Solución numérica de ecuaciones diferenciales.
Muchos problemas de ciencia y tecnología se reducen a resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Las EDO son aquellas ecuaciones que contienen una o más derivadas de la función deseada. En general, la EDO se puede escribir de la siguiente manera:
Donde x es una variable independiente, es la i-ésima derivada de la función deseada. n es el orden de la ecuación. La solución general de una EDO de enésimo orden contiene n constantes arbitrarias, es decir la solución general tiene la forma .
Para seleccionar una única solución, es necesario establecer n condiciones adicionales. Dependiendo del método para especificar condiciones adicionales, existen dos tipos diferentes de problemas: el problema de Cauchy y el problema de valores en la frontera. Si se especifican condiciones adicionales en un momento dado, dicho problema se denomina problema de Cauchy. Las condiciones adicionales en el problema de Cauchy se denominan condiciones iniciales. Si se especifican condiciones adicionales en más de un punto, es decir para diferentes valores de la variable independiente, este problema se denomina problema de valores límite. Las condiciones adicionales en sí mismas se denominan condiciones de frontera o de frontera.
Está claro que cuando n=1 sólo podemos hablar del problema de Cauchy.
Ejemplos de cómo plantear el problema de Cauchy:
Ejemplos de problemas de valores límite:
Es posible resolver estos problemas analíticamente sólo para algunos tipos especiales de ecuaciones.
Métodos numéricos para resolver el problema de Cauchy para EDO de primer orden
Formulación del problema. Encuentre una solución a la EDO de primer orden
En el segmento proporcionado
Al encontrar una solución aproximada, asumiremos que los cálculos se realizan con un paso calculado, los nodos de cálculo son los puntos del intervalo [ X 0 , X norte ].
El objetivo es construir una mesa.
|
X i |
X norte |
|||
|
y i |
y norte |
aquellos. Se buscan valores aproximados de y en los nodos de la cuadrícula.
Integrando la ecuación en el intervalo, obtenemos
Una forma completamente natural (pero no la única) de obtener una solución numérica es reemplazar la integral con alguna fórmula de cuadratura de integración numérica. Si usamos la fórmula más simple para rectángulos izquierdos de primer orden
,
entonces obtenemos fórmula explícita de Euler:
Procedimiento de pago:
Sabiendo, encontramos, luego, etc.
Interpretación geométrica del método de Euler.:
Aprovechando lo que hay en el punto X 0 la solución es conocida y(X 0)= y 0 y el valor de su derivada, podemos escribir la ecuación de la tangente a la gráfica de la función deseada en el punto :. Con un paso lo suficientemente pequeño h la ordenada de esta tangente, obtenida sustituyendo en el lado derecho del valor, debe diferir poco de la ordenada y(X 1) soluciones y(X) Problemas de Cauchy. Por tanto, el punto de intersección de la tangente con la recta. X = X 1 se puede tomar aproximadamente como el nuevo punto de partida. A través de este punto volvemos a trazar una línea recta que refleja aproximadamente el comportamiento de la tangente en el punto. Sustituyendo aquí (es decir, la intersección con la línea X = X 2), obtenemos un valor aproximado y(X) en el punto X 2:etc. Como resultado para i-ésimo punto obtenemos la fórmula de Euler.
El método explícito de Euler tiene una precisión o aproximación de primer orden.
Si usa la fórmula del rectángulo derecho: 
, entonces llegamos al método
Este método se llama por el método implícito de Euler, ya que calcular un valor desconocido a partir de un valor conocido requiere resolver una ecuación que generalmente no es lineal.
El método implícito de Euler tiene una precisión o aproximación de primer orden.
En este método, el cálculo consta de dos etapas:
Este esquema también se denomina método predictor-corrector (predictivo-corrector). En la primera etapa, el valor aproximado se predice con baja precisión (h), y en la segunda etapa esta predicción se corrige para que el valor resultante tenga una precisión de segundo orden.
Métodos de Runge-Kutta: la idea de construir métodos explícitos de Runge-Kutta pag-ésimo orden es obtener aproximaciones a los valores y(X i+1) según una fórmula de la forma
…………………………………………….
Aquí a norte ,b Nueva Jersey , pag norte, – algunos números fijos (parámetros).
Al construir los métodos de Runge-Kutta, los parámetros de la función ( a norte ,b Nueva Jersey , pag norte) se seleccionan de tal manera que se obtenga el orden de aproximación deseado.
Esquema de Runge-Kutta de cuarto orden de precisión:
Ejemplo. Resuelva el problema de Cauchy:
Considere tres métodos: método de Euler explícito, método de Euler modificado y método de Runge-Kutta.
Solución exacta:
Fórmulas de cálculo utilizando el método explícito de Euler para este ejemplo:
Fórmulas de cálculo del método de Euler modificado:
Fórmulas de cálculo para el método de Runge-Kutta:
y1 – método de Euler, y2 – método de Euler modificado, y3 – método de Runge Kutta.
Se puede observar que el más preciso es el método de Runge-Kutta.
Métodos numéricos para resolver sistemas de EDO de primer orden.
