CAPÍTULO I.
CONCEPTOS BÁSICOS.
§once. ÁNGULOS ADYACENTES Y VERTICALES.
1. Esquinas adyacentes.
Si continuamos el lado de alguna esquina más allá de su vértice, obtendremos dos esquinas (Fig. 72): / un sol y / SVD, en el que un lado BC es común y los otros dos AB y BD forman una línea recta.
Dos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos forman una línea recta se llaman ángulos adyacentes.
Los ángulos adyacentes también se pueden obtener de esta manera: si dibujamos un rayo desde algún punto en una línea recta (que no se encuentra en una línea recta dada), entonces obtenemos esquinas adyacentes.
Por ejemplo, /
alimentador automático de documentos y /
FDВ - esquinas adyacentes (Fig. 73).
Las esquinas adyacentes pueden tener una amplia variedad de posiciones (Fig. 74).
Los ángulos adyacentes se suman para formar un ángulo llano, entonces la umma de dos ángulos adyacentes es 2d.
Por lo tanto, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su ángulo adyacente.
Conociendo el valor de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el valor del otro ángulo adyacente.
Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes es 3/5 d, entonces el segundo ángulo será igual a:
2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.
2. Ángulos verticales.
Si extendemos los lados de un ángulo más allá de su vértice, obtenemos ángulos verticales. En el dibujo 75, los ángulos EOF y AOC son verticales; los ángulos AOE y COF también son verticales.
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son extensiones de los lados del otro ángulo.
Dejar / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adyacente a ella / 2 será igual a 2 d- 7 / 8 d, es decir, 1 1/8 d.
De la misma manera, se puede calcular lo que son iguales a /
3 y /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Figura 77).
Vemos eso / 1 = / 3 y / 2 = / 4.
Puedes resolver varios problemas iguales y siempre obtienes el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.
Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales sean siempre iguales entre sí, no es suficiente considerar ejemplos numéricos, ya que las conclusiones extraídas sobre la base de ejemplos particulares a veces pueden ser erróneas.
Es necesario verificar la validez de la propiedad de los ángulos verticales por razonamiento, por demostración.
La demostración se puede realizar de la siguiente manera (Fig. 78):
/
un +/
C = 2d;
/
b+/
C = 2d;
(dado que la suma de los ángulos adyacentes es 2 d).
/ un +/ C = / b+/ C
(dado que el lado izquierdo de esta igualdad es igual a 2 d, y su lado derecho también es igual a 2 d).
Esta igualdad incluye el mismo ángulo Con.
si somos de valores iguales restar por igual, entonces se mantendrá por igual. El resultado será: / a = / b, es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.
Al considerar la cuestión de los ángulos verticales, primero explicamos qué ángulos se llaman verticales, es decir, dimos definición esquinas verticales.
Entonces hicimos un juicio (afirmación) sobre la igualdad de los ángulos verticales y nos convencimos de la validez de este juicio mediante la prueba. Tales juicios, cuya validez debe probarse, se denominan teoremas. Por lo tanto, en esta sección hemos dado la definición de ángulos verticales y también establecido y demostrado un teorema sobre su propiedad.
En el futuro, cuando estudiemos geometría, tendremos que encontrarnos constantemente con definiciones y demostraciones de teoremas.
3. La suma de ángulos que tienen un vértice común.
En el dibujo 79 /
1, /
2, /
3 y /
4 están ubicados en el mismo lado de una recta y tienen un vértice común en esta recta. En suma, estos ángulos forman un ángulo recto, es decir,
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
En el dibujo 80 / 1, / 2, / 3, / 4 y / 5 tienen una tapa común. En suma, estos ángulos forman un ángulo completo, es decir, / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Ejercicios.
1. Uno de los ángulos adyacentes mide 0,72 d. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de estos ángulos adyacentes.
2. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto.
3. Demuestra que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes también son iguales.
4. ¿Cuántos pares de esquinas adyacentes hay en el dibujo 81?
5. ¿Puede un par de ángulos adyacentes consistir en dos ángulos agudos? de dos esquinas obtusas? de forma directa y ángulo obtuso? de forma directa y ángulo agudo?
6. Si uno de los ángulos adyacentes es recto, ¿qué se puede decir sobre el valor del ángulo adyacente a él?
7. Si en la intersección de dos rectas hay un ángulo recto, ¿qué se puede decir acerca del tamaño de los otros tres ángulos?
