Σήμερα, φίλοι, δεν θα υπάρχει μύξα και συναισθηματισμός. Αντίθετα, θα σας στείλω, χωρίς ερωτήσεις, στη μάχη με έναν από τους πιο τρομερούς αντιπάλους στο μάθημα της άλγεβρας 8ης-9ης τάξης.
Ναι, τα καταλάβατε όλα σωστά: μιλάμε για ανισότητες με συντελεστή. Θα δούμε τέσσερις βασικές τεχνικές με τις οποίες θα μάθετε να λύνετε περίπου το 90% τέτοιων προβλημάτων. Τι γίνεται με το υπόλοιπο 10%; Λοιπόν, θα μιλήσουμε για αυτούς σε ένα ξεχωριστό μάθημα.
Ωστόσο, πριν αναλύσω κάποια από τις τεχνικές, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω δύο γεγονότα που πρέπει ήδη να γνωρίζετε. Διαφορετικά, κινδυνεύετε να μην κατανοήσετε καθόλου το υλικό του σημερινού μαθήματος.
Ο Captain Obviousness φαίνεται να υπαινίσσεται ότι για να λύσετε ανισότητες με συντελεστή πρέπει να γνωρίζετε δύο πράγματα:
Ας ξεκινήσουμε με το δεύτερο σημείο.
Όλα είναι απλά εδώ. Υπάρχουν δύο ορισμοί: αλγεβρικός και γραφικός. Για αρχή - αλγεβρικό:
Ορισμός. Το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού $x$ είναι είτε ο ίδιος ο αριθμός, εάν δεν είναι αρνητικός, είτε ο αριθμός απέναντι από αυτόν, εάν το αρχικό $x$ εξακολουθεί να είναι αρνητικό.
Είναι γραμμένο έτσι:
\[\αριστερά| x \δεξιά|=\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Ομιλία σε απλή γλώσσα, ο συντελεστής είναι "ένας αριθμός χωρίς μείον". Και σε αυτή τη δυαδικότητα (σε ορισμένα μέρη δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα με τον αρχικό αριθμό, αλλά σε άλλα πρέπει να αφαιρέσετε κάποιο είδος μείον) που είναι η όλη δυσκολία για τους αρχάριους μαθητές.
Υπάρχει επίσης ένας γεωμετρικός ορισμός. Είναι επίσης χρήσιμο να το γνωρίζουμε, αλλά θα στραφούμε σε αυτό μόνο σε περίπλοκες και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, όπου η γεωμετρική προσέγγιση είναι πιο βολική από την αλγεβρική (σπόιλερ: όχι σήμερα).
Ορισμός. Αφήστε το σημείο $a$ να σημειωθεί στην αριθμητική γραμμή. Στη συνέχεια, η ενότητα $\left| x-a \right|$ είναι η απόσταση από το σημείο $x$ στο σημείο $a$ αυτής της γραμμής.
Εάν σχεδιάσετε μια εικόνα, θα λάβετε κάτι σαν αυτό:
Ορισμός γραφικής μονάδας Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, από τον ορισμό μιας ενότητας προκύπτει αμέσως η βασική ιδιότητά της: το μέτρο ενός αριθμού είναι πάντα ένα μη αρνητικό μέγεθος. Αυτό το γεγονός θα είναι μια κόκκινη κλωστή που θα διατρέχει ολόκληρη την αφήγησή μας σήμερα.
Τώρα ας δούμε τις ανισότητες. Υπάρχουν πάρα πολλά από αυτά, αλλά το καθήκον μας τώρα είναι να μπορέσουμε να λύσουμε τουλάχιστον τα πιο απλά από αυτά. Αυτά που ανάγονται σε γραμμικές ανισότητες, καθώς και στη μέθοδο του διαστήματος.
Έχω δύο μεγάλα μαθήματα για αυτό το θέμα (παρεμπιπτόντως, πολύ, ΠΟΛΥ χρήσιμα - συνιστώ να τα μελετήσετε):
Εάν τα γνωρίζετε όλα αυτά, αν η φράση "ας περάσουμε από την ανισότητα στην εξίσωση" δεν σας κάνει να έχετε μια αόριστη επιθυμία να χτυπήσετε τον εαυτό σας στον τοίχο, τότε είστε έτοιμοι: καλώς ήρθατε στην κόλαση στο κύριο θέμα του μαθήματος.
Αυτό είναι ένα από τα πιο κοινά προβλήματα με τις ενότητες. Απαιτείται για την επίλυση μιας ανισότητας της μορφής:
\[\αριστερά| f\right| \ltg\]
Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά συνήθως είναι πολυώνυμα. Παραδείγματα τέτοιων ανισοτήτων:
\[\αρχή(στοίχιση) & \αριστερά| 2x+3 \δεξιά| \lt x+7; \\ & \αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \αριστερά| ((x)^(2))-2\αριστερά| x \δεξιά|-3 \δεξιά| \lt 2. \\\end(align)\]
Όλα αυτά μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά σε μία γραμμή σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:
\[\αριστερά| f\δεξιά| \lt g\Δεξί βέλος -g \lt f \lt g\τετράγωνο \αριστερά(\Δεξίβέλος \αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\δεξιά)\]
Είναι εύκολο να δούμε ότι απαλλαγούμε από τη μονάδα, αλλά σε αντάλλαγμα παίρνουμε μια διπλή ανισότητα (ή, που είναι το ίδιο πράγμα, ένα σύστημα δύο ανισοτήτων). Αλλά αυτή η μετάβαση λαμβάνει υπόψη απολύτως τα πάντα πιθανά προβλήματα: εάν ο αριθμός κάτω από το μέτρο είναι θετικός, η μέθοδος λειτουργεί. Εάν είναι αρνητικό, εξακολουθεί να λειτουργεί. και ακόμη και με την πιο ανεπαρκή συνάρτηση στη θέση των $f$ ή $g$, η μέθοδος θα εξακολουθεί να λειτουργεί.
Φυσικά, τίθεται το ερώτημα: δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό; Δυστυχώς δεν γίνεται. Αυτό είναι το όλο νόημα της ενότητας.
