Departamento de Química Física SFU (RSU)
MÉTODOS NUMÉRICOS Y PROGRAMACIÓN
Materiales para el curso de conferencias.
Profesor – Arte. Rdo. Shcherbakov I.N.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Formulación del problema

Al resolver problemas científicos y de ingeniería, a menudo es necesario describir matemáticamente algún sistema dinámico. Esto se hace mejor en forma de ecuaciones diferenciales ( UE) o sistemas de ecuaciones diferenciales. Muy a menudo, este problema surge al resolver problemas relacionados con el modelado de la cinética de reacciones químicas y diversos fenómenos de transferencia (calor, masa, momento): transferencia de calor, mezcla, secado, adsorción, al describir el movimiento de macro y micropartículas.

Ecuación diferencial ordinaria(EDO) de enésimo orden es la siguiente ecuación, que contiene una o más derivadas de la función deseada y(x):

Aquí y(n) denota la derivada de orden n de alguna función y(x), x es la variable independiente.

En algunos casos, una ecuación diferencial se puede transformar a una forma en la que la derivada más alta se exprese explícitamente. Esta forma de notación se llama ecuación, resuelto con respecto a la derivada más alta(en este caso, la derivada más alta está ausente en el lado derecho de la ecuación):

Es esta forma de grabación la que se acepta como estándar al considerar métodos numéricos para resolver EDO.

Ecuación diferencial lineal es una ecuación que es lineal con respecto a la función y(x) y todas sus derivadas.

Por ejemplo, a continuación se muestran EDO lineales de primer y segundo orden.

Resolver una ecuación diferencial ordinaria es una función y(x) que, para cualquier x, satisface esta ecuación en un cierto intervalo finito o infinito. El proceso de resolución de una ecuación diferencial se llama integrando la ecuación diferencial.

Solución general de la ODE El enésimo orden contiene n constantes arbitrarias C 1 , C 2 , …, C n

Obviamente, esto se deriva del hecho de que la integral indefinida es igual a la primitiva del integrando más la constante de integración.

Dado que son necesarias n integraciones para resolver ecuaciones diferenciales de enésimo orden, en la solución general aparecen n constantes de integración.

solución privada La EDO se obtiene de la general si a las constantes de integración se les dan ciertos valores definiendo algunas condiciones adicionales, cuyo número nos permite calcular todas las constantes inciertas de integración.

Solución exacta (analítica) (general o particular) de una ecuación diferencial implica obtener la solución deseada (función y(x)) en forma de expresión a partir de funciones elementales. Esto no siempre es posible, incluso para ecuaciones de primer orden.

solución numérica DE (cociente) consiste en calcular la función y(x) y sus derivadas en algunos puntos dados que se encuentran en un segmento determinado. Es decir, de hecho, la solución a una ecuación diferencial de enésimo orden de la forma se obtiene en la forma de la siguiente tabla de números (la columna de valores de la derivada más alta se calcula sustituyendo los valores en la ecuación):

Por ejemplo, para una ecuación diferencial de primer orden, la tabla de soluciones tendrá dos columnas: x e y.

El conjunto de valores de abscisas en el que se determina el valor de una función se llama malla, en el que se define la función y(x). Las coordenadas mismas se llaman nodos de red. La mayoría de las veces, por conveniencia, se utilizan. rejillas uniformes, en el que la diferencia entre nodos vecinos es constante y se llama espaciado de la cuadrícula o paso de integración ecuación diferencial

O , i= 1,…, norte

Para determinar solución privada es necesario establecer condiciones adicionales que permitan calcular las constantes de integración. Además, debería haber exactamente n condiciones de este tipo. Para ecuaciones de primer orden, una, para las de segundo, 2, etc. Dependiendo de la forma en que se especifican a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, existen tres tipos de problemas:

· Problema de Cauchy (problema inicial): Necesito encontrar algo como esto solución privada ecuación diferencial que satisface ciertos condiciones iniciales especificadas en un punto:

es decir, se da un cierto valor de la variable independiente (x 0), y el valor de la función y todas sus derivadas hasta el orden (n-1) en este punto. Este punto (x 0) se llama primario. Por ejemplo, si se resuelve una ED de primer orden, entonces las condiciones iniciales se expresan como un par de números (x 0, y 0).

