Signos de paralelismo de dos rectas.
Teorema 1. Si, cuando dos rectas se cruzan con una secante:
los ángulos cruzados son iguales, o
los ángulos correspondientes son iguales, o
la suma de los ángulos de un lado es 180°, entonces
las lineas son paralelas(Figura 1).
Prueba. Nos limitamos a probar el caso 1.
Sean las líneas que se cruzan a y b transversales y los ángulos AB iguales. Por ejemplo, ∠ 4 = ∠ 6. Demostremos que a || b.
Supongamos que las rectas a y b no son paralelas. Luego se cortan en algún punto M y, por tanto, uno de los ángulos 4 o 6 será el ángulo externo del triángulo ABM. Para mayor precisión, sea ∠ 4 el ángulo externo del triángulo ABM y ∠ 6 el interno. Del teorema sobre ángulo externo triángulo se sigue que ∠ 4 es mayor que ∠ 6, y esto contradice la condición, lo que significa que las rectas a y 6 no se pueden cruzar, por lo que son paralelas.
Corolario 1. Dos rectas diferentes en un plano perpendicular a la misma recta son paralelas(Figura 2).
Comentario. La forma en que acabamos de demostrar el caso 1 del Teorema 1 se denomina método de prueba por contradicción o reducción al absurdo. Este método recibió su primer nombre porque al comienzo del argumento se hace una suposición que es contraria (opuesta) a lo que necesita ser probado. Se llama llevar al absurdo porque, razonando a partir de la suposición formulada, llegamos a una conclusión absurda (al absurdo). Recibir tal conclusión nos obliga a rechazar el supuesto hecho al principio y aceptar el que faltaba demostrar.
Tarea 1. Construya una recta que pase por un punto dado M y sea paralela a una recta dada a, que no pase por el punto M.
Solución. Trazamos una recta p que pasa por el punto M perpendicular a la recta a (Fig. 3).
Luego trazamos una recta b que pasa por el punto M perpendicular a la recta p. La línea b es paralela a la línea a según el corolario del Teorema 1.
Del problema considerado se desprende una conclusión importante:
a través de un punto que no está en una recta dada, siempre es posible trazar una recta paralela a la dada.
La propiedad principal de las rectas paralelas es la siguiente.
Axioma de rectas paralelas. Por un punto dado que no se encuentra en una recta dada, sólo pasa una recta paralela a la dada.
Consideremos algunas propiedades de las rectas paralelas que se derivan de este axioma.
1) Si una línea corta a una de dos líneas paralelas, entonces también corta a la otra (Fig. 4).
2) Si dos rectas diferentes son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas (Fig. 5).
El siguiente teorema también es cierto.
Teorema 2. Si dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, entonces:
los ángulos transversales son iguales;
los ángulos correspondientes son iguales;
la suma de los ángulos unilaterales es 180°.
Corolario 2. Si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también es perpendicular a la otra.(ver figura 2).
Comentario. El teorema 2 se llama la inversa del teorema 1. La conclusión del teorema 1 es la condición del teorema 2. Y la condición del teorema 1 es la conclusión del teorema 2. No todos los teoremas tienen una inversa, es decir, si este teorema es verdadero, entonces teorema inverso puede ser incorrecto.
Expliquemos esto usando el ejemplo del teorema de los ángulos verticales. Este teorema se puede formular de la siguiente manera: si dos ángulos son verticales, entonces son iguales. El teorema inverso sería: si dos ángulos son iguales, entonces son verticales. Y esto, por supuesto, no es cierto. Dos ángulos iguales no tienen por qué ser verticales.
Ejemplo 1. Dos rectas paralelas son atravesadas por una tercera. Se sabe que la diferencia entre dos ángulos internos unilaterales es de 30°. Encuentra estos ángulos.
Solución. Deje que la Figura 6 cumpla la condición.
Pregunta 1.¿Qué ángulos se llaman adyacentes?
Respuesta. Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado en común y los otros lados de estos ángulos son semirrectas complementarias.
En la Figura 31, los ángulos (a 1 b) y (a 2 b) son adyacentes. Tienen el lado b en común y los lados a 1 y a 2 son medias líneas adicionales.
Pregunta 2. demostrar que la cantidad esquinas adyacentes igual a 180°.
Respuesta. Teorema 2.1. La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Prueba. Sean ángulos adyacentes el ángulo (a 1 b) y el ángulo (a 2 b) (ver Fig. 31). El rayo b pasa entre los lados a 1 y a 2 de un ángulo recto. Por lo tanto, la suma de los ángulos (a 1 b) y (a 2 b) es igual al ángulo desplegado, es decir, 180°. Q.E.D.
Pregunta 3. Demuestre que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes también son iguales.
Respuesta.
Del teorema 2.1
De ello se deduce que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes son iguales.
Digamos que los ángulos (a 1 b) y (c 1 d) son iguales. Necesitamos demostrar que los ángulos (a 2 b) y (c 2 d) también son iguales.
La suma de los ángulos adyacentes es 180°. De esto se deduce que a 1 b + a 2 b = 180° y c 1 d + c 2 d = 180°. Por lo tanto, a 2 b = 180° - a 1 b y c 2 d = 180° - c 1 d. Como los ángulos (a 1 b) y (c 1 d) son iguales, obtenemos que a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Por la propiedad de transitividad del signo igual se deduce que a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Pregunta 4.¿Qué ángulo se llama recto (agudo, obtuso)?