Los métodos considerados también pueden utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Demostremos esto para el caso de un sistema de dos ecuaciones de primer orden:
Método de Euler explícito:
Método de Euler modificado:
Esquema de Runge-Kutta de cuarto orden de precisión:
Los problemas de Cauchy para ecuaciones de orden superior también se reducen a resolver sistemas de ecuaciones ODE. Por ejemplo, considere Problema de Cauchy para una ecuación de segundo orden
Introduzcamos una segunda función desconocida. Entonces el problema de Cauchy se reemplaza por el siguiente:
Aquellos. en términos del problema anterior: .
Ejemplo. Encuentre una solución al problema de Cauchy:
En el segmento.
Solución exacta:
En realidad:
Resolvamos el problema usando el método explícito de Euler, modificado por el método de Euler y Runge-Kutta con un paso h=0,2.
Introduzcamos la función.
Luego obtenemos el siguiente problema de Cauchy para un sistema de dos EDO de primer orden:
Método de Euler explícito:
Método de Euler modificado:
Método de Runge-Kutta:
Circuito de Euler:
Método de Euler modificado:
Esquema Runge - Kutta:
Máx. (teoría y-y)=4*10 -5
Método de diferencias finitas para resolver problemas de valores límite para EDO
Formulación del problema: encontrar una solución a una ecuación diferencial lineal
satisfaciendo las condiciones de contorno :. (2)
Teorema. Dejar . Entonces hay una solución única al problema.
Este problema se reduce, por ejemplo, al problema de determinar las deflexiones de una viga articulada en sus extremos.
Principales etapas del método de diferencias finitas:
1) el área de cambio continuo de argumento () se reemplaza por un conjunto discreto de puntos llamados nodos: .
2) La función deseada del argumento continuo x se reemplaza aproximadamente por la función del argumento discreto en una cuadrícula determinada, es decir . La función se llama función de cuadrícula.
3) La ecuación diferencial original se reemplaza por una ecuación en diferencias con respecto a la función de cuadrícula. Este reemplazo se llama aproximación en diferencias.
Por lo tanto, resolver una ecuación diferencial se reduce a encontrar los valores de la función de cuadrícula en los nodos de la cuadrícula, que se encuentran resolviendo ecuaciones algebraicas.
Aproximación de derivadas.
Para aproximar (reemplazar) la primera derivada, puede utilizar las fórmulas:
- derivada de diferencia derecha,
- derivada de diferencia izquierda,
Derivada de diferencia central.
es decir, hay muchas formas posibles de aproximar la derivada.
Todas estas definiciones se derivan del concepto de derivada como límite: 
.
Con base en la aproximación en diferencias de la primera derivada, podemos construir una aproximación en diferencias de la segunda derivada:
De manera similar, podemos obtener aproximaciones de derivadas de orden superior.
Definición. El error de aproximación de la enésima derivada es la diferencia: .
Para determinar el orden de aproximación se utiliza la expansión en serie de Taylor.
Consideremos la aproximación en diferencias por la derecha de la primera derivada:
Aquellos. la derivada de diferencias correcta tiene primero por h orden de aproximación.
Lo mismo ocurre con la derivada en diferencia izquierda.
La derivada en diferencias centrales tiene aproximación de segundo orden.
La aproximación de la segunda derivada según la fórmula (3) también tiene un segundo orden de aproximación.
Para aproximar una ecuación diferencial es necesario sustituir todas sus derivadas por sus aproximaciones. Consideremos el problema (1), (2) y reemplacemos las derivadas en (1):
Como resultado obtenemos:
(4)
El orden de aproximación del problema original es 2, porque la segunda y la primera derivada se reemplazan con el orden 2, y el resto, exactamente.
Entonces, en lugar de las ecuaciones diferenciales (1), (2), se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para la determinación en los nodos de la cuadrícula.
El diagrama se puede representar como:
es decir, obtuvimos un sistema de ecuaciones lineales con una matriz:
Esta matriz es tridiagonal, es decir todos los elementos que no están ubicados en la diagonal principal y las dos diagonales adyacentes a ella son iguales a cero.
Al resolver el sistema de ecuaciones resultante, obtenemos una solución al problema original.
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo el signo de la derivada. La principal tarea de la teoría de ecuaciones diferenciales es el estudio de funciones que son soluciones a dichas ecuaciones.
Las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en ecuaciones diferenciales ordinarias, en las que las funciones desconocidas son funciones de una variable, y ecuaciones diferenciales parciales, en las que las funciones desconocidas son funciones de dos o más variables.
La teoría de ecuaciones diferenciales parciales es más compleja y se trata en cursos de matemáticas más completos o especializados.
Comencemos a estudiar ecuaciones diferenciales con la ecuación más simple: una ecuación de primer orden.
Ecuación de la forma
F(x,y,y") = 0,(1)
donde x es una variable independiente; y - la función requerida; y", su derivada, se llama ecuación diferencial de primer orden.
Si la ecuación (1) se puede resolver con respecto a y", entonces toma la forma
y se llama ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada.
En algunos casos, es conveniente escribir la ecuación (2) en la forma f (x, y) dx - dy = 0, que es un caso especial de la ecuación más general
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)
donde P(x,y) y Q(x,y) son funciones conocidas. La ecuación en forma simétrica (3) es conveniente porque las variables xey en ella son iguales, es decir, cada una de ellas puede considerarse en función de la otra.
Demos dos definiciones básicas de las soluciones generales y particulares de la ecuación.