Este tipo de problema ocurre al resolver ODA, que describen, por ejemplo, la cinética de reacciones químicas. En este caso, se conocen las concentraciones de sustancias en el momento inicial ( t = 0), y es necesario encontrar las concentraciones de sustancias después de un cierto período de tiempo ( t). Como ejemplo, también podemos citar el problema de la transferencia de calor o la transferencia de masa (difusión), la ecuación del movimiento de un punto material bajo la influencia de fuerzas, etc.

· Problema de valor límite . En este caso, los valores de la función y (o) sus derivadas se conocen en más de un punto, por ejemplo, en los momentos inicial y final del tiempo, y es necesario encontrar una solución particular a la ecuación diferencial. entre estos puntos. Las condiciones adicionales en sí mismas en este caso se llaman regional (límite) condiciones. Naturalmente, el problema del valor límite se puede resolver para EDO de al menos segundo orden. A continuación se muestra un ejemplo de una EDO de segundo orden con condiciones de contorno (se dan valores de función en dos puntos diferentes):

· Problema de Sturm-Liouville (problema de valores propios). Los problemas de este tipo son similares a los problemas de valores en la frontera. Al resolverlos, es necesario encontrar en qué valores de cualquier parámetro se encuentra la solución. UE satisface condiciones de contorno (valores propios) y funciones que son una solución al DE para cada valor de parámetro (funciones propias). Por ejemplo, muchos problemas de mecánica cuántica son problemas de valores propios.

Métodos numéricos para resolver el problema de Cauchy de la EDO de primer orden

Consideremos algunos métodos numéricos para resolver problemas de cauchy(problema inicial) ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Escribamos esta ecuación en forma general, resuelta con respecto a la derivada (el lado derecho de la ecuación no depende de la primera derivada):

(6.2)

Es necesario encontrar los valores de la función y en puntos dados de la cuadrícula si se conocen los valores iniciales, donde está el valor de la función y(x) en el punto inicial x 0.

Transformemos la ecuación multiplicando por d x

E integramos los lados izquierdo y derecho entre los nodos de cuadrícula i-ésimo e i+ 1.

(6.3)

Hemos obtenido una expresión para construir una solución en el nodo de integración i+1 a través de los valores de xey en el i-ésimo nodo de la cuadrícula. La dificultad, sin embargo, radica en el hecho de que la integral del lado derecho es una integral de una función dada implícitamente, que generalmente es imposible de encontrar en forma analítica. Los métodos numéricos para resolver EDO de varias maneras aproximan (aproximan) el valor de esta integral para construir fórmulas para la integración numérica de EDO.

De los muchos métodos desarrollados para resolver EDO de primer orden, consideramos los métodos y . Son bastante simples y dan una idea inicial de los enfoques para resolver este problema en el marco de una solución numérica.

método de euler

Históricamente, la primera y más sencilla forma de resolver numéricamente el problema de Cauchy para EDO de primer orden es el método de Euler. Se basa en la aproximación de la derivada por la relación de incrementos finitos del dependiente ( y) e independiente ( X) variables entre los nodos de la cuadrícula uniforme:

donde y i+1 es el valor deseado de la función en el punto x i+1.

Si ahora transformamos esta ecuación y tenemos en cuenta la uniformidad de la cuadrícula de integración, obtenemos una fórmula iterativa mediante la cual podemos calcular y yo+1, si y i se conoce en el punto x i:

Comparando la fórmula de Euler con la expresión general obtenida anteriormente, está claro que para calcular aproximadamente la integral en, el método de Euler utiliza la fórmula de integración más simple: la fórmula de rectángulos a lo largo del borde izquierdo del segmento.

La interpretación gráfica del método de Euler también es sencilla (consulte la figura siguiente). De hecho, según la forma de la ecuación que se resuelve (), se deduce que el valor es el valor de la derivada de la función y(x) en el punto x=x i - y, por tanto, es igual a la tangente de el ángulo tangente dibujado a la gráfica de la función y(x) en el punto x =x i .

