Problema 1
El turista caminó la primera mitad del tramo recto del camino a una velocidad v 1 = 4,8 km/h, y la segunda mitad a una velocidad v 2 = 3,6 km/h. ¿A qué es igual? velocidad media¿Movimientos turísticos a lo largo de toda la ruta?
Solución. Al solucionar este problema, omitiremos algunos puntos de los consejos recomendados. No es necesario seleccionar un sistema de coordenadas y crear una ecuación que describa el movimiento del turista. Sólo es importante saber cuál es la velocidad media. (EN en este caso la velocidad promedio y el módulo de velocidad promedio coinciden.) La solución a este problema también es instructiva porque no se debe tener miedo de introducir temporalmente cantidades durante el proceso de solución, cuyos valores no se dan en el planteamiento del problema.
Denotemos todo el camino recorrido por el turista con la letra l (Fig. 1.39) y el tiempo durante el cual este camino estuvo recorrido con la letra t. Entonces, según la definición, la velocidad media del turista a lo largo de todo el recorrido es igual a
Arroz. 1.39
El tiempo t es la suma del tiempo t 1 que tarda el turista en recorrer la primera mitad del viaje y el tiempo t 2 que tarda el turista en recorrer la segunda mitad del viaje:
Sustituyendo esta expresión por el tiempo t del movimiento del turista en la fórmula (1.14.1), obtenemos:
Problema 2
Las coordenadas de un punto con movimiento rectilíneo uniforme en el plano XOY en el tiempo t = 2 s cambiaron de los valores iniciales x 0 = 5 m, y 0 = 7 m a los valores x = -3 m, y = 1 m Encuentra la velocidad absoluta del punto. Dibuja el vector velocidad en la figura.
Solución. Para encontrar el módulo de velocidad, necesita conocer las proyecciones de la velocidad en los ejes de coordenadas. De las ecuaciones x = x 0 + v x t e y = y 0 + v y t encontramos ambas proyecciones de velocidad.
Si un cuerpo se lanza en ángulo con respecto al horizonte, en vuelo se ve afectado por gravedad y fuerza de resistencia del aire. Si se desprecia la fuerza de resistencia, entonces la única fuerza que queda es la gravedad. Por tanto, debido a la 2ª ley de Newton, el cuerpo se mueve con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad; proyecciones de aceleración sobre los ejes de coordenadas ax = 0, ay = - g.
Figura 1. Características cinemáticas de un cuerpo lanzado formando un ángulo con la horizontal.
Cualquier movimiento complejo punto material se puede representar como una superposición de movimientos independientes a lo largo de los ejes de coordenadas, y en la dirección de diferentes ejes el tipo de movimiento puede diferir. En nuestro caso, el movimiento de un cuerpo volador se puede representar como una superposición de dos movimientos independientes: Movimiento uniforme a lo largo del eje horizontal (eje X) y movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical (eje Y) (Fig. 1).
Por tanto, las proyecciones de velocidad del cuerpo cambian con el tiempo de la siguiente manera:
donde $v_0$ es la velocidad inicial, $(\mathbf \alpha )$ es el ángulo de lanzamiento.
Con nuestra elección de origen, las coordenadas iniciales (Fig. 1) son $x_0=y_0=0$. Entonces obtenemos:
(1)
Analicemos las fórmulas (1). Determinemos el tiempo de movimiento del cuerpo arrojado. Para hacer esto, establezcamos la coordenada y igual a cero, porque en el momento del aterrizaje la altura del cuerpo es cero. De aquí obtenemos el tiempo de vuelo:
El segundo valor de tiempo en el que la altura es cero es cero, que corresponde al momento del lanzamiento, es decir este valor también tiene un significado físico.
Obtenemos la autonomía de vuelo a partir de la primera fórmula (1). El rango de vuelo es el valor de la coordenada x al final del vuelo, es decir en un tiempo igual a $t_0$. Sustituyendo el valor (2) en la primera fórmula (1), obtenemos:
De esta fórmula se desprende que el mayor alcance de vuelo se consigue con un ángulo de lanzamiento de 45 grados.
Mayor altura El levantamiento de un cuerpo arrojado se puede obtener a partir de la segunda fórmula (1). Para hacer esto, debe sustituir el valor del tiempo en esta fórmula, igual a la mitad tiempo de vuelo (2), porque Es en el punto medio de la trayectoria donde la altitud de vuelo es máxima. Haciendo cálculos obtenemos
De las ecuaciones (1) se puede obtener la ecuación de la trayectoria del cuerpo, es decir una ecuación que relaciona las coordenadas xey de un cuerpo durante el movimiento. Para hacer esto, necesitas expresar el tiempo a partir de la primera ecuación (1):
y sustitúyelo en la segunda ecuación. Entonces obtenemos:
Esta ecuación es la ecuación de la trayectoria del movimiento. Se puede observar que esta es la ecuación de una parábola con sus ramas hacia abajo, como lo indica el signo “-” delante del término cuadrático. Hay que tener en cuenta que el ángulo de lanzamiento $\alpha $ y sus funciones aquí son simplemente constantes, es decir números constantes.