Una solución general a la ecuación (2) en una determinada región G del plano Oxy es una función y = μ(x,C), dependiendo de x y de una constante arbitraria C, si es una solución a la ecuación (2) para cualquier valor de la constante C, y si para cualquier condición inicial y x=x0 =y 0 tal que (x 0 ;y 0)=G, existe un valor único de la constante C = C 0 tal que la función y=q( x,C 0) satisface las condiciones iniciales dadas y=q(x 0 ,C).
Una solución particular a la ecuación (2) en el dominio G es la función y=ts(x,C 0), que se obtiene de la solución general y=ts(x,C) en un cierto valor de la constante C=C 0.
Geométricamente, la solución general y = μ (x, C) es una familia de curvas integrales en el plano Oxy, que depende de una constante C arbitraria, y la solución particular y = μ (x, C 0) es una curva integral de esta familia que pasa por un punto dado (x 0; y 0).
Solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de Euler. La esencia de este método es que la curva integral deseada, que es una gráfica de una solución particular, se reemplaza aproximadamente por una línea discontinua. Sea dada la ecuación diferencial.
y condiciones iniciales y |x=x0 =y 0 .
Encontremos aproximadamente una solución a la ecuación en el intervalo [x 0 ,b] que satisfaga las condiciones iniciales dadas.
Dividamos el segmento [x 0 ,b] con puntos x 0<х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.
Sustituyamos los valores x 0 e y 0 en el lado derecho de la ecuación y"=f(x,y) y calculemos la pendiente y"=f(x 0,y 0) de la tangente a la curva integral en el punto (x 0;y 0). Para encontrar el valor aproximado y 1 de la solución deseada, reemplazamos la curva integral en el segmento [x 0 , x 1 ,] con un segmento de su tangente en el punto (x 0 ; y 0). En este caso obtenemos
y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),
de donde, dado que se conocen x 0, x 1, y 0, encontramos
y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).
Sustituyendo los valores x 1 e y 1 en el lado derecho de la ecuación y"=f(x,y), calculamos la pendiente y"=f(x 1,y 1) de la tangente a la curva integral en el punto (x 1;y 1). Luego, reemplazando la curva integral en el segmento con un segmento tangente, encontramos el valor aproximado de la solución y 2 en el punto x 2:
y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1)(x 2 - x 1)
En esta igualdad, se conocen x 1, y 1, x 2 y y 2 se expresa a través de ellos.
De manera similar encontramos
y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x
Así, se construyó aproximadamente la curva integral deseada en forma de línea discontinua y se obtuvieron valores aproximados y i de la solución deseada en los puntos x i. En este caso, los valores de i se calculan mediante la fórmula
y i = y i-1 +f(x i-1 ;y i-1) ?x (i=1,2,…, n).
La fórmula es la fórmula de cálculo principal del método de Euler. Su precisión es mayor cuanto menor es la diferencia?x.
El método de Euler se refiere a métodos numéricos que proporcionan una solución en forma de tabla de valores aproximados de la función deseada y(x). Es relativamente tosco y se utiliza principalmente para cálculos aproximados. Sin embargo, las ideas que subyacen al método de Euler son el punto de partida de muchos otros métodos.
El grado de precisión del método de Euler es, en general, bajo. Existen métodos mucho más precisos para la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales.
Para resolver ecuaciones diferenciales es necesario conocer el valor de la variable dependiente y sus derivadas para ciertos valores de la variable independiente. Si se especifican condiciones adicionales para un valor de la incógnita, es decir variable independiente., entonces dicho problema se llama problema de Cauchy. Si las condiciones iniciales se especifican para dos o más valores de la variable independiente, entonces el problema se denomina problema de valores en la frontera. Al resolver ecuaciones diferenciales de varios tipos, la función cuyos valores deben determinarse se calcula en forma de tabla.
Problema de Cauchy – un paso: métodos de Euler, métodos de Runge-Kutta; – multipaso: método principal, método Adams. Problema de límites: un método para reducir un problema de límites al problema de Cauchy; – método de diferencias finitas.
Al resolver el problema de Cauchy, se debe especificar dif. tu. orden n o sistema de dif. tu. primer orden de n ecuaciones y n condiciones adicionales para su solución. Se deben especificar condiciones adicionales para el mismo valor de la variable independiente. Al resolver un problema de límites, se deben especificar ecuaciones. de enésimo orden o un sistema de n ecuaciones yn condiciones adicionales para dos o más valores de la variable independiente. Al resolver el problema de Cauchy, la función requerida se determina discretamente en forma de tabla con un determinado paso especificado . Al determinar cada valor sucesivo, puede utilizar información sobre un punto anterior. En este caso, los métodos se denominan de un solo paso, o puede utilizar información sobre varios puntos anteriores: métodos de varios pasos.
Dado: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x0)=y0. Se sabe: f(x,y), x 0 , y 0 . Determine la solución discreta: x i , y i , i=0,1,…,n. El método de Euler se basa en la expansión de una función en una serie de Taylor en las proximidades del punto x 0 . El vecindario se describe en el paso h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). El método de Euler tiene en cuenta sólo dos términos de la serie de Taylor. Introduzcamos algo de notación. La fórmula de Euler tomará la forma: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 =x i +h
La fórmula (2) es la fórmula del método simple de Euler.