En el triángulo rectángulo de la figura puedes encontrar

De aquí surge la fórmula de Euler. Por lo tanto, la esencia del método de Euler es reemplazar la función y(x) en el segmento de integración con una línea recta tangente a la gráfica en el punto x=x i. Si la función deseada difiere mucho de la lineal en el segmento de integración, entonces el error de cálculo será significativo. El error del método de Euler es directamente proporcional al paso de integración:

Error~h

El proceso de cálculo se estructura de la siguiente manera. Para condiciones iniciales dadas x0 Y y 0 se puede calcular

Por tanto, se construye una tabla de valores de función y(x) con un determinado paso ( h) Por X en el segmento. Error al definir valor y(xi) En este caso, cuanto menor sea la longitud del paso elegido, menor será h(que está determinada por la precisión de la fórmula de integración).

Para h grande, el método de Euler es muy inexacto. Proporciona una aproximación cada vez más precisa a medida que disminuye el paso de integración. Si el segmento es demasiado grande, entonces cada sección se divide en N segmentos de integración y se aplica la fórmula de Euler a cada uno de ellos con un paso, es decir, el paso de integración h se toma menor que el paso de la cuadrícula en la que se encuentra la solución. está determinado.

Ejemplo:

Usando el método de Euler, construya una solución aproximada para el siguiente problema de Cauchy:

En una cuadrícula con un paso de 0,1 en el intervalo (6,5)

Solución:

Esta ecuación ya ha sido escrita en forma estándar, resuelta con respecto a la derivada de la función deseada.

Por lo tanto, para la ecuación a resolver tenemos

Tomemos el paso de integración igual al paso de la cuadrícula h = 0,1. En este caso, solo se calculará un valor para cada nodo de la cuadrícula (N=1). Para los primeros cuatro nodos de la cuadrícula, los cálculos serán los siguientes:

Los resultados completos (con precisión hasta el quinto decimal) se dan en la tercera columna: h =0,1 (N =1). A modo de comparación, la segunda columna de la tabla muestra los valores calculados a partir de la solución analítica de esta ecuación. .

La segunda parte de la tabla muestra el error relativo de las soluciones obtenidas. Se puede observar que en h =0,1 el error es muy grande, llegando al 100% para el primer nodo x =0,1.

Tabla 1 Solución de la ecuación por el método de Euler (para columnas se indica el paso de integración y el número de segmentos de integración N entre nodos de la grilla)

Reduzcamos el paso de integración a la mitad, h = 0,05, en este caso, para cada nodo de la grilla, el cálculo se realizará en dos pasos (N = 2). Entonces, para el primer nodo x =0,1 obtenemos:

(6.6)

Esta fórmula resulta implícita con respecto a y i+1 (este valor está tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la expresión), es decir, es una ecuación con respecto a y i+1, que se puede resolver, por ejemplo, numéricamente, utilizando algún método iterativo (de esta forma, puede considerarse como una fórmula iterativa del método de iteración simple). Sin embargo, puedes hacerlo de otra manera y aproximadamente calcular el valor de una función en un nodo yo+1 usando la fórmula habitual:

,

que luego puede utilizarse en el cálculo según (6.6).

Esto da el método guna o el método de Euler con recálculo. Para cada nodo de integración se realiza la siguiente cadena de cálculos

(6.7)

Gracias a una fórmula de integración más precisa, el error del método Hün es proporcional al cuadrado del paso de integración.

Error~ h 2

El enfoque utilizado en el método de Gün se utiliza para construir los llamados métodos. pronóstico y corrección, que se discutirá más adelante.

Ejemplo:

Realicemos cálculos para la ecuación () utilizando el método de Hün.

Con el paso de integración h = 0,1 en el primer nodo de la red x 1 obtenemos:

Lo cual es mucho más preciso que los valores obtenidos por el método de Euler con el mismo paso de integración. La Tabla 2 a continuación muestra los resultados comparativos de los cálculos para h = 0,1 de los métodos de Euler y Gün.

Tabla 2 Solución de la ecuación por los métodos de Euler y Gün

Observemos un aumento significativo en la precisión de los cálculos del método Hün en comparación con el método de Euler. Por lo tanto, para el nodo x = 0,1, la desviación relativa del valor de la función determinada por el método de Huyn resulta ser 30 (!) veces menor. La misma precisión de los cálculos utilizando la fórmula de Euler se logra cuando el número de segmentos de integración N es aproximadamente 30. En consecuencia, cuando se utiliza el método Hün con la misma precisión de los cálculos, se necesitará aproximadamente 15 veces menos tiempo de computadora que cuando se utiliza el método de Euler. .

Comprobación de la estabilidad de la solución.