Un cuerpo es lanzado con velocidad v0 formando un ángulo $(\mathbf \alpha )$ con respecto al horizonte. Tiempo de vuelo $t = 2 s$. ¿A qué altura Hmax se elevará el cuerpo?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
La ley del movimiento corporal tiene la forma:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
El vector de velocidad inicial forma un ángulo $(\mathbf \alpha )$ con el eje OX. Por eso,
\ \ \
Desde la cima de la montaña se lanza una piedra en un ángulo = 30$()^\circ$ con respecto al horizonte velocidad inicial$v_0 = 6m/s$. Esquina plano inclinado= 30$()^\circ$. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento caerá la piedra?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Coloquemos el origen de las coordenadas en el punto de lanzamiento, OX - a lo largo del plano inclinado hacia abajo, OY - perpendicular al plano inclinado hacia arriba. Características cinemáticas del movimiento:
Ley del movimiento:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
Sustituyendo el valor resultante $t_В$, encontramos $S$:
Teoría
Si un cuerpo se lanza en ángulo con respecto al horizonte, en vuelo se ve afectado por la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia del aire. Si se desprecia la fuerza de resistencia, entonces la única fuerza que queda es la gravedad. Por tanto, debido a la 2ª ley de Newton, el cuerpo se mueve con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad; las proyecciones de aceleración en los ejes de coordenadas son iguales una x = 0, y y= -g.
Cualquier movimiento complejo punto material se puede representar como una superposición de movimientos independientes a lo largo de los ejes de coordenadas, y en la dirección de diferentes ejes el tipo de movimiento puede diferir. En nuestro caso, el movimiento de un cuerpo volador se puede representar como la superposición de dos movimientos independientes: un movimiento uniforme a lo largo del eje horizontal (eje X) y un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical (eje Y) (Fig. 1) .
Por tanto, las proyecciones de velocidad del cuerpo cambian con el tiempo de la siguiente manera:
,
donde es la velocidad inicial, α es el ángulo de lanzamiento.
Por tanto, las coordenadas del cuerpo cambian así:
Con nuestra elección del origen de coordenadas, las coordenadas iniciales (Fig. 1) Entonces
El segundo valor de tiempo en el que la altura es cero es cero, que corresponde al momento del lanzamiento, es decir este valor también tiene un significado físico.
Obtenemos la autonomía de vuelo a partir de la primera fórmula (1). El rango de vuelo es el valor de las coordenadas. X al final del vuelo, es decir en un tiempo igual a t 0. Sustituyendo el valor (2) en la primera fórmula (1), obtenemos:
| . | (3) |
De esta fórmula se desprende que el mayor alcance de vuelo se consigue con un ángulo de lanzamiento de 45 grados.
La altura máxima de elevación del cuerpo lanzado se puede obtener a partir de la segunda fórmula (1). Para hacer esto, debe sustituir un valor de tiempo igual a la mitad del tiempo de vuelo (2) en esta fórmula, porque Es en el punto medio de la trayectoria donde la altitud de vuelo es máxima. Haciendo cálculos obtenemos
Si la velocidad inicial de un cuerpo lanzado se dirige hacia arriba en un cierto ángulo con respecto al horizonte, entonces, en el momento inicial, el cuerpo tiene componentes de la velocidad inicial tanto en dirección horizontal como vertical (Fig. 178).
Arroz. 178. Trayectoria de un cuerpo lanzado formando un ángulo con la horizontal (en ausencia de resistencia del aire)
El problema difiere del considerado en el párrafo anterior en que la velocidad inicial no es igual a cero para el movimiento vertical. Para la componente horizontal se mantiene vigente todo lo dicho.
Introduzcamos ejes de coordenadas: un eje dirigido verticalmente hacia arriba y un eje horizontal ubicado en el mismo plano vertical con una velocidad inicial. La proyección de la velocidad inicial en el eje es igual a y en el eje es igual a (con la dirección de los ejes que se muestra en la Fig. 178 y ambas proyecciones son positivas). La aceleración del cuerpo es igual y, por tanto, siempre dirigida verticalmente hacia abajo. Por tanto, la proyección de la aceleración sobre el eje es igual a - y sobre el eje - cero.