Para obtener una solución numérica se utiliza la recta tangente que pasa por la ecuación. tangente: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,
y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0) (x-x 0), porque
x-x 0 =h, entonces y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.
Dado: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Se sabe: f(x,y), x 0 , y 0 . Determine: la dependencia de y de x en forma de una función discreta tabular: x i, y i, i=0.1,…,n.
1) calcular la tangente del ángulo de inclinación en el punto inicial
tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)
2) Calcular el valor y n+1 en
final del paso según la fórmula de Euler
y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Calcular la tangente del ángulo de inclinación
tangente en el punto n+1: tg £=y(x n+1 , y n+1)=f(x n+1 , y n+1) 4) Calcula la media aritmética de los ángulos
inclinación: tg £=½. 5) Usando la tangente del ángulo de pendiente, recalculamos el valor de la función en el punto n+1: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – fórmula del método de Euler modificado. Se puede demostrar que el f-la resultante corresponde a la expansión del f-i en una serie de Taylor, incluidos los términos (hasta h 2). El método de Eilnra modificado, a diferencia del simple, es un método de precisión de segundo orden, porque el error es proporcional a h 2.
Departamento de Química Física SFU (RSU)
MÉTODOS NUMÉRICOS Y PROGRAMACIÓN
Materiales para el curso de conferencias.
Profesor – Arte. Rdo. Shcherbakov I.N.
Formulación del problema
Al resolver problemas científicos y de ingeniería, a menudo es necesario describir matemáticamente algún sistema dinámico. Esto se hace mejor en forma de ecuaciones diferenciales ( UE) o sistemas de ecuaciones diferenciales. Muy a menudo, este problema surge al resolver problemas relacionados con el modelado de la cinética de reacciones químicas y diversos fenómenos de transferencia (calor, masa, momento): transferencia de calor, mezcla, secado, adsorción, al describir el movimiento de macro y micropartículas.
Ecuación diferencial ordinaria(EDO) de enésimo orden es la siguiente ecuación, que contiene una o más derivadas de la función deseada y(x):
Aquí y(n) denota la derivada de orden n de alguna función y(x), x es la variable independiente.
En algunos casos, una ecuación diferencial se puede transformar a una forma en la que la derivada más alta se exprese explícitamente. Esta forma de notación se llama ecuación, resuelto con respecto a la derivada más alta(en este caso, la derivada más alta está ausente en el lado derecho de la ecuación):
Es esta forma de grabación la que se acepta como estándar al considerar métodos numéricos para resolver EDO.
Ecuación diferencial lineal es una ecuación que es lineal con respecto a la función y(x) y todas sus derivadas.
Por ejemplo, a continuación se muestran EDO lineales de primer y segundo orden.
Resolver una ecuación diferencial ordinaria es una función y(x) que, para cualquier x, satisface esta ecuación en un cierto intervalo finito o infinito. El proceso de resolución de una ecuación diferencial se llama integrando la ecuación diferencial.
Solución general de la ODE El enésimo orden contiene n constantes arbitrarias C 1 , C 2 , …, C n
Obviamente, esto se deriva del hecho de que la integral indefinida es igual a la primitiva del integrando más la constante de integración.
Dado que son necesarias n integraciones para resolver ecuaciones diferenciales de enésimo orden, en la solución general aparecen n constantes de integración.
solución privada La EDO se obtiene de la general si a las constantes de integración se les dan ciertos valores definiendo algunas condiciones adicionales, cuyo número nos permite calcular todas las constantes inciertas de integración.
Solución exacta (analítica) (general o particular) de una ecuación diferencial implica obtener la solución deseada (función y(x)) en forma de expresión a partir de funciones elementales. Esto no siempre es posible, incluso para ecuaciones de primer orden.
solución numérica DE (cociente) consiste en calcular la función y(x) y sus derivadas en algunos puntos dados que se encuentran en un segmento determinado. Es decir, de hecho, la solución a una ecuación diferencial de enésimo orden de la forma se obtiene en la forma de la siguiente tabla de números (la columna de valores de la derivada más alta se calcula sustituyendo los valores en la ecuación):
Por ejemplo, para una ecuación diferencial de primer orden, la tabla de soluciones tendrá dos columnas: x e y.
El conjunto de valores de abscisas en el que se determina el valor de una función se llama malla, en el que se define la función y(x). Las coordenadas mismas se llaman nodos de red. La mayoría de las veces, por conveniencia, se utilizan. rejillas uniformes, en el que la diferencia entre nodos vecinos es constante y se llama espaciado de la cuadrícula o paso de integración ecuación diferencial
O , i= 1,…, norte
Para determinar solución privada es necesario establecer condiciones adicionales que permitan calcular las constantes de integración. Además, debería haber exactamente n condiciones de este tipo. Para ecuaciones de primer orden, una, para las de segundo, 2, etc. Dependiendo de la forma en que se especifican a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, existen tres tipos de problemas:
· Problema de Cauchy (problema inicial): Necesito encontrar algo como esto solución privada ecuación diferencial que satisface ciertos condiciones iniciales especificadas en un punto:
es decir, se da un cierto valor de la variable independiente (x 0), y el valor de la función y todas sus derivadas hasta el orden (n-1) en este punto. Este punto (x 0) se llama primario. Por ejemplo, si se resuelve una ED de primer orden, entonces las condiciones iniciales se expresan como un par de números (x 0, y 0).