Αρκετά όμως με τη φιλοσοφία. Ας λύσουμε μερικά προβλήματα:
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| 2x+3 \δεξιά| \lt x+7\]
Λύση. Έχουμε, λοιπόν, μπροστά μας μια κλασική ανισότητα της μορφής «ο συντελεστής είναι μικρότερος» - δεν υπάρχει τίποτα καν να μεταμορφωθεί. Δουλεύουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο:
\[\αρχή(στοίχιση) & \αριστερά| f\δεξιά| \lt g\Δεξί βέλος -g \lt f \lt g; \\ & \αριστερά| 2x+3 \δεξιά| \lt x+7\Δεξί βέλος -\αριστερά(x+7 \δεξιά) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(στοίχιση)\]
Μην βιαστείτε να ανοίξετε τις παρενθέσεις που προηγούνται από ένα «μείον»: είναι πολύ πιθανό στη βιασύνη σας να κάνετε ένα επιθετικό λάθος.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Το πρόβλημα περιορίστηκε σε δύο στοιχειώδεις ανισότητες. Ας σημειώσουμε τις λύσεις τους σε παράλληλες αριθμητικές ευθείες:
Διασταύρωση πολλών
Η διασταύρωση αυτών των συνόλων θα είναι η απάντηση.
Απάντηση: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Λύση. Αυτό το έργο είναι λίγο πιο δύσκολο. Αρχικά, ας απομονώσουμε τη λειτουργική μονάδα μετακινώντας τον δεύτερο όρο προς τα δεξιά:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\αριστερά(x+1 \δεξιά)\]
Προφανώς, έχουμε και πάλι μια ανισότητα της μορφής "η ενότητα είναι μικρότερη", οπότε απαλλαγούμε από τη μονάδα χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό αλγόριθμο:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Τώρα προσοχή: κάποιος θα πει ότι είμαι λίγο διεστραμμένος με όλες αυτές τις παρενθέσεις. Αλλά να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι ο βασικός μας στόχος είναι λύστε σωστά την ανίσωση και λάβετε την απάντηση. Αργότερα, όταν έχετε κατακτήσει τέλεια όλα όσα περιγράφονται σε αυτό το μάθημα, μπορείτε να διαστρεβλώσετε τον εαυτό σας όπως θέλετε: ανοίξτε αγκύλες, προσθέστε μειονεκτήματα κ.λπ.
Αρχικά, απλά θα απαλλαγούμε από το διπλό μείον στα αριστερά:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\αριστερά(x+1 \δεξιά)\]
Τώρα ας ανοίξουμε όλες τις αγκύλες στη διπλή ανισότητα:
Ας περάσουμε στη διπλή ανισότητα. Αυτή τη φορά οι υπολογισμοί θα είναι πιο σοβαροί:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( στοίχιση)\δεξιά.\]
Και οι δύο ανισότητες είναι τετραγωνικές και μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος (γι' αυτό λέω: αν δεν ξέρετε τι είναι αυτό, είναι καλύτερα να μην αναλάβετε ακόμη ενότητες). Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση στην πρώτη ανισότητα:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, η έξοδος είναι μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση, η οποία μπορεί να λυθεί με στοιχειώδη τρόπο. Ας δούμε τώρα τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος. Εκεί θα πρέπει να εφαρμόσετε το θεώρημα του Vieta:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(στοίχιση)\]
Σημειώνουμε τους αριθμούς που προκύπτουν σε δύο παράλληλες ευθείες (χωριστές για την πρώτη ανισότητα και ξεχωριστές για τη δεύτερη):
Και πάλι, εφόσον λύνουμε ένα σύστημα ανισώσεων, μας ενδιαφέρει η τομή των σκιασμένων συνόλων: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Αυτή είναι η απάντηση.
Απάντηση: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Νομίζω ότι μετά από αυτά τα παραδείγματα το σχέδιο λύσης είναι εξαιρετικά σαφές:
Παρόμοιος αλγόριθμος υπάρχει για ανισώσεις του παρακάτω τύπου, όταν το μέτρο είναι μεγαλύτερο από τη συνάρτηση. Ωστόσο, υπάρχουν μερικά σοβαρά «αλλά». Θα μιλήσουμε για αυτά τα «αλλά» τώρα.
Μοιάζουν με αυτό:
\[\αριστερά| f\right| \gtg\]
Παρόμοιο με το προηγούμενο; Φαίνεται. Κι όμως τέτοια προβλήματα λύνονται με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Επίσημα, το πρόγραμμα έχει ως εξής:
\[\αριστερά| f\right| \gt g\Δεξί βέλος \αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Με άλλα λόγια, εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:
Σε αυτή την περίπτωση, οι επιλογές συνδυάζονται με τετράγωνο βραχίονα, δηλ. Έχουμε μπροστά μας έναν συνδυασμό δύο απαιτήσεων.
Παρακαλώ σημειώστε ξανά: αυτό δεν είναι ένα σύστημα, αλλά μια ολότητα, επομένως στην απάντηση τα σύνολα συνδυάζονται αντί να τέμνονται. Αυτή είναι μια θεμελιώδης διαφορά από το προηγούμενο σημείο!
Σε γενικές γραμμές, πολλοί μαθητές μπερδεύονται εντελώς με τα σωματεία και τις διασταυρώσεις, οπότε ας λύσουμε αυτό το ζήτημα μια για πάντα:
Για να είναι ακόμα πιο εύκολο να θυμάστε, απλώς τραβήξτε τα πόδια σε αυτά τα σημάδια για να φτιάξετε γυαλιά (απλώς μην με κατηγορείτε τώρα ότι προάω τον εθισμό στα ναρκωτικά και τον αλκοολισμό: αν μελετάτε σοβαρά αυτό το μάθημα, τότε είστε ήδη τοξικομανής):
Διαφορά μεταξύ τομής και ένωσης συνόλων Μεταφρασμένο στα ρωσικά, αυτό σημαίνει το εξής: η ένωση (ολότητα) περιλαμβάνει στοιχεία και από τα δύο σύνολα, επομένως δεν είναι σε καμία περίπτωση λιγότερο από καθένα από αυτά. αλλά η τομή (σύστημα) περιλαμβάνει μόνο εκείνα τα στοιχεία που βρίσκονται ταυτόχρονα και στο πρώτο σύνολο και στο δεύτερο. Επομένως, η τομή των συνόλων δεν είναι ποτέ μεγαλύτερη από τα σύνολα πηγών.
Έτσι έγινε πιο ξεκάθαρο; Αυτό είναι υπέροχο. Ας προχωρήσουμε στην εξάσκηση.