Dos ángulos situados en la misma recta y que tienen un vértice se llaman adyacentes.
De lo contrario, si la suma de dos ángulos en la misma línea es 180 grados y tienen un lado en común, entonces estos son ángulos adyacentes.
1 ángulo adyacente + 1 ángulo adyacente = 180 grados.
Los ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos lados forman una línea recta en su conjunto.
La suma de dos ángulos adyacentes siempre es 180 grados. Por ejemplo, si un ángulo es de 60 grados, entonces el segundo será necesariamente igual a 120 grados (180-60).
Los ángulos AOC y BOC son ángulos adyacentes, porque se cumplen todas las condiciones para caracterizar ángulos adyacentes:
1.OS - lado común de dos esquinas
2.AO - lado del ángulo AOC, OB - lado del ángulo BOS. Juntos, estos lados forman una línea recta AOB.
3. Hay dos ángulos y su suma es 180 grados.
Recordando el curso de geometría de la escuela, podemos decir lo siguiente sobre los ángulos adyacentes:
los ángulos adyacentes tienen un lado en común, y los otros dos lados pertenecen a la misma recta, es decir, están sobre la misma recta. Si según la figura, entonces los ángulos SOV y BOA son ángulos adyacentes, cuya suma siempre es igual a 180, ya que comparten un ángulo recto, y un ángulo recto siempre es igual a 180.
Los ángulos adyacentes son un concepto sencillo en geometría. Los ángulos adyacentes, ángulo más ángulo suman 180 grados.
Dos esquinas adyacentes: esta será una esquina desplegada.
Hay algunas propiedades más. Con esquinas adyacentes, es fácil resolver problemas y demostrar teoremas.
Los ángulos adyacentes se forman cuando se dibuja un rayo desde un punto arbitrario en una línea recta. Entonces este punto arbitrario resulta ser el vértice del ángulo, el rayo es el lado común de los ángulos adyacentes y la línea desde la cual se dibuja el rayo son los dos lados restantes de los ángulos adyacentes. Los ángulos adyacentes pueden ser iguales en el caso de una perpendicular o diferentes en una viga oblicua. Es fácil ver que la suma de los ángulos adyacentes es 180 grados, o simplemente una línea recta. De otra manera, este ángulo se puede explicar ejemplo sencillo- primero caminaste en una dirección en línea recta, luego cambiaste de opinión, decidiste regresar y giraste 180 grados y fuiste en la misma línea recta en la dirección opuesta.
Entonces, ¿qué es un ángulo adyacente? Definición:
Adyacentes hay dos ángulos con un vértice común y un lado común, y los otros dos lados de estos ángulos están en la misma línea recta.
Y una pequeña lección en video, donde se muestra con sensatez sobre ángulos adyacentes, ángulos verticales, además de rectas perpendiculares, que son un caso especial de ángulos adyacentes y verticales.
Los ángulos adyacentes son ángulos que tienen un lado en común y el otro es una sola línea.
Los ángulos adyacentes son ángulos que dependen unos de otros. Es decir, si el lado común se gira ligeramente, un ángulo disminuirá unos pocos grados y automáticamente el segundo ángulo aumentará la misma cantidad de grados. Esta propiedad de los ángulos adyacentes permite en Geometría resolver varias tareas y realizar demostraciones de varios teoremas.
La suma total de los ángulos adyacentes es siempre 180 grados.
Del curso de geometría, (hasta donde recuerdo para el 6to grado), dos ángulos se llaman adyacentes, en los cuales un lado es común y los otros lados son rayos adicionales, la suma de los ángulos adyacentes es 180. Cada uno de los dos ángulos adyacentes complementan al otro en un ángulo girado. Ejemplo de esquinas adyacentes:
Los ángulos adyacentes son dos ángulos con un vértice común, uno de cuyos lados es común, y los lados restantes se encuentran en la misma línea recta (no coincidentes). La suma de los ángulos adyacentes es ciento ochenta grados. En general, todo esto es muy fácil de encontrar en Google o en un libro de texto de geometría.
Introducción a las esquinas
Seamos dados dos rayos arbitrarios. Pongámoslos uno encima del otro. Después
Definición 1
Un ángulo es un nombre dado a dos rayos que tienen el mismo origen.
Definición 2
El punto, que es el comienzo de los rayos en el marco de la Definición 3, se llama el vértice de este ángulo.