Este tipo de problema ocurre al resolver ODA, que describen, por ejemplo, la cinética de reacciones químicas. En este caso, se conocen las concentraciones de sustancias en el momento inicial ( t = 0), y es necesario encontrar las concentraciones de sustancias después de un cierto período de tiempo ( t). Como ejemplo, también podemos citar el problema de la transferencia de calor o la transferencia de masa (difusión), la ecuación del movimiento de un punto material bajo la influencia de fuerzas, etc.
· Problema de valor límite . En este caso, los valores de la función y (o) sus derivadas se conocen en más de un punto, por ejemplo, en los momentos inicial y final del tiempo, y es necesario encontrar una solución particular a la ecuación diferencial. entre estos puntos. Las condiciones adicionales en sí mismas en este caso se llaman regional (límite) condiciones. Naturalmente, el problema del valor límite se puede resolver para EDO de al menos segundo orden. A continuación se muestra un ejemplo de una EDO de segundo orden con condiciones de contorno (se dan valores de función en dos puntos diferentes):
· Problema de Sturm-Liouville (problema de valores propios). Los problemas de este tipo son similares a los problemas de valores en la frontera. Al resolverlos, es necesario encontrar en qué valores de cualquier parámetro se encuentra la solución. UE satisface condiciones de contorno (valores propios) y funciones que son una solución al DE para cada valor de parámetro (funciones propias). Por ejemplo, muchos problemas de mecánica cuántica son problemas de valores propios.
Métodos numéricos para resolver el problema de Cauchy de la EDO de primer orden
Consideremos algunos métodos numéricos para resolver problemas de cauchy(problema inicial) ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Escribamos esta ecuación en forma general, resuelta con respecto a la derivada (el lado derecho de la ecuación no depende de la primera derivada):
(6.2)
Es necesario encontrar los valores de la función y en puntos dados de la cuadrícula si se conocen los valores iniciales, donde está el valor de la función y(x) en el punto inicial x 0.
Transformemos la ecuación multiplicando por d x
E integramos los lados izquierdo y derecho entre los nodos de cuadrícula i-ésimo e i+ 1.
(6.3)
Hemos obtenido una expresión para construir una solución en el nodo de integración i+1 a través de los valores de xey en el i-ésimo nodo de la cuadrícula. La dificultad, sin embargo, radica en el hecho de que la integral del lado derecho es una integral de una función dada implícitamente, que generalmente es imposible de encontrar en forma analítica. Los métodos numéricos para resolver EDO de varias maneras aproximan (aproximan) el valor de esta integral para construir fórmulas para la integración numérica de EDO.
De los muchos métodos desarrollados para resolver EDO de primer orden, consideramos los métodos y . Son bastante simples y dan una idea inicial de los enfoques para resolver este problema en el marco de una solución numérica.
método de euler
Históricamente, la primera y más sencilla forma de resolver numéricamente el problema de Cauchy para EDO de primer orden es el método de Euler. Se basa en la aproximación de la derivada por la relación de incrementos finitos del dependiente ( y) e independiente ( X) variables entre los nodos de la cuadrícula uniforme:
donde y i+1 es el valor deseado de la función en el punto x i+1.
Si ahora transformamos esta ecuación y tenemos en cuenta la uniformidad de la cuadrícula de integración, obtenemos una fórmula iterativa mediante la cual podemos calcular y yo+1, si y i se conoce en el punto x i:
Comparando la fórmula de Euler con la expresión general obtenida anteriormente, está claro que para calcular aproximadamente la integral en, el método de Euler utiliza la fórmula de integración más simple: la fórmula de rectángulos a lo largo del borde izquierdo del segmento.
La interpretación gráfica del método de Euler también es sencilla (consulte la figura siguiente). De hecho, según la forma de la ecuación que se resuelve (), se deduce que el valor es el valor de la derivada de la función y(x) en el punto x=x i - y, por tanto, es igual a la tangente de el ángulo tangente dibujado a la gráfica de la función y(x) en el punto x =x i .
En el triángulo rectángulo de la figura puedes encontrar
De aquí surge la fórmula de Euler. Por lo tanto, la esencia del método de Euler es reemplazar la función y(x) en el segmento de integración con una línea recta tangente a la gráfica en el punto x=x i. Si la función deseada difiere mucho de la lineal en el segmento de integración, entonces el error de cálculo será significativo. El error del método de Euler es directamente proporcional al paso de integración:
Error~h
El proceso de cálculo se estructura de la siguiente manera. Para condiciones iniciales dadas x0 Y y 0 se puede calcular
Por tanto, se construye una tabla de valores de función y(x) con un determinado paso ( h) Por X en el segmento. Error al definir valor y(xi) En este caso, cuanto menor sea la longitud del paso elegido, menor será h(que está determinada por la precisión de la fórmula de integración).
Para h grande, el método de Euler es muy inexacto. Proporciona una aproximación cada vez más precisa a medida que disminuye el paso de integración. Si el segmento es demasiado grande, entonces cada sección se divide en N segmentos de integración y se aplica la fórmula de Euler a cada uno de ellos con un paso, es decir, el paso de integración h se toma menor que el paso de la cuadrícula en la que se encuentra la solución. está determinado.
