Tarea número 1
La lógica es simple: haremos lo que hicimos antes, ¡sin importar que ahora las funciones trigonométricas tienen un argumento más complejo!
Si tuviéramos que resolver una ecuación de la forma:
Luego escribiríamos la siguiente respuesta:
O (desde)
Pero ahora nuestro papel lo juega esta expresión:
Entonces podemos escribir:
¡Nuestro objetivo con usted es asegurarnos de que el lado izquierdo quede simple, sin “impurezas”!
¡Vamos a deshacernos de ellos poco a poco!
Primero, eliminemos el denominador en: para hacer esto, multipliquemos nuestra igualdad por:
Ahora eliminémoslo dividiendo ambas partes:
Ahora deshagámonos de los ocho:
La expresión resultante se puede escribir como 2 series de soluciones (por analogía con una ecuación cuadrática, donde sumamos o restamos el discriminante)
¡Necesitamos encontrar la raíz negativa más grande! Está claro que tenemos que solucionarlo.
Veamos primero el primer episodio:
Está claro que si tomamos acabaremos con números positivos, pero no nos interesan.
Entonces debes tomarlo como negativo. Déjalo ser.
Cuando la raíz será más estrecha:
¡¡Y hay que encontrar el mayor negativo!! Así que ve a lado negativo Aquí ya no tiene sentido. Y la raíz negativa más grande de esta serie será igual a.
Ahora veamos la segunda serie:
Y nuevamente sustituimos: , entonces:
¡No me interesa!
¡Entonces no tiene sentido seguir aumentando! ¡Reducámoslo! Vamos entonces:
¡Encaja!
Déjalo ser. Entonces
Entonces, ¡la raíz negativa más grande!
Respuesta:
Tarea número 2
Resolvemos nuevamente, independientemente del argumento del coseno complejo:
Ahora volvemos a expresar por la izquierda:
Multiplica ambos lados por
Dividir ambos lados por
Sólo queda moverlo hacia la derecha, cambiando su signo de menos a más.
Nuevamente obtenemos 2 series de raíces, una con y otra con.
Necesitamos encontrar la raíz negativa más grande. Veamos el primer episodio:
Está claro que obtendremos la primera raíz negativa en, será igual y será la raíz negativa más grande en 1 serie.
Para la segunda serie
La primera raíz negativa también se obtendrá en y será igual a. Desde entonces es la raíz negativa más grande de la ecuación.
Respuesta: .
Tarea número 3
Resolvemos, independientemente del argumento tangente complejo.
Ahora bien, no parece complicado, ¿verdad?
Como antes, expresamos en el lado izquierdo:
Bueno, eso es genial, ¡aquí solo hay una serie de raíces! Encontremos nuevamente el mayor negativo.
Está claro que resulta si lo dejas. Y esta raíz es igual.
Respuesta:
Ahora intente resolver usted mismo los siguientes problemas.
¿Listo? Comprobemos. No describiré en detalle todo el algoritmo de solución; me parece que ya ha recibido suficiente atención anteriormente.
Bueno, ¿está todo bien? ¡Oh, esos desagradables senos nasales, siempre tienen algún tipo de problema!
Bueno, ¡ahora puedes resolver ecuaciones trigonométricas simples!
vamos a expresar
La raíz positiva más pequeña se obtiene si ponemos, ya que, entonces
Respuesta:
La raíz positiva más pequeña se obtiene en.
Será igual.
Respuesta: .
Cuando lo consigamos, cuando lo tengamos.
Respuesta: .
Este conocimiento le ayudará a resolver muchos problemas que encontrará en el examen.
Si está solicitando una calificación de “5”, entonces solo necesita continuar leyendo el artículo para nivel medio que se dedicará a resolver ecuaciones trigonométricas más complejas (tarea C1).
En este artículo describiré resolver ecuaciones trigonométricas más complejas y cómo seleccionar sus raíces. Aquí me basaré en los siguientes temas:
Las ecuaciones trigonométricas más complejas son la base para problemas avanzados. Requieren cómo resolver la ecuación misma en vista general y encuentre las raíces de esta ecuación que pertenecen a un determinado intervalo dado.
