Σκάλες. Ομάδα εισόδου. Υλικά. Πόρτες. Κλειδαριές. Σχέδιο

Μια συνάρτηση λέγεται άρτια (περιττή) αν για οποιαδήποτε και η ισότητα

.

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα
.

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

Παράδειγμα 6.2. Εξετάστε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή

1)
; 2)
; 3)
.

Λύση.

1) Η συνάρτηση ορίζεται όταν
. Θα βρούμε
.

Εκείνοι.
. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

2) Η συνάρτηση ορίζεται όταν

Εκείνοι.
. Επομένως, αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.

3) η συνάρτηση ορίζεται για , δηλ. Για

,
. Επομένως η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Ας το ονομάσουμε συνάρτηση γενικής μορφής.

Λειτουργία
ονομάζεται αύξηση (μείωση) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν σε αυτό το διάστημα το καθένα υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.

Οι συναρτήσεις που αυξάνονται (μειώνονται) σε ένα ορισμένο διάστημα ονομάζονται μονοτονικές.

Εάν η συνάρτηση
διαφοροποιήσιμο στο διάστημα
και έχει θετική (αρνητική) παράγωγο
, μετά η συνάρτηση
αυξάνεται (μειώνεται) σε αυτό το διάστημα.

Παράδειγμα 6.3. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας συναρτήσεων

1)
; 3)
.

Λύση.

1) Αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ας βρούμε την παράγωγο.

Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν αν
Και
. Το πεδίο ορισμού είναι ο αριθμητικός άξονας, διαιρούμενος με τελείες
,
κατά διαστήματα. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε διάστημα.

Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι αρνητική, η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.

Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι θετική, επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.

2) Αυτή η συνάρτηση ορίζεται εάν
ή

.

Προσδιορίζουμε το πρόσημο του τετραγωνικού τριωνύμου σε κάθε διάστημα.

Έτσι, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Ας βρούμε την παράγωγο
,
, Αν
, δηλ.
, Αλλά
. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα
.

Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι αρνητική, επομένως, η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα
. Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα
.

Τελεία
ονομάζεται μέγιστο (ελάχιστο) σημείο της συνάρτησης
, αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου αυτό είναι για όλους
από αυτή τη γειτονιά ισχύει η ανισότητα

.

Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης ονομάζονται ακραία σημεία.

Εάν η συνάρτηση
στο σημείο έχει ακρότατο, τότε η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη άκρου).

Τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα.

Κανόνας 1. Εάν κατά τη μετάβαση (από αριστερά προς τα δεξιά) μέσω του κρίσιμου σημείου παράγωγο
αλλάζει πρόσημο από «+» σε «–», μετά στο σημείο λειτουργία
έχει μέγιστο? εάν από "-" σε "+", τότε το ελάχιστο. Αν
δεν αλλάζει πρόσημο, τότε δεν υπάρχει ακραίο.

Κανόνας 2. Αφήστε στο σημείο
πρώτη παράγωγος συνάρτησης
ίσο με μηδέν
, και η δεύτερη παράγωγος υπάρχει και είναι διαφορετική από το μηδέν. Αν
, Οτι – μέγιστο σημείο, εάν
, Οτι – ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

Παράδειγμα 6.4. Εξερευνήστε τις μέγιστες και ελάχιστες λειτουργίες:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Λύση.

1) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα
.

Ας βρούμε την παράγωγο
και λύνουμε την εξίσωση
, δηλ.
.Από εδώ
– κρίσιμα σημεία.

Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα,
.

Κατά τη διέλευση από σημεία
Και
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «–» σε «+», επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα 1
– ελάχιστοι βαθμοί.

Όταν διέρχεται από ένα σημείο
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «+» σε «–», έτσι
– μέγιστο σημείο.

,
.

2) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα
. Ας βρούμε την παράγωγο
.

Έχοντας λύσει την εξίσωση
, θα βρούμε
Και
– κρίσιμα σημεία. Αν ο παρονομαστής
, δηλ.
, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει. Ετσι,
– τρίτο κρίσιμο σημείο. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου κατά διαστήματα.

Επομένως, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο στο σημείο
, μέγιστο σε πόντους
Και
.

3) Μια συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής αν
, δηλ. στο
.

Ας βρούμε την παράγωγο

.

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Γειτονιές σημείων
δεν ανήκουν στον τομέα του ορισμού, επομένως δεν είναι ακραίες. Ας εξετάσουμε λοιπόν τα κρίσιμα σημεία
Και
.

4) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα
. Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα 2. Βρείτε την παράγωγο
.

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο
και προσδιορίστε το πρόσημο του στα σημεία

Σε σημεία
η λειτουργία έχει ένα ελάχιστο.