Ejemplo:
Usando el método de Euler, construya una solución aproximada para el siguiente problema de Cauchy:
En una cuadrícula con un paso de 0,1 en el intervalo (6,5)
Solución:
Esta ecuación ya ha sido escrita en forma estándar, resuelta con respecto a la derivada de la función deseada.
Por lo tanto, para la ecuación a resolver tenemos
Tomemos el paso de integración igual al paso de la cuadrícula h = 0,1. En este caso, solo se calculará un valor para cada nodo de la cuadrícula (N=1). Para los primeros cuatro nodos de la cuadrícula, los cálculos serán los siguientes:
Los resultados completos (con precisión hasta el quinto decimal) se dan en la tercera columna: h =0,1 (N =1). A modo de comparación, la segunda columna de la tabla muestra los valores calculados a partir de la solución analítica de esta ecuación. 
.
La segunda parte de la tabla muestra el error relativo de las soluciones obtenidas. Se puede observar que en h =0,1 el error es muy grande, llegando al 100% para el primer nodo x =0,1.
Tabla 1 Solución de la ecuación por el método de Euler (para columnas se indica el paso de integración y el número de segmentos de integración N entre nodos de la grilla)
| X | Preciso solución | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | ||
| 0 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 |
| 0,1 | 0,004837 | 0,000000 | 0,002500 | 0,003688 | 0,004554 | 0,004767 | 0,004802 | 0,004829 |
| 0,2 | 0,018731 | 0,010000 | 0,014506 | 0,016652 | 0,018217 | 0,018603 | 0,018667 | 0,018715 |
| 0,3 | 0,040818 | 0,029000 | 0,035092 | 0,037998 | 0,040121 | 0,040644 | 0,040731 | 0,040797 |
| 0,4 | 0,070320 | 0,056100 | 0,063420 | 0,066920 | 0,069479 | 0,070110 | 0,070215 | 0,070294 |
| 0,5 | 0,106531 | 0,090490 | 0,098737 | 0,102688 | 0,105580 | 0,106294 | 0,106412 | 0,106501 |
| 0,6 | 0,148812 | 0,131441 | 0,140360 | 0,144642 | 0,147779 | 0,148554 | 0,148683 | 0,148779 |
| 0,7 | 0,196585 | 0,178297 | 0,187675 | 0,192186 | 0,195496 | 0,196314 | 0,196449 | 0,196551 |
| 0,8 | 0,249329 | 0,230467 | 0,240127 | 0,244783 | 0,248202 | 0,249048 | 0,249188 | 0,249294 |
| 0,9 | 0,306570 | 0,287420 | 0,297214 | 0,301945 | 0,305423 | 0,306284 | 0,306427 | 0,306534 |
| 1 | 0,367879 | 0,348678 | 0,358486 | 0,363232 | 0,366727 | 0,367592 | 0,367736 | 0,367844 |
Errores relativos de los valores de función calculados para diferentes h |
||||||||
| X | h | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
| norte | 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | |
| 0,1 | 100,00% | 48,32% | 23,76% | 5,87% | 1,46% | 0,73% | 0,18% | |
| 0,2 | 46,61% | 22,55% | 11,10% | 2,74% | 0,68% | 0,34% | 0,09% | |
| 0,3 | 28,95% | 14,03% | 6,91% | 1,71% | 0,43% | 0,21% | 0,05% | |
| 0,4 | 20,22% | 9,81% | 4,83% | 1,20% | 0,30% | 0,15% | 0,04% | |
| 0,5 | 15,06% | 7,32% | 3,61% | 0,89% | 0,22% | 0,11% | 0,03% | |
| 0,6 | 11,67% | 5,68% | 2,80% | 0,69% | 0,17% | 0,09% | 0,02% | |
| 0,7 | 9,30% | 4,53% | 2,24% | 0,55% | 0,14% | 0,07% | 0,02% | |
| 0,8 | 7,57% | 3,69% | 1,82% | 0,45% | 0,11% | 0,06% | 0,01% | |
| 0,9 | 6,25% | 3,05% | 1,51% | 0,37% | 0,09% | 0,05% | 0,01% | |
| 1 | 5,22% | 2,55% | 1,26% | 0,31% | 0,08% | 0,04% | 0,01% | |
Reduzcamos el paso de integración a la mitad, h = 0,05, en este caso, para cada nodo de la grilla, el cálculo se realizará en dos pasos (N = 2). Entonces, para el primer nodo x =0,1 obtenemos:
(6.6)
Esta fórmula resulta implícita con respecto a y i+1 (este valor está tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la expresión), es decir, es una ecuación con respecto a y i+1, que se puede resolver, por ejemplo, numéricamente, utilizando algún método iterativo (de esta forma, puede considerarse como una fórmula iterativa del método de iteración simple). Sin embargo, puedes hacerlo de otra manera y aproximadamente calcular el valor de una función en un nodo yo+1 usando la fórmula habitual:
,
que luego puede utilizarse en el cálculo según (6.6).
Esto da el método guna o el método de Euler con recálculo. Para cada nodo de integración se realiza la siguiente cadena de cálculos
(6.7)
Gracias a una fórmula de integración más precisa, el error del método Hün es proporcional al cuadrado del paso de integración.