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| 3x+1 \δεξιά| \gt 5-4x\]
Λύση. Προχωράμε σύμφωνα με το σχέδιο:
\[\αριστερά| 3x+1 \δεξιά| \gt 5-4x\Δεξί βέλος \αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\αριστερά(5-4x \δεξιά) \\\end(στοίχιση) \ σωστά.\]
Επιλύουμε κάθε ανισότητα στον πληθυσμό:
\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Σημειώνουμε κάθε σύνολο που προκύπτει στην αριθμητική γραμμή και μετά τα συνδυάζουμε:
Ένωση συνόλων
Είναι προφανές ότι η απάντηση θα είναι $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Απάντηση: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
Λύση. Καλά; Τίποτα - όλα είναι ίδια. Μεταβαίνουμε από μια ανισότητα με συντελεστή σε ένα σύνολο δύο ανισώσεων:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Δεξί βέλος \αριστερά[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Λύνουμε κάθε ανισότητα. Δυστυχώς, οι ρίζες εκεί δεν θα είναι πολύ καλές:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(στοίχιση)\]
Η δεύτερη ανισότητα είναι επίσης λίγο άγρια:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(στοίχιση)\]
Τώρα πρέπει να σημειώσετε αυτούς τους αριθμούς σε δύο άξονες - έναν άξονα για κάθε ανισότητα. Ωστόσο, πρέπει να σημειώσετε τα σημεία με τη σωστή σειρά: από μεγαλύτερο αριθμό, τόσο περισσότερο μετατοπίζουμε το σημείο προς τα δεξιά.
Και εδώ μας περιμένει ένα στήσιμο. Αν όλα είναι ξεκάθαρα με τους αριθμούς $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (οι όροι στον αριθμητή του πρώτου το κλάσμα είναι μικρότερο από τους όρους στον αριθμητή του δευτερολέπτου, επομένως το άθροισμα είναι επίσης μικρότερο), με τους αριθμούς $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21)) (2)$ επίσης δεν θα υπάρχουν δυσκολίες (θετικός αριθμός προφανώς πιο αρνητικός), τότε με το τελευταίο ζευγάρι δεν είναι όλα τόσο ξεκάθαρα. Ποιο είναι μεγαλύτερο: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ή $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$; Η τοποθέτηση σημείων στις αριθμογραμμές και, μάλιστα, η απάντηση θα εξαρτηθεί από την απάντηση σε αυτή την ερώτηση.
Ας συγκρίνουμε λοιπόν:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Απομονώσαμε τη ρίζα, πήραμε μη αρνητικούς αριθμούς και στις δύο πλευρές της ανίσωσης, επομένως έχουμε το δικαίωμα να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Νομίζω ότι δεν είναι καθόλου έξυπνο ότι $4\sqrt(13) \gt 3$, άρα $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, τα τελικά σημεία στους άξονες θα τοποθετηθούν ως εξής:
Μια περίπτωση άσχημων ριζών
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι λύνουμε ένα σύνολο, οπότε η απάντηση θα είναι μια ένωση, όχι μια διασταύρωση σκιασμένων συνόλων.
Απάντηση: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Όπως μπορείτε να δείτε, το πρόγραμμά μας λειτουργεί εξαιρετικά τόσο για απλά όσο και για πολύ δύσκολα προβλήματα. Το μόνο «αδύνατο σημείο» σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι πρέπει να συγκρίνετε σωστά τους παράλογους αριθμούς (και πιστέψτε με: αυτοί δεν είναι μόνο ρίζες). Αλλά ένα ξεχωριστό (και πολύ σοβαρό) μάθημα θα αφιερωθεί σε ζητήματα σύγκρισης. Και προχωράμε.
Τώρα φτάνουμε στο πιο ενδιαφέρον κομμάτι. Αυτές είναι ανισότητες της μορφής:
\[\αριστερά| f\right| \gt \αριστερά| g\δεξιά|\]
Σε γενικές γραμμές, ο αλγόριθμος για τον οποίο θα μιλήσουμε τώρα είναι σωστός μόνο για την ενότητα. Λειτουργεί σε όλες τις ανισότητες όπου υπάρχουν εγγυημένες μη αρνητικές εκφράσεις αριστερά και δεξιά:
Τι να κάνετε με αυτές τις εργασίες; Απλά θυμήσου:
Σε ανισότητες με μη αρνητικές «ουρές», και οι δύο πλευρές μπορούν να ανυψωθούν σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη. Δεν θα υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί.
Πρώτα απ 'όλα, θα μας ενδιαφέρει ο τετραγωνισμός - καίει ενότητες και ρίζες:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(στοίχιση)\]
Απλώς μην το συγχέετε με τη λήψη της ρίζας ενός τετραγώνου:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\αριστερά| f \right|\ne f\]
Έγιναν αμέτρητα λάθη όταν ένας μαθητής ξέχασε να εγκαταστήσει μια ενότητα! Αλλά αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική ιστορία (αυτές είναι, σαν να λέγαμε, παράλογες εξισώσεις), οπότε δεν θα μπούμε σε αυτό τώρα. Ας λύσουμε καλύτερα μερικά προβλήματα:
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| x+2 \δεξιά|\ge \αριστερά| 1-2x \δεξιά|\]
Λύση. Ας προσέξουμε αμέσως δύο πράγματα:
- Δεν πρόκειται για αυστηρή ανισότητα. Τα σημεία στην αριθμητική γραμμή θα τρυπηθούν.
- Και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι προφανώς μη αρνητικές (αυτή είναι μια ιδιότητα της ενότητας: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Επομένως, μπορούμε να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας για να απαλλαγούμε από το μέτρο και να λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη συνήθη μέθοδο διαστήματος:
\[\αρχή(στοίχιση) & ((\αριστερά(\αριστερά| x+2 \δεξιά| \δεξιά))^(2))\ge ((\αριστερά(\αριστερά| 1-2x \δεξιά| \δεξιά) )^(2)); \\ & ((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2))\ge ((\αριστερά(2x-1 \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]
Στο τελευταίο βήμα, απάτησα λίγο: άλλαξα την ακολουθία των όρων, εκμεταλλευόμενος την ομοιόμορφη ενότητα (στην πραγματικότητα, πολλαπλασίασα την έκφραση $1-2x$ επί −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ δεξιά)\δεξιά)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Λύνουμε με τη μέθοδο του διαστήματος. Ας περάσουμε από την ανισότητα στην εξίσωση:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]
Σημειώνουμε τις ρίζες που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή. Για άλλη μια φορά: όλα τα σημεία σκιάζονται επειδή η αρχική ανισότητα δεν είναι αυστηρή!