Una solución a una EDO en algún punto x i se llama estable si el valor de la función encontrado en ese punto y yo cambia poco a medida que disminuye el paso de integración. Por lo tanto, para comprobar la estabilidad es necesario realizar dos cálculos del valor ( y yo) – con paso de integración h y con un tamaño de paso reducido (por ejemplo, dos)

Como criterio de estabilidad, se puede utilizar la pequeñez del cambio relativo en la solución obtenida cuando se reduce el paso de integración (ε es un valor pequeño predeterminado)

Esta verificación se puede realizar para todas las soluciones en todo el rango de valores. X. Si no se cumple la condición, el paso se vuelve a dividir por la mitad y se encuentra una nueva solución, etc. hasta obtener una solución estable.

Métodos de Runge-Kutta

Es posible mejorar aún más la precisión de la resolución de una EDO de primer orden aumentando la precisión del cálculo aproximado de la integral en la expresión.

Ya hemos visto la ventaja de pasar de integrar usando la fórmula del rectángulo () a usar la fórmula del trapezoide () al aproximar esta integral.

Utilizando la probada fórmula de Simpson, puede obtener una fórmula aún más precisa para resolver el problema de Cauchy para la EDO de primer orden, el método de Runge-Kutta, ampliamente utilizado en la práctica informática.

La ventaja de los métodos de varios pasos de Adams para resolver EDO es que en cada nodo sólo se calcula un valor del lado derecho de la EDO: la función F(x,y). Las desventajas incluyen la imposibilidad de iniciar un método de varios pasos desde un único punto de partida, ya que los cálculos que utilizan la fórmula de k pasos requieren conocer el valor de la función en k nodos. Por lo tanto, es necesario obtener una solución (k-1) en los primeros nodos x 1, x 2, ..., x k-1 usando algún método de un solo paso, por ejemplo el método

Consideramos sólo la solución al problema de Cauchy. Un sistema de ecuaciones diferenciales o una ecuación debe convertirse a la forma

Dónde ,
–norte-vectores dimensionales; y– función vectorial desconocida; X– argumento independiente,
. En particular, si norte= 1, entonces el sistema se convierte en una ecuación diferencial. Las condiciones iniciales se establecen de la siguiente manera:
, Dónde
.

Si
en las proximidades de un punto
es continua y tiene derivadas parciales continuas con respecto a y, entonces el teorema de existencia y unicidad garantiza que solo hay una función vectorial continua
, definido en alguno vecindad de un punto , satisfaciendo la ecuación (7) y la condición
.

Prestemos atención al hecho de que la vecindad del punto , donde se determina la solución, puede ser muy pequeña. Al acercarse al límite de esta vecindad, la solución puede llegar al infinito, oscilar con una frecuencia infinitamente creciente y, en general, comportarse tan mal que no puede continuar más allá del límite de la vecindad. En consecuencia, una solución de este tipo no puede rastrearse mediante métodos numéricos en un segmento más grande, si así se especifica en el planteamiento del problema.

Resolviendo el problema de Cauchy en [ a; b] es una función. En los métodos numéricos, la función se reemplaza por una tabla (Tabla 1).

tabla 1

Aquí
,
. La distancia entre los nodos de la tabla adyacentes generalmente se considera constante:
,
.

Hay tablas con pasos variables. El paso de la tabla está determinado por los requisitos del problema de ingeniería y no conectado con la precisión de encontrar una solución.

Si y es un vector, entonces la tabla de valores de solución tomará la forma de una tabla. 2.

Tabla 2

En el sistema MATHCAD, se utiliza una matriz en lugar de una tabla y se transpone con respecto a la tabla especificada.

Resuelva el problema de Cauchy con precisión ε significa obtener los valores en la tabla especificada (números o vectores),
, tal que
, Dónde
- solución exacta. Es posible que la solución al segmento especificado en el problema no continúe. Luego debe responder que el problema no se puede resolver en todo el segmento y que necesita obtener una solución en el segmento donde existe, haciendo que este segmento sea lo más grande posible.

Cabe recordar que la solución exacta
no lo sabemos (si no, ¿por qué utilizar el método numérico?). Calificación
debe justificarse por otros motivos. Como regla general, no es posible obtener una garantía del 100% de que la evaluación se esté llevando a cabo. Por lo tanto, se utilizan algoritmos para estimar el valor.
, que resultan eficaces en la mayoría de las tareas de ingeniería.