Error~ h 2
El enfoque utilizado en el método de Gün se utiliza para construir los llamados métodos. pronóstico y corrección, que se discutirá más adelante.
Ejemplo:
Realicemos cálculos para la ecuación () utilizando el método de Hün.
Con el paso de integración h = 0,1 en el primer nodo de la red x 1 obtenemos:
Lo cual es mucho más preciso que los valores obtenidos por el método de Euler con el mismo paso de integración. La Tabla 2 a continuación muestra los resultados comparativos de los cálculos para h = 0,1 de los métodos de Euler y Gün.
Tabla 2 Solución de la ecuación por los métodos de Euler y Gün
| X | Preciso | El método de Gun | método de euler | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | rel. error | y | rel. error | ||
| 0 | 0,000000 | 0,00000 | 0,00000 | ||
| 0,1 | 0,004837 | 0,00500 | 3,36% | 0,00000 | 100,00% |
| 0,2 | 0,018731 | 0,01903 | 1,57% | 0,01000 | 46,61% |
| 0,3 | 0,040818 | 0,04122 | 0,98% | 0,02900 | 28,95% |
| 0,4 | 0,070320 | 0,07080 | 0,69% | 0,05610 | 20,22% |
| 0,5 | 0,106531 | 0,10708 | 0,51% | 0,09049 | 15,06% |
| 0,6 | 0,148812 | 0,14940 | 0,40% | 0,13144 | 11,67% |
| 0,7 | 0,196585 | 0,19721 | 0,32% | 0,17830 | 9,30% |
| 0,8 | 0,249329 | 0,24998 | 0,26% | 0,23047 | 7,57% |
| 0,9 | 0,306570 | 0,30723 | 0,21% | 0,28742 | 6,25% |
| 1 | 0,367879 | 0,36854 | 0,18% | 0,34868 | 5,22% |
Observemos un aumento significativo en la precisión de los cálculos del método Hün en comparación con el método de Euler. Por lo tanto, para el nodo x = 0,1, la desviación relativa del valor de la función determinada por el método de Huyn resulta ser 30 (!) veces menor. La misma precisión de los cálculos utilizando la fórmula de Euler se logra cuando el número de segmentos de integración N es aproximadamente 30. En consecuencia, cuando se utiliza el método Hün con la misma precisión de los cálculos, se necesitará aproximadamente 15 veces menos tiempo de computadora que cuando se utiliza el método de Euler. .
Comprobación de la estabilidad de la solución.
Una solución a una EDO en algún punto x i se llama estable si el valor de la función encontrado en ese punto y yo cambia poco a medida que disminuye el paso de integración. Por lo tanto, para comprobar la estabilidad es necesario realizar dos cálculos del valor ( y yo) – con paso de integración h y con un tamaño de paso reducido (por ejemplo, dos)
Como criterio de estabilidad, se puede utilizar la pequeñez del cambio relativo en la solución obtenida cuando se reduce el paso de integración (ε es un valor pequeño predeterminado)
Esta verificación se puede realizar para todas las soluciones en todo el rango de valores. X. Si no se cumple la condición, el paso se vuelve a dividir por la mitad y se encuentra una nueva solución, etc. hasta obtener una solución estable.
Métodos de Runge-Kutta
Es posible mejorar aún más la precisión de la resolución de una EDO de primer orden aumentando la precisión del cálculo aproximado de la integral en la expresión.
Ya hemos visto la ventaja de pasar de integrar usando la fórmula del rectángulo () a usar la fórmula del trapezoide () al aproximar esta integral.
Utilizando la probada fórmula de Simpson, puede obtener una fórmula aún más precisa para resolver el problema de Cauchy para la EDO de primer orden, el método de Runge-Kutta, ampliamente utilizado en la práctica informática.
La ventaja de los métodos de varios pasos de Adams para resolver EDO es que en cada nodo sólo se calcula un valor del lado derecho de la EDO: la función F(x,y). Las desventajas incluyen la imposibilidad de iniciar un método de varios pasos desde un único punto de partida, ya que los cálculos que utilizan la fórmula de k pasos requieren conocer el valor de la función en k nodos. Por lo tanto, es necesario obtener una solución (k-1) en los primeros nodos x 1, x 2, ..., x k-1 usando algún método de un solo paso, por ejemplo el método
Al resolver problemas científicos y de ingeniería, a menudo es necesario describir matemáticamente algún sistema dinámico. Esto se hace mejor en forma de ecuaciones diferenciales ( UE) o sistemas de ecuaciones diferenciales. Muy a menudo, este problema surge al resolver problemas relacionados con el modelado de la cinética de reacciones químicas y diversos fenómenos de transferencia (calor, masa, momento): transferencia de calor, mezcla, secado, adsorción, al describir el movimiento de macro y micropartículas.
En algunos casos, una ecuación diferencial se puede transformar a una forma en la que la derivada más alta se exprese explícitamente. Esta forma de escritura se denomina ecuación resuelta con respecto a la derivada más alta (en este caso, la derivada más alta está ausente en el lado derecho de la ecuación):
Una solución a una ecuación diferencial ordinaria es una función y(x) que, para cualquier x, satisface esta ecuación en un cierto intervalo finito o infinito. El proceso de resolver una ecuación diferencial se llama integrar una ecuación diferencial.