Como no hay componente de aceleración en la dirección del eje, la proyección de la velocidad sobre el eje permanece constante e igual a su valor inicial. En consecuencia, el movimiento de la proyección del cuerpo sobre el eje será uniforme. El movimiento de proyección del cuerpo sobre el eje se produce en ambas direcciones (arriba y abajo) con la misma aceleración. Por lo tanto, se necesita el mismo tiempo para recorrer el camino hacia arriba desde una altura arbitraria hasta la altura de elevación k que para recorrer el camino hacia abajo desde la altura a. De ello se deduce que los puntos que son simétricos con respecto al vértice (por ejemplo, puntos y ) se encuentran a la misma altura. Esto significa que la trayectoria es simétrica con respecto al punto. Pero ya hemos aclarado la naturaleza de la trayectoria del cuerpo después del punto en el § 112. Se trata de una parábola, que se describe como un cuerpo que vuela con una velocidad inicial horizontal. En consecuencia, todo lo que dijimos sobre la trayectoria del cuerpo en el párrafo anterior se aplica igualmente al caso que nos ocupa, sólo que en lugar de “media parábola” el cuerpo describe una “parábola completa”, simétrica con respecto al punto.
También se puede comprobar el resultado obtenido utilizando un chorro de agua que sale de un tubo inclinado (Fig. 179). Si colocas una pantalla con parábolas predibujadas detrás del chorro, podrás ver que los chorros de agua también representan parábolas.
Arroz. 179. El chorro tiene forma de parábola, cuanto más alargada, mayor es la velocidad inicial del chorro.
La altura de elevación y la distancia que recorrerá el cuerpo lanzado en dirección horizontal antes de regresar a la altura desde la que el cuerpo comenzó su movimiento, es decir, la distancia en la Fig. 178, dependen del módulo y la dirección de la velocidad inicial. En primer lugar, para una dirección dada de la velocidad inicial, tanto la altura como la distancia horizontal son mayores cuanto mayor es el módulo de la velocidad inicial (Fig. 179).
Para velocidades iniciales que son idénticas en magnitud, la distancia que recorre un cuerpo en dirección horizontal antes de regresar a su altura original depende de la dirección de la velocidad inicial (figura 180). A medida que aumenta el ángulo entre la velocidad y el horizonte, esta distancia aumenta primero en el ángulo b que alcanza; valor más alto, y luego comienza a disminuir nuevamente.
Calculemos el movimiento de un cuerpo lanzado hacia arriba formando un ángulo con el horizonte con una velocidad inicial (Fig. 178). Recordemos que la proyección de la velocidad del cuerpo sobre el eje es constante e igual a . Por tanto, la coordenada del cuerpo en el momento del tiempo es igual a
. (113.1)
Arroz. 180. A medida que aumenta la inclinación de un chorro que fluye a una velocidad determinada, la distancia sobre la que choca primero aumenta, alcanza su valor máximo con una inclinación de , y luego disminuye
El movimiento de la proyección del cuerpo sobre el eje será inicialmente uniformemente lento. Después de que el cuerpo alcance la cima de la trayectoria, la proyección de velocidad se volverá negativa, es decir, del mismo signo que la proyección de aceleración, como resultado de lo cual comenzará el movimiento descendente uniformemente acelerado del cuerpo. La proyección de la velocidad sobre el eje cambia con el tiempo según la ley.
. (113.2)
En la cima de la trayectoria, la velocidad del cuerpo tiene sólo una componente horizontal y se vuelve cero. Para encontrar el momento en el que el cuerpo alcanza la cima de la trayectoria, sustituimos en la fórmula (113.2) e igualamos la expresión resultante a cero:
; desde aquí (113.3)
El valor determinado por la fórmula (113.3) da el tiempo durante el cual el cuerpo lanzado alcanza la cima de la trayectoria. Si el punto de lanzamiento y el punto de caída del cuerpo se encuentran al mismo nivel, entonces el tiempo total de vuelo será igual a:, es decir, al lanzar el cuerpo verticalmente hacia arriba.
113.1. Una piedra lanzada hacia arriba desde el suelo formando un ángulo con el horizonte cae al suelo a una distancia de 14 m. Encuentre las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial de la piedra si el vuelo completo duró 2 s. Encuentra la mayor altura de la piedra sobre el suelo. Desprecie la resistencia del aire.
113.2. Un bombero dirige un chorro de agua hacia el techo de una casa de 15 m de altura. Por encima del techo de la casa, el chorro se eleva 5 m. ¿A qué distancia del bombero (contando horizontalmente) caerá sobre el techo? sale de la manguera a una velocidad de 25 m/s? Desprecie la resistencia del aire.