Σε σημεία
η συνάρτηση έχει μέγιστο.

Η συνάρτηση είναι μια από τις πιο σημαντικές μαθηματικές έννοιες. Μια συνάρτηση είναι η εξάρτηση της μεταβλητής y από τη μεταβλητή x, εάν κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του y. Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή όρισμα. Η μεταβλητή y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Όλες οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (μεταβλητή x) αποτελούν τον τομέα ορισμού της συνάρτησης. Όλες οι τιμές που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή (μεταβλητή y) αποτελούν το εύρος της συνάρτησης.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου συντεταγμένων, των οποίων τα τετμημένα είναι ίσα με τις τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες είναι οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης, δηλαδή οι τιμές της μεταβλητής x σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι τιμές της μεταβλητής y σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Για να γράψετε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες της συνάρτησης. Οι κύριες ιδιότητες της συνάρτησης θα συζητηθούν παρακάτω!

Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμά μας - Συναρτήσεις γραφημάτων στο διαδίκτυο. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις κατά τη μελέτη του υλικού αυτής της σελίδας, μπορείτε πάντα να τις ρωτήσετε στο φόρουμ μας. Επίσης στο φόρουμ θα σας βοηθήσουν να λύσετε προβλήματα στα μαθηματικά, τη χημεία, τη γεωμετρία, τη θεωρία πιθανοτήτων και πολλά άλλα θέματα!

Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων.

1) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το εύρος τιμών της συνάρτησης.

Ο τομέας μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των έγκυρων πραγματικές αξίεςόρισμα x (μεταβλητή x ), για το οποίο ορίζεται η συνάρτηση y = f(x).
Το εύρος μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών y που δέχεται η συνάρτηση.

Στα στοιχειώδη μαθηματικά, οι συναρτήσεις μελετώνται μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

2) Συναρτήσεις μηδενικά.

Καλούνται οι τιμές του x για τις οποίες y=0 συνάρτηση μηδενικά. Αυτά είναι τα τετμημένα των σημείων τομής του γραφήματος συνάρτησης με τον άξονα Ox.

3) Διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης.

Διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης - ονομάζονται τέτοια διαστήματα τιμών x στα οποία οι τιμές της συνάρτησης y είναι είτε μόνο θετικές είτε μόνο αρνητικές διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης.

4) Μονοτονία της συνάρτησης.

Μια αυξανόμενη συνάρτηση (σε ένα ορισμένο διάστημα) είναι μια συνάρτηση στην οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Μια φθίνουσα συνάρτηση (σε ένα ορισμένο διάστημα) είναι μια συνάρτηση στην οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

5) Ομοιότητα (περίεργο) της συνάρτησης.

Μια άρτια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για κάθε x f(-x) = f(x). Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη.

Μια περιττή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού η ισότητα f(-x) = - f(x) είναι αληθής. Πρόγραμμα περιττή συνάρτησησυμμετρικά ως προς την προέλευση.

Ομοιόμορφη λειτουργία
1) Το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το σημείο (0; 0), δηλαδή αν το σημείο α ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε το σημείο -α ανήκει επίσης στο πεδίο ορισμού.
2) Για οποιαδήποτε τιμή x f(-x)=f(x)
3) Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oy.

Μια περιττή συνάρτηση έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1) Το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το σημείο (0; 0).
2) για οποιαδήποτε τιμή x που ανήκει στον τομέα ορισμού, η ισότητα f(-x)=-f(x) ικανοποιείται
3) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (0; 0).

Δεν είναι κάθε συνάρτηση άρτια ή περιττή. Λειτουργίες γενική εικόνα δεν είναι ούτε ζυγοί ούτε περιττοί.

6) Περιορισμένες και απεριόριστες λειτουργίες.

Μια συνάρτηση ονομάζεται δεσμευμένη αν υπάρχει θετικός αριθμός M τέτοιος ώστε |f(x)| ≤ M για όλες τις τιμές του x. Εάν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι απεριόριστη.

7) Περιοδικότητα της συνάρτησης.

Μια συνάρτηση f(x) είναι περιοδική εάν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύει το εξής: f(x+T) = f(x). Αυτός ο μικρότερος αριθμός ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης. Ολα τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι περιοδικές. (Τριγωνομετρικοί τύποι).

Μια συνάρτηση f ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού ισχύει η ισότητα f(x)=f(x-T)=f(x+T). T είναι η περίοδος της συνάρτησης.

Κάθε περιοδική συνάρτηση έχει άπειρο αριθμό περιόδων. Στην πράξη, συνήθως θεωρείται η μικρότερη θετική περίοδος.