Históricamente, la primera y más sencilla forma de resolver numéricamente el problema de Cauchy para una EDO de primer orden es el método de Euler. Se basa en la aproximación de la derivada por la relación de incrementos finitos de las variables dependientes (y) e independientes (x) entre los nodos de una cuadrícula uniforme:
donde y i+1 es el valor deseado de la función en el punto x i+1.
La precisión del método de Euler se puede mejorar si se utiliza una fórmula de integración más precisa para aproximar la integral: fórmula trapezoidal.
Esta fórmula resulta implícita con respecto a y i+1 (este valor está tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la expresión), es decir, es una ecuación con respecto a y i+1, que se puede resolver, por ejemplo, numéricamente, utilizando algún método iterativo (en tal forma, puede considerarse como una fórmula iterativa del método de iteración simple).
Composición del trabajo de curso: El trabajo de curso consta de tres partes. La primera parte contiene una breve descripción de los métodos. En la segunda parte, la formulación y solución del problema. En la tercera parte: implementación de software en lenguaje informático.
El objetivo del trabajo del curso: estudiar dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales: el método de Euler-Cauchy y el método de Euler mejorado.
Diferenciación numérica
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas. Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales se dividen en dos categorías.
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
Ecuaciones diferenciales parciales.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas ecuaciones que contienen una o más derivadas de la función deseada. Se pueden escribir como
variable independiente
El orden más alto incluido en la ecuación (1) se llama orden de la ecuación diferencial.
La EDO (lineal) más simple es la ecuación (1) de orden resuelta con respecto a la derivada
Una solución a la ecuación diferencial (1) es cualquier función que, después de su sustitución en la ecuación, la convierte en una identidad.
El principal problema asociado con la EDO lineal se conoce como problema de Kasha:
Encuentre una solución a la ecuación (2) en forma de función que satisfaga la condición inicial (3)
Geométricamente, esto significa que se requiere encontrar la curva integral que pasa por el punto ) cuando se cumple la igualdad (2).
Numérico desde el punto de vista del problema de Kasha significa: se requiere construir una tabla de valores de funciones que satisfagan la ecuación (2) y la condición inicial (3) en un segmento con un determinado paso. Generalmente se supone que la condición inicial se especifica en el extremo izquierdo del segmento.
El método numérico más simple para resolver una ecuación diferencial es el método de Euler. Se basa en la idea de construir gráficamente una solución a una ecuación diferencial, pero este método también proporciona una manera de encontrar la función deseada en forma numérica o en una tabla.
Dejemos que se dé la ecuación (2) con la condición inicial, es decir, se ha planteado el problema de Kasha. Resolvamos primero el siguiente problema. Encuentre de la forma más sencilla el valor aproximado de la solución en un punto determinado donde hay un paso bastante pequeño. La ecuación (2) junto con la condición inicial (3) especifican la dirección de la tangente de la curva integral deseada en el punto con coordenadas
La ecuación tangente tiene la forma
Moviéndonos por esta tangente, obtenemos un valor aproximado de la solución en el punto:
Teniendo una solución aproximada en un punto, se puede repetir el procedimiento descrito anteriormente: construir una línea recta que pase por este punto con un coeficiente angular, y a partir de ella encontrar el valor aproximado de la solución en el punto
. Tenga en cuenta que esta recta no es tangente a la curva integral real, ya que el punto no está disponible para nosotros, pero si es lo suficientemente pequeño, los valores aproximados resultantes estarán cerca de los valores exactos de la solución.
Continuando con esta idea, construyamos un sistema de puntos igualmente espaciados.
Obtención de una tabla de valores de la función requerida.
El método de Euler consiste en aplicar cíclicamente la fórmula
Figura 1. Interpretación gráfica del método de Euler.
Los métodos de integración numérica de ecuaciones diferenciales, en los que se obtienen soluciones de un nodo a otro, se denominan paso a paso. El método de Euler es el representante más simple de los métodos paso a paso. Una característica de cualquier método paso a paso es que a partir del segundo paso, el valor inicial en la fórmula (5) es aproximado, es decir, el error en cada paso posterior aumenta sistemáticamente. El método más utilizado para evaluar la precisión de los métodos paso a paso para la solución numérica aproximada de EDO es el método de pasar un segmento determinado dos veces con un paso y con un paso.
1.1 Método de Euler mejorado
La idea principal de este método: el siguiente valor calculado por la fórmula (5) será más preciso si el valor de la derivada, es decir, el coeficiente angular de la línea recta que reemplaza la curva integral en el segmento, no se calcula a lo largo del borde izquierdo (es decir, en el punto), pero en el centro del segmento. Pero como el valor de la derivada entre puntos no se calcula, pasamos a los tramos dobles con el centro en el que se encuentra el punto, y la ecuación de la recta toma la forma:
Y la fórmula (5) toma la forma
La fórmula (7) se aplica solo para , por lo tanto, no se pueden obtener valores de ella, por lo tanto se encuentran usando el método de Euler, y para obtener un resultado más preciso hacen esto: desde el principio, usando la fórmula (5) encuentran el valor
(8)
En el punto y luego encontrado según la fórmula (7) con pasos
(9)
Una vez encontrados más cálculos en 
producido por la fórmula (7)