El principio general para resolver el problema de Cauchy es el siguiente. Segmento de línea [ a; b] se divide en varios segmentos mediante nodos de integración. Número de nodos k no tiene que coincidir con el número de nodos metro tabla final de valores de decisión (Tablas 1, 2). Generalmente, k > metro. Por simplicidad, asumiremos que la distancia entre nodos es constante,
;h llamado paso de integración. Luego, según ciertos algoritmos, conociendo los valores en i < s, calcula el valor . Cuanto más pequeño sea el paso h, menor es el valor diferirá del valor de la solución exacta
. Paso h en esta partición ya no está determinado por los requisitos del problema de ingeniería, sino por la precisión requerida para resolver el problema de Cauchy. Además, se debe seleccionar de manera que en un paso esté la mesa. 1, 2 se ajustan a un número entero de pasos h. En este caso los valores y, obtenido como resultado de cálculos con pasos h en puntos
, se utilizan en consecuencia en la tabla. 1 o 2.

El algoritmo más simple para resolver el problema de Cauchy para la ecuación (7) es el método de Euler. La fórmula de cálculo es:

(8)

Veamos cómo se evalúa la precisión de la solución encontrada. pretendamos que
es la solución exacta del problema de Cauchy, y también que
, aunque casi siempre no es así. Entonces ¿dónde está la constante? C depende de la función
en las proximidades de un punto
. Por lo tanto, en un paso de la integración (encontrar una solución) obtenemos un error del orden . Porque hay que tomar medidas
, entonces es natural esperar que el error total en el último punto
todo estará bien
, es decir. orden h. Por lo tanto, el método de Euler se denomina método de primer orden, es decir el error tiene el orden de la primera potencia del paso h. De hecho, en un paso de la integración se puede justificar la siguiente estimación. Dejar
– solución exacta del problema de Cauchy con la condición inicial
. Está claro que
no coincide con la solución exacta requerida
el problema de Cauchy original de la ecuación (7). Sin embargo, a pequeña escala h y función "buena"
Estas dos soluciones exactas diferirán poco. La fórmula del resto de Taylor asegura que
, esto da el error del paso de integración. El error final consiste no sólo en errores en cada paso de integración, sino también en desviaciones de la solución exacta deseada.
de soluciones exactas
,
, y estas desviaciones pueden llegar a ser muy grandes. Sin embargo, la estimación final del error en el método de Euler para una función "buena"
todavía parece
,
.

Al aplicar el método de Euler, el cálculo se realiza de la siguiente manera. Según la precisión especificada ε determinar el paso aproximado
. Determinar el número de pasos.
y nuevamente seleccione aproximadamente el paso
. Luego nuevamente lo ajustamos hacia abajo para que en cada paso la mesa. 1 o 2 se ajustan a un número entero de pasos de integración. damos un paso h. Según la fórmula (8), sabiendo Y , encontramos. Por valor encontrado Y
encontramos así sucesivamente.

El resultado resultante puede no tener, y generalmente no tendrá, la precisión deseada. Por tanto, reducimos el paso a la mitad y aplicamos nuevamente el método de Euler. Comparamos los resultados de la primera aplicación del método y la segunda en idéntico puntos . Si todas las discrepancias son menores que la precisión especificada, entonces el último resultado del cálculo puede considerarse la respuesta al problema. Si no, volvemos a reducir el paso a la mitad y aplicamos nuevamente el método de Euler. Ahora comparamos los resultados de la última y penúltima aplicación del método, etc.

El método de Euler se utiliza relativamente raramente debido al hecho de que para lograr una precisión determinada ε Se requieren una gran cantidad de pasos, en el orden de
. Sin embargo, si
tiene discontinuidades o derivadas discontinuas, entonces los métodos de orden superior producirán el mismo error que el método de Euler. Es decir, se requerirá la misma cantidad de cálculos que con el método de Euler.

De los métodos de orden superior, el método de Runge-Kutta de cuarto orden es el que se utiliza con mayor frecuencia. En él, los cálculos se realizan según las fórmulas.

Este método, en presencia de cuartas derivadas continuas de la función
da un error en un paso del pedido , es decir. en la notación introducida anteriormente,
. En general, en el intervalo de integración, siempre que la solución exacta se determine en este intervalo, el error de integración será del orden de .