Απαλλαγή από το σύμβολο του συντελεστή
Επιτρέψτε μου να σας θυμίσω για όσους είναι ιδιαίτερα πεισματάρηδες: παίρνουμε τα σημάδια από την τελευταία ανισότητα, η οποία γράφτηκε πριν προχωρήσουμε στην εξίσωση. Και ζωγραφίζουμε τις περιοχές που απαιτούνται με την ίδια ανισότητα. Στην περίπτωσή μας είναι $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Εντάξει όλα τελείωσαν τώρα. Το πρόβλημα λύθηκε.
Απάντηση: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+x+1 \δεξιά|\le \αριστερά| ((x)^(2))+3x+4 \δεξιά|\]
Λύση. Κάνουμε τα πάντα το ίδιο. Δεν θα σχολιάσω - απλά κοιτάξτε τη σειρά των ενεργειών.
Τετράγωνο:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \δεξιά))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ δεξιά))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \δεξιά)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(στοίχιση)\]
Μέθοδος διαστήματος:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Δεξιό βέλος x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Δεξί βέλος D=16-40 \lt 0\Δεξί βέλος \varnothing . \\\end(στοίχιση)\]
Υπάρχει μόνο μία ρίζα στην αριθμητική γραμμή:
Η απάντηση είναι ένα ολόκληρο διάστημα
Απάντηση: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Μια μικρή σημείωση για την τελευταία εργασία. Όπως σημείωσε με ακρίβεια ένας από τους μαθητές μου, και οι δύο υπομονάδες εκφράσεις σε αυτήν την ανισότητα είναι προφανώς θετικές, επομένως το πρόσημο του συντελεστή μπορεί να παραλειφθεί χωρίς να βλάψει την υγεία.
Αλλά αυτό είναι ένα εντελώς διαφορετικό επίπεδο σκέψης και μια διαφορετική προσέγγιση - μπορεί υπό όρους να ονομαστεί μέθοδος συνεπειών. Σχετικά με αυτό - σε ένα ξεχωριστό μάθημα. Τώρα ας προχωρήσουμε στο τελευταίο μέρος του σημερινού μαθήματος και ας δούμε έναν καθολικό αλγόριθμο που λειτουργεί πάντα. Ακόμα κι όταν όλες οι προηγούμενες προσεγγίσεις ήταν αδύναμες.
Τι γίνεται αν όλες αυτές οι τεχνικές δεν βοηθήσουν; Εάν η ανισότητα δεν μπορεί να περιοριστεί σε μη αρνητικές ουρές, εάν είναι αδύνατο να απομονωθεί η ενότητα, εάν γενικά υπάρχει πόνος, θλίψη, μελαγχολία;
Τότε το «βαρύ πυροβολικό» όλων των μαθηματικών έρχεται στη σκηνή — η μέθοδος της ωμής βίας. Σε σχέση με τις ανισότητες με συντελεστή, φαίνεται ως εξής:
Πώς, λοιπόν; Αδύναμος; Εύκολα! Μόνο για πολύ καιρό. Ας δούμε στην πράξη:
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| x+2 \δεξιά| \lt \αριστερά| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Λύση. Αυτό το χάλι δεν συνοψίζεται σε ανισότητες όπως το $\left| f\right| \lt g$, $\αριστερά| f\right| \gt g$ ή $\left| f\right| \lt \αριστερά| g \right|$, άρα ενεργούμε μπροστά.
Γράφουμε υπομονάδες παραστάσεις, τις εξισώνουμε με το μηδέν και βρίσκουμε τις ρίζες:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Δεξί βέλος x=1. \\\end(στοίχιση)\]
Συνολικά, έχουμε δύο ρίζες που χωρίζουν την αριθμητική γραμμή σε τρία τμήματα, μέσα στα οποία κάθε ενότητα αποκαλύπτεται μοναδικά:
Διαμερισμός της αριθμητικής γραμμής με μηδενικά υποαρθρωτών συναρτήσεων
Ας δούμε κάθε ενότητα ξεχωριστά.
1. Έστω $x \lt -2$. Τότε και οι δύο υποαρθρωτές εκφράσεις είναι αρνητικές και η αρχική ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(στοίχιση)\]
Έχουμε έναν αρκετά απλό περιορισμό. Ας το τέμνουμε με την αρχική υπόθεση ότι $x \lt -2$:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\Δεξί βέλος x\in \varnothing \]
Προφανώς, η μεταβλητή $x$ δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα μικρότερη από −2 και μεγαλύτερη από 1,5. Δεν υπάρχουν λύσεις σε αυτόν τον τομέα.
1.1. Ας εξετάσουμε χωριστά την οριακή περίπτωση: $x=-2$. Ας αντικαταστήσουμε αυτόν τον αριθμό στην αρχική ανισότητα και ας ελέγξουμε: είναι αλήθεια;
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \αριστερά| -3\δεξιά|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Δεξί βέλος \varnothing . \\\end(στοίχιση)\]
Είναι προφανές ότι η αλυσίδα των υπολογισμών μας έχει οδηγήσει σε μια εσφαλμένη ανισότητα. Επομένως, η αρχική ανισότητα είναι επίσης ψευδής και $x=-2$ δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση.
2. Έστω τώρα $-2 \lt x \lt 1$. Η αριστερή μονάδα θα ανοίξει ήδη με ένα "συν", αλλά η δεξιά θα εξακολουθεί να ανοίγει με "μείον". Εχουμε:
\[\αρχή(στοίχιση) & x+2 \lt -\αριστερά(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
Και πάλι τέμνουμε με την αρχική απαίτηση:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\Δεξί βέλος x\in \varnothing \]
Και πάλι, το σύνολο των λύσεων είναι κενό, αφού δεν υπάρχουν αριθμοί που να είναι μικρότεροι από −2,5 και μεγαλύτεροι από −2.
2.1. Και πάλι μια ειδική περίπτωση: $x=1$. Αντικαθιστούμε στην αρχική ανισότητα:
\[\αρχή(στοίχιση) & ((\αριστερά. \αριστερά| x+2 \δεξιά| \lt \αριστερά| x-1 \δεξιά|+x-1,5 \δεξιά|)_(x=1)) \\ & \αριστερά| 3\δεξιά| \lt \αριστερά| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Δεξί βέλος \varnothing . \\\end(στοίχιση)\]
Παρόμοια με την προηγούμενη «ειδική περίπτωση», ο αριθμός $x=1$ σαφώς δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση.
