Le ofrecemos una cómoda y gratuita calculadora online para resolver ecuaciones cuadráticas. Puede obtener y comprender rápidamente cómo se resuelven utilizando ejemplos claros.
Para producir resolver ecuaciones cuadráticas en línea, primero reduce la ecuación a apariencia general:
hacha 2 + bx + c = 0
Complete los campos del formulario en consecuencia:
| Cómo resolver ecuación cuadrática: | Tipos de raíces: |
|
1.
Reducir la ecuación cuadrática a su forma general: Vista general Аx 2 +Bx+C=0 Ejemplo: 3x - 2x 2 +1=-1 Reducir a -2x 2 +3x+2=0 2.
Encuentre el discriminante D. 3.
Encontrar las raíces de la ecuación. |
1.
Raíces reales. Además. x1 no es igual a x2 La situación ocurre cuando D>0 y A no es igual a 0. 2.
Las verdaderas raíces son las mismas. x1 es igual a x2 3.
Dos raíces complejas. x1=d+ei, x2=d-ei, donde i=-(1) 1/2 5.
La ecuación tiene innumerables soluciones. 6.
La ecuación no tiene soluciones. |
Ejemplo 1. Resolver una ecuación cuadrática ordinaria con diferentes raíces reales.
x 2 + 3 x -10 = 0
En esta ecuación
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Raíz cuadrada¡Lo denotaremos como el número 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Para comprobarlo, sustituyamos:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Ejemplo 2. Resolver una ecuación cuadrática con raíces reales coincidentes.
x2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – CA = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
sustituyamos
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Ejemplo 3. Resolver una ecuación cuadrática con raíces complejas.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
El discriminante es negativo: las raíces son complejas.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, donde I es la raíz cuadrada de -1
En realidad, estos son todos los casos posibles de resolución de ecuaciones cuadráticas.
Esperamos que nuestro calculadora online te será de mucha utilidad.
Si el material fue útil, puedes
( (3 * x – 1) = 0;
-(3 * x – 1) = 0;
Desde aquí vemos que hay una ecuación 3 * x – 1 = 0.
Para resolver la ecuación, determinamos qué propiedades tiene la ecuación:
De aquí obtenemos que a = 3, b = - 1, lo que significa que la ecuación tiene una raíz.
Sustituyamos el valor encontrado x = 1/3 en la expresión original |3 * x - 1| = 0, entonces obtenemos:
|3 * 1/3 - 1| = 0;
Para encontrar el valor de una expresión, primero calculamos la multiplicación o división por turno, luego sumamos o restamos. Es decir, obtenemos:
Esto significa que x = 1/3 es la raíz de la ecuación |3 * x - 1| = 0.
|3 * x - 1| = 0;
El módulo se abre con un signo más y menos. Obtenemos 2 ecuaciones:
1) 3 * x - 1 = 0;
Transferimos valores conocidos a un lado y valores desconocidos al otro. Al transferir valores, sus signos cambian al signo opuesto. Es decir, obtenemos:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;
2) - (3 * x - 1) = 0;
Abriendo los paréntesis. Dado que hay un signo menos delante de los paréntesis, cuando se expanden, los signos de los valores cambian al signo opuesto. Es decir, obtenemos:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Respuesta: x = 1/3.
Consideremos la ecuación x^2=a, donde a puede ser un número arbitrario. Existen tres casos de resolución de esta ecuación, dependiendo del valor que tome el número a (a0).
Consideremos cada caso por separado.
x^2=a, para un<0
Como el cuadrado de cualquier número real no puede ser un número negativo, la ecuación x^2=a, para a
x^2=a, con a=0
En este caso, la ecuación tiene una raíz. Esta raíz es el número 0. Dado que la ecuación se puede reescribir como x*x=0, a veces también se dice que esta ecuación tiene dos raíces que son iguales entre sí e iguales a 0.
x^2=a, para a>0
En este caso, la ecuación x^2=a, para a, se resuelve de la siguiente manera. Primero movemos a hacia el lado izquierdo.
De la definición de raíz cuadrada se deduce que a se puede escribir en el siguiente formulario: a=(√a)^2. Entonces la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:
x^2 - (√a)^2 = 0.
En el lado izquierdo vemos la fórmula para la diferencia de cuadrados, ampliémosla.
(x+√a)*(x-√a)=0;
El producto de dos paréntesis es igual a cero si al menos uno de ellos es igual a cero. Por eso,
Por lo tanto, x1=√a x2=-√a.
Esta solución se puede comprobar trazando un gráfico.
Por ejemplo, hagamos esto para la ecuación x^2 = 4.
Para hacer esto, necesitas construir dos gráficas y=x^2 e y=4. Y mira las coordenadas x de sus puntos de intersección. Las raíces deben ser 2 y -2. Todo es claramente visible en la figura.
I. Ecuaciones lineales
II. Ecuaciones cuadráticas
hacha 2 + bx +C= 0, a≠ 0, de lo contrario la ecuación se vuelve lineal
Las raíces de una ecuación cuadrática se pueden calcular. diferentes caminos, Por ejemplo:
Somos buenos resolviendo ecuaciones cuadráticas. Muchas ecuaciones de grados superiores se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas.