La selección del paso de integración ocurre de la misma manera que se describe en el método de Euler, excepto que el valor aproximado inicial del paso se selecciona de la relación
, es decir.
.

La mayoría de los programas utilizados para resolver ecuaciones diferenciales utilizan la selección automática de pasos. La esencia de esto es esta. Deja que el valor ya esté calculado. . El valor se calcula
en pasos h, elegido durante el cálculo . Luego se realizan dos pasos de integración con el paso , es decir. se agrega un nodo adicional
en el medio entre los nodos Y
. Se calculan dos valores.
Y
en nodos
Y
. El valor se calcula
, Dónde pag– orden del método. Si δ es menor que la precisión especificada por el usuario, entonces se supone
. Si no es así, elija un nuevo paso. h igual y repita la verificación de precisión. Si durante el primer control δ es mucho menor que la precisión especificada, entonces se intenta aumentar el paso. Para ello se calcula
en el nodo
en pasos h desde el nodo
y se calcula
en pasos de 2 h desde el nodo . El valor se calcula
. Si es menor que la precisión especificada, entonces paso 2 h considerado aceptable. En este caso, se asigna un nuevo paso.
,
,
. Si más precisión, entonces el paso se deja igual.

Debe tenerse en cuenta que los programas con selección automática del paso de integración alcanzan la precisión especificada solo al realizar un paso. Esto ocurre debido a la precisión de la aproximación de la solución que pasa por el punto.
, es decir. aproximación de la solución
. Estos programas no tienen en cuenta en qué medida la solución
difiere de la solución deseada
. Por lo tanto, no hay garantía de que se logre la precisión especificada durante todo el intervalo de integración.

Los métodos descritos de Euler y Runge-Kutta pertenecen al grupo de métodos de un solo paso. Esto significa que para calcular
en el punto
basta con saber el significado en el nodo . Es natural esperar que si se utiliza más información sobre una decisión, se tendrán en cuenta varios valores anteriores de la decisión.
,
etc., entonces el nuevo valor
será posible encontrarlo con mayor precisión. Esta estrategia se utiliza en métodos de varios pasos. Para describirlos, introducimos la notación.
.

Los representantes de los métodos de varios pasos son los métodos de Adams-Bashforth:

Método k-ésimo pedido da un error de pedido local
o global – orden .

Estos métodos pertenecen al grupo de métodos de extrapolación, es decir. el nuevo significado se expresa claramente a través de los anteriores. Otro tipo son los métodos de interpolación. En ellos, en cada paso, debes resolver una ecuación no lineal para obtener un nuevo valor. . Tomemos como ejemplo los métodos de Adams-Moulton:

Para utilizar estos métodos, es necesario conocer varios valores al comienzo del conteo.
(su número depende del orden del método). Estos valores deben obtenerse mediante otros métodos, por ejemplo el método de Runge-Kutta con un pequeño paso (para aumentar la precisión). Los métodos de interpolación en muchos casos resultan ser más estables y permiten dar pasos más grandes que los métodos de extrapolación.

Para no resolver una ecuación no lineal en cada paso de los métodos de interpolación, se utilizan los métodos de corrección del predictor de Adams. La conclusión es que el método de extrapolación se aplica primero en el paso y el valor resultante
se sustituye en el lado derecho del método de interpolación. Por ejemplo, en el método de segundo orden

Principales temas discutidos en la conferencia:

1. Planteamiento del problema

2. El método de Euler

3. Métodos de Runge-Kutta

4. Métodos de varios pasos

5. Solución del problema de valores en la frontera para una ecuación diferencial lineal de segundo orden

6. Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.

1. Planteamiento del problema

La ecuación diferencial ordinaria (EDO) más simple es una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada: y " = f (x, y) (1). El principal problema asociado con esta ecuación se conoce como el problema de Cauchy: encontrar una solución a la ecuación (1) en forma de función y (x), satisfaciendo la condición inicial: y (x0) = y0 (2).
DE de enésimo orden y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), para lo cual el problema de Cauchy consiste en encontrar una solución y = y(x) que satisfaga las condiciones iniciales:
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , donde y0 , y"0 , :, y(n- 1)0: números dados, se pueden reducir a un sistema DE de primer orden.