Un ángulo se denotará por sus siguientes tres puntos: un vértice, un punto en uno de los rayos y un punto en el otro rayo, y el vértice del ángulo se escribe en el medio de su designación (Fig. 1).
Ahora vamos a definir cuál es el valor del ángulo.
Para hacer esto, debe elegir algún tipo de ángulo de "referencia", que tomaremos como una unidad. La mayoría de las veces, dicho ángulo es un ángulo que es igual a $\frac(1)(180)$ de una parte de un ángulo llano. Este valor se llama grado. Después de elegir dicho ángulo, comparamos los ángulos con él, cuyo valor se debe encontrar.
Hay 4 tipos de esquinas:
Definición 3
Un ángulo se llama agudo si es menor que $90^0$.
Definición 4
Un ángulo se llama obtuso si es mayor que $90^0$.
Definición 5
Un ángulo se llama llano si es igual a $180^0$.
Definición 6
Un ángulo se llama ángulo recto si es igual a $90^0$.
Además de tales tipos de ángulos, que se describen anteriormente, es posible distinguir tipos de ángulos entre sí, a saber, ángulos verticales y adyacentes.
Considere un ángulo recto $COB$. Dibuja un rayo $OA$ desde su vértice. Este rayo dividirá al original en dos ángulos. Después
Definición 7
Dos ángulos se llamarán adyacentes si un par de sus lados es un ángulo recto y el otro par coincide (Fig. 2).
A este caso los ángulos $COA$ y $BOA$ son adyacentes.
Teorema 1
La suma de los ángulos adyacentes es $180^0$.
Prueba.
Considere la Figura 2.
Por definición 7, el ángulo $COB$ en él será igual a $180^0$. Dado que el segundo par de lados de ángulos adyacentes coinciden, entonces el rayo $OA$ dividirá el ángulo recto por 2, por lo tanto
$∠COA+∠BOA=180^0$
El teorema ha sido probado.
Considere la solución del problema usando este concepto.
Ejemplo 1
Encuentra el ángulo $C$ de la siguiente figura
Por la Definición 7, obtenemos que los ángulos $BDA$ y $ADC$ son adyacentes. Por lo tanto, por el Teorema 1, obtenemos
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Por el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, tendremos
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Respuesta: $40^0$.
Considere los ángulos desarrollados $AOB$ y $MOC$. Hagamos coincidir sus vértices entre sí (es decir, coloquemos el punto $O"$ sobre el punto $O$) para que ninguno de los lados de estos ángulos coincida. Entonces
Definición 8
Dos ángulos se llamarán verticales si los pares de sus lados son ángulos rectos y sus valores son iguales (Fig. 3).
En este caso, los ángulos $MOA$ y $BOC$ son verticales y los ángulos $MOB$ y $AOC$ también son verticales.
Teorema 2
Los ángulos verticales son iguales entre sí.
Prueba.
Considere la Figura 3. Probemos, por ejemplo, que el ángulo $MOA$ es igual al ángulo $BOC$.
Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado en común y los otros lados de estos ángulos son rayos complementarios. En la figura 20, los ángulos AOB y BOC son adyacentes.
La suma de los ángulos adyacentes es 180°
Teorema 1. La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Prueba. El haz OB (ver Fig. 1) pasa entre los lados del ángulo desarrollado. por lo tanto ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
Del Teorema 1 se sigue que si dos ángulos son iguales, entonces los ángulos adyacentes a ellos son iguales.
Los ángulos verticales son iguales
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son rayos complementarios de los lados del otro. Los ángulos AOB y COD, BOD y AOC, formados en la intersección de dos rectas, son verticales (Fig. 2).
Teorema 2. Los ángulos verticales son iguales.
Prueba. Considere los ángulos verticales AOB y COD (ver Fig. 2). El ángulo BOD es adyacente a cada uno de los ángulos AOB y COD. Por el Teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Por tanto, concluimos que ∠ AOB = ∠ COD.
Corolario 1. Un ángulo adyacente a un ángulo recto es un ángulo recto.
Considere dos líneas rectas que se cortan AC y BD (Fig. 3). Forman cuatro esquinas. Si uno de ellos es recto (ángulo 1 en la Fig. 3), entonces los otros ángulos también son rectos (los ángulos 1 y 2, 1 y 4 son adyacentes, los ángulos 1 y 3 son verticales). En este caso, se dice que estas líneas se cortan en ángulo recto y se llaman perpendiculares (o mutuamente perpendiculares). La perpendicularidad de las rectas AC y BD se denota como sigue: AC ⊥ BD.