III. Ecuaciones reducidas a cuadráticas.
cambio de variable: a) ecuación bicuadrática hacha 2n+ bx norte+ C = 0,a ≠ 0,norte ≥ 2
2) ecuación simétrica de grado 3 – ecuación de la forma
3) ecuación simétrica de grado 4 – ecuación de la forma
hacha 4 + bx 3 + cx 2 +bx + a = 0, a≠ 0, coeficientes a b c b a o
hacha 4 + bx 3 + cx 2 –bx + a = 0, a≠ 0, coeficientes a b c (–b) a
Porque X= 0 no es una raíz de la ecuación, entonces es posible dividir ambos lados de la ecuación por X 2, entonces obtenemos: .
Haciendo la sustitución resolvemos la ecuación cuadrática. a(t 2 – 2) + por cierto + C = 0
Por ejemplo, resolvamos la ecuación. X 4 – 2X 3 – X 2 – 2X+ 1 = 0, divide ambos lados por X 2 ,
, después del reemplazo obtenemos la ecuación t 2 – 2t – 3 = 0
– la ecuación no tiene raíces.
4) Ecuación de la forma ( x–a)(x–b)(x-c)(x–d) = Hacha 2, coeficientes ab = CD
Por ejemplo, ( x+2)(+3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Multiplicando 1–4 y 2–3 paréntesis, obtenemos ( X 2 + 14X+ 24)(X 2 +11X + 24) = 4X 2, divide ambos lados de la ecuación por X 2, obtenemos:
Tenemos ( t+ 14)(t + 11) = 4.
5) Ecuación homogénea de grado 2: una ecuación de la forma P(x,y) = 0, donde P(x,y) es un polinomio, cada término del cual tiene grado 2.
Respuesta: -2; -0,5; 0
IV. Todas las ecuaciones anteriores son reconocibles y típicas, pero ¿qué pasa con las ecuaciones de forma arbitraria?
Sea un polinomio dado PAG norte ( X) = a norte X norte+ a n-1 X n-1 + ...+ a 1x+ a 0 , donde a norte ≠ 0
Consideremos el método para reducir el grado de la ecuación.
Se sabe que si los coeficientes a son números enteros y a n = 1, entonces las raíces enteras de la ecuación PAG norte ( X) = 0 están entre los divisores del término libre a 0. Por ejemplo, X 4 + 2X 3 – 2X 2 – 6X+ 5 = 0, los divisores del número 5 son los números 5; -5; 1; -1. Entonces PAG 4 (1) = 0, es decir X= 1 es la raíz de la ecuación. Bajemos el grado de la ecuación. PAG 4 (X) = 0 dividiendo el polinomio con “esquina” por el factor x –1, obtenemos
PAG 4 (X) = (X – 1)(X 3 + 3X 2 + X – 5).
Asimismo, PAG 3 (1) = 0, entonces PAG 4 (X) = (X – 1)(X – 1)(X 2 + 4X+5), es decir la ecuacion PAG 4 (x) = 0 tiene raíces X 1 = X 2 = 1. Mostremos más solución corta esta ecuación (usando el esquema de Horner).
| 1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
| 1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
| 1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
Medio, X 1 = 1 significa X 2 = 1.
Entonces, ( X– 1) 2 (X 2 + 4X + 5) = 0
¿Qué hicimos? Bajamos el grado de la ecuación.
V. Considere ecuaciones simétricas de grado 3 y 5.
A) hacha 3 + bx 2 + bx + a= 0, obviamente X= –1 es la raíz de la ecuación, luego bajamos el grado de la ecuación a dos.
b) hacha 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a= 0, obviamente X= –1 es la raíz de la ecuación, luego bajamos el grado de la ecuación a dos.
Por ejemplo, mostremos la solución a la ecuación 2. X 5 + 3X 4 – 5X 3 – 5X 2 + 3X + = 0
| 2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
| –1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
| 1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
X = –1
Obtenemos ( X – 1) 2 (X + 1)(2X 2 + 5X+ 2) = 0. Esto significa que las raíces de la ecuación son: 1; 1; -1; –2; –0,5.
VI. Aquí tienes una lista de diferentes ecuaciones para resolver en clase y en casa.
Sugiero que el lector resuelva las ecuaciones 1 a 7 por sí mismo y obtenga las respuestas...
Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.
Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:
Esta es una diferencia importante entre ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.
Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.
Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:
Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:
Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?
- x2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
El discriminante es cero; la raíz será uno.
Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.
Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.
Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:
Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.
Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:
Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]
Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:
Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.
Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:
Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:
La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.
Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.
Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:
Dado que la raíz cuadrada aritmética sólo existe para un número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:
Como puede ver, no se requería un discriminante: no hay ningún cálculo complejo en ecuaciones cuadráticas incompletas. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.
Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:
Sacando el factor común de paréntesisEl producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:
Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:
- x2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