· método de euler

El método de Euler se basa en la idea de construir gráficamente una solución a una ecuación diferencial, pero el mismo método también proporciona una forma numérica de la función deseada. Sea la ecuación (1) con la condición inicial (2).
Obtener una tabla de valores de la función deseada y (x) mediante el método de Euler implica aplicar cíclicamente la fórmula: , i = 0, 1, :, n. Para construir geométricamente la línea discontinua de Euler (ver figura), seleccionamos el polo A(-1,0) y trazamos el segmento PL=f(x0, y0) en el eje de ordenadas (el punto P es el origen de coordenadas). Obviamente, el coeficiente angular del rayo AL será igual a f(x0, y0), por lo tanto, para obtener el primer eslabón de la línea discontinua de Euler, basta con trazar la recta MM1 desde el punto M paralela al rayo. AL hasta que se cruza con la recta x = x1 en algún punto M1(x1, y1). Tomando el punto M1(x1, y1) como inicial, trazamos el segmento PN = f (x1, y1) en el eje Oy y trazamos una recta que pasa por el punto M1 M1M2 | | AN hasta la intersección en el punto M2(x2, y2) con la recta x = x2, etc.

Desventajas del método: baja precisión, acumulación sistemática de errores.

· Métodos de Runge-Kutta

La idea principal del método: en lugar de usar derivadas parciales de la función f (x, y) en las fórmulas de trabajo, use solo esta función en sí, pero en cada paso calcule sus valores en varios puntos. Para ello buscaremos una solución a la ecuación (1) de la forma:


Cambiando α, β, r, q obtendremos varias versiones de los métodos de Runge-Kutta.
Para q=1 obtenemos la fórmula de Euler.
Con q=2 y r1=r2=½ obtenemos que α, β= 1 y, por tanto, tenemos la fórmula: , que se denomina método mejorado de Euler-Cauchy.
Para q=2 y r1=0, r2=1 obtenemos que α, β = ½ y, por tanto, tenemos la fórmula: - el segundo método mejorado de Euler-Cauchy.
Para q=3 y q=4, también existen familias enteras de fórmulas de Runge-Kutta. En la práctica, se utilizan con mayor frecuencia porque no aumente los errores.
Consideremos un esquema para resolver una ecuación diferencial utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden de precisión. Los cálculos al utilizar este método se realizan de acuerdo con las fórmulas:

Es conveniente incluirlos en la siguiente tabla:

· Métodos de varios pasos

Los métodos discutidos anteriormente son los llamados métodos de integración paso a paso de una ecuación diferencial. Se caracterizan por el hecho de que el valor de la solución en el siguiente paso se busca utilizando la solución obtenida sólo en un paso anterior. Estos son los llamados métodos de un solo paso.
La idea principal de los métodos de varios pasos es utilizar varios valores de solución anteriores al calcular el valor de la solución en el siguiente paso. Además, estos métodos se denominan métodos de m pasos según el número m utilizado para calcular los valores de la solución anterior.
En el caso general, para determinar la solución aproximada yi+1, los esquemas de diferencias de m pasos se escriben de la siguiente manera (m 1):
Consideremos fórmulas específicas que implementan los métodos Adams explícitos e implícitos más simples.

Método Adams explícito de segundo orden (método Adams explícito de 2 pasos)

Tenemos a0 = 0, m = 2.
Por tanto, estas son las fórmulas de cálculo del método explícito de Adams de segundo orden.
Para i = 1, tenemos una incógnita y1, que encontraremos usando el método de Runge-Kutta para q = 2 o q = 4.
Para i = 2, 3, : se conocen todos los valores necesarios.

Método implícito de Adams de primer orden

Tenemos: a0 0, m = 1.
Por tanto, estas son las fórmulas de cálculo del método implícito de Adams de 1er orden.
El principal problema con los esquemas implícitos es el siguiente: yi+1 está incluido tanto en el lado derecho como en el izquierdo de la igualdad presentada, por lo que tenemos una ecuación para encontrar el valor de yi+1. Esta ecuación no es lineal y está escrita en una forma adecuada para una solución iterativa, por lo que usaremos el método de iteración simple para resolverla:
Si se elige bien el paso h, entonces el proceso iterativo converge rápidamente.
Este método tampoco es automático. Entonces, para calcular y1 necesitas saber y1(0). Se puede encontrar utilizando el método de Euler.