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a este segmento y que pasa por su punto medio.
AN - perpendicular a la línea
Considere una línea a y un punto A que no se encuentran sobre ella (Fig. 4). Une el punto A con un segmento al punto H con una recta a. Un segmento AH se llama perpendicular trazada desde el punto A hasta la recta a si las rectas AN y a son perpendiculares. El punto H se llama base de la perpendicular.
Cuadrado de dibujo
El siguiente teorema es verdadero.
Teorema 3. Desde cualquier punto que no esté sobre una recta, se puede trazar una perpendicular a esta recta, y además, una sola.
Para dibujar una perpendicular desde un punto a una línea recta en el dibujo, se usa un cuadrado de dibujo (Fig. 5).
Comentario. El enunciado del teorema generalmente consta de dos partes. Una parte habla de lo que se da. Esta parte se llama la condición del teorema. La otra parte habla de lo que hay que probar. Esta parte se llama la conclusión del teorema. Por ejemplo, la condición del Teorema 2 es ángulos verticales; conclusión - estos ángulos son iguales.
Cualquier teorema se puede expresar en detalle con palabras de modo que su condición comience con la palabra "si" y la conclusión con la palabra "entonces". Por ejemplo, el Teorema 2 puede enunciarse en detalle de la siguiente manera: "Si dos ángulos son verticales, entonces son iguales".
Ejemplo 1 Uno de los ángulos adyacentes mide 44°. ¿A qué es igual el otro?
Decisión.
Denote la medida en grados de otro ángulo por x, luego de acuerdo con el Teorema 1.
44° + x = 180°.
Resolviendo la ecuación resultante, encontramos que x \u003d 136 °. Por lo tanto, el otro ángulo es de 136°.
Ejemplo 2 Sea el ángulo COD de la Figura 21 de 45°. ¿Qué son los ángulos AOB y AOC?
Decisión.
Los ángulos COD y AOB son verticales, por lo tanto, por el Teorema 1.2 son iguales, es decir, ∠ AOB = 45°. El ángulo AOC es adyacente al ángulo COD, por lo tanto, por el Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ DQO = 180° - 45° = 135°.
Ejemplo 3 Encuentra los ángulos adyacentes si uno de ellos es 3 veces el otro.
Decisión.
Denote la medida en grados del ángulo más pequeño por x. Entonces la medida en grados del ángulo mayor será Zx. Como la suma de los ángulos adyacentes es 180° (Teorema 1), entonces x + 3x = 180°, de donde x = 45°.
Entonces los ángulos adyacentes son 45° y 135°.
Ejemplo 4 La suma de dos ángulos verticales es 100°. Encuentra el valor de cada uno de los cuatro ángulos.
Decisión.
A la condición del problema corresponde la figura 2. Los ángulos verticales COD a AOB son iguales (Teorema 2), lo que significa que sus medidas en grados también son iguales. Por tanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (su suma es 100° por condición). El ángulo BOD (también el ángulo AOC) es adyacente al ángulo COD y, por lo tanto, por el Teorema 1
∠ DBO = ∠ COA = 180° - 50° = 130°.
Ángulos en los que un lado es común y los otros lados están en la misma línea recta (en la figura, los ángulos 1 y 2 son adyacentes). Arroz. al arte. Esquinas adyacentes... Gran enciclopedia soviética
ESQUINAS ADYACENTES- ángulos que tienen un vértice común y un lado común, y otros dos lados de ellos se encuentran en la misma línea recta... Gran Enciclopedia Politécnica
Ver ángulo... Largo diccionario enciclopédico
ÁNGULOS ADYACENTES, dos ángulos cuya suma es 180°. Cada una de estas esquinas complementa a la otra en un ángulo completo... Diccionario enciclopédico científico y técnico.
Ver Ángulo. * * * ESQUINAS ADYACENTES ESQUINAS ADYACENTES, ver Esquina (ver ESQUINA) … diccionario enciclopédico
- (Ángulos adyacentes) los que tienen un vértice común y un lado común. Predominantemente, este nombre se refiere a tales ángulos S., de los cuales los dos lados restantes se encuentran a lo largo direcciones opuestas una línea recta a través de la parte superior... Diccionario Enciclopédico F.A. Brockhaus e I. A. Efrón
Ver ángulo... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
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