Respuesta. Un ángulo igual a 90° se llama ángulo recto.
Un ángulo menor de 90° se llama ángulo agudo.
Un ángulo mayor de 90° y menor de 180° se llama obtuso.
Pregunta 5. Demuestre que un ángulo adyacente a un ángulo recto es un ángulo recto.
Respuesta. Del teorema de la suma de ángulos adyacentes se deduce que un ángulo adyacente a un ángulo recto es un ángulo recto: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Pregunta 6.¿Qué ángulos se llaman verticales?
Respuesta. Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son semirrectas complementarias de los lados del otro.
Pregunta 7. Pruebalo ángulos verticales son iguales.
Respuesta. Teorema 2.2. Los ángulos verticales son iguales.
Prueba. Sean (a 1 b 1) y (a 2 b 2) los ángulos verticales dados (Fig. 34). El ángulo (a 1 b 2) es adyacente al ángulo (a 1 b 1) y al ángulo (a 2 b 2). De aquí, usando el teorema de la suma de ángulos adyacentes, concluimos que cada uno de los ángulos (a 1 b 1) y (a 2 b 2) complementa el ángulo (a 1 b 2) en 180°, es decir Los ángulos (a 1 b 1) y (a 2 b 2) son iguales. Q.E.D.
Pregunta 8. Demuestre que si, cuando dos rectas se cortan, uno de los ángulos es recto, entonces los otros tres ángulos también son rectos.
Respuesta. Suponga que las líneas AB y CD se cortan en el punto O. Suponga que el ángulo AOD mide 90°. Como la suma de los ángulos adyacentes es 180°, obtenemos que AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. El ángulo COB es vertical al ángulo AOD, por lo que son iguales. Es decir, ángulo COB = 90°. El ángulo COA es vertical al ángulo BOD, por lo que son iguales. Es decir, ángulo DBO = 90°. Por tanto, todos los ángulos miden 90°, es decir, todos son ángulos rectos. Q.E.D.
Pregunta 9.¿Qué rectas se llaman perpendiculares? ¿Qué signo se utiliza para indicar la perpendicularidad de las líneas?
Respuesta. Dos rectas se llaman perpendiculares si se cortan en ángulo recto.
La perpendicularidad de las líneas se indica con el signo \(\perp\). La entrada \(a\perp b\) dice: "La línea a es perpendicular a la línea b".
Pregunta 10. Demuestra que a través de cualquier punto de una recta se puede trazar una recta perpendicular a él, y solo una.
Respuesta. Teorema 2.3. A través de cada línea puedes trazar una línea perpendicular a ella, y solo una.
Prueba. Sea a una recta dada y A un punto dado sobre ella. Denotamos por a 1 una de las medias líneas de la recta a con el punto inicial A (Fig. 38). Restamos un ángulo (a 1 b 1) igual a 90° de la media línea a 1. Entonces la recta que contiene el rayo b 1 será perpendicular a la recta a.
Supongamos que hay otra recta que también pasa por el punto A y es perpendicular a la recta a. Denotamos por c 1 la media línea de esta línea que se encuentra en el mismo semiplano que el rayo b 1 .
Los ángulos (a 1 b 1) y (a 1 c 1), cada uno igual a 90°, están dispuestos en un semiplano desde la media línea a 1. Pero desde la semilínea a 1 sólo se puede poner un ángulo igual a 90° en un semiplano dado. Por lo tanto, no puede haber otra recta que pase por el punto A y sea perpendicular a la recta a. El teorema ha sido demostrado.
Pregunta 11.¿Qué es perpendicular a una recta?
Respuesta. Una perpendicular a una recta dada es un segmento de una recta perpendicular a una recta dada, que tiene uno de sus extremos en su punto de intersección. Este extremo del segmento se llama base perpendicular.
Pregunta 12. Explica en qué consiste la prueba por contradicción.
Respuesta. El método de prueba que utilizamos en el teorema 2.3 se llama prueba por contradicción. Este método de prueba consiste en que primero hacemos una suposición opuesta a lo que establece el teorema. Luego, al razonar, apoyándonos en axiomas y teoremas probados, llegamos a una conclusión que contradice las condiciones del teorema, o uno de los axiomas, o un teorema previamente probado. Sobre esta base, concluimos que nuestra suposición era incorrecta y, por tanto, el enunciado del teorema es verdadero.
Pregunta 13.¿Cuál es la bisectriz de un ángulo?
Respuesta. La bisectriz de un ángulo es un rayo que emana del vértice del ángulo, pasa entre sus lados y divide el ángulo por la mitad.
Que se encuentran en el mismo plano y coinciden o no se cruzan. En algunas definiciones escolares, las líneas coincidentes no se consideran paralelas; esta definición no se considera aquí.
En la geometría de Lobachevsky en el plano que pasa por un punto. C fuera de esta línea AB hay una infinidad de rectas que no se cortan AB. De estos, paralelo a AB sólo se nombran dos. Derecho Cmi llamada recta equilátera (paralela) AB en la dirección de A A B, Si:
Una línea recta se define de manera similar. AB en la dirección de B A A .
Todas las demás líneas que no se cruzan con esta se llaman ultraparalelo o divergente.
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