Οι τιμές μιας περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνονται μετά από ένα διάστημα ίσο με την περίοδο. Αυτό χρησιμοποιείται κατά την κατασκευή γραφημάτων.

Η ομοιότητα και η περιττότητα μιας συνάρτησης είναι μία από τις κύριες ιδιότητες της και η ισοτιμία καταλαμβάνει ένα εντυπωσιακό μέρος του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών. Καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τη συμπεριφορά της συνάρτησης και διευκολύνει πολύ την κατασκευή του αντίστοιχου γραφήματος.

Ας προσδιορίσουμε την ισοτιμία της συνάρτησης. Σε γενικές γραμμές, η υπό μελέτη συνάρτηση θεωρείται ακόμη και αν για αντίθετες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (x) που βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της, οι αντίστοιχες τιμές της y (συνάρτησης) αποδειχθούν ίσες.

Ας δώσουμε έναν πιο αυστηρό ορισμό. Θεωρήστε κάποια συνάρτηση f (x), η οποία ορίζεται στο πεδίο ορισμού D. Θα είναι άρτιο αν για οποιοδήποτε σημείο x βρίσκεται στο πεδίο ορισμού:

• -x (απέναντι σημείο) βρίσκεται επίσης σε αυτό το πεδίο,

• f(-x) = f(x).

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει η απαραίτητη προϋπόθεση για το πεδίο ορισμού μιας τέτοιας συνάρτησης, δηλαδή η συμμετρία ως προς το σημείο Ο, που είναι η αρχή των συντεταγμένων, αφού αν κάποιο σημείο b περιέχεται στο πεδίο ορισμού μιας άρτιας συνάρτηση, τότε το αντίστοιχο σημείο b βρίσκεται επίσης σε αυτό το πεδίο. Από τα παραπάνω λοιπόν προκύπτει το συμπέρασμα: η άρτια συνάρτηση έχει μορφή συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων (Oy).

Πώς να προσδιορίσετε την ισοτιμία μιας συνάρτησης στην πράξη;

Αφήστε το να προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο h(x)=11^x+11^(-x). Ακολουθώντας τον αλγόριθμο που προκύπτει απευθείας από τον ορισμό, εξετάζουμε πρώτα το πεδίο ορισμού του. Προφανώς, ορίζεται για όλες τις τιμές του ορίσματος, δηλαδή ικανοποιείται η πρώτη συνθήκη.

Το επόμενο βήμα είναι να αντικαταστήσετε την αντίθετη τιμή (-x) για το όρισμα (x).
Παίρνουμε:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Εφόσον η πρόσθεση ικανοποιεί τον μεταθετικό (μεταθετικό) νόμο, είναι προφανές ότι h(-x) = h(x) και η δεδομένη συναρτησιακή εξάρτηση είναι άρτια.

Ας ελέγξουμε την ισοτιμία της συνάρτησης h(x)=11^x-11^(-x). Ακολουθώντας τον ίδιο αλγόριθμο, παίρνουμε ότι h(-x) = 11^(-x) -11^x. Βγάζοντας το μείον, στο τέλος έχουμε
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Επομένως, το h(x) είναι περιττό.

Παρεμπιπτόντως, πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με αυτά τα κριτήρια, δεν ονομάζονται ούτε ζυγές ούτε περιττές.

Ακόμη και οι συναρτήσεις έχουν μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες:

• ως αποτέλεσμα της προσθήκης παρόμοιων συναρτήσεων, παίρνουν μια άρτια.
• Ως αποτέλεσμα της αφαίρεσης τέτοιων συναρτήσεων, προκύπτει ένα άρτιο.
• ακόμη, επίσης άρτιος?
• Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο τέτοιων συναρτήσεων, προκύπτει μια άρτια.
• ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού περιττών και ζυγών συναρτήσεων, προκύπτει ένα περιττό.
• Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης των περιττών και άρτιων συναρτήσεων, προκύπτει μια περιττή.
• η παράγωγος μιας τέτοιας συνάρτησης είναι περιττή.
• Αν τετραγωνίσετε μια περιττή συνάρτηση, θα πάρετε μια άρτια.

Η ισοτιμία μιας συνάρτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση εξισώσεων.

Για να λύσουμε μια εξίσωση όπως g(x) = 0, όπου η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι άρτια συνάρτηση, θα είναι αρκετά αρκετό να βρούμε τις λύσεις της για μη αρνητικές τιμές της μεταβλητής. Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να συνδυαστούν με τους αντίθετους αριθμούς. Ένα από αυτά υπόκειται σε επαλήθευση.

Αυτό χρησιμοποιείται επίσης με επιτυχία για την επίλυση μη τυπικές εργασίεςμε παράμετρο.