Resolver ecuaciones trigonométricas se reduce a dos subtareas:
Cabe señalar que el segundo no siempre es necesario, pero en la mayoría de los ejemplos aún se requiere la selección. Pero si no es necesario, entonces podemos simpatizar con usted; esto significa que la ecuación es bastante compleja en sí misma.
Mi experiencia en el análisis de problemas C1 muestra que generalmente se dividen en las siguientes categorías.
En pocas palabras: si te atrapan una de las ecuaciones de los primeros tres tipos, entonces considérate afortunado. Para ellos, por regla general, también es necesario seleccionar raíces que pertenezcan a un intervalo determinado.
Si te encuentras con una ecuación del tipo 4, entonces tienes menos suerte: necesitas jugar con ella por más tiempo y con más cuidado, pero muy a menudo no requiere una selección adicional de raíces. No obstante, analizaré este tipo de ecuaciones en el próximo artículo, y este lo dedicaré a resolver ecuaciones de los tres primeros tipos.
Lo más importante que debes recordar para resolver este tipo de ecuación es
Como muestra la práctica, este conocimiento suele ser suficiente. Veamos algunos ejemplos:
Aquí, como prometí, las fórmulas de reducción funcionan:
Entonces mi ecuación se verá así:
Entonces mi ecuación tomará la siguiente forma:
Un estudiante miope podría decir: ¡ahora reduciré ambos lados, obtendré la ecuación más simple y disfrutaré de la vida! ¡Y se equivocará amargamente!
| RECUERDA: ¡NUNCA PUEDES REDUCIR AMBOS LADOS DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA POR UNA FUNCIÓN QUE CONTIENE UNA DESCONOCIDA! ¡PARA QUE PIERDAS TUS RAÍCES! |
Entonces, ¿qué hacer? Sí, es sencillo, mueve todo a un lado y saca el factor común:
Bueno, lo factorizamos en factores, ¡hurra! Ahora decidamos:
La primera ecuación tiene raíces:
Y el segundo:
Esto completa la primera parte del problema. Ahora necesitas seleccionar las raíces:
La brecha es así:
O también se puede escribir así:
Bueno, vayamos a las raíces:
Primero, trabajemos con el primer episodio (¡y es más simple, por decir lo menos!)
Dado que nuestro intervalo es completamente negativo, no es necesario tomar intervalos no negativos, aún así darán raíces no negativas.
Entonces, tomémoslo: es demasiado, no acierta.
Entonces déjalo así, no volví a golpearlo.
Un intento más, luego, ¡sí, lo tengo! ¡Se ha encontrado la primera raíz!
Disparo de nuevo: ¡luego le doy de nuevo!
Bueno, una vez más: : - esto ya es un vuelo.
Entonces de la primera serie hay 2 raíces que pertenecen al intervalo: .
Estamos trabajando con la segunda serie (estamos construyendo a la potencia según la regla):
¡No alcanzar!
¡Otra vez echándolo de menos!
¡Otra vez echándolo de menos!
¡Entiendo!
¡Vuelo!
Por tanto, mi intervalo tiene las siguientes raíces:
Este es el algoritmo que usaremos para resolver todos los demás ejemplos. Practiquemos juntos con un ejemplo más.
Solución:
De nuevo las famosas fórmulas de reducción:
¡No intentes recortar de nuevo!
La primera ecuación tiene raíces:
Y el segundo:
Ahora de nuevo la búsqueda de raíces.
Comenzaré con el segundo episodio, ¡ya sé todo por el ejemplo anterior! Mira y asegúrate de que las raíces pertenecientes al intervalo sean las siguientes:
Ahora el primer episodio y es más sencillo:
Si - adecuado
Si eso también está bien
Si ya es un vuelo.