3. Το τελευταίο κομμάτι της γραμμής: $x \gt 1$. Εδώ όλες οι μονάδες ανοίγουν με ένα σύμβολο συν:
\[\αρχή(στοίχιση) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(στοίχιση)\ ]
Και πάλι τέμνουμε το σύνολο που βρέθηκε με τον αρχικό περιορισμό:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\Δεξί βέλος x\in \αριστερά(4,5;+\infty \δεξιά)\ ]
Τελικά! Βρήκαμε ένα διάστημα που θα είναι η απάντηση.
Απάντηση: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Τέλος, μια παρατήρηση που μπορεί να σας σώσει από ανόητα λάθη κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων:
Οι λύσεις ανισώσεων με συντελεστές συνήθως αντιπροσωπεύουν συνεχή σύνολα στην αριθμητική γραμμή - διαστήματα και τμήματα. Τα μεμονωμένα σημεία είναι πολύ λιγότερο κοινά. Και ακόμη λιγότερο συχνά, συμβαίνει το όριο της λύσης (το τέλος του τμήματος) να συμπίπτει με το όριο του εύρους που εξετάζουμε.
Κατά συνέπεια, εάν τα όρια (οι ίδιες «ειδικές περιπτώσεις») δεν περιλαμβάνονται στην απάντηση, τότε οι περιοχές στα αριστερά και δεξιά αυτών των ορίων είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα συμπεριληφθούν στην απάντηση. Και το αντίστροφο: τα σύνορα μπήκαν στην απάντηση, πράγμα που σημαίνει ότι ορισμένες περιοχές γύρω από αυτό θα είναι επίσης απαντήσεις.
Λάβετε αυτό υπόψη όταν εξετάζετε τις λύσεις σας.
Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο σε τεχνικές για την επίλυση διαφόρων εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν
μεταβλητή κάτω από το σύμβολο συντελεστή.
Αν συναντήσετε μια εξίσωση ή ανισότητα με συντελεστή στην εξέταση, μπορείτε να τη λύσετε με
χωρίς να ξέρω κανένα ειδικές μεθόδουςκαι χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της ενότητας. Είναι αλήθεια,
Αυτό μπορεί να χρειαστεί μιάμιση ώρα από τον πολύτιμο χρόνο των εξετάσεων.
Γι' αυτό θέλουμε να σας πούμε για τεχνικές που απλοποιούν την επίλυση τέτοιων προβλημάτων.
Πρώτα από όλα, ας το θυμηθούμε
Ας σκεφτούμε Διάφοροι τύποι εξισώσεις με συντελεστή. (Θα προχωρήσουμε στις ανισότητες αργότερα.)
Αυτή είναι η πιο απλή περίπτωση. Ας λύσουμε την εξίσωση
Υπάρχουν μόνο δύο αριθμοί των οποίων οι ενότητες είναι ίσες με τέσσερις. Αυτά είναι τα 4 και −4. Επομένως η εξίσωση
ισοδυναμεί με τον συνδυασμό δύο απλών:
Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει λύσεις. Λύσεις στο πρώτο: x = 0 και x = 5.
Απάντηση: 0; 5.
Εδώ πρέπει να επεκτείνουμε την ενότητα εξ ορισμού. . . ή σκέψου!
Η εξίσωση χωρίζεται σε δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το πρόσημο της έκφρασης κάτω από το μέτρο.
Με άλλα λόγια, ισοδυναμεί με συνδυασμό δύο συστημάτων:
Λύση του πρώτου συστήματος: . Το δεύτερο σύστημα δεν έχει λύσεις.
Απάντηση: 1.
Πρώτη περίπτωση: x ≥ 3. Αφαιρέστε τη μονάδα:
Ο αριθμός, όντας αρνητικός, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη x ≥ 3 και επομένως δεν είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Ας μάθουμε αν ικανοποιεί αυτή η συνθήκηαριθμός . Για να γίνει αυτό, συνθέτουμε τη διαφορά και προσδιορίζουμε το πρόσημό της:
Αυτό σημαίνει ότι είναι μεγαλύτερο από τρία και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης
Δεύτερη περίπτωση: x< 3. Снимаем модуль:
Αριθμός . μεγαλύτερο από , και επομένως δεν ικανοποιεί την συνθήκη x< 3. Проверим :
Που σημαίνει, . είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Κατάργηση της μονάδας εξ ορισμού; Είναι τρομακτικό ακόμα και να το σκεφτείς, γιατί το διακριτικό δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Ας χρησιμοποιήσουμε καλύτερα την ακόλουθη θεώρηση: μια εξίσωση της μορφής |A| = Το B είναι ισοδύναμο με τον συνδυασμό δύο συστημάτων:
Το ίδιο, αλλά λίγο διαφορετικό:
Με άλλα λόγια, λύνουμε δύο εξισώσεις, A = B και A = −B, και στη συνέχεια επιλέγουμε ρίζες που ικανοποιούν τη συνθήκη B ≥ 0.
Ας αρχίσουμε. Αρχικά λύνουμε την πρώτη εξίσωση:
Στη συνέχεια λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση:
Τώρα σε κάθε περίπτωση ελέγχουμε το σημάδι της δεξιάς πλευράς:
Επομένως, μόνο και είναι κατάλληλα.
Ας λύσουμε την εξίσωση:
Επειδή , είναι βολικό να γίνει η αντικατάσταση |x| = t. Παίρνουμε:
Απάντηση: ±1.
Μιλάμε για εξισώσεις της μορφής |A| = |Β|. Αυτό είναι ένα δώρο της μοίρας. Δεν υπάρχουν αποκαλύψεις ενότητας εξ ορισμού! Είναι απλό:
Για παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση: . Είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο σύνολο:
Απομένει να λύσουμε καθεμία από τις εξισώσεις του συνόλου και να γράψουμε την απάντηση.
Ας λύσουμε την εξίσωση:
Ας μην ασχολούμαστε με κάθε ενότητα ξεχωριστά και ας την ανοίξουμε εξ ορισμού - θα υπάρχουν πάρα πολλές επιλογές. Υπάρχει ένας πιο ορθολογικός τρόπος - η μέθοδος του διαστήματος.
Οι εκφράσεις του συντελεστή εξαφανίζονται στα σημεία x = 1, x = 2 και x = 3. Αυτά τα σημεία διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε τέσσερα διαστήματα (διαστήματα). Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή και ας τοποθετήσουμε σημάδια για καθεμία από τις εκφράσεις κάτω από τις μονάδες στα διαστήματα που προκύπτουν. (Η σειρά των σημείων συμπίπτει με τη σειρά των αντίστοιχων μονάδων στην εξίσωση.)
Επομένως, πρέπει να εξετάσουμε τέσσερις περιπτώσεις - όταν το x βρίσκεται σε κάθε ένα από τα διαστήματα.
Περίπτωση 1: x ≥ 3. Όλες οι ενότητες αφαιρούνται "με ένα συν":
Η προκύπτουσα τιμή x = 5 ικανοποιεί τη συνθήκη x ≥ 3 και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Περίπτωση 2: 2 ≤ x ≤ 3. Η τελευταία ενότητα αφαιρείται τώρα "με ένα μείον":
Η προκύπτουσα τιμή του x είναι επίσης κατάλληλη - ανήκει στο υπό εξέταση διάστημα.
Περίπτωση 3: 1 ≤ x ≤ 2. Η δεύτερη και η τρίτη ενότητα αφαιρούνται "με ένα μείον":
Έχουμε λάβει τη σωστή αριθμητική ισότητα για οποιοδήποτε x από το υπό εξέταση διάστημα χρησιμεύουν ως λύσεις σε αυτήν την εξίσωση.
Περίπτωση 4: x ≤ 1 ≤ 1. Η δεύτερη και η τρίτη ενότητα αφαιρούνται "με ένα μείον":
Τίποτα καινούργιο. Γνωρίζουμε ήδη ότι το x = 1 είναι λύση.
Απάντηση: ∪ (5).
Ας λύσουμε την εξίσωση:
Ξεκινάμε ανοίγοντας την εσωτερική μονάδα.
1) x ≤ 3. Παίρνουμε:
Η έκφραση κάτω από το μέτρο εξαφανίζεται στο . Αυτό το σημείο ανήκει στο εξεταζόμενο
μεταξύ. Επομένως, πρέπει να αναλύσουμε δύο υποπεριπτώσεις.
1.1) Σε αυτήν την περίπτωση παίρνουμε:
Αυτή η τιμή x δεν είναι κατάλληλη γιατί δεν ανήκει στο υπό εξέταση διάστημα.
1.2). Επειτα:
Αυτή η τιμή x δεν είναι επίσης καλή.
Άρα, για x ≤ 3 δεν υπάρχουν λύσεις. Ας περάσουμε στη δεύτερη περίπτωση.
2) x ≥ 3. Έχουμε:
Εδώ είμαστε τυχεροί: η έκφραση x + 2 είναι θετική στο διάστημα που εξετάζουμε! Επομένως, δεν θα υπάρχουν άλλες υποπεριπτώσεις: η ενότητα αφαιρείται "με ένα συν":
Αυτή η τιμή του x βρίσκεται στο υπό εξέταση διάστημα και επομένως είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Έτσι λύνονται όλα τα προβλήματα αυτού του τύπου - ανοίγουμε τις ένθετες ενότητες μία προς μία, ξεκινώντας από την εσωτερική.
λύση ανισότηταςσε λειτουργία Σε σύνδεση λύσησχεδόν κάθε δεδομένη ανισότητα Σε σύνδεση. Μαθηματικός ανισότητες στο διαδίκτυονα λύσουν τα μαθηματικά. Βρείτε γρήγορα λύση ανισότηταςσε λειτουργία Σε σύνδεση. Ο ιστότοπος www.site σας επιτρέπει να βρείτε λύσησχεδόν κάθε δεδομένο αλγεβρικός, τριγωνομετρικήή υπερβατική ανισότητα στο διαδίκτυο. Όταν μελετάτε σχεδόν οποιοδήποτε κλάδο των μαθηματικών στο διαφορετικά στάδιαπρέπει να αποφασίσουν ανισότητες στο διαδίκτυο. Για να λάβετε μια απάντηση αμέσως, και κυρίως μια ακριβή απάντηση, χρειάζεστε έναν πόρο που σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό. Χάρη στον ιστότοπο www.site επίλυση της ανισότητας στο διαδίκτυοθα διαρκέσει μερικά λεπτά. Το κύριο πλεονέκτημα του www.site κατά την επίλυση μαθηματικών ανισότητες στο διαδίκτυο- αυτή είναι η ταχύτητα και η ακρίβεια της απόκρισης που παρέχεται. Ο ιστότοπος είναι σε θέση να λύσει οποιαδήποτε αλγεβρικές ανισότητες στο διαδίκτυο, τριγωνομετρικές ανισότητες online, υπερβατικές ανισότητες στο διαδίκτυο, και ανισότητεςμε άγνωστες παραμέτρους στη λειτουργία Σε σύνδεση. Ανισότητεςχρησιμεύει ως μια ισχυρή μαθηματική συσκευή λύσειςπρακτικά προβλήματα. Με βοήθεια μαθηματικές ανισότητεςείναι δυνατό να εκφραστούν γεγονότα και σχέσεις που μπορεί να φαίνονται μπερδεμένα και περίπλοκα με την πρώτη ματιά. Άγνωστες ποσότητες ανισότητεςμπορεί να βρεθεί διατυπώνοντας το πρόβλημα στο μαθηματικόςγλώσσα στη μορφή ανισότητεςΚαι αποφασίζωέλαβε εργασία σε λειτουργία Σε σύνδεσηστον ιστότοπο www.site. Οποιος αλγεβρική ανισότητα, τριγωνομετρική ανισότηταή ανισότητεςπου περιέχει υπερφυσικόςχαρακτηριστικά που μπορείτε εύκολα αποφασίζω online και λάβετε την ακριβή απάντηση. Μελετώντας φυσικές επιστήμες, αντιμετωπίζετε αναπόφευκτα την ανάγκη λύσεις στις ανισότητες. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση πρέπει να είναι ακριβής και πρέπει να λαμβάνεται αμέσως στη λειτουργία Σε σύνδεση. Επομένως για επίλυση μαθηματικών ανισώσεων στο διαδίκτυοπροτείνουμε τον ιστότοπο www.site, ο οποίος θα γίνει ο απαραίτητος υπολογιστής σας επίλυση αλγεβρικών ανισοτήτων στο διαδίκτυο, τριγωνομετρικές ανισότητες online, και υπερβατικές ανισότητες στο διαδίκτυοή ανισότητεςμε άγνωστες παραμέτρους. Για πρακτικά προβλήματα εύρεσης διαδικτυακών λύσεων σε διάφορα μαθηματικές ανισότητεςπόρος www.. Επίλυση ανισότητες στο διαδίκτυομόνοι σας, είναι χρήσιμο να ελέγξετε την απάντηση που λάβατε χρησιμοποιώντας διαδικτυακή λύσηανισότητεςστον ιστότοπο www.site. Πρέπει να γράψετε σωστά την ανισότητα και να λάβετε αμέσως διαδικτυακή λύση, μετά από την οποία το μόνο που μένει είναι να συγκρίνετε την απάντηση με τη λύση σας στην ανισότητα. Ο έλεγχος της απάντησης δεν θα διαρκέσει περισσότερο από ένα λεπτό, είναι αρκετό επίλυση της ανισότητας στο διαδίκτυοκαι συγκρίνετε τις απαντήσεις. Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε λάθη απόφασηκαι διορθώστε έγκαιρα την απάντηση επίλυση ανισοτήτων στο Διαδίκτυοείτε αλγεβρικός, τριγωνομετρική, υπερφυσικόςή ανισότηταμε άγνωστες παραμέτρους.
Συντελεστής αριθμώνΑυτός ο ίδιος ο αριθμός ονομάζεται αν είναι μη αρνητικός ή ο ίδιος αριθμός με το αντίθετο πρόσημο αν είναι αρνητικός.
Για παράδειγμα, ο συντελεστής του αριθμού 6 είναι 6 και ο συντελεστής του αριθμού -6 είναι επίσης 6.
Δηλαδή, ο συντελεστής ενός αριθμού νοείται ως η απόλυτη τιμή, η απόλυτη τιμή αυτού του αριθμού χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο του.
Ορίζεται ως εξής: |6|, | Χ|, |ΕΝΑ| και τα λοιπά.
(Περισσότερες λεπτομέρειες στην ενότητα "Αριθμός ενότητα").
Εξισώσεις με μέτρο.
Παράδειγμα 1 . Λύστε την εξίσωση|10 Χ - 5| = 15.
Λύση.
Σύμφωνα με τον κανόνα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τον συνδυασμό δύο εξισώσεων:
10Χ - 5 = 15
10Χ - 5 = -15
Εμείς αποφασίζουμε:
10Χ = 15 + 5 = 20
10Χ = -15 + 5 = -10
Χ = 20: 10
Χ = -10: 10
Χ = 2
Χ = -1
Απάντηση: Χ 1 = 2, Χ 2 = -1.
Παράδειγμα 2 . Λύστε την εξίσωση|2 Χ + 1| = Χ + 2.
Λύση.
Εφόσον ο συντελεστής είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε Χ+ 2 ≥ 0. Συνεπώς:
Χ ≥ -2.
Ας κάνουμε δύο εξισώσεις:
2Χ + 1 = Χ + 2
2Χ + 1 = -(Χ + 2)
Εμείς αποφασίζουμε:
2Χ + 1 = Χ + 2
2Χ + 1 = -Χ - 2
2Χ - Χ = 2 - 1
2Χ + Χ = -2 - 1
Χ = 1
Χ = -1
Και οι δύο αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από -2. Άρα και τα δύο είναι ρίζες της εξίσωσης.
Απάντηση: Χ 1 = -1, Χ 2 = 1.
Παράδειγμα 3
. Λύστε την εξίσωση
|Χ + 3| - 1
————— = 4
Χ - 1
Λύση.
Η εξίσωση έχει νόημα εάν ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν - αυτό σημαίνει εάν Χ≠ 1. Ας λάβουμε υπόψη αυτή τη συνθήκη. Η πρώτη μας ενέργεια είναι απλή - δεν ξεφορτώνουμε απλώς το κλάσμα, αλλά το μεταμορφώνουμε έτσι ώστε να αποκτήσουμε τη μονάδα στην καθαρή της μορφή:
|Χ+ 3| - 1 = 4 · ( Χ - 1),
|Χ + 3| - 1 = 4Χ - 4,
|Χ + 3| = 4Χ - 4 + 1,
|Χ + 3| = 4Χ - 3.
Τώρα έχουμε μόνο μια έκφραση κάτω από το μέτρο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Προχώρα.
Ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός - δηλαδή πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το μηδέν ή ίσος με το μηδέν. Αντίστοιχα, λύνουμε την ανισότητα:
4Χ - 3 ≥ 0
4Χ ≥ 3
Χ ≥ 3/4
Έτσι, έχουμε μια δεύτερη συνθήκη: η ρίζα της εξίσωσης πρέπει να είναι τουλάχιστον 3/4.
Σύμφωνα με τον κανόνα, συνθέτουμε ένα σύνολο δύο εξισώσεων και τις λύνουμε:
Χ + 3 = 4Χ - 3
Χ + 3 = -(4Χ - 3)
Χ + 3 = 4Χ - 3
Χ + 3 = -4Χ + 3
Χ - 4Χ = -3 - 3
Χ + 4Χ = 3 - 3
Χ = 2
Χ = 0
Λάβαμε δύο απαντήσεις. Ας ελέγξουμε αν είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Είχαμε δύο προϋποθέσεις: η ρίζα της εξίσωσης δεν μπορεί να είναι ίση με 1 και πρέπει να είναι τουλάχιστον 3/4. Αυτό είναι Χ ≠ 1, Χ≥ 3/4. Και οι δύο αυτές συνθήκες αντιστοιχούν μόνο σε μία από τις δύο απαντήσεις που ελήφθησαν - τον αριθμό 2. Αυτό σημαίνει ότι μόνο αυτή είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: Χ = 2.
Ανισώσεις με συντελεστή.
Παράδειγμα 1 . Λύστε την ανισότητα| Χ - 3| < 4
Λύση.
Ο κανόνας της ενότητας αναφέρει:
|ΕΝΑ| = ΕΝΑ, Αν ΕΝΑ ≥ 0.
|ΕΝΑ| = -ΕΝΑ, Αν ΕΝΑ < 0.
Η ενότητα μπορεί να έχει τόσο μη αρνητικούς όσο και αρνητικούς αριθμούς. Πρέπει λοιπόν να εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις: Χ- 3 ≥ 0 και Χ - 3 < 0.
1) Πότε Χ- 3 ≥ 0 η αρχική μας ανισότητα παραμένει ως έχει, μόνο χωρίς το πρόσημο του συντελεστή:
Χ - 3 < 4.
2) Πότε Χ - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(Χ - 3) < 4.
Ανοίγοντας τις αγκύλες, παίρνουμε:
-Χ + 3 < 4.
Έτσι, από αυτές τις δύο συνθήκες καταλήξαμε στην ενοποίηση δύο συστημάτων ανισοτήτων:
Χ - 3 ≥ 0
Χ - 3 < 4
Χ - 3 < 0
-Χ + 3 < 4
Ας τα λύσουμε:
Χ ≥ 3
Χ < 7
Χ < 3
Χ > -1
Έτσι, η απάντησή μας είναι μια ένωση δύο συνόλων:
3 ≤ Χ < 7 U -1 < Χ < 3.
Προσδιορίστε το μικρότερο και υψηλότερη τιμή. Αυτά είναι -1 και 7. Επιπλέον Χμεγαλύτερο από -1 αλλά μικρότερο από 7.
Εκτός, Χ≥ 3. Αυτό σημαίνει ότι η λύση στην ανίσωση είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών από το -1 έως το 7, εξαιρουμένων αυτών των ακραίων αριθμών.
Απάντηση: -1 < Χ < 7.
Ή: Χ ∈ (-1; 7).
Πρόσθετα.
1) Υπάρχει απλούστερος και συντομότερος τρόπος για να λύσουμε την ανισότητά μας - γραφικά. Για να γίνει αυτό, πρέπει να σχεδιάσετε έναν οριζόντιο άξονα (Εικ. 1).
Έκφραση | Χ - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Χστο σημείο 3 είναι μικρότερη από τέσσερις μονάδες. Σημειώνουμε τον αριθμό 3 στον άξονα και μετράμε 4 διαιρέσεις αριστερά και δεξιά από αυτόν. Στα αριστερά θα έρθουμε στο σημείο -1, στα δεξιά - στο σημείο 7. Έτσι, τα σημεία Χαπλά τα είδαμε χωρίς να τα υπολογίσουμε.
Επιπλέον, σύμφωνα με την συνθήκη της ανισότητας, το -1 και το 7 δεν περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεων. Έτσι, παίρνουμε την απάντηση:
1 < Χ < 7.
2) Υπάρχει όμως και μια άλλη λύση που είναι ακόμα πιο απλή γραφική μέθοδος. Για να γίνει αυτό, η ανισότητά μας πρέπει να παρουσιαστεί με την ακόλουθη μορφή:
4 < Χ - 3 < 4.
Άλλωστε έτσι είναι σύμφωνα με τον κανόνα του συντελεστή. Ο μη αρνητικός αριθμός 4 και ο παρόμοιος αρνητικός αριθμός -4 είναι τα όρια για την επίλυση της ανίσωσης.
4 + 3 < Χ < 4 + 3
1 < Χ < 7.
Παράδειγμα 2 . Λύστε την ανισότητα| Χ - 2| ≥ 5
Λύση.
Αυτό το παράδειγμα διαφέρει σημαντικά από το προηγούμενο. Η αριστερή πλευρά είναι μεγαλύτερη από 5 ή ίση με 5. Γ γεωμετρικό σημείοΑπό την άποψη, η λύση στην ανίσωση είναι όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται σε απόσταση 5 μονάδων ή περισσότερο από το σημείο 2 (Εικ. 2). Το γράφημα δείχνει ότι όλοι αυτοί είναι αριθμοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι με -3 και μεγαλύτεροι ή ίσοι με 7. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε ήδη λάβει την απάντηση.
Απάντηση: -3 ≥ Χ ≥ 7.
Στην πορεία, λύνουμε την ίδια ανισότητα αναδιατάσσοντας τον ελεύθερο όρο προς τα αριστερά και προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:
5 ≥ Χ - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ Χ ≥ 5 + 2
Η απάντηση είναι η ίδια: -3 ≥ Χ ≥ 7.
Ή: Χ ∈ [-3; 7]
Το παράδειγμα λύνεται.
Παράδειγμα 3 . Λύστε την ανισότητα 6 Χ 2 - | Χ| - 2 ≤ 0
Λύση.
Αριθμός Χμπορεί να είναι θετικός αριθμός, αρνητικός αριθμός ή μηδέν. Επομένως, πρέπει να λάβουμε υπόψη και τις τρεις συνθήκες. Όπως γνωρίζετε, λαμβάνονται υπόψη σε δύο ανισότητες: Χ≥ 0 και Χ < 0. При Χ≥ 0 απλώς ξαναγράφουμε την αρχική μας ανισότητα ως έχει, μόνο χωρίς το πρόσημο του συντελεστή:
6 x 2 - Χ - 2 ≤ 0.
Τώρα για τη δεύτερη περίπτωση: αν Χ < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6Χ 2 - (-Χ) - 2 ≤ 0.
Επέκταση των παρενθέσεων:
6Χ 2 + Χ - 2 ≤ 0.
Έτσι, λάβαμε δύο συστήματα εξισώσεων:
6Χ 2 - Χ - 2 ≤ 0
Χ ≥ 0
6Χ 2 + Χ - 2 ≤ 0
Χ < 0
Πρέπει να λύσουμε ανισότητες σε συστήματα - και αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε τις ρίζες δύο τετραγωνικών εξισώσεων. Για να γίνει αυτό, εξισώνουμε τις αριστερές πλευρές των ανισώσεων με μηδέν.
Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο:
6Χ 2 - Χ - 2 = 0.
Πώς να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση - δείτε την ενότητα " Τετραγωνική εξίσωση" Θα ονομάσουμε αμέσως την απάντηση:
Χ 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Από το πρώτο σύστημα ανισώσεων προκύπτει ότι η λύση στην αρχική ανισότητα είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών από -1/2 έως 2/3. Γράφουμε την ένωση λύσεων στο Χ ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη τετραγωνική εξίσωση:
6Χ 2 + Χ - 2 = 0.
Οι ρίζες του:
Χ 1 = -2/3, Χ 2 = 1/2.
Συμπέρασμα: πότε Χ < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Ας συνδυάσουμε τις δύο απαντήσεις και ας πάρουμε την τελική απάντηση: η λύση είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών από -2/3 έως 2/3, συμπεριλαμβανομένων αυτών των ακραίων αριθμών.
Απάντηση: -2/3 ≤ Χ ≤ 2/3.
Ή: Χ ∈ [-2/3; 2/3].