Για παράδειγμα, υπάρχει κάποια τιμή της παραμέτρου a για την οποία η εξίσωση 2x^6-x^4-ax^2=1 θα έχει τρεις ρίζες;

Αν λάβουμε υπόψη ότι η μεταβλητή μπαίνει στην εξίσωση σε ζυγές δυνάμεις, τότε είναι σαφές ότι αντικαθιστώντας το x με - x δεδομένη εξίσωσηδεν θα αλλάξει. Από αυτό προκύπτει ότι αν ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι η ρίζα του, τότε ο αντίθετος αριθμός είναι και η ρίζα. Το συμπέρασμα είναι προφανές: οι ρίζες μιας εξίσωσης που είναι διαφορετικές από το μηδέν περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεών της σε «ζεύγη».

Είναι σαφές ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν είναι 0, δηλαδή, ο αριθμός των ριζών μιας τέτοιας εξίσωσης μπορεί να είναι μόνο ζυγός και, φυσικά, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου δεν μπορεί να έχει τρεις ρίζες.

Αλλά ο αριθμός των ριζών της εξίσωσης 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 μπορεί να είναι περιττός, και για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου. Πράγματι, είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι το σύνολο των ριζών αυτής της εξίσωσης περιέχει λύσεις «σε ζεύγη». Ας ελέγξουμε αν το 0 είναι ρίζα. Όταν το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, παίρνουμε 2=2. Έτσι, εκτός από τα «ζευγάρικα», το 0 είναι και ρίζα, που αποδεικνύει τον περιττό αριθμό τους.

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτό καθολική μέθοδοςθα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.

Ομοιόμορφη λειτουργία.

Μια συνάρτηση της οποίας το πρόσημο δεν αλλάζει όταν αλλάζει το πρόσημο ονομάζεται ζυγή. Χ.

Χισχύει η ισότητα φά(–Χ) = φά(Χ). Σημάδι Χδεν επηρεάζει το ζώδιο y.

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των συντεταγμένων (Εικ. 1).

Παραδείγματα άρτιας συνάρτησης:

y=κοσ Χ

y = Χ 2

y = –Χ 2

y = Χ 4

y = Χ 6

y = Χ 2 + Χ

Εξήγηση:
Ας πάρουμε τη συνάρτηση y = Χ 2 ή y = –Χ 2 .
Για οποιαδήποτε αξία Χη συνάρτηση είναι θετική. Σημάδι Χδεν επηρεάζει το ζώδιο y. Το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα των συντεταγμένων. Αυτή είναι μια ομοιόμορφη λειτουργία.

Περιττή συνάρτηση.

Μια συνάρτηση της οποίας το πρόσημο αλλάζει όταν αλλάζει το πρόσημο ονομάζεται περιττή. Χ.

Με άλλα λόγια, για οποιαδήποτε αξία Χισχύει η ισότητα φά(–Χ) = –φά(Χ).

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (Εικ. 2).

Παραδείγματα περιττών συναρτήσεων:

y= αμαρτία Χ

y = Χ 3

y = –Χ 3

Εξήγηση:

Ας πάρουμε τη συνάρτηση y = – Χ 3 .
Όλες οι έννοιες στοθα έχει πρόσημο μείον. Αυτό είναι σημάδι Χεπηρεάζει το ζώδιο y. Εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι θετικός αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι θετική, εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι αρνητικός αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι αρνητική: φά(–Χ) = –φά(Χ).
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτή είναι μια περίεργη συνάρτηση.

Ιδιότητες άρτιων και περιττών συναρτήσεων:

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:

Δεν είναι όλες οι συναρτήσεις ζυγές ή περιττές. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν υπακούουν σε τέτοια διαβάθμιση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ρίζας στο = √Χδεν ισχύει ούτε για άρτια ούτε για περιττές συναρτήσεις (Εικ. 3). Κατά την απαρίθμηση των ιδιοτήτων τέτοιων συναρτήσεων, θα πρέπει να δίνεται μια κατάλληλη περιγραφή: ούτε ζυγός ούτε περιττός.

Περιοδικές συναρτήσεις.

Όπως γνωρίζετε, η περιοδικότητα είναι η επανάληψη ορισμένων διεργασιών σε ένα ορισμένο διάστημα. Οι συναρτήσεις που περιγράφουν αυτές τις διαδικασίες ονομάζονται περιοδικές συναρτήσεις. Δηλαδή, πρόκειται για συναρτήσεις στα γραφήματα των οποίων υπάρχουν στοιχεία που επαναλαμβάνονται σε συγκεκριμένα αριθμητικά διαστήματα.