Entonces las raíces quedarán de la siguiente manera:
Bueno, ¿te queda clara la técnica? ¿Resolver ecuaciones trigonométricas ya no parece tan difícil? Luego resuelva rápidamente los siguientes problemas usted mismo y luego resolveremos otros ejemplos:
Y nuevamente la fórmula de reducción:
Primera serie de raíces:
Segunda serie de raíces:
Comenzamos la selección para la brecha.
Respuesta: , .
Una agrupación bastante complicada en factores (usaré la fórmula del seno del doble ángulo):
entonces o
Esta es una solución general. Ahora necesitamos seleccionar las raíces. El problema es que no podemos decir valor exacto un ángulo cuyo coseno es igual a un cuarto. Por lo tanto, no puedo simplemente deshacerme del arco coseno, ¡qué pena!
Lo que puedo hacer es darme cuenta de que sí, entonces.
Creemos una tabla: intervalo:
Bueno, a través de búsquedas dolorosas llegamos a la decepcionante conclusión de que nuestra ecuación tiene una raíz en el intervalo indicado: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Una ecuación que parece aterradora. Sin embargo, se puede resolver de forma muy sencilla aplicando la fórmula del seno del doble ángulo:
Reducámoslo a 2:
Agrupemos el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto y saquemos los factores comunes:
Está claro que la primera ecuación no tiene raíces, y ahora consideremos la segunda:
En general, iba a detenerme un poco más tarde en resolver este tipo de ecuaciones, pero como apareció, no hay nada que hacer, tengo que resolverlo...
Ecuaciones de la forma:
Esta ecuación se resuelve dividiendo ambos lados por:
Por tanto, nuestra ecuación tiene una única serie de raíces:
Necesitamos encontrar aquellos que pertenecen al intervalo: .
Construyamos una tabla nuevamente, como hice antes:
Respuesta: .
Ecuaciones reducidas a la forma:
Bueno, ahora es el momento de pasar a la segunda parte de ecuaciones, especialmente porque ya he contado en qué consiste la solución de ecuaciones trigonométricas de un nuevo tipo. Pero vale la pena repetir que la ecuación es de la forma
Resuelto dividiendo ambos lados por coseno:
Ejemplo 1.
El primero es bastante sencillo. Muévete hacia la derecha y aplica la fórmula del coseno de doble ángulo:
¡Sí! Ecuación de la forma: . Divido ambas partes por
Realizamos análisis de raíces:
Brecha:
Respuesta:
Ejemplo 2.
Todo también es bastante trivial: abramos los corchetes de la derecha:
Identidad trigonométrica básica:
Seno de doble ángulo:
Finalmente obtenemos:
Cribado de raíces: intervalo.
Respuesta: .
Bueno, ¿a ti te gusta la técnica, no es demasiado complicada? Espero que no. Podemos hacer una reserva inmediatamente: en forma pura Las ecuaciones que se reducen inmediatamente a una ecuación tangente son bastante raras. Normalmente, esta transición (división por coseno) es sólo una parte de más tarea compleja. Aquí te dejamos un ejemplo para que practiques:
Comprobemos:
La ecuación se puede resolver inmediatamente; basta con dividir ambos lados por:
Detección de raíces:
Respuesta: .
De una forma u otra, todavía tenemos que encontrar ecuaciones del tipo que acabamos de examinar. Sin embargo, todavía es demasiado pronto para dar por terminado el proceso: todavía hay una “capa” más de ecuaciones que no hemos analizado. Entonces:
Aquí todo es transparente: miramos de cerca la ecuación, la simplificamos tanto como sea posible, hacemos una sustitución, la resolvemos, ¡hacemos una sustitución inversa! En palabras todo es muy fácil. Veámoslo en acción:
Ejemplo.
Bueno, ¡aquí se nos sugiere el reemplazo!
Entonces nuestra ecuación se convertirá en esto:
La primera ecuación tiene raíces:
Y el segundo es así:
Ahora encontremos las raíces pertenecientes al intervalo.
Respuesta: .
Veamos juntos un ejemplo un poco más complejo:
Aquí el reemplazo no es visible de inmediato, además, no es muy obvio. Pensemos primero: ¿qué podemos hacer?
Podemos, por ejemplo, imaginar
Y al mismo tiempo
Entonces mi ecuación tomará la forma:
Y ahora atención, concéntrate:
Dividamos ambos lados de la ecuación por:
De repente tu y yo llegamos ecuación cuadrática¡relativamente! Hagamos un reemplazo, luego obtenemos:
La ecuación tiene las siguientes raíces:
Una segunda serie de raíces desagradable, ¡pero no se puede hacer nada! Seleccionamos raíces en el intervalo.
También debemos considerar que
Desde y entonces
Respuesta:
Para reforzar esto antes de que resuelvas los problemas tú mismo, aquí tienes otro ejercicio:
Aquí debes mantener los ojos abiertos: ¡ahora tenemos denominadores que pueden ser cero! ¡Por lo tanto, debes estar especialmente atento a las raíces!
En primer lugar, necesito reorganizar la ecuación para poder hacer una sustitución adecuada. No se me ocurre nada mejor ahora que reescribir la tangente en términos de seno y coseno:
Ahora pasaré del coseno al seno usando la identidad trigonométrica básica:
Y finalmente, llevaré todo a un denominador común:
Ahora puedo pasar a la ecuación:
Pero en (es decir, en).
Ahora todo está listo para ser reemplazado:
Entonces o
Sin embargo, tenga en cuenta que si, ¡al mismo tiempo!
¿Quién sufre esto? El problema de la tangente es que no está definida cuando el coseno es igual a cero (se produce la división por cero).
Así, las raíces de la ecuación son:
Ahora tamizamos las raíces en el intervalo:
| - encaja | |
| - exagerar |
Por tanto, nuestra ecuación tiene una raíz única en el intervalo y es igual.
Verás: la aparición de un denominador (¡al igual que la tangente, conlleva ciertas dificultades con las raíces! ¡Aquí hay que tener más cuidado!).
Bueno, tú y yo casi hemos terminado de analizar ecuaciones trigonométricas, queda muy poco para resolver dos problemas por tu cuenta. Aquí están.
¿Decidido? ¿No es muy difícil? Comprobemos:
Sustituye en la ecuación:
Reescribamos todo mediante cosenos para que sea más fácil realizar el reemplazo:
Ahora es fácil hacer un reemplazo:
Está claro que es una raíz extraña, ya que la ecuación no tiene soluciones. Entonces:
Buscamos las raíces que necesitamos en el intervalo.
Respuesta: .
Entonces o
| - ¡encaja! | - ¡encaja! | |
| - ¡encaja! | - ¡encaja! | |
| - ¡mucho! | - ¡también mucho! |
Respuesta:
Bueno, ¡eso es todo ahora! Pero la resolución de ecuaciones trigonométricas no termina ahí; nos quedamos atrás con la mayor cantidad; casos complejos: cuando hay irracionalidad o varios tipos de “denominadores complicados” en las ecuaciones. Veremos cómo resolver este tipo de tareas en un artículo para un nivel avanzado.
Además de las ecuaciones trigonométricas analizadas en los dos artículos anteriores, consideraremos otra clase de ecuaciones que requieren un análisis aún más cuidadoso. Estos ejemplos trigonométricos contienen irracionalidad o un denominador, lo que dificulta su análisis.. Sin embargo, es posible que encuentre estas ecuaciones en la Parte C del examen. Sin embargo, cada nube tiene un lado positivo: para tales ecuaciones, por regla general, ya no se plantea la cuestión de cuál de sus raíces pertenece a un intervalo dado. No nos andemos con rodeos, sino que vayamos directamente a los ejemplos trigonométricos.
Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación y encuentra las raíces que pertenecen al segmento.
Solución:
¡Tenemos un denominador que no debería ser igual a cero! Entonces resolver esta ecuación es lo mismo que resolver el sistema
Resolvamos cada una de las ecuaciones:
Y ahora el segundo:
Ahora veamos la serie:
Está claro que esta opción no nos conviene, ya que en este caso nuestro denominador se pone a cero (ver la fórmula de las raíces de la segunda ecuación)
Si es así, ¡todo está en orden y el denominador no es cero! Entonces las raíces de la ecuación son las siguientes: , .
Ahora seleccionamos las raíces pertenecientes al intervalo.
| - no adecuado | - encaja | |
| - encaja | - encaja | |
| exagerar | exagerar |
Entonces las raíces son las siguientes:
Verá, incluso la aparición de una pequeña alteración en la forma del denominador afectó significativamente la solución de la ecuación: descartamos una serie de raíces que anulaban el denominador. Las cosas pueden complicarse aún más si te encuentras con ejemplos trigonométricos que son irracionales.
Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación:
Solución:
Bueno, al menos no hay que quitarle las raíces, ¡y eso es bueno! Primero resolvamos la ecuación, independientemente de la irracionalidad:
Entonces, ¿eso es todo? ¡No, ay, sería demasiado fácil! Debemos recordar que bajo la raíz sólo pueden aparecer números no negativos. Entonces:
La solución a esta desigualdad es:
Ahora queda por descubrir si parte de las raíces de la primera ecuación terminaron inadvertidamente donde la desigualdad no se cumple.
Para hacer esto, puedes usar nuevamente la tabla:
| : , Pero | ¡No! | |
| ¡Sí! | ||
| ¡Sí! |
¡Así, una de mis raíces “se cayó”! Resulta si lo dejas. Entonces la respuesta se puede escribir de la siguiente manera:
Respuesta:
Verás, ¡la raíz requiere aún más atención! Hagámoslo más complicado: déjalo ahora debajo de mi raíz. función trigonométrica.
Ejemplo 3.
Como antes: primero resolveremos cada uno por separado, y luego pensaremos en lo que hemos hecho.
Ahora la segunda ecuación:
Ahora lo más difícil es saber si se obtienen valores negativos bajo la raíz aritmética si sustituimos allí las raíces de la primera ecuación:
El número debe entenderse en radianes. Dado que un radianes equivale aproximadamente a grados, los radianes son del orden de grados. Esta es la esquina del segundo cuarto. ¿Cuál es el signo del coseno del segundo cuarto? Menos. ¿Qué pasa con el seno? Más. Entonces, ¿qué podemos decir sobre la expresión?
Él menos de cero!
Esto significa que no es la raíz de la ecuación.
Ahora es el momento.
Comparemos este número con cero.
La cotangente es una función que decrece en 1 trimestre (cuanto menor es el argumento, mayor es la cotangente). los radianes son aproximadamente grados. Al mismo tiempo
desde entonces y por lo tanto
,
Respuesta: .
¿Podría volverse más complicado? ¡Por favor! Será más difícil si la raíz sigue siendo una función trigonométrica y la segunda parte de la ecuación vuelve a ser una función trigonométrica.
Cuantos más ejemplos trigonométricos, mejor, consulte a continuación:
Ejemplo 4.
La raíz no es adecuada debido al coseno limitado.
Ahora el segundo:
Al mismo tiempo, por definición de raíz:
Debemos recordar el círculo unitario: es decir, aquellos cuartos donde el seno es menor que cero. ¿Cuáles son estos cuartos? Tercero y cuarto. Entonces nos interesarán aquellas soluciones de la primera ecuación que se encuentran en el tercer o cuarto trimestre.
La primera serie da raíces que se encuentran en la intersección del tercer y cuarto cuarto. La segunda serie, diametralmente opuesta a ella, da lugar a raíces que se encuentran en el borde del primer y segundo cuarto. Por tanto, esta serie no es adecuada para nosotros.
Respuesta: ,
Y otra vez Ejemplos trigonométricos con "irracionalidad difícil". ¡No solo tenemos nuevamente la función trigonométrica debajo de la raíz, sino que ahora también está en el denominador!
Ejemplo 5.
Bueno, no se puede hacer nada, hacemos lo mismo que antes.
Ahora trabajamos con el denominador:
No quiero resolver la desigualdad trigonométrica, así que haré algo inteligente: tomaré y sustituiré mi serie de raíces en la desigualdad:
Si - es par, entonces tenemos:
ya que todos los ángulos de visión se encuentran en el cuarto trimestre. Y de nuevo la sagrada pregunta: ¿cuál es el signo del seno en el cuarto cuarto? Negativo. Entonces la desigualdad
Si es impar, entonces:
¿En qué cuarto se encuentra el ángulo? Esta es la esquina del segundo cuarto. Entonces todas las esquinas vuelven a ser las esquinas del segundo cuarto. El seno allí es positivo. ¡Justo lo que necesitas! Entonces la serie:
¡Encaja!
Tratamos la segunda serie de raíces de la misma manera:
Sustituimos en nuestra desigualdad:
Si - incluso, entonces
Córners del primer cuarto. El seno allí es positivo, lo que significa que la serie es adecuada. Ahora bien, si es impar, entonces:
¡También encaja!
Bueno, ¡ahora anotamos la respuesta!
Respuesta:
Bueno, este fue quizás el caso que requirió más mano de obra. Ahora te ofrezco problemas para que los resuelvas por tu cuenta.
Soluciones:
Segunda ecuación:
Selección de raíces que pertenecen al intervalo.
Respuesta:
O
o
Pero
Consideremos: . Si - incluso, entonces
- ¡no encaja!
Si es impar: ¡adecuado!
Esto significa que nuestra ecuación tiene la siguiente serie de raíces:
o
Selección de raíces en el intervalo:
| - no adecuado | - encaja | |
| - encaja | - mucho | |
| - encaja | muchos |
Respuesta: , .
O
Desde entonces la tangente no está definida. ¡Descartamos inmediatamente esta serie de raíces!
Segunda parte:
Al mismo tiempo, según DZ se requiere que
Comprobamos las raíces encontradas en la primera ecuación:
Si el signo:
Ángulos del primer cuarto donde la tangente es positiva. ¡No encaja!
Si el signo:
Esquina del cuarto cuarto. Allí la tangente es negativa. Encaja. Anotamos la respuesta:
Respuesta: , .
Hemos analizado juntos ejemplos trigonométricos complejos en este artículo, pero debes resolver las ecuaciones tú mismo.
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está estrictamente bajo el signo de la función trigonométrica.
Hay dos formas de resolver ecuaciones trigonométricas:
La primera forma es utilizar fórmulas.
La segunda forma es a través del círculo trigonométrico.
Le permite medir ángulos, encontrar sus senos, cosenos, etc.
Muy a menudo, en problemas de mayor complejidad nos encontramos ecuaciones trigonométricas que contienen módulo. La mayoría de ellos requieren un enfoque heurístico para la solución, que es completamente desconocido para la mayoría de los escolares.
Los problemas propuestos a continuación tienen como objetivo presentarle las técnicas más típicas para resolver ecuaciones trigonométricas que contienen un módulo.
Problema 1. Encuentra la diferencia (en grados) de las raíces positivas más pequeña y negativa más grande de la ecuación 1 + 2sen x |cos x| = 0.
Solución.
Ampliemos el módulo:
1) Si cos x ≥ 0, entonces la ecuación original tomará la forma 1 + 2sen x · cos x = 0.
Usando la fórmula del seno del doble ángulo, obtenemos:
1 + pecado 2x = 0; pecado 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n€Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Como cos x ≥ 0, entonces x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Si cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – pecado 2x = 0; pecado 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n€Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Dado que cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) La raíz negativa más grande de la ecuación: -π/4; raíz positiva más pequeña de la ecuación: 5π/4.
La diferencia requerida: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Respuesta: 270°.
Problema 2. Encuentre (en grados) la raíz positiva más pequeña de la ecuación |tg x| + 1/cos x = tanx.
Solución.
Ampliemos el módulo:
1) Si tan x ≥ 0, entonces
tan x + 1/cos x = tan x;
La ecuación resultante no tiene raíces.
2) Si tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sen x / cos x = 0;
(1 – 2sen x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 y cos x ≠ 0.
Usando la Figura 1 y la condición tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) La raíz positiva más pequeña de la ecuación es 5π/6. Convirtamos este valor a grados:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Respuesta: 150°.
Problema 3. Encuentra el número de raíces diferentes de la ecuación sen |2x| = cos 2x en el intervalo [-π/2; π/2].
Solución.
Escribamos la ecuación en la forma sin|2x| – cos 2x = 0 y considere la función y = sin |2x| – porque 2x. Como la función es par, encontraremos sus ceros para x ≥ 0.
pecado 2x – porque 2x = 0; Dividimos ambos lados de la ecuación por cos 2x ≠ 0, obtenemos:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n€Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Usando la paridad de la función, encontramos que las raíces de la ecuación original son números de la forma
± (π/8 + πn/2), donde n € Z.
Intervalo [-π/2; π/2] pertenecen a los números: -π/8; π/8.
Entonces, dos raíces de la ecuación pertenecen al intervalo dado.
Respuesta: 2.
Esta ecuación también podría resolverse abriendo el módulo.
Problema 4. Encuentra el número de raíces de la ecuación sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x en el intervalo [-π; 2π].
Solución.
1) Considere el caso en el que 2cos x – 1 > 0, es decir cos x > 1/2, entonces la ecuación toma la forma:
pecado x – pecado 2 x = pecado 2 x;
pecado x – 2sen 2 x = 0;
sen x(1 – 2sen x) = 0;
sen x = 0 o 1 – 2sen x = 0;
sen x = 0 o sen x = 1/2.
Usando la Figura 2 y la condición cos x > 1/2, encontramos las raíces de la ecuación:
x = π/6 + 2πn o x = 2πn, n € Z.
2) Considere el caso cuando 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
pecado x + pecado 2 x = pecado 2 x;
x = 2πn, n€Z.
Usando la Figura 2 y la condición cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Combinando los dos casos, obtenemos:
x = π/6 + 2πn o x = πn.
3) Intervalo [-π; 2π] pertenecen a las raíces: π/6; -π; 0; π; 2π.
Por tanto, el intervalo dado contiene cinco raíces de la ecuación.
Respuesta: 5.
Problema 5. Encuentra el número de raíces de la ecuación (x – 0,7) 2 |sen x| + sin x = 0 en el intervalo [-π; 2π].
Solución.
1) Si sen x ≥ 0, entonces la ecuación original toma la forma (x – 0,7) 2 sen x + sen x = 0. Después de quitar el factor común sen x de entre paréntesis, obtenemos:
pecado x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; dado que (x – 0,7) 2 + 1 > 0 para todo x real, entonces senx = 0, es decir x = πn, n€Z.
2) Si sen x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
pecado x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
senx = 0 o (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Dado que sen x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем raíz cuadrada de los lados izquierdo y derecho de la última ecuación, obtenemos:
x – 0,7 = 1 o x – 0,7 = -1, lo que significa x = 1,7 o x = -0,3.
Teniendo en cuenta la condición sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, lo que significa que sólo el número -0,3 es la raíz de la ecuación original.
3) Intervalo [-π; 2π] pertenecen a los números: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Por tanto, la ecuación tiene cinco raíces en un intervalo dado.
Respuesta: 5.
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una persona solo necesita usar otros nuevos tecnologías de la información, porque su uso correcto, y lo más importante, apropiado ayudará a aumentar la motivación en el estudio del tema, aumentará el interés y ayudará a comprender mejor. material requerido. Pero no olvides que el ordenador no enseña a pensar; la información recibida debe ser procesada, comprendida y recordada. Por ello, puedes recurrir a nuestro tutores en línea, que te ayudará a afrontar la resolución de problemas que te interesen.
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