 = 24/x, δηλαδή x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42 διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η απαιτούμενη επιφάνεια είναι 1176 cm 2.

Μερικές φορές στη ζωή υπάρχουν καταστάσεις που πρέπει να εμβαθύνεις στη μνήμη σου αναζητώντας ξεχασμένες σχολικές γνώσεις. Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγωνικού οικοπέδου ή ήρθε η ώρα για άλλη ανακαίνιση σε διαμέρισμα ή ιδιωτικό σπίτι και πρέπει να υπολογίσετε πόσο υλικό θα χρειαστεί για την επιφάνεια με τριγωνικό σχήμα. Υπήρξε μια εποχή που μπορούσατε να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα σε λίγα λεπτά, αλλά τώρα προσπαθείτε απεγνωσμένα να θυμηθείτε πώς να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου;

Μην ανησυχείτε για αυτό! Σε τελική ανάλυση, είναι πολύ φυσιολογικό όταν ο εγκέφαλος ενός ατόμου αποφασίζει να μεταφέρει τη γνώση που δεν έχει χρησιμοποιηθεί από καιρό κάπου σε μια απομακρυσμένη γωνιά, από την οποία μερικές φορές δεν είναι τόσο εύκολο να την εξαγάγει κανείς. Για να μην χρειάζεται να παλεύετε με την αναζήτηση ξεχασμένων σχολικών γνώσεων για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, αυτό το άρθρο περιέχει διάφορες μεθόδους, που διευκολύνουν την εύρεση της απαιτούμενης περιοχής του τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος πολυγώνου που περιορίζεται στον ελάχιστο δυνατό αριθμό πλευρών. Καταρχήν, κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε πολλά τρίγωνα συνδέοντας τις κορυφές του με τμήματα που δεν τέμνουν τις πλευρές του. Επομένως, γνωρίζοντας το τρίγωνο, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή σχεδόν οποιουδήποτε αριθμού.

Μεταξύ όλων των πιθανών τριγώνων που εμφανίζονται στη ζωή, διακρίνονται οι ακόλουθοι συγκεκριμένοι τύποι: και ορθογώνια.

Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου είναι όταν μία από τις γωνίες του είναι ορθή, δηλαδή στην περίπτωση ενός ορθογώνιου τριγώνου. Είναι εύκολο να δεις ότι είναι μισό ορθογώνιο. Επομένως, το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των πλευρών που σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους.

Αν γνωρίζουμε το ύψος ενός τριγώνου, που έχει χαμηλώσει από μια από τις κορυφές του στην απέναντι πλευρά, και το μήκος αυτής της πλευράς, που ονομάζεται βάση, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως το μισό του γινόμενου του ύψους και της βάσης. Αυτό γράφεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

S = 1/2*b*h, στην οποία

S είναι η απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου.

b, h - αντίστοιχα, το ύψος και η βάση του τριγώνου.

Είναι τόσο εύκολο να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου επειδή το ύψος θα διχοτομήσει την αντίθετη πλευρά και μπορεί να μετρηθεί εύκολα. Εάν η περιοχή έχει προσδιοριστεί, τότε είναι βολικό να λαμβάνεται το μήκος μιας από τις πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ως το ύψος.

Όλα αυτά είναι φυσικά καλά, αλλά πώς να προσδιορίσετε εάν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή ή όχι; Εάν το μέγεθος της φιγούρας μας είναι μικρό, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια γωνία κατασκευής, ένα τρίγωνο σχεδίασης, μια καρτ ποστάλ ή άλλο αντικείμενο με ορθογώνιο σχήμα.

Τι γίνεται όμως αν έχουμε ένα τριγωνικό οικόπεδο? Σε αυτή την περίπτωση, προχωρήστε ως εξής: μετρήστε από την κορυφή του αναμενόμενου ορθή γωνίααπό τη μία πλευρά η απόσταση είναι πολλαπλάσιο του 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) και από την άλλη πλευρά, η απόσταση μετράται στην ίδια αναλογία που είναι πολλαπλάσιο του 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Τώρα πρέπει να μετρήσετε την απόσταση μεταξύ των τελικών σημείων αυτών των δύο τμημάτων. Εάν το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), τότε μπορούμε να πούμε ότι η γωνία είναι ορθή.

Εάν το μήκος καθεμιάς από τις τρεις πλευρές του σχήματός μας είναι γνωστό, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Για να έχει απλούστερη μορφή, χρησιμοποιείται μια νέα τιμή, η οποία ονομάζεται ημιπερίμετρος. Αυτό είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου μας, χωρισμένες στο μισό. Αφού υπολογιστεί η ημιπερίμετρος, μπορείτε να αρχίσετε να προσδιορίζετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), όπου

sqrt - τετραγωνική ρίζα;

p - ημιπεριμετρική τιμή (p = (a+b+c)/2);

α, β, γ - άκρες (πλευρές) του τριγώνου.

Τι γίνεται όμως αν το τρίγωνο έχει ακανόνιστο σχήμα? Υπάρχουν δύο πιθανοί τρόποι εδώ. Το πρώτο από αυτά είναι να προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε ένα τέτοιο σχήμα σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων υπολογίζεται χωριστά και στη συνέχεια προστίθεται. Ή, εάν η γωνία μεταξύ δύο πλευρών και το μέγεθος αυτών των πλευρών είναι γνωστά, τότε εφαρμόστε τον τύπο:

S = 0,5 * ab * sinC, όπου

α, β - πλευρές του τριγώνου.

c είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Η τελευταία περίπτωση είναι σπάνια στην πράξη, αλλά παρ 'όλα αυτά, όλα είναι πιθανά στη ζωή, οπότε η παραπάνω φόρμουλα δεν θα είναι περιττή. Καλή τύχη με τους υπολογισμούς σας!

Ένα τρίγωνο είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο αποτελείται από τρεις πλευρές και τρεις κορυφές. Λόγω της απλότητάς του, το τρίγωνο χρησιμοποιήθηκε από την αρχαιότητα για τη λήψη διαφόρων μετρήσεων και σήμερα το σχήμα μπορεί να είναι χρήσιμο για την επίλυση πρακτικών και καθημερινών προβλημάτων.

Χαρακτηριστικά ενός τριγώνου

Το σχήμα έχει χρησιμοποιηθεί για υπολογισμούς από την αρχαιότητα, για παράδειγμα, οι επιθεωρητές γης και οι αστρονόμοι λειτουργούν με τις ιδιότητες των τριγώνων για τον υπολογισμό των περιοχών και των αποστάσεων. Είναι εύκολο να εκφραστεί το εμβαδόν οποιουδήποτε n-gon μέσω της περιοχής αυτού του σχήματος και αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιήθηκε από αρχαίους επιστήμονες για να εξάγουν τύπους για τις περιοχές των πολυγώνων. Πλήρης απασχόλησημε τρίγωνα, ειδικά με το ορθογώνιο τρίγωνο, έγινε η βάση για έναν ολόκληρο κλάδο των μαθηματικών - τριγωνομετρία.

Γεωμετρία τριγώνου

Ιδιότητες γεωμετρικό σχήμαέχουν μελετηθεί από την αρχαιότητα: οι παλαιότερες πληροφορίες για το τρίγωνο βρέθηκαν σε αιγυπτιακούς παπύρους πριν από 4.000 χρόνια. Στη συνέχεια το σχήμα μελετήθηκε στην Αρχαία Ελλάδα και τη μεγαλύτερη συμβολή στη γεωμετρία του τριγώνου είχαν ο Ευκλείδης, ο Πυθαγόρας και ο Ήρων. Η μελέτη του τριγώνου δεν σταμάτησε ποτέ και τον 18ο αιώνα, ο Leonhard Euler εισήγαγε την έννοια του ορθόκεντρου μιας φιγούρας και του κύκλου Euler. Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, όταν φαινόταν ότι ήταν απολύτως γνωστά τα πάντα για το τρίγωνο, ο Frank Morley διατύπωσε το θεώρημα για τα τρίγωνα γωνίας και ο Waclaw Sierpinski πρότεινε το φράκταλ τρίγωνο.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι επίπεδων τριγώνων που μας είναι γνωστοί από τα μαθήματα σχολικής γεωμετρίας:

• οξεία - όλες οι γωνίες του σχήματος είναι οξείες.
• αμβλεία - το σχήμα έχει ένα αμβλεία γωνία(πάνω από 90 μοίρες).
• ορθογώνιο - το σχήμα περιέχει μια ορθή γωνία ίση με 90 μοίρες.
• ισοσκελές - ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές.
• ισόπλευρο - ένα τρίγωνο με όλες τις ίσες πλευρές.
• ΣΕ πραγματική ζωήΥπάρχουν όλα τα είδη τριγώνων και σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος.

Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν είναι μια εκτίμηση για το πόσο από το επίπεδο περικλείει μια εικόνα. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί με έξι τρόπους, χρησιμοποιώντας τις πλευρές, το ύψος, τις γωνίες, την ακτίνα του εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου, καθώς και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron ή υπολογίζοντας το διπλό ολοκλήρωμα κατά μήκος των γραμμών που οριοθετούν το επίπεδο. Το περισσότερο απλή φόρμουλαο υπολογισμός του εμβαδού ενός τριγώνου μοιάζει με:

όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου, h το ύψος του.

Ωστόσο, στην πράξη δεν μας βολεύει πάντα να βρίσκουμε το ύψος ενός γεωμετρικού σχήματος. Ο αλγόριθμος της αριθμομηχανής μας σας επιτρέπει να υπολογίσετε την περιοχή γνωρίζοντας:

• τρεις πλευρές?
• δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.
• μια πλευρά και δύο γωνίες.

Για να προσδιορίσουμε την περιοχή μέσω τριών πλευρών, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Το εμβαδόν σε δύο πλευρές και μια γωνία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο:

S = a × b × sin(alfa),

όπου άλφα είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών α και β.

Για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν ως προς τη μία πλευρά και τις δύο γωνίες, χρησιμοποιούμε τη σχέση που:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Χρησιμοποιώντας μια απλή αναλογία, προσδιορίζουμε το μήκος της δεύτερης πλευράς, μετά την οποία υπολογίζουμε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο S = a × b × sin(alfa). Αυτός ο αλγόριθμος είναι πλήρως αυτοματοποιημένος και χρειάζεται μόνο να εισαγάγετε τις καθορισμένες μεταβλητές και να λάβετε το αποτέλεσμα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα από τη ζωή

Πλακόστρωτες πλάκες

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να στρώσετε το δάπεδο με τριγωνικά πλακάκια και να καθορίσετε την ποσότητα απαιτούμενο υλικό, θα πρέπει να μάθετε την περιοχή ενός πλακιδίου και την περιοχή του δαπέδου. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επεξεργαστείτε 6 τετραγωνικά μέτρα επιφάνειας χρησιμοποιώντας ένα πλακίδιο του οποίου οι διαστάσεις είναι a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Προφανώς, για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου, η αριθμομηχανή χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron και δίνει. το αποτέλεσμα:

Έτσι, το εμβαδόν ενός στοιχείου πλακιδίου θα είναι 0,021 τετραγωνικό μέτρο, και θα χρειαστείτε 6/0,021 = 285 τρίγωνα για τη βελτίωση του δαπέδου. Οι αριθμοί 20, 21 και 29 σχηματίζουν έναν Πυθαγόρειο τριπλό-αριθμούς που ικανοποιούν . Και αυτό είναι σωστό, η αριθμομηχανή μας υπολόγισε επίσης όλες τις γωνίες του τριγώνου και η γωνία γάμμα είναι ακριβώς 90 μοίρες.

Σχολική εργασία

ΣΕ σχολική εργασίαείναι απαραίτητο να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου, γνωρίζοντας ότι η πλευρά a = 5 cm, και οι γωνίες άλφα και βήτα είναι 30 και 50 μοίρες, αντίστοιχα. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα με μη αυτόματο τρόπο, θα βρίσκαμε πρώτα την τιμή της πλευράς b χρησιμοποιώντας την αναλογία του λόγου διαστάσεων και των ημιτόνων των αντίθετων γωνιών και, στη συνέχεια, θα προσδιορίζαμε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο S = a × b × sin(alfa). Ας εξοικονομήσουμε χρόνο, εισάγουμε τα δεδομένα στη φόρμα αριθμομηχανής και λάβουμε μια άμεση απάντηση

Όταν χρησιμοποιείτε την αριθμομηχανή, είναι σημαντικό να υποδεικνύετε σωστά τις γωνίες και τις πλευρές, διαφορετικά το αποτέλεσμα θα είναι λανθασμένο.

συμπέρασμα

Το τρίγωνο είναι ένα μοναδικό σχήμα που βρίσκεται τόσο στην πραγματική ζωή όσο και σε αφηρημένους υπολογισμούς. Χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή για να προσδιορίσετε το εμβαδόν των τριγώνων κάθε